Вынужденные колебания стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью
Рассматривается осесимметричая конструкция, которая состоит из тонкостенного стержня, к одной из параллелей которого прикреплен осесимметричный резервуар, частично заполненный идеальной жидкостью. Исследование вынужденных колебаний такой механической системы под воздействием приложенных к стержню в...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87595 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Вынужденные колебания стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью / Ю.В. Троценко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 56-63. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859727890222940160 |
|---|---|
| author | Троценко, Ю.В. |
| author_facet | Троценко, Ю.В. |
| citation_txt | Вынужденные колебания стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью / Ю.В. Троценко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 56-63. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Рассматривается осесимметричая конструкция, которая состоит из тонкостенного
стержня, к одной из параллелей которого прикреплен осесимметричный резервуар, частично заполненный идеальной жидкостью. Исследование вынужденных колебаний такой механической системы под воздействием приложенных к стержню внешних сил
и моментов сведено к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений
простого вида, независимой переменной в которых является время.
Розглядається осесиметрична конструкцiя, яка складається з тонкостiнного стержня,
до однiєї з паралелей якого прикрiплений осесиметричний резервуар, частково заповнений
iдеальною рiдиною. Дослiдження вимушених коливань такої механiчної системи пiд дiєю
прикладених до стержня зовнiшнiх сил та моментiв зведено до розв’язання системи звичайних диференцiальних рiвнянь простого вигляду, незалежною змiнною в яких є час.
The axisymmetric structure, which consists of a rod and the tank attached to it, which is partially
filled with an ideal liquid is considered. The study of forced vibrations of such a mechanical system
under the influence of external forces and moments is reduced to the system of ordinary differential
equations of a simple form. The independent variable in these equations is the time.
|
| first_indexed | 2025-12-01T11:52:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
4 • 2014
МЕХАНIКА
УДК 532.595
Ю.В. Троценко
Вынужденные колебания стержня с подвесным
резервуаром, частично заполненным жидкостью
(Представлено академиком НАН Украины И.А. Луковским)
Рассматривается осесимметричая конструкция, которая состоит из тонкостенного
стержня, к одной из параллелей которого прикреплен осесимметричный резервуар, час-
тично заполненный идеальной жидкостью. Исследование вынужденных колебаний та-
кой механической системы под воздействием приложенных к стержню внешних сил
и моментов сведено к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений
простого вида, независимой переменной в которых является время.
Данная работа является продолжением работы [1], где рассматривалась задача об опреде-
лении свободных колебаний осесимметричной конструкции, состоящей из вертикально рас-
положенного тонкостенного стержня, к одной из параллелей которого с помощью жесткого
шпангоута прикреплен осесимметричный резервуар, частично заполненный идеальной не-
сжимаемой жидкостью (рис. 1). Исследованию колебаний таких конструкций в различных
постановках задачи посвящены работы [2, 3].
Предполагается, что к резервуару приложены внешняя суммарная сила PO∗y∗ , действую-
щая в направлении оси O∗y∗, и суммарный момент MO∗x∗ относительно оси O∗x∗. Также
предполагается, что на стержень в направлении оси O1y1 действует распределенная попе-
речная нагрузка q(z1, t).
В работе [1] построена наиболее полная система уравнений, которая описывает взаимо-
связанные колебания стержня и присоединенного к нему резервуара с жидкостью в сече-
нии z1 = ζ под воздействием приложенных к ним внешних сил и моментов. Эти уравнения
имеют следующий вид:
L(i)(w(i)) = q(i)(z1, t) при z1 ∈ G(i), M (2)|z1=l = 0, Q∗
(2)|z1=l = 0,
[Q
(2)
∗ −Q
(1)
∗ ]z1=ζ = −
[
mẅ +mzc
∂ẅ
∂z1
+
n0
∑
n=1
β̈nλn − PO∗y∗
]
z1=ζ
,
© Ю. В. Троценко, 2014
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4
Рис. 1. Общий вид механической системы
[M (1) −M (2)]z1=ζ = −
[
I
∂ẅ
∂z1
+mzcẅ −
n0
∑
n=1
β̈nλ0n − gmzc
∂w
∂z1
− (1)
− g
n0
∑
n=1
βnλn +MOx
]
z1=ζ
, [w(1) = w(2) = w]z1=ζ ,
[
∂w(1)
∂z1
=
∂w(2)
∂z1
=
∂w
∂z1
]
z1=ζ
, w(1)|z1=0 =
∂w(1)
∂z1
∣
∣
∣
∣
z1=0
= 0,
где
L(i)(w(i)) =
∂2
∂z21
(
E(i)J (i) ∂
2w(i)
∂z21
)
+
∂
∂z1
(
N (i) ∂w
(i)
∂z1
)
+ ρ
(i)
1 S(i) ∂
2w(i)
∂t2
,
Q(i) =
∂
∂z1
(
E(i)J (i) ∂
2w(i)
∂z21
)
; M (i) = E(i)J (i) ∂
2w(i)
∂z21
, Q
(i)
∗ = Q(i) +N (i)∂w
(i)
∂z1
.
