Исследование распространения сильно нелинейных внутренних волн в каналах и их взаимодействие с топографическими неоднородностями. 1. Генерация и распространение волн

Рассмотрены методы генерации внутренних волн в лабораторных условиях. Основное внимание уделено внутренним уединенным волнам, распространяющимся вдоль поверхности раздела в двухслойной среде. Описан модифицированный ``метод ступенчатого бассейна'', на основе которого проведены экспериме...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Прикладна гідромеханіка
Date:	2009
Main Authors:	Кулик, А.И., Никишов, В.И., Олексюк, В.В., Пихур, С.В., Стеценко, А.Г.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2009
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87659
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Исследование распространения сильно нелинейных внутренних волн в каналах и их взаимодействие с топографическими неоднородностями. 1. Генерация и распространение волн / А.И. Кулик, В.И. Никишов, В.В. Олексюк, С.В. Пихур, А.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 2. — С. 40-54. — Бібліогр.: 34 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859720346181042176
author	Кулик, А.И. Никишов, В.И. Олексюк, В.В. Пихур, С.В. Стеценко, А.Г.
author_facet	Кулик, А.И. Никишов, В.И. Олексюк, В.В. Пихур, С.В. Стеценко, А.Г.
citation_txt	Исследование распространения сильно нелинейных внутренних волн в каналах и их взаимодействие с топографическими неоднородностями. 1. Генерация и распространение волн / А.И. Кулик, В.И. Никишов, В.В. Олексюк, С.В. Пихур, А.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 2. — С. 40-54. — Бібліогр.: 34 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Прикладна гідромеханіка
description	Рассмотрены методы генерации внутренних волн в лабораторных условиях. Основное внимание уделено внутренним уединенным волнам, распространяющимся вдоль поверхности раздела в двухслойной среде. Описан модифицированный ``метод ступенчатого бассейна'', на основе которого проведены экспериментальные исследования характеристик внутренних уединенных волн. Приведено описание установки и методики проведения экспериментов. Показано, что при малых амплитудах характеристики внутренних уединенных волн могут быть успешно описаны на основании КДВ теории. Для описания волн большой амплитуды необходимо привлекать полностью нелинейные теории. В качестве альтернативы может быть использована EКДВ теория. Розглянуто методи генерацiї внутрiшнiх хвиль у лабораторних умовах. Основну увагу придiлено внутрiшнiм вiдокремленим хвилям, що розповсюджуються вздовж границi роздiлу в двошаровому середовищi. Описано модiфiкований ``метод ступiнчастого басейну'', на основi якого проведено експериментальнi дослiдження характеристик внутрiшнiх вiдокремлених хвиль. Наведено опис установки та методiки проведення експериментiв. Показано, що при малих амплiтудах характеристики внутрiшнiх вiдокремлених хвиль можуть бути отриманi на основi КДВ теорiї. Для опису хвиль великої амплiтуди необхiдно застосовувати повнiстю нелiнiйнi теорiї. В якостi альтернативи може використовуватись ЕКДВ теорiя. Methods of generation of internal waves in laboratory conditions are considered. The emphasis is on internal solitary waves propagating along the interface in two-layer medium. The modified Уstep pool methodФ has been used to carry out experimental investigations of characteristics of internal solitary waves. The experimental facility and methodology of experiments are described. It is shown that KdV theory can be used successfully to obtain the characteristics of internal solitary waves of small amplitude. Fully non-linear theories are used to describe waves of large amplitude, and EKdV theory can be applied as alternative theory.
first_indexed	2025-12-01T09:56:40Z
format	Article
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 40 – 54 УДК 532.405 ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СИЛЬНО НЕЛИНЕЙНЫХ ВНУТРЕННИХ ВОЛН В КАНАЛАХ И ИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ТОПОГРАФИЧЕСКИМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ. 1. ГЕНЕРАЦИЯ И РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН А. И. К УЛ И К, В. И. Н И К И ШО В, В. В. О ЛЕ К СЮК, С. В. П И Х У Р, А. Г. С ТЕЦ Е НК О Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ Одержано 18.12.2008 Рассмотрены методы генерации внутренних волн в лабораторных условиях. Основное внимание уделено внутренним уединенным волнам, распространяющимся вдоль поверхности раздела в двухслойной среде. Описан модифициро- ванный “метод ступенчатого бассейна”, на основе которого проведены экспериментальные исследования характери- стик внутренних уединенных волн. Приведено описание установки и методики проведения экспериментов. Показано, что при малых амплитудах характеристики внутренних уединенных волн могут быть успешно описаны на основа- нии КДВ теории. Для описания волн большой амплитуды необходимо привлекать полностью нелинейные теории. В качестве альтернативы может быть использована EКДВ теория. Розглянуто методи генерацiї внутрiшнiх хвиль у лабораторних умовах. Основну увагу придiлено внутрiшнiм вiд- окремленим хвилям, що розповсюджуються вздовж границi роздiлу в двошаровому середовищi. Описано модiфi- кований “метод ступiнчастого басейну”, на основi якого проведено експериментальнi дослiдження характеристик внутрiшнiх вiдокремлених хвиль. Наведено опис установки та методiки проведення експериментiв. Показано, що при малих амплiтудах характеристики внутрiшнiх вiдокремлених хвиль можуть бути отриманi на основi КДВ те- орiї. Для опису хвиль великої амплiтуди необхiдно застосовувати повнiстю нелiнiйнi теорiї. В якостi альтернативи може використовуватись ЕКДВ теорiя. Methods of generation of internal waves in laboratory conditions are considered. The emphasis is on internal solitary waves propagating along the interface in two-layer medium. The modified Уstep pool methodФ has been used to carry out experimental investigations of characteristics of internal solitary waves. The experimental facility and methodology of experiments are described. It is shown that KdV theory can be used successfully to obtain the characteristics of internal solitary waves of small amplitude. Fully non-linear theories are used to describe waves of large amplitude, and EKdV theory can be applied as alternative theory. ВВЕДЕНИЕ Экспериментальному изучению процессов гене- рации и распространения нелинейных внутренних волн в лабораторных каналах всегда уделялось большое внимание. Єто связано, прежде всего, с возможностью проведения экспериментальных ис- следований в контролируемых условиях, когда со- здана среда с необходимыми параметрами и ха- рактеристики волн могут быть четко зарегистри- рованы. Данные, полученные в лабораторных эк- спериментах, обладают высокой степенью досто- верности и позволяют изучать различные особен- ности динамических процессов, связанных с рас- пространением внутренних уединенных волн. Ре- зультаты исследований дают возможность углу- бить наши знания и понимание процессов нели- нейного распространения волны в стратифициро- ванной среде. В последние годы численные методы широко используются при изучении процессов генерации и распространения внутренних уединенных волн в стратифицированной среде. Результаты таких ис- следований все чаще представляются в виде чис- ленных моделей, с помощью которых можно по- лучать всестороннее описание изучаемых процес- сов. Следует, однако, иметь в виду, что эти модели в значительной мере опираются на упрощающие предположения, которые применяются для моде- лирования сложных динамических процессов. Те- стирование разрабатываемых моделей, как прави- ло, осуществляется с использованием известных аналитических результатов или в них вводится до- полнительная информация, получаемая при про- ведении полевых исследований. В последнем слу- чае наличие неконтролируемых возмущений при- водит к трудностям при формулировании коне- чных результатов. Необходимо подчеркнуть в этой связи важную роль данных лабораторных экспе- риментов, которая заключается в предоставле- нии детальной количественной и качественной ин- 40 c© А. И. Кулик, В. И. Никишов, В. В. Олексюк, С. В. Пихур, А. Г. Стеценко, 2009 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 40 – 54 формации, которая часто является недоступной в естественных условиях при проведении полевых исследований. Качественное усовершенствование числовых моделей и их обоснованность достига- ются путем сопоставления результатов расчетов с данными лабораторных измерений, полученных в заданных условиях. Интеграция численного моде- лирования и лабораторных экспериментов – пло- дотворный путь к улучшению описания характер- ных особенностей динамических процессов пре- образования энергии в стратифицированных водо- емах. Характеристики уединенных внутренних волн и проблемы их генерации в лабораторных услови- ях были исследованы во многих эксперименталь- ных работах. Прежде всего, следует упомянуть о работах, в которых изучались характеристики ра- спространяющихся внутренних уединенных волн и проводилось сравнение данных с результатами, полученными на основе соответствующих теорети- ческих моделей. Заметное количество эксперимен- тальных работ посвящено исследованию взаимо- действия внутренних уединенных волн с топогра- фическими особенностями, с наклонным берегом и т. д. При выполнении последних указанное сравне- ние теоретических и экспериментальных результа- тов также, как правило, проводится, но основное внимание все