Классификация взаимодействий двух осесимметричных вихревых колец Дайсона в бесконечной цилиндрической трубе
Рассматривается задача о взаимодействии системы осесимметричных вихревых колец внутри бесконечной цилиндрической поверхности (трубы), заполненной идеальной несжимаемой жидкостью. Уравнения движения вихрей имеет гамильтонову структуру и два независимых инварианта движения, выражающих закон сохранения...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладна гідромеханіка |
|---|---|
| Дата: | 2009 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2009
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87663 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Классификация взаимодействий двух осесимметричных вихревых колец Дайсона в бесконечной цилиндрической трубес / А.А. Гуржий // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 3. — С. 8-20. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87663 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гуржий, А.А. 2015-10-22T19:16:50Z 2015-10-22T19:16:50Z 2009 Классификация взаимодействий двух осесимметричных вихревых колец Дайсона в бесконечной цилиндрической трубес / А.А. Гуржий // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 3. — С. 8-20. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87663 539.3 Рассматривается задача о взаимодействии системы осесимметричных вихревых колец внутри бесконечной цилиндрической поверхности (трубы), заполненной идеальной несжимаемой жидкостью. Уравнения движения вихрей имеет гамильтонову структуру и два независимых инварианта движения, выражающих закон сохранения импульса вдоль оси движения и закон сохранения кинетической энергии движения колец. Исследования показывают, что два вихревых кольца могут образовывать стационарную структуру, которая движется с постоянной осевой скоростью вдоль трубы. В случае одинаковых по знаку интенсивностей вихрей кольца могут участвовать в разовом и периодическом взаимодействиях. Сформирована система нелинейных уравнений, которая позволяет определить область допустимых начальных параметров вихрей для периодического движения. Вихревые кольца с противоположными по знаку интенсивностями также могут двигаться по периодическим траекториям. Построены области начальных параметров вихревых колец для каждого из возможных типов движения двух осесимметричных вихрей с противоположными по знаку интенсивностями в круглой трубе, заполненной идеальной несжимаемой жидкостью. Розглядається задача про взаємодiю системи вiсесиметричних вихрових кiлець внутрi нескiнченної цилiндричної поверхнi (труби), заповненої iдеальною нестисливої рiдиною. Рiвняння руху вихорiв має гамiльтонову структуру i два незалежнi iнварiанти руху, якi виражають закон збереження iмпульсу уздовж осi руху i закон збереження кiнетичної енергiї руху кiлець. Дослiдження показують, що два вихровi кiльця можуть утворювати стацiонарну структуру, яка рухається з постiйною осьовою швидкiстю уздовж труби. У разi однакових по знаку iнтенсивностей вихорiв кiльця можуть брати участь у разовiй i перiодичнiй взаємодiях. Сформовано систему нелiнiйних рiвнянь, яка дозволяє визначити область допустимих початкових параметрiв вихорiв для перiодичного руху. Вихровi кiльця з протилежними по знаку iнтенсивностямi так само можуть рухатись по перiодичних траєкторiях. Побудовано областi початкових параметрiв вихрових кiлець для кожного з можливих типiв руху двох осесиметричних вихорiв з протилежними по знаку iнтенсивностямi в круглiй трубi, заповненiй iдеальною нестисливою рiдиною. The problem on interaction of the system of axisymmetrical vortex rings inside an unbounded cylindrical surface (pipes) filled by an ideal incompressible fluid is considered. Equations of motion of vortices have Hamiltonian structure and two independent invariants of motion, which express the law of impulse conservation along the axis of motion and the law of kinetic energy conservation of ring motion. Researches show that two vortex rings can form a stationary structure which moves with fixed axial velocity along the axis of symmetry. In the case of vortex intensities, which are identical on a sign, rings can participate in single interaction and periodic motion. The system of nonlinear equations, which allows define the region of possible initial parameters of vortices for periodic motion, is formed. Vortex rings with opposite sign of intensities also can move by periodic trajectories. The regions of initial parameters of vortex rings for each of possible types of motion for two axisymmetric vortices with opposite sign of intensities inside a circular pipe filled by an ideal incompressible fluid are drown. ru Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Классификация взаимодействий двух осесимметричных вихревых колец Дайсона в бесконечной цилиндрической трубе Classification of interaction of two axisymmetric Dyson's vortex rings in infinite cylindrical tube Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Классификация взаимодействий двух осесимметричных вихревых колец Дайсона в бесконечной цилиндрической трубе |
| spellingShingle |
Классификация взаимодействий двух осесимметричных вихревых колец Дайсона в бесконечной цилиндрической трубе Гуржий, А.А. |
| title_short |
Классификация взаимодействий двух осесимметричных вихревых колец Дайсона в бесконечной цилиндрической трубе |
| title_full |
Классификация взаимодействий двух осесимметричных вихревых колец Дайсона в бесконечной цилиндрической трубе |
| title_fullStr |
Классификация взаимодействий двух осесимметричных вихревых колец Дайсона в бесконечной цилиндрической трубе |
| title_full_unstemmed |
Классификация взаимодействий двух осесимметричных вихревых колец Дайсона в бесконечной цилиндрической трубе |
| title_sort |
классификация взаимодействий двух осесимметричных вихревых колец дайсона в бесконечной цилиндрической трубе |
| author |
Гуржий, А.А. |
| author_facet |
Гуржий, А.А. |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладна гідромеханіка |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Classification of interaction of two axisymmetric Dyson's vortex rings in infinite cylindrical tube |
| description |
Рассматривается задача о взаимодействии системы осесимметричных вихревых колец внутри бесконечной цилиндрической поверхности (трубы), заполненной идеальной несжимаемой жидкостью. Уравнения движения вихрей имеет гамильтонову структуру и два независимых инварианта движения, выражающих закон сохранения импульса вдоль оси движения и закон сохранения кинетической энергии движения колец. Исследования показывают, что два вихревых кольца могут образовывать стационарную структуру, которая движется с постоянной осевой скоростью вдоль трубы. В случае одинаковых по знаку интенсивностей вихрей кольца могут участвовать в разовом и периодическом взаимодействиях. Сформирована система нелинейных уравнений, которая позволяет определить область допустимых начальных параметров вихрей для периодического движения. Вихревые кольца с противоположными по знаку интенсивностями также могут двигаться по периодическим траекториям. Построены области начальных параметров вихревых колец для каждого из возможных типов движения двух осесимметричных вихрей с противоположными по знаку интенсивностями в круглой трубе, заполненной идеальной несжимаемой жидкостью.
Розглядається задача про взаємодiю системи вiсесиметричних вихрових кiлець внутрi нескiнченної цилiндричної поверхнi (труби), заповненої iдеальною нестисливої рiдиною. Рiвняння руху вихорiв має гамiльтонову структуру i два незалежнi iнварiанти руху, якi виражають закон збереження iмпульсу уздовж осi руху i закон збереження кiнетичної енергiї руху кiлець. Дослiдження показують, що два вихровi кiльця можуть утворювати стацiонарну структуру, яка рухається з постiйною осьовою швидкiстю уздовж труби. У разi однакових по знаку iнтенсивностей вихорiв кiльця можуть брати участь у разовiй i перiодичнiй взаємодiях. Сформовано систему нелiнiйних рiвнянь, яка дозволяє визначити область допустимих початкових параметрiв вихорiв для перiодичного руху. Вихровi кiльця з протилежними по знаку iнтенсивностямi так само можуть рухатись по перiодичних траєкторiях. Побудовано областi початкових параметрiв вихрових кiлець для кожного з можливих типiв руху двох осесиметричних вихорiв з протилежними по знаку iнтенсивностямi в круглiй трубi, заповненiй iдеальною нестисливою рiдиною.
