Распространение двумерных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом сплошным льдом
Получено обобщенное уравнение типа Кадомцева-Петвиашвили, моделирующее распространение длинных нелинейных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом сплошным льдом. Уравнение получено с учетом геометрически нелинейного прогиба тонкой пластины, которая моделирует сплошной лед, что не может не п...
Saved in:
| Published in: | Прикладна гідромеханіка |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87654 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Распространение двумерных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом сплошным льдом / В.В. Яковлев, Т.Б. Гончаренко // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 1. — С. 73-76. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860170426383073280 |
|---|---|
| author | Яковлев, В.В. Гончаренко, Т.Б. |
| author_facet | Яковлев, В.В. Гончаренко, Т.Б. |
| citation_txt | Распространение двумерных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом сплошным льдом / В.В. Яковлев, Т.Б. Гончаренко // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 1. — С. 73-76. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладна гідромеханіка |
| description | Получено обобщенное уравнение типа Кадомцева-Петвиашвили, моделирующее распространение длинных нелинейных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом сплошным льдом. Уравнение получено с учетом геометрически нелинейного прогиба тонкой пластины, которая моделирует сплошной лед, что не может не повлиять на область существования решений уравнения.
Отримано узагальнене рiвняння типу Кадомцева-Петвиашвiлi, яке моделює розповсюдження довгих нелiнiйних згинно-гравiтацiйних хвиль у морi, вкритому суцiльною кригою. Рiвняння отримано з урахуванням геометрично нелiнiйного прогину тонкої пластини, яка моделює суцiльну кригу, що не може не вплинути на область iснування розв'язкiв рiвняння.
The general Kadomtsev-Petviashvily-type equation describing propagation of long non-linear flexible-gravitational waves in the sea, covered with ice, has been developed. The equation has been constructed with the taking into account the geometrically-nonlinear flexion of the thin plate, which simulates the ice cover. It must influence the intervals where the equation solution exists.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:58:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 73 – 76
УДК 533.6.013.42
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ
ИЗГИБНО-ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В МОРЕ,
ПОКРЫТOМ СПЛОШНЫМ ЛЬДОМ
В. В. Я К ОВ Л ЕВ, Т. Б. ГО Н Ч АР̇ ЕН К О
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 17.08.2008
Получено обобщенное уравнение типа Кадомцева-Петвиашвили, моделирующее распространение длинных нелиней-
ных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом сплошным льдом. Уравнение получено с учетом геометрически
нелинейного прогиба тонкой пластины, которая моделирует сплошной лед, что не может не повлиять на область
существования решений уравнения.
Отримано узагальнене рiвняння типу Кадомцева-Петвиашвiлi, яке моделює розповсюдження довгих нелiнiйних
згинно-гравiтацiйних хвиль у морi, вкритому суцiльною кригою. Рiвняння отримано з урахуванням геометрично
нелiнiйного прогину тонкої пластини, яка моделює суцiльну кригу, що не може не вплинути на область iснування
розв’язкiв рiвняння.
The general Kadomtsev-Petviashvily-type equation describing propagation of long non-linear flexible-gravitational waves
in the sea, covered with ice, has been developed. The equation has been constructed with the taking into account the
geometrically-nonlinear flexion of the thin plate, wich simulates the ice cover. It must influence the intervals where the
equation solution exists.
ВВЕДЕНИЕ
Для исследования трансформации длинных по-
верхностных гравитационных волн в жидко-
сти используются нелинейные и нелинейно-
дисперсионные модели. Нелинейные изгибно-
гравитационные волны представляют собой ком-
бинацию изгибной волны в ледяной пластине, пла-
вающей на поверхности жидкости, и гравитацион-
ной волны. Существование этих волн обусловле-
но уравновешиванием давления жидкости, с одной
стороны, и сил инерции массы льда и упругости
пластины, с другой.