же уделено изучению процессов вза- имодействия. Преобладающая стратификация воды в морях и озерах является вертикальной. Реальное распре- деление плотности может быть аппроксимирова- но в такой ситуации конфигурацией с двумя слоя- ми с постоянной плотностью в каждом слое. Заме- тим, что большое внимание в экспериментальных работах уделяется изучению распространения уе- диненных волн вдоль поверхности раздела между двумя жидкостями (несмешивающимися и смеши- вающимися, когда слой раздела имеет конечную толщину, что обусловлено диффузионными про- цессами) различной плотности. Двухслойное ра- спределение плотности является адекватным ре- альному распределению плотности в стратифици- рованных водоемах, и экспериментальные данные служат основой для изучения характеристик волн, процессов переноса массы и энергии. Кроме того, получаемые данные позволяют проводить сравне- ние с аналитическими результатами, полученными для двухслойной стратификации. В данной работе (часть 1) рассмотрены вопросы генерации и распространения сильно нелинейных внутренних волн над плоским дном вдоль поверх- ности раздела двух жидкостей, проведено срав- нение экспериментальных данных с результатами теоретических работ с целью описания волновых характеристик. Результаты лабораторного моде- лирования процессов взаимодействия уединенных внутренних волн с топографическими неодноро- дностями в виде препятствий будут представлены в следующей работе (часть 2). 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА Экспериментальные исследования характери- стик внутренних уединенных волн, распространя- ющихся вдоль поверхности раздела двух жидко- стей различной плотности, заполняющих бассейн, были выполнены Као и др. [1]. Опыты проводи- лись в бассейне длиной 9.1 м, глубиной 0.6 м. и шириной 0.36 м. В работе подробно изложены осо- бенности генерации уединенных внутренних волн с помощью “метода ступенчатого бассейна” (”step pool method”). Схематично суть этого метода пред- ставлена на рис. 1. Рис. 1. Экспериментальная установка для генерации уединенных внутренних волн (“step pool method”) Вначале в бассейне создавалась двухслойная стратификация с заданными параметрами (в каче- стве более плотной жидкости использовалась соле- ная вода). Затем в верхней части бассейна устанав- ливалась водонепроницаемая подвижная заслон- ка, которая отделяла небольшую часть бассейна от основной. Между заслонкой и дном был зазор, через который вода могла перетекать из одной ча- сти бассейна в другую. После этого в выделенную часть бассейна добавлялось заданное количество пресной воды, что приводило к перетеканию ча- сти более плотной жидкости в основную часть бас- сейна через зазор. Таким образом понижался уро- вень границы раздела жидкостей в выделенной части на величину h+ по сравнению с основной. И как следствие, уровни свободной поверхности в выделенной и основной части бассейна отличлись друг от друга. Аналогичная картина наблюдает- ся в сообщающихся сосудах, когда в них содержа- А. И. Кулик, В. И. Никишов, В. В. Олексюк, С. В. Пихур, А. Г. Стеценко 41 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 40 – 54 тся жидкости различных плотностей. Оценка по- казывает, что в случае, когда соленость жидкости в нижнем слое составляет S = 15o/oo, возникаю- щая разница уровней свободной поверхности со- ставляет величину порядка 1 мм при h+ = 10 см, т. е. является малой и сравнимой с радиусом кри- визны мениска, образующегося у границы пласти- ны. После удаления подвижной разделительной пластины на свободной поверхности формирую- тся разбегающиеся поверхностные волны малой амплитуды, которые вызваны разницей уровней и возмущением свободной поверхности из-за по- дъема пластины. В результате, уровень свободной поверхности в обеих частях бассейна становится одинаковым. Однако распределение плотности по глубине, а значит и распределение давления, будут отличаться в основной части бассейна и в выделен- ной части, поскольку имеет место разница уровней поверхностей раздела. Это приводит к тому, что более тяжелая жидкость, находящаяся в основ- ной части бассейна, перемещается в выделенную часть и одновременно происходит соответствую- щее перемещение более легкой жидкости, содер- жащейся в выделенной части бассейна, в основ- ную часть бассейна. При этом возникают локаль- ные вихревые образования, вызванные удалением перегородки. Дальнейшее перемещение более лег- кой жидкости приводит к образованию уединен- ной волны. Было отмечено, что формирование уе- диненных волн также сопровождалось различной степенью начального обрушения волны, что огра- ничивает генерацию волн максимальной амплиту- ды. В работе изучен вопрос о количестве уединен- ных волн, которые могут быть произведены дан- ным методом. Была исследована зависимость ко- личества уединенных волн от параметра \|h+\| 1/2 l+, где h+ – различие между уровнями поверхностей раздела в выделенной и основной частях бассейна перед пробегом; l+ – длина выделенной части бас- сейна (рис. 1). Показано, что цуг уединенных волн формируется при больших значениях этого пара- метра. Определены условия, при которых происхо- дит генерация одной уединенной волны. Рассто- яние l+ между стенкой бассейна и перегородкой выбирается экспериментальным способом с целью минимизации дисперсионного хвоста уединенной волны. Авторы отмечают, что важно осуществлять ме- дленное заполнение бассейна. Это позволяет по- лучать довольно малую толщину промежуточно- го слоя (0.3–1.3 см). Профиль плотности перед пробегом мог быть описан следующим выражени- ем (профиль плотности гиперболического танген- са или профиль термоклина): ρ (z) = ρ 0 (1 − κ th α z), (1) где ρ0 = (ρ1+ρ2) / 2; κ = (ρ2−ρ1) /2ρ0; ρ1 и ρ2 – плотности жидкости верхнего и нижнего слоев соответственно; z – вертикальная координата; па- раметр α−1 – половина толщины промежуточного слоя (пикноклина). Расстояние промежуточного слоя от свободной поверхности могло изменяться в экспериментах от 0.95 см до 7.6 см, т. е. на 7.6 см ниже свободной поверхности. Уединенная волна имела отрицательную полярность (волна депрес- сии), поскольку толщина верхнего слоя была все- гда меньше толщины нижнего слоя. В эксперимен- тах использовались различные методы измерений: визуализация потоков путем подкрашивания сло- ев жидкости и последующего фотографирования; измерения скорости жидкости с помощью термо- анемометра; измерения электропроводимости спе- циальным датчиком, который был соединен с сер- вомеханизмом, что позволяло получать профиль солености; визуализация потока с помощью ме- тода водородных пузырьков, что позволяло изме- рять мгновенную структуру поля скорости. Као и др. [1] вычислили первую собственную функцию и соответствующее собственное число на основе численного решения задачи Штурма- Лиувилля, а затем были найдены коэффици- енты, стоящие в уравнении Кортевега-ДеВриза (КДВ). Сравнение экспериментальных данных с рассчитанными параметрами волн, соответству- ющих КДВ теории, показали неплохое соответ- ствие результатов. В частности, профиль уединен- ной волны достаточно хорошо описывался КДВ теорией для различных отношений h 1 / H , где h 1 – толщина верхнего слоя и H – полная то- лщина. Другие характеристики уединенных волн также хорошо коррелируют с КДВ теорией. Во- прос, однако, возник при рассмотрении связи ме- жду скоростью распространения волны и ее ам- плитуды; или, другими словами, при рассмотре- нии амплитудно-волнового соотношения, описыва- ющего баланс дисперсионных и нелинейных эф- фектов. Отличие от КДВ теории наблюдалось для сильно нелинейных волн, когда, впрочем, и теория КДВ становится неприменимой. Работа [2] также посвящена изучению характе- ристик внутренних уединенных волн, распростра- няющихся в бассейне, заполненном системой с дву- мя слоями. Бассейн имел ширину 0.5 м, а длина со- ставляла 6.2 м, и 12.3 м. Один пробег был сделан в бассейне длиной 21.4 м. Толщина промежуточного слоя не превышала 2 см. Генерация волн осуще- 42 А. И. Кулик, В. И. Никишов, В. В. Олексюк, С. В. Пихур, А. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 40 – 54 ствлялась с помощью метода, описанного выше, т. е. “step pool method”. Поле скорости, вызван- ное волнами, скорость распространения и форма волны были измерены с помощью различных ме- тодов (“particle tracking method” и метод изобра- жений). Амплитуда волн изменялась в широком диапазоне: от малых до почти максимальных зна- чений. Анализ теоретических моделей был осуще- ствлен, включая полностью нелинейную и КДВ модели. Было показано, что результаты вычисле- ний, выполненных на основе использования пол- ностью нелинейной модели, хорошо соответству- ют экспериментальным данным. Важно обратить внимание, что такое совпадение результатов име- ло место даже для размытого пикноклина. При проведении экспериментов с волнами большой ам- плитуды наблюдалось возникновение вальцов на заднем фронте волн, что связано с неустойчиво- стью Кельвина-Гельмгольца, которая развивается за областью максимального перемещения границы раздела. Форма переднего фронта волны удовле- творительно описывалась КДВ теорией. Неустой- чивость приводила к перемешиванию жидкостей вблизи границы раздела и размыванию пикнокли- на. Оценки показали, что локальное число Ри- чардсона, связанное с промежуточным слоем, до- стигало значений меньше, чем 0.25 в области гре- бня волны, т.