Напомним, что рассматривается стержень с меняющимися в общем случае его площадью
поперечного сечения S, экваториальным моментом инерции J и модулем упругости при
изгибе E. Плотность материала стержня ρ1 также может быть переменной по его длине.
Область G = [0, l] изменения координаты z1 состоит из двух подобластей G(1) = [0, ζ]
иG(2) = [ζ, l], а прогибы стержня в этих подобластях обозначены через w(1)(z1, t) и w(2)(z1, t)
соответственно. В дальнейшем верхний индекс во всех встречающихся функциях будет обо-
значать область, в которой эти функции определены.
Кроме того, I = I(0)+I(w) — момент инерции корпуса резервуара и подвижной жидкости
относительно оси Ox; m = m(0)+mw — общая масса резервуара и жидкости; zc = (m(0)zc0+
+mwzcw)/(m
(0) +mw) — координата центра масс на оси Oz системы резервуар–жидкость;
g — ускорение сил тяжести; N (i) — сжимающие силы, действующие на стержень.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 57
Система уравнений (1) не является замкнутой, поскольку она включают в себя заранее
не известные обобщенные координаты βn(t), характеризующие волновые движения жид-
кости в резервуаре.
Система дифференциальных уравнений, связывающая обобщенные координаты βn(t)
с прогибом стержня и его углом поворота в сечении z1 = ζ, имеет следующий вид [1]:
µn(β̈n + σ2nβn) +
[
λnẅ − λ0n
∂ẅ
∂z1
− gλn
∂w
∂z1
]
z1=ζ
= 0 (n = 1, 2, . . . , n0). (2)
Здесь µn, σ2n, λn и λ0n — гидродинамические коэффициенты, которые определяются по
формулам, представленным в работе [4].
Для эффективного расчета колебаний рассматриваемой механической системы под воз-
действием приложенных к ней сосредоточенных и распределенных нагрузок граничную за-
дачу для уравнений в частных производных (1) целесообразно привести к системе обыкно-
венных дифференциальных уравнений, независимой переменной в которых является вре-
мя t.
Для приведения уравнений (1) с учетом соответствующих граничных условий к беско-
нечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений используем метод Бубнова–
Галеркина. Эта процедура не является однозначной и в большей мере зависит от выбора
обобщенных координат, характеризующих в совокупности возмущенное движение конструк-
ции. В работах [2, 3] в качестве базисных функций для прогибов стержня выбирались
собственные функции спектральной задачи, описывающей свободные колебания стержня
с резервуаром с затвердевшей жидкостью. В свою очередь, для описания волновых движе-
ний жидкости в резервуаре были использованы собственные функции спектральной задачи
о свободных колебаниях жидкости в неподвижном резервуаре. В результате, исходная зада-
ча была сведена к системе взаимосвязанных обыкновенных дифференциальных уравнений
относительно обобщенных координат, характеризующих возмущенное движение стержня
и волновые движения жидкости в подвижном резервуаре. Как показали вычисления, про-
веденные автором настоящей работы, предложенные ряды для аппроксимации прогибов
стержня и волновых движений жидкости обладают медленной сходимостью. В связи с этим
при исследовании вынужденных колебаний системы приходится решать систему дифферен-
циальных уравнений большой размерности, что усложняет анализ взаимосвязанных коле-
баний стержня и жидкости.
С практической точки зрения необходимо стремиться к такой системе обыкновенных
дифференциальных уравнений, которая имела бы наиболее простой вид и небольшую раз-
мерность. Как будет показано ниже, этим требованиям отвечает система уравнений, при
выводе которой для аппроксимации искомых решений в качестве базисных функций выбра-
ны собственные функции спектральной задачи, описывающей свободные взаимосвязанные
колебания стержня и жидкости в прикрепленном к нему резервуаре.