The problem on interaction of the system of axisymmetrical vortex rings inside an unbounded cylindrical surface (pipes) filled by an ideal incompressible fluid is considered. Equations of motion of vortices have Hamiltonian structure and two independent invariants of motion, which express the law of impulse conservation along the axis of motion and the law of kinetic energy conservation of ring motion. Researches show that two vortex rings can form a stationary structure which moves with fixed axial velocity along the axis of symmetry. In the case of vortex intensities, which are identical on a sign, rings can participate in single interaction and periodic motion. The system of nonlinear equations, which allows define the region of possible initial parameters of vortices for periodic motion, is formed. Vortex rings with opposite sign of intensities also can move by periodic trajectories. The regions of initial parameters of vortex rings for each of possible types of motion for two axisymmetric vortices with opposite sign of intensities inside a circular pipe filled by an ideal incompressible fluid are drown.
|
| issn |
1561-9087 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87663 |
| citation_txt |
Классификация взаимодействий двух осесимметричных вихревых колец Дайсона в бесконечной цилиндрической трубес / А.А. Гуржий // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 3. — С. 8-20. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT guržiiaa klassifikaciâvzaimodeistviidvuhosesimmetričnyhvihrevyhkolecdaisonavbeskonečnoicilindričeskoitrube AT guržiiaa classificationofinteractionoftwoaxisymmetricdysonsvortexringsininfinitecylindricaltube |
| first_indexed |
2025-11-24T11:37:33Z |
| last_indexed |
2025-11-24T11:37:33Z |
| _version_ |
1850845463053336576 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 8 – 20
УДК 539.3
КЛАССИФИКАЦИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ ДВУХ
ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ВИХРЕВЫХ КОЛЕЦ ДАЙСОНА
В БЕСКОНЕЧНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТРУБЕ
А. А. Г У РЖ И Й
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев, Украина
Получено 11.01.2009
Рассматривается задача о взаимодействии системы осесимметричных вихревых колец внутри бесконечной цилин-
дрической поверхности (трубы), заполненной идеальной несжимаемой жидкостью. Уравнения движения вихрей
имеет гамильтонову структуру и два независимых инварианта движения, выражающих закон сохранения импульса
вдоль оси движения и закон сохранения кинетической энергии движения колец. Исследования показывают, что два
вихревых кольца могут образовывать стационарную структуру, которая движется с постоянной осевой скоростью
вдоль трубы. В случае одинаковых по знаку интенсивностей вихрей кольца могут участвовать в разовом и перио-
дическом взаимодействиях. Сформирована система нелинейных уравнений, которая позволяет определить область
допустимых начальных параметров вихрей для периодического движения. Вихревые кольца с противоположными
по знаку интенсивностями также могут двигаться по периодическим траекториям. Построены области начальных
параметров вихревых колец для каждого из возможных типов движения двух осесимметричных вихрей с противо-
положными по знаку интенсивностями в круглой трубе, заполненной идеальной несжимаемой жидкостью.
Розглядається задача про взаємодiю системи вiсесиметричних вихрових кiлець внутрi нескiнченної цилiндричної
поверхнi (труби), заповненої iдеальною нестисливої рiдиною. Рiвняння руху вихорiв має гамiльтонову структуру
i два незалежнi iнварiанти руху, якi виражають закон збереження iмпульсу уздовж осi руху i закон збереження
кiнетичної енергiї руху кiлець. Дослiдження показують, що два вихровi кiльця можуть утворювати стацiонарну
структуру, яка рухається з постiйною осьовою швидкiстю уздовж труби. У разi однакових по знаку iнтенсивностей
вихорiв кiльця можуть брати участь у разовiй i перiодичнiй взаємодiях. Сформовано систему нелiнiйних рiвнянь,
яка дозволяє визначити область допустимих початкових параметрiв вихорiв для перiодичного руху. Вихровi кiльця
з протилежними по знаку iнтенсивностямi так само можуть рухатись по перiодичних траєкторiях. Побудовано
областi початкових параметрiв вихрових кiлець для кожного з можливих типiв руху двох осесиметричних вихорiв
з протилежними по знаку iнтенсивностямi в круглiй трубi, заповненiй iдеальною нестисливою рiдиною.
The problem on interaction of the system of axisymmetrical vortex rings inside an unbounded cylindrical surface (pipes)
filled by an ideal incompressible fluid is considered. Equations of motion of vortices have Hamiltonian structure and two
independent invariants of motion, which express the law of impulse conservation along the axis of motion and the law of
kinetic energy conservation of ring motion. Researches show that two vortex rings can form a stationary structure which
moves with fixed axial velocity along the axis of symmetry. In the case of vortex intensities, which are identical on a sign,
rings can participate in single interaction and periodic motion. The system of nonlinear equations, which allows define
the region of possible initial parameters of vortices for periodic motion, is formed. Vortex rings with opposite sign of
intensities also can move by periodic trajectories. The regions of initial parameters of vortex rings for each of possible
types of motion for two axisymmetric vortices with opposite sign of intensities inside a circular pipe filled by an ideal
incompressible fluid are drown.
ВВЕДЕНИЕ
Вихревая динамика представляет собой одно
из наиболее интенсивно развиваемых направлений
современной гидромеханики. Повышенный инте-
рес к этой тематике можно объяснить стремлени-
ем многих исследователей к более глубокому осо-
знанию природы различных гидродинамических
явлений на основе более общих законов и законо-
мерностей, обусловленных внутренними процесса-
ми в сплошной среде. Вихревые структуры, фор-
мирующиеся в областях с большими градиентами
проекций поля скорости, сопровождают различ-
ные течения вязкой жидкости. Элементарная ча-
стица жидкости, участвующая в вихревом движе-
нии, обладает бо́льшим по сравнению с потенци-
альным течением числом степеней свободы и, как
результат, бо́льшим значением объемной плотнос-
ти энергии. Вихри описаны различными авторами
как "мускулы и источник звука"различных тече-
ний. Диссипация энергии крупномасштабных ви-
хревых структур по каскаду волновых чисел мо-
жет приводить к появлению вихрей меньшего мас-
штаба. Это один из путей формирования турбу-
лентности [1, 2].
Основополагающей в этом научном направле-
нии явилась работа Гельмгольца [3], в которой
были сформулированы основные законы (теоре-
мы) для вихревого движения в рамках модели
идеальной жидкости при условии потенциально-
сти внешних массовых сил и несжимаемости од-
нородной жидкости. Применительно к осесимме-
тричным задачам о движении системы вихревых
8 c© А. А. Гуржий, 2009
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 8 – 20
колец в безграничной жидкости эти теоремы по-
зволили сделать важные выводы о закономерно-
стях их движения. Вихревые кольца участвуют в
движении в рамках модели идеальной жидкости
неограниченно долгое время. Из второй теоремы
следует, что объем вихревого кольца с течением
времени не меняется.
На поверхности кольца составляющие скорости
должны быть непрерывными, при этом возникает
типичная задача о склейке потенциального и ви-
хревого движений [1,4]. Определение точной фор-
мы поперечного сечения вихревого кольца, согла-
сующейся с законом движения области завихрен-
ности, представляет сложную задачу.
