Сепарация частиц в гранулированном потоке
В данной работе исследуется процесс сепарирования твердых частиц в стационарном потоке гранулированной среды в плоском наклонном лотке. Для описания динамики основного потока используется реологическая модель Сэвиджа. Плотность частиц примеси считается малой, частицы между собой не взаимодействущие....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Прикладна гідромеханіка |
|---|---|
| Datum: | 2009 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2009
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87653 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Сепарация частиц в гранулированном потоке / И.И. Иевлев // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 1. — С. 69-72. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859678070337699840 |
|---|---|
| author | Иевлев, И.И. |
| author_facet | Иевлев, И.И. |
| citation_txt | Сепарация частиц в гранулированном потоке / И.И. Иевлев // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 1. — С. 69-72. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладна гідромеханіка |
| description | В данной работе исследуется процесс сепарирования твердых частиц в стационарном потоке гранулированной среды в плоском наклонном лотке. Для описания динамики основного потока используется реологическая модель Сэвиджа. Плотность частиц примеси считается малой, частицы между собой не взаимодействущие. Динамика этих частиц осуществляется под действием поля сил тяжести и воздействия на них основного потока. Численные результаты приведены в виде графиков - траекторий движения частиц.
У даній роботі досліджуїться процес сепарування твердих часток у стаціонарному потоці гранульованого середовища в плоскому похилому лотку. Для опису динаміки основного потоку використовуїться реологична модель Сэвиджа. Щільність часток домішки вважаїться малою, частки між собою не взаїмодіють. Динаміка цих часток здійснюється під впливом поля сил ваги і впливу на них основного потоку. Чисельні результати наведені у вигляді графіків - траїкторій руху часток.
Separation's process of the firm particles in a stationarity stream of the granulated environment on the inclined tray is studying in this work. For the description of dynamics of the basic stream is used a Savig's reological model. Density of particles is considered small, the particles among themselves isn't acting. Dynamics of these particles is carried out under the influence of a field of a gravity and influences on them of the basic stream. Numerical results are giving in the form of the graphics - the trajectories of the particles.
|
| first_indexed | 2025-11-30T16:52:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
КОРОТКI ПОВIДОМЛЕННЯ ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 69 – 72
УДК 532+533.2
СЕПАРАЦИЯ ЧАСТИЦ В ГРАНУЛИРОВАННОМ ПОТОКЕ
И. И. И ЕВ Л ЕВ
Харьковский национальный университет им. В.Н.Каразина, Харьков
Получено 30.10.2008
В данной работе исследуется процесс сепарирования твердых частиц в стационарном потоке гранулированной среды
в плоском наклонном лотке. Для описания динамики основного потока используется реологическая модель Сэвиджа.
Плотность частиц примеси считается малой, частицы между собой не взаимодействущие. Динамика этих частиц
осуществляется под действием поля сил тяжести и воздействия на них основного потока. Численные результаты
приведены в виде графиков – траекторий движения частиц.
У данiй роботi дослiджується процес сепарування твердих часток у стацiонарному потоцi гранульованого сере-
довища в плоскому похилому лотку. Для опису динамiки основного потоку використовується реологична модель
Сэвиджа. Щiльнiсть часток домiшки вважається малою, частки мiж собою не взаємодiють. Динамiка цих часток
здiйснюґться пiд впливом поля сил ваги i впливу на них основного потоку. Чисельнi результати наведенi у виглядi
графiкiв – траєкторiй руху часток.
Separation’s process of the firm particles in a stationarity stream of the granulated environment on the inclined tray is
studying in this work. For the description of dynamics of the basic stream is used a Savig’s reological model. Density of
particles is considered small, the particles among themselves isn’t acting. Dynamics of these particles is carried out under
the influence of a field of a gravity and influences on them of the basic stream. Numerical results are giving in the form
of the graphics - the trajectories of the particles.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящей работе исследуется динамика при-
меси в виде твердых частиц в потоке гранулиро-
ванной среды, движущейся по наклонному лотку
в поле сил тяжести. Рассмотренная задача пред-
ставляет интерес в связи с изучением сепарации
примеси в технологических устройствах [1]. В дан-
ном случае двухкомпонентная среда состоит из не-
сущей компоненты в виде гранулированной среды
и дисперсной среды – твердых частиц. Исследо-
вание динамики таких сред является актуальным
как с теоретической точки зрения, так и прикла-
дной [1–3]. Из-за сложной формы частиц, входя-
щих в обе компоненты, и их характера взаимодей-
ствия между собой возникают определенные про-
блемы при формулировке реологических соотно-
шений [2, 5]. Реология существенно зависит от ха-
рактера движения среды. В настоящей работе рас-
сматриваются "быстрые"движения, когда приме-
нимы соотношения Сэвиджа [5]. Уравнения дви-
жения многофазных сред, опирающиеся на общие
законы динамики, приведены в работе [6]. Здесь
предполагается, что объемная плотность ν2 ча-
стиц примеси мала по сравнению с плотностью
частиц ν несущей фазы. Поэтому влиянием при-
меси на движение гранулированного потока мож-
но пренебречь. Сама же дисперсная фаза может
рассматриваться как ансамбль невзаимодействую-
щих между собой частиц и исследование динами-
ки примеси фактически сводится к рассмотрению
динамики отдельной частицы в потоке гранулиро-
ванной среды.
