Численное исследование течения жидкости в закрытой прямоугольной полости с движущейся верхней крышкой

Универсальный дискретный аналог системы нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление применен для решения задачи о вынужденном движении несжимаемой жидкости внутри замкнутой прямоугольной полости под воздействием движущейся верхней крышки. Численно исследованы особенности пол...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Прикладна гідромеханіка
Date:	2009
Main Authors:	Бруяцкий, Е.В., Костин, А.Г.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2009
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87649
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Численное исследование течения жидкости в закрытой прямоугольной полости с движущейся верхней крышкой / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 1. — С. 3-15. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859880898803007488
author	Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г.
author_facet	Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г.
citation_txt	Численное исследование течения жидкости в закрытой прямоугольной полости с движущейся верхней крышкой / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 1. — С. 3-15. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Прикладна гідромеханіка
description	Универсальный дискретный аналог системы нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление применен для решения задачи о вынужденном движении несжимаемой жидкости внутри замкнутой прямоугольной полости под воздействием движущейся верхней крышки. Численно исследованы особенности полей давления и возникающих рециркуляционных вихревых течений в полости в зависимости от числа Рейнольдса при заданной геометрии полости. Приведены результаты численных расчетов, иллюстрирующие эффективность и возможности предлагаемого подхода. Унiверсальний дискретний аналог системи нестацiонарних рiвнянь Нав'є-Стокса у змiнних швидкiсть-тиск застосований для розв'язання задачi про змушений рух нестисливої рiдини всерединi замкнутої прямокутної порожнини пiд дiєю верхньої кришки, яка рухається. Чисельно дослiдженi особливостi полiв тиску i виникаючих рециркуляцiйних вихрових течiй в порожнинi в залежностi вiд числа Рейнольдса при заданiй геометрiї порожнини. Приведенi результати чисельних розрахункiв, якi iлюструють ефективнiсть i можливiсть запропонованого пiдходу. Universal discrete analogue of the non-stationary Navier-Stokes equation system in velocity-pressure variables is used to solve a problem on forced motion of incompressible fluid within a rectangular cavity affected by a moving upper wall. Peculiarities of pressure fields and arising recirculation vortical flows in the cavity are investigated numerically depending on the Reynolds number under a given geometry of the cavity. Numerical results are presented which illustrate effectiveness and a potential of the described approach.
first_indexed	2025-12-07T15:52:19Z
format	Article
fulltext	НАУКОВI СТАТТI ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 3 – 15 УДК 532.525.2 ЧИССЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ЗАКРЫТОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОЛОСТИ С ДВИЖУЩЕЙСЯ ВЕРХНЕЙ КРЫШКОЙ Е. В. Б Р У ЯЦ К И Й, А. Г. К ОСТ ИН Институт гидромеханики НАН Украины, Киев Получено 10.09.2008 Универсальный дискретный аналог системы нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных скорость- давление применен для решения задачи о вынужденном движении несжимаемой жидкости внутри замкнутой пря- моугольной полости под воздействием движущейся верхней крышки. Численно исследованы особенности полей давления и возникающих рециркуляционных вихревых течений в полости в зависимости от числа Рейнольдса при заданной геометрии полости. Приведены результаты численных расчетов, иллюстрирующие эффективность и воз- можности предлагаемого подхода. Унiверсальний дискретний аналог системи нестацiонарних рiвнянь Нав’є-Стокса у змiнних швидкiсть-тиск засто- сований для розв’язання задачi про змушений рух нестисливої рiдини всерединi замкнутої прямокутної порожнини пiд дiєю верхньої кришки, яка рухається. Чисельно дослiдженi особливостi полiв тиску i виникаючих рециркуля- цiйних вихрових течiй в порожнинi в залежностi вiд числа Рейнольдса при заданiй геометрiї порожнини. Приведенi результати чисельних розрахункiв, якi iлюструють ефективнiсть i можливiсть запропонованого