Спектральный анализ одного несамосопряженного операторного пучка с разрывным коэффициентом

Исследованы прямая и обратная задачи для уравнения Шредингера с комплексными периодическими потенциалами, а также с разрывной правой частью на всей оси. Изучены основные свойства фундаментальных решений и спектр задачи. Сформулирована обратная задача и дана эффективная процедура ее решения. Дослiдж...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Доповіді НАН України
Date:	2014
Main Authors:	Оруджев, Г.Д., Эфендиев, Р.Ф.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2014
Subjects:	Математика
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87589
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Спектральный анализ одного несамосопряженного операторного пучка с разрывным коэффициентом / Г.Д. Оруджев, Р.Ф. Эфендиев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 25-31. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859649915577171968
author	Оруджев, Г.Д. Эфендиев, Р.Ф.
author_facet	Оруджев, Г.Д. Эфендиев, Р.Ф.
citation_txt	Спектральный анализ одного несамосопряженного операторного пучка с разрывным коэффициентом / Г.Д. Оруджев, Р.Ф. Эфендиев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 25-31. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Доповіді НАН України
description	Исследованы прямая и обратная задачи для уравнения Шредингера с комплексными периодическими потенциалами, а также с разрывной правой частью на всей оси. Изучены основные свойства фундаментальных решений и спектр задачи. Сформулирована обратная задача и дана эффективная процедура ее решения. Дослiджено пряму й обернену задачi для рiвнянняШредiнгера з комплексними перiодичними потенцiалами та розривною правою частиною на всiй осi. Вивчено основнi властивостi фундаментальних розв’язкiв i спектр задачi. Сформульовано обернену задачу i розроблено ефективну процедуру її розв’язання. The direct and inverse problems for the Schr¨odinger equation on the whole axis with complex periodic potentials and discontinuous right-hand side are investigated. The main properties of the fundamental solutions and the spectrum of the problem are studied. The inverse problem is formulated, and a constructive procedure for its solution is given.
first_indexed	2025-12-07T13:32:33Z
format	Article
fulltext	УДК 517.90 Г.Д. Оруджев, Р.Ф. Эфендиев Спектральный анализ одного несамосопряженного операторного пучка с разрывным коэффициентом (Представлено членом-корреспондентом НАН Украины М.Л. Горбачуком) Исследованы прямая и обратная задачи для уравнения Шредингера с комплексными пе- риодическими потенциалами, а также с разрывной правой частью на всей оси. Изучены основные свойства фундаментальных решений и спектр задачи. Сформулирована обрат- ная задача и дана эффективная процедура ее решения. 1. Рассматривается спектральная задача для операторного пучка L с комплексными пе- риодическими потенциалами в пространстве L2((−∞,∞); ρ(x)), порожденного дифферен- циальным выражением l ( d dx , λ ) ≡ 1 ρ(x) { − d2 dx2 + 2λp(x) + q(x) } , (1) где λ — комплексное число, а коэффициенты p(x), q(x) и ρ(x) имеют вид p(x) = ∞∑ n=1 pne inx, ∞∑ n=1 n · \|pn\| < ∞, (2) q(x) = ∞∑ n=1 qne inx, ∞∑ n=1 \|qn\| < ∞, (3) ρ(x) =    1 для x ∈ (−∞, b1), γ21 для x ∈ (b1, b2), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . γ2n для x ∈ (bm,∞), (4) где γj 6= 0 (j = 1, 2, . . . ,m). В работе ставится и решается прямая и обратная задачи на (−∞,+∞) для (1)–(4). Причиной выбора потенциалов вида (2), (3) является то, что многие интересные резуль- таты физики были получены при рассмотрении задач с этими потенциалами, в оптической решетке [1, 2]. Впервые обратная задача в случае p(x) = 0, q(x) = 0 рассмотрена в статье Н.