В чрезвычайно интересной работе Дайсона [5]
приведен подробный вывод уравнений движения
системы тонких осесимметричных вихревых ко-
лец. Автором рассматриваются тонкие торрои-
дальные вихревые кольца, у которых форма попе-
речного сечения приблизительно круговая. В этом
случае эволюция вихря сопровождается деформа-
цией поверхности вихря при неизменной круго-
вой форме поперечного сечения и распределения
завихренности внутри кольца. В работе найдены
два инварианта движения, выражающих закон со-
хранения импульса жидкости вдоль оси движения
и закон сохранения кинетической энергии. С по-
мощью этих инвариантов были получены количе-
ственные результаты для ряда конкретных слу-
чаев взаимодействия вихрей. В современной ли-
тературе [6–10] задачу о взаимодействии тонких
коаксиальных колец связывают с исследования-
ми [5] и называют вихревыми кольцами Дайсона.
Эта модель вихревого течения находит широкое
применение при проведении качественного анали-
за различных гидродинамических течений.
Известно [3, 5, 6, 9], что два одинаковых осесим-
метричных вихревых кольца участвуют в перио-
дическом взаимодействии. Определенный вклад в
понимание условий, при которых вихревые коль-
ца могут формировать связанные системы, внесли
исследования Хикса [11]. В работе сделано пред-
положение, что предельный случай периодическо-
го взаимодействия двух вихрей определяется ра-
венством самоиндуцированных скоростей вихре-
вых колец, удаленных друг от друга на бесконе-
чное расстояние.
Впоследствии эта идея была реализована в ис-
следованиях [9, 12], в которых приведена полная
классификация взаимодействий системы двух осе-
симметричных вихревых колец в безграничной
жидкости. Используя гамильтонову форму урав-
нений движения [5,13] и упомянутые ранее два ин-
варианта движения, в работах сформирована не-
линейная система уравнений, которая определяет
нормированные области второго вихревого коль-
ца для периодического взаимодействия двух ви-
хревых колец, имеющих одинаковые и противопо-
ложные по знаку циркуляции вихрей. Важным в
этих исследованиях является то, что впервые было
обнаружено стационарное движение двух осесим-
метричных вихревых колец.
При анализе взаимодействий вихревых колец
с твердыми поверхностями активно используется
метод изображений. При этом каждому действи-
тельному вихревому кольцу в соответствие ста-
вится мнимая вихревая нить, параметры которой
зависят от параметров действительного кольца и
расстояния до твердой поверхности. В результа-
те общее число уравнений, описывающих динами-
ку осесимметричных колец, не увеличивается, а
граничное условие непротекания жидкости через
твердую поверхность выполняется точно.
Несмотря на широкое применение метода изо-
бражений при изучении плоских вихревых тече-
ний, его использование в осесимметричном слу-
чае оказывается ограниченным. Среди наиболее
распространенных решений следует отметить вза-
имодействие тонкого осесимметричного вихрево-
го кольца с плоской стенкой, расположенной пер-
пендикулярно к плоскости вихря, и движение ви-
хревой нити около (или внутри) сферической по-
верхности в приближении идеальной несжимае-
мой жидкости (смотри подробности в [6, Гл.4] или
в [1, §164]).
В настоящее время в современной литературе
имеется большое количество работ, посвященных
анализу взаимодействия крупномасштабных ви-
хрей в трубах (например, [14–18]). Большинство
работ связано с экспериментальными исследова-
ниями или с прямым численным моделированием
вихревого течения. Поверхность трубы существен-
но снижает осевую самоиндуцированную скорость
вихревого кольца и, в некоторых случаях, вихре-
вые кольца даже могут двигаться в обратном на-
правлении по отношению к самоиндуцированной
скорости.
В недавней публикации [19] рассмотрена зада-
ча о движении тонкого осесимметричного вихре-
вого кольца в круглой трубе. В основу численно-
аналитического решения задачи положен метод
дискретных особенностей, адаптированный к осе-
симметричным задачам. Для удовлетворения гра-
ничных условий на внутренней поверхности вво-
дится последовательность мнимых вихревых ни-
тей одинакового радиуса, смещенных друг отно-
сительно друга в осевом направлении на фикси-
рованное расстояние. Распределение интенсивно-
А. А. Гуржий 9
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 8 – 20
сти мнимых вихревых структур определяется из
условия равенства константе значения функции
тока на твердой поверхности. В работе приводятся
уравнения движения для системы тонких вихре-
вых колец. Гамильтонова форма уравнений дви-
жения совпадает с уравнениями для коаксиаль-
ных вихревых колец в безграничном пространс-
тве с гамильтонианом, учитывающим влияние гра-
ниц. Показано, что эти уравнения обладают двумя
инвариантами движения, которые соответствуют
закону сохранения импульса движения вдоль оси
трубы и закону сохранения кинетической энергии
движения вихревых колец.
Целью настоящей работы является классифи-
кация возможных типов взаимодействия системы
двух тонких осесимметричных вихревых колец в
бесконечной трубе, заполненной идеальной несжи-
маемой жидкостью.
1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
ВИХРЕВЫХ КОЛЕЦ
В ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ТРУБЕ
Рассмотрим взаимодействие системы N тонких
коаксиальных вихревых колец интенсивности Γi,
i = 1, ..., N , радиуса Ri, радиуса поперечного се-
чения ai (ai << Ri) и осевого положения Zi, ко-
торые помещены внутри прямолинейной бесконе-
чной цилиндрической поверхности (трубы) с кру-
говым поперечным сечением R0, заполненной иде-
альной несжимаемой жидкостью. Введем цилин-
дрическую систему координат (r, φ, z), совпадаю-
щую с осью симметрии поверхности (рис. 1).
Для выполнения граничного условия непротека-
ния жидкости на внутренней поверхности трубы
вводится система M мнимых вихревых нитей пе-
ременной интенсивности Γm, m = 1, ..., M , посто-
янного радиуса Rc, смещенных друг относитель-
но друга на расстояние ∆z. Поле скорости тече-
ния жидкости определяется суперпозицией вкла-
дов, наведенных со стороны N действительных ви-
хревых колец и системой M мнимых вихревых
нитей. В этом случае уравнения движения тон-
ких вихревых колец представляют собой систе-
му обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка (задача Коши), которая может
быть представлена в следующем виде [19]:
dRi
dt
= − 1
ΓiRi
∂U
∂Zi
, (1)
dZi
dt
=
Γi
4πRi
(
ln
8Ri
ai
− 1
4
)
+
1
ΓiRi
∂U
∂Ri
, (2)
aiRi = const , i = 1, ..., N , (3)
Рис. 1. Пространственное положение вихрей и
последовательности контрольных точек при анализе
выполнения граничного условия для функции тока
с начальными условиями
Ri(0) = R0
i , Zi(0) = Z0
i ,
ai(0) = n0
i R
0
i , n0
i � 1, (4)
где ni = ai/Ri – относительная толщина i-го ви-
хревого кольца.
В приведенных выражениях
U(Ri, Rj, Zi − Zj) =
N
∑
i=1
N
∑
j=1
′
ΓiΓj
4π
√
RiRj ×
×
[(
2
kij
− kij
)
K(kij) −
2
kij
E(kij)
]
+
+
N
∑
i=1
M
∑
m=1
ΓiΓm
4π
√
RcRi ×
×
[(
2
k
(ci)
mi
− k
(ci)
mi
)
K(k
(ci)
mi ) − 2
k
(ci)
mi
E(k
(ci)
mi )
]
, (5)
где k2
ij =
4RiRj
R2
max,ij
, [k
(ci)
mi ]2 =
4RiRc
[R
(ci)
max,mi]
2
,
R2
max,ij = (Ri + Rj)
2 + (Zi − Zj)
2 ,
[R
(ci)
max,mi]
2 = (Ri + Rc)
2 + (Zi − Zm)2,
Zm = Zs + (m − 1)∆z . (6)
Здесь Zs – осевое положение первой мнимой вихре-
вой нити. Штрих под знаком суммы в уравнении
(5) означает исключение из суммирования сингу-
лярного слагаемого i = j. Здесь и далее использу-
ются следующие обозначения в верхних индексах
10 А. А. Гуржий
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 8 – 20
(в круглых скобках): индекс c относится к мнимым
вихревым нитям, индекс 0 соответствует поверхно-
сти трубы, а индекс i относится к действительным
вихревым кольцам.