пiдходу. Universal discrete analogue of the non-stationary Navier-Stokes equation system in velocity-pressure variables is used to solve a problem on forced motion of incompressible fluid within a rectangular cavity affected by a moving upper wall. Peculiarities of pressure fields and arising recirculation vortical flows in the cavity are investigated numerically depending on the Reynolds number under a given geometry of the cavity. Numerical results are presented which illustrate effectiveness and a potential of the described approach. ВВЕДЕНИЕ В настоящее время для численного решения урав- нений Навье-Стокса существуют и используются несколько десятков разновидностей разностных схем. Построение разностных схем для системы уравнений Навье-Стокса в случае несжимаемой жидкости вызывает определенные трудности из- за отсутствия явного уравнения для определе- ния давления. Поэтому большая часть разностных схем разработана для варианта, когда исходная система уравнений записана в переменных функ- ция тока – вихрь. Главное преимущество такого подхода состоит в возможности исключения дав- ления из системы исходных уравнений. А глав- ный недостаток связан с трудностью постановки граничных условий для вихря скорости и отсут- ствие возможности обобщения этого подхода на трехмерные задачи и турбулентные режимы те- чения. Поэтому более предпочтительным являе- тся вариант использования естественных физи- ческих переменных скорость-давление. Однако в этом случае возникают сложности не только опре- деления давления, но и согласования полей скоро- сти и давления. При использовании переменных скорость-давле- ние можно выделить две группы методов. К пер- вой группе относятся разновидности метода "мар- керов и ячеек" (МАС), предложенного Ф.Х. Хар- лоу [1, 2]. Он характерен тем, что для построе- ния разностной схемы используется разнесенная сетка. Одной из ключевых идей метода МАС явля- ется использование уравнения неразрывности при получении дискретного уравнения типа Пуассона для давления. В первых версиях такого подхода возникали большие трудности с граничными усло- виями на твердых поверхностях. Позднее в методе SMAC этот недостаток удалось преодолеть [3]. В дальнейшем эта схема развивалась и други- ми авторами. Особенно эффективной для реше- ния задач динамики вязкой несжимаемой жидко- сти оказалась схема расщепления по физическим процессам, предложенная и развитая О. М. Бе- лоцерковским, В. Н. Гущиным, В. В. Щеннико- вым [4–6]. Согласно этому подходу процесс реше- ния системы уравнений Навье-Стокса основывае- тся на расщеплении временного цикла и использо- вании трехэтапного итерационного метода. Согла- сно этой схеме вначале рассчитывается промежу- точное поле скоростей из уравнений движения без учета градиента давления. Затем при этих значе- ниях скоростей решается уравнение Пуассона для давления и далее определяются новые значения скоростей с учетом вклада от полученного давле- ния. Ко второй группе методов относится семей- c© Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин, 2009 3 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 3 – 15 ство алгоритмов типа SIMPLE. Согласно этому подходу для дискретизации исходных уравнений используется метод "конечных объемов"на разне- сенных сетках. Этот метод предложен и детально развит С. В. Патанкаром и П. В. Сполдингом [8, 9]. К этой группе относятся такие процедуры ре- шения и коррекции давления, как SIMPLEС, PI- SO, SIMPLER. Они характеризуются тем, что на каждом шаге по времени организуется итераци- онная процедура решения дискретных уравнений на установление с целью получения стационарных решений. Характерной особенностью методов, использую- щих физические переменные скорость–давление, является использование разнесенных сеток [7, 8, 9], что несколько осложняет решение, но позволя- ет согласовать поля скоростей и давления. Недавно в нашей работе [10] предложен эффе- ктивнй метод численного решения полных неста- ционарных уравнений Навье-Стокса в физических переменных скорость-давление для несжимаемой жидкости. Общий принцип решения основывае- тся на синтезе идей МАС метода Ф. Х. Харлоу [1, 2] и модифицированного варианта SIMPLE ме- тода С.В. Патанкара, П.