В работе [1] получено обобщенное уравнение
Кортевега-де-Вриза и построено его точное реше-
ние, описывающее распространение длинных не-
линейных изгибно-гравитационных волн. Это ре-
шение имеет структуру солитона с отрицатель-
ной амплитудой. Очевидно, что в общем слу-
чае солитоноподобные решения зависят не толь-
ко от одной координаты. Известной моделью,
в рамках которой описывается подобное дву-
мерное решение, является уравнение Кадомцева–
Петвиашвили. В данной работе, основываясь
на результатах [2], приводится вывод обобщен-
ного уравнения типа Кадомцева–Петвиашвили
(КП), описывающего распространение двумер-
ных изгибно-гравитационных волн в море, по-
крытом сплошным льдом. Для построения уравне-
ния используется метод, известный давно и приме-
няемый в той или иной форме для получения по-
добных моделей вплоть до последнего времени [3,
4]. С точки зрения авторов, данная форма метода
построения уравнения более соответствует физике
рассматриваемого явления.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Задача о гидроупругих колебаниях системы “упру-
гая пластина–идеальная несжимаемая жидкость”
сводится к уравнению Лапласа относительно по-
тенциала скоростей:
β∇2ϕ + ϕzz = 0, (1)
с соответствующими граничными условиями на
дне
ϕz + β
(
→
∇ϕ ·
→
∇H
)
= 0 (2)
и на поверхности раздела лед–вода
ζt + α [ζxϕx + ζyϕy] − 1
β
ϕz = 0, (3)
ζ + ϕt +
1
2
α
(
ϕ2
x + ϕ2
y
)
+
+
1
2
α
β
ϕ2
z + γζtt + δ∇4ζ − τ
H
3
2
L (ζ, Φ) = 0, (4)
где
c© В. В. Яковлев, Т. Б. Гончаренко, 2009 73
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 73 – 76
L (ζ, Φ) =
∂2ζ
∂x2
∂2Φ
∂y2
+
+
∂2ζ
∂y2
∂2Φ
∂x2
− 2
∂2ζ
∂x∂y
∂2Φ
∂x∂y
, (5)
компоненты тензора напряжений
∂2Φ
∂y2
= σx,
∂2Φ
∂x2
= σy,
∂2Φ
∂x∂y
= −τ.
Кроме того, в постановку задачи входит также
соотношение
∇4Φ = L (η, η), (6)
где
L (η, η) = ηxxηyy − η2
xy.
Подстрочные индексы обозначают дифференци-
рование по соответствующим переменным. Безра-
змерные переменные введены следующим обра-
зом:
(x∗, y∗) = (x, y) /λ,
(z∗, d∗, h∗
1
) = (z, d, h1) /H,
ζ∗ = ζ/A, D∗ = D/gHρ0 ,
t∗ = t
√
gH/λ,
ρ∗i = ρi/ρ2, i = 1, 2;
ϕ∗ = ϕ
√
gH/gλA,
α =
A
H
; β =
(
H
λ
)2
; (7)
γ = βρ1h1/ρ2H ;
δ = βD/
(
ρ2gH2λ2
)
;
E∗ = βE/
(
1 − ν2
)
ρ2gλ;
где ρ1, h1, D, E – соответственно плотность, то-
лщина, цилиндрическая жесткость и модуль упру-
гости пластины; ζ (x, y, t) – прогиб пластины; A, λ
– амплитуда и длина волны; H, ρ2 – характерная
глубина жидкости и ее плотность.
2. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ
Построим длинноволновое приближение системы
уравнений (1)-(6) с помощью разложения по ма-
лому параметру:
ϕ =
∞
∑
n=0
βn (z + H)
n
fn (x, y, t). (8)
Подставляя этот ряд в граничное условие на дне
и приравнивая слагаемые при одинаковых степе-
нях параметра β, получим соотношение
f1 = −
→
∇ f0 ·
→
∇H+
+β
(
→
∇H ·
→
∇H
)(
→
∇ f0 ·
→
∇H
)
. (9)
Подстановка ряда (8) в уравнение Лапласа (1)
приводит к соотношениям для fn, n = 1, 2, 3, 4, та-
ким, что все fn можно выразить через f0 . Исполь-
зуем эти соотношения в граничных условиях на
поверхности раздела лед-вода, предполагая, что α
и β – величины одного порядка малости. Подстав-
ляя их в граничное условие (3), с учетом только
слагаемых порядка α и β получим
(
f0 = f
)
:
ζt +
→
∇ ·
[
(H + αζ)
→
∇ f
]
−
−β
(
→
∇ f ·
→
∇H
) (
→
∇H
→
∇H
)
−
−βH
→
∇H ·
→
∇
(
→
∇ f ·
→
∇H
)
−
−β
2
H2
→
∇H ·
→
∇
(
∇2f
)
−
−β
2
H2
→
∇·
[
∇2f
→
∇H
]
− (10)
−βH
→
∇·
[(
→
∇ f ·
→
∇H
)
→
∇H
]
−
−β
2
H
(
→
∇H ·
→
∇H
)
∇2f−
−β
2
H2∇2
(
→
∇ f ·
→
∇H
)
− β
6
H3∇4f = 0.