Интенсивности мнимых вихрей Γm (при m =
1, ..., M) определяются из условия равенства на-
веденной функции тока системой действительных
колец и мнимых вихревых нитей в системе M то-
чек коллокации, которые имеют одинаковые с соо-
тветствующими мнимыми вихревыми нитями осе-
вые положения. Это условие позволяет сформи-
ровать линейную алгебраическую систему уравне-
ний
[Anm] Γm = −Bn , n, m = 1, ..., M , (7)
где
[Anm] =
(
2
k
(co)
mn
− k(co)
mn
)
K(k(co)
mn ) − 2
k
(co)
mn
E(k(co)
mn ) ,
Bn =
N
∑
i=1
Γi
√
Ri
Rc
×
×
[(
2
k
(io)
in
− k
(io)
in
)
K(k
(io)
in ) − 2
kio
in
E(k
(io)
in )
]
(8)
с обозначениями
[k(co)
nm ]2 =
4R0Rc
[R
(co)
max,nm]2
, [k
(io)
in ]2 =
4R0Ri
[R
(io)
max,in]2
.
[R(co)
max,nm]2 = (Rc + R0)
2 + (Zn − Zm)2 ,
[R
(io)
max,in]2 = (Ri + R0)
2 + (Zi − Zn)2 , (9)
Zn = Zs + ∆z(n − 1) .
Можно показать, что значение радиальной со-
ставляющей скорости (1) вихревых колец опреде-
ляется только вкладом со стороны действитель-
ных колец. Мнимые вихревые нити (другими сло-
вами, внутренняя поверхность трубы) в прибли-
жении идеальной жидкости не оказывают влия-
ние на радиальную компоненту скорости вихре-
вых колец. В выражении (1) для осевой компонен-
ты скорости первое слагаемое представляет собой
самоиндуцированную скорость тонкого вихревого
кольца [5,6,11], а второе слагаемое описывает наве-
денную компоненту скорости со стороны системы
действительных колец и мнимых вихревых нитей.
Динамическая система (1) обладает двумя неза-
висимыми инвариантами движения, выражающи-
ми законы сохранения импульса вдоль оси сим-
метрии и закон сохранения кинетической энергии
движения жидкости. В принятых ранее обозначе-
ниях выражения для инвариантов движения име-
ют вид
P =
N
∑
i=1
ΓiR
2
i = const , (10)
W =
N
∑
i=1
Γ2
i Ri
(
ln
8Ri
ai
− 7
4
)
+ U = const . (11)
Интересно заметить, что выражение для перво-
го инварианта совпадает с соответствующим инва-
риантом движения системы осесимметричных ви-
хревых колец в безграничной жидкости, посколь-
ку идеальная жидкость на внутренней поверхно-
сти трубы не испытывает сопротивления движе-
нию. Слагаемое под знаком суммы в уравнении
(11) определяет энергию изолированных колец, а
функция U – энергию, связанную с взаимодей-
ствием действительных вихревых колец между со-
бой, и энергию, наведенную со стороны мнимых
вихревых нитей (или твердой поверхности), на
действительные вихревые кольца.
2. ОДИНОЧНОЕ ВИХРЕВОЕ КОЛЬЦО
В БЕСКОНЕЧНОЙ ТРУБЕ
Рассмотрим движение одиночного вихревого
кольца интенсивности Γ1, радиуса R1 с круговым
поперечным сечением a1 в бесконечной трубе ра-
диуса R0. В дальнейшем все линейные размеры в
задаче удобно отнести к радиусу трубы R0, интен-
сивности Γ1, а время пронормировать на величину
R2
0/Γ1.
Анализ структуры уравнений движения (1) по-
казывает, что одиночное осесимметричное вихре-
вое кольцо движется в прямолинейной круглой
трубе с постоянной осевой скоростью
dR1
dt
= 0 , (12)
dZ1
dt
=
Γ1
4πR1
(
ln
8R1
a1
− 1
4
)
+
+
M
∑
m=1
Γm
2πR
(ci)
max,m1
[
K(k
(ci)
m1 ) − E(k
(ci)
m1 )+
+
2Rc(Rc − R1)
[R
(ci)
max,m1]
2
E(k
(ci)
m1 )
]
(13)
в принятых ранее обозначениях.
На рис. 2 показана зависимость осевой скоро-
сти одиночного вихревого кольца интенсивности
Γ1 = 1.0 в трубе радиуса R0 = 1.0 от радиу-
са кольца для различных значений n относитель-
ной толщины вихря. В расчетах принято M = 80,
А. А. Гуржий 11
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 8 – 20
Рис. 2. Зависимость осевой скорости одиночного
вихревого кольца от его радиуса при движении в
прямолинейной трубе
Rc = 1.2, ∆z = 0.1 и Zs = −4.0. По мере увеличе-
ния размеров кольца усиливается влияние границ
области течения, что приводит к уменьшению осе-
вой скорости кольца. Если размер вихревого коль-
ца приближается к значению радиуса трубы, то
осевая скорость вихря меняет знак, вихревое коль-
цо движется в обратном направлении. Интересно
заметить, что значение осевой скорости для ма-
лых колец по сравнению с радиусом трубы зави-
сит от относительной толщины вихря. В то же вре-
мя, если радиус вихревого кольца асимптотически
стремится к R0, значение осевой скорости одино-
чного кольца фактически не зависит от относи-
тельных размеров кольца.
Исследования показывают, что вихревые коль-
ца с произвольным значением относительной то-
лщины обладают критическим значением радиу-
са Rcr, при котором вихревое кольцо в круглой
бесконечной трубе покоится. Рис. 3 иллюстрирует
зависимость критических радиусов колец от зна-
чений относительной толщины вихрей в состоя-
нии покоя. Чем толще вихревое кольцо, тем мень-
шим значением Rcr обладают кольца. Отметим,
что значение критического радиуса кольца не за-
висит от значения Γ1 интенсивности вихря.
Известно, что вихревое кольцо способно вов-
лекать в собственное движение часть близлежа-
щей жидкости, формируя так называемое вихре-
вое облако или атмосферу вихря. Для определения
Рис. 3. Зависимость радиуса вихревого кольца от его
относительной толщины в состоянии покоя
формы вихревого облака достаточно построить
распределение функции тока течения в области,
прилегающей к вихревому кольцу, в движущей-
ся системе координат с осевой скоростью кольца.
Размеры и форма вихревого облака определяются
линией функции тока постоянного уровня с ма-
ксимальным (по модулю) значением, при котором
линия функции тока остается замкнутой.