В. Сполдинга [8, 9]. Осо- бенность метода состоит в использовании разне- сенных сеток и построении универсального дис- кретного аналога уравнений ламинарного тече- ния. В указанной работе этот аналог тестировался на примере расчета течения на начальном участ- ке стабилизации внутри плоского прямолинейного канала [10]. Данная статья посвящена дальнейшей аппроба- ции полученного универсального дискретного ана- лога ламинарных течений для расчетов более сло- жных течений, содержащих возвратные рецирку- ляционные области течения. Для этой цели важно выбрать подходящую модельную задачу, которая бы уже решалась как в переменных функция тока – вихрь, так и в переменных скорость–давление. В качестве такой модельной задачи удобно рассмо- треть течение в прямоугольной полости под во- здействием движущейся верхней крышки. Инте- рес к этой задаче обусловлен тем, что это тече- ние обладает набором структурных особенностей возвратных и рециркуляционных вихревых тече- ний. Кроме того, локализация течения в прямо- угольной расчетной области практически снима- ет вопрос о постановке граничных условий для скорости в силу очевидных условий прилипания и непротекания жидкости на границах расчетной области. Таким образом, цель данной работы заключае- тся в проверке эффективности предлагаемого уни- Рис. 1. Область интегрирования и граничные условия версального дискретного аналога системы полных нестационарных уравнений Навье-Стокса в пере- менных скорость–давление для расчета вихревых циркуляционных течений в замкнутой прямоу- гольной полости. Задача о течении в квадратной полости рассмотрена нами раньше. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ Рассматривается двумерная задача о движени вязкой жидкости в замкнутой прямоугольной по- лости с движущейся верхней крышкой. Горизон- тальный размер расчетной области АВСD обозна- чим через l, а вертикальный – через h. Принципи- альная схема рассматриваемого течения и приня- тые обозначения представлены на pис. 1. Начало декартовой прямоугольной системы координат O расположено в левом нижнем углу. Специфика задачи состоит в том, что три гра- ничные стенки AB, AD, DC расчетной области ABCD неподвижны, а четвертая верхняя стенка BC движется с постоянной скоростью u0 слева на- право, как показано на рис. 1. Предполагается, что в начальный момент вре- мени t = 0 жидкость всюду покоится, а при t > 0 верхняя крышка BC приходит в движение со скоростью u0. Движение жидкости будем опи- сывать нестационарными двумерными уравнени- ями Навье-Стокса в переменных скорость – дав- ление. В качестве масштаба длины выберем вер- тикальный размер полости h, скорость движения верхней крышки u0 примем за масштаб скорости, за масштаб времени примем величину t0 = h/u0, а за масштаб давления примем скоростной напор ρ0u 2 0. Тогда в безразмерных переменных систему не- стационарных уравнений движения Навье-Стокса для рассматриваемого течения в прямоугольной 4 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 3 – 15 декартовой системе координат можно записать в следующей консервативной тензорной форме [11]: ∂Vi ∂τ = − ∂P ∂Xi + ∂ ∂Xk × × [ −ViVk + 1 Re ( ∂Vi ∂Xk + ∂Vk ∂Xi )] , (1) ∂Vk ∂Xk = 0. Здесь по повторяющемуся индексу подразумевае- тся суммирование. Такая компактная запись исхо- дных уравнений позволяет рассматривать и тре- хмерные течения. Для рассматриваемой двумер- ной задачи i, k = 1, 2; X1 = X; X2 = Y ; V1 = U ; V2 = V. При этом U = u/u0, V = v/u0, X = x/h, Y = y/h, τ = tu0/h, P = p/ρ0u 2 0. Основным параметром задачи служит число Рейнольдса Re = u0h/ν . Заметим, что давление P в рассматриваемой системе уравнений не является основной переменной. Для завершения постанов- ки задачи должны быть заданы граничные усло- вия. В данной задаче они состоят в том, что на твердых поверхностях должны выполняться оче- видные условия прилипания и непротекания жид- кости. Следовательно, на границах области имеем: U \|AB = 0; U \|BC = 1; U \|CD = 0; U \|AD = 0; (2) V \|AB = 0; V \|BC = 0; V \|CD = 0; V \|AD = 0. (3) В процессе решения задачи необходимо рассчи- тать установившуюся картину полей скорости и давления в зависимости от числа Рейнольдса. 2. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД Общий принцип используемого метода решения уравнений Навье-Стокса рассмотрен в нашей ра- боте [10]. Решение системы исходных нестационар- ных уравнений (1) выполняется методом конечных разностей на установление. Конечно-разностные аналоги рассматриваемых уравнений строятся на пятиточечном шаблоне в соответствии с извест- ной схемой "крест" [12]. Из-за сложностей со- гласования полей скорости и давления конечно- разностные аппроксимации реализуются на сетке с разнесенной структурой расположения сеточных узлов для зависимых переменных. Это означает, что компоненты скоростей и давления определяю- тся в разных узлах. Такой подход аналогичен ме- тоду МАС [1] и дает определенные преимущества при расчете поля давления. Для дискретизации исходных уравнений в про- странстве (X, Y, τ) вводится основная прямоуголь- ная сетка S0(Xj , Yi, τ n), состоящяя из точек Xj = j · ∆x, j = 1, ..., N ; Yi = i · ∆y, i = 1, ..., M ; τn = n · ∆τ, τ = 1, ..., Nτ , и две вспомогательные полуцелые сетки S1 и S2, S1(Xj+1/2, Yi, τ n), Xj+1/2 = (j + 1/2) · ∆x, Yi = i · ∆y, S2(Xj , Yi+1/2, τ n), Xj = j · ∆x, Yi+1/2 = (i + 1/2) · ∆y. В соответствии с выбраным сеточным шабло- ном, вводятся следующие обозначения: P (Xj , Yi, τ n) = P n j,i, U((j + 1/2) · ∆x, i · ∆y, n · ∆τ ) = Un j+1/2,i, V (j · ∆x, (i + 1/2) · ∆y, n · ∆τ ) = V n j,i+1/2. Вся расчетная область разбивается на прямо- угольные ячейки. Схема расположения ячеек и узлов приведена на рис. 1 в работе [10]. В узлах основной сетки расположены сеточные функции давления Pj,i. Сеточные функции компонентов скорости находятся на серединах граней контроль- ных объемов, то есть в узлах вспомогательных по- луцелых сеток S1(j+1/2, i) и S2(j, i+1/2) соответ- ственно. Шаги сеток hxj и hyi могут быть как рав- номерными, так и переменными в обоих направле- ниях сетки: ∆x = 0, 5(hxj + hxj+1), ∆y = 0, 5(hyi + hyi+1), hx1 = (hxj + hxj+1), hy1 = (hyi + hyi+1). Внешние границы расчетной области выбираю- тся с учетом совпадения граней внутренних при- граничных ячеек с физическими границами обла- сти, где задаются граничные условия для ком- понентов скорости. При таком подходе сеточные функции давления находятся внутри расчетной области и не попадают на физическую границу Dh, что позволяет согласовать поля скорости и давления. Для конечно-разностной аппроксимации исхо- дных уравнений движения и неразрывности Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 5 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 3 – 15 используются обычные схемы первого порядка то- чности для производных по времени и второго по- рядка точности для производных по пространс- тву. При этом диффузионные слагаемые аппро- ксимируются по схеме с центральными разностя- ми, а для конвективных слагаемых используются схемы с односторонними разностями "против по- тока". Особенностью дискретизации является то, что конечно-разностные аппроксимации центри- руются в соответствии с выбранным шаблоном. При этом сеточные индексы для зависимых пере- менных оказываются сдвинутыми. Подстановка конечно-разностных формул в исходную систему уравнений движения после про- стых преобразований позволяет записать их дис- кретные аналоги для X и Y направлений соответ- ственно. Полученные разностные алгебраические уравнения, разрешенные относительно соответ- ствующих компонент скорости Un+1 j+1/2,i и V n+1 j,i+1/2 , и дополненные уравнением неразрывности, преобра- зуются к следующему конечно-разностному виду: Un+1 j+1/2,i = [ ∆y · (P n+1 j,i − P n+1 j+1,i) + GU j+1/2,i ] dU j+1/2,i , (4) V n+1 j,i+1/2 = [ ∆x · (P n+1 j,i − P n+1 j,i+1) + GV j,i+1/2 ] dV j,i+1/2 , (5) Un+1 j+1/2,i − Un+1 j−1/2,i ∆x + V n+1 j,i+1/2 − V n+1 j,i−1/2 ∆y = 0, (6) где выражения G и d с соответствующими нижни- ми и верхними индексами являются известными величинами по данным с предыдущего шага. Полученная система уравнений связывает ме- жду собой искомые компоненты скорости и дав- ления. Однако эта система пока содержит неиз- вестные слагаемые с градиентом давления. По- этому для получения недостающего уравнения по определению давления используется уравнение не- разрывности (6). Учитывая его структуру, пони- зим предварительно в выражениях для скоростей Un+1 j+1/2,i и V n+1 j,i+1/2 индексы j и i на единицу со- ответственно. Тогда получим необходимые выра- жения для Un+1 j−1/2,i и V n+1 j,i−1/2 . Подставляя соо- тветствующие выражения для компонентов ско- рости в уравнения неразрывности (6), получим выражение, в котором неизвестными величина- ми являются лишь сеточные функции давления. Выполнив простые алгебраические преобразова- ния для функции давления в узле с номером (j, i) и окружающих его узлах, получаем следующий конечно-разностный аналог для определения дав- ления в виде замаскированного разностного урав- нения Пуассона: dP j,iP n+1 j,i + cP 1 P n+1 j+1,i + cP 0 Pj−1,i+ (7) +bP 1 P n+1 j,i+1 + bP 0 P n+1 j,i−1 = fP (j, i), где соответствующие коэффициенты дискретиза- ции и свободный член fp(j, i) – известные вели- чины