И. Гринбер- га [3], в которой обратная задача восстановления ρ(x) решается с помощью коэффициента отражения. Случай ρ(x) ≡ 1, p(x) = 0 полностью изучен М.Г. Гасымовым в [4], где доказано, что непрерывный спектр заполняет [0,∞), на котором могут быть спектральные особенности в смысле Наймарка, совпадающие с числами вида (n/2)2, n ∈ N. Отметим, что некоторые вопросы спектрального анализа операторов Шредингера с комплексными периодическими потенциалами рассмотрены в работах [5–8]. © Г.Д. Оруджев, Р.Ф. Эфендиев, 2014 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 25 2. Известно, что изучение спектральных свойств оператора L основывается на анализе решений уравнения −y′′ + [2λp(x) + q(x)]y = λ2ρ(x)y, x ∈ R. (5) Здесь явно строится фундаментальная система решений уравнения (5), что является важным шагом для дальнейших исследований. Tеорема 1. Пусть q(x), p(x) имеют вид (2), (3) и для ρ(x) удовлетворяется усло- вие (4). Тогда уравнение Ly = λ2ρ(x)y имеет решения вида f± j (x, λ) = e±iλγjx ( 1 + ∞∑ n=1 v±n e inx + ∞∑ n=1 ∞∑ α=n v±nα n± 2λγj eiαx ) для x ∈ (bj , bj+1), (6) где j = 0, 1, 2, . . . ,m, γ0 = 1, b0 = −∞, bm+1 = ∞, числа v±n и v±nα определяются из следующих рекуррентных соотношений: α2ν±α + α α∑ n=1 ν±nα + α−1∑ s=1 ( qα−sν ± s − pα−s s∑ n=1 ν±ns ) + qα = 0, (7) α(α− n)ν±nα + α−1∑ s=n (qα−s ∓ n · pα−s)ν ± ns = 0, (8) αν±α ± α−1∑ s=1 ν±s pα−s ± pα = 0; (9) и ряд (6) можно дважды почленно продифференцировать. Пусть W [y1, y2] = y′1y2 − y1y ′ 2 — вронскиан функций y1, y2. Легко проверить, что W [f+ j (x, λ), f− j (x, λ)] = 2iλγj , j = 0, 1, . . . ,m. Поэтому для x ∈ (bj , bj+1), λ 6= 0, λ 6= ±n/(2γj) функции f+ j (x, λ), f− j (x, λ) являются линейно независимыми решениями уравнения (5). Пусть f± nj(x) = lim λ→∓ n 2γj (n± 2λγj)f ± j (x, λ) = ∞∑ α=n v±nαe iαxe −i n 2γj x . (10) Из реккурентных формул (7)–(9) вытекает, что если v±nn = 0, то v±nα = 0 при всех α > n и f± nj(x) ≡ 0. Тогда, учитывая соотношение lim λ→∓ n 2γj W [f+ j (x, λ), f− j (x, λ)] = 0, получаем, что f± nj(x), f ∓ j (x, λ) линейно зависимы. Поэтому f± nj(x) = S± n f ∓ j ( x,∓ n 2γj ) . (11) 26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4 Сравнение формул для этих функций показывает, что S± n = v±nn. Для того чтобы изучить спектр операторного пучка L, построим ядро резольвенты опе- ратора (L − λ2I). Известно, что любое решение y(x, λ) уравнения (5) есть линейная комбинация функций f+ j (x, λ), f− j (x, λ) и может быть написано, как y(x, λ) = C1j(x)f + j (x, λ) + C2j(x)f − j (x, λ) для x ∈ (bj , bj+1). Поскольку волновая функция y(x, λ) и ее производные должны быть непрерывными, имеем y(bj − 0) = y(bj + 0), (12) y′(bj − 0) = y′(bj + 0), j = 0, 1, 2, ..,m. (13) При этом функции Cij(x), i = 1, 2, j = 0, 1, . . . ,m, выбираются таким образом, что для y(x, λ) выполняются условия (12), (13). Используя метод вариации постоянных, получаем C ′ 1j(x) = − 1 W [f+ j (x, λ), f− j (x, λ)] f− j (x, λ)f(x), C ′ 2j(x) = 1 W [f+ j (x, λ), f− j (x, λ)] fj(x, λ)f(x). Следовательно, C1j(x) = x∫ bj 1 2iλγj f− j (t, λ)f(t)dt+ C1j , C2j(x) = − bj+1∫ x 1 2iλγj f+ j (t, λ)f(t)dt+ C2j , где x ∈ (bj, bj+1), j = 0, 1, 2, . . . ,m, и C1j , C2j , j = 0, 1, . . . ,m, — произвольные числа. Тогда получим, что решение уравнения (5) для Imλ > 0 имеет вид y(x, λ) = {yj(x, λ) для x ∈ (bj , bj+1), j = 0, 1, . . . ,m; b0 = −∞, bm+1 = ∞}, где yj(x, λ) = C1j(x)f + j (x, λ) + C2j(x)f − j (x, λ) = − 1 2iλγj x∫ bj f− j (t, λ)f+ j (x, λ)f(t) dt + + C1jf + j (x, λ) + 1 2iλγj bj+1∫ x f+ j (t, λ)f− j (x, λ)f(t) dt+ C2jf − j (x, λ) = ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 27 = bj+1∫ bj Gj(x, t, λ)f(t) dt+ C1jf + j (x, λ) + C2jf − j (x, λ) с Gj(x, t, λ) = 1 2iλγj { f+ j (x, λ)f− j (t, λ) при t 6 x, f+ j (t, λ)f− j (x, λ) при t > x, j = 0, 1, . . . ,m. В силу условия y(x, λ) ∈ L2(−∞,+∞), f+ j (x, λ) ∈ L2(0,+∞) и f− j (x, λ) ∈ L2(−∞, 0) определяем, что C10 = C2m = 0. Тогда для решения уравнения (5) получим y(x, λ) = ∞∫ −∞ G(x, t, λ)f(t) dt + +    C20f − 0 (x, λ) для x ∈ (−∞, b1), C1jf + j (x, λ) + C2jf − j (x, λ) для x ∈ (bj+1, bj+2), j = 1, . . . ,m− 2, C1mf+ m(x, λ) для x ∈ (bm,∞), где G(x, t, λ) = {Gj(x, t, λ) : x ∈ (bj , bj+1), j = 0, 1, . . . ,m; b0 = −∞, bm+1 = ∞}. Числа Cij, i = 1, 2, j = 0, 1, . . . ,m, определяются из условий (12), (13), а именно, для x ∈ (bj , bj+1), j = 0, 1, . . . ,m; b0 = −∞, bm+1 = ∞ и C10 = C2m = 0 C1jf + j (bj+1, λ) + C2jf − j (bj+1, λ)− C1(j+1)f + j+1(bj+1, λ)− C2(j+1)f − j+1(bj+1, λ) = = bj+2∫ bj+1 Gj+1(bj+1, t, λ)f(t) dt− bj+1∫ bj Gj(bj+1, t, λ)f(t) dt = = bj+2∫ bj [Gj+1(bj+1, t, λ)−Gj(bj+1, t, λ)]f(t) dt, C ′ 1jf + j (bj+1, λ) + C ′ 2jf − j (bj+1, λ)− C ′ 1(j+1)f + j+1(bj+1, λ)− C ′ 2(j+1)f − j+1(bj+1, λ) = 0. (14) Тогда основной детерминант ∆(λ) системы (14) имеет вид ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2m ︷︸︸︷ f− 0 (b1, λ) f+ 1 (b1, λ) f− 1 (b1, λ) 0 0 . . . 0 0 0 f− ′ 0 (b1, λ) f + ′ 1 (b1, λ) f − ′ 1 (b1, λ) 0 0 . . . 0 0 0 0 f+ 1 (b2, λ) f− 1 (b2, λ) f+ 2 (b2, λ) f− 2 (b2, λ) . . . 0 0 0 0 f+ ′ 1 (b2, λ) f − ′ 1 (b2, λ) f + ′ 2 (b2, λ) f − ′ 2 (b2, λ) . . . 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 . . . f+ m−1(bm, λ) f− m−1(bm, λ) f+ m (bm, λ) 0 0 0 0 0 . . . f+ ′ m−1(bm, λ) f− ′ m−1(bm, λ) f+ ′ m (bm, λ) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ . 28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4 Если обозначить D(bj , λ) = bj+2∫ bj [Gj(bj , t, λ) −Gj−1(bj , t, λ)]f(t) dt и через ∆i(λ) детерминант ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2m ︷︸︸︷ f − 0 (b1, λ) f + 1 (b1, λ) f − 1 (b1, λ) 0 0 . . . i ︷︸︸︷ D(b1, λ) . . . 0 0 0 f − ′ 0 (b1, λ) f + ′ 1 (b1, λ) f − ′ 1 (b1, λ) 0 0 . . . 0 . . . 0 0 0 0 f + 1 (b2, λ) f − 1 (b2, λ) f + 2 (b2, λ) f − 2 (b2, λ) . . . D(b2, λ) . . . 0 0 0 0 f + ′ 1 (b2, λ) f − ′ 1 (b2, λ) f + ′ 2 (b2, λ) f − ′ 2 (b2, λ) . . . 0 . . . 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 0 . . . D(bm, λ) . . . f+ m−1(bm, λ) f− m−1(bm, λ) f + m(bm, λ) 0 0 0 0 0 . . . 0 . . . f + ′ m−1(bm, λ) f− ′ m−1(bm, λ) f+ ′ m (bm, λ) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ , то для коэффициента Cij(λ) получим Cij(λ) = ∆i(λ) ∆(λ) . Замечание 1. Rλ2 = (L− λ2I)−1 существует и ограничена для всех λ вне оси (−∞,+∞) и ∆(λ) 6= 0. Teoрeма 2. Спектр операторного пучка L состоит из непрерывного спектра, запол- няющего ось (−∞,∞), на которой могут быть спектральные особенности, совпадающие с числами вида (±n/(2γj)), n ∈ N, j = 0, 1, . . . ,m, и из конечного числа собственных чисел, которые определяются, как корни уравнения ∆(λ) = 0. 