Подставим те же соотношения в оставшееся гра-
ничное условие на свободной поверхности и, так
74 В. В. Яковлев, Т. Б. Гончаренко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 73 – 76
же удерживая только слагаемые порядка α и β,
получим:
ζ + γζtt + δ∇4ζ + ft − βH
(
→
∇ ft ·
→
∇H
)
−
−β
2
H2∇2ft +
α
2
(
→
∇ f
)2
= 0. (11)
Перейдем в систему координат, связанную с
фронтом волны, распространяющейся в направ-
лении оси X. При этом полагаем, что масштаб L
характерных изменений f и ξ в поперечном на-
правлении Y много больше длины волны. Замена
переменных
r =
x
∫
0
dp
c (p, y)
− t, s = βx, (12)
ξ = εy, ε =
λ
L
= O
(
β
1
2
)
, c =
√
H
в предположении, что
γ = O(β) , δ = O(β) ,
преобразует последние два уравнения к виду:
ζr − frr −
α
H
(ζfr)r − 2βH
1
2 frs−
−β
2
H−
1
2 Hsfr + β
H
6
frrrr− (13)
−ε2
[
J2Hfrr + fr (JH)ξ + 2JHfrξ+
+(Hfξ)ξ
]
= O
(
β2
)
,
ζ − fr +
α
2H
f2
r +
βH
2
frrr + γζrr−
−Tωx
H
ζrr + δζrrrrH
−2 = O(εβ) , (14)
где
ωx = Φyy, T = αh1E
∗
(
1 − ν2
)
A/λ,
J (s, ξ) = −1
2
s
β
∫
0
H (p, ξ)
−
3
2 dp.
После ряда преобразований, обозначая ζH
1
4 =
= h, приходим к следующему соотношению:
hs +
3
2
α
β
H−
7
4 hhr +
1
6
H
1
2 hrrr+
+
γ
2β
H−
1
2 hrrr −
Tωx
2βH
3
2
hrrr +
δ
2β
H−
5
2 hrrrrr =
= − ε2
2β
H−
1
4 (Hfξ)ξ
− (15)
− ε2
2β
H−
1
2
[
J2Hhr + h (JH)ξ + 2HJhξ
]
.
Переходя к системе переменных (x, ξ, t) и умно-
жая полученное в результате этого соотношение
на H
1
2 β, получaeм:
ht + H
1
2 hx +
3
2
αH−
3
4 hhx+
+
β
6
H
3
2
[
H
1
2
(
H
1
2 hx
)
x
]
x
+
+
γ
2
H
1
2
[
H
1
2
(
H
1
2 hx
)
x
]
x
−
−Tωx
2
H−
1
2
[
H
1
2
(
H
1
2 hx
)
x
]
x
+ (16)
+
δ
2
H−
3
2
[
H
1
2
(
H
1
2
(
H
1
2
(
H
1
2 hx
)
x
)
x
)
x
]
x
=
= −ε2H
1
4 (Hfξ)ξ
,
Подстановка в последнее соотношение h = H
3
4 fx
с последующим сокращением на H
3
4 дает
fxt + H
1
2 fxx +
3
2
αfxfxx +
β
6
H
5
2 fxxxx+
+
(
γ
2
− Tωx
2H
)
H
3
2 fxxxx+ (17)
+
δ
2
H
1
2 fxxxxxx = −ε2
2
H
1
2 fξξ .
Используя разложение дробных степеней H в
ряд и обозначая η = fx, окончательно получим:
ηt +
(
1 +
3
2
αη
)
ηx +
(
β
6
+
γ
2
− Tωx
2
)
ηxxx+
+
δ
2
ηxxxxx = −ε2
2
fξξ. (18)
В. В. Яковлев, Т. Б. Гончаренко 75
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 1. С. 77 – 78
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, мы получили уравнение, опи-
сывающее распространение двумерных изгибно-
гравитационных волн в море, покрытом спло-
шным льдом. Как и в модифицированном уравне-
нии КдВ [1], в этом уравнении появляется допол-
нительное слагаемое, включающее третью прои-
зводную ηxxx, что приводит к существованию ре-
шений различного типа в зависимости от соотно-
шения параметров в скобке при этой производ-
ной [1, 5]. При выводе уравнения КП авторы [4]
не учитывают геометрически нелинейный прогиб
упругой пластины, что не влияет на вид уравне-
ния, однако не может не влиять на область суще-
ствования его решения. Геометрически нелиней-
ный прогиб пластины дает вклад именно в ко-
эффициент при третьей производной, определяю-
щий область существования решения. Например,
искусственно вводя предварительное натяжение
пластины в работе [6], автор предопределил на-
личие дискретного спектра решений, при котором
малое изменение одного из параметров приводит
к исчезновению изгибно-гравитационного солито-
на, что абсолютно не соответствует физике рас-
сматриваемого явления. Учет нелинейного проги-
ба, как нам представляется, позволит получить не-
прерывную область существования решения, ко-
гда малое изменение параметров задачи приво-
дит только к изменению характеристик изгибно-
гравитационного солитона, но не к его исчезнове-
нию.