по результатам предыдущего шага. В итоге полученное уравнение Пуассона (7) для давления заменяет уравнение неразрывности и решается на текущем временном слое. Приведенная система конечно-разностных алге- браических уравнений (4), (5) и (7) носит фунда- ментальный характер и является универсальным дискретным аналогом системы полных нестацио- нарных уравнений Навье-Стокса. Важной особен- ностью полученного разностного уравнения Пуас- сона (7) оказывается то, что благодаря исполь- зованию разнесенных сеток граничные условия для его решения не требуются, так как значе- ние давления в приграничных узлах может быть определено из уравнений движения в комбинации с граничными условиями для компонентов ско- ростей [13]. Решение полученной системы разно- стных алгебраических уравнений осуществляется известными итерационными методами. В настоя- щем методе компоненты скорости и давления ра- сщеплены так, что на любом этапе расчета решаю- тся уравнения относительно одной зависимой пе- ременной. Это упрощает применение стандартных методов решения интересующих нас систем ли- нейных алгебраических уравнений. Эффективным способом решения рассматриваемого двумерного разностного уравнения второго порядка для дав- ления является его редукция к двум одномерным системам уравнений второго порядка с трехдиаго- нальными матрицами, которые решаются методом "прогонки" [12]. В зарубежной литературе его ча- сто называют алгоритмом Томаса [14]. В данном методе расчеты проводятся для двух основных физических переменных – скорости и давления. Итерационный вычислительный процесс состоит из шагов по времени. В нача- ле каждого временного цикла предполагаются известными поля скорости и давления. Вычи- слительная процедура выполняется в следующей последовательности. При заданных на пре- дыдущем временном шаге значениях Un j+1/2,i и V n j,i+1/2 по соответствующим алгебраическим 6 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 3 – 15 формулам рассчитываются коэффициенты дис- кретизации GU j+1/2,i(U n, V n), GV j+1/2,i(U n, V n), dU j+1/2,i(U n, V n), dV j,i+1/2 (Un, V n), dP j,i, cP 1 , cP 0 , bP 1 , bP 0 , включая свободный член fp(j, i). Определив таким образом коэффициенты уравнения Пуассо- на, путем его решения находится поле давления P n+1 j,i . Далее зная коэффициенты дискретизации и поле давления P n+1 j,i , по уравнениям (4), (5), рассчитываются поля скорости Un+1 j+1/2,i, V n+1 j,i+1/2 на (n + 1) шаге. На этом первый временной цикл заканчивается и далее он повторяется. Задача решается на установление. Критерием окончания решения служит условие, когда максимальная разность между значениями искомых переменных на предыдущем и следующем временном шаге не превышает заданную величину ошибки ε. Используемая конечно-разностная схема аппро- ксимирует рассматриваемые уравнения с первым порядком точности по времени и со вторым поряд- ком точности по пространственным переменным 0(∆τ, h2), и можно показать, что она устойчива [7]. Шаг интегрирования по времени подбирался численным экспериментом в зависимости от чис- ла Рейнольдса. Важный момент расчетов – контроль за выпол- нением уравнения неразрывности. Описанный ал- горитм решения системы двумерных нестационар- ных уравнений Навье-Стокса реализован в виде компьютерной программы, которая позволяет ре- шать эволюционную задачу формирования во вре- мени полей скорости и давления вязкой несжи- маемой жидкости, возникающих в прямоуголь- ной полости под действием верхней движущейся крышки. 3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ Рассмотрим некоторые результаты расчетов структуры вынужденного течения жидкости в замкнутой прямоугольной полости с движущейся верхней крышкой. Как и следовало ожидать, искомые поля скорости и давления оказались функциями числа Рейнольдса и геометрических размеров полости. Основные численные расчеты были выполнены при соотношении сторон прямо- угольника L = l/h = 2 и L = 4 на равномерных сетках 50 × 100 и 50 × 200, хотя исследова- лись и другие варианты, включая переменность шага в обоих направлениях. Шаг по времени варьировался в зависимости от числа Рейнольдса. В качестве примера на рис. 2 приведены резуль- таты расчетов векторного поля скоростей в прямо- угольной полости с соотношением сторон L = 2, а на рис. 3 – для случая L = 4 при трех и че- тырех различных числах Рейнольдса (Re = 100, 400, 1000, 2000) соответственно. Эти рисунки на- глядно демонстрируют качественную и количе- ственную картину