Рассмотрим одиночное вихревое кольцо интен-
сивности Γ1 и радиуса R1 с относительной толщи-
ной n1. В этом случае распределение функции то-
ка течения жидкости в системе координат, связан-
ной с вихрем, определяется суперпозицией вкла-
дов действительного вихревого кольца и системы
M мнимых вихревых нитей:
Ψ(x, y) = −Uz
r2
2
+
Γ1
√
R1r
2π
×
×
{
2
k
[E(k) − K(k)] − kE(k)
}
+
+
M
∑
m=1
Γm
√
Rcr
2π
× (14)
×
{
2
k
(c)
m
[
E(k(c)
m ) − K(k(c)
m )
]
− k(c)
m E(k(c)
m )
}
,
где
k2 =
4Rir
(R1 + r)2 + (Z1 + z)2
,
[k(c)
m ]2 =
4Rcr
(Rc + r)2 + (Zm + z)2
. (15)
12 А. А. Гуржий
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 8 – 20
Рис. 4. Распределение функции тока в области,
прилегающей к вихревому кольцу при стационарном
движении в трубе при n = 0.01 для: а – R1 = 0.6, б –
R1 = 0.9. Вихревое облако на рисунках выделено
серым цветом
В приведенном выражении Uz – осевая скорость
движения одиночного вихревого кольца (13).
На рис. 4 показано распределение функции то-
ка, наведенной одиночным точечным вихрем ин-
тенсивности Γ1 = 1.0 с относительной толщи-
ной поперечного сечения n = 0.01 в подвижной
системе координат, связанной с вихревым коль-
цом. На рисунках нанесены линии равного значе-
ния функции тока через эквидистантные значения
∆Ψ = 0.05. Рис. 4, а иллюстрирует распределе-
ние функции тока для вихревого кольца R1 = 0.6.
Серым цветом выделена область течения, кото-
рая вовлекается в собственное движение вихревым
кольцом. Видно, что вихревое облако представля-
ет собой сплюснутый эллипсоид, поперечное сече-
ние которого (Zmax −Zmin = 2.56R0) значительно
превышает поперечное сечение вихря для безгра-
ничного пространства (Zmax−Zmin = 0.54R0) [20].
Как только осевая скорость вихревого кольца
меняет свой знак, форма вихревого облака суще-
ственно меняется. Распределение функции тока
для R1 = 0.9 при Γ1 = 1.0 для n = 0.01 показа-
но на рис. 4 с аналогичными обозначениями. Ви-
хревое облако представляет собой кольцо, опира-
ющееся на внутреннюю поверхность трубы. Изве-
стно [21], что изменение формы вихревого облака
при взаимодействии вихрей является источником
интенсивного перемешивания жидкостей. Следо-
вательно, можно сделать предположение, что пе-
ремешивание жидкости в поле скорости вихревых
колец внутри цилиндрической поверхности дол-
жно протекать с более интенсивными режимами
по сравнению со случаями взаимодействия осесим-
метричных вихревых колец в безграничной среде.
3. ДВА ВИХРЕВЫХ КОЛЬЦА
В БЕСКОНЕЧНОЙ ТРУБЕ
Рассмотрим задачу о взаимодействии двух тон-
ких вихревых колец в бесконечной трубе. Про-
стой анализ показывает, что уравнения движения
вихрей в трубе имеют аналогичную структуру с
уравнениями движения осесимметричных вихрей
в безграничной жидкости. Наличие двух инвари-
антов движения позволяет провести качественный
анализ взаимодействия без явного интегрирова-
ния уравнений движения. Эта особенность движе-
ния в безграничной жидкости дала возможность
[12] провести полную классификацию типов вза-
имодействия двух вихревых колец.
3.1. Стационарное движение
Известно [12, 22], что два вихревых кольца в
безграничной среде могут двигаться стационарно.
Этот режим движения достигается при определен-
ном соотношении между радиусами и интенсивно-
стями вихревых колец. Аналогичный режим дви-
жения вихрей внутри бесконечной трубы до насто-
ящего времени исследован не был.
Для стационарного движения двух вихревых ко-
лец в бесконечной трубе должны выполняться два
условия
dR1
dt
=
dR2
dt
= 0 ,
dZ1
dt
=
dZ2
dt
. (16)
Анализируя структуру и знаки радиальных ско-
ростей вихревых колец (1), заключаем, что при
неодинаковых осевых положениях колец (Z12 =
Z1 −Z2 6= 0) радиальные скорости всегда отличны
от нуля, следовательно решения системы (16) в
этом диапазоне осевых положений не существует.
В предельном случае, при бесконечном смещении
колец друг относительно друга, радиальные ком-
поненты скоростей вихрей равны нулю. Этот слу-
чай соответствует изолированным вихревым коль-
цам.
А. А. Гуржий 13
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 8 – 20
Рис. 5. Зависимость радиуса второго вихревого
кольца от его интенсивности при стационарном
движении двух вихревых колец в бесконечной трубе
Радиальные компоненты скоростей вихревых
колец равны нулю в случае, когда оба кольца нахо-
дятся в одной плоскости (Z12 = 0). В этом случае
выражения для осевых скоростей колец имеют вид
dZ1
dt
=
Γ1
4πR1
(
ln
8R1
a1
− 1
4
)
+
Γ2
2π(R1 + R2)
×
×
[
K(k) − E(k) +
2R2
(R2 − R1)
E(k)
]
+
+
M
∑
m=1
Cm(R1) , (17)
dZ2
dt
=
Γ2
4πR2
(
ln
8R2
a2
− 1
4
)
+
Γ1
2π(R1 + R2)
×
×
[
K(k) − E(k) +
2R1
(R1 − R2)
E(k)
]
+
+
M
∑
m=1
Cm(R2) , (18)
где Cm(Ri) =
M
∑
m=1
Γm
2πR
(ci)
max,mi
[
K(k
(ci)
mi )−
−E(k
(ci)
mi ) +
2Rc(Rc − Ri)
[R
(ci)
max,mi]
2
E(k
(ci)
mi )
]
, (19)
с использованием принятых ранее обозначений.
Приравнивая выражения (17) и (18), получа-
ем равенство, которое позволяет связать интен-
сивность и радиус второго вихревого кольца при
Рис. 6. Периодическое взаимодействие двух
одинаковых осесимметричных вихревых колец
внутри бесконечной круговой трубы
стационарном взаимодействии двух осесимметри-
чных вихревых колец в бесконечной трубе с кру-
говым поперечным сечением. Результаты числен-
ного решения представлены на рис. 5 при Γ1 = 1.0,
R0
1 = 0.8 для n0
1 = n0
2 = 0.1, 0.01 и 0.001. Видно, что
для каждого значения радиуса R0
2 второго вихре-
вого кольца существует значение его интенсивно-
сти Γ2, при котором пара вихревых колец движе-
тся стационарно вдоль оси симметрии. В большин-
стве случаев значение Γ2 отрицательно, исключая
область малых R0
2 для тонких колец. Чем тоньше
вихревые кольца, тем область положительных Γ2
больше. Для толстых вихрей соответствующее Γ2
всегда отрицательно в рассматриваемом диапазо-
не значений R0
2.
3.2. Однонаправленное движение колец
Рассмотрим взаимодействие двух коаксиальных
вихревых колец внутри трубы, движущихся вдоль
общей оси симметрии. Если кольца обладают ин-
тенсивностями одного знака (Γ1Γ2 > 0), то направ-
ления векторов самоиндуцированной скорости ко-
лец совпадают. Этот случай движения условно на-
зовем однонаправленным взаимодействием двух
вихревых колец.
Известно [5, 11, 12], что два одинаковых вихре-
вых кольца в безграничной жидкости участвуют
в периодическом взаимодействии. Аналогичный
случай движения двух одинаковых в начальный
момент времени вихревых колец показан на рис. 6
для Γ1 = Γ2 = 1.0, R0
1 = R0
2 = 0.8, Z0
1 = 0.0,
Z0
2 = 1.0, n0
1 = n0
2 = 0.01. Сплошной линией
изображена траектория первого вихревого коль-
ца, а штриховой нанесена траектория второго ви-
хря. Кружочками показано положение вихрей че-
рез эквидистантные интервалы времени ∆t = 1.0,
стрелкой указано направление движения.