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА
ЗАДАЧИ
Будем считать, что частицы примеси имеют
одинаковую сферическую фому радиуса a. Отли-
чие от сферической формы можно учесть эмпири-
ческим коэффициентом η. Тогда основную систе-
му уравнений двухфазной среды можно записать
в виде [6,7]
∂ν
∂t
+ div νv1 = 0, (1)
ρ0
1ν
dv1
dt
= divσ̂ + ρ0
1ν g, (2)
4
3
π(ηa)3ρ0
2
dv2
dt
=
4
3
π(ηa)3ρ0
2geg+
+6πµηa(v1 − v2) − 4
3
π(ηa)3divσ̂0+
+ρ0
1νπ(ηa)3KMω × (v1 − v2),
(3)
где ν – объемная плотность несущей фазы; ρ0
i
– плотность материала частиц; vi – скорость i-
той фазы; σ̂ – тензор напряжений; g – массовые
силы, действующие на 1-ю (несущую) фазу; eg
– единичный вектор, определяющий направление
силы тяжести; ω = rotv/2; σ̂0 – "равновесная"
часть тензора напряжений в несущей среде (см.
ниже); KM – феноменологический коэффициент
силы Магнуса.
Здесь в правой части уравнения (3) первое сла-
гаемое представляет собой силу тяжести, действу-
ющую на частицу. Второе слагаемое определяет
силу сопротивления Стокса, а третье и четвертое
– силы Архимеда и Магнуса соответственно [6].
c© И. И. Иевлев, 2009 69
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 69 – 72
В случае "быстрых" движений гранули-
рованной среды воспользуемся реологическими
соотношениями Сэвиджа [5]. Тензор напряжений
разбивается на две части: "равновесную" σ̂0 и
"неравновесную" σ̂v:
σ̂ = σ̂0 + σ̂v, (4)
где
σ̂0 = αP̂ =
= α
[(
1
k(ν − ν0)
− 1
)
|∇ν|2 δ̂ + 2∇ν ⊗∇ν
]
;
(5)
σ̂v = m0T̂ = m0
4ν
νb − ν
√
I2(V̂ ) V̂ , (6)
α, k, m0 – эмпирические константы; νb – объемная
плотность частиц несущей фазы при их плотной
упаковке; P̂ и T̂ – тензоры второго ранга, стоящие
сомножителями при α и m0 в соотношениях (5) и
(6) соответственно; V̂ – тензор скоростей деформа-
ций; I2(V̂ ) – второй инвариант тензора скоростей
деформаций.
Выберем в качестве масштабов линейного раз-
мера L (глубину лотка), времени
√
L/g, скорости√
Lg, массы ρ0
1
L3. Приведем все переменные к без-
размерному виду. Тогда уравнение (1) по форме
остается прежним, а уравнения (2) и (3) приобре-
тут следующий вид:
ν
dv1
dt
= −Eudiv P̂ + Re−1div T̂ + νeg, (7)
dv2
dt
= eg +
9
ā2Re
D
ν
νb − ν
√
I2(V̂ )(v1 − v2)−
−EuD div P̂ +
3
4
D KM ν ω × (v1 − v2),
(8)
где Re = ρ0
1L
2m−1
0
– число Рейнольдса; Eu =
= α
{
ρ0
1gL3
}
−1
– число Эйлера; D = ρ0
1/ρ0
2, ā =
= a/L.
Граничные условия ставятся на твердой стенке
S и свободной поверхности Γ. На S они соответ-
ствуют условию непротекания
v1 · n = 0 (9)
и равенству касательных напряжений силам тре-
ния и сопротивления [4]
|n · σ̂ · τ | = fΣ |n · σ̂ · n| + DΣ |vτ | , (10)
где fΣ – коэффициент трения гранулированной
среды о стенку [8]; DΣ – коэффициент сопротив-
ления [9]; n – нормаль к поверхности; τ – еди-
ничный касательный к поверхности вектор, опре-
деляющий направление вектора скорости на S.