Полученные уравнения (1) позволяют сформулировать математическую постановку за-
дачи, описывающей свободные колебания рассматриваемой механической системы c часто-
той ω. Для этого положим:
q(k)(z1, t) = PO∗y∗ =MOx = 0; w(k)(z1, t) = expiωt η(k)(z1);
βn(t) = expiωt cn (k = 1, 2).
(3)
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4
После перехода к безразмерным величинам [1] получим следующую спектральную задачу
относительно функций η(i)(z1):
L
(i)
1 (η(i)) =
d2
dz21
(
E(i)J (i) d
2η(i)
dz21
)
+
d
dz1
(
N (i) dη
(i)
dz1
)
− ω2 ρ
(i)
1
ρ
DS(i)η(i) = 0, z1 ∈ G(i),
M (2)|z1=l = Q
(2)
∗ |z1=l = 0, [Q
(2)
∗ −Q
(1)
∗ ]z1=ζ = ω2D
[
mη +mzc
dη
dz1
+
n0
∑
n=1
cnλn
]
z1=ζ
,
[M (1) −M (2)]z1=ζ = ω2D
[
I
dη
dz1
+mzcη −
n0
∑
n=1
cnλ0n
]
z1=ζ
+Dmzc
dη
dz1
∣
∣
∣
∣
z1=ζ
+ (4)
+D
n0
∑
n=1
cnλn, [η(1) = η(2) = η]z1=ζ ,
[
dη(1)
dz1
=
dη(2)
dz1
=
dη
dz1
]
z1=ζ
, η(1)
∣
∣
z1=0
=
dη(1)
dz1
∣
∣
∣
∣
z1=0
= 0.
Предположим, что собственные функции ηi(z1) и собственные числа ω2
i задачи (4) изве-
стны. Соответствующие им числа cn могут быть найдены из уравнений, вытекающих из
динамического граничного условия на свободной поверхности жидкости [1]:
µn(σ
2
n − ω2)cn +
[
ω2
(
λ0n
dη
dz1
− λnη
)
− λn
dη
dz1
]
z1=ζ
= 0 (n = 1, 2, . . . , n0). (5)
Установим условия ортогональности собственных функций однородной краевой зада-
чи (4). Для этого подставим в эти уравнения η = ηi(z1), ω = ωi и умножим их на ηj(z1), где
i и j принимают произвольные, не равные между собой целочисленные значения, и проинте-
грируем полученный результат от нуля до l. После применения процедуры интегрирования
по частям с учетом граничных условий (4) получаем:
l
∫
0
[
EJ
d2ηi
dz21
d2ηj
dz21
−N
dηi
dz1
dηj
dz1
− ω2
i
ρ1
ρ
DSηiηj
]
dz1 −
−D
{
ω2
i
[
mηiηj +mzc
(
dηi
dz1
ηj +
dηj
dz1
ηi
)
+ I
dηi
dz1
dηj
dz1
+
+
∞
∑
n=1
c(i)n
(
λnηj − λ0n
dηj
dz1
)
]
+
∞
∑
n=1
c(i)n λn
dηj
dz1
+mzc
dηi
dz1
dηj
dz1
}
z1=ζ
= 0. (6)
Поменяем местами в этом уравнении индексы i и j, затем вычтем полученное уравнение
из уравнения (6). При этом будем иметь
(ω2
j − ω2
i )
{ l
∫
0
ρ1
ρ
Sηiηjdz1 +
[
mηiηj +mzc
(
dηi
dz1
ηj +
dηj
dz1
ηi
)
+ I
dηi
dz1
dηj
dz1
]
z1=ζ
}
+
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 59
+
∞
∑
n=1
c(j)n
[
ω2
j
(
λnηi − λ0n
dηi
dz1
)
+ λn
dηi
dz1
]
z1=ζ
−
−
∞
∑
n=1
c(i)n
[
ω2
i
(
λnηj − λ0n
dηj
dz1
)
+ λn
dηj
dz1
]
z1=ζ
= 0. (7)
Для дальнейшего преобразования уравнения (7) воспользуемся связью между c(i)n и ηi,
полученной из уравнения (5):
µn(σ
2
n − ω2
i )c
(i)
n = −
[
ω2
i
(
λ0n
dηi
dz1
− λnηi
)
− λn
dηi
dz1
]
z1=ζ
(n = 1, 2, . . . , n0). (8)
Принимая во внимание уравнение (8), после несложных преобразований покажем, что
[
ω2
j
(
