Применение метода Pодионова для расчета квазиодномерных движений идеальной сжимаемой жидкости
Метод Родионова адаптирован для расчета квазиодномерных течений идеальной сжимаемой жидкости. Выполнена разностная аппроксимация уравнений движения и граничных условий на подвижных границах разных типов: стенка, поршень и свободная поверхность. Верификация расчетного алгоритма проведена на ряде тест...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Прикладна гідромеханіка |
|---|---|
| Datum: | 2009 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2009
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87667 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Применение метода Pодионова для расчета квазиодномерных движений идеальной сжимаемой жидкости / В.В. Решетняк, А.Н. Семко // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 3. — С. 56-64. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859865339614986240 |
|---|---|
| author | Решетняк, В.В. Семко, А.Н. |
| author_facet | Решетняк, В.В. Семко, А.Н. |
| citation_txt | Применение метода Pодионова для расчета квазиодномерных движений идеальной сжимаемой жидкости / В.В. Решетняк, А.Н. Семко // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 3. — С. 56-64. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладна гідромеханіка |
| description | Метод Родионова адаптирован для расчета квазиодномерных течений идеальной сжимаемой жидкости. Выполнена разностная аппроксимация уравнений движения и граничных условий на подвижных границах разных типов: стенка, поршень и свободная поверхность. Верификация расчетного алгоритма проведена на ряде тестовых задач с неподвижными и подвижными границами. Рассчитано течение в конкретной гидроимпульсной установке
Метод Родiонова адаптовано для розрахунку квазiодновимiрних течiй iдеальної стислої рiдини. Виконана рiзнична апроксимацiя рiвнянь руху та граничних умов на рухомих границях рiзних типiв: стiнка, поршень та вiльна поверхня. Верiфiкацiя розрахункового алгоритму проведена на рядi тестових задач з нерухомими та рухомими границями. Розрахована течiя у конкретнiй гiдроiмульснiй установцi
Rodionov's method is adopted for solving quasi one dimensional flows of ideal compressible fluid. Approximation by finite differences of equation of moving and border conditions on moving borders of different types: free surface, piston and wall, is done. Verification of solving algorithm was done on number of testing problems with unmoving and moving borders. Flow in concrete pulse installation is calculated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:48:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 56 – 64
УДК 532.522: 518.5
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РОДИОНОВА ДЛЯ РАСЧЕТА
КВАЗИОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ИДЕАЛЬНОЙ
СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
В. В. Р ЕШ ЕТН Я К, А. Н. СЕ МК О
Донецкий Национальный университет
Получено 23.12.2008
Метод Родионова адаптирован для расчета квазиодномерных течений идеальной сжимаемой жидкости. Выполне-
на разностная аппроксимация уравнений движения и граничных условий на подвижных границах разных типов:
стенка, поршень и свободная поверхность. Верификация расчетного алгоритма проведена на ряде тестовых задач
с неподвижными и подвижными границами. Рассчитано течение в конкретной гидроимпульсной установке
Метод Родiонова адаптовано для розрахунку квазiодновимiрних течiй iдеальної стислої рiдини. Виконана рiзнична
апроксимацiя рiвнянь руху та граничних умов на рухомих границях рiзних типiв: стiнка, поршень та вiльна поверх-
ня. Верiфiкацiя розрахункового алгоритму проведена на рядi тестових задач з нерухомими та рухомими границями.
Розрахована течiя у конкретнiй гiдроiмульснiй установцi
Rodionov’s method is adopted for solving quasi one dimensional flows of ideal compressible fluid. Approximation by finite
differences of equation of moving and border conditions on moving borders of different types: free surface, piston and wall,
is done. Verification of solving algorithm was done on number of testing problems with unmoving and moving borders.
Flow in concrete pulse installation is calculated.
ВВЕДЕНИЕ
Численные методы широко применяются для
решения различных задач газовой динамики.
Многолетняя практика проведения численных
расчетов газодинамических течений позволила
сформулировать следующие основные требова-
ния к разностным схемам: монотонность, одноро-
дность, консервативность, экономичность и высо-
кий порядок аппроксимации [1, 2]. Большое рас-
пространение для расчета газодинамических тече-
ний получил метод Годунова [3], который позво-
ляет эффективно рассчитывать течения на подви-
жных сетках и удовлетворяет всем перечисленным
требованиям, кроме одного – имеет первый по-
рядок аппроксимации, что заметно снижает точ-
ность расчетов. Известны работы по модерниза-
ции метода Годунова и повышению его точности
В.П. Колгана, А.Н. Крайко, А.В. Родионова, Н.И.
Тилляевой [4 – 8].
Для перехода от расчетов методом Годунова
к методам повышенной точности наиболее удо-
бной является схема Родионова, которая полно-
стью базируется на основных идеях метода Году-
нова и требует незначительной доработки алго-
ритма [6, 7]. Схема Родионова удовлетворяет тре-
бованиям монотонности, однородности, консерва-
тивности и имеет второй порядок аппроксима-
ции по времени и координате. Повышение поряд-
ка аппроксимации по координате достигается за
счет замены кусочно-постоянного распределения
параметров кусочно-линейным, а по времени –
за счет выполнения двухшагового пересчета ти-
па предиктор-корректор. Сохранение монотонно-
сти обеспечивается применением принципа мини-
мума производной при выборе приращений функ-
ций [4]. В отличие от схемы Колгана [4], схема Ро-
дионова устойчива при числе Куранта k ≤ 1.
В оригинальной статье метод Родионова при-
менен для расчета течений идеального сжимае-
мого газа. В настоящей работе метод адаптиро-
ван для расчета квазиодномерных течений иде-
альной сжимаемой жидкости. В рамках метода
выполнена разностная аппроксимация уравнений
для квазиодномерного движения жидкости и гра-
ничных условий на подвижных границах разных
типов: стенка, поршень и свободная поверхность.
Проведена верификация расчетного алгоритма на
ряде тестовых задач с неподвижными и подви-
жными границами. Рассчитано течение жидко-
сти в гидроимпульсной установке конкретной кон-
струкции.
1. РАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
УРАВНЕНИЙ
Уравнения квазиодномерного движения идеаль-
ной сжимаемой жидкости в изоэнтропическом
приближении можно записать в виде [9 – 12]:
56 c© В. В. Решетняк, А. Н. Семко, 2009
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 56 – 64
∂ρ
∂t
+
∂ρu
∂x
= −
ρu
F
dF
dx
,
∂ρu
∂t
+
∂
(
p + ρu2
)
∂x
= −
ρu2
F
dF
dx
,
p = B [(ρ/ρ0)
n
− 1] ,
(1)
где x – координата; t – время; u, p и ρ – ско-
рость, давление и плотность; F – площадь попе-
речного сечения канала; B = 304.5 МПа; n = 7.15
и ρ0 = 1000 кг/м3 – постоянные в уравнении со-
стояния воды в форме Тэта. Уравнения (1) – нео-
днородные. Левые части уравнений соответству-
ют плоскому одномерному движению, а квазио-
дномерный характер движения отражается в не-
однородных членах, которые имеют смысл исто-
чников массы и импульса. В таком виде конечно-
разностная аппроксимация уравнений (1) для ква-
зиодномерного движения легко обобщается для
одномерных движений с осевой и центральной
симметрией.
Запишем разностную аппроксимацию уравне-
ний (1) по схеме Родионова для подвижной сетки
в виде:
ρm+1
i+1/2
=
(ρ∆x)m
i+1/2 − ∆t [R (U − W )] |i+1
i
∆xm+1
i+1/2
−
−
(ρu
F
)m+1/2
i+1/2
F |
i+1
i
∆x
m+1/2
i+1/2
∆t∆x
m+1/2
i+1/2
∆xm+1
i+1/2
;
(ρu)
m+1
i+1/2 =
{
(ρu∆x)
m
i+1/2 −
−∆t [(RU (U − W ) + P )] |
i+1
i
}
/∆xm+1
i+1/2 −
−
(
ρu2
F
)m+1/2
i+1/2
F |
i+1
i
∆x
m+1/2
i+1/2
∆t∆x
m+1/2
i+1/2
∆xm+1
i+1/2
.
(2)
Здесь ∆t – шаг по времени; ∆x – шаг сетки по
координате на m-том шаге по времени; Wi =
(
xm+1
i − xm
i
)
– скорость движения i-го узла сетки;
F |
i+1
i = F
m+1/2
i+1 − F
m+1/2
i . Большими буквами R,
U , P обозначены параметры, которые рассчитыва-
ются на границах ячеек при решении обобщенной
задачи Римана или на границах расчетной области
из граничных условий. Параметры с целыми инде-
ксами i определяются в точках с координатами xi,
а параметры с полуцелыми индексами i + 1/2 – в
точках с координатами xi+1/2. Нумерация узлов
сетки от 0 до N слева направо.
Процедуру расчета параметров по схеме Родио-
нова можно разбить на следующие этапы.
1. Определение приращений параметров тече-
ния внутри ячейки на основании принципа мини-
мальной производной Колгана
Рис. 1. Определение параметров внутри ячейки
∆fi+1/2 =
{
∆fi+1 , |∆fj+1| ≤ |∆fi| ;
∆fi , |∆fj+1| > |∆fi| ;
∆fi = fm
i+1/2 − fm
i−1/2, ∆fi+1 = fm
i+3/2 − fm
i+1/2.
Здесь f = {ρ, u} – один из параметров течения.
Распределение параметров по координате в мето-
де Родионова предполагается кусочно-линейным и
определяется на основании принципа минималь-
ной производной Колгана, как это схематично по-
казано на рис. 1.
2. Определение параметров по обе стороны гра-
ницы ячейки по формулам
fL
i = fm
i−1/2+∆fi−1/2
/
2, fR
i = fm
i+1/2−∆fi+1/2
/
2.
Здесь верхними индексами R и L отмечены па-
раметры справа и слева от границы с номером i.
3. Предварительный расчет параметров f̃m+1
i+1/2
через шаг по времени по формулам (4), в которых
производится замена
fm+1
i+1/2 = f̃m+1
i+1/2, fi = fR
i , fi+1 = fL
i+1.
4. Уточнение параметров по обе стороны от гра-
ницы ячейки по формулам
f̃L
i =
(
f̃m+1
i+1/2 + fm
i−1/2 + ∆fi−1/2
)/
2,
f̃R
i =
(
f̃m+1
i+1/2 + fm
i−1/2 − ∆fi+1/2
)/
2.
5. Определение “больших” величин R, U , P на
боковых гранях ячейки из решения задачи о рас-
паде произвольного разрыва с начальными значе-
ниями параметров на разрыве f̃L
i и f̃R
i . Для изо-
энтропического течения из условий на характери-
стиках имеем
В. В. Решетняк, А. Н. Семко 57
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 56 – 64
Ui =
ũR
i + ũL
i
2
+
ãL
i − ãR
i
n − 1
,
Ai =
ãR
i + ãL
i
2
+
n − 1
4
(
ũL
i − ũR
i
)
,
где a =
√
n (p + B)/ρ – скорость звука в воде. Дав-
ление и плотность рассчитываются по формулам
P = B
[
(
A
a0
)
2n
n−1
− 1
]
, R = ρ0
(
A
a0
)
2
n−1
,
где a0 =
√
nB/ρ0 – характерная скорость звука в
воде.
6. Окончательный расчет параметров fm+1
i+1/2
по
формулам (2).
Шаг по времени разностной схемы ограничен
модифицированным условием устойчивости Ку-
ранта [2]
∆t ≤ min
∆xi+1/2
(
(u + a)i+1/2 + Wi
) ,
∆xi+1/2
(
(a − u)i+1/2 − Wi−1
) .
2. АППРОКСИМАЦИЯ ГРАНИЧНЫХ
УСЛОВИЙ
При расчете гидроимпульсных установок наибо-
лее часто встречаются границы следующих типов:
стенка, движущаяся с заданной скоростью (в ча-
стном случае неподвижная), поршень и свободная
поверхность, движущиеся по неизвестным заранее
законам, которые определяются в ходе решения
задачи. В настоящей работе проведена аппрокси-
мация граничных условий на указанных границах
со вторым порядком точности. Рассмотрим аппро-
ксимацию этих граничных условий.
2.1. Поршень
Пусть левая граница расчетной области явля-
ется поршнем, который движется под действием
приложенных к нему сил с переменной скоростью,
и его движение описывается уравнением
dup
dt
= −p
Fp
mp
, (3)
где up, mp и Fp – скорость, масса и площадь попе-
речного сечения поршня; p – давление жидкости
на поршень.
Аппроксимацию граничных условий на поршне
проведем в следующем порядке.
Определение параметров на правой стороне ле-
вой границы ячейки, прилегающей к поршню, на
текущий момент времени по формуле
fR
0 = fm
1/2 − ∆f1/2
/
2.
Разложение в ряд Тейлора для этого выражения
дает следующую оценку погрешности аппроксима-
ции:
fR
0 = fm
1/2 − (f ′
x)
m
1/2 ∆x/2 + (f ′′
x )
m
1/2 ∆x2/8 + . . . =
= fm
1/2 − ∆f1/2
/
2 + O
(
∆x2
)
.
Расчет скорости звука на границе ячейки в те-
кущий момент времени из условия на характери-
стике второго семейства по формуле
Am
0 =
n − 1
2
(Um
0 − um
0 ) + am
0 .
Поскольку точность вычисления параметров
определяется погрешностью расчета величин am
0
и um
0 , а также погрешностью, связанной с прибли-
женным решением квазиодномерной задачи Рима-
на [1], то для оценки погрешности имеем Am
0 =
=
n − 1
2
(Um
0 − um
0 ) + am
0 + O
(
∆x2
)
. Давление на
границе P m
0 рассчитывается по найденной скоро-
сти звука Am
0 .
Предварительный расчет параметров f̃m+1
1/2
че-
рез шаг по времени по формулам (4), в которых
производится замена
fm+1
1/2 = f̃m+1
1/2 , f0 = fR
0 .
Уточнение параметров на правой стороне левой
границы ячейки через половину шага по времени
по формуле
f̃R
0 =
(
f̃m+1
1/2 + fm
1/2 − ∆f1/2
)/
2 + O
(
∆x2, ∆t2
)
.
Погрешность определения параметров при этом
можно найти методом разложения в ряд Тейло-
ра, аналогично тому, как это было сделано в п. 1.
Расчет скорости поршня через шаг по времени ме-
тодом Эйлера со вторым порядком точности
Um+1
0 = Um
0 − ∆tP m
0
Fp
mp
+ O
(
∆x2, ∆t2
)
.
Пересчет “больших” величин на границе расче-
тной области через половину шага по времени:
58 В. В. Решетняк, А. Н. Семко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 56 – 64
U
m+1/2
0 =
Um
0 + Um+1
0
2
+ O
(
∆x2, ∆t2
)
,
A
m+1/2
0 =
n − 1
2
(
U
m+1/2
0 − u
m+1/2
0
)
+
+a
m+1/2
0 + O
(
∆x2, ∆t2
)
.
Приведенный алгоритм позволяет рассчи-
тывать параметры на поршне со вторым порядком
точности.
2.2. Стенка
Рассмотрим левую границу расчетной области,
которая представляет собой стенку, движущуюся
с заданной скоростью u0. В этом случае скорость
жидкости на границе определяется из граничного
условия, а скорость звука находится по условию
на характеристике второго семейства. Давление и
плотность находятся по скорости звука. Аппрокси-
мацию со вторым порядком точности проводим по
алгоритму, аналогичному описанному выше для
поршня. Определив параметры на правой сторо-
не левой границы ячейки, прилегающей к стенке,
через половину шага по времени, можно рассчи-
тать “большие” величины по условию на характе-
ристике второго семейства
A
m+1/2
0 =
n − 1
2
(
U
m+1/2
0 − u
m+1/2
1/2
)
+
+a
m+1/2
1/2 + O
(
∆x2, ∆t2
)
.
Аналогично получим выражение для скорости
звука на правой границе c номером N :
A
m+1/2
N = a
m+1/2
N−1/2 −
n − 1
2
(
U
m+1/2
N − u
m+1/2
N−1/1
)
.
2.3. Свободная поверхность
Пусть правая граница расчетной области яв-
ляется свободной поверхностью, которая движе-
тся с переменной скоростью, зависящей от давле-
ния жидкости вблизи свободной поверхности. Как
известно, давление на свободной поверхности по-
стоянное и равное атмосферному. Отсюда следу-
ет, что скорость звука на свободной поверхности
постоянная и равна a0 =
√
nB/ρ0. Неизвестная
скорость жидкости на свободной поверхности на-
ходится по условию на характеристике первого се-
мейства по формуле
U
m+1/2
N−1/2 = u
m+1/2
N−1/2 +
2
n − 1
(
a
m+1/2
N−1/2 − a0
)
.
Аналогично, для свободной поверхности на ле-
вой границе расчетной области получим
U
m+1/2
N−1/2 = u
m+1/2
N−1/2 −
2
n − 1
(
a
m+1/2
N−1/2 − a0
)
.
Параметры с левой стороны границы пригра-
ничной ячейки через половину шага по времени
определяются по такой же методике, как и для
поршня.
3. ТЕСТИРОВАНИЕ МЕТОДА
Для верификации метода проведен расчет ряда
тестовых задач: тест Сода [13] и тестовые задачи
с поршнем и свободной поверхностью для подви-
жных границ. Рассмотрим результаты тестирова-
ния более детально по порядку.
3.1. Тест Сода
Цилиндрическая труба длиной 2L постоянного
сечения, разделенная по середине диафрагмой, за-
полнена неподвижной жидкостью. Давление слева
от диафрагмы равно p1, а справа – p2 (для опреде-
ленности p1 > p2). В начальный момент диафра-
гма разрывается, и жидкость приходит в движе-
ние. Влево от контактной поверхности по жидко-
сти будет распространяться центрированная вол-
на разрежения, а вправо – ударная волна.
В безразмерных переменных начальные условия
для теста Сода имеют вид:
u = 0, 0 ≤ x ≤ 2;
p = 1, 0 ≤ x ≤ 1;
p = 0, 1 < x ≤ 2.
При переходе к безразмерным величинам за
масштабы выбраны: половина длины трубы L и
давление p1.
Расчеты проводились на сетке из 100 ячеек при
числе Куранта k = 0.9 до момента времени, ко-
гда какая-то из волн достигала границ расчетной
области.
На рис. 2 представлено распределение давления
по координате на момент времени t = 0.6 для слу-
чаев: а – вся расчетная область, б – область удар-
ной волны, в – область волны разрежения. За мас-
штаб времени взято характерное время L/a0. Кри-
вые 1, 2 и 3 – аналитическое решение, расчет мето-
дом Годунова и методом Родионова. Из графиков
В. В. Решетняк, А. Н. Семко 59
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 56 – 64
Рис. 2. Распределение давлений по координате:
1 – аналитическое решение; 2 – метод Годунова; 3 – метод Родионова
видно, что в зонах большого изменения параме-
тров решение методом Годунова дает более “ра-
змазанную” картину течения, чем решение мето-
дом Родионова.
Было рассчитано среднеквадратическое откло-
нение от точного решения для методов Годунова и
Родионова по формуле
σ =
√
√
√
√
1
N
N
∑
i=1
(Pr (xi) − P (xi))
2
,
где N – количество узлов сетки; Pr (xi)−давление
в точке с координатой xi, рассчитанное числен-
но; P (xi)− давление в точке с координатой xi,
рассчитанное аналитически. Расчет проводился
в областях ударной волны и волны разрежения
(рис. 2,б, в). Для сетки разрешением 100 ячеек
отклонение для метода Годунова оказалось боль-
ше, чем отклонение для метода Родионова, в 2 ра-
за как для волны разрежения, так и для ударной
волны.
Процессорное время, затрачиваемое на расчет
элементарной ячейки методом Родионова, в срав-
нении с методом Годунова в 1.5 раза больше. По-
этому при расчетах на одинаковых сетках время
расчета методом Родионова больше почти в два
раза. Однако точность расчета методом Родионова
намного выше, чем Годунова. Чтобы добиться та-
кой же точности расчетов методом Годунова, надо
увеличить количество ячеек в 8 – 10 раз, что при-
ведет к существенному увеличению времени счета.
При сравнении времени счета по одинаковой то-
чности расчетов метод Родионова быстрее в 10 – 30
раз. Метод Родионова позволяет получить удовле-
творительные результаты на сильно неравномер-
ных сетках, когда в силу определенных причин
шаг сетки в одном месте расчетной области отли-
чается от шага в другой в несколько раз. В этом
существенное преимущество метода Родионова.
3.2. Тест с подвижными границами
Рассмотрим тестовую задачу с двумя подви-
жными границами, поршнем и свободной поверх-
ностью, законы движения которых не известны
заранее и определяются в ходе решения задачи.
Пусть в цилиндрической трубе c площадью попе-
речного сечения Fp находится неподвижный столб
воды длиной L, который удерживается тонкими
диафрагмами. В начальный момент времени сле-
ва по воде ударяет поршень массы mp, движущий-
ся с начальной скоростью u0. Правую границу во-
дяного заряда будем считать свободной поверхно-
стью. При ударе поршня по воде начнет распро-
страняться ударная волна в направлении свобо-
дной поверхности. Давление на поршне повыси-
тся, он начнет тормозиться и испускать волны ра-
зрежения, которые будут уменьшать давление на
фронте ударной волны. Достигнув свободной по-
верхности, ударная волна отразится волной разре-
жения, приведя в движение всю жидкость.
Одномерное движение жидкости описывалось
однородными уравнениями (1) с начальными и
граничными условиями
u (0, x) = 0, p (0, x) = 0,
ρ (0, x) = ρ0 ; 0 ≤ x ≤ L;
u (t, xp) = up, p(t, xF ) = 0.
Движение поршня описывалось обыкновенными
дифференциальными уравнения с начальными
условиями
dup
dt
= −
p(t, xp)
mp
Fp,
dxp
dt
= up,
up(0) = u0, xp(0) = 0.
(4)
Расчеты проводились на регулярной подвижной
сетке, которая была ограничена слева движущим-
ся поршнем, а справа – свободной поверхностью.
60 В. В. Решетняк, А. Н. Семко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 56 – 64
Рис. 3. Распределение давления:
1 –метод Родионова; 2 – метод Годунова
На рис. 3 приведены распределения давления
для двух моментов времени t1 = 0.5 (рис. 3,а) и
t2 = 1 (рис. 3,б), полученные методами Родионова
(кривые 1) и Годунова (кривые 2) на сетке из 100
ячеек. Значения величин на графиках безразмер-
ные: давление отнесено к давлению гидроудара
ρ0u0a0, а координата – к начальной длине столба
жидкости L. Первый рисунок соответствует удар-
ной волне, распространяющейся в сторону свобо-
дной поверхности, а второй – волне разрежения,
отраженной от свободной поверхности. Как видно,
метод Родионова точнее передает распределение
параметров в зонах ударной волны и волны разре-
жения, где происходит резкое изменение параме-
тров. Из-за слабой сжимаемости жидкости сектор
волны разрежения, в пределах которого происхо-
дит непрерывное изменение параметров, узкий и
укладывается всего в несколько ячеек. В областях
плавного изменения параметров решения разными
методами хорошо совпадают.
Тестовые расчеты показали, что метод Родио-
нова легко адаптируется для расчета одномерных
движений идеальной сжимаемой жидкости. Метод
позволяет проводить расчеты на подвижных ре-
гулярных и нерегулярных сетках с границами ра-
зных типов (поршень, стенка, свободная поверх-
ность), которые движутся по заданным законам
или законы движения которых определяются не-
посредственно при расчете течения. Метод Родио-
нова дает гораздо лучшее разрешение в областях
с большими градиентами параметров течения, чем
метод Годунова. Для достижения одинаковой то-
чности расчетов метод Родионова требует в не-
сколько раз меньше времени, чем метод Годуно-
ва, для которого надо использовать гораздо более
мелкие сетки.
4. РАСЧЕТ ГИДРОИМПУЛЬСНЫХ
УСТАНОВОК
4.1. Гидроимпульсная пресс-пушка
Известен технологический процесс гидроим-
пульсной штамповки, в котором силовое воздей-
ствие на заготовку оказывает ударная волна и ги-
дропоток. Рассмотрим пресс-пушку [14], в которой
используется кинетическая энергия поршня. Пор-
шень, предварительно ускоренный сжатым газом,
ударяет по воде и генерирует в ней ударную волну.
Ударная волна, достигнув заготовки, оказывает на
нее силовое воздействие и передает ей часть сво-
ей энергии. Одновременно происходит частичное
отражение ударной волны от поверхности заго-
товки. Процесс нагружения заготовки носит ярко
выраженный волновой характер, сопровождается
взаимодействием волн сжатия и разрежения и мо-
жет быть рассчитан только с учетом сжимаемости
жидкости.
Одномерное движение идеальной сжимаемой
жидкости в пресс-пушке описывается одноро-
дными уравнениями (1) с начальными и гранич-
ными условиями
u (0, x) = 0, p (0, x) = 0, x ∈ [−L, 0],
u (t, xp) = up, u (t, 0) = 0.
В. В. Решетняк, А. Н. Семко 61
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 56 – 64
Здесь L – длина водяного заряда. Заготовка для
простоты считается жесткой и неподвижной, нача-
ло координат совмещено с заготовкой.
Движение поршня описывается уравнениями (6)
с соответствующими начальными условиями.
Задача решалась численно методами Годунова и
Родионова. В этой задаче расчетная область огра-
ничена с одной стороны движущимся поршнем, а с
другой – неподвижной стенкой. Расчеты проводи-
лись на равномерной подвижной сетке, которая с
одной стороны опиралась на поршень, а с другой –
на заготовку.
Рис. 4. Зависимость давления от времени:
1 – расчет методом Родионова; 2 – методом Годунова
На рис. 4 приведена зависимость давления
от времени на заготовке для установки с дан-
ными [14]: длина столба воды L = 650 мм, радиус
поршня Rp = 56 мм, масса поршня mp = 2.3 кг,
скорость поршня u0 = 32 м/с. Кривые 1 и 2 – ра-
счеты методами Родионова и Годунова. Давление
отнесено к давлению гидроудара ρ0u0a0, а время –
к характерному времени τ = L/a0. Расчетная се-
тка состояла из 100 ячеек.
Как видно, из графиков метод Родионова дает
более крутые фронты волн и большие значения
давления. К моменту времени t1 = 0.98 ударная
волна достигает заготовки и скачком повышает на
ней давление почти в два раза по сравнению с дав-
лением гидроудара. На этой стадии максимальные
значения давления для методов Годунова и Роди-
онова различаются на 7 %.
Второй пик давления соответствует моменту
времени, когда ударная волна отразилась от за-
готовки, достигла поршня, отразилась от него и
вернулась назад на заготовку. В этом случае ма-
ксимальные значения давления для методов Году-
нова и Родионова различаются на 22 %.
4.2. Гидропушка
Предложенный метод опробован при расче-
те параметров гидропушки конкретной констру-
кции [15]. Гидропушка – это установка, которая
применяется для получения импульсных струй
жидкости сверх высокой скорости (1000 – 3000
м/с). Первые конструкции гидропушек были ра-
зработаны и исследованы Б. В. Войцеховским [16].
Теория установок развивалась в рамках модели
идеальной несжимаемой жидкости. Дальнейшие
экспериментальные и теоретические исследования
гидропушек показали, что пренебрежение сжима-
емостью жидкости может привести к существен-
ным ошибкам. Разные конструкции гидропушек,
их математические модели, учитывающие сжима-
емость жидкости, и методы расчетов подробно
описаны Г. А. Атановым в монографии [9]. Для
расчета параметров гидропушки Г. А. Атанов ра-
звил метод Годунова [17].
Рис. 5. Гидропушка:
1 – ресивер, 2 – поршень; 3 – вода; 4 – ствол; 5 – сопло
Схема гидропушки, в которой реализуется инер-
ционный принцип разгона жидкости при втека-
нии в сужающееся сопло, приведена рис. 5. Под
действием давления сжатого газа 1 тяжелый пор-
шень 2 разгоняется вместе с водой 3 в стволе 4.
Вода, достигая входа в сопло 5, начинает втекать
в него, ускоряясь. Ускорение воды происходит за
счет перераспределения энергии между частицами
нестационарно движущейся жидкости. При этом
кинетическая энергия частиц воды, прилегающих
к свободной поверхности, значительно превыша-
ет среднюю по объему энергию. Достигнув среза
сопла, вода истекает из него импульсной высоко-
скоростной струей.
Хорошие результаты для расчета параметров
гидропушки дает модель, в которой жидкость счи-
тается идеальной в смысле пренебрежения вязко-
стью и сжимаемой, течение предполагается квази-
одномерным и изоэнтропическим, влияние возду-
ха в сопле и деформации корпуса не учитываются.
В рамках этой модели движение жидкости опи-
сывается системой уравнений (1) со следующими
начальными и граничными условиями:
u (0, x) = U0, p (0, x) = 0, ρ (0, x) = ρ0; −L ≤ x ≤ 0;
62 В. В. Решетняк, А. Н. Семко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 56 – 64
u (t, xp) = up, p(t, xF ) = 0.
Здесь xp и up – координата и скорость поршня;
xF – координата свободной поверхности; L – дли-
на водяного заряда. Начало координат помещено
у входа в сопло, за начальный принят момент вре-
мени, когда передний фронт жидкости достигает
входа в сопло.
Движение поршня описывалось обыкновенными
дифференциальными уравнения с начальными
условиями
dup
dt
= −
p(t, xp)
mp
Fp,
dxp
dt
= up,
up(0) = u0, xp(0) = −L.
Рассчитывалась гидропушка со следующими
конструктивными параметрами: длина водяного
заряда L = 140 мм, длина сопла Ls = 253 мм,
радиус ствола Rc = 33 мм, радиус выходного се-
чения сопла Rs = 5 мм, начальная скорость во-
дяного заряда с поршнем u0 = 76.2 м/с, мас-
са поршня mp = 2.25 кг. Использовалось экспо-
ненциальное сопло, площадь поперечного сечения
которого изменялась по формуле Войцеховского:
F = Fce
−αx, где α = ln (Fs/Fc)/Ls – параметр
сопла [16]. Расчеты проводились на равномерной
подвижной сетке, которая с одной стороны опи-
ралась на поршень, а с другой – на свободную
поверхность. Шаг сетки определялся по формуле
∆x = (xF − xp)/N , где N – количество расчетных
ячеек.
Рис. 6. Распределение давления на начало истечения
воды из сопла гидропушки:
1 и 2 – метод Годунова (100 и 1000 ячеек);
3 – метод Родионова (100 ячеек)
На рис. 6 представлено распределение давления
на момент времени, когда вода достигает среза со-
пла и начинается истечение струи. Кривые 1 и 2 –
расчеты методом Годунова на сетках из 100 и 1000
ячеек, кривая 3 – расчет методом Родионова на
сетке из 100 ячеек. Значения величин на графи-
ках безразмерные: давление отнесено к скоростно-
му напору ρ0u
2
0
/
2, а координата – к длине сопла
Ls. При расчетах коэффициент запаса в условии
устойчивости Куранта k = 0.9. Как видно из гра-
фиков, решение методом Годунова на грубой сетке
из 100 ячеек сильно отличается от решения на мел-
кой сетке из 1000 ячеек (кривые 1 и 2). Максималь-
ные значения давления для этих вариантов разли-
чаются на 12 %. В то же время решение методом
Родионова на грубой сетке из 100 ячеек и методом
Годунова на мелкой сетке хорошо совпадают (кри-
вые 2 и 3). Здесь различие максимальных давле-
ний около 1 %. Процессорное время, затраченное
на расчет элементарной ячейки методом Родионо-
ва больше, чем методом Годунова примерно в три
раза. Однако решение методом Годунова на сетке
из 1000 ячеек потребовало в 30 раз больше време-
ни, чем расчет методом Родионова на сетке из 100
ячеек, дающий примерно такую же точность.
При расчетах контролировалось выполнение ба-
лансов массы, импульса и энергии. На мелких се-
тках дисбаланс массы не превышал 0.01 %, а им-
пульса и энергии – 0.05 %.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Метод Родионова развит для расчета квазиодно-
мерных течений идеальной сжимаемой жидкости
на подвижных сетках. Проведена аппроксимация
граничных условий для подвижных границ разно-
го типа (поршень, свободная поверхность, подви-
жная стенка) со вторым порядком точности. Те-
стирование метода на задачах с неподвижными и
подвижными границами показало его надежность,
экономичность и эффективность по сравнению с
методом Годунова. Предложенным методом рас-
считаны гидродинамические параметры гидроим-
пульсной пресс-пушки и гидропушки конкретной
конструкции, движение жидкости в которых огра-
ничено подвижными границами. Показано, что
для достижения одинаковой точности расчеты ме-
тодом Родионова требуют в несколько раз меньше
компьютерного времени, чем метода Годунова.
1. Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А.
Ю. Математические вопросы численного решения
В. В. Решетняк, А. Н. Семко 63
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 56 – 64
гиперболических систем уравнений.– М.: Физма-
тлит, 2001.– 608 с.
2. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование ре-
агирующих потоков.– М.: Мир, 1990.– 661 с.
3. Годунов С. К. Разностный метод численного ра-
счета разрывных решений уравнений гидродина-
мики // Матем. сб.– 1959.– Том 47 (89). N 3.–
С. 207-306.
4. Колган В. П. Применение принципа минимальных
значений производной к построению конечнора-
зностных схем для расчета разрывных течений га-
зовой динамики // Ученые записки ЦАГИ.– 1972.–
Том 3. N 6.– С. 68-77.
5. Копченов В. И., Крайко А. Н. Монотонная разно-
стная схема второго порядка для гиперболических
систем с двумя независимыми переменными // Ж.
вычисл. матем. и матем. физ.– 1983.– Т. 23. N 4.–
С. 848- 859.
6. Родионов А. В. Монотонная схема второго поряд-
ка аппроксимации для сквозного расчета неравно-
весных течений // Журнал вычислительной мате-
матики и математической физики.– 1987.– Том 27.
N 4.– С. 585-593.
7. Родионов А. В. Повышение порядка аппроксима-
ции схемы Годунова // Ж. вычисл. матем. и ма-
тем. физ.– 1987.– Т. 27. N 12.– С. 1853-1860.
8. Тилляева Н. И. Обобщение модифицированной
схемы С.К. Годунова на произвольные нерегуляр-
ные сетки // Уч. зап. ЦАГИ.– 1986.– Т.17. N 2.–
С. 18-26.
9. Атанов Г. А. Гидроимпульсные установки для ра-
зрушения горных пород.– К.: Вища школа, 1987.–
155 с.
10. Семко А. Н. Импульсные струи жидкости высо-
кого давления.– Донецк: Вебер (Донецкое отделе-
ние), 2007.– 149 с.
11. Семко А. Н. О влиянии сжимаемости жидко-
сти на параметры гидропушки // Инженерно-
физический журнал.– 2001.– Том 74. N 1.– С. 1-5.
12. 12. O. Petrenko, E.S. Geskin, G.A. Atanov, A. Semko,
B. Goldenberg Numerical Modeling of High-Speed
Water Slugs // Transaction of the ASME. Journal of
Fluids Engineering.– 2004.– Vol. 126. No 2.– P. 206 -
209.
13. Приходько А. А Компьютерные технологии в аэро-
гидродинамике и теплообмене.– К: Наукова думка,
2003.– 380 с.
14. Галиев Ш. У. Нелинейные волны в ограниченных
сплошных средах.– К: Наукова думка, 1988.– 264 с.
15. Атанов Г.А., Семко А.Н., Украинский Ю.Д. Иссле-
дование внутренней баллистики гидропушки //
Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа.–
1983.– N 4.– С. 168-170.
16. 15. Войцеховский Б. В., Дудин Ю. А., Николаев
Ю. А., Николаев В. П., Никитин В. В. Кавитацион-
ный эффект в экспоненциальном струйном насад-
ке // Динамика сплошной среды. - Новосибирск:
ИГД СО АН СССР.– 1971.– Вып. 9.– С. 7-11.
17. Атанов Г.А. Расчет выстрела гидропушки методом
“распада разрыва” // Гидромеханика. - Киев: На-
укова думка.– 1974.– Вып. 30.– С. 51-54.
64 В. В. Решетняк, А. Н. Семко
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87667 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:48:09Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Решетняк, В.В. Семко, А.Н. 2015-10-22T19:26:46Z 2015-10-22T19:26:46Z 2009 Применение метода Pодионова для расчета квазиодномерных движений идеальной сжимаемой жидкости / В.В. Решетняк, А.Н. Семко // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 3. — С. 56-64. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87667 532.522: 518.5 Метод Родионова адаптирован для расчета квазиодномерных течений идеальной сжимаемой жидкости. Выполнена разностная аппроксимация уравнений движения и граничных условий на подвижных границах разных типов: стенка, поршень и свободная поверхность. Верификация расчетного алгоритма проведена на ряде тестовых задач с неподвижными и подвижными границами. Рассчитано течение в конкретной гидроимпульсной установке Метод Родiонова адаптовано для розрахунку квазiодновимiрних течiй iдеальної стислої рiдини. Виконана рiзнична апроксимацiя рiвнянь руху та граничних умов на рухомих границях рiзних типiв: стiнка, поршень та вiльна поверхня. Верiфiкацiя розрахункового алгоритму проведена на рядi тестових задач з нерухомими та рухомими границями. Розрахована течiя у конкретнiй гiдроiмульснiй установцi Rodionov's method is adopted for solving quasi one dimensional flows of ideal compressible fluid. Approximation by finite differences of equation of moving and border conditions on moving borders of different types: free surface, piston and wall, is done. Verification of solving algorithm was done on number of testing problems with unmoving and moving borders. Flow in concrete pulse installation is calculated. ru Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Применение метода Pодионова для расчета квазиодномерных движений идеальной сжимаемой жидкости Application of the Rodionov's method for calculating quasione-dimensional motions of ideal compressible fluid Article published earlier |
| spellingShingle | Применение метода Pодионова для расчета квазиодномерных движений идеальной сжимаемой жидкости Решетняк, В.В. Семко, А.Н. |
| title | Применение метода Pодионова для расчета квазиодномерных движений идеальной сжимаемой жидкости |
| title_alt | Application of the Rodionov's method for calculating quasione-dimensional motions of ideal compressible fluid |
| title_full | Применение метода Pодионова для расчета квазиодномерных движений идеальной сжимаемой жидкости |
| title_fullStr | Применение метода Pодионова для расчета квазиодномерных движений идеальной сжимаемой жидкости |
| title_full_unstemmed | Применение метода Pодионова для расчета квазиодномерных движений идеальной сжимаемой жидкости |
| title_short | Применение метода Pодионова для расчета квазиодномерных движений идеальной сжимаемой жидкости |
| title_sort | применение метода pодионова для расчета квазиодномерных движений идеальной сжимаемой жидкости |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87667 |
| work_keys_str_mv | AT rešetnâkvv primeneniemetodapodionovadlârasčetakvaziodnomernyhdviženiiidealʹnoisžimaemoižidkosti AT semkoan primeneniemetodapodionovadlârasčetakvaziodnomernyhdviženiiidealʹnoisžimaemoižidkosti AT rešetnâkvv applicationoftherodionovsmethodforcalculatingquasionedimensionalmotionsofidealcompressiblefluid AT semkoan applicationoftherodionovsmethodforcalculatingquasionedimensionalmotionsofidealcompressiblefluid |