На свободной поверхности Γ имеет место условие
отсутствия напряжения
n · σ̂ = 0, (11)
n – нормаль к поверхности Γ.
2. ПЛОСКИЙ ПОТОК ГРАНУЛИРОВАН-
НОЙ СРЕДЫ В НАКЛОННОМ ЛОТКЕ
Пусть плоский лоток направлен под углом θ к
горизонту. Рассмотрим стационарный поток по-
стоянной глубины h, движущийся под действием
силы тяжести. Будем считать поле скоростей сре-
ды одномерным. Введем декартову систему коор-
динат так, чтобы ось Ox была направлена вдоль
лотка вниз, а ось Oy была бы перпндикулярна к
дну лотка. Тогда векторное поле скоростей будет
иметь одну ненулевую составляющую и вместе с
объемной плотностью ν несущей фазы будет зави-
сеть только от переменной y:
v1 = (U(y), 0, 0), ν = ν(y). (12)
В этом случае тензоры P̂ и V̂ имеют простую стру-
ктуру
Pxx = Pzz = EuΦν ′ 2, Pyy = EuΨν ′ 2,
Vxy = Vyx =
1
2
U ′,
(13)
(остальные компоненты тензоров равны нулю).
Здесь приняты обозначения: () ′ – дифференциро-
вание по переменной y;
Φ =
1
k(ν − ν0)
− 1, Ψ = Φ + 2. (14)
Тензор T̂ будет иметь следующие ненулевые ком-
поненты L:
Txy = Tyx = Re−1 ν
ν − ν0
|U ′|U ′. (15)
В этом случае уравнения движения потока будут
представлены двумя обыкновенными дифферен-
циальными уравнениями
d
dy
(
Ψν ′ 2
)
= −Eu−1 cos θ,
d
dy
(
ν
νb − ν
U ′2
)
= −Re sin θ.
(16)
Граничные условия после простых преобразова-
ний примут вид:
U(0) = ReΣ (sin θ − fΣ cos θ) ,
ν(1) = ν0 , ν ′(1) = 0 , U ′(1) = 0,
(17)
где
70 И. И. Иевлев
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 69 – 72
Рис. 1. Распределение плотности ν и скорости U несущей фазы по глубине слоя
Рис. 2. Траектории движения частиц примеси
ReΣ =
ρ0
1
√
gh
DΣ
.
Из первого соотношения граничного условия
(17) вытекает необходимое условие возникновения
стационарного движения потока tg θ > fΣ.
3. ДИНАМИКА ПРИМЕСИ
Динамика частицы примеси описывается ве-
кторным уравнением (8). Представим скорость ча-
стицы v2 в виде суммы v1 + w = (U + u, v, 0), где
w является относительной скоростью. Пусть по-
ложение частицы определяется радиус-вектором
r = (X, Y, 0) так, что dr/dt = v2. Тогда урав-
нение (8) сводится к системе двух обыкновенных
дифференциальных уравнений относительно не-
известных X, Y :
И. И. Иевлев 71
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 69 – 72
Ẍ = sin θ + U ′Ẏ − 9
ā2 Re
D
νU ′
νb − ν
(
Ẋ − U
)
+
+
3
8
DKM νU ′ Ẏ ,
Ÿ = (D − 1) cos θ − 9
ā2 Re
D
νU ′
νb − ν
Ẏ +
+
3
8
DKM νU ′
(
Ẋ − U
)
.
(18)
В качестве начальных условий примем значения
координат и скорости частицы при t = 0:
X(0) = 0, Y (0) = y0 (0 < y0 < 1),
Ẋ(0) = U(y0), Ẏ (0) = 0.
(19)
4. ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ
Уравнения краевой задачи (17), (18) допускают
первые интегралы, после определения которых ра-
зыскиваемые функции находятся численным ин-
тегрированием. Результаты вычислений представ-
лены на рис. 1 в виде графиков – эпюр распре-
деления объемной плотности ν и скорости U по
y, с указанием соответствующих значений пара-
метров задачи. Видно, что графики соответствуют
физическому смыслу решения – плотность среды
растет, а скорость уменьшается с глубиной слоя.
При этом с ростом угла наклона лотка градиент
плотности ν убывает, а градиент скорости U воз-
растает.
После определения характеристик несущего по-
тока разыскиваются траектории движения частиц
примеси численным решением задачи Коши (18),
(19). Соответствующие графики приведены на
рис. 2. Все расчеты проводились для ā=0.2.