λnηi − λ0n
dηi
dz1
)
+ λn
dηi
dz1
]
z1=ζ
= (ω2
j − ω2
i )
(
λnηi − λ0n
dηi
dz1
)
z1=ζ
+
+ c(i)n (µnσ
2
n − µnω
2
i ). (9)
Поменяв в этом уравнении местами индексы i и j, получим еще одно соотношение, которое
необходимо для дальнейших преобразований выражения (7). С учетом этих соотношений
и того, что ωj 6= ωi при i 6= j, из уравнения (7) получаем первое условие ортогональности
для собственных функций задачи (4), (5):
2
∑
k=1
∫
G(k)
ρ
(k)
1
ρ
S(k)η
(k)
i η
(k)
j dz1 +
[
mηiηj +mzc
(
dηj
dz1
ηi +
dηi
dz1
ηj
)
+ I
dηi
dz1
dηj
dz1
]
z1=ζ
+
+
∞
∑
n=1
[
c(i)n c(j)n µn + c(j)n
(
λnηi − λ0n
dηi
dz1
)
+ c(i)n
(
λnηj − λ0n
dηj
dz1
)]
z1=ζ
= 0. (10)
Второе условие ортогональности получим из уравнения (4) при η = ηi, ω = ωi. Умножим
полученное уравнение на ω2
jηj и проинтегрируем его в пределах от нуля до l с использо-
ванием формулы интегрирования по частям и граничных условий краевой задачи (4). При
этом получаем
ω2
j
2
∑
k=1
∫
G(k)
[
E(k)J (k)d
2η
(k)
i
dz21
d2η
(k)
j
dz21
−N (k)dη
(k)
i
dz1
dη
(k)
j
dz1
− ω2
i ω
2
jD
ρ
(k)
1
ρ
S(k)η
(k)
i η
(k)
j
]
dz1 −
− ω2
jD
{
ω2
i
[
mηiηj +mzc
(
dηi
dz1
ηj +
dηj
dz1
ηi
)
+ I
dηi
dz1
dηj
dz1
]
+
+ ω2
i
∞
∑
n=1
c(i)n
[
λnηj − λ0n
dηj
dz1
]
+
∞
∑
n=1
c(i)n λn
dηj
dz1
+ zcm
dηi
dz1
dηj
dz1
}
z1=ζ
= 0. (11)
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4
Поменяем местами в этом уравнении индексы i и j. Затем вычтем полученное уравнение
из уравнения (11). При этом будем иметь
(ω2
j − ω2
i )
2
∑
k=1
∫
G(k)
[
E(k)J (k) d
2η
(k)
i
dz21
d2η
(k)
j
dz21
−N (k)dη
(k)
i
dz1
dη
(k)
j
dz1
]
dz1 −
−D
{
zcm
dηi
dz1
dηj
dz1
(ω2
j− ω2
i )+ ω2
i ω
2
j
∞
∑
n=1
c(i)n
(
λnηj− λ0n
dηj
dz1
)
+ ω2
j
∞
∑
n=1
c(i)n λn
dηj
dz1
−
− ω2
i ω
2
j
∞
∑
n=1
c(j)n
(
λnηi − λ0n
dηi
dz1
)
− ω2
i
∞
∑
n=1
c(j)n λn
dηi
dz1
}
z1=ζ
= 0. (12)
Преобразуем уравнение (12) с учетом соотношений (8). Тогда, с учетом того, что ωj 6= ωi
при i 6= j, второе условие ортогональности можно представить в следующем виде:
2
∑
k=1
∫
G(k)
[
E(k)J (k) d
2η
(k)
i
dz21
d2η
(k)
j
dz21
−N (k) dη
(k)
i
dz1
dη
(k)
j
dz1
]
dz1 −D
{
zcm
dηi
dz1
dηj
dz1
−
−
∞
∑
n=1
c(i)n c(j)n µnσ
2
n +
∞
∑
n=1
λn
(
c(j)n
dηi
dz1
+ c(i)n
dηj
dz1
)
}
z1=ζ
= 0 (i 6= j). (13)
Пусть к рассматриваемой механической системе приложены описанные выше внешние
нагрузки. Возникающие при этом поперечные перемещения стержня w(z1, t) в плоскости
O1y1z1 и соответствующие им обобщенные координаты βn(t), характеризующие волновые
движения жидкости в подвижном резервуаре, представим в виде следующих разложений:
w(z1, t) =
∞
∑
i=1
qi(t)ηi(z1), βn(t) =
∞
∑
i=1
qi(t)c
(i)
n , (14)
где qi(t) — обобщенные координаты системы, характеризующие ее вынужденные колебания.