14 А. А. Гуржий
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 8 – 20
Рис. 7. Разовое взаимодействие двух
осесимметричных вихревых колец с одинаковыми по
знаку интенсивностями в бесконечной трубе
При движении вдоль оси симметрии переднее
вихревое кольцо 1 под влиянием заднего вихрево-
го кольца 2 расширяется, увеличивая собственную
энергию. С течением времени кольцо 1 останавли-
вается и начинает даже двигаться в обратном на-
правлении. В то же время, заднее вихревое кольцо
2 сужается, уменьшая свою собственную энергию,
и ускоряется. В конечном итоге вихревое кольцо 2
проскакивает сквозь кольцо 1. Затем кольца меня-
ются положениями и процесс повторяется снова.
Такая “чехарда” в рамках модели идеальной не-
сжимаемой жидкости продолжается неограничен-
но долго.
При неодинаковых вихревых кольцах периоди-
чность взаимодействия может быть нарушена. На
рис. 7 показан пример взаимодействия, при кото-
ром переднее вихревое кольцо имеет меньшую са-
моиндуцированную скорость по сравнению с за-
дним вихрем (Γ1 = 1.0, Γ2 =, R0
1 = 0.8, R0
2 = 0.7,
Z0
1 = 0.0, Z2 = −1.0, n0
1 = n0
2 = 0.01). Вихревые
кольца участвуют только в одном проскакивании
одного вихря сквозь другой. В результате взаимо-
действия переднее кольцо имеет большую самоин-
дуцированную скорость по сравнению с вихрем 1,
взаимное расстояние между кольцами неограни-
ченно возрастает.
В работе [11] сделано предположение, что пре-
дельные параметры вихревых колец, которые мо-
гут участвовать в периодическом взаимодействии
в безграничной среде, определяются равенством
самоиндуцированных скоростей колец на бесконе-
чном удалении. Эта идея была реализована в ра-
боте [12]. Было показано, что в противном случае
заднее кольцо либо не догонит переднее, либо до-
гонит, проскочит через переднее, и, в силу симме-
трии задачи относительно Z1 −Z2, расстояние ме-
жду ними снова будет возрастать неограниченно
долго.
Поскольку структура уравнений движения ви-
хревых колец в бесконечной трубе совпадает с
уравнениями вихрей в безграничной жидкости,
можно сделать предположение, что эти рассужде-
ния справедливы для системы двух вихрей в бе-
сконечной трубе с одинаковыми по знаку интен-
сивностями. Обозначая безразмерные радиусы ко-
лец на бесконечном удалении через ρ1 и ρ2, полу-
чаем следующую систему уравнений:
Γ1
4πρ1
(
ln
8ρ1
aρ,1
− 1
4
)
+
1
Γ1ρ1
∂
∂ρ1
U(ρ1, ρ2,∞) =
=
Γ2
4πρ2
(
ln
8ρ2
aρ,2
− 1
4
)
+
1
Γ2ρ2
∂
∂ρ2
U(ρ1, ρ2,∞) ,
(20)
Γ1ρ
2
1 + Γ2ρ
2
2 = Γ1[R
0
1]
2 + Γ2[R
0
2]
2 , (21)
2
∑
i=1
Γ2
i ρi
(
ln
8ρi
aρ,i
− 7
4
)
+ U(ρ1, ρ2,∞) ≤
≤
2
∑
i=1
Γ2
i R
0
i
(
ln
8R0
i
a0
i
− 7
4
)
+ U(R0
1, R
0
2, 0) , (22)
R0
i [a
0
i ]
2 = ρia
2
ρ,i , i = 1, 2 . (23)
В этой системе уравнение (20) представляет со-
бой условие равенства скоростей колец на беско-
нечном удалении друг от друга, уравнение (21)
и неравенство (22) – инварианты движения, свя-
зывающие начальное положение вихрей и положе-
ние колец на бесконечном удалении друг от дру-
га. Последние уравнения (23) представляют собой
закон сохранения объема завихренности. Неравен-
ство (22) обусловлено тем обстоятельством, что
подведенная к системе колец начальная энергия
не должна быть меньше энергии колец на беско-
нечном расстоянии друг от друга.
Решение нелинейной системы (20)-(23) может
быть найдено при поэтапном решении уравнений.
Сначала решается уравнение (20) с учетом (21) и
(23), в результате чего находятся значения ρ1 и ρ2.
Затем для этих значений решается уравнение (22)
и находится значение |Z0
12|.
Результаты вычислений показаны на рис. 8 при
Γ1 = 1.0, R0
1 = 0.8 и n0
1 = n0
2 = 0.01 для различ-
ных значений интенсивности Γ2. Области допусти-
мых начальных параметров второго кольца для
периодического взаимодействия колец показаны
на рисунке различной штриховкой. Видно, что для
любых значений интенсивности второго вихрево-
го кольца существует область параметров, при ко-
торых вихревая пара образует связанную систе-
му. Причем чем больше отличаются интенсивно-
сти вихрей (в большую или в меньшую сторону),
тем больше площадь параметров второго кольца
А. А. Гуржий 15
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 8 – 20
Рис. 8. Области допустимых начальных параметров
второго вихревого кольца для периодического
взаимодействия двух вихревых колец с одинаковыми
по знаку интенсивностями в бесконечной трубе
для периодического взаимодействия колец.
Область параметров на рис. 8, которая лежит
ниже заштрихованной области значений, соответ-
ствует случаю разового взаимодействия вихре-
вых колец, при котором второе кольцо проскаки-
вает внутри первого. Пример такого взаимодей-
ствия показан на рис. 7. В верхней части рис. 8
также имеется область параметров второго коль-
ца, при котором имеет место разовое взаимодей-
ствие. Этот случай характеризуется проскакива-
нием первого кольца внутри второго вихря. На
рис. 9 показан этот случай движения вихрей для
Γ1 = Γ2 = 1.0, R0
1 = 0.8, R0
2 = 0.9 и n0
1 = n0
2 = 0.01
с принятыми ранее обозначениями.
3.3. Встречное взаимодействие колец
В случае взаимодействия двух вихревых колец
с интенсивностями разных знаков Γ1Γ2 < 0 са-
моиндуцированные скорости колец направлены в
противоположные стороны. Этот случай движе-
ния условно назовем встречным взаимодействием
двух вихревых колец.
В частном случае двух одинаковых симметри-
чных вихревых колец с течением времени происхо-
дит увеличение радиусов колец по мере их сбли-
жения. При этом, в силу симметрии задачи, коль-
ца не проскакивают одно сквозь другое. По мере
Рис. 9. Разовое взаимодействие двух
осесимметричных вихревых колец с одинаковыми по
знаку интенсивностями в бесконечной трубе
Рис. 10. Встречное взаимодействие двух одинаковых
осесимметричных вихревых колец в бесконечной
трубе
увеличения радиусов кольца приближаются к вну-
тренней поверхности трубы. Это приводит к то-
му, что осевая скорость колец меняет свой знак. В
результате вихревые кольца симметрично удаля-
ются друг от друга. Этот случай взаимодействия
вихрей показан на рис. 10 для Γ1 = −Γ2 = 1.0,
R0
1 = R0
2 = 1.0, n0
1 = n0
2 = 0.01.
В работе [12] показано, что два вихревых кольца
с противоположными по знаку интенсивностями
могут участвовать в безграничной среде в перио-
дическом взаимодействии. Для определения гра-
ниц области начальных параметров второго коль-
ца для периодического взаимодействия необходи-
мо на два инварианта движения колец наложить
условие равенства осевых скоростей колец, нахо-
дящихся в одной плоскости.
Параметры вихрей при стационарном движении
определяют тип дальнейшего их взаимодействия.
Так, если кольца (или одно из них) будут иметь
радиусы, меньшие чем значения, соответствующие
стационарному движению, разница осевых скоро-
стей колец не поменяет знак. В этом случае на-
ступит проскакивание меньшего вихревого коль-
ца сквозь большее. Если вихри (или один их них)
16 А. А. Гуржий
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 8 – 20
будут иметь большие радиусы, то их движение, в
силу симметрии траектории относительно Z1−Z2,
пойдет по периодическим траекториям. Наконец,
если вихри не достигают общей плоскости в окре-
стности стационарного режима взаимодействия,
радиальные компоненты скоростей колец не ме-
няют свой знак. В результате имеем проскакива-
ние одного кольца сквозь другое. Эти рассужде-
ния справедливы для любых значений интенсив-
ностей колец.
Следовательно, для построения границ обла-
стей допустимых начальных параметров второго
вихревого кольца при встречном взаимодействии
двух вихрей необходимо к упомянутым ранее двум
инвариантам движения, (10) и (11), добавить усло-
вие равенства осевых скоростей колец в момент
равенства их осевых координат. Обозначая безра-
змерные радиусы колец в плоскости Z1 = Z2 через
ρ1 и ρ2, получаем систему уравнений
Γ1
4πρ1
(
ln
8ρ1
aρ,1
− 1
4
)
+
1
Γ1ρ1
∂
∂ρ1
U(ρ1, ρ2, 0) =
=
Γ2
4πρ2
(
ln
8ρ2
aρ,2
− 1
4
)
+
1
Γ2ρ2
∂
∂ρ2
U(ρ1, ρ2, 0) ,
(24)
Γ1ρ
2
1 + Γ2ρ
2
2 = Γ1[R
0
1]
2 + Γ2[R
0
2]
2 , (25)
2
∑
i=1
Γ2
i ρi
(
ln
8ρi
aρ,i
− 7
4
)
+ U(ρ1, ρ2,∞) =
=
2
∑
i=1
Γ2
i R
0
i
(
ln
8R0
i
a0
i
− 7
4
)
+ U(R0
1, R
0
2, 0) , (26)
R0
i [a
0
i ]
2 = ρia
2
ρ,i , i = 1, 2 . (27)
Результаты вычислений показаны на рис. 11 для
Γ1 = −Γ2 = 1.0, R0
1 = 0.8 и n0
1 = n0
2 = 0.01. Видно,
что вся область начальных параметров делится на
четыре области: A, B, C и D.
Область параметров A характеризуется боль-
шой самоиндуцированной скоростью второго ви-
хревого кольца. В результате имеет место проска-
кивание второго вихря сквозь первое кольцо. При-
мер такого взаимодействия показан на рис. 12 для
для Γ1 = −Γ2 = 1.0, R0
1 = 0.8, R0
2 = 0.4 при
n0
1 = n0
2 = 0.01 с принятыми ранее обозначени-
ями. При приближении колец радиусы обоих ви-
хрей незначительно увеличиваются, затем, в силу
симметрии задачи относительно Z1 − Z2, кольца
удаляются друг от друга, двигаясь в противопо-
ложных направлениях.
Аналогичный тип взаимодействия имеет место
для области параметров, соответствующих обла-
сти B на рис. 11. В противоположность предыду-
щему случаю, здесь имеет место проскакивание
Рис. 11. Области допустимых начальных параметров
второго вихревого кольца для каждого из возможных
взаимодействий двух вихревых колец
с противоположными по знаку интенсивностями
в бесконечной трубе
Рис. 12. Встречное взаимодействие двух вихревых
колец в бесконечной трубе с начальными
параметрами, соответствующими области A
на рис. 11
первого вихревого кольца сквозь второй вихрь.
Случай взаимодействия для Γ1 = −Γ2 = 1.0,
R0
1 = 0.8, R0
2 = 0.98 при n0
1 = n0
2 = 0.01 показан на
рис. 13. По мере приближения колец друг к другу
их радиусы незначительно уменьшаются, происхо-
дит проскакивание колец одно сквозь другое. За-
тем кольца удаляются на бесконечное расстояние,
двигаясь в противоположных направлениях.
Область параметров C характеризуется тем, что
вихревые кольца не достигают положения, при ко-
тором их осевые координаты совпадают. При этом
кольца приближаются друг к другу и одновре-
менно увеличивают собственные радиусы. С те-
А. А. Гуржий 17
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 8 – 20
Рис. 13. Встречное взаимодействие двух вихревых
колец в бесконечной трубе с начальными
параметрами, соответствующими области B на
рис. 11
Рис. 14. Встречное взаимодействие двух вихревых
колец в бесконечной трубе с начальными
параметрами, соответствующими области C на
рис. 11
чением времени они достигают своего минималь-
ного расстояния при достаточно больших значе-
ниях радиусов и, под влиянием границ, меняют
знаки осевых скоростей. В конечном итоге коль-
ца начинают двигаться в противоположных на-
правлениях и снова удаляются друг от друга на
бесконечное расстояние. Пример взаимодействия
для Γ1 = −Γ2 = 1.0, R0
1 = 0.8, R0
2 = 0.7 при
n0
1 = n0
2 = 0.01 показан на рис. 14.
Четвертый тип движения для вихревых колец
с интенсивностями противоположных знаков со-
ставляет периодическое взаимодействие, в области
D на рис. 11. Пример такого движения представ-
лен на рис. 15. Сплошной линией показана тра-
ектория первого вихревого кольца, а штриховой
нанесена траектория второго вихря. Кружочками
показано положение вихрей через эквидистантные
интервалы времени ∆t = 0.1, стрелкой указано на-
правление движения по траекториям. В этом слу-
чае взаимная энергия вихревых колец по моду-
лю значительно больше собственной энергии ви-
хрей. В результате вихревые кольца образуют свя-
Рис. 15. Периодическое взаимодействие двух
вихревых колец с противоположными по знаку
интенсивностями в бесконечной трубе
занную систему. Кольца одновременно увеличива-
ют свои радиусы и замедляются, при этом мень-
шее кольцо увеличивает свой радиус быстрее. В
результате большее кольцо проскакивает внутри
меньшего. В дальнейшем кольца меняются поло-
жениями и процесс взаимодействия вихрей про-
должается по аналогичному сценарию.
ВЫВОДЫ
Рассмотрена задача о движении системы осе-
симметричных вихревых колец с малым, но коне-
чным поперечным сечением, в бесконечной трубе,
заполненной идеальной несжимаемой жидкостью.
Для решения задачи применен адаптированный
метод дискретных особенностей [23], который пре-
дусматривает введение системы мнимых вихревых
нитей с фиксированным расстоянием между нитя-
ми и постоянным радиусом, превышающим ради-
ус трубы, для выполнения граничного условия не-
протекания жидкости на внутренней поверхности
трубы. На твердой поверхности выбирается систе-
ма контрольных точек (точек коллокации) [19], в
которых накладывается условие равенства значе-
ний функции тока. В результате формируется сис-
тема линейных алгебраических уравнений, реше-
ние которой дает распределение интенсивностей
мнимых нитей для заданного положения системы
действительных вихревых колец.
Уравнения, описывающие взаимодействие ви-
хрей, имеют гамильтонову структуру и обладают
двумя независимыми инвариантами, выражающи-
ми закон сохранения импульса течения жидкости
вдоль оси симметрии и закон сохранения кинети-
ческой энергии вихрей. Эти уравнения имеют ана-
логичную структуру с уравнениями, описывающи-
ми динамику тонких вихревых колец в безграни-
18 А. А. Гуржий
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 8 – 20
чной жидкости. Отличие в задачах имеется толь-
ко в структуре функции, описывающей кинетиче-
скую энергию течения. Она состоит из двух сла-
гаемых, учитывающих как вклад действительных
вихревых колец, так и системы мнимых вихревых
колец, описывающих эквивалентное влияние гра-
ницы на рассматриваемое действительное вихре-
вое кольцо.
Исследования показали, что одиночное вихре-
вое кольцо движется, не меняя своих размеров, с
постоянной осевой скоростью. Значение скорости
зависит от соотношения радиусов кольца и тру-
бы. С увеличением радиуса кольца значение его
осевой скорости уменьшается и при ассимптоти-
ческом приближении к значению радиуса трубы
меняет свой знак. В этом случае одиночное вихре-
вое кольцо движется в обратную сторону по отно-
шению к направлению самоиндуцированной ско-
рости вихря.
Два вихревых кольца внутри трубы, заполнен-
ной идеальной несжимаемой жидкостью, могут
двигаться стационарно. Этот режим, по аналогии
со случаем взаимодействия в безграничной жид-
кости, достигается для колец, расположенных в
одной плоскости. Исследования показывают, что
для любых значений радиусов колец существуют
значения интенсивностей, при которых вихри дви-
гаются стационарно. В большинстве случаев зна-
чения интенсивностей должны быть противополо-
жных знаков, исключая диапазон сильно отлича-
ющихся по радиусу тонких вихревых колец.
Кроме периодического движения двух вихревых
колец с интенсивностями одного знака, существует
разовое их взаимодействие, которое заключается
в проскакивании одного из колец сквозь другое
с последующим увеличением взаимного расстоя-
ния до бесконечности. Для определения областей
начальных параметров колец для периодическо-
го движения необходимо решить систему нелиней-
ных уравнений, состоящую из условия равенства
осевых скоростей на бесконечном удалении вихрей
и двух инвариантов движения. Исследования по-
казывают, что два одинаковых вихревых кольца
всегда образуют связанную динамическую систе-
му. Период взаимодействия таких вихрей увеличи-
вается по мере увеличения их осевого начального
расстояния.
Два вихря с противоположными по знаку ин-
тенсивностями имеют несколько типов взаимодей-
ствия. Для определения области начальных пара-
метров колец для каждого из случаев движения
необходимо решить нелинейную систему уравне-
ний, состоящюю из условия равенства осевых ско-
ростей вихрей при совпадении их осевых положе-
ний и двух упомянутых ранее инвариантов движе-
ния. Решение уравнений делит всю область допу-
стимых начальных параметров на четыре области,
каждая из которых определяет тип взаимодей-
ствия осесимметричных вихрей в бесконечной тру-
бе. Две области параметров характеризуются ра-
зовым взаимодействием, при котором вихри про-
скакивают один сквозь другой. Третья область
значений определяет параметры вихрей, при ко-
торых кольца отталкиваются друг от друга и про-
должают свое движение в противоположных на-
правлениях. Заметим, что в этом случае вихри
при взаимном сближении не достигают положе-
ния, при котором осевые координаты вихрей сов-
падают. Наконец, последний тип взаимодействия
характеризуется периодическим движением. Ви-
хри в этом случае двигаются на малых расстояни-
ях, по аналогии с периодическим взаимодействием
двух вихрей с противоположными по знаку интен-
сивностями для безграничного пространства.
1. Ламб Г. Гидродинамика.– М.,Л.: Гостехиздат,
1947.– 928 с.
2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидроме-
ханики и их математические модели.– М.: Наука,
1977.– 416 с.
3. Helmholtz H. Integrale der hydrodynamischen glei-
chungen welche den wirbelbewegungen entspre-
chen // J. Reine angew. Math.– 1858.– 55.– P. 25-55.
4. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.– М.:
Наука, 1987.– 840 с.
5. Dyson F.W. The potential of an anchor ring // Phil.
Trans. Roy. Soc. London.– 1893.– 184.– P. 43–95.
6. Мелешко В.В., Константинов М.Ю. Динамика ви-
хревых структур.– Киев: Наукова думка, 1993.–
279 с.
7. Fraenkel L.E. On steady vortex ring of small cross-
section in an ideal fluid // Proc. Roy. Soc. London.–
1970.– 316, N.1524.– P. 29–62.
8. Moore D.W. The velocity of a vortex ring with a
thin core of elliptical cross section // Proc. Roy. Soc.
London.– 1922.– 370, N.1742.– P. 407–415.
9. Riley N. On the behaviour of pairs of vortex rings //
Q. J. Mech. Appl. Math.– 1993.– 46.– P. 521–539.
10. Shariff K., Leonard A. Vortex rings // Ann. Rev.
Fluid Mech.– 1992.– 24.– P. 235–279.
11. Hicks W.M. On the mutual threading of vortex ri-
ngs // Proc. Roy. Soc. London.– 1922.– A102.–
P. 111–131.
12. Гуржий А.А. О классификации взаимодействия
двух тонких вихревых колец в идеальной жидко-
сти // Гидромеханика.– 1994.– N.68.– С. 79-85.
13. Shashikanth B.N., Marsden J.E. Leapfrogging vortex
rings: Hamiltonian structure, geometric phases and
discrete reduction // Fluid Dyn. Res.– 2003.– 33.–
P. 333–356.
14. Луговцов Б.А., Сенницкий В.Л. Об импульсе ви-
хревого кольца, движущегося в трубе/ Сб. Дина-
мика сплошной среды // АН СССР, Сиб. отд-ние,
Ин-т гидродинамики.– 1973.– N16.– С. 53–63.
А. А. Гуржий 19
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 8 – 20
15. Brasseur J.Z. Evilution characteristics of vortex rings
over a wide range Reynolds numbers // Pap/AIAA.–
1986.– N 1097.– P. 1–11.
16. Escudier M.P.., Zehnder N. Vortex-flow regimes // J.
Fluid Mech.– 1982.– 115.– P. 105–121.
17. Herrada M.A., Perez-Saborid M., Barrero A. Vortex
breakdown in compressible flows in pipes // Phys.
Fluids.– 2003.– 15, N. 8.– P. 2208–2218.
18. Nitsche M., Krasny R. A numerical study of vortex
ring formation at the edge of a circular tube // J.
Fluid Mech.– 1994.– 276.– P. 139–161.
19. Гуржий А.А. Взаимодействие осесимметричных
вихревых колец в бесконечной трубе, заполненной
идеальной жидкостью // Прикл. гидромеханика.–
2008.– T. 10, N 4.– С. 26–42.
20. Вилля Г. Теория вихрей.– М.,Л.: Гостехиздат,
1936.– 266 с.
21. Meleshko V.V., van Heijst G.J.F. Interacting two-
dimensional vortex structures: point vortices, contour
kinematics and stirring properties // Chaos, Soliton
& Fractals.– 1994.– 4.– P. 977–1010.
22. Weidman P.D., Riley N. Vortex rings pairs: numerical
simulation and experiment // J. Fluid Mech.– 1993.–
257.– P. 311–337.
23. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные
методы в сингулярных интегральных уравнени-
ях.– М.: Наука, 1985.– 253 с.
20 А. А. Гуржий
|