влияния числа Рейнольдса на кинематическую структуру течения в прямоуголь- ной полости при заданном соотношении ее сторон. Общая картина течения в рассматриваемых прямоугольных полостях в виде векторного поля скоростей, представленная на рис. 2 и 3, дополня- ется приведенными на рис. 4 и 5 расчетными ли- ниями равных скоростей. Здесь особенно отчетли- во видна сложная структура возникающих цирку- ляционных течений в зависимости от числа Рей- нольдса при заданной геометрии полости (L = 2 и L = 4). Анализ указанных рисунков показывает, что зо- на с наибольшей интенсивностью течения распо- ложена в верхней части расчетной области, при- легающей к границе ВС (см. рис. 1), где жидкость вовлекается в движение благодаря действию сил трения между верхней движущейся крышкой и жидкостью. Плотность расположения линий рав- ных скоростей характеризует интенсивность тече- ния в полости. Из-за движения верхней крышки слева направо общая картина вихревого поля ско- ростей несимметрична и центры вихрей смещены вправо. Верхние слои жидкости, прилегающие к движу- щейся крышке, при своем движении наталкиваю- тся на заднюю стенку СD и резко меняют свое направление, отклоняясь вниз и образуя как бы струйное течение. Далее этот поток наталкивае- тся на нижнюю стенку AD и снова изменяет свое направление, которое противоположно направле- нию движения крышки полости. Затем этот поток наталкивается на левую стенку АВ и вдоль нее поднимается вверх, где он снова увлекается жид- костью, контактирующей с верхней движущейся стенкой ВС. Таким образом, в прямоугольной по- лости при числах Re ≤ 400, как и в квадратной полости, образуется область устойчивого цирку- ляционного движения, направленного по часовой стрелке. Однако в отличие от квадратной полости, где образуется большой вихрь, занимающий почти всю полость, в прямоугольных полостях образую- щиеся вихри располaгаются в правой части поло- сти и занимают примерно третью ее часть. С рос- том числа Рейнольдса эта вихревая область уве- личивается, а при числе Re ≥ 1000 картина тече- ния качественно изменяется. Внизу полости левее основного вихря возникает вторая область вихре- вого течения со скоростями движения жидкости, Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 7 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 3 – 15 Рис. 2. Расчетное векторное поле скоростей в прямоугольной полости (L = 2) при трех различных числах Рейнольдса (Re=100, 400, 1000) 8 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 3 – 15 Рис. 3. Расчетное векторное поле скоростей в прямоугольной полости (L = 4) при четырех различных числах Рейнольдса (Re=100, 400, 1000, 2000) Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 9 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 3 – 15 Рис. 4. Расчетные изолинии равных скоростей в прямоугольной полости (L = 2) при трех различных числах Рейнольдса (Re=100, 400, 1000) 10 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 3 – 15 Рис. 5. Расчетные изолинии равных скоростей в прямоугольной полости (L = 4) при четырех различных числах Рейнольдса (Re=100, 400, 1000, 2000) Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 11 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 3 – 15 Рис. 6. Расчетные изолинии равных давлений (изобары) в прямоугольной полости (L = 2) при трех различных числах Рейнольдса (Re=100, 400, 1000) 12 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 3 – 15 Рис. 7. Расчетные изолинии равных давлений (изобары) в прямоугольной полости (L = 4) при четырех различных числах Рейнольдса (Re= 100, 400, 1000, 2000) Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 13 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 3 – 15 меньшими, чем в основном вихре, с направлением вращения противоположным вращению основного вихря. Анализ рис. 4 и 5 показывает, что при чи- слах Re ≥ 1000 наблюдается дробление течения. В этом случае в левой части полости образуются мелкие вихри, при этом в основной левой части по- лости движение безвихревое и его интенсивность незначительная. Поскольку исходные уравнения движения за- писаны и решаются в переменных скорость– давление, то это позволяет в процессе решения сразу рассчитывать и поле давления в прямоу- гольной полости. В качестве примера на рис. 6 и 7 представлены результаты расчетов поля давле- ния в виде изобар для различных чисел Рейнольд- са при двух вариантах геометрии полости: L = 2 и L = 4. Расчеты позволяют отметить, что в це- лом