Подставим разложения (14) в систему дифференциальных уравнений (2). В результате
получим следующие уравнения:
∞
∑
i=1
[
q̈i
(
µnc
(i)
n + λnηi − λ0n
dηi
dz1
)
− qi
(
λn
dηi
dz1
− µnσ
2
nc
(i)
n
)]
z1=ζ
= 0. (15)
Остальные дифференциальные уравнения получим из безразмерного вариационного
уравнения (17), полученного в работе [1], подставив в него разложения (14) и положив
δw = ηj(z1). С учетом первого условия ортогональности (10) полученные уравнения можно
преобразовать к следующему виду:
∞
∑
i=1
qiψij + q̈jaj −
∞
∑
i=1
Dq̈i
∞
∑
n=1
[
c(i)n c(j)n µn + c(j)n
(
λnηi − λ0n
dηi
dz1
)]
z1=ζ
−
−D
∞
∑
i=1
qi
[
∞
∑
n=1
c(i)n λn
dηj
dz1
+mzc
dηi
dz1
dηj
dz1
]
z1=ζ
= Qj(t) (j = 1, 2, . . .), (16)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 61
где
ψi,j =
2
∑
k=1
∫
G(k)
(
E(k)J (k)d
2η
(k)
i
dz21
d2η
(k)
j
dz21
−N (k)dη
(k)
i
dz1
dη
(k)
j
dz1
)
dz1,
aj = D
{
2
∑
k=1
∫
G(k)
ρ
(k)
1
ρ
(η
(k)
j )2S(k)dz1 +
[
mη2j + 2mzcηj
dηj
dz1
+ I
(
dηj
dz1
)2
+
+
∞
∑
n=1
(
(c(j)n )2µn + 2c(j)n
(
λnηj − λ0n
dηj
dz1
))
]
z1=ζ
}
,
Qj(t) =
2
∑
k=1
∫
G(k)
q(k)η
(k)
j dz1 +
[
PO∗y∗ηj −MOx
dηj
dz1
]
z1=ζ
.
Если воспользуемся вторым условием ортогональности (13), формулой (6) при i = j,
соотношением (7) для собственных форм колебаний системы, то для первой суммы в левой
части уравнений (16) после ряда преобразований можно установить следующее выражение:
∞
∑
i=1
qiψij = qjajω
2
j +
+
∞
∑
i=1
Dqi
[
zcm
dηi
dz1
dηj
dz1
−
∞
∑
n=1
(
c(i)n c(j)n µnσ
2
n − λnc
(j)
n
dηi
dz1
− λnc
(i)
n
dηj
dz1
)
]
z1=ζ
. (17)
С учетом этого соотношения уравнения (16) примут вид:
aj(q̈j + ω2
j qj) +
∞
∑
i=1
qiD
[
∞
∑
n=1
(
λnc
(j)
n
dηi
dz1
− c(i)n c(j)n µnσ
2
n
)
]
z1=ζ
−
−
∞
∑
i=1
q̈iD
[
∞
∑
n=1
(
c(i)n c(j)n µn + c(j)n
(
λnηi − λ0n
dηi
dz1
))
]
z1=ζ
= Qj(t). (18)
Вследствие уравнений (15) уравнения (18) принимают следующую форму:
aj(q̈j + ω2
j qj) = Qj(t) (j = 1, 2, . . .). (19)
Таким образом, задача о вынужденных движениях рассматриваемой механической сис-
темы под воздействием приложенных к ней сосредоточенных и распределенных нагрузок
сведена к интегрированию бесконечной системы не связанных между собой дифферен-
циальных уравнений наиболее простого вида (19). Коэффициенты этой системы уравнений
выражаются через частоты и формы собственных колебаний данной конструкции, а также
через гидродинамические коэффициенты µn, σ2n, I(w), λn и λ0n. Следовательно перед ре-
шением задачи о возмущенном движении конструкции необходимо предварительно решить
спектральную задачу о собственных колебаниях системы и определить вышеуказанные гид-
родинамические коэффициенты.