3. Обратная задача. Числа S± n из (10) играют роль “нормировочных” чисел для функ- ций, отвечающих спектральным особенностям (±n/(2γj)), n ∈ N, j = 0, 1, 2, . . . ,m. Ставится задача определения потенциалов q(x) и p(x) по S± n . Для того чтобы решать поставленную обратную задачу, сначала установим связь между “нормировочными” числами S± n и v±n , v ± nα. На самом деле, используя результаты найденные нами выше, получим нижеследующий алгоритм для решения обратной задачи. Принимая во внимание (10), имеем ∞∑ α=n v±nαe iαxe−in 2 x = S± n · ei n 2 x ( 1 + ∞∑ n=1 v∓n e inx + ∞∑ n=1 ∞∑ α=n v∓nα n+ n eiαx ) . Тогда получим, что v±nn = S± n и v±m,α+m = S± m ( v∓α + α∑ n=1 v∓nα n+m ) , (15) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 29 откуда все числа v±α , v±nα, α = 1, 2 . . ., n = 1, 2, . . ., α − 1 определяются однозначно. Эти соотношения являются основными уравнениями для определения qn, pn по S± n . Действи- тельно, если известны S± n , то (15) дает рекуррентные формулы для определения v±α , v±nα, α = 1, 2 . . ., n = 1, 2, . . . , α − 1. Тогда, используя (7)–(9), мы можем восстановить все чис- ла qn, pn. Таким образом, по “нормировочным” числам S± n потенциалы q(x) и p(x) восстанавли- ваются однозначно и эффективно. Спрашивается, когда последовательность S± n может быть последовательностью “нормировочных” чисел оператора типа L? Tеорема 3. Для того чтобы числа S± n были “нормировочными” числами оператора типа L с потенциалами вида (2)–(3), для которых ряд (6) можно дважды почленно про- дифференцировать, достаточно выполнение следующих условий: ∞∑ m=1 m\|Sm\|∗ = s1 < ∞, ∞∑ m=1 \|Sm\|∗ m+ 1 = s < 1, где \|Sn\| ∗ = max{\|S+ n \|, \|S− n \|}. 1. Makris K.G., El-Ganainy R., Christodoulides D.N., Musslimani Z.H. PT-symmetric optical lattices // Phys. Rev. A. – 2010. – 81, No 6. – 063807. 2. Makris K.G., El-Ganainy R., Christodoulides D.N., Musslimani Z.H. Beam dynamics in PT symmetric optical lattices // Phys. Rev. Lett. – 2008. – 100, No 10. – 103904. 3. Гринберг Н.И. Одномерная обратная задача рассеяния для волнового уравнения // Мат. сб. – 1990. – 181, № 8. – С. 1114–1129. 4. Гасымов М.Г. Спектральный анализ одного класса несамосопряженных дифференциальных опера- торов второго порядка // Функц. анализ и его приложения. – 1980. – 14, № 1. – С. 14–19. 5. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. – Киев: Наук. думка, 1984. – 284 с. 6. Efendiev R. F. Spectral analysis for one class of second-order indefinite non-self-adjoint differential operator pencil // Appl. Anal. – 2011. – 90, No 12. – P. 1837–1849. 7. Efendiev R. F., Orudzhev H.D. Inverse wave spectral problem with discontinuous wave speed // J. Math. Physics, Analysis, Geometry. – 2010. – 6, No 3. – P. 255–265. 8. Efendiev R. F. Spectral analysis of a class of non-self-adjoint differential operator pencils with a generalized function // Theoret. and Math. Physics. – 2005. – 145, No 1. – P. 1457–1461. Поступило в редакцию 10.10.2013Университет Гафгаз, Баку, Азербайджан Бакинский государственный университет, Азербайджан Г. Д. Оруджев, Р. Ф. Ефендiєв Спектральний аналiз одного несамоспряженого операторного пучка з розривним коефiцiєнтом Дослiджено пряму й обернену задачi для рiвняння Шредiнгера з комплексними перiодичними потенцiалами та розривною правою частиною на всiй осi. Вивчено основнi властивостi фундаментальних розв’язкiв i спектр задачi. Сформульовано обернену задачу i розроблено ефективну процедуру її розв’язання. 30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4 H.D. Orudzhev, R.F. Efendiev The spectral analysis of some not self-adjoint operator pencil with a discontinuous coefficient The direct and inverse problems for the Schrödinger equation on the whole axis with complex periodic potentials and discontinuous right-hand side are investigated. The main properties of the fundamental solutions and the spectrum of the problem are studied. The inverse problem is formulated, and a constructive procedure for its solution is given. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 31
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87589