изобары хорошо коррелируют с расчетными изолиниями равных скоростей, приведенными на рис. 4 и 5. Особенно неплохое соответствие, незави- симо от величины параметра L, наблюдается при числах Рейнольдса Re ≥ 400. В этом случае зоны наименьших значений давления совпадают с ви- хревыми зонами скоростного поля циркуляцион- ных течений. Однако для чисел Re=100 для обеих прямоугольных полостей (L = 2 и L = 4) тако- го согласования линий изобар и изолиний равных скоростей не наблюдается. Изобары в этом случае имеют несколько иное распределение, которое но- сит характер не круговых, а вертикальных линий. Таким образом, при малых числах Рейнольдса в срединной части полости отмечается постоянство давления по вертикали. В то же время, в левом и правом верхних углах полости имеют место изо- линии как давлений, так и скоростей в форме де- формированных эллипсов. В целом расчетная картина полей скорости и давления в прямоугольных полостях качественно и количественно согласуется с известными пред- ставлениями [15]. В силу того, что в работе [15] за- дача решается в переменных функция тока–вихрь, а у нас в переменных скорость–давление, прямое сравнение результатов расчетов затруднительно. Однако в [15] на рис. 3 приведены расчетные про- фили горизонтальной скорости в среднем верти- кальном сечении полости, которые хорошо согла- суются с данными наших расчетных профилей. В целом расчетная картина полей скорости и давления в прямоугольных полостях качественно и количественно согласуется с известными пред- ставлениями [15]. ВЫВОДЫ В работе численно решена эволюционная задача формирования во времени поля скоростей и дав- лений, возникающих в прямоугольной полости под действием верхней движущейся крышки. Решение основано на использовании универсального дис- кретного аналога уравнений Навье-Стокса в пе- ременных скорость-давление. Применение разне- сенных сеток обеспечивает высокое качество мо- делирования конвективных вихревых течений в замкнутых полостях с различной геометрией при малых и умеренных числах Рейнольдса. Показано, что внутри прямоугольной полости формируется устойчивое циркуляционное течение, параметры которого зависят от числа Рейнольд- са и геометрических размеров полости. Циркуля- ция внутри полости развивается монотонно во вре- мени и асимптотически стремится к стационар- ному режиму. При увеличении числа Рейнольдса до чисел Re = 2000 картина течения в зависимо- сти от соотношения сторон прямоугольной поло- сти перестраивается от одновихревой к двухвихре- вой структуре. Координаты центров вихрей, дав- ление и локальные значения скорости на изолини- ях являются важными характеристиками рассма- триваемых течений. 1. Харлоу Ф. Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики/ Вычислительные мето- ды в гидродинамике. – М.: Мир, 1967. – C. 316–342. 2. Harlow F. H. Welch J. E. Numerical calculation of time-dependent viscouse incompressible flow of fluid with free surface // Phys. Fluids.– 1965.– 8.– P. 12. 2182–2189 3. Easton C. R. Homogeneous boundary conditions for pressure in MAC method // J. Comput. Phys.– 1972.– v. 9, № 2.– P. 375–379. 4. Белоцерковский О. М., Гущин В. А., Щенников В. В. Метод расщепления в применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости // ЖВМ и МФ.– 1975.– т. 15, N 1.– С. 197–207. 5. Гущин В. А., Щенников В. В. Об одном числен- ном методе решения уравнений Навье-Стокса // Ж. Выч. матем. и матем. физ.– 1974.– 14, N2.– С. 512–520. 6. Белоцерковский О. М.,Давыдов Ю. М. Метод кру- пных частиц в газовой динамике.Вычислительный эксперимент.– М.: Наукa, Физматлит, 1982.– 392 с. 7. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред.– М.: Наука, Физматлит, 1984.– 519 с. 8. Patancar S. V., Spolding P. V. Calculation Proccerdure for Heat, Mass, and Momentum Transfer in Theree-dimeneional Parabolic Flows // Int.j.Heat and Mass Transfer.– 1972.– 15.– P. 1787–1806. 9. Патанкар С. Численные методы решения задач те- плообмена и динамики жидкости.– М.: Энергоато- миздат, 1984.– 152 с. 14 Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 3 – 15 10. Бруяцкий Е. В., Костин А. Г., Никифорович Е. И., Розумнюк Н. В. Метод численного решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость- давление // Прикладна гiдромеханiка.– 2008.– T. 10(82), N 2.– С. 13–23. 11. Бруяцкий Е. В. Турбулентные стратифицирован- ные струйные течения.– Киев: Наукова думка, 1986.– 296 с. 12. Самарский А. А. Теория разностных схем.– М.: Наука, 1977.– 656 с. 13. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей // М.– Мир.– 1991.– P. 1.-501,2.-552. 14. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычи- слительная гидромеханика и теплообмен. – М.: Мир.– 1990.– Т. 1.– 384 c.; Т. 2.– 392 c. 15. Белов И. А., Исаев С. А. Циркуляционное движе- ние жидкости в прямоугольной каверне при сре- дних и высоких числах Рейнольдса // ПМТФ.– 1982.– N1.– С. 41–45. Е. В. Бруяцкий, А. Г. Костин 15