е. течение в этой зоне является не- устойчивым в соответствии с теоремой Майлса- Говарда [3]. Авторы показали, что КДВ теория хорошо описывает уединенные волны, амплитуды которых не превышают 0.4 толщины более тонко- го слоя. Другими словами, КДВ теория была по- лезной для различных конфигураций заполнения бассейна, если амплитуда волны достаточно ма- ла. Этот вывод согласуется с результатами рабо- ты [1]. В работе отмечено, что данный вывод оста- ется справедливым в случае, когда толщины сло- ев сильно отличаются друг от друга, в частности, при h1/h2 = 0.01, где h2 – толщина нижнего слоя. Для описания волн умеренной и большой ампли- туд необходимо применять полностью нелинейную теорию, которая находится в хорошем согласии с результатами лабораторных измерений. Эксперименты, описанные в работе [4], были выполнены в бассейне, сделанном из плексигла- за, размерами 600 × 45 × 60 см. Для создания двухслойной стратификации использовались не- смешивающиеся жидкости различной плотности: фреон TF и дистиллированная вода. Конфигура- ции заполнения бассейна, которые соответствова- ли случаям "мелкой"и "глубокой"воды, были ис- следованы, чтобы изучить влияние глубины на ха- рактеристики распространяющихся волн. Ампли- туды распространяющихся волн измерялись рас- пределенными емкостными датчиками. Генерация уединенных волн осуществлялась с помощью пере- мещения специальной лопасти. При таком способе генерации возникают заметные возмущения гра- ницы раздела, но скорость их распространения намного меньше, чем скорость уединенной волны, и, в конечном счете, уединенная волна отрывае- тся от такого "хвоста". Это позволило изучить ха- рактеристики непосредственно уединенной волны, но потребовало использовать довольно большую длину бассейна. Одной из важных характеристик уединенных волн является длина волны λ. Авторы ввели два определения длины волны. Первое, λ 0 . 5, пред- ставляет длину отрезка от точки, соответствую- щей гребню волны, до точки, соответствующей половине амплитуды. Второе определение длины волны выражено следующей формулой: Lw = 1 a ∞ ∫ 0 η (x − c t ) d (x − c t), (2) где c – скорость волны; η – смещение границы ра- здела; a – амплитуда волны; x – координата вдоль направления распространения волны. Такое инте- гральное представление связано с “массой” вол- ны. Как отмечено авторами, второе определение соответствует лучше описанию волны, поскольку масса является инвариантом движения. Основное внимание в работе уделялось изучению формы уе- диненных волн и амплитудно-волнового соотноше- ния a/h = O ( h2/λ2 ) , которое, по мнению авторов, оказывается наиболее чувствительной характери- стикой, устанавливающей область применимости рассматриваемых волновых теорий. Авторы вывели КДВ уравнение “второго поряд- ка”, в котором произведен учет членов второ- го порядка в выражениях, описывающих нелиней- ные и дисперсионные эффекты. Отметим, что по- добные уравнения рассмотрены также в работах [5, 6]. На основе полученных уравнений были вве- дены поправки в теоретический профиль волны и в амплитудно–волновое соотношение. Профили уединенной волны были измерены, и было показа- но, что они соответствуют теоретическому “ sech2” профилю для достаточно слабых волн (отноше- ние амплитуды a волны к толщине нижнего слоя a/h2 < 0.1). Для более интенсивных волн было установлено, что данные достаточно хорошо со- ответствуют результатам, полученным на основе улучшенного КДВ уравнения. Необходимо обра- тить внимание, что в случае "глубокой" воды, ко- гда параметры опытов соответствуют соотношени- А. И. Кулик, В. И. Никишов, В. В. Олексюк, С. В. Пихур, А. Г. Стеценко 43 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 40 – 54 ям λ/H → 0, λ/h2 >> 1, модель Бенджамина- Oнo плохо соответствует полученным результа- там. Однако модель Джозефа-Кубота-Ко-Доббса (ДККД модель конечной глубины: λ/h2 >> 1, h2/H << 1) также дает неудовлетворительное со- ответствие результатов. Позже поправки второго порядка к волновой те- ории конечной глубины для широкого изменения значений параметров были представлены в рабо- те [7], в которой продемонстрировано, что данные работы [4] хорошо описываются улучшенной тео- рией. Авторы также выполнили эксперименталь- ные исследования по изучению форм уединенных волн и возможности их описания в рамках моделей КДВ и ДККД, в которых проведен учет членов разложения второго порядка. Длина эксперимен- тального волнового бассейна составляла 30 м, глу- бина – 60 см и ширина – 39.4 см. Стратификация бассейна была двухслойной: верхний слой пресной воды располагался над слоем более плотной соле- ной воды. Толщина промежуточного слоя была от 1 до 2 см. Генерация волн осуществлялась с по- мощью вертикального перемещения поршня, на- ходящегося вблизи дна бассейна около торцевой стенки. Было показано, что скорость движения уединенных волн была меньше, чем предсказыва- ет КДВ теория для двухслойной системы, и ино- гда была даже ниже фазовой скорости линейных волн c0. Причина такого расхождения состоит в конечности толщины промежуточного слоя между жидкостями, в то время как амплитуды волн были сравнительно малы. Экспериментальным исследованиям характери- стик уединенных внутренних волн, распространя- ющихся в двухслойной системе, посвящена рабо- та [8]. Эксперименты были выполнены в бассейне длиной 6 м, шириной 0.4 м и высотой 0.6 м. Стра- тификация создавалась путем заполнения бассей- на пресной водой, и затем снизу через систему донных отверстий подавалась соленая вода. Гене- ратор волн представлял собой лопасть, установ- ленную на границе между слоями. Носовая часть лопасти была закруглена для того, чтобы умень- шить генерацию вихревых образований, вызыва- ющих турбулентное перемешивание жидкостей. Профиль плотности измерялся микрозондом, со- стоящим из 4 проволочек. Несколько зондов, пре- дназначенных для регистрации формы и скоро- сти волны, были установлены в бассейне. Эти зон- ды измеряли сопротивление жидкости между дву- мя вертикальными металлическими полосами, ра- сположенными на расстоянии 10 мм друг от дру- га. Для измерения профиля скорости жидкости в волне использовался так называемый PIV (“parti- cle image velocimetry”) метод. Эксперименты были выполнены в диапазоне изменений отношения глу- бин 0.125 < h1/h2 < 0.5; параметр нелиней- ности a/h1изменялся в пределах 0.2 < a/h1 < 0.7. Толщина промежуточного слоя была от 1.2 до 8.0 см. В работе основное внимание уделе- но сравнению измеренных характеристик внутрен- них уединенных волн с расчетными величинами, которые были получены с помощью теоретиче- ских моделей (двухслойная модель КДВ, непре- рывно стратифицированная модель КДВ, полно- стью нелинейная теория [9]). В основном, сравне- ние проводилось для значений максимальной го- ризонтальной скорости u в подошве волны. По- казано, что для малых отношений a/h1 (<0.4) с достаточной степенью точности можно использо- вать КДВ теорию. При больших величинах a/h1 (> 0.4) расчеты по КДВ теории дают значения, ко- торые сильно отличаются от экспериментальных данных. Необходимо обратить внимание, что тот же самый предел применимости КДВ теории най- ден в [2]. В целом, теоретические вычисления да- ют завышенные значения скорости по сравнению с экспериментальными данными, в частности, для интенсивных волн превышение достигает 65 %. Экспериментальное изучение характеристик внутренних уединенных волн и сравнение эк- спериментальных данных с теоретическими результатами было выполнено в [10]. Опыты проводились в бассейне из плексиглаза, длина бассейна былa 220 см, ширина – 17 см и высота – 15 см. Бассейн был заполнен двумя несме- шивающимися жидкостями: водой и керосином. Генерация уединенной волны на границе ме- жду жидкостями осуществлялась с помощью горизонтально расположенной пластины, переме- щающейся в вертикальном направлении на задан- ное расстояние. Распределенный в поперечном направлении сток (источник), расположенный на заданной глубине, также использовался как генератор уединенных волн депрессии (возвыше- ния). Регистрация волн была выполнена зондами, измеряющими электрическую проводимость. Измерения показали, что профиль волн нахо- дится в разумном согласии с теоретическими результатами, основанными на КДВ теории. Заметные отклонения от теоретического профиля обнаружены для волн большой амплитуды. Было показано, что профиль уединенной волны расши- ряется, когда амплитуда растет, хотя в работе не проводилось систематического изучения этого эффекта. Другие расхождения эксперименталь- ных данных с теоретическими оценками также имели место. В частности, было обнаружено, что 44 А. И. Кулик, В. И. Никишов, В. В. Олексюк, С. В. Пихур, А. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 40 – 54 скорость уединенных волн была систематически ниже скорости, предсказанной КДВ теорией для амплитуд волн 0.04 < a/h2 < 0.6. В то же время, экспериментальные данные были в хорошем соответствии с теорией Кейлегана. Были изучены уединенные волны положительной и отрицательной полярностей. Изучение поля скорости вблизи донной поверх- ности, обусловленного распространяющейся уеди- ненной внутренней волной депрессии в двухслой- ной жидкости, было проведено Карром и Дэви- сом [11]. Эксперименты были выполнены в бас- сейне длиной 6.4 м, шириной – 0.4 м и глубиной 0.6 м. Волны генерировались с помощью метода, разработанного в [1]. Основываясь на ранее по- лученных результатах [1, 2], расстояние от подви- жной перегородки (см. рис. 1) до торцевой стен- ки бассейна выбиралось равным 0.27 либо 0.6 м. Измерение скоростного поля проводилось с по- мощью лазер-доплеровского измерителя скорости (ЛДИС) и PIV метода. Распределения горизон- тальных и вертикальных компонент скорости и по- перечной компоненты завихренности были изме- рены в зависимости от изменения амплитуды вол- ны a, отношения толщины верхнего и нижнего слоев b = h1/h2, расстояния от донной поверх- ности. В результате анализа экспериментальной информации было показано, что неустановивше- еся пристеночное течение струеподобной формы возникает непосредственно вблизи дна при прохо- ждении интенсивной нелинейной внутренней вол- ны депрессии. Скорость пристеночного течения невелика по сравнению с максимальной скоро- стью жидкости, вызванной проходящей уединен- ной волной, и направление этого течения совпа- дает с направлением движения волны, т. е. на- правлено в противоположную сторону относитель- но скорости потока в нижнем слое жидкости. Фор- мирование пристеночного течения обусловлено по- явлением отрицательного градиента давления при прохождении волны и развития неустойчивости пограничного слоя. Теоретически возникновение отрыва пограничного слоя вблизи дна, вызванно- го отрицательным градиентом на заднем фрон- те волны, изучено также в работе [12]. В ней проведено численное моделирование распростра- нения и отражения внутренних уединенных волн от наклонного берега на основе негидростатиче- ской, осредненной в поперечном направлении ма- тематической модели. Авторы сумели разрешить узкую область вблизи дна и продемонстрировать существование отрывного пузыря. Было предло- жено проводить учет потерь энергии движущейся волны на формирование отрывного течения путем введения соответствующего коэффициента формы в общем коэффициенте сопротивления. Определенный интерес представляет работа [13], в которой приведены результаты эксперимен- тальных исследований длинных волн, распростра- няющихся вдоль поверхности раздела между дву- мя жидкостями различной плотности. Экспери- менты были выполнены в маленьком бассейне дли- ной 3 м, высотой 15 см и шириной 10 см. Вол- ны генерировались с помощью метода, описанного в [1] (“step pool method”). Авторы отметили, что осторожное и медленное поднятие перегородки более предпочтительно по сравнению с быстрым удалением, поскольку минимизирует баротропные возмущения. Измерения параметров уединенных внутренних волн были сделаны с помощью шести ультразвуковых зондов, которые были установле- ны вдоль центральной оси бассейна. Было прове- дено сравнение экспериментальных и теоретиче- ских результатов по определению структуры вол- ны, фазовой скорости. Основной интерес вызыва- ет сделанный анализ частотно-амплитудного со- отношения. При проведении экспериментов полу- чаемая информация обычно представлена в ви- де данных регистрации перемещения поверхности раздела во времени в заданной точке. С этой точ- ки зрения целесообразно рассматривать в качестве одной из основных характеристик волны ее ин- тегрированный масштаб частоты (или характер- ную частоту) ωk, который определяется следую- щим выражением: ω k = 2 a ∞ ∫ −∞ η (t, x 0 ) d t = c k λ , (3) где η (t, x 0 )– смещение поверхности раздела во времени; c k – фазовая скорость; λ – характерная длина уединенных волн. В данной работе выпол- нено сравнение экспериментально зарегистриро- ванных характеристик волн большой амплитуды с результатами вычислений. В качестве теорети- ческих моделей волн использовались КДВ теория и модифицированная КДВ-мКДВ теория, разви- тая в работах [14, 15] (см. также уравнение Гар- днера или расширенное КДВ уравнение [16]). В последнем случае проведен учет членов с кубиче- ской нелинейностью. Рассматриваются волны, ам- плитуды которых распределены в диапазоне от 0 до h̄, где h̄ = h2 − hc – расстояние между по- верхностью раздела и критическим уровнем hc, и представляют предельную амплитуду волн. Глав- ное предположение состоит в том, что амплитуда волны имеет порядок h̄, который является малым А. И. Кулик, В. И. Никишов, В. В. Олексюк, С. В. Пихур, А. Г. Стеценко 45 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 40 – 54 по сравнению с общей глубиной H . В работе приве- дены формулы для основных параметров уединен- ных внутренних волн, которые описываются этой теорией. Свободная поверхность может быть за- менена твердой крышкой, когда различие между удельными весами жидкостей в слоях оказывае- тся маленьким. Предложено выражение, которое описывает смещение поверхности раздела, вызван- ное проходящими уединенными внутренними вол- нами. Проведено сравнение профиля волны, фазо- вой скорости и частотно-амплитудного соотноше- ния, полученных экспериментально, с теоретиче- скими соотношениями. Было показало, как и ожи- далось, что экспериментальные данные соответ- ствуют КДВ теории для малых амплитуд и прак- тически для всех отношений толщины слоев. Ха- рактеристики уединенных волн большой амплиту- ды асимптотически имеют тенденцию быть пред- сказанными с помощью КДВ-мКДВ теории. Отметим, что характеристики внутренних уеди- ненных волн были также изучены в других рабо- тах, посвященных исследованию взаимодействия волн с топографическими особенностями дна, на- клонными берегами, подводными порогами и др. Результаты этих работ будут обсуждены в после- дующих работах. Далее четко опишем основные особенности методов генерации уединенных вну- тренних волн, которые отличаются от рассмотрен- ных выше методов. В работе [17] использовался волновой генера- тор, состоящий из двух горизонтально располо- женных поршней, отделенных друг от друга гори- зонтальной пластиной на уровне поверхности ра- здела между жидкостями. Солитоно-подобное пе- ремещение поверхности раздела достигалось пу- тем согласованного перемещения поршней волно- вого генератора в противоположных направлени- ях таким образом, что суммарный вытесняемый поршнями объем оставался равным нулю. Исполь- зовалась функция, изменяющаяся по линейному закону, для управления перемещениями поршней. Эксперименты были выполнены в бассейне длиной 10 м с квадратным поперечным сечением (длина стороны составляла 0.33 м). Генератор, создающий нелинейные внутренние волны за счет угловых колебаний крыльевого про- филя (“flap-type”), использовался в работе [18]. Профиль был прикреплен к стержню, который шарнирно закреплялся на торцевой стенке. Экспе- рименты проводились в бассейне (24×0.6×0.38 м), заполненном двухслойной жидкостью. Подобный метод использовался в работе [19] в целях генера- ции внутренних волн в системе с двумя слоями. Эксперименты были выполнены в бассейне дли- ной 18 м, шириной 0.6 м и глубиной 0.75 м. Изуча- лось набегание цуга внутренних волн на наклон- ный берег. Каждая волна в периодическом цуге при набегании на склон делалась круче и разви- валась в солитоно-подобную волну прежде, чем разрушиться. Внутренние волны были произведе- ны горизонтальной лопастью, угловые перемеще- ния которой осуществлялись относительно ее пе- реднего края. Передний край лопасти имел буль- бообразную форму для того, чтобы предотвратить отрыв и последующее перемешивание жидкости. Структура внутренних волн в течение прохожде- ния зоны мелкой воды и набегания на склон изу- чалась с помощью зондов электропроводности и визуализации потока. Отметим, что зеркало, уста- новленное вдоль продольной оси бассейна под за- данным углом относительно горизонта, использо- валось для одновременного наблюдения за хара- ктером процесса взаимодействия волн со склоном сверху и сбоку. Аналогичный подход реализован в работе [20] при изучении генерации прогрессивных внутрен- них волн, распространяющихся вдоль поверхности раздела между пресной и соленой водами в бассей- не (6×0.15×0.35 м). Автор также использовал спе- циальный насос, с помощью которого производи- лась периодическая эжекция жидкости в бассейн для генерации внутренних волн. Метод “наклонной трубы” (“tilting tube”) использовался в [21 – 23] для изучения механизмов вырождения внутренних волн большого масштаба (характерная длина соизмерима с размерами бас- сейна) в замкнутых водоемах типа стратифициро- ванных озер и для оценки потока энергии, связан- ного с этим вырождением. Метод принципиаль- но отличается от рассмотренных выше, поскольку внутри бассейна нет перемещающихся устройств. Лабораторные эксперименты выполнялись в пол- ностью закрытом акриловом бассейне длиной 6 м, глубиной 29 см и шириной 30 см. Бассейн мог вра- щаться относительно горизонтальной оси, прохо- дящей вблизи его центра. В наклонном положе- нии бассейн заполнялся двумя слоями жидкости: в верхнем слое находилась пресная вода, в ни- жнем – соленая. Эксперимент начинался, когда бассейн быстро возвращался к горизонтальному положению, и под действием бароклинных гради- ентов давления формировались противоположно направленные потоки жидкостей в верхнем и ни- жнем слоях. Отметим, что с помощью такого мо- делирования можно изучать развитие возмущений в двухслойной системе с наклонным термоклин- ном, которая возникает в замкнутых стратифици- рованных водоемах, например, озерах, после пре- 46 А. И. Кулик, В. И. Никишов, В. В. Олексюк, С. В. Пихур, А. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 40 – 54 кращения действия ветра. При большом первона- чальном наклоне возникающие волны, чей хара- ктерный размер имеет порядок масштаба бассей- на, становятся со временем круче и трансформи- руются в пакет солитонов, размер которых суще- ственно меньше первоначального возмущения. Механизмы обрушения прогрессивных внутрен- них волн изучены в работе [24]. Эксперимен- ты были выполнены в волновом бассейне длиной 4.88 м, высотой 0.61 м и шириной 0.3 м. Двухслой- ная стратификация создавалась путем заполне- ния бассейна пресной водой до заданной глуби- ны, и затем более тяжелая (соленая) вода эжекти- ровалась ниже слоя пресной воды. Авторы при- меняли селективный отсос промежуточного слоя, что позволяло достигать его толщин менее, чем 1 см. Прогрессивные внутренние волны генериро- вались путем вертикальных перемещений полуци- линдра (“plunger-type”), расположенного на гра- нице раздела. Утверждается, что подобный гене- ратор волн не создает поверхностных волн или нежелательного перемешивания границы раздела. Перемещения полуцилиндра управлялись с помо- щью компьютера, что позволяло получать задан- ные формы волн, в частности, синусоидальные волны и пакет дисперсионных монохроматических волн, в котором каждая волна достигает заданной точки в один и тот же момент времени. Одной из важных проблем, которую рассма- тривают в экспериментальных исследованиях вну- тренних волн – это влияние диссипации на их ра- спространение. Известно, то диссипация присут- ствует при всех экспериментальных исследовани- ях, связанных с движением жидкости. В неко- торых случаях ее влияние не является слишком большим; однако часто это одна из основных при- чин расхождения экспериментальных и теоретиче- ских результатов. Влияние вязкости на распространении внутрен- них волн было исследовано в работе [4] (способ ге- нерации волн описан выше). Авторы модифици- ровали известную модель, разработанную Кейле- ганом [25] для оценки влияния вязкости на вязко- стное демпфирование поверхностных волн, и при- менили ее для рассмотрения внутренних волн, ра- спространяющихся в двухслойной системе. В тео- рии предполагается, что диссипация энергии прои- сходит в вязком пограничном слое, формирую- щимся на твердых границах, и в промежуточном слое. Влияние диссипации приводит к уменьше- нию амплитуды уединенной волны. Была предло- жена следующая зависимость, которая описыва- ет изменение амплитуды волны a на расстоянии (x − x 0): a (x) = a 0 (x) [ 1 + K a 1/4 0 (x − x0) ]− 4 , (4) где коэффициент K определяется толщинами сло- ев h 1и h 2, шириной бассейна B, ускорением силы тяжести g, кинематическим коэффициентом вяз- кости ν , параметром ∆ = 1 − ρ 1/ρ 2, характери- зующим разность плотностей. Результаты экспе- риментов показали, что эффект вязкостной дис- сипации действительно приводит к уменьшению амплитуды волны при ее распространении. Было найдено, что амплитуда уменьшается на 50 %, когда волна достигает конца бассейна. Для бо- лее полного изучения вопроса о влиянии вязкости измерения продолжались и после отражения вол- ны от стенок бассейна. Показано, что амплитуда уединенной волны составляет только 30 % от ам- плитуды падающей волны, когда волна проходит 3.5 м, затем отражается от стенки бассейна и при- ходит в начальное место измерений. Такое боль- шое затухание связано, по-видимому, с тем, что то- лщина нижнего слоя в экспериментах была малой, следовательно, влияние вязкости было значитель- ным. Кроме того, использовались несмешивающи- еся жидкости, поэтому граница между жидкостя- ми была ступенчатой и эффекты вязкости уси- ливались. Неясным, однако, остался вопрос о то- чности определения амплитуды волны, когда она проходит зону возмущенной жидкости, вызванную предыдущим проходом. В работе выполнено сравнение эксперименталь- ных данных с результатами численного модели- рования распространения волны, основанного на обобщенном уравнении КДВ, в котором введе- ны дополнительные члены, учитывающие влияние вязкости. В качестве начальных условий исполь- зовались данные о профиле волны, полученные с помощью зонда, установленного на расстоянии 20 см от генератора волн. Показано, что результа- ты расчетов находятся в соответствии с данными экспериментов. Был сделан вывод о важности уче- та влияния вязкости на уменьшение амплитуды, а значит и энергии уединенной волны. Авторы также рассмотрели влияние вязкости на длину уединенной волны, поскольку эта характе- ристика уединенной волны должна соответство- вать амплитудно-волновому соотношению: важно изучить вопрос о влиянии вязкости на это со- отношение. Распространяющиеся уединенные вол- ны характеризуются динамическим балансом ме- жду нелинейными и дисперсионными эффектами, и такое соотношение может быть представлено как a λ2/H3 = const. Очевидно, влияние вязкости А. И. Кулик, В. И. Никишов, В. В. Олексюк, С. В. Пихур, А. Г. Стеценко 47 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 40 – 54 приводит к постепенному уменьшению амплиту- ды волны, и в конечном счете, вязкие эффекты становятся соизмеримыми с нелинейными. С этой точки зрения, эффект вязкости должен содержа- ться в вышеупомянутом соотношении. В резуль- тате расчетов авторы показали, что влияние вяз- кости приводит к отклонению характеристик уе- диненной волны при a/h2 < 0.2 для параметров оборудования, используемого в экспериментах, т. е. для слабых волн отклонения от невязкой тео- рии являются довольно незначительными. Теоретический анализ влияния вязкости на уменьшение амплитуды уединенной волны был выполнен в работе [26]. Авторы получили зави- симость, описывающую уменьшение амплитуды внутренней волны a с расстоянием. Анализ был выполнен c использованием ряда упрощающих предположений: невязкое течение соответствует течению, определяемому солитоном КДВ, двига- ющимся с постоянной скоростью c; все линии тока являются плоскими и горизонтальными при рас- смотрении вязких эффектов; только вязкий сдвиг скорости учитывается в области промежуточно- го слоя; вязкими эффектами вблизи к свободной поверхности пренебрегают. Общий вид коэффици- ента Kдостаточно сложен даже при таких упро- щениях. В предельном случае слабой стратифи- кации, когда ∆ = 1 − ρ1/ρ2 << 1, выражение, описывающее этот коэффициент, становится более простым: K = 1 12 h 2 (1 + b) 4 √ ν2 \|b − 1\| c2 0 h2 1 h 2 × × [ b + 2 h 2 (1 + b) B + ( 1 + b )2 2 b ] , (5) где b = h 1 h 2 ; c 0 – скорость стадии волны, c 0 = ( g′ h 1 h 2 h 1 + h 2 ) . Отмечено, что выражение для коэффициента K, найденное в работе [4], в которой использовалось приближенное граничное условие на границе ра- здела, является некорректным и приводит к пере- оценке затухания. Авторами была проведена про- верка обоснованности приведенного выше выра- жения путем сравнения с экспериментальными данными из работы [27]. Было обнаружено заме- тное расхождение между теорией и эксперимен- том, в частности, вычисления показывают заме- тно большее затухание в экспериментах, причем, наблюдалось большее затухание внутренней вол- ны, когда она движется от генератора до конце- вой стенки бассейна, и несколько меньшее после ее отражения от стенки и движения в сторону ге- нератора. Такой характер затухания обусловлен присутствием "паразитных" волновых движений: в первом случае – это поверхностная волна, во- зникающая в процессе генерации внутренней вол- ны, во втором случае проход внутренней волны происходит на фоне оставшихся возмущений после первого прохода внутренней волны. Авторы рас- смотрели особенности распространения уединен- ных волн в бассейне ограниченной длины и ввели эмпирические поправки в отношение, с помощью которого оценивается диссипация. Следует заметить, что трение о стенки служит также важной причиной, обуславливающей поте- ри энергии волн. Очевидность такого заключения продемонстрирована в работе [28], в которой те- оретически и экспериментально изучалось вязкое демпфирование прогрессивных волн, распростра- няющихся по поверхности раздела двух жидко- стей различного удельного веса. Предполагалось, что течение, вызванное волнами, является потен- циальным. Были рассмотрены влияние трения на поверхности раздела, трение о дно и трение о бо- ковые стенки. Показано, что диссипация волновой энергии, обусловленная трением о боковые стен- ки, является доминирующим механизмом затуха- ния волн. Трение о дно выражено слабо, потому что поверхность раздела находилась довольно да- леко от дна. В работе отмечено, что для уменьше- ния вклада от трения о стенки ниже уровня, ко- торый определяется сдвигом, вызванным волнами на поверхности раздела, необходимо увеличивать ширину бассейна по сравнению с общей толщиной жидкости по крайней мере в 3 раза для параме- тров оборудования, использованного в работе. Затухания уединенных внутренних волн под действием вязкости было исследовано в работе [29]. Эксперименты были выполнены как при на- личии свободной поверхности, так и в присутствии покрытия свободной поверхности (условие “твер- дой крышки”) для волн возвышения и депрес- сии. Автор показал, что расчеты достаточно хоро- шо соответствуют экспериментальным данным. В случае использования твердой крышки на поверх- ности жидкости дополнительные члены для учета трения о твердую крышку должны быть введены. Показано, что вычисления, основанные на зависи- мостях, приведенных в работе [4], хуже соответ- ствуют экспериментальным данным. Необходимо упомянуть также работу [30], в ко- торой представлены результаты исследования за- 48 А. И. Кулик, В. И. Никишов, В. В. Олексюк, С. В. Пихур, А. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 40 – 54 тухания уединенной внутренней волны, распро- страняющейся вдоль поверхности раздела двух не- смешивающихся жидкостей. Было найдено, что амплитуда волн уменьшается приблизительно в ` раз на расстоянии s/l = 100, где s – пройден- ный путь; l – длина основания прямоугольника, имеющего высоту, равную амплитуде волны a, и площадь, равную площади волны. Данная зависи- мость соответствует случаю отражения волны от торцевых стен бассейна. Данные о вязком затухании уединенных волн особенно важны при изучении их взаимодействия с наклонными берегами и определения коэффи- циента отражения, потому что регистрирующее оборудование устанавливается на некотором рас- стоянии от склона. При выполнении исследо- ваний распространения уединенных внутренних волн депрессии было показано [1], что затухание волн в жидкости постоянной глубины составляет 4.3% m−1 на расстоянии от 3 до 6 м от генерато- ра, и постепенно увеличивается до 6.2 % m− 1для больших расстояний от генератора при отноше- нии глубин h1/H = 1/14. Затухание уменьшае- тся с увеличением h1/H . Было найдено, что за- тухание волн в работе было немного меньше, чем показывают оценки, основанные на теоретических вычислениях, проведенных в работе [26]. Довольно заметное затухание уединенных вну- тренних волн обнаружено в работе [13]. Ампли- туда волны уменьшалась на 3 % на длине 30 см. Порядок этого затухания близок к порядку зату- хания, найденного экспериментально в работе [4]. Причина такого уровня затухания связана, оче- видно, с малыми размерами поперечного сечения бассейна, т. е. с заметным влиянием трения о стен- ки и дно бассейна. Кроме того, рост сдвига скоро- сти вблизи поверхности раздела несмешивающи- хся жидкостей имеет место при прохождении вол- ны по сравнению со случаем размываемого слоя раздела. Немного меньшее затухание было зареги- стрировано в работе [31]. В бассейне с поперечным сечением 0.4 × 0.6 м оно составило приблизитель- но 4.8 % на расстоянии 1 м; в бассейне с секцией 0.5× 1.0 м затухание было 1.3 % по амплитуде. 2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА Экспериментальные исследования выполнялись в бассейне длиной 7 м, шириной 0.33 м и высо- той 1.5 м. Стенки бассейна были изготовлены из плексиглаза. Бассейн находился в подвальном по- мещении, и температура воздуха была практи- чески постоянной в течение серии эксперимен- тов, несмотря на сезонные изменения температу- ры. Схема создания двухслойной стратификации была следующей. Предварительно вспомогатель- ные металлические резервуары большого разме- ра заполнялись пресной водой. После нескольких дней, когда температура воды становилась рав- ной темепературе воздуха, эта вода использова- лась для создания двухслойной системы. Основ- ной бассейн заполнялся соленой водой (соленость составляла S = 15o/oo) до заданного уровня. Затем пресная вода медленно подавалась в бассейн че- рез волокнистый материал, который размещался на плавующем деревянном щите. Этот материал играл роль диссипатора энергии для предотвра- щения перемешивания жидкостей. После заполне- ния бассейна проводился селективный отбор воды из промежуточного (перемешанного) слоя с помо- щью вертикальной трубки с расширяющимся кон- цом, который помещался на границе между соле- ной и пресной водой. Это позволяло существенно уменьшить толщину промежуточного слоя и при- близить систему к двухслойной. Генерация внутренних уединенных волн осу- ществлялась, следуя модифицированной методи- ке, разработанной в работе [1]. Схема генератора представлена на рис. 2. Рис. 2. Модифицированная схема генератора внутренних уединенных волн В работе [32] для улучшения процесса генерации внутренних уединенных волн предложено исполь- зовать наклонную пластину (угол наклона состав- лял приблизительно 30◦ по отношению к верти- кальной оси). Наклон поверхности раздела после удаления пластины в таком случае лучше соответ- ствует форме генерируемой волны. Величина на- клона выбирается экспериментальным путем. Была проведена специальная серия эксперимен- тов в бассейне малых размеров для определения оптимального угла наклона и длины l+. Oбнару- жено, что при больших углах наклона происхо- дит интенсификация нежелательных возмущений, обусловленная увеличением протяженности пере- мещений пластины. В работе использовалась на- А. И. Кулик, В. И. Никишов, В. В. Олексюк, С. В. Пихур, А. Г. Стеценко 49 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 40 – 54 клонная под углом 48◦ к горизонту пластина. Как отмечалось выше, волна депрессии форми- руется после поднятия пластины, но одновременно происходит формирование волны поднятия, кото- рая распространяется в противоположном направ- лении. Для улучшения процесса формирования и распространения волны депрессии в работе осу- ществлялась отсечка возмущений, которые обра- зуются в выделенной части при отражении волны поднятия. Для этого в момент, когда волна подня- тия отражается от торцевой стенки, пластина во- звращалась в первоначальное положение, тем са- мым отсекая возмущения и не давая им возмож- ности проникать в выделенную часть бассейна. В отличие от работы [32], длина выделенной части l+ была достаточно большой, по крайней мере, боль- ше, чем длина уединенной волны. В результате происходило формирование внутренних уединен- ных волн депрессии со слабыми возмущениями в хвостовой части. Управление амплитудами гене- рируемых волн осуществлялось путем изменения объема пресной воды, наливаемой в выделенный объем, т. е. изменением глубины слоя раздела h+. Отметим, что плавающий деревянный щит, кото- рый использовался для дополнительного налива пресной воды в выделенную часть бассейна, не удалялся при генерации волн и служил дополни- тельным демпфером поверхностных возмущений. Измерения профиля плотности проводилось с помощью микрозондов проводимости, у которых диаметр чувствительной части составлял 0.8 мм. Калибровка зондов выполнялась с помощью ряда тестовых резервуаров с заданной концентрацией солености. При измерениях использовалась доста- точно высокая частота подводимого к датчикам напряжения. Отметим, что калибровочные кри- вые были существенно нелинейными и в ряде слу- чаев для нахождения регрессионной зависимости приходилось разделять кривую на части и нахо- дить перекрывающие друг друга регрессионные зависимости, описывающие каждую часть кривой. Типичное распределение солености, измеренное в опытах, представлено на рис. 3. Данные, относя- щиеся к профилю солености перед опытами, обо- значены квадратами, и данные, полученные перед вторым пробегом, изображены в виде треуголь- ников. Сплошные кривые, соответствующие этим данным, описываются выражением S = S0.5 [ 1 − th (z − z c) δ ] , где толщина слоя раздела равна 2 δ. В данном слу- чае параметры zc = 27.3 cм и δ = 0.43 cм соответ- ствуют кривой, полученной перед первым пробе- гом, и zc = 27.1 cм и δ = 0.43 cм – перед вто- рым пробегом. Видно, что толщина слоя раздела несколько увеличивается после первого пробега и его центр углубляется. После проведения двух эк- спериментов бассейн наполнялся вновь. Это свя- зано с размыванием слоя раздела при проведении опытов и после нескольких пробегов предположе- ние о двухслойной стратификации становилось не- справедливым. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ ВНУТРЕННИХ УЕДИНЕННЫХ ВОЛН Измерения перемещений поверхности раздела, вызванные распространяющимися внутренними уединенными волнами, выполнялись с помощью распределенных емкостных датчиков, полностью погруженных в воду. Каждый датчик состоял из двух параллельных тонких изолированных прово- лок. Емкость этой системы зависит от расстояния между ними, солености (электрической проводи- мости среды) нижнего слоя и глубины погружения проволок в нижний слой. Поэтому изменение вер- тикального положения поверхности раздела бу- дет вызывать изменение емкости датчика. С по- мощью разработанной системы сбора и обработки получаемых сигналов от датчиков осуществлялся быстрый опрос датчиков, преобразование сигна- лов в цифровой код и экспресс-обработка данных с помощью ПК. Калибровка датчиков выполнялась с помощью специального резервуара с пресной во- дой, в котором располагался резервуар меньших размеров, заполненный соленой водой. Резервуар был электрически связан с основным бассейном. Отметим, что в отличие от датчиков электриче- ской проводимости, рабочие характеристики рас- пределенных емкостных датчиков были близки к линейным. В процессе проведения экспериментов датчи- ки располагались вдоль бассейна, что позволяло определять скорость распространения волны, ее амплитуду, форму профиля. В качестве приме- ра на рис. 4 изображены перемещения поверхно- сти раздела, вызванные распространяющейся вол- ной в процессе ее взаимодействия с донным пре- пятствием прямоугольной формы [33]. Вдоль аб- сциссы отложено время и вдоль ординаты верти- кальные перемещения поверхности раздела. Да- тчик располагался перед препятствием. На графи- ках можно различить распространяющуюся волну (1), волну, отраженную от препятствия (2), отра- женную от опущенной наклонной пластины (3), и наконец, волну, отраженную от торцевой стен- 50 А. И. Кулик, В. И. Никишов, В. В. Олексюк, С. В. Пихур, А. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 40 – 54 Рис. 3. Профили солености перед первым и вторым пробегами Рис. 4. Перемещения поверхности раздела ки бассейна и прошедшую над препятствием (4). Аналогичные данные регистрировались датчика- ми, расположенными за препятствием. Анализ данных, полученных с помощью рас- пределенных емкостных датчиков, в эксперимен- те дополнялся результатами обработки цифровых фотографий процесса распространения волн. Для этого граница между слоями (или верхний слой) окрашивалась, что позволяло получать также ви- деозапись изучаемого процесса. Как установлено рядом авторов ([1, 4 и др.]), КДВ теория адекватно описывает характеристики уединенных волн малой амплитуды. Форма про- филя волны в соответствии с этой теорией опре- деляется следующим выражением: η (x, t ) = a sech 2 ( X − c∗ t λ ) , (6) где a, c∗, λ – амплитуда, фазовая скорость и дли- на волны соответственно. Фазовая скорость c∗ описывается такой зависимостью: [34] c ∗ = c 0 ( 1 + 1 2 a (h 2 − h 1) h 1 h 2 ) , (7) где c 0 – скорость волн бесконечно малой амплиту- ды, c 0 = ( g′ h 1 h 2 H )1 / 2 . (8) В качестве примера на рис. 5 представлены изме- ренные профили падающей и прошедшей внутрен- них уединенных волн. В качестве препятствия использовалась тонкая вертикально установлен- ная на дне пластина. Теоретический профиль, описываемый выражением (6), изображен в виде сплошной кривой. Можно видеть, что профиль па- дающей волны отличается от теоретического про- филя. Это связано с тем, что амплитуда внутренней уединенной волны была большой (в данном слу- чае она была равна 5.1 см) и отклонения от теории КДВ наглядно видны на рисунке. Амплитуда про- шедшей волны была заметно меньше (a = 3.5 см) и отклонения существенно меньше. Отметим, что для уединенных волн малой амплитуды отклоне- ний от теоретического профиля практически не наблюдалось. Одной из важных характеристик внутренних уе- диненных волн является энергия волны. Для ана- лиза изменений энергии волны удобно, следуя ра- боте [13], рассматривать потенциальную энергию волны: E = 1 2 (ρ 2 − ρ 1 ) g x 2 ∫ x 1 η 2 (x, t ) d x . (9) Для уединенных волн малой амплитуды потенци- альная энергия практически равна кинетической энергии [34], для других волн они пропорциональ- ны друг другу. Как отмечалось выше, затухание энергии волны по мере ее распространения вдоль бассейна необходимо учитывать при расчете та- кой характеристики как коэффициент отражения. Кроме того, скорость затухания волновой энер- гии является важной характеристикой самого бас- сейна. Экспериментальная оценка величины по- терь энергии волны, распространяющейся вдоль бассейна, была сделана на основе данных, полу- чаемых распределенными емкостными датчиками, которые располагались вдоль бассейна на задан- ном расстоянии друг от друга. Подобная оценка А. И. Кулик, В. И. Никишов, В. В. Олексюк, С. В. Пихур, А. Г. Стеценко 51 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 40 – 54 Рис. 5. Профили падающей (а) и прошедшей (b) волн была осуществлена в работе [34], в которой изу- чались внутренние уединенные волны депрессии. Авторы рассмотрели изменение отношения мгно- венной энергией волны E, рассчитанной по фор- муле (9), к начальной энергии волны E0 в зави- симости от нормализованной пройденной длины x/H(h2/H). Отметим, что при обработке данных учитывались также многократно отраженные вол- ны от торцевых стенок, что позволило существен- но расширить диапазон изменения переменной x. Анализ представленных результатов показал, что для оценки затухания волны, когда волна рас- пространилась на относительно небольшое рассто- яние, представленные данные описываются экспо- ненциальной зависимостью, и затухание энергии волны может быть E E 0 = 10 − b x , (10) где b – постоянная величина. Было найдено, что величина b =0.023 соответ- ствует представленным в работе [34] данным. Основываясь на таком подходе, обработка полу- ченных данных показала, что затухание энергии внутренней уединенной волны может быть описа- но с помощью соотношения (10) с показателем эк- споненты b =0.021. Результаты представлены на рис. 6, где сплошная линия соответствует законо- мерности (10). Полученные результаты особенно важны при изучении процессов рассеивания уеди- ненной волны на донных препятствиях и отраже- нии от берега. Рис. 6. Затухание энергии волны с расстоянием ЗАКЛЮЧЕНИЕ Подводя итоги, можно сделать следующие выво- ды. 1. Внутренние волны играют существенную роль в процессах транспорта массы и энергии в стратифицированных морях и озерах. Общее при- ближение распределения плотности – это конфи- гурация с двумя слоями с верхним слоем лег- кой жидкости и более тяжелой жидкости в ни- жнем слое. Скачок плотности на поверхности ра- здела соответствует положению термоклина в ре- альном водоеме. Такая конфигурация с двумя сло- 52 А. И. Кулик, В. И. Никишов, В. В. Олексюк, С. В. Пихур, А. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 40 – 54 ями адекватно моделирует реальные стратифици- рованные водоемы. 2. Существует несколько методов генерации внутренних волн, распространяющихся вдоль по- верхности раздела двух жидкостей различной плотности. Генерация внутренних волн происхо- дит обычно при вертикальном перемещении вол- нового генератора, расположенного на границе ра- здела жидкостей. Существуют два основных ти- па таких генераторов, которые чаще всего исполь- зуются в экспериментах. Первый тип генерато- ра представляет собой крыльевой профиль, совер- шающий угловые колебания на границе раздела жидкостей (“flap-type”). Во втором типе генера- тора внутренние волны формируются при верти- кальных колебаниях погруженного тела обтекае- мой формы на границе раздела. Внутренняя уе- диненная волна генерируется путем перемещения этого тела на заданное расстояние, что приводит к локальному смещению границы раздела и после- дующему образованию волны. Подобное смещение границы раздела может быть произведено движе- нием поршня, расположенного у дна вблизи торце- вой стенки бассейна. Система с двумя поршнями также может использоваться для генерации вну- тренних уединенных волн. В этих методах доволь- но важно не допустить отрыва потока на движу- щемся теле, поскольку это обуславливает появле- ние вихревых структур и последующую турбули- зацию жидкости. Локализованный подъем грани- цы раздела может быть образован путем выде- ления части бассейна, в которой создается дву- хслойная жидкость, но с другим положением гра- ницы раздела. Выпуская жидкость, находящуюся в выделенной части, в бассейн можно генериро- вать как одну, так и цуг нелинейных внутренних волн (“step-pool method”). 3. Важным вопросом является создание ступен- чатой границы между слоями, чтобы использо- вать полученные данные для сравнения с теоре- тическими результатами. Необходимо заполнять как можно тщательно бассейн жидкостями, чтобы достигнуть маленькой толщины промежуточного слоя. Это позволяет применять для описания ге- нерируемых волн довольно простые зависимости, полученные для жидкости с двумя слоями, вме- сто того, чтобы решить более сложную проблему Штурма–Лиувилля для случая непрерывной стра- тификации. 4. В большинстве выполненных измерений структуры поля плотности использовались да- тчики, измеряющие электрическую проводимость среды. В работах, как правило, не уделено доста- точного внимания такому важному вопросу, как частота работы датчика. Известно, что двойной электрический слой ионов формируется вблизи электродов датчиков. Этот слой оказывает значи- тельное влияние на точность измерений, поэтому для нормального функционирования измеритель- ного оборудования необходимо использовать высо- кую рабочую частоту датчиков. Кроме того, да- тчики электрической проводимости имеют сильно нелинейные рабочие характеристики и приходится принимать специальные меры для их линеариза- ции. 5. В результате сравнения экспериментальных данных с теоретическими зависимостями показа- но, что при малых амплитудах характеристики внутренних уединенных волн могут быть успешно описаны на основании КДВ теории. Для описания волн большой амплитуды необходимо привлекать полностью нелинейные теории. В качестве альтер- нативы может быть использована EКДВ теория. 6. Разработанный модифицированный метод ге- нерации уединенных волн обладает рядом преиму- ществ по сравнению с методами, разработанными другими авторами. В частности, отсечка “хвоста” позволяет существенно уменьшить интенсивность возмущений за волной, что важно при изучении процессов рассеяния волн на донных препятстви- ях и при отражении от берега. Необходимо под- черкнуть, что метод позволяет осуществлять гене- рацию существенно нелинейных уединенных волн, что представляет несомненный интерес при мо- делировании процессов распространения уединен- ных волн в стратифицированных средах. 1. Kao, T.W., Pan, F.S. Renouard, D. Internal soliton on the pycnocline: Generation, propagation, and shoaling and breaking over a slope // J. Fluid Mech.– 1985.– 159.– P. 19-53. 2. Grue, J., Jensen, P.O., Rusas, P.-O., Sveen, J.K. Properties of large-amplitude internal waves // J. Fluid Mech.– 1999.– 380.– P. 257-278. 3. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях.– М.: Мир, 1977.– 432 с. 4. Koop, С.G., Butler, G. An investigation of internal solitary waves in a two-fluid system // J. Fluid Mech.– 1981.– 112.– P. 225-251. 5. Lee, C.-Y., Beardsley, R.C. The generation of long nonlinear internal waves in a weakly stratified shear flow // J. Geophys. Res.– 1974.– 79.– P. 453-457. 6. Gear, J., Grimshaw, R. A second-order theory for soli- tary waves in shallow fluids // Phys. Fluids.– 1983.– 26.– P. 14-29. 7. Segur, H., Hammack, J.L. Soliton models of long internal waves // J. Fluid Mech.– 1982.– 118.– P. 285- 304. 8. Walker, S.A., Martin, A.J., Easson, W.J., Evans, W.A.B. Comparison of laboratory and theoretical internal solitary wave kinematics // J. Waterway, Port, Coastal and Ocean Eng.– 2003.– 129.– P. 210-218. А. И. Кулик, В. И. Никишов, В. В. Олексюк, С. В. Пихур, А. Г. Стеценко 53 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 2. С. 40 – 54 9. Evans, W.A.B., Ford, M.J. An integral equation approach to internal (2-layer) solitary waves // Phys. Fluids.– 1996.– 8.– P. 2032-2047. 10. Букреев В.И., Гаврилов Н.В. Экспериментальное исследование уединенных внутренних волн в дву- хслойной жидкости // ЖПМТФ.– 1983.– №5.– С. 51-56. 11. Carr, M., Davies, P.A. The motion of an internal soli- tary wave of depression over a fixed bottom bouddary in a shallow, two-layer fluid // Phys. Fluids.– 2006.– 18.– P. 016601. 12. Bourgault, D., Kelley, D.E. On the reflectance of uni- form slopes for normally incident interfacial solitary nwaves // J. Phys. Oceanogr.