Трансформация уединенных внутренних волн большой амплитуды над ступенькой на дне
Численно исследуется динамика и энергетика трансформации уединенных внутренних волн большой амплитуды, распространяющихся в жидкости с двухслойной стратификацией над ступенькой на дне. Расчеты проводятся в рамках уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска с использованием негидростатической мод...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Прикладна гідромеханіка |
|---|---|
| Datum: | 2009 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2009
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87668 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Трансформация уединенных внутренних волн большой амплитуды над ступенькой на дне / Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 3. — С. 65-76. — Бібліогр.: 42 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859956578069774336 |
|---|---|
| author | Терлецкая, Е. Мадерич, В. Бровченко, И. |
| author_facet | Терлецкая, Е. Мадерич, В. Бровченко, И. |
| citation_txt | Трансформация уединенных внутренних волн большой амплитуды над ступенькой на дне / Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 3. — С. 65-76. — Бібліогр.: 42 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладна гідромеханіка |
| description | Численно исследуется динамика и энергетика трансформации уединенных внутренних волн большой амплитуды, распространяющихся в жидкости с двухслойной стратификацией над ступенькой на дне. Расчеты проводятся в рамках уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска с использованием негидростатической модели. Результаты моделирования обобщают теоретический анализ взаимодействия уединенных волн малой амплитуды со ступенькой (Grimshaw et al., 2008), на случай сильно-нелинейных волн, когда эффекты диссипации и перемешивания становятся существенными.
Чисельно дослiджується динамiка та енергетика трансформацiї внутрiшнiх вiдокремлених хвиль великої амплiтуди, що розповсюджуються в рiдинi з двошаровою стратифiкацiєю над сходинкою на днi. Розрахунки проводяться в рамках рiвнянь Навьє-Стокса у наближеннi Буссiнеска з використанням негiдростатiчної моделi. Результати моделювання узагальнюють теоретичний аналiз взаємодiї вiдокремлених хвиль малої амплiтуди зi сходинкою на днi (Grimshaw et al., 2008) на випадок сильно-нелiнiйних хвиль, коли ефекти дисiпацii i перемiшування стають iстотними.
The dynamics and energy transformation of internal solitary waves of large amplitude, propagating in a fluid with two-layer stratification at a bottom step are investigated numerically. Calculations are performed in frame of the Navier-Stokes equations in the Boussinesq approximation using non-hydrostatic model. Simulation results generalize the theoretical analysis of the interaction of solitary waves of small amplitude with bottom steps (Grimshaw et al., 2008) in case strongly-nonlinear waves, when the effects of dissipation and mixing are significant.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:19:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 65 – 76
УДК 532.465
ТРАНСФОРМАЦИЯ УЕДИНЕННЫХ ВНУТРЕННИХ ВОЛН
БОЛЬШОЙ АМПЛИТУДЫ НАД СТУПЕНЬКОЙ НА ДНЕ
Е. ТЕР Л ЕЦ К А Я, В. МА Д ЕР И Ч, И. Б Р ОВ Ч ЕН К О
Институт проблем математических машин и систем НАН Украины, Киев
Получено 9.03 2009
Численно исследуется динамика и энергетика трансформации уединенных внутренних волн большой амплитуды,
распространяющихся в жидкости с двухслойной стратификацией над ступенькой на дне. Расчеты проводятся в рам-
ках уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска с использованием негидростатической модели. Результаты
моделирования обобщают теоретический анализ взаимодействия уединенных волн малой амплитуды со ступенькой
(Grimshaw et al., 2008), на случай сильно-нелинейных волн, когда эффекты диссипации и перемешивания становятся
существенными.
Чисельно дослiджується динамiка та енергетика трансформацiї внутрiшнiх вiдокремлених хвиль великої амплiту-
ди, що розповсюджуються в рiдинi з двошаровою стратифiкацiєю над сходинкою на днi. Розрахунки проводяться
в рамках рiвнянь Навьє-Стокса у наближеннi Буссiнеска з використанням негiдростатiчної моделi. Результати мо-
делювання узагальнюють теоретичний аналiз взаємодiї вiдокремлених хвиль малої амплiтуди зi сходинкою на днi
(Grimshaw et al., 2008) на випадок сильно-нелiнiйних хвиль, коли ефекти дисiпацii i перемiшування стають iстотни-
ми.
The dynamics and energy transformation of internal solitary waves of large amplitude, propagating in a fluid with two-
layer stratification at a bottom step are investigated numerically. Calculations are performed in frame of the Navier-Stokes
equations in the Boussinesq approximation using non-hydrostatic model. Simulation results generalize the theoretical
analysis of the interaction of solitary waves of small amplitude with bottom steps (Grimshaw et al., 2008) in case strongly-
nonlinear waves, when the effects of dissipation and mixing are significant.
ВВЕДЕНИЕ
Приливные потоки в океане часто генерируют
уединенные внутренние волны большой амплиту-
ды над изломом шельфа или над изолированной
возвышенностью ([1–4]). Эти уединенные волны
распространяются к мелководным областям шель-
фа, где они разрушаются на склоне дна ([5, 6]).
Внутренние волны, разрушающиеся на неодноро-
дностях рельефа дна, играют важную роль в гло-
бальной диссипации приливной энергии и переме-
шивании [7]. В мелководных областях прохожде-
ние этих волн сопровождается интенсивными те-
чениям. Скорость этих течений может превышать
1 м/с в районах с экстремально большими вну-
тренними волнами, такими как Южно -Китайское
море [2], что приводит к турбулизации придонного
пограничного слоя и эрозии дна (напр. [8]). Вну-
тренние волны большой амплитуды потенциально
опасны для подводного судоходства, буровых пла-
тформ на шельфе [9], газо- и нефтепроводов и дру-
гих подводных инженерных сооружений.
Наблюдения показывают, что трансформация
нелинейных волн в шельфовой зоне определяется
характером изменения глубины, фоновой плотно-
стной стратификацией и течениями. Теоретиче-
ски такие процессы хорошо изучены для внутрен-
них волн малой амплитуды на плавно меняющем-
ся фоне, когда могут быть применены уравнение
Кортевега-де Вриза (КдВ) ([10, 11]) и его модифи-
кация (расширенное уравнение Кортевега-де Ври-
за или уравнение Гарднера) ([12–16]). Однако для
волн большой амплитуды, которые часто встреча-
ются на шельфе, слабонелинейная теория не при-
менима.
Решения уравнений Эйлера для двухслойной не-
вязкой жидкости ([17–19]) описывают уединенные
волны большой амплитуды. В то же время, нали-
чие разрыва скорости между слоями приводит к
неустойчивости Кельвина-Гельмгольца этих волн
[20]. Формирование вихрей Кельвина-Гельмгольца
в волнах большой амплитуды было отмечено как
в лабораторных экспериментах [18–22], так и в
натурных исследованиях [2, 5]. Неустойчивость
приводит к генерации турбулентности, перемеши-
ванию в слое раздела и затуханию уединенных
волн [23]. Прямое численное моделирование волн
большой амплитуды в рамках уравнений Эйлера,
Навье-Стокса и Рейнольдса проведено в несколь-
ких исследованиях (например, [4, 6, 24]) при глад-
кой топографии дна.
Ряд работ посвящен трансформации волн над
быстро изменяющейся топографией дна, которая
встречается в некоторых районах Мирового оке-
ана, например, на шельфе между островами Тай-
вань и Донгша, где уклон дна достигает 0.25, тогда
как длина уединенных внутренних волн в этом ра-
c© Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко, 2009 65
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 65 – 76
Рис. 1. Геометрия задачи
йоне соизмерима с горизонтальными масштабами
неоднородностей дна [3]. Взаимодействие внутрен-
них волн с препятствиями различной формы в ла-
бораторных условиях моделировалось в [26, 27].
Теоретически трансформация уединенных волн в
двухслойной жидкости над ступенькой исследова-
лась в рамках уравнений КдВ и Гарднера в [28] и с
использованием уравнения Буссинеска в [29]. Чис-
ленное моделирование в рамках уравнений Навье-
Стокса [30] подтвердило предсказания теории [28]
о характере трансформации внутренних уединен-
ных волн-возвышений над ступенькой в двухслой-
ной жидкости. Неожиданнo хорошим оказалось
совпадение результатов моделирования в рамках
уравнения Гарднера и уравнений Навье-Стокса да-
же для сильно-нелинейных волн.
Задачa данной статьи – исследование транс-
формации сильно-нелинейных внутренних волн–
понижений при двухслойной стратификации над
ступенькой. В первом разделе приведены моде-
ли уединенных волн умеренной и большой ам-
плитуды. Негидростатическая численная модель
для стратифицированной жидкости [25, 26] кра-
тко описана во втором разделе. В третьем разде-
ле эта модель применяется к вертикально двумер-
ному вычислительному лотку лабораторных мас-
штабов со ступенчатым изменением глубины, за-
полненном стратифицированной по солености во-
дой, в котором два однородных слоя разделены уз-
ким слоем скачка солености. Энергетика этих про-
цессов изучается в четвертом разделе. Результа-
ты наших расчетов по трансформации уединенных
волн большой амплитуды над ступенькой обобща-
ются в заключении.
1. МОДЕЛИ СЛАБОНЕЛИНЕЙНЫХ
И СИЛЬНО НЕЛИНЕЙНЫХ
УЕДИНЕННЫХ ВОЛН
Геометрия задачи показана на рис. 1. Внутрен-
няя уединенная волна в жидкости с двухслойной
стратификацией распространяется справо налево
в бассейне со ступенчатым изменением глубины.
Плотность верхнего и нижнего слоев ρ1 и ρ2 со-
ответственно. Толщина верхнего и нижнего сло-
ев h1 и h2 соответственно, глубина слоя жидко-
сти H = h1 + h2, η – смещение поверхности разде-
ла. Толщина нижнего слоя в более глубокой части
бассейна обозначена h2−, а в более мелкой – h2+.
Нелинейные волны малой амплитуды, распростра-
няющиеся в бассейне постоянной глубины H , опи-
сываются уравнением Гарднера [14], в приближе-
нии Буссинеска имеющем вид [14]:
∂η
∂t
+ (c0 + αη + α1η
2)
∂η
∂x
+ β
∂3η
∂x3
= 0, (1)
где t – время; x – горизонтальная координата;
c0 =
√
gh1h2∆ρ
ρ0H
(2)
– фазовая скорость длинных линейных внутрен-
них волн в двухслойной жидкости; g – ускорение
силы тяжести; ρ0 – постоянная плотность воды в
приближении Буссинеска; ∆ρ = ρ2 − ρ1 ; параме-
тры α, β и α1 характеризуют квадратичную нели-
нейность, дисперсию и кубическую нелинейность
волн соответственно и имеют вид
α =
3c0(h1 − h2)
2h1h2
, β =
c0h1h2
6
,
α1 =
−3c0
8h2
1h
2
2
(h2
1 + h2
2 + 6h1h2). (3)
При α1 = 0 уравнение (1) сводится у уравнению
КдВ.
Стационарное решение уравнения (1), описыва-
ющее уединенную волну (солитон), может быть
получено в различных формах. Следуя [28], при-
ведем его в виде:
η =
D
1 + Bch (γ(x − V t))
, (4)
66 Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 65 – 76
где
D =
6βγ2
α
; B2 = 1 +
6α1βγ2
α2
, V = βγ2 , (5)
γ – свободный параметр, обратный длине уединен-
ной волны.
Амплитуда солитона
a =
D
1 + B
(6)
отрицательна (волна-понижение) при α < 0 или
h1 < h2. Предельное значение амплитуды
alim =
α
|α1|
(7)
соответствует формированию “столообразных”
солитонов.
Стационарное решение уравнений Эйлера в дву-
хслойной жидкости ([17–19]), описывающее уеди-
ненную волну большой амплитуды или солитон
Мияты-Чоя-Камассы (МЧК), находится в прибли-
жении Буссинеска из решения обыкновенного не-
линейного уравнения для η:
(
∂η
∂X
)2
=
[
3g∆ρ
c2ρ0(h2
1 − h2
2)
]
×
×
η2(η − a2)(η − a1)
(η − a∗)
, (8)
где X = x − ct,
a∗ =
ρ1h1 + ρ2h2
ρ1h
2
1 − ρ2h
2
2
, c = c0
√
(h1 − a)(h2 − a)
h1h2 − (c2
0/g)a
, (9)
тогда как a1 и a2 являются корнями квадратного
уравнения
η2 + q1η + q2 = 0,
где коэффициенты q1 и q2 имеют вид:
q1 = −
c2
g
− h1 + h2, q2 = h1h2
(
c2
c2
0
− 1
)
.
Решение уравнения в неявном виде X = X(η) по-
лучается после интегрирования уравнения (8) и
представляет собой комбинацию из эллиптических
интегралов первого и третьего рода. Предельное
значение амплитуды солитона МЧК в приближе-
нии Буссинеска равно
ãlim =
h1 − h2
2
. (10)
Трансформация уединенных волн над ступенькой
была детально изучена в рамках уравнения КдВ
и уравнения Гарднера в работе [28]. Предполага-
лось, что и отраженные и прошедшие волны име-
ют форму солитонов, но их параметры не удовле-
творяют соотношениям для стационарно движу-
щихся волн. Отраженные волны эволюционируют
в солитоны и диспергирующие волны. Динамика
прошедших на ступеньку волн зависит от знака
коэффициента нелинейности α. Если коэффици-
ент нелинейности меняет знак, то солитоноподо-
бное возмущение распадается на диспергирующие
волны. Здесь мы рассматриваем только волны-
понижения в случае, когда знак нелинейности не
изменяется (h1 < h2). В этом случае прошедшие
солитоны трансформируются в головной и втори-
чные солитоны. Динамика волн–повышений боль-
шой амплитуды рассмотрена в [30].
Трансформация уединенной волны–понижения
при двухслойной стратификации над ступенькой
зависит от ряда безразмерных параметров: пара-
метра блокировки εbl [31], параметра обрушения
εbr [26] и параметра нелинейности εnl [30]. От пара-
метра блокировки εbl = 1− h2+/h2− зависит отра-
жение и прохождение волн в теории [28]. Пара-
метр обрушения εbr =
|a|
h2+
характеризует эффект
конечной амплитуды волны на поток в окрестно-
сти ступеньки. Значение εbr = 0 для линейных
волн, тогда как εbr = 1, когда амплитуда волны
равна толщине нижнего слоя h2+. Нелинейность в
уравнении Гарднера может быть охарактеризова-
на как εnl = αa/c+ |α1|a
2/c, представляющем сум-
му квадратических и кубических нелинейных чле-
нов в уравнении Гарднера. При малых εnl уравне-
ние Гарднера описывает волны умеренной ампли-
туды, тогда как при εnl порядка единицы волны
являются сильно-нелинейными [30] и тогда фор-
мально уравнение Гарднера не приложимо к опи-
санию волн.
2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
НАВЬЕ-СТОКСА В СТРАТИФИЦИРОВАН-
НОЙ ЖИДКОСТИ
Система трехмерных уравнений Навье-Стокса
для стратифицированной по солености воды в
приближении Буссинеска имеет вид:
∂Ui
∂xi
= 0, (11)
∂Ui
∂t
+ Uj
∂Ui
∂xj
= −
1
ρ0
∂P
∂xi
+ ν
∂2Ui
∂xi∂xj
−
giρ
ρ0
, (12)
∂S
∂t
+ Uj
∂S
∂xj
= χ
∂2S
∂x2
j
, (13)
Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко 67
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 65 – 76
Табл 1. Параметры расчетов
Эксп.
h2+
h2−
a−
h1
a+
h1
a−
a−
lim
a+
a+
lim
ε−nl ε+nl εbr εbl ∆PE PEdis
1 0.71 1.68 1.43 0.92 1 4.12 3.41 0.34 0.29 0.91 0.09
2 0.71 2.21 1.75 1.20 1.22 6.23 4.67 0.44 0.29 0.78 0.21
3 0.43 2.21 0.85 1.20 1 6.23 1.69 0.73 0.57 0.18 0.51
где xi = (x, y, z) – декартовы координаты, ось z
направлена вертикально вверх; Ui = (U, V, W ) –
составляющие поля скорости; P – давление; ρ –
плотность воды; S – соленость; gi = (0, 0, g) – уско-
рение силы тяжести; ν – кинематическая вязкость;
χ – молекулярная диффузия. Система уравнений
(11)-(13) дополнялась уравнением состояния [32].
На свободной поверхности касательные напряже-
ния отсутствуют, а на дне используются условия
прилипания. Потоки соли через границы бассейна
отсутствуют.
Система уравнений модели дискретизировалась
с использованием метода конечных разностей на
сдвинутой сетке. Решение задачи расщеплялось на
две подзадачи: (а) – решение двумерной системы
уравнений для возвышений уровня и осредненных
по глубине скоростей и (б) – решение трехмер-
ной задачи для скорости и давления. Поле ско-
рости и давления в трехмерной подзадаче расще-
плялось на гидростатическую и негидростатиче-
скую составляющие. Алгоритм решения включал
четыре стадии. На первой стадии явным методом
с малым (внешним) шагом решалась двумерная
система уравнений для возвышений уровня и осре-
дненных по глубине скоростей. На второй стадии
находилось решение для гидростатических состав-
ляющих скорости с относительно большим (вну-
тренним) шагом по времени. На третьей стадии
находились негидростатические поправки для по-
ля скорости и давления. Наконец, на четвертой на-
ходилось решение для солености. Использовалась
явная схема по горизонтали и неявная схема по
вертикали. Детально этот алгоритм описан в [25].
Вычислительный бассейн лабораторных мас-
штабов имеет геометрию, показанную на рис. 1.
Общая длина бассейна – 27 м с протяженностью
более глубокой части 13 м. Задача решалась в
квазидвумерной постановке, когда уравнения дис-
кретизировались в нескольких узлах поперек бас-
сейна при условии скольжения на боковых стен-
ках бассейна. Невозмущенная стратификация в
бассейне моделировалась в виде поверхностного и
придонного однородных слоев с соленостью Sup =
2 и Sbot = 15 при постоянной температуре 20oC,
разделенных тонким переходным слоем. Профиль
солености аппроксимировался формулой
S(z) =
Sup + Sbot
2
−
Sbot − Sup
2
th
(
z − h1
dh
)
, (14)
где dh = 0.2 cм. В расчетах визуализировалась изо-
халина, равная 8.5. Численные эксперименты про-
водились при значениях кинематической вязкости
ν = 1.14 · 10−6 м2с−1 и молекулярной диффузии
соли χ = 10−9 м2с−1.
Задание начальных условий в виде сильно-
нелинейной уединенной волны является непростой
задачей для уравнений Навье-Стокса при непре-
рывной стратификации поскольку требуется за-
дать поля скоростей и солености (плотности). На-
чиная с работы [33], в лабораторных эксперимен-
тах уединенные волны часто генерируют с помо-
щью механизма коллапса, когда в бассейне выде-
ляется часть объема, заполненная водой отличной
плотности (напр. [18, 26, 27, 34]). Для того, что-
бы сформировать уединенную волну-понижение
начальная толщина верхнего слоя в выделенном
объеме должна быть больше чем в остальном бас-
сейне, в противоположном случае генерируются
волны повышения. В наших численных экспери-
ментах этот же метод использовался для генера-
ции уединенных волн. После того, как головная
волна трансформировалась в уединенную волну,
осциллирующий мелкомасштабный хвост отрезал-
ся.
Все численные эксперименты проводились при
толщине верхнего слоя h1=4 см и при толщине
нижнего слоя в более глубокой части бассейна
h2−=28 см. Толщина нижнего слоя в более мел-
кой части бассейна составляла h2+ = 12 см и
h2+ = 20 см. Разрешение сетки по длине, высо-
68 Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 65 – 76
Рис. 2. Трансформация волны на ступеньке в эксп. 1. Черный прямоугольник показывает положение
ступеньки
Рис. 3. Профиль поверхности раздела в волне, приближающейся к ступеньке справа, в эксп. 1 и профили
солитонов Гарднера и МЧК (а); профиль поверхности раздела в волне, трансформированной на ступеньке, и
профили солитонов Гарднера и МЧК (б)
те и ширине составляло 2400×120×4. Амплитуда
уединенной волны, набегающей на ступеньку a−,
составляла 6.7 и 8.8 см. Параметры численных эк-
спериментов, амплитуды волн и параметры нели-
нейности до (-) и после (+) ступеньки приведены в
табл. 1. В таблице приведены также разность энер-
гии прошедшей и отраженной волн ∆PE и потери
энергии за счет перемешивания, перехода в недо-
ступную фоновую потенциальную энергию и дис-
сипации PEdis, детально рассмотренные в разделе
4.
3. ДИНАМИКА ПРОЦЕССОВ
ТРАНСФОРМАЦИИ
В трех экспериментах, приведенных в табл. 1,
изучается трансформация уединенных волн боль-
шой амплитуды. Первый и второй эксперименты
геометрически подобны, но амплитуда набегаю-
щей волны в первом из них меньше, чем предель-
ная амплитуда солитона Гарднера a−
lim, тогда как
во втором эта амплитуда больше, чем a−
lim. В то
же время, эксперименты 2 и 3 отличаются глуби-
ной более мелкой части h2+, но амплитуды набе-
Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко 69
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 65 – 76
Рис. 4. Трансформация волны на ступеньке в эксп. 2. Черный прямоугольник показывает положение
ступеньки
Рис. 5. Профиль поверхности раздела в волне, приближающейся к ступеньке справа, в эксп. 2 и профили
предельного солитона Гарднера и солитона МЧК (а); профиль поверхности раздела в волне,
трансформированной на ступеньке, и профили предельного солитона Гарднера и солитона (б)
гающих уединенных волн одинаковы.
На рис. 2 показана трансформация уединенных
волн в эксп. 1 для разных значений безразмерно-
го времени τ = t/
√
ρ0h1/(∆ρg). Параметры бло-
кировки и обрушения были относительно малы
(εbl = 0.29 и εbr = 0.34). Амплитуда набегающей
волны меньше максимальной амплитуды солитона
Гарднера (a−/a−
lim = 0.95), но значение парамет-
ра нелинейности ε−nl = 4.12 характеризует волну
как сильно нелинейную, так что формально урав-
нение Гарднера не может использоваться. Однако
на рис. 3 профиль поверхности раздела и до и по-
сле ступеньки хорошо описывается решением для
солитона Гарднера (4) и несколько хуже решением
для сильно-нелинейного солитона МЧК (10). Этот
результат согласуется с расчетами для уединен-
ных волн-повышений [30]. Амплитуда отраженно-
го солитона мала ( ≈ 0.25 см), и он описывается
решением уравнения КдВ.
Взаимодействие со ступенькой сильно-
нелинейной уединенной волны (ε−nl = 6.23), в
которой амплитуда по модулю набегающей вол-
ны больше, чем амплитуда солитона Гарднера
(a−/a−
lim = 1.22), но меньше, чем предельная
амплитуда солитона МЧК (a−/ã−
lim = 0.73),
представленo на рис. 4–6. Параметр обрушения
70 Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 65 – 76
Рис. 6. Распределение солености при трансформации волны в эксп. 2
εbr = 0.44 был больше, чем в эксп. 1. Как видно
из рис. 5, а, набегающая уединенная волна не
описывается решением (4), а хорошо описывается
солитонным решением МЧК. Хотя амплитуда
набегающей волны в эксп. 2 больше амплитуды
в эксп. 1 только в 1.35 раза, трансформация
уединенной волны качественно отличается от
эксп. 1, несмотря на то, что геометрия задачи в
этих экспериментах одинакова (εbl = 0.29).
Как видно на рис. 4 и 6, волна сильно возму-
щена ступенькой, и процесс трансформации вол-
ны в более мелкой части бассейна сопровожда-
ется возникновением неустойчивости Кельвина-
Гельмгольца, которая начинается на гребне волны
(рис. 6). Число Ричардсона
Ri =
g
ρ0
∂ρ
∂z
/
(
∂U
∂z
)2
падает до значений 0.25–0.5 в задней части волны.
Неустойчивость приводит к формированию ви-
хрей Кельвина-Гельмгольца, перемешиванию, уве-
личению диссипации, расширению слоя раздела за
солитоном и уменьшению его амплитуды. Даль-
нейшая эволюция волны происходит под действи-
ем вязкости, которая также приводит к уменьше-
нию амплитуды (ср. рис. 4, в и г). Однако ам-
плитуда прошедшей волны, как следует из рис.
5, б, оставалась больше предельной амплитуды
солитона Гарднера. Такая же неустойчивость на-
блюдается в лабораторных экспериментах [18, 22]
по генерированию сильно-нелинейных солитонов
и в натурных наблюдениях на океанском шель-
фе [2]. Амплитуда отраженного солитона также
мала (≈ 0.7 см), и он описывается решением урав-
нения КдВ.
В эксп. 3 моделировалось взаимодействие
сильно-нелинейной уединенной волны с такими же
параметрами, как в эксп. 2, но с более высокой
ступенькой. Параметры блокировки и обрушения
были достаточно велики (εbl = 0.57 и εbr = 0.73),
поэтому процессы трансформации волны в окре-
стности ступеньки сопровождались интенсивным
перемешиванием и отражением волн (рис. 7). Ге-
нерация отраженных волн большой амплитуды
привела к существенному уменьшению амплитуды
прошедшей волны, так что уединенная волна по-
сле прохождения ступеньки может быть описана
как предельная уединенная волна Гарднера (рис.
8, а), для которой εnl+ = 1.69. Дальнейшая эво-
люция этой волны в отличие от эксп. 2 происхо-
дит без возникновения неустойчивости Кельвина–
Гельмгольца. Волна затухает под действием вяз-
кости и распространяется как уединенная волна
Гарднера, за которой формируется удлиненный
хвост, который может при дальнейшей эволюции
трансформироваться во вторичный солитон (рис.
7, г и 8, б).
Процесс взаимодействия волны со ступенькой
Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко 71
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 65 – 76
Рис. 7. Трансформация волны на ступеньке в эксп. 3. Черный прямоугольник показывает положение
ступеньки
Рис. 8. Профиль поверхности раздела в волне,трансформированной на ступеньке в эксп. 3, профиль
предельного солитона Гарднера и профиль солитона МЧК (а); профиль поверхности раздела в волне, в конце
более мелкой части и профили солитонов Гарднера и МЧК (б)
на рис. 9 может быть разделен на несколько ста-
дий. На первой стадии фронт набегающей волны
деформируется компенсационным потоком, разви-
вающимся в нижнем слое. На второй стадии, свер-
хкритический, в смысле внутренней гидравлики,
поток вовлекает гребень волны, формируя силь-
ный вихрь перед ступенькой и слабый вихрь про-
тивоположного знака на гребне волны. На тре-
тьей стадии эта вихревая пара вовлекает жидкость
из верхнего слоя в нижний. Наконец, на четвер-
той стадии вихревая пара, отраженная от дна,
вызывает интенсивное перемешивание в окрестно-
стях ступеньки. Лабораторный эксперимент и чи-
сленные расчеты, в которых моделировалось вза-
имодействие уединенной внутренней волны с пря-
моугольным препятствием [26], качественно хоро-
шо согласуется с описанным выше процессом силь-
ного взаимодействия волны понижения со сту-
пенькой.
4. ЭНЕРГЕТИКА ТРАНСФОРМАЦИИ
Рассмотрим преобразования энергии при прохо-
ждении внутренних уединенных волн над ступень-
кой. Плотность механической энергии внутренних
волн (энергия на единицу объема) включает плот-
72 Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 65 – 76
Рис. 9. Распределение скорости и завихренности в окрестности ступеньки в эксп. 3
ность кинетической энергии, которая в двумерном
случае имеет вид
Ek(x, z, t) =
ρ
2
(U2 + W 2), (15)
и плотность потенциальной энергии
Ep(x, z, t) = ρgz. (16)
Для оценок преобразований энергии и влияния
процессов перемешивания на волны важна потен-
циальная энергия, доступная для перехода в ки-
нетическую энергию [36–40], которую можно оце-
нить следующим образом:
Ea(x, z, t) = g
∫ z∗
z
(ρ̄(z′) − ρ)dz, (17)
где Ea – плотность доступной потенциальной
(ДПЭ) энергии; ρ̄(z) – горизонтально однород-
ный отсчетный профиль плотности, который пред-
полагaется обратимым с обратным значением
z∗(ρ, x, z, t). Этот профиль в замкнутой систе-
ме получается адиабатической перестройкой поля
плотности [35]. Здесь, следуя [40], мы полагаем,
что ρ̄(z) приближенно равна невозмущенному на-
чальному профилю ρ(z), соответствующему про-
филю солености (14). Сумма Ek + Ea = Epseudo
называется плотностью псевдоэнергии [36].
Проинтегрированное по глубине значение псев-
доэнергии в данном сечении PE находится инте-
грированием по времени потока псевдоэнергии F
в интервале времени прохождения волны t2 − t1:
PE =
∫ t2
t1
F (t)dt. (18)
Проинтегрированный по глубине поток псевдо-
энергии [40] состоит из трех компонентов: PWF
– потока энергии за счет работы возмущений сил
давления, потока кинетической энергии KEF и
потока доступной потенциальной энергии APEF :
F = PWF + KEF + APEF. (19)
Поток энергии за счет работы возмущений сил
давления имеет вид:
PWF =
∫
−H
0
Updz, (20)
где p = P − P̄ разность между давлением и ги-
дростатическим давлением, соответствующим ра-
спределению плотности ρ̄(z′). Поток кинетической
энергии KEF будет
KEF =
∫
−H
0
UEkdz, (21)
а поток доступной потенциальной энергии APEF :
APEF =
∫
−H
0
UEadz. (22)
Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко 73
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 65 – 76
Рис. 10. Поток псевдоэнергии F и его составляющие
KEF и APEF в эксп. 3. Штриховая прямая
показывает время пересечения ступеньки гребнем
волны
Рис. 11. Потери энергии при переходе уединенной
волны через ступеньку в зависимости от параметра
обрушения εbr, рассчитанные по (19), по упрощенной
формуле (23) и по соотношению (24)
На рис. 10 приведены составляющие потока энер-
гии для набегающей, отраженной и прошедшей
волн в эксп. 3. Как следует из рисунка, доминиру-
ющим является квадратичный член – поток энер-
гии за счет работы возмущений сил давления. По-
ток ДПЭ примерно вдвое больше потока кинетиче-
ской энергии, что согласуется с оценками [40]. В то
же время расчеты показали, что проинтегрирован-
ное по глубине значение кинетической энергии в
данном сечении примерно равно соответствующе-
му значению доступной потенциальной энергии,
что подтверждается измерениями в океане [37, 38]
и расчетами [40].
В работах [41, 42] при вычислении F предпола-
галось, что Ek ' Ea, и потому проинтегрирован-
ный по глубине поток псевдоэнергии находился из
соотношения
F = PWF + 2KEF. (23)
Оценка энергии уединенных волн TE в слабо-
нелинейной теории [23] имеет вид
TE = c0g∆ρ
∫ t2
t2
η2(t)dt. (24)
Рассмотрим, следуя [27], бюджет преобразований
энергии над ступенькой. Обозначим псевдоэнер-
гию набегающей, прошедшей и отраженной волны
как PEin, PEtr, PEref соответственно. Разность
энергии прошедшей и отраженной волн, нормали-
зованная на PEin, имеет вид
∆PE =
PEtr − PEref
PEin
. (25)
Эта разность, как следует из табл. 1, падает с уве-
личением параметра εbl, причем падает быстрее,
чем это предсказывается слабо-нелинейной теори-
ей [28]. Потери энергии за счет перемешивания,
перехода в недоступную фоновую потенциальную
энергию и диссипации могут быть оценены, исходя
из бюджета энергии волн до и после ступеньки:
PEdis =
PEin − PEtr − PEref
PEin
. (26)
Результаты расчетов, приведенные на рис. 11, по-
казывают почти линейную зависимость потери
псевдоэнергии за счет диссипации и перемеши-
вания от параметра обрушения εbr. Для сильно-
нелинейной волны и относительно высокой сту-
пеньки эти потери достигают 51%. Заметим, что,
хотя в эксп. 1 форма волны до и после ступеньки
хорошо описывается солитоном Гарднера, сам про-
цесс трансформации волны сопровождается пере-
мешиванием и диссипацией энергии, и около 9%
псевдоэнергии теряются в окрестности ступеньки.
ВЫВОДЫ
В работе численно в рамках уравнений Навье-
Стокса исследована динамика и энергетика
трансформации уединенных внутренних волн-
понижений большой амплитуды, распространяю-
щихся в жидкости с двухслойной стратификацией
над ступенькой в дне. Результаты моделирования
дополняют теоретический анализ взаимодей-
ствия уединенных волн малой амплитуды со
74 Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 65 – 76
ступенькой [28] на случай сильно-нелинейных
волн, когда эффекты диссипации и перемешива-
ния становятся существенными. Показано, что
распространение уединенных волн описывается
солитонами Гарднера и Мияты-Чоя-Камассы,
если их амплитуда меньше по модулю предельной
амплитуды этих солитонов. Однако, сам процесс
трансформации волны сопровождается переме-
шиванием и диссипацией энергии и от 9 до 51 %
псевдоэнергии теряeтся в окрестности ступеньки.
Авторы благодарны проф. Т.Г. Талиповой, про-
читавшей статью, за ценные замечания, способ-
ствовавшие улучшению ее содержания. Работа
выполнена в рамках проекта Ф28.6/010 “ДФФД -
РФФИ - 2009”.
1. Zhao Z., Klemas V.V., Zheng Q., Yan X-H. Satelli-
te observation of internal solitary waves converting
polarity // Geophys. Res. Letters.– 1988.– 30 (19).–
P. .
2. Orr M.H., Mignerey P.C. Nonlinear internal waves
in the South China Sea: observation of the conversi-
on of depression internal waves to elevation internal
waves // J. Geophys. Res.– 2003.– 108 (C3).–
P. 3064–2010.
3. Ramp S. R., Tang T. Y., Duda T. F., Lynch J. F., Liu
A. K., Chiu Ch.-S., Bahr F. L., Kim H.-R., Yang Y.-
J. Internal solitons in the Northeastern South China
Sea Part I: Sources and deep water propagation //
IEEE J. of Oceanic Engineering.– 2004.– 29 (C3).–
P. 3064–2010.
4. Vlasenko V., Stashchuk N., and Hutter K. ABarocli-
nic tides: theoretical modeling and observational
evidence.– Cambridge: Cambridge Univ. Press,
2005.– 372 p.
5. Moum, J.N., Farmer, D.M., Smyth, W.D., Armi,
L., Vagle, S. Structure and generation of turbulence
at interfaces strained by internal solitary waves
propagating shoreward over the continental shelf //
J. Phys. Oceanogr.– 2003.– 33.– P. 2093–2112.
6. Bourgault D., Blokhina M.D., Mirshak R.,
Kelley D.E. Evolution of a shoaling internal
solitary wavetrain // Geophisical Research Letters.–
2007.– 34.– P. L03601.
7. Munk W, Wunsch C. Abyssal recipes II: energetics of
tidal and wind mixing // Deep Sea Res. I.– 1998.–
45.– P. 1977–2010.
8. Bogucki D., Redekopp L. A mechanism for sediment
resuspension by internal solitary waves // Geophisical
Research Letters.– 1999.– 26.– P. 1317–1320.
9. Osborne A. R., Burch T. L. , Scarlet R. I. The
influence of internal waves on deep water drilling //
J. Pet. Technol.– 1978.– 30.– P. 1497–1505.
10. Djordjevic, V., Redekopp, L. A reduced model
for internal waves interacting with topography at
intermediate depth // J. Phys. Ocean.– 1978.– 8.–
P. 1016–1024.
11. Helfrich, K.R., and Melville, W.K. On long nonlinear
internal waves over slope-shelf topography // J. Fluid
Mech.– 1986.– 167.– P. 285–308.
12. Holloway, P., Pelinovsky, E., Talipova, T., Barnes,
B. A. Nonlinear model of internal tide transformati-
on on the Australian North West Shelf // J. Phys.
Oceanogr.– 1997.– 27.– P. 871–896.
13. Holloway, P., Pelinovsky, E., Talipova, T. A generali-
zed Korteweg–de Vries model of internal tide
transformation in the coastal zone // J. Geophys.
Res.– 1999.– 104(C8).– P. 18333–18350.
14. Grimshaw R., Pelinovsky D., Pelinovsky E., Slunyaev
A. The generation of large-amplitude solitons from an
initial disturbance in the extended Korteweg–de Vries
equation // Chaos.– 2002.– 12.– P. 1070–1076.
15. Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T. Kurkin
A. Simulation of the transformation of internal
solitary waves on oceanic shelves // J. Physical
Oceanography.– 2002.– 34.– P. 2774–2779.
16. Grimshaw R., Pelinovsky E., Talipova T. Modeling
internal solitary waves in the coastal ocean // Survey
in Geophysics.– 2007.– 28.– P. 273–298.
17. Miyata M. An internal solitary wave of large ampli-
tude // La Mer.– 1985.– 23.– P. 43–48.
18. Grue J., Jensen A., Rusas P.-O., Sveen J. K. Properti-
es of large amplitude internal waves // J. Fluid
Mech.– 1999.– 380.– P. 257–278.
19. Choi W., Camassa R. Fully nonlinear internal waves
in a two-fluid system // J. Fluid Mech.– 1999.– 396.–
P. 1–36.
20. Jo T.-C., Choi W. Dynamics of strongly nonlinear
solitary waves in shallow water // Stud. Appl. Math.–
2002.– 109.– P. 205–227.
21. Carr M., Fructus D., Grue J., Jensen A., Davies
P. A. Convectively-induced shear instability in large
internal solitary waves // Phys. Fluids.– 2008.– 20.–
P. 126601–13.
22. Fructus D., Carr M., Grue J., Jensen A., Davies P.
A. Shear-induced breaking of large internal solitary
waves // J. Fluid Mech.– 2009.– 620.– P. 1–29.
23. Bogucki D., Garrett C. A simple model for the shear-
induced decay of an internal solitary wave // J. Phys.
Oceanogr.– 1993.– 23.– P. 1767–1776.
24. Lamb, K.G. Numerical experiments of internal wave
generation by strong tidal flow across a finite ampli-
tude bank edge // Journal of Geophysical Research.–
1994.– 99 (C1).– P. 843–864.
25. Kanarska Y., Maderich V. A non-hydrostatic
numerical model for calculating free-surface stratified
flows // Ocean Dynamics.– 2003.– 53.– P. 176–185.
26. Бровченко И.А., Городецкая Н.С., Мадерич В.С.,
Никишов В.И., Терлецкая Е.В. Взаимодействие
внутренних уединенных волн большой амплитуды
с препятствием // Прикладная гидромеханика.–
2007.– 9(81).– С. 3–7.
27. Chen C.-Y., Hsu J. R.-Ch., Cheng M.-H Chen, H.-H.,
Kuo Ch.-F. An experimental study of stratified mixi-
ng caused by internal solitary waves in a two-layered
fluid system over variable seabed topography //
Ocean Engineering.– 2007.– 34.– P. 1995–2008.
28. Grimshaw, R., Pelinovsky, E., Talipova T. Fissi-
on of a weakly nonlinear interfacial solitary wave
at a step // Geophysical and Astrophysical Fluid
Dynamics.– 2008.– 102.– P. 179–194.
29. De Zarate, A. R. Nashbin, A. A reduced model
for internal waves interacting with topography at
intermediate depth // Commun. Math. Sci.– 2008.–
6.– P. 385–396.
30. Maderich V. , Talipova T. , Grimshaw R., Pelinovsky
E., Choi B.H. , Brovchenko I., Terletska K. , Kim
D.C. The transformation of an interfacial solitary
wave of elevation at a bottom step // Nonlinear Proc.
Geoph.– 2009.– 16.– P. 33–42.
Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко 75
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 3. С. 65 – 76
31. Wessels F, Hutter K Interaction of internal waves
with topographic sill in a two-layer fluid // J. Phys.
Oceanogr.– 1996.– 26.– P. 5–20.
32. Mellor G.L. An equation of state for numerical models
of ocean and estuaries // J Atmos. Ocean. Tech.–
1991.– 8.– P. 609–611.
33. Kao T.W., Pan F.S., Renouard D. Internal solitions
on the pycnocline: generation, propagation, shoaling
and breaking over a slope // J. Fluid Mech.– 1985.–
159.– P. 19–53.
34. Chen C.-Y., Hsu J. R.-C., Cheng-Wu Chen C.-W.,
Chen, H.-H., Kuo C.-F., Cheng M.-H. Generation of
internal solitary wave by gravity collapse // J. Marine
Science and Technology.– 2007.– 15.– P. 1–7.
35. Winters K. B., Lombard P. N., Riley J. J., D’Asaro
E. A. Available potential energy and mixing in densi-
ty stratified fluids // J. Fluid Mech.– 1995.– 289.–
P. 115-128.
36. Shepherd, T. G. A unified theory of available
potential-energy // Atmos.-Ocean.– 2006.– 31.–
P. 1–26.
37. Scotti A., Beardsley R., and Butman B. On the
interpretation of energy and energy fluxes of nonli-
near internal waves: an example from Massachusetts
bay // J. Fluid Mech.– 2006.– 561.– P. 103–112.
38. Moum J. N., Klymak J. M., Nash J. D., Perlin A. ,
Smyth W. D. Energy transport by nonlinear waves //
J. Phys. Oceanogr.– 2007.– 37.– P. 1968–1988.
39. Lamb K.G. Energy and pseudoenergy flux in the
internal wave field generated by tidal flow over
topography // Cont. Shelf Res.– 2007.– 27.– P. 1208–
1232.
40. Lamb K.G., Nguyen V.T. On calculating energy flux
in internal solitary waves with an application to
reflectance // J Phys Oceanogr.– 2009.– 29.– P. 1–7.
41. Helfrich K. R. Internal solitary wave breaking and
run-up on a uniform slope // J. Fluid Mech.– 2009.–
243.– P. 133–154.
42. Bourgault D., Kelley D. On the reflectance of uni-
form slopes for normally incident interfacial solitary
waves // J Phys Oceanogr.– 2007.– 37.– P. 1156–
1162.
76 Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87668 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:19:35Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Терлецкая, Е. Мадерич, В. Бровченко, И. 2015-10-22T19:30:40Z 2015-10-22T19:30:40Z 2009 Трансформация уединенных внутренних волн большой амплитуды над ступенькой на дне / Е. Терлецкая, В. Мадерич, И. Бровченко // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 3. — С. 65-76. — Бібліогр.: 42 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87668 532.465 Численно исследуется динамика и энергетика трансформации уединенных внутренних волн большой амплитуды, распространяющихся в жидкости с двухслойной стратификацией над ступенькой на дне. Расчеты проводятся в рамках уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска с использованием негидростатической модели. Результаты моделирования обобщают теоретический анализ взаимодействия уединенных волн малой амплитуды со ступенькой (Grimshaw et al., 2008), на случай сильно-нелинейных волн, когда эффекты диссипации и перемешивания становятся существенными. Чисельно дослiджується динамiка та енергетика трансформацiї внутрiшнiх вiдокремлених хвиль великої амплiтуди, що розповсюджуються в рiдинi з двошаровою стратифiкацiєю над сходинкою на днi. Розрахунки проводяться в рамках рiвнянь Навьє-Стокса у наближеннi Буссiнеска з використанням негiдростатiчної моделi. Результати моделювання узагальнюють теоретичний аналiз взаємодiї вiдокремлених хвиль малої амплiтуди зi сходинкою на днi (Grimshaw et al., 2008) на випадок сильно-нелiнiйних хвиль, коли ефекти дисiпацii i перемiшування стають iстотними. The dynamics and energy transformation of internal solitary waves of large amplitude, propagating in a fluid with two-layer stratification at a bottom step are investigated numerically. Calculations are performed in frame of the Navier-Stokes equations in the Boussinesq approximation using non-hydrostatic model. Simulation results generalize the theoretical analysis of the interaction of solitary waves of small amplitude with bottom steps (Grimshaw et al., 2008) in case strongly-nonlinear waves, when the effects of dissipation and mixing are significant. Авторы благодарны проф. Т.Г. Талиповой, прочитавшей статью, за ценные замечания, способствовавшие улучшению ее содержания. Работа выполнена в рамках проекта Ф28,6/010 “ДФФД - РФФИ -2009”. ru Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Трансформация уединенных внутренних волн большой амплитуды над ступенькой на дне Transformation of internal solitary waves of high amplitude over bottom step Article published earlier |
| spellingShingle | Трансформация уединенных внутренних волн большой амплитуды над ступенькой на дне Терлецкая, Е. Мадерич, В. Бровченко, И. |
| title | Трансформация уединенных внутренних волн большой амплитуды над ступенькой на дне |
| title_alt | Transformation of internal solitary waves of high amplitude over bottom step |
| title_full | Трансформация уединенных внутренних волн большой амплитуды над ступенькой на дне |
| title_fullStr | Трансформация уединенных внутренних волн большой амплитуды над ступенькой на дне |
| title_full_unstemmed | Трансформация уединенных внутренних волн большой амплитуды над ступенькой на дне |
| title_short | Трансформация уединенных внутренних волн большой амплитуды над ступенькой на дне |
| title_sort | трансформация уединенных внутренних волн большой амплитуды над ступенькой на дне |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87668 |
| work_keys_str_mv | AT terleckaâe transformaciâuedinennyhvnutrennihvolnbolʹšoiamplitudynadstupenʹkoinadne AT maderičv transformaciâuedinennyhvnutrennihvolnbolʹšoiamplitudynadstupenʹkoinadne AT brovčenkoi transformaciâuedinennyhvnutrennihvolnbolʹšoiamplitudynadstupenʹkoinadne AT terleckaâe transformationofinternalsolitarywavesofhighamplitudeoverbottomstep AT maderičv transformationofinternalsolitarywavesofhighamplitudeoverbottomstep AT brovčenkoi transformationofinternalsolitarywavesofhighamplitudeoverbottomstep |