Первая пара графиков рис. 2 отражает влияние
силы Архимеда на плавучесть частиц примеси –
легкие частицы всплывают, тяжелые тонут. Вто-
рая пара графиков этого рисунка характеризует
влияние силы Магнуса. Эта сила при незначитель-
ных скоростях основного потока способствует опу-
сканию частиц на дно лотка. Увеличение скорости
потока и его градиента в направлении оси y приво-
дит к появлению обратного явления – всплывания
тяжелых частиц (третья пара графиков рисунка).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Движение частиц примеси в потоке гранулиро-
ванной среды носит сложный характер, что об-
условлено многими факторами. Расчеты говорят о
том, что процессом сепарирования твердых частиц
можно управлять, в частности, с помощью изме-
нения угла наклона лотка. В работе, конечно, учи-
тываются не все возможные факторы, влияющие
на динамику указанной двухфазной среды. Крите-
рием проверки достоверности результатов должен
служить эксперимент. Однако практически экспе-
рименты на данную тему отсутствуют в силу сло-
жности их проведения [10].
1. Гортинский В.В., Демский А.Б., Борискин
М.А. Процессы сепарирования на зерно-
перерабатывающих предприятиях.– М.: Колос,
1980.– 304 с.
2. Goldhirsch I., Sela N. Origin of normal stress fferences
in rapid granular flow // Physical Review E.– 1996.–
vol. 54, num. 4.– P. 4458–4464.
3. Миляускас Г. Особенности процессов перено-
са в полидисперсных излучающих потоках //
Пром.теплотехника.– 2001.– 23, № 1.– С. 115–122.
4. Иевлев И.И. К динамике гранулированных сред в
наклонных лотках // Прикладна гiдромеханiка.–
2003.– Том 5(77), № 3.– С. 41–47.
5. Сэвидж С. Гравитационное течение несвязанных
гранулированных материалов/ Механика гранули-
рованных сред: Теория быстрых движений.– М.:
Мир, 1985.– 146 с.
6. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных
сред.– М.: Наука, 1978.– 336 с.
7. Соу С. Гидродинамика многофазных систем.– М.:
Мир, 1971.– 536 с.
8. Зенков Р.Л. Механика насыпных грузов.– М.: Ма-
шиностроение, 1964.– 251 с.
9. Константинов Ю.М. Гидравлика.– Киев: Вища шк.,
1988.– 398 с.
10. Бэгнолд Р. Эксперименты со взвешенной суспен-
зией больших твердых сфер в ньютоновской жид-
кости под действием сдвига/ В кн. Механика грану-
лированных сред: Теория быстрых движений.– М.:
Мир, 1985.– 44-63 с.
72 И. И. Иевлев
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87653 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T16:52:38Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Иевлев, И.И. 2015-10-22T17:14:15Z 2015-10-22T17:14:15Z 2009 Сепарация частиц в гранулированном потоке / И.И. Иевлев // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 1. — С. 69-72. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87653 532+533.2 В данной работе исследуется процесс сепарирования твердых частиц в стационарном потоке гранулированной среды в плоском наклонном лотке. Для описания динамики основного потока используется реологическая модель Сэвиджа. Плотность частиц примеси считается малой, частицы между собой не взаимодействущие. Динамика этих частиц осуществляется под действием поля сил тяжести и воздействия на них основного потока. Численные результаты приведены в виде графиков - траекторий движения частиц. У даній роботі досліджуїться процес сепарування твердих часток у стаціонарному потоці гранульованого середовища в плоскому похилому лотку. Для опису динаміки основного потоку використовуїться реологична модель Сэвиджа. Щільність часток домішки вважаїться малою, частки між собою не взаїмодіють. Динаміка цих часток здійснюється під впливом поля сил ваги і впливу на них основного потоку. Чисельні результати наведені у вигляді графіків - траїкторій руху часток. Separation's process of the firm particles in a stationarity stream of the granulated environment on the inclined tray is studying in this work. For the description of dynamics of the basic stream is used a Savig's reological model. Density of particles is considered small, the particles among themselves isn't acting. Dynamics of these particles is carried out under the influence of a field of a gravity and influences on them of the basic stream. Numerical results are giving in the form of the graphics - the trajectories of the particles. ru Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Сепарация частиц в гранулированном потоке Particles Separation in granular stream Article published earlier |
| spellingShingle | Сепарация частиц в гранулированном потоке Иевлев, И.И. |
| title | Сепарация частиц в гранулированном потоке |
| title_alt | Particles Separation in granular stream |
| title_full | Сепарация частиц в гранулированном потоке |
| title_fullStr | Сепарация частиц в гранулированном потоке |
| title_full_unstemmed | Сепарация частиц в гранулированном потоке |
| title_short | Сепарация частиц в гранулированном потоке |
| title_sort | сепарация частиц в гранулированном потоке |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87653 |
| work_keys_str_mv | AT ievlevii separaciâčasticvgranulirovannompotoke AT ievlevii particlesseparationingranularstream |