– 2007.– 37.– P. 1156- 1162. 13. Michallet, H., Barthelemy, E. Experimental study of interfacial solitary waves // J. Fluid Mech.– 1998.– 366.– P. 159-177. 14. Funakoshi, M. Long internal waves in a two-layer fluid // J. Phys. Soc. Japan.– 1985.– 54.– P. 2470- 2476. 15. Funakoshi, M., Oikawa, M. Long internal waves of large amplitude in a two-layer fluid // J. Phys. Soc. Japan.– 1986.– 55.– P. 128-144. 16. Ostrovsky, L.A., Stepanyants, Y.A. Internal solitons in laboratory experiments: Comparison with theoreti- cal models // Chaos.– 2005.– 15.– P. 037111. 17. Wessel, F., Hutter, K. Interaction of internal waves with topographic sill in a two-layer fluid // J. Phys. Oceanogr.– 1996.– 26.– P. 5-20. 18. Helfrich, K.R., Melville, W.K. On long nonlinear internal waves over slope-shelf topography // J. Fluid Mech.– 1986.– 167.– P. 285-308. 19. Wallace, B.C., Wilkinson, D.L. Run-up of internal waves on a gentle slope in a two-layered system // J. Fluid Mech.– 1988.– 191.– P. 419-442. 20. Umeyama, M, Experimental and theoretical analyses of internal waves of finite amplitude // J. Waterway, Port, Coastal and Ocean Eng.– 2002.– 128.– P. 133- 141. 21. Horn, D.A., Redekopp, L.G., Imberger, J., Ivey, G.N. Internal wave evolution in a space- time varying field // J. Fluid Mech.– 2000.– 424.– P. 279-301. 22. Horn, D.A., Imberger, J., Ivey, G.N. The degenerati- on of large-scale interfacial gravity waves in lakes // J. Fluid Mech.– 2001.– 434.– P. 181-207. 23. Boegman L., Ivey G.N., Imberger J. The degeneration of internal waves in lakes with sloping topography // Limnol. Oceanogr.– 2005.– 50.– P. 1620–1637. 24. Troy, C.D., Koseff, J.R. The generation and quanti- tative visualization of breaking internal waves // Exp. Fluids.– 2005.– 38.– P. 549-562. 25. Keulegan, G.H. Gradual damping of solitary waves // J. Res. Natl. Bur. Stand.– 1948.– 40.– P. 480-487. 26. Leone C., Segur H., Hammack J.L. Viscous decay of long internal solitary waves // Phys. Fluids.– 1982.– 25.– P. 942-944. 27. Segur H., Hammack J.L. Soliton models of long internal waves // J. Fluid Mech.– 1982.– 118.– P. 285- 304. 28. Troy C.D., Koseff J.R. The viscous decay of progressi- ve interfacial waves // Phys. Fluids.– 2006.– 18.– P. 026602. 29. Гаврилов Н.В. Вязкое затухание уединенных внутренних волн в двухслойной жидкости // ЖПМТФ.– 1988.– №4.– С. 51-54. 30. Букреев В.И., Гаврилов Н.В. Эксперименталь- ное исследование уединенных внутренних волн в двухслойной жидкости // ЖПМТФ.– 1983.– №5.– С. 54-57. 31. Sveen J.K., Guo Y., Davies P.A., Grue J. On the breaking of internal solitary waves at a ridge // J. Fluid Mech.– 2002.– 469.– P. 161-188. 32. Michallet, H., Ivey, G.N. Experiments on mixing due to internal solitary waves breaking on uniform slopes // J. Geophys. Res.– 1999.– 104.– P. 13467- 13477. 33. Бровченко И. А., Городецкая Н. С., Мадерич В. С., Никишов В. И., Терлецкая Е. В. Взаимодействие внутренних уединенных волн большой амплитуды с препятствием // Прикладна гiдромеханiка.– 2007.– Том 9(81), №1.– С. 3-8. 34. Bogucki, D., Garrett, C. A simple model for the shear-induced decay of an internal solitary wave // J. Phys. Oceanogr.– 1993.– 8.– P. 1767-1776. 54 А. И. Кулик, В. И. Никишов, В. В. Олексюк, С. В. Пихур, А. Г. Стеценко
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87659
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1561-9087
language	Russian
last_indexed	2025-12-01T09:56:40Z
publishDate	2009
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Кулик, А.И. Никишов, В.И. Олексюк, В.В. Пихур, С.В. Стеценко, А.Г. 2015-10-22T18:07:31Z 2015-10-22T18:07:31Z 2009 Исследование распространения сильно нелинейных внутренних волн в каналах и их взаимодействие с топографическими неоднородностями. 1. Генерация и распространение волн / А.И. Кулик, В.И. Никишов, В.В. Олексюк, С.В. Пихур, А.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 2. — С. 40-54. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87659 532.405 Рассмотрены методы генерации внутренних волн в лабораторных условиях. Основное внимание уделено внутренним уединенным волнам, распространяющимся вдоль поверхности раздела в двухслойной среде. Описан модифицированный ``метод ступенчатого бассейна'', на основе которого проведены экспериментальные исследования характеристик внутренних уединенных волн. Приведено описание установки и методики проведения экспериментов. Показано, что при малых амплитудах характеристики внутренних уединенных волн могут быть успешно описаны на основании КДВ теории. Для описания волн большой амплитуды необходимо привлекать полностью нелинейные теории. В качестве альтернативы может быть использована EКДВ теория. Розглянуто методи генерацiї внутрiшнiх хвиль у лабораторних умовах. Основну увагу придiлено внутрiшнiм вiдокремленим хвилям, що розповсюджуються вздовж границi роздiлу в двошаровому середовищi. Описано модiфiкований ``метод ступiнчастого басейну'', на основi якого проведено експериментальнi дослiдження характеристик внутрiшнiх вiдокремлених хвиль. Наведено опис установки та методiки проведення експериментiв. Показано, що при малих амплiтудах характеристики внутрiшнiх вiдокремлених хвиль можуть бути отриманi на основi КДВ теорiї. Для опису хвиль великої амплiтуди необхiдно застосовувати повнiстю нелiнiйнi теорiї. В якостi альтернативи може використовуватись ЕКДВ теорiя. Methods of generation of internal waves in laboratory conditions are considered. The emphasis is on internal solitary waves propagating along the interface in two-layer medium. The modified Уstep pool methodФ has been used to carry out experimental investigations of characteristics of internal solitary waves. The experimental facility and methodology of experiments are described. It is shown that KdV theory can be used successfully to obtain the characteristics of internal solitary waves of small amplitude. Fully non-linear theories are used to describe waves of large amplitude, and EKdV theory can be applied as alternative theory. ru Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Исследование распространения сильно нелинейных внутренних волн в каналах и их взаимодействие с топографическими неоднородностями. 1. Генерация и распространение волн Study of propagation of strongly nonlinear internal waves in channels and its interaction with topographic inhomogeneties. 1. Wave generation and propagation Article published earlier
spellingShingle	Исследование распространения сильно нелинейных внутренних волн в каналах и их взаимодействие с топографическими неоднородностями. 1. Генерация и распространение волн Кулик, А.И. Никишов, В.И. Олексюк, В.В. Пихур, С.В. Стеценко, А.Г.
title	Исследование распространения сильно нелинейных внутренних волн в каналах и их взаимодействие с топографическими неоднородностями. 1. Генерация и распространение волн
title_alt	Study of propagation of strongly nonlinear internal waves in channels and its interaction with topographic inhomogeneties. 1. Wave generation and propagation
title_full	Исследование распространения сильно нелинейных внутренних волн в каналах и их взаимодействие с топографическими неоднородностями. 1. Генерация и распространение волн
title_fullStr	Исследование распространения сильно нелинейных внутренних волн в каналах и их взаимодействие с топографическими неоднородностями. 1. Генерация и распространение волн
title_full_unstemmed	Исследование распространения сильно нелинейных внутренних волн в каналах и их взаимодействие с топографическими неоднородностями. 1. Генерация и распространение волн
title_short	Исследование распространения сильно нелинейных внутренних волн в каналах и их взаимодействие с топографическими неоднородностями. 1. Генерация и распространение волн
title_sort	исследование распространения сильно нелинейных внутренних волн в каналах и их взаимодействие с топографическими неоднородностями. 1. генерация и распространение волн
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87659
work_keys_str_mv	AT kulikai issledovanierasprostraneniâsilʹnonelineinyhvnutrennihvolnvkanalahiihvzaimodeistviestopografičeskimineodnorodnostâmi1generaciâirasprostranenievoln AT nikišovvi issledovanierasprostraneniâsilʹnonelineinyhvnutrennihvolnvkanalahiihvzaimodeistviestopografičeskimineodnorodnostâmi1generaciâirasprostranenievoln AT oleksûkvv issledovanierasprostraneniâsilʹnonelineinyhvnutrennihvolnvkanalahiihvzaimodeistviestopografičeskimineodnorodnostâmi1generaciâirasprostranenievoln AT pihursv issledovanierasprostraneniâsilʹnonelineinyhvnutrennihvolnvkanalahiihvzaimodeistviestopografičeskimineodnorodnostâmi1generaciâirasprostranenievoln AT stecenkoag issledovanierasprostraneniâsilʹnonelineinyhvnutrennihvolnvkanalahiihvzaimodeistviestopografičeskimineodnorodnostâmi1generaciâirasprostranenievoln AT kulikai studyofpropagationofstronglynonlinearinternalwavesinchannelsanditsinteractionwithtopographicinhomogeneties1wavegenerationandpropagation AT nikišovvi studyofpropagationofstronglynonlinearinternalwavesinchannelsanditsinteractionwithtopographicinhomogeneties1wavegenerationandpropagation AT oleksûkvv studyofpropagationofstronglynonlinearinternalwavesinchannelsanditsinteractionwithtopographicinhomogeneties1wavegenerationandpropagation AT pihursv studyofpropagationofstronglynonlinearinternalwavesinchannelsanditsinteractionwithtopographicinhomogeneties1wavegenerationandpropagation AT stecenkoag studyofpropagationofstronglynonlinearinternalwavesinchannelsanditsinteractionwithtopographicinhomogeneties1wavegenerationandpropagation

Institution

Similar Items