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1025-6415
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T13:32:33Z
publishDate	2014
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
record_format	dspace
spelling	Оруджев, Г.Д. Эфендиев, Р.Ф. 2015-10-21T17:14:31Z 2015-10-21T17:14:31Z 2014 Спектральный анализ одного несамосопряженного операторного пучка с разрывным коэффициентом / Г.Д. Оруджев, Р.Ф. Эфендиев // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 25-31. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87589 517.90 Исследованы прямая и обратная задачи для уравнения Шредингера с комплексными периодическими потенциалами, а также с разрывной правой частью на всей оси. Изучены основные свойства фундаментальных решений и спектр задачи. Сформулирована обратная задача и дана эффективная процедура ее решения. Дослiджено пряму й обернену задачi для рiвнянняШредiнгера з комплексними перiодичними потенцiалами та розривною правою частиною на всiй осi. Вивчено основнi властивостi фундаментальних розв’язкiв i спектр задачi. Сформульовано обернену задачу i розроблено ефективну процедуру її розв’язання. The direct and inverse problems for the Schr¨odinger equation on the whole axis with complex periodic potentials and discontinuous right-hand side are investigated. The main properties of the fundamental solutions and the spectrum of the problem are studied. The inverse problem is formulated, and a constructive procedure for its solution is given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Спектральный анализ одного несамосопряженного операторного пучка с разрывным коэффициентом Спектральний аналiз одного несамоспряженого операторного пучка з розривним коефiцiєнтом The spectral analysis of some not self-adjoint operator pencil with a discontinuous coefficient Article published earlier
spellingShingle	Спектральный анализ одного несамосопряженного операторного пучка с разрывным коэффициентом Оруджев, Г.Д. Эфендиев, Р.Ф. Математика
title	Спектральный анализ одного несамосопряженного операторного пучка с разрывным коэффициентом
title_alt	Спектральний аналiз одного несамоспряженого операторного пучка з розривним коефiцiєнтом The spectral analysis of some not self-adjoint operator pencil with a discontinuous coefficient
title_full	Спектральный анализ одного несамосопряженного операторного пучка с разрывным коэффициентом
title_fullStr	Спектральный анализ одного несамосопряженного операторного пучка с разрывным коэффициентом
title_full_unstemmed	Спектральный анализ одного несамосопряженного операторного пучка с разрывным коэффициентом
title_short	Спектральный анализ одного несамосопряженного операторного пучка с разрывным коэффициентом
title_sort	спектральный анализ одного несамосопряженного операторного пучка с разрывным коэффициентом
topic	Математика
topic_facet	Математика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87589
work_keys_str_mv	AT orudževgd spektralʹnyianalizodnogonesamosoprâžennogooperatornogopučkasrazryvnymkoéfficientom AT éfendievrf spektralʹnyianalizodnogonesamosoprâžennogooperatornogopučkasrazryvnymkoéfficientom AT orudževgd spektralʹniianalizodnogonesamosprâženogooperatornogopučkazrozrivnimkoeficiêntom AT éfendievrf spektralʹniianalizodnogonesamosprâženogooperatornogopučkazrozrivnimkoeficiêntom AT orudževgd thespectralanalysisofsomenotselfadjointoperatorpencilwithadiscontinuouscoefficient AT éfendievrf thespectralanalysisofsomenotselfadjointoperatorpencilwithadiscontinuouscoefficient

Спектральный анализ одного несамосопряженного операторного пучка с разрывным коэффициентом

Institution

Similar Items