1. Ткаченко В. А., Яковлев В. В. Нелинейно-
дисперсионная модель трансформации поверхно-
стных волн в прибрежной зоне моря, покрытой
льдом // Прикладна гiдромеханiка.– 1999.– 1(73),
N3.– С. 55-64.
2. Демченко Р. И., Железняк М. И. Нелинейно-
дисперсионные эффекты распространения поверх-
ностных волн вдоль неоднородностей рельефа
дна // Гидромеханика.– 1983.– Вып.48.– С. 17-22.
3. Prabir Daripa Higher-order Boussinesq equations for
two-way propagation of shallow water waves // Eur.
J. of Mech. B/Fluids.– 2006.– 25, N6.– P. 1008-1021.
4. Haragus-Courcelle M., Il’ichev A. Three-dimensional
solitary waves in the presence of additional surface
effects // Eur. J. Mech.B/Fluids.– 1998.– 17, N5.–
P. 739-768.
5. Гончаренко Т. Б., Яковлев В. В. Дослiдження
сталих нелiнiйних згинно-гравiтацiйних хвиль в
морi, вкритому суцiльною кригою // Прикладна
гiдромеханiка.– 2005.– 7(79), N2.– С. 3-7.
6. Марченко А. В. О длинных волнах в мелкой жид-
кости под ледяным покровом // ПММ.– 1988.– 52,
Вып.2.– С. 230-235.
76 Институт гидромеханики НАН Украины
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87654 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:58:04Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Яковлев, В.В. Гончаренко, Т.Б. 2015-10-22T17:15:42Z 2015-10-22T17:15:42Z 2009 Распространение двумерных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом сплошным льдом / В.В. Яковлев, Т.Б. Гончаренко // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 1. — С. 73-76. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87654 533.6.013.42 Получено обобщенное уравнение типа Кадомцева-Петвиашвили, моделирующее распространение длинных нелинейных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом сплошным льдом. Уравнение получено с учетом геометрически нелинейного прогиба тонкой пластины, которая моделирует сплошной лед, что не может не повлиять на область существования решений уравнения. Отримано узагальнене рiвняння типу Кадомцева-Петвиашвiлi, яке моделює розповсюдження довгих нелiнiйних згинно-гравiтацiйних хвиль у морi, вкритому суцiльною кригою. Рiвняння отримано з урахуванням геометрично нелiнiйного прогину тонкої пластини, яка моделює суцiльну кригу, що не може не вплинути на область iснування розв'язкiв рiвняння. The general Kadomtsev-Petviashvily-type equation describing propagation of long non-linear flexible-gravitational waves in the sea, covered with ice, has been developed. The equation has been constructed with the taking into account the geometrically-nonlinear flexion of the thin plate, which simulates the ice cover. It must influence the intervals where the equation solution exists. ru Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Распространение двумерных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом сплошным льдом Two-dimensional bending-gravitational waves in the sea covered with ice Article published earlier |
| spellingShingle | Распространение двумерных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом сплошным льдом Яковлев, В.В. Гончаренко, Т.Б. |
| title | Распространение двумерных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом сплошным льдом |
| title_alt | Two-dimensional bending-gravitational waves in the sea covered with ice |
| title_full | Распространение двумерных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом сплошным льдом |
| title_fullStr | Распространение двумерных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом сплошным льдом |
| title_full_unstemmed | Распространение двумерных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом сплошным льдом |
| title_short | Распространение двумерных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом сплошным льдом |
| title_sort | распространение двумерных изгибно-гравитационных волн в море, покрытом сплошным льдом |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87654 |
| work_keys_str_mv | AT âkovlevvv rasprostraneniedvumernyhizgibnogravitacionnyhvolnvmorepokrytomsplošnymlʹdom AT gončarenkotb rasprostraneniedvumernyhizgibnogravitacionnyhvolnvmorepokrytomsplošnymlʹdom AT âkovlevvv twodimensionalbendinggravitationalwavesintheseacoveredwithice AT gončarenkotb twodimensionalbendinggravitationalwavesintheseacoveredwithice |