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87649
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1561-9087
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T15:52:19Z
publishDate	2009
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г. 2015-10-22T17:07:20Z 2015-10-22T17:07:20Z 2009 Численное исследование течения жидкости в закрытой прямоугольной полости с движущейся верхней крышкой / Е.В. Бруяцкий, А.Г. Костин // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 1. — С. 3-15. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87649 532.525.2 Универсальный дискретный аналог системы нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление применен для решения задачи о вынужденном движении несжимаемой жидкости внутри замкнутой прямоугольной полости под воздействием движущейся верхней крышки. Численно исследованы особенности полей давления и возникающих рециркуляционных вихревых течений в полости в зависимости от числа Рейнольдса при заданной геометрии полости. Приведены результаты численных расчетов, иллюстрирующие эффективность и возможности предлагаемого подхода. Унiверсальний дискретний аналог системи нестацiонарних рiвнянь Нав'є-Стокса у змiнних швидкiсть-тиск застосований для розв'язання задачi про змушений рух нестисливої рiдини всерединi замкнутої прямокутної порожнини пiд дiєю верхньої кришки, яка рухається. Чисельно дослiдженi особливостi полiв тиску i виникаючих рециркуляцiйних вихрових течiй в порожнинi в залежностi вiд числа Рейнольдса при заданiй геометрiї порожнини. Приведенi результати чисельних розрахункiв, якi iлюструють ефективнiсть i можливiсть запропонованого пiдходу. Universal discrete analogue of the non-stationary Navier-Stokes equation system in velocity-pressure variables is used to solve a problem on forced motion of incompressible fluid within a rectangular cavity affected by a moving upper wall. Peculiarities of pressure fields and arising recirculation vortical flows in the cavity are investigated numerically depending on the Reynolds number under a given geometry of the cavity. Numerical results are presented which illustrate effectiveness and a potential of the described approach. ru Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Численное исследование течения жидкости в закрытой прямоугольной полости с движущейся верхней крышкой Numerical investigation of fluid motion in closed rectangular cavity with moving upper lid Article published earlier
spellingShingle	Численное исследование течения жидкости в закрытой прямоугольной полости с движущейся верхней крышкой Бруяцкий, Е.В. Костин, А.Г.
title	Численное исследование течения жидкости в закрытой прямоугольной полости с движущейся верхней крышкой
title_alt	Numerical investigation of fluid motion in closed rectangular cavity with moving upper lid
title_full	Численное исследование течения жидкости в закрытой прямоугольной полости с движущейся верхней крышкой
title_fullStr	Численное исследование течения жидкости в закрытой прямоугольной полости с движущейся верхней крышкой
title_full_unstemmed	Численное исследование течения жидкости в закрытой прямоугольной полости с движущейся верхней крышкой
title_short	Численное исследование течения жидкости в закрытой прямоугольной полости с движущейся верхней крышкой
title_sort	численное исследование течения жидкости в закрытой прямоугольной полости с движущейся верхней крышкой
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87649
work_keys_str_mv	AT bruâckiiev čislennoeissledovanietečeniâžidkostivzakrytoiprâmougolʹnoipolostisdvižuŝeisâverhneikryškoi AT kostinag čislennoeissledovanietečeniâžidkostivzakrytoiprâmougolʹnoipolostisdvižuŝeisâverhneikryškoi AT bruâckiiev numericalinvestigationoffluidmotioninclosedrectangularcavitywithmovingupperlid AT kostinag numericalinvestigationoffluidmotioninclosedrectangularcavitywithmovingupperlid

Численное исследование течения жидкости в закрытой прямоугольной полости с движущейся верхней крышкой

Institution

Similar Items