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №4
1. Троценко Ю.В. Колебания упругих конструкций, содержащих подвесные резервуары с жидкостью //
Пробл. динамiки та стiйкостi багатовимiрних систем. – 2011. – 8, № 2. – С. 258–275.
2. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими
жидкость. – Москва: Машиностроение, 1971. – 563 с.
3. Рабинович Б.И., Шмаков В.П., Кобычкин В.С. К теории колебаний конструкций, несущих упругие
резервуары с жидкостью // Исследования по теории сооружений. – 1970. – № 18. – С. 68–84.
4. Троценко В.А., Троценко Ю.В. Поперечные колебания упругого стержня, несущего на свободном
конце резервуар с жидкостью // Акуст. вiсник. – 2010. – 13, № 3. – С. 51–67.
Поступило в редакцию 15.10.2013Институт математики НАН Украины, Киев
Ю.В. Троценко
Вимушенi коливання стержня з пiдвiсним резервуаром, частково
заповненим рiдиною
Розглядається осесиметрична конструкцiя, яка складається з тонкостiнного стержня,
до однiєї з паралелей якого прикрiплений осесиметричний резервуар, частково заповнений
iдеальною рiдиною. Дослiдження вимушених коливань такої механiчної системи пiд дiєю
прикладених до стержня зовнiшнiх сил та моментiв зведено до розв’язання системи зви-
чайних диференцiальних рiвнянь простого вигляду, незалежною змiнною в яких є час.
Yu.V. Trotsenko
Forced vibrations of a rod with attached tank which is partially filled
with liquid
The axisymmetric structure, which consists of a rod and the tank attached to it, which is partially
filled with an ideal liquid is considered. The study of forced vibrations of such a mechanical system
under the influence of external forces and moments is reduced to the system of ordinary differential
equations of a simple form. The independent variable in these equations is the time.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №4 63
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87595 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T11:52:55Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Троценко, Ю.В. 2015-10-21T17:16:02Z 2015-10-21T17:16:02Z 2014 Вынужденные колебания стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью / Ю.В. Троценко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 4. — С. 56-63. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87595 532.595 Рассматривается осесимметричая конструкция, которая состоит из тонкостенного стержня, к одной из параллелей которого прикреплен осесимметричный резервуар, частично заполненный идеальной жидкостью. Исследование вынужденных колебаний такой механической системы под воздействием приложенных к стержню внешних сил и моментов сведено к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений простого вида, независимой переменной в которых является время. Розглядається осесиметрична конструкцiя, яка складається з тонкостiнного стержня, до однiєї з паралелей якого прикрiплений осесиметричний резервуар, частково заповнений iдеальною рiдиною. Дослiдження вимушених коливань такої механiчної системи пiд дiєю прикладених до стержня зовнiшнiх сил та моментiв зведено до розв’язання системи звичайних диференцiальних рiвнянь простого вигляду, незалежною змiнною в яких є час. The axisymmetric structure, which consists of a rod and the tank attached to it, which is partially filled with an ideal liquid is considered. The study of forced vibrations of such a mechanical system under the influence of external forces and moments is reduced to the system of ordinary differential equations of a simple form. The independent variable in these equations is the time. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Вынужденные колебания стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью Вимушенi коливання стержня з пiдвiсним резервуаром, частково заповненим рiдиною Forced vibrations of a rod with attached tank which is partially filled with liquid Article published earlier |
| spellingShingle | Вынужденные колебания стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью Троценко, Ю.В. Механіка |
| title | Вынужденные колебания стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью |
| title_alt | Вимушенi коливання стержня з пiдвiсним резервуаром, частково заповненим рiдиною Forced vibrations of a rod with attached tank which is partially filled with liquid |
| title_full | Вынужденные колебания стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью |
| title_fullStr | Вынужденные колебания стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью |
| title_full_unstemmed | Вынужденные колебания стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью |
| title_short | Вынужденные колебания стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью |
| title_sort | вынужденные колебания стержня с подвесным резервуаром, частично заполненным жидкостью |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87595 |
| work_keys_str_mv | AT trocenkoûv vynuždennyekolebaniâsteržnâspodvesnymrezervuaromčastičnozapolnennymžidkostʹû AT trocenkoûv vimušenikolivannâsteržnâzpidvisnimrezervuaromčastkovozapovnenimridinoû AT trocenkoûv forcedvibrationsofarodwithattachedtankwhichispartiallyfilledwithliquid |