Численное моделирование нестационарного турбулентного течения c отрывом над впадиной и внутри впадины
Трехмерный турбулентный поток несжимаемой жидкости над и внутри прямоугольной двумерной впадины в канале численно исследуется с применением LES-технологии и пристенной модели. Отношение длины к ширине впадины равно 2, число Рейнольдса для впадины 3360 и число Рейнольдса на ``входе'' 20450...
Saved in:
| Published in: | Прикладна гідромеханіка |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87665 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Численное моделирование нестационарного турбулентного течения c отрывом над впадиной и внутри впадины / В.Г. Кузьменко // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 3. — С. 28-41. — Бібліогр.: 42 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859778242756476928 |
|---|---|
| author | Кузьменко, В.Г. |
| author_facet | Кузьменко, В.Г. |
| citation_txt | Численное моделирование нестационарного турбулентного течения c отрывом над впадиной и внутри впадины / В.Г. Кузьменко // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 3. — С. 28-41. — Бібліогр.: 42 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладна гідромеханіка |
| description | Трехмерный турбулентный поток несжимаемой жидкости над и внутри прямоугольной двумерной впадины в канале численно исследуется с применением LES-технологии и пристенной модели. Отношение длины к ширине впадины равно 2, число Рейнольдса для впадины 3360 и число Рейнольдса на ``входе'' 20450 для турбулентного пограничного слоя. Крупномасштабное поле течения получается путем прямого интегрирования фильтрованных трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости с помощью конечно-разностного метода. Маломасштабные движения параметризованы посредством динамической ``смешанной'' модели. Число использованых сеточных узлов составляет 2192103. Численное моделирование выполнено для того, чтобы изучить среднюю скорость, фазово-осредненную скорость, турбулентные напряжения, кинетическую энергию турбулентности и подсеточные эффекты. Согласие вычисленных профилей средней скорости и турбулентных статистик c экспериментальными данными является хорошим.
Тривимiрний турбулентний потiк нестисливої рiдини над та всерединi прямокутної двохвимiрної западини в каналi чисельно дослiджується за допомогою LES-технологiї та пристiнної моделi. Спiввiдношення довжини до ширини западини становить 2, число Рейнольдса для западини
дорiвнює 3360 та число Рейнольдса на ``входi'' є 20450 для турбулентного пограничного шару. Великомасштабне поле течiї одержується шляхом прямого iнтегрування фiльтрованих тривимiрних нестацiонарних рiвнянь Нав'є-Стокса для нестисливої рiдини, використовуючи кiнцево-рiзницевий метод. Маломасштабнi рухи параметризованi за допомогою динамiчної ``змiшаної'' моделi. Число використаних сiткових вузлiв є 2192103. Чисельне моделювання виконано для того, щоб вивчити середню швидкiсть, фазово-осереднену швидкiсть, турбулентнi напруги, кiнетичну енергiю турбулентностi та пiдсiдковi ефекти. Узгоджуванiсть обчисленних профiлiв середньої швидкостi i турбулентних статистик з експериментальними результатами є доброю.
The three-dimensional turbulent incompressible flow over a rectangular two-dimensional cavity in a channel is investigated using LES-technique and wall model. The aspect ratio (length/depth) of the cavity is 2, cavity Reynolds number of 3360 and inflow Reynolds number of 20450 for turbulent boundary layer. The large-scale flow field has been obtained by directly integrating the filtered three-dimensional time-dependent incompressible Navier-Stokes equations using a finite-difference method. The small-scale motions were parametrized by dynamic subgrid-scale mixed model. The number of grid points used in the numerical method was 2192103. The simulation were performed to study the mean velocity, phase-averaged velocity, the turbulent stresses, the turbulence kinetic energy and subgrid-scale-model effect. There is good agreement between the computer mean-velocity profiles, turbulence statistics and experimental data.
|
| first_indexed | 2025-12-02T09:21:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 28 – 41
УДК 532.526.10
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО
ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ C ОТРЫВОМ
НАД ВПАДИНОЙ И ВНУТРИ ВПАДИНЫ
В. Г. К УЗ Ь МЕН К О
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 27.06.2008 � Пересмотрено 11.05.2009
Трехмерный турбулентный поток несжимаемой жидкости над и внутри прямоугольной двумерной впадины в канале
численно исследуется с применением LES-технологии и пристенной модели. Отношение длины к ширине впадины
равно 2, число Рейнольдса для впадины 3360 и число Рейнольдса на “входе” 20450 для турбулентного погранично-
го слоя. Крупномасштабное поле течения получается путем прямого интегрирования фильтрованных трехмерных
нестационарных уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости с помощью конечно-разностного метода. Ма-
ломасштабные движения параметризованы посредством динамической “смешанной” модели. Число использованых
сеточных узлов составляет 2192103. Численное моделирование выполнено для того, чтобы изучить среднюю ско-
рость, фазово-осредненную скорость, турбулентные напряжения, кинетическую энергию турбулентности и подсе-
точные эффекты. Согласие вычисленных профилей средней скорости и турбулентных статистик c эксперименталь-
ными данными является хорошим.
Тривимiрний турбулентний потiк нестисливої рiдини над та всерединi прямокутної двохвимiрної западини в каналi
чисельно дослiджується за допомогою LES-технологiї та пристiнної моделi. Спiввiдношення довжини до ширини
западини становить 2, число Рейнольдса для западини дорiвнює 3360 та число Рейнольдса на “входi” є 20450 для тур-
булентного пограничного шару. Великомасштабне поле течiї одержується шляхом прямого iнтегрування фiльтрова-
них тривимiрних нестацiонарних рiвнянь Нав’є-Стокса для нестисливої рiдини, використовуючи кiнцево-рiзницевий
метод. Маломасштабнi рухи параметризованi за допомогоюдинамiчної “змiшаної” моделi. Число використаних сiтко-
вих вузлiв є 2192103.Чисельне моделювання виконано для того, щоб вивчити середню швидкiсть, фазово-осереднену
швидкiсть, турбулентнi напруги, кiнетичну енергiю турбулентностi та пiдсiдковi ефекти. Узгоджуванiсть обчислен-
них профiлiв середньої швидкостi i турбулентних статистик з експериментальними результатами є доброю.
The three-dimensional turbulent incompressible flow over a rectangular two-dimensional cavity in a channel is investigated
using LES-technique and wall model. The aspect ratio (length/depth) of the cavity is 2, cavity Reynolds number of 3360
and inflow Reynolds number of 20450 for turbulent boundary layer. The large-scale flow field has been obtained by directly
integrating the filtered three-dimensional time-dependent incompressible Navier-Stokes equations using a finite-difference
method. The small-scale motions were parametrized by dynamic subgrid-scale mixed model. The number of grid points
used in the numerical method was 2192103. The simulation were performed to study the mean velocity, phase-averaged
velocity, the turbulent stresses, the turbulence kinetic energy and subgrid-scale-model effect. There is good agreement
between the computer mean-velocity profiles, turbulence statistics and experimental data.
ВВЕДЕНИЕ
Изучению течений в каналах со впадиной посвя-
щено немалое количество исследований [1–8, 23].
Физическая картина отрывных потоков в канале
со впадиной сложна и разнообразна, потому что
она зависит от многих условий и геометрических
параметров: жидкость несжимаемая или сжимае-
мая; режим течения перед впадиной ламинарный
или турбулентный; величина отношения толщины
пограничного слоя в канале к глубине впадины;
от числа Рейнольдса основного течения; ширины
канала; отношения длины впадины к ее глубине.
Главная особенность таких течений – присутствие
сложного механизма, который состоит из поро-
ждения вихрей на переднем верхнем угле впадины
вследствие неустойчивостей, их переносом и стол-
кновением на вершине заднего верхнего угла. Это
ведет к введению пятен завихренности внутрь впа-
дины неустановившимся способом. Сильные коле-
бания развиваются в окресности переднего верхне-
го угла впадины из-за его взаимодействия с эти-
ми пятнами завихренностями. Такие взаимодей-
ствия бывают квазирегулярными в случае входя-
щего ламинарного пограничного слоя и довольно
случайными для высоко турбулентного поступа-
ющего потока, особенно если толщина входящего
пограничного слоя большая. В понимание такой
картины течения внесли определенный вклад эк-
спериментальные работы [1, 5–8].
Большинство исследователей потоков во впади-
не (особенно те, в которых использовались мето-
ды прямого численного моделирования DNS и мо-
делирование крупных вихрей LES) сосредоточили
свое внимание на сжимаемом случае (подзвуковые
и сверхзвуковые режимы) с ламинарным или, в
случае LES, относительно тонким турбулентным
пограничным слоем [2–4].
Малоизученным случаем течения в канале со
впадиной есть такая конфигурация потока, в ко-
торой жидкость несжимаема, канал широкий, вхо-
дящий поток турбулениный c толстым пограни-
28 c© В. Г. Кузьменко, 2009
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 28 – 41
чным слоем, прямоугольная впадина с отношени-
ем длина/глубина, равным 2. Для несжимаемой
жидкости в ламинарном режиме проведено дву-
мерное DNS [1], чтобы изучить сцепление между
сдвиговым слоем и рециркуляционным течением
в двумерной впадине. В работах [9, 23] применена
LES-технология для течений несжимаемой жидко-
сти (при умеренных числах Рейнольдса) в канале
с наличием впадины, причем поток перед впади-
ной турбулентный.
В случае турбулентных течений у стенки (при
числах Рейнольдса основного потока больших чем
2 · 104) необходимо дополнять классический LES-
подход пристенной моделью для вязкого и пере-
ходного подслоя. Вид пристенной модели, в пер-
вую очередь, зависит от того, где расположен па-
раллельный и ближайший к стенке слой узлов ра-
счетной сетки (в вязком, переходном или турбу-
лентном подслое) [10–13, 16–17, 29–30, 32]. Это
позволяет использовать модернизированную LES-
технологию, где идеологически заложена возмож-
ность расчета при любых больших числах Рей-
нольдса.
Для конфигурации течения, соответствующей
экспериментальной работе [1] (Re=3360; длина
впадины равна удвоенной глубине), в [9] проведе-
ны вычисления на основе LES-подхода с полунеяв-
ной разностной схемой в большой вычислительной
зоне (область перед, над и за впадиной; от одной
стенки канала до другой) c переменными шагами
сетки и условием прилипания на стенках на ком-
пьютере с быстродействием около 20 ГГц. Вхо-
дные граничные условия определяются простым
предварительным расчетом турбулентного тече-
ния в канале без впадины методом установления
по времени с периодическими граничными услови-
ями по продольной координате и произвольными
начальными условиями. Такой метод установле-
ния по времени в [9] может сходиться бесконеч-
но долго, а может и не сойтись. Вызывает мно-
го вопросов правомерность применения в [9] пере-
менных пространственных шагов (различных по
всем трем координатам; отношение максимально-
го значения к минимальному больше 50) в рамках
классической LES-технологии при использовании
динамической подсеточной модели вихревой вяз-
кости.
В настоящее время в мировой литературе не
обнаружено корректного вывода динамической
процедуры вычисления подсеточного коэффици-
ента при использовании переменного размера ши-
рины фильтра вдоль пространственной координа-
ты. Достигнут лишь некоторый прогресс в этом
направлении. В работе [41] допускается реализа-
Рис. 1. Принципиальная схема течения над впадиной
и внутри нее в канале, принятая система координат
Oxyz и изолинии средней скорости
ция динамической процедуры в подсеточной моде-
ли вихревой вязкости при использовании не рав-
ных друг другу x, y, z-размеров ширины фильтра,
но с условием, что ширина фильтра имеет посто-
янную величину вдоль каждой пространственной
координаты.
Эффективным методом для проведения расче-
та турбулентного течения в канале и во впади-
не (с конфигурацией течения [1]), при сохранении
высокой разрешающей сеточной способности, есть
усечение большой вычислительной области, кор-
ректное задание граничных условий для новой ра-
счетной зоны, правильный выбор пристенной мо-
дели.
Целью настоящей работы является cоздание чи-
сленного алгоритма решения задачи об отрыв-
ном течении вокруг впадины (при первоначаль-
ном турбулентном пограничном слое несжимае-
мой жидкости) в расширенном диапазоне чисел
Рейнольдса на основе модернизированной LES-
технологии, которая использует пристенное моде-
лирование.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
1. Tурбулентный поток вязкой несжимаемой жид-
кости с постоянными свойствами при отсутствии
внешних массовых сил течет в канале с впадиной
(на нижней стенке канала) на участке X1 ≤ X ≤
Xk; максимальная скорость U0; средняя скорость
по входному сечению Ub; высота канала h, равная
6S; глубина впадины S; ее длина 2S; стенки ка-
В. Г. Кузьменко 29
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 28 – 41
нала имеют пренебрежимо малую шероховатость
(принципиальная схема течения на рис. 1).
2. Исследуется трехмерное турбулентное те-
чение при числе Рейнольдса Re=UbS/ν=3360
для впадины, числе Рейнольдса канала
Reh=Ubh/ν=20450 и Reδ=Ubδ/ν=8382 для
турбулентного пограничного cлоя в X=X1 .
3. Задача рассматривается в конечной трехмер-
ной вычислительной области с заданными гранич-
ными условиями.
4. Все параметры и уравнения представлены в
безразмерном виде.
Уравнения движения вязкой несжимаемой жид-
кости представим в виде обезразмеренных филь-
трованных уравнений Навье-Стокса [14–17]:
∂ũi
∂t
+
∂(ũiũj)
∂xj
= − ∂P
∂xi
+
1
Re
∂2ũi
∂xj∂xj
− ∂τij
∂xj
; (1)
∂ũi
∂xi
= 0,
где ũ1, ũ2, ũ3 или ũ, ṽ, w̃ – фильтрованные компо-
ненты вектора скорости вдоль координатных осей
x, y, z; P – обобщенное фильтрованное давление;
τij и P пронормированы на плотность несжима-
емой жидкости, все переменные обезразмерены с
помощью величин S и Ub. Из уравнения неразрыв-
ности и уравнений движения выводится уравне-
ние Пуассона для вычисления давления P . Тен-
зор подсеточных напряжений τij параметризуе-
тся на основе однопараметрической динамической
смешанной подсеточной модели [10]:
τij = −2CV ∆̃2 | S̃ | S̃ij + (ẽij − ˜̃ui
˜̃uj),
где eij = ũiũj. Коэффициент CV определяется с
помощью динамической процедуры [17, 33]. Опе-
рация фильтрования представлена в [14–17]. Не-
обходимо отметить, что в вязком и переходном
подслоях пристенные эффекты (в том числе и
в зоне отрыва турбулентного течения) учитыва-
ет также и динамическая смешанная подсето-
чная модель [10] с расчетным коэффициентом
CV (x, y). Эта подсеточная модель осуществляет
корректный энергообмен между различными мас-
штабами вихрей в вязком, переходном и турбулен-
тном подслое в рамках LES-подхода. Модель [10]
тестирована c учетом турбулентного рециркуляци-
онного течения при изучении потока за обратным
уступом [33].
2. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Для обеспечения необходимой точности расче-
тов в рамках LES-технологии при ограниченной
мощности персонального компьютера в нашей ра-
боте используется экономичная вычислительная
область D. Каждое из уравнений (1) дискретизи-
руется на прямоугольной расчетной сетке с ша-
гом ∆̃S в D = {x1 ≤ x ≤ xk; ys ≤ y ≤ yk
и {xs ≤ x ≤ xd; 0 ≤ y ≤ ys; 0 ≤ z ≤ zk},
где zk=3; xk=x1+9; yk=3.5; ys=1; x1=0; xs=x1+3;
xd=xs+2. В вычислительном методе использу-
ется {Nx; Ny; Nz}={289; 71; 97}+{65; 33; 97} сето-
чных точек.
Граничные условия имеют следующий вид:
1) условие на входе в расчетную область
x=x1; 0 ≤ z ≤ zk; ys ≤ y ≤ yk:
ũ = Uct(y, t) + ũp; ṽ = Vct(y, t) + ṽp;
w̃ = ṽp;
2) на выходе из расчетной области
x=xk; 0 ≤ z ≤ zk; ys ≤ y ≤ yk:
∂ũ
∂t
+ Ũconv
∂ũ
∂x
= 0;
∂ṽ
∂t
+ Ũconv
∂ṽ
∂x
= 0;
∂w̃
∂t
+ Ũconv
∂w̃
∂x
= 0;
3)–5) приближенные граничные условия на cтен-
ках {y = ys; x1 ≤ x ≤ xs}; {y = ys;xd ≤ x ≤ xk};
{y = 0;xs ≤ x ≤ xd} (для 0 ≤ z ≤ zk):
∂ũ
∂y
=
ũ(x, ye, z, t)cf(x)Rea
< ũ(x, ye, z, t) >
; ṽ = 0;
∂w̃
∂y
=
w̃(x, ye, z, t)cf(x)Rea
< ũ(x, ye, z, t) >
,
6) y=yk ; 0 ≤ z ≤ zk; x1 < x < xk:
ũ = Ucb(x, t); ṽ = Vcb(x, t); w̃ = 0;
7)–8) приближенные граничные условия на
cтенках x=xs и x=xd; при 0 ≤ y ≤ ys; 0 ≤ z ≤ zk:
∂ṽ
∂x
=
ṽ(xe, y, z, t)cfn(y)Rea
< ṽ(xe, y, z, t) >
; ũ = 0;
∂w̃
∂x
=
w̃(xe, y, z, t)cfn(y)Rea
< ṽ(xe, y, z, t) >
9)–10) периодическое граничное условие
z=0; z=zk; 0< y < yk; x1 < x < xk:
ũi(x, y, zk, t) = ũi(x, y, 0, t).
Cкорость конвективного переноса Ũconv на
выходе из вычислительной области равна ũ при
x=xk на предыдущем шаге по времени.
30 В. Г. Кузьменко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 28 – 41
На верхней границе вычислительной области
нефильтрованные пульсации компонент скоро-
сти моделируем так: up(x)=up(x1); vp(x)=vp(x1);
wp(x)=wp(x1). Распределение величины Ucb(x, t)
установлено на основе экспериментальной работы
[1] и аппроксимируется следующей формулой на
участке x1 ≤ x ≤ xk:
Ucb(x, t) = Uct(yk, t).
Vcb вычисляется из уравнения неразрывности.
Используя экспериментальные работы [1, 23, 31],
полагаем, что на верхней грани вычислительной
области y=yk справедливо ∂P/∂x = −2u2
∗
и давле-
ние определяется так:
P (x, yk, z, t) = P (x1, yk, z, t) +
∂P
∂x
(x − x1).
В численном алгоритме принято P (x1, yk, z, t)=1.
3. ПРИСТЕННАЯ МОДЕЛЬ
Применение LES-технологии с выбранным шагом
расчетной сетки в сравнении с масштабом Колмо-
горова (масштабом длины вязкой диссипации) не
позволяет использовать граничное условие “при-
липания” на стенке: ũ=ṽ=w̃=0, согласно [10–12,
29–30]. Это вызвано тем, что решение фильтрован-
ных уравнений Навье-Стокса с граничным усло-
вием “прилипания” на стенке дает неправильные
результаты в вязком и переходном подслое турбу-
лентного пограничного слоя. В нашем случае (не-
смотря на то, что ближайший к стенке слой узлов
сетки находится в вязком подслое y+
2 ∼ 5) мы все
же не можем использовать условие “прилипания”
на стенке, поскольку на основе работ [2–4, 10–13,
24, 29–30] установлено требование для этого гра-
ничного условия: y+
2 < 0.3.
При расчете турбулентного течения в каче-
стве пристенной модели используем приближен-
ные граничные условия на cтенке для локальных
компонент скорости [16, 17] в модифицированном
виде на горизонтальных стенках:
∂ũ
∂y
=
ũ(x, ye, z, t)cf(x)Rea
< ũ(x, ye, z, t) >
; ṽ = 0;
∂w̃
∂y
=
w̃(x, ye, z, t)cf(x)Rea
< ũ(x, ye, z, t) >
,
где < . > − осреднение по координате z; величи-
на ye (равна шагу сетки ∆̃S) выбирается в пред-
ставленной LES-технологии таким образом, что на
протяжении всей вычислительной области она ра-
сполагается только в вязком подслое; коэффици-
ент поверхностного трения cf (x) вычисляется на
основе подхода [24], но с учетом изменения скоро-
сти и давления вдоль z-координаты:
Cg(x, z) =
4ũg
yeRe
− ∂P
∂x
2ye
3
;
f(x) =< Cg(x, z) >,
где ũg – скорость в центре ячейки (рассматривае-
мые ячейки расположены между слоем узлов се-
тки на стенке и соседним горизонтальным слоем).
Вблизи вертикальных стенок впадины справедли-
во следующее:
Cgn(y, z) =
4ṽg
xeRe
− ∂P
∂y
2xe
3
;
fn(y) =< Cgn(y, z) >, xe = ∆̃S .
В свою очередь, Rea=ReA0. Параметр A0 опре-
деляется предварительным расчетом, используя
данные для граничных условий на входе в расче-
тную область (в нашем случае A0=0.07).
4. ВХОДНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
В общем случае, входные граничные условия
для нестационарных течений нельзя представить
единственным образом, поскольку они изменяю-
тся в зависимости от физических условий вверх
по потоку от рассматриваемой границы и зависят
от решения в исследуемой вычислительной обла-
сти. Поэтому в нашей работе при определенных
допущениях в рамках модернизированного LES-
подхода реализуется процедура численного гене-
рирования поля скорости для входных граничных
условий.
Экспериментально установленное в [1, 20, 21,
37–39] дискретное распределение осредненной
продольной компоненты скорости Ucc(y) турбу-
лентного пограничного слоя на “входной” грани-
це (x=x1) аппроксимируем следующим образом
(с учетом обозначениий Y +=Y u∗ Reδ, Y =(y −
ys)/(yk − ys)). Изменение Ucc вдоль оси Oy на
участке 0 ≤ Y + ≤ 13.2 задается на основе эмпири-
ческой зависимости [20]:
Ucc = u∗[Y
+ − 0.0228(Y +)2],
а Ucc на участке 13.2 < Y + < 60 вычисляется по
следующей формуле [20]:
Ucc = u∗[2.5 ln(Y +) + 5.5− 36.08/Y +].
Изменение Ucc при Y + ≥ 60 и Y ≤ δ определяется
как в [22]:
Ucc =
u∗
κ
{ln(u∗ReδY/δ) + κC+
В. Г. Кузьменко 31
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 28 – 41
+[1 + 6Π](Y/δ)2 − [1 + 4Π](Y/δ)3}, (2)
где C=5.2; κ=0.4; Π=0.55. Из эксперимента [1] по-
лучаем: δ = 2.48; Reδ = 8382; u∗ = 0.05. Динами-
ческая скорость u∗ характерна для обтекания ги-
дродинамически гладкой поверхности. В [1] уста-
новлено, что Ucc при y=yk равна средней скоро-
сти по “входному” сечению Ub. В нашей модели
для безразмерной средней скорости справедливо
Ucc(yk) = 1. Вычисленное таким образом значение
Uc полностью соответствует экспериментальному
Uc =< u(x1, y, z, t) >zt из [1, 21, 31, 37–39].
В свою очередь, для полностью нестационарной
постановки задачи полагаем:
Uct(y, t) = Ucc(y)[1 + φt].
Таким образом учитываются характерные особен-
ности поля скорости, особенно в вязком и пере-
ходном (к турбулентному) подслоях, где наиболее
значительны градиенты скорости и неравномер-
ность их распределения в пространстве. Исполь-
зуются обобщенные знания из работ [1, 25–28] о
вихревых наклонных структурах, участках заме-
дленной и ускоренной жидкости. Функция φt мо-
делирует в обобщенном виде нестационарный и
относительно случайный характер вышеупомяну-
тых вихревых структур:
φt =
0.05y
1/7
e
Y 1/7
cos(
2πt
La
).
Значения интегрального масштаба турбулентно-
сти La определяем на основе экспериментальных
работ [1, 31] и теоретических обобщающих иссле-
дований [18, 19, 22] в виде
La(Y ) = 0.5{1− (0.5Y − 1)2/3}.
Vct вычисляется из уравнения неразрывности.
Нефильтрованные пульсации компонент мгно-
венной скорости на “входе” (x=x1; 0 ≤ z ≤ zk;
ys ≤ y ≤ yk) моделируем следующим образом:
up(x1, y, z, t) = u∗a1φtf1(y)φz ;
vp(x1, y, z, t) = u∗a2φtf2(y)φz ;
wp(x1, y, z, t) = u∗a3φtf3(y)φz ,
где φz учитывает периодический характер пуль-
саций в однородном направлении z (суммарный
вклад вихрей различных размеров на основе кон-
цепции каскадного процесса передачи турбулен-
тной энергии от больших вихрей к меньшим)
в рамках конечно-разностной реализации постав-
ленной краевой задачи:
φz =
50∑
m=1
m−5/6 sin(
2πzm
La
).
Функции f1, f2 и f3 определены на основе экспери-
ментальных данных [1, 4, 21, 25, 31, 37–39] и пол-
ностью соответствуют по форме профилям нор-
мальных турбулентных напряжений (рис. 2), при-
чем 0< fj ≤ 1. Константы a1, a2 и a3 находятся
предварительно при x=x1, y=ypj (где ypj – коор-
дината максимума функции fj(ypj)=1; j=1,2,3) из
соотношений:
max < u2
p >zt= a2
1u
2
∗
< (φtφz)
2 >zt;
max < v2
p >zt= a2
2u
2
∗
< (φtφz)
2 >zt;
max < w2
p >zt= a2
3u
2
∗
< (φtφz)
2 >zt .
Bеличины max < u2
p >zt; max < v2
p >zt;
max < w2
p >zt определяются на основе
экспериментов [1, 21, 25, 31, 37–39].
На рис. 2 представлено изменение продольной,
поперечной и боковой пронормированных компо-
нент нормальных турбулентных напряжений Uii
вдоль y при x=x1 и результаты экспериментов [1,
31], где
U11 =
T11
U2
max
; U22 =
T22
U2
max
; U33 =
T33
U2
max
,
T11, T22, T33 – компоненты нормальных турбулен-
тных напряжений в направлении осей координат
x, y, z cоответственно; Umax – средняя скорость на
центральной оси канала (Umax=1.134 в экспери-
менте [1]). Полные нормальные турбулентные на-
пряжения имеют следующий вид в рамках LES-
технологии:
T11 =< (ũ1 − Ucc)
2 + τ11 >zt,
T22 =< (ũ2 − Vcc)
2 + τ22 >zt,
T33 =< ũ2
3 + τ33 >zt .
При использовании технологии экономичной
вычислительной области важной проблемой явля-
ется необходимость детального задания мгновен-
ного поля скорости на ”входной” границе. Это
влияет не только на точность получаемых резуль-
татов, но и на устойчивость расчета в целом. Не-
правильный учет спектра энергии влечет за собой
значительное уменьшение амплитуды пульсаций в
процессе расчета по времени.
32 В. Г. Кузьменко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 28 – 41
Рис. 2. Зависимость продольной, поперечной
и боковой компонент нормальных турбулентных
напряжений U11, U22, U33 от y для x=x1
(аппроксимация − сплошная кривая;
экспериментальные данные [1, 31] − значки ∗,•)
5. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД
В представленной модели нестационарного тре-
хмерного турбулентного течения в канале над и
во впадине рассматривается задача, которая ре-
шается с учетом изменения во времени фильтро-
ванного поля скорости и давления на выбранном
промежутке 0 ≤ t ≤ Tc.
Дискретизация основных уравнений (1) осуще-
ствляется следующим образом. Все пространс-
твенные производные аппроксимируются цен-
тральными конечными разностями с вторым по-
рядком точности относительно ∆̃s. Конвективные
производные аппроксимированы схемой с допол-
нительным диссипативным слагаемым:
∂(ũũ)
∂x
∼ un
un+1 − un−1
2∆̃S
+ αfd,
где fd− слагаемое искусственной диссипации вто-
рого порядка точности для обеспечения устойчи-
вости расчета и гладкости решения [34],
fd = − | un | un+1 − 2un + un−1
2∆̃S
.
Слагаемое искусственной диссипации второго по-
рядка точности fd целесообразно умножать на ко-
эффициент α (равный 0.3), что уменьшает числен-
ную диффузию при сохранении устойчивости сче-
та.
К дискретизированным уравнениям Навье-
Стокса применяется метод [35] двуцикличного по-
координатного расщепления и неявная по време-
ни абсолютно устойчивая конечно-разностная схе-
ма со вторым порядком точности относительно
∆t. После преобразований получаем шесть систем
линейных алгебраических уравнений с трехдиа-
гональными матрицами, которые решаются ме-
тодом линейной прогонки. Такая методика реше-
ния при соответствующем представлении коэффи-
циентов в методе прогонки обеспечивает устой-
чивость и приемлемую точность расчета [36, 40].
Схемная вязкость, искусственная диссипация и
подсеточные эффекты характеризуют общую мо-
дель турбулентности для данной задачи. Про-
цедура вычисления динамического коэффициен-
та CV (x, y), входящего в состав подсеточного на-
пряжения, корректирует процесс передачи тур-
булентной кинетической энергии от крупных ви-
хрей к малым. Слагаемые искусственной дисси-
пации применяются в неявной разностной схеме
для обеспечения устойчивости вычислений толь-
ко при нарушении условия для коэффициентов в
методе прогонки, подавляя высокочастотные во-
змущения. В данной модели принято, что пара-
метр α равен 0.3 и при этом в расчетах получа-
ем уменьшение динамического коэффициента CV
на три процента по сравнению со случаем α=0.
Вклад диссипативных слагаемых будет малым в
сравнении с действием подсеточных напряжений.
Не представляется возможным вывести аналити-
ческую формулу о том, как искусственная дисси-
пация учитывается при вычислении CV , посколь-
ку динамическая процедура в работах [10, 11, 17,
33, 41] построена на поиске приближенного реше-
ния с операцией сходимости погрешностей в сре-
днеквадратичном смысле и коэффициент CV осре-
дняется по z. Основным критерием оценки пра-
вильности энергообмена между крупными и под-
сеточными масштабами вихрей является: 1) срав-
нение результатов расчета полной кинетической
энергии турбулентности E и подсеточной энергии
k на основе выбранной LES-технологии и экспери-
ментальных данных на интервале времени расчета
с учетом цикличности течения; 2) проверка усло-
вий реализуемости [42] для подсеточных напряже-
ний (см. раздел Результаты вычислений).
Влияние численной (схемной) вязкости заклю-
чается в следующем. При прямом численном ре-
шении уравнений Навье-Стокса (DNS) c крупным
шагом вычислительной сетки (например, размер
расчетной ячейки нашего LES-подхода) получа-
ем большую величину численной вязкости, кото-
рая сильно искажает искомое решение. Для устра-
В. Г. Кузьменко 33
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 28 – 41
нения данного негативного явления применяется
LES-технология с подсеточными напряжениями,
которая имеет очень малую численную вязкость
(порядка ошибок округления при вычислениях)
в сравнении с подсеточным напряжением и стре-
мится к величине численной вязкости для DNS c
шагом расчетной сетки порядка масштаба вязкой
диссипации. В гипотетическом случае при исполь-
зовании очень мелкой расчетной сетки для LES
получаем, что подсеточные напряжения стремя-
тся к нулю, и следовательно, величины численных
вязкостей для LES и DNS будут практически рав-
ны.
Для определения обобщенного давления P
используется уравнение Пуассона, которое решае-
тся методом верхней релаксации. Пространствен-
ные производные аппроксимируются централь-
ными конечными разностями с вторым поряд-
ком точности относительно ∆̃s. Граничные усло-
вия определяются на каждой грани вычисли-
тельной области в виде краевых условий Не-
ймана для ∂P/∂xi с использованием конечно-
разностных аналогов фильтрованных уравнений
Навье-Стокса, что в результате обеспечивает кор-
ректную взаимосвязь между полем скорости, дав-
лением и подсеточным напряжением.
Общая стратегия численного алгоритма заклю-
чается в следующем. Дискретизированные урав-
нения (1) и уравнение Пуассона вместе с началь-
ными и граничными условиями решаются отно-
сительно неизвестных ũi, P, τij. На первом шаге
по времени задаются начальные условия для по-
ля скорости. На основе подсеточной динамической
смешанной модели определяются подсеточные на-
пряжения. Из уравнения Пуассона находится дав-
ление. В качестве первого внутренного итераци-
онного приближения в конвективных слагаемых
для нелинейных компонент скорости использую-
тся начальные условия для поля скорости. Затем
градиенты давления и подсеточных напряжений
подставляются в компоненты уравнения движе-
ния и находятся новые значения компонент ско-
рости. Последовательность действий такова. Ме-
тодом линейной прогонки решаются расщеплен-
ные по координатам компоненты уравнения дви-
жения с использованием внутренней итерацион-
ной процедуры (по нелинейности). Поскольку при-
меняется метод двуцикличного покоординатного
расщепления, то для уточнения решения привле-
кается промежуточный расчет уравнения Пуассо-
на и подсеточных напряжений (в процессе между
двумя циклами). Затем выполняется определение
средних характеристик путем осреднения по одно-
родной координате z. На втором шаге по времени
используются результаты расчета, полученные на
предыдущем временном шаге, и выполняется ана-
логичная процедура вычислений. И так далее.
Основной критерий сходимости решения постав-
ленной начально-краевой задачи на каждом шаге
по времени заключается в том, что для дискре-
тизированных фильтрованных уравнений Навье-
Стокса вычисляется невязка в каждом узле сетки
и расчет прекращается при выполнении условия −
максимальная невязка становится меньше 10−5.
Для нестационарной постановки задачи на-
чальное распределение поля скорости и давле-
ния в вычислительной области определяется на
основе предварительного решения поставленной
начально-краевой задачи с применением неяв-
ной по времени конечно-разностной дискретиза-
ции основных уравнений и использованием метода
установления по времени (за период времени, рав-
ный 20, при ∆t = 0.3).
6. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
На основе численного алгоритма, разработанно-
го в рамках модернизированной LES-технологии,
проведены расчеты параметров турбулентного те-
чения перед, над, во впадине и за ней (Re=3360)
с учетом отрыва турбулентного пограничного
слоя. В вычислениях применялся компьютер
PENTIUM-IV с тактовой частотой 5.7 Ггц и опе-
ративной памятью 4 Гбайта.
Статистически установившееся решение было
получено после промежутка времени Tst=20 и за-
тем статистика была собрана по Toc=60. Для выхо-
да на установившийся режим (при использовании
неявной абсолютно устойчивой схемы) и накопле-
ния статистик для осреднения было произведено
1600 шагов по времени с ∆t=0.05 за промежуток
времени Tc=80. Полное время расчета поставлен-
ной задачи на указанном выше компьютере состав-
ляет 22 часа 45 минут.
Анализ нерегулярных численных решений не-
стационарных фильтрованных уравнений Навье-
Стокса, в том числе установление адекватности
результатов математического моделирования ре-
альным данных об объекте, может быть осуще-
ствлен лишь для некоторых статистических ха-
рактеристик. Алгоритмы статистической обработ-
ки должны отражать различия пространственно-
временной структуры данных.
В представленном исследовании применяются
два наиболее распространенных метода статити-
стической обработки численной информации. Это-
го достаточно для оценки адекватности разрабо-
танного нами численного алгоритма (в рамках
34 В. Г. Кузьменко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 28 – 41
Рис. 3. Зависимость осредненной продольной
компоненты скорости Uc от y для
x ={0.3; 0.6; 1; 1.4; 1.7}(расчет − кривые;
экспериментальные данные [1] − значки)
LES-технологии с использованием экономичной
вычислительной области) в сравнении с ограни-
ченным числом способов обработки эксперимен-
тальных результатов [1].
Изменения основных расчетных осредненных
(по однородному направлению Oz и периоду вре-
мени Toc) безразмерных характеристик турбулен-
тного потока вдоль безразмерной координаты y
представлены на рис. 3–10. Результаты наших
вычислений сравниваются с экспериментальными
данными [1], полученными для такой же конфигу-
рации течения.
Далее используются следующие обозначения:
Uc =< u(x, y, z, t) >zt / < u(x, yk, z, t) >zt,
что в рамках LES-технологии адекватно соотно-
шению вида:
Uc =< ũ(x, y, z, t) >zt / < ũ(x, yk, z, t) >zt,
Первым методом статитистической обработки
численной информации есть осреднение по z и t
произвольной величины g̃(x, y, z, t) по закону:
< g̃(x, y, z, t) >zt=
1
NrNz
Nr∑
i=1
Nz−1∑
k=0
g̃(x, y, k∆z, i∆t),
где Nr = Toc/∆t.
На рис. 3 представлена зависимость осреднен-
ной продольной компоненты скорости Uc от y для
случаев x={0.3; 0.6; 1; 1.4; 1.7} и эксперименталь-
ные данные [1], где x=x − xs. При сопоставлении
Рис. 4. Зависимость продольной, поперечной и
боковой компонент нормальных турбулентных
напряжений U11, U22, U33 от y для x=0.3
(расчет − кривая; эксперимен-
тальные данные [1] − значки ∗)
Рис. 5. Зависимость продольной, поперечной
и боковой компонент нормальных турбулентных
напряжений U11, U22, U33 от y для x=0.6
(расчет − кривая; эксперимен-
тальные данные [1] − значки ∗)
численных и экспериментальных результатов на-
блюдаем, что разработанная модель довольно точ-
но описывает изменение средней скорости поперек
турбулентного течения над и во впадине для раз-
личных x. Видны характерные черты поведения
потока во впадине с наличием зон возвратного те-
чения c отрицательными значениями осредненной
продольной компоненты скорости Uc при y < 1.
В. Г. Кузьменко 35
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 28 – 41
Рис. 6. Зависимость продольной, поперечной и
боковой компонент нормальных турбулентных
напряжений U11, U22, U33 от y для x=1
(расчет − кривая; эксперимен-
тальные данные [1] − значки ∗)
Рис. 7. Зависимость продольной, поперечной и
боковой компонент нормальных турбулентных
напряжений U11, U22, U33 от y для x=1.4
(расчет − кривая; эксперимен-
тальные данные [1] − значки ∗)
На рис. 4–8 представлено изменение компонент
полных нормальных напряжений Uii вдоль y для
случаев x={0.3; 0.6; 1; 1.4; 1.7} и результаты экспе-
римента [1]. Расчетные и экспериментальные дан-
ные хорошо коррелируются. Например, предска-
занные распределения U11 точно захватывают пи-
ковые значения фактически во всех местополо-
жениях, и темп распада поперек оторвавшегося
Рис. 8. Зависимость продольной, поперечной и
боковой компонент нормальных турбулентных
напряжений U11, U22, U33 от y для x=1.7
(расчет − кривая; эксперимен-
тальные данные [1] − значки ∗)
Рис. 9. Зависимость полной кинетической
энергии E от y для x={0.3; 0.6; 1; 1.4; 1.7}
сдвигового слоя. Моделирование учитывает вто-
ричный пик вдоль оси x при x=0.6 и x=1, что
связано с отрывом "пристенного струеподобно-
го"течения от дна впадины. Распределение верти-
кального нормального напряжения U22 также хо-
рошо согласуетя с экспериментальными данными
[1]. В отличие от изменения U11, рост U22 является
более умеренным, поскольку напряжение остается
относительно низким в первой трети длины впа-
дины. Моделирование также хорошо предсказыва-
36 В. Г. Кузьменко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 28 – 41
Рис. 10. Изолинии коэффициента V в плоскости xy
Рис. 11. Линии направления вектора скорости
среднего течения в канале и во впадине
при осреднении по Toc
ет вертикальные нормальные напряжения внутри
главного рециркуляционного вихря. Распределе-
ние U33 дополняет до трехмерного вида экспери-
ментально установленную картину турбулентного
течения в работе [1] для U11 и U22.
На рис. 9 показана зависимость полной кинети-
ческой энергии турбулентности от y для случаев
x= {0.3; 0.6; 1; 1.4; 1.7} , где
E =< (ũ1 − Ucc)
2 + (ũ2 − Vcc)
2 + ũ2
3+
+τ11 + τ22 + τ33 >zt /2U2
max.
На “входе”(x=x1) уже существуют относитель-
но большие значения E (пиковые величины ра-
сположены вблизи y=ys+0.09). После отрыва (x >
xs) наблюдается значительное возростание турбу-
лентной энергии внутри оторвавшегося сдвигово-
го слоя вдоль x-координаты. Распределения E на
участке 0 ≤ y ≤ 1 показывают cложный характер
течения во впадине при взаимодействии двух ре-
циркуляционных вихрей и соответствующее этому
расположение пиковых значений E.
В процессе расчетов установлено, что вклад под-
сеточной кинетической энергии в полную турбу-
лентную энергию составляет около 4–5 процентов.
Такое поведение аналогично и для полных нор-
мальных турбулентных напряжений.
Изолинии динамического коэффициента CV в
плоскости xy представлены на рис. 10, где X=x −
xs+2. Распределение CV наглядно показывает ха-
рактерные черты течения перед, во впадине и за
ней, особенно в зоне смешения основного отрыв-
ного турбулентного потока с рециркуляционными
течениями. Динамическая смешанная модель по-
зволяет эффективно учитывать процессы в обла-
сти рециркуляции.
Распределение линий направления вектора ско-
рости среднего течения в плоскости xy показано
на рис. 11. Hаблюдаются два больших рециркуля-
ционных вихря. Размер и относительное местопо-
ложение этих двух вихрей внутри впадины очень
подобны экспериментальным данным [1]. Сдвиго-
вый слой на вершине впадины (над передним верх-
ним углом) отличается от слоя смешения главным
образом из-за действия течения во впадине, что
может изменять cкорость обмена. Ближнестенные
структуры переносятся от “входа” и сильно на-
рушают сверху пелену завихренности, связанную
с оторвавшимся сдвиговым слоем. В результате
этих взаимодействий для x> 0.7 формируются пя-
тна изолированной завихренности и затем перено-
сятся к заднему углу. Это отражается на распреде-
лении CV и средней скорости течения (рис. 10–11).
Второй метод статистической обработки данных
– осреднение по z и по фиксированной временной
фазе φa:
ĝφa(x, y) =
1
NpNz
Np−1∑
i=0
Nz−1∑
k=0
g̃(x, y, k∆z, iTs + φa);
где Ts – период цикла; i – номер цикла; ma – номер
интервала разбиения цикла для фазы φa, причем
φa = (ma − 1)∆t; m = 1, Mφ; Mφ – число интерва-
лов фазового разбиения одного цикла;
На основе численных расчетов установлено, что
течение в окресности заднего верхнего угла впади-
ны осцилирует в среднем с периодом Tf . Период
цикла обновления ситуации Tf равен 2.6, что хо-
рошо согласуется с [1]. В результатах вычислений
наблюдаются различные пиковые значения давле-
ния, которые носят довольно случайный характер
для каждого цикла обновления в пределах вре-
менного интервала Tc (величины, соответствую-
В. Г. Кузьменко 37
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 28 – 41
Рис. 12. Линии направления среднего течения
в канале и во впадине в фазе φa
Рис. 13. Линии направления среднего течения
в канале и во впадине в фазе φb
Рис. 14. Линии направления среднего течения
в канале и во впадине в фазе φc
щие последовательным наивысшим и наинизшим
значениям, могут быть весьма различны). Период
цикла для получения осредненных по фазе вели-
чин целесообразно брать равным Ts=2Tf . В нашем
численном исследовании для фазового осреднения
используется десять циклов Ts.
Рассмотрим три наиболее выразительные фа-
зы развития течения при определенной величине
давления вблизи вершины заднего угла впадины:
a) фаза φa – относительный максимум величины
давления; б) фаза φb – абсолютный минимум ве-
личины давления; в) фаза φc – абсолютный ма-
ксимум величины давления. Распределение линий
направления вектора скорости среднего течения в
плоскости xy, осредненного по фазе, представле-
ны на рис. 12–14 для каждой из фаз φa, φb, φc
соответственно. Рисунки 12 и 14 наглядно пока-
зывают преобладание рециркуляционного вихря,
расположенного во второй половине впадины бли-
же к верхнему заднему углу, где фиксируется ма-
ксимум давления. И чем больше величина пиково-
го давления, тем ярче видно доминирование (фаза
φc, рис. 14) упомянутого выше рециркуляционно-
го вихря. Фаза φb (рис. 13) соответствует миниму-
му давления. Наблюдаем ослабление выше упомя-
нутого рециркуляционного вихря и усиление дру-
гого, расположенного в первой половине впади-
ны. Видно, что в этом случае линии направления
скорости среднего течения вблизи заднего верхне-
го угла отклоняются вверх, в отличии от нисхо-
дящих отклонений, наблюдаемых в той же обла-
сти в фазах φa и φc. Относительно изменений в
интенсивности струеподобного потока можно сде-
лать вывод, что в случае, когда давление около
заднего верхнего угла находится в минимуме, то
ширина струеподобного потока около дна впадины
будет меньшей и величина скорости внутри него
выше.
На основе численных расчетов установлено, что
(при турбулентном течении на входе в вычисли-
тельную область) происходит дрожание сдвиго-
вого слоя на вершине переднего верхнего угла
впадины под действием входящих из погранично-
го слоя пристенных когерентных структур. Это
сильно влияет на формирование и конвекцию ви-
хрей внутри оторвавшегося сдвигового слоя, и как
следствие, никакие "квазидвуразмерные"вихри не
присутствуют в нем.
Для проверки влияния числа Рейнольдса на
результаты вычислений проведены тестовые ра-
счеты для Re=6000; 9000. Входные граничные
условия задавались с учетом работ [18, 19, 21,
22, 25–28, 31, 37–38] для турбулентного течения
в канале без впадины. На рис. 15 представлена
зависимость осредненной продольной компонен-
ты скорости Uc от y для случаев x={0.6; 1.7} и
Re={3360; 6000; 9000}. При сопоставлении числен-
ных результатов наблюдаем, что разработанная
модель адекватно реагирует на изменение числа
Рейнольдса. При увеличении Re уменьшается то-
лщина вязкого и промежуточного подслоев в тур-
булентном течении канала перед впадиной, что и
сказывается на скорости течения во впадине.
38 В. Г. Кузьменко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 28 – 41
Рис. 15. Зависимость осредненной продольной
компоненты скорости Uc от y для x={0.6; 1.7}
при Re={3360; 6000; 9000}
Рис. 16. Зависимость полной кинетической
энергии E от y для x={0.6; 1.7}
при Re={3360; 6000; 9000}
Рис. 16 показывает, что после отрыва на верхнем
переднем угле впадины наблюдается возрастание
пикового значения турбулентной энергии внутри
оторвавшегося сдвигового слоя с ростом числа Re.
Распределениe E на участке 0 ≤ y ≤ 0.7 остается
практически очень близким для разных Re.
На каждом шаге по времени результаты всех
вычислений показали, что в верхних углах впади-
ны коэффициент поверхностного трения cf , осре-
дненный по z−координате, стремится к нулю. Это
соответствует принятой пристенной модели, хара-
ктеризуя граничные условия в точках отрыва тур-
булентного потока на горизонтальных стенках:
∂ũ
∂y
= 0; ṽ = 0;
∂w̃
∂y
= 0,
что согласуется с критерием отрыва ламинарного
течения
∂u
∂y
= 0; v = 0.
Необходимо отметить, что нами получена оцен-
ка времени расчета поставленной задачи с исполь-
зованием разработанного численного алгоритма с
неявной разностной схемой в сравнении с полуне-
явной конечно-разностной схемой работы [9]. Вре-
мя расчета на основе нашего численного мето-
да примерно в три раза меньше, чем затраты на
основе полунеявного метода [9] при прочих рав-
ных условиях, поскольку шаг по времени в мо-
дернизированной LES-технологии в четыре раза
больше, чем в работе [9]. При этом учитывае-
тся, что время, затрачиваемое на итерации по не-
линейности для неявного разностного метода, на
20–25 процентов больше, чем затраты на расчет
по полунеявной схеме при использовании наше-
го численного алгоритма. Результаты наших ра-
счетов (pис. 3–8) лучше согласуются с экспери-
ментальными данными [1], чем вычисления из [9],
особенно в области впадины, где максимальные
отклонения в работе [9] достигают пятнадцати
процентов для турбулентных напряжений. Глав-
ная причина этого заключается в том, что на-
ша модернизированная LES-технология (экономи-
чная вычислительная область, 2 миллиона расче-
тных узлов, персональный компьютер) позволяет
использовать во впадине в два раза больше се-
точных узлов, чем численный метод работы [9]
(большая вычислительную область, 14 миллионов
расчетных узлов, суперкомпьютер). Получаем та-
кой эффект использования подробных знаний о
структуре турбулентности в граничных условиях
на входе в экономичную вычислительную область.
Правильность энергообмена между вихрями се-
точных и подсеточных масштабов проверяется: a)
выполнением условия реализуемости для компо-
нент подсеточных напряжений; б) сравнением ре-
зультатов расчета полной кинетической энергии
турбулентности E и подсеточной энергии k c эк-
спериментальными данными на интервале време-
ни расчета Toc с периодом цикличности течения
Ts.
В процессе расчетов установлено, что на ка-
ждом шаге по времени выполняются условия реа-
лизуемости [42] для подсеточных напряжений:
τii ≥ 0; |τij| ≤
√
τiiτjj; det(τij) ≥ 0.
В. Г. Кузьменко 39
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 28 – 41
Подсеточная энергии k определяется следую-
щим образом
k = (τ11 + τ22 + τ33)/2.
На рис. 3–8 представлены нормальные компонен-
ты полных турбулентных напряжений, которые
хорошо согласуются с экспериментальными дан-
ными, что подтверждает правильность расчета
полной турбулентной энергии E для интервала
времени T, где T = 10 Ts. Cравнение результа-
тов расчета полной кинетической энергии турбу-
лентности E (осредненной по Ts) для каждого из
десяти циклов Ts дает погрешность меньшую не-
скольких процентов.
ВЫВОДЫ
B данном исследовании модернизирована LES-
технология с пристенной моделью (развитие LES-
подхода [14–17, 33]) для изучения нестационарно-
го отрывного турбулентного течения в канале и
во впадине в усеченной (но физически значимой)
вычислительной области.
На основе модернизированной LES-технологии
развита численная нестационарная трехмерная
модель турбулентного течения несжимаемой жид-
кости в канале и во впадине с учетом отрыва. В
данной модели все параметры и уравнения име-
ют безразмерный вид. Численная модель содер-
жит три основных параметра: 1) число Рейнольд-
са впадины Re; 2) число Рейнольдса канала Reh.
3) параметр пристенной модели A0. Динамическая
подсеточная модель имеет расчетный коэффици-
ент CV .
Разработан новый численный алгоритм реше-
ния нестационарных трехмерных фильтрованных
уравнений Навье-Стокса с неявной разностной
схемой (со вторым порядком точности по времени
и по пространственным координатам), двуцикли-
чным методом расщепления в сочетании с динами-
ческой подсеточной смешанной моделью. Это по-
зволило корректно применять более крупные шаги
по времени.
Впервые в рамках модернизированного LES-
подхода (применяя численно-аналитическую ре-
конструкцию нестационарного поля фильтрован-
ной мгновенной скорости для всех трех компо-
нент во входном граничном условии) для отрыв-
ного турбулентного течения несжимаемой жидко-
сти в канале и во впадине (Re=3360; Reh=20450),
используя персональный компьютер, получены
численные значения: компонент осредненной ско-
рости, кинетической турбулентной энергии, нор-
мальных турбулентных напряжений, расределе-
ний линий направлений средней скорости осре-
дненных по большому промежутку времени и по
разным фазам течения. Сравнение наших числен-
ных результатов с экспериментальными данными
другого автора показало хорошее согласие. Ре-
зультаты вычислений боковых нормальных напря-
жений и кинетической турбулентной энергии до-
полняют экспериментально установленную карти-
ну течения. Проведены также тестовые расчеты
для чисел Рейнольдса Re={6000; 9000}.
В рамках LES-технологии вклад подсеточной
кинетической турбулентной энергии в полную тур-
булентную энергию составляет около 4–5 процен-
тов.
Представленный модернизированный LES-под-
ход правомерно использовать для расчетов на пер-
сональном компьютере в диапазоне 3000 < Re
<15000. В свою очередь, вычисления на компью-
тере с быстродействием более 20 ГГц и объемом
оперативной памяти свыше 10 ГГб на измельчен-
ной расчетной сетке можно проводить для 3000 <
Re < 100000 (при 18000 < Reh < 600000). Это су-
щественно расширяет возможности исследования
отрывных турбулентных течений в сравнении с ра-
нее использованной другими авторами классиче-
ской LES-технологией для 3000 < Re < 20000.
1. Pereira J.C., Sousa J.M. Experimental and numeri-
cal investigation of flow oscillations in a rectangular
cavity // J.Fluids Engng.– 1995.– v.117.– P. 68–73.
2. Larcheveque L.,Sagaut P.,Mary I.,Labbe O.,Comte P.
Large-eddy simulation of a compressible flow past a
deep cavity // Phys.Fluids.– 2003.– v.15,N1.– P. 193–
210.
3. Larcheveque L., Sagaut P., Le T.H., Comte P. Large-
eddy simulations of a compressible flow in a three-
dimensional open cavity at high Reynolds number //
J.Fluid.Mech.– 2004.– v.516.– P. 265–301.
4. Larcheveque L., Sagaut P., Labbe O. Large-eddy
simulation of a subsonic cavity flow includi-
ng asymmetric three-dimensional effects //
J.Fluid.Mech.– 2007.– v.577.– P. 105–126.
5. Djenidi L., Elavarasan R., Antonia R. The turbulent
boundary layer over transverse square cavities //
J.Fluid.Mech.– 1999.– v.395.– P. 271–294.
6. Grace S.M., Dewar W.G., Wroblewski D.E. Experi-
mental investigation of the flow characteristics within
a shallow wall cavity for both laminar and turbulent
upstream boundary layers // Exps. Fluids.– 2004.–
v.36.– P. 791–804.
7. Lin J.C., Rockwell D. Organized oscillations of initi-
ally turbulent flow past a cavity // AIAA J.– 2001.–
v.39,N12.– P. 1139–1151.
8. Rowley C., Colonius T., Basu A. On self-sustained
oscillations in two-dimensional compressible flow over
rectangular cavity // J.Fluid.Mech.– 2002.– v.455.–
P. 315–346.
9. Chang K., Constantinescu G., Park S. Analysis of the
flow and mass transfer processes for the incompressi-
ble flow past an open cavity with a laminar and a
40 В. Г. Кузьменко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 28 – 41
fully turbulent incoming boundary layer // J.Fluid
Mech.– 2006.– v.561.– P. 113–145.
10. Zang Y.,Street R.,Koseff J. A dynamic mixed
subgrid-scale model and its application to turbulent
recirculating flows // Phys.Fluids A.– 1993.–
v.5,N12.– P. 3186–3196.
11. Piomelli U. High Reynolds number calculations
using the dymamic subgrid-scale stress model //
Phys.Fluids A.– 1993.– v.5,N6.– P. 1484–1490.
12. Meneveau C.,Katz J. Scale-invariance and
turbulence models for large-eddy simulation //
Annu.Rev.Fluid.Mech.– 2000.– v.32.– P. 1–32.
13. Piomelli U., Balaras E. Wall-layer models for Large-
Eddy Simulations // Annu.Rev.Fluid.Mech.– 2002.–
v.34.– P. 349–374.
14. Kyзьмeнкo B.Г. Численное трехмерное модели-
рование турбулентного пограничного слоя в ре-
жиме развитой шероховатости на основе LES-
технологии // Прикладна гiдpoмexaнiкa.– 2002.–
4(76), N3.– С. 31–41.
15. Kyзьмeнкo B.Г. Численное трехмерное моделиро-
вание турбулентного пограничного слоя в режи-
ме промежуточной шероховатости // Прикладна
гiдpoмexaнiкa.– 2003.– 5(77), N2.– С. 27–36.
16. Kyзьмeнкo B.Г. Численное трехмерное моделиро-
вание турбулентного пограничного слоя на осно-
ве экономичной LES-технологии // Прикладна
гiдpoмexaнiкa.– 2004.– 6(78), N1.– С. 19–24.
17. Kyзьмeнкo B.Г. Динамические подсеточные
модели для LES-технологии // Прикладна
гiдpoмexaнiкa.– 2004.– 6(78), N3.– С. 22–27.
18. Федяевский К.К.,Гиневский А.С.,Колесников А.В.
Расчет турбулентного пограничного слоя несжи-
маемой жидкости.– Л.: Судостроение, 1973.– 256 с.
19. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.– М.: Ин-
лит, 1956.– 528 с.
20. Бабенко В.В.,Канарский М.Б.,Коробов Б.И. По-
граничный слой на эластичных пластинах.– К.:
Hayкова думкa, 1993.– 261 с.
21. Ligrani P.,Moffat R. Structure of transitionally
rough and fully rough turbulent boundary layers //
J.Fluid.Mech.– 1986.– v.162.– P. 69–98.
22. Ротта И.К. Турбулентный пограничный слой в не-
сжимаемой жидкости.– Л.: Судостроение, 1967.–
231 с.
23. Suponitsky V., Avital E., Gaster M. On three-
dimensionality and control of incompressible cavity
flow // Phys.Fluids.– 2005.– v.17.– P. 104103.
24. Breuer M. Wall models for LES of separated flows //
ERCOFTAC Bulletin.– 2007.– N72.– P. 13–18.
25. Hoyas S., Jimenez J. Scaling of the velocity fluctuati-
ons in turbulent channels up to Reτ =2003 //
Phys.Fluids.– 2006.– v.18.– P. 011702.
26. Carlier J., Stasnislas M. Experimental study of eddy
structures in a turbulent boundary layer using parti-
cle image velocimetry // J.Fluid Mech.– 2005.–
v.535.– P. 143–158.
27. Natrajan V., Christensen The role of coherent
structures in subgrid-scale energy transfer within the
log layer of wall turbulence // Phys.Fluids.– 2006.–
v.18.– P. 065104.
28. Zhou J., Adrian R., Balachandar S. Autogenerati-
on of near-wall vortical structures in channel flow //
Phys.Fluids.– 1996.– v.8.– P. 288–305.
29. Jakirlic S. Wall modelling in LES: method
development and application // ERCOFTAC
Bulletin.– 2007.– N72.– P. 5–6.
30. Fubery C. On LES and DES of wall bounded flows //
ERCOFTAC Bulletin.– 2007.– N72.– P. 67–72.
31. Конт-Белло Ж. Турбулентное течение в канале с
параллельными стенками.– М.: Мир, 1968.– 176 с.
32. Kaltenbach H. A priori testing of wall models for
separated flows // Phys.Fluids.– 2003.– v.15,N10.–
P. 3048–3064.
33. Kyзьмeнкo B.Г. Численное моделирование турбу-
лентного течения с отрывом за обратным усту-
пом // Прикладна гiдpoмexaнiкa.– 2007.– 9(81),
N4.– С. 37–48.
34. Квак Д.,Ченг Д.,Шэнкс С.,Чакраварти С. Метод
решения уравнения Навье-Стокса для трехмерных
течений несжимаемой жидкости с использовани-
ем простейших переменных // Аэро/космическая
техника.– 1987.– N2.– С. 144–153.
35. Марчук Г.И. Математическое моделирование в
проблеме окружающей среды.– М.: Наука, 1983.–
319 с.
36. Андерсон Д., Танненхил Дж., Плетчер Р. Вычис-
лительная гидромеханика и теплообмен. Т. 2.– М.:
Мир, 1990.– 726 с.
37. Balint J.,Wallace J.,Vukoslavcevic P. The velocity
and vorticity vector fields of a turbulent boundary
layer.Part 2.Statistical properties // J.Fluid.Mech.–
1991.– v.228.– P. 53–86.
38. Perry A.E., Lim K.L., Henbest S.M. An experimental
study of the turbulence structure in smooth- and
rough-wall boundary layers // J.Fluid.Mech.– 1987.–
v.177.– P. 437–468.
39. Klebanoff P.S.,Claveland W.G.,Tidstrom K.D. On
the evolution of a turbulent boundary layer
induced by a three-dimentional roughness element //
J.Fluid.Mech.– 1992.– v.237.– P. 101–187.
40. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.– М.:
Наука, 1987.– 840 с.
41. Scotti A., Meneveau C., Fatica M. Dynamic Smago-
rinsky model on anisotropic grids // Phys.Fluids.–
1997.– v.9,N6.– P. 1856–1858.
42. Vreman B., Geurts B., Kuerten H. Realizability
conditions for the turbulent stress tensor in large-
eddy simulation // J. Fluid. Mech.– 1994.– v. 278.–
P. 351–362.
В. Г. Кузьменко 41
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87665 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T09:21:02Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кузьменко, В.Г. 2015-10-22T19:20:14Z 2015-10-22T19:20:14Z 2009 Численное моделирование нестационарного турбулентного течения c отрывом над впадиной и внутри впадины / В.Г. Кузьменко // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 3. — С. 28-41. — Бібліогр.: 42 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87665 532.526.10 Трехмерный турбулентный поток несжимаемой жидкости над и внутри прямоугольной двумерной впадины в канале численно исследуется с применением LES-технологии и пристенной модели. Отношение длины к ширине впадины равно 2, число Рейнольдса для впадины 3360 и число Рейнольдса на ``входе'' 20450 для турбулентного пограничного слоя. Крупномасштабное поле течения получается путем прямого интегрирования фильтрованных трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости с помощью конечно-разностного метода. Маломасштабные движения параметризованы посредством динамической ``смешанной'' модели. Число использованых сеточных узлов составляет 2192103. Численное моделирование выполнено для того, чтобы изучить среднюю скорость, фазово-осредненную скорость, турбулентные напряжения, кинетическую энергию турбулентности и подсеточные эффекты. Согласие вычисленных профилей средней скорости и турбулентных статистик c экспериментальными данными является хорошим. Тривимiрний турбулентний потiк нестисливої рiдини над та всерединi прямокутної двохвимiрної западини в каналi чисельно дослiджується за допомогою LES-технологiї та пристiнної моделi. Спiввiдношення довжини до ширини западини становить 2, число Рейнольдса для западини дорiвнює 3360 та число Рейнольдса на ``входi'' є 20450 для турбулентного пограничного шару. Великомасштабне поле течiї одержується шляхом прямого iнтегрування фiльтрованих тривимiрних нестацiонарних рiвнянь Нав'є-Стокса для нестисливої рiдини, використовуючи кiнцево-рiзницевий метод. Маломасштабнi рухи параметризованi за допомогою динамiчної ``змiшаної'' моделi. Число використаних сiткових вузлiв є 2192103. Чисельне моделювання виконано для того, щоб вивчити середню швидкiсть, фазово-осереднену швидкiсть, турбулентнi напруги, кiнетичну енергiю турбулентностi та пiдсiдковi ефекти. Узгоджуванiсть обчисленних профiлiв середньої швидкостi i турбулентних статистик з експериментальними результатами є доброю. The three-dimensional turbulent incompressible flow over a rectangular two-dimensional cavity in a channel is investigated using LES-technique and wall model. The aspect ratio (length/depth) of the cavity is 2, cavity Reynolds number of 3360 and inflow Reynolds number of 20450 for turbulent boundary layer. The large-scale flow field has been obtained by directly integrating the filtered three-dimensional time-dependent incompressible Navier-Stokes equations using a finite-difference method. The small-scale motions were parametrized by dynamic subgrid-scale mixed model. The number of grid points used in the numerical method was 2192103. The simulation were performed to study the mean velocity, phase-averaged velocity, the turbulent stresses, the turbulence kinetic energy and subgrid-scale-model effect. There is good agreement between the computer mean-velocity profiles, turbulence statistics and experimental data. ru Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Численное моделирование нестационарного турбулентного течения c отрывом над впадиной и внутри впадины Numerical modelling of nonstationary turbulent flow with seperation over and inside cavity Article published earlier |
| spellingShingle | Численное моделирование нестационарного турбулентного течения c отрывом над впадиной и внутри впадины Кузьменко, В.Г. |
| title | Численное моделирование нестационарного турбулентного течения c отрывом над впадиной и внутри впадины |
| title_alt | Numerical modelling of nonstationary turbulent flow with seperation over and inside cavity |
| title_full | Численное моделирование нестационарного турбулентного течения c отрывом над впадиной и внутри впадины |
| title_fullStr | Численное моделирование нестационарного турбулентного течения c отрывом над впадиной и внутри впадины |
| title_full_unstemmed | Численное моделирование нестационарного турбулентного течения c отрывом над впадиной и внутри впадины |
| title_short | Численное моделирование нестационарного турбулентного течения c отрывом над впадиной и внутри впадины |
| title_sort | численное моделирование нестационарного турбулентного течения c отрывом над впадиной и внутри впадины |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87665 |
| work_keys_str_mv | AT kuzʹmenkovg čislennoemodelirovanienestacionarnogoturbulentnogotečeniâcotryvomnadvpadinoiivnutrivpadiny AT kuzʹmenkovg numericalmodellingofnonstationaryturbulentflowwithseperationoverandinsidecavity |