Установившаяся безнапорная фильтрация в несвязном несуффозионном грунте между водотоками (дренами)
Аналитическими методами выполнено исследование стационарной безнапорной фильтрации между водотоками в несвязном несуффозионном грунте, который подвергся фильтрационным деформациям без мобилизации его частиц. Сформулированы условия реализации трех основных способов деформаций. Для них поставлены мате...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладна гідромеханіка |
|---|---|
| Дата: | 2009 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2009
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87690 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Установившаяся безнапорная фильтрация в несвязном несуффозионном грунте между водотоками (дренами) / В.Л. Поляков // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 4. — С. 60-68. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859824698254163968 |
|---|---|
| author | Поляков, В.Л. |
| author_facet | Поляков, В.Л. |
| citation_txt | Установившаяся безнапорная фильтрация в несвязном несуффозионном грунте между водотоками (дренами) / В.Л. Поляков // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 4. — С. 60-68. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладна гідромеханіка |
| description | Аналитическими методами выполнено исследование стационарной безнапорной фильтрации между водотоками в несвязном несуффозионном грунте, который подвергся фильтрационным деформациям без мобилизации его частиц. Сформулированы условия реализации трех основных способов деформаций. Для них поставлены математические задачи и получены их строгие решения. На основе выведенных расчетных формул и на многочисленных примерах детально проанализирована значимость указанных деформаций для фильтрационного процесса (расхода).
Аналiтичними методами виконано дослiдження стацiонарної безнапiрної фiльтрацiї мiж водотоками в незв'язному несуфозiйному грунтi, який зазнав фiльтрацiйних деформацiй без мобiлiзацiї його часток. Наведено умови реалiзацiї трьох основних способiв деформацiй. Для них сформульованi математичнi задачi i отримано їх точнi розв'язки. На основi побудованих розрахункових формул i на багаточисленних прикладах детально проаналiзовано значущiсть вказаних деформацiй для фiльтрацiйного процесу (витрати).
A steady groundwater flow between two channels (drains) is studied by analytical methods in cohesive less sand soil which is subjected to hydrodynamic deformations without solid particles mobilization. The conditions of three main deformation mechanisms realization are presented. Mathematical tasks are formulated for them and their exact solutions are obtained. Importance of the deformations above for groundwater process is analysed based on a great number of examples.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:28:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 4. С. 60 – 68
УДК 532.546
УСТАНОВИВШАЯСЯ БЕЗНАПОРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
В НЕСВЯЗНОМ НЕСУФФОЗИОННОМ ГРУНТЕ
МЕЖДУ ВОДОТОКАМИ (ДРЕНАМИ)
В. Л. П ОЛ Я К О В
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Получено 23.08.2008
Аналитическими методами выполнено исследование стационарной безнапорной фильтрации между водотоками в
несвязном несуффозионном грунте, который подвергся фильтрационным деформациям без мобилизации его частиц.
Сформулированы условия реализации трех основных способов деформаций. Для них поставлены математические
задачи и получены их строгие решения. На основе выведенных расчетных формул и на многочисленных примерах
детально проанализирована значимость указанных деформаций для фильтрационного процесса (расхода).
Аналiтичними методами виконано дослiдження стацiонарної безнапiрної фiльтрацiї мiж водотоками в незв’язному
несуфозiйному грунтi, який зазнав фiльтрацiйних деформацiй без мобiлiзацiї його часток. Наведено умови реалiзацiї
трьох основних способiв деформацiй. Для них сформульованi математичнi задачi i отримано їх точнi розв’язки. На
основi побудованих розрахункових формул i на багаточисленних прикладах детально проаналiзовано значущiсть
вказаних деформацiй для фiльтрацiйного процесу (витрати).
A steady groundwater flow between two channels (drains) is studied by analytical methods in cohesive less sand soil which
is subjected to hydrodynamic deformations without solid particles mobilization. The conditions of three main deformation
mechanisms realization are presented. Mathematical tasks are formulated for them and their exact solutions are obtained.
Importance of the deformations above for groundwater process is analysed based on a great number of examples.
ВВЕДЕНИЕ
Огромный опыт, накопленный при длительной
эксплуатации разнообразных дренажей в приро-
дной среде, свидетельствует о происходящих при
этом необратимых изменениях фильтрационных
свойств грунтов. Важно отметить, что подобные
изменения касаются не только несвязных, но и не-
которых связных грунтов. В обширной литературе
[1-5] экспериментальными и теоретическими ме-
тодами обстоятельно рассматривались особенно-
сти развития фильтрационного режима суффози-
онных грунтов на фоне дренажей при мобилиза-
ции (иммобилизации) мелких (неструктурных) ча-
стиц. Вместе с тем проницаемость грунтов может
меняться в результате интенсивного фильтрацион-
ного течения, но при неизменной их пористости.
Такой тип фильтрационных деформаций заклю-
чается в переориентации структурных частиц не-
правильной формы. Указанные частицы стремя-
тся под действием фильтрационной силы занять
оптимальное в гидродинамическом смысле поло-
жение, при котором минимизируется сопротивле-
ние течению жидкости со стороны скелета среды.
Очевидно, что при механических деформациях по-
добного типа невозможны вынос твердого веще-
ства в приемники или образование в грунте сла-
бопроницаемых прослоек. Деформации в несвя-
зных несуффозионных грунтах на действующих
дренажных системах способствуют ощутимой ин-
тенсификации их работы [6, 7] и не имеют неко-
торых нежелательных последствий, свойственных
суффозии и кольматажу. Поэтому представляется
существенным в практическом отношении корре-
ктный учет деформаций второго типа еще на ста-
дии проектирования дренажа. Таким образом, ре-
ально заметно удешевить строительство мелиора-
тивного дренажа, приняв во внимание при выборе
его параметров (расстояние между дренами, глу-
бина их укладки) прогнозируемый рост проница-
емости грунта. Упорядочение структуры грунта
за счет вращательного движения частиц его ске-
лета без изменения своего местоположения, судя
по имеющимся экспериментальным данным [6, 8],
протекает постепенно, так что характерное время
этого процесса соизмеримо с аналогичным време-
нем фильтрационного процесса. На это указыва-
ют значимые, но далеко не окончательные измене-
ния коэффициента фильтрации k в течение одного
рабочего цикла дренажа. Выраженная нестацио-
нарность в поведении коэффициента k с позиций
механики грунтов объясняется отсутствием рав-
новесия между фильтрационной силой, действую-
щей на отдельную структурную частицу, и сила-
ми ее взаимодействия (сцепления) с соседними ча-
стицами. Однако для приложений имеет значение
только конечный результат, который выражается
в увеличении фундаментальной водно-физической
60 c© В. Л. Поляков, 2009
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 4. С. 60 – 68
характеристики k с ростом интегральной гидро-
динамической силы. Последняя же характеризу-
ется градиентом напора I. Поэтому эксперимен-
тальные исследования применительно к несуффо-
зионным грунтам были, в первую очередь, направ-
лены на выявление связи между k и I. В конечном
итоге было установлено, что коэффициент филь-
трации таких грунтов вследствие их деформиро-
вания способен возрасти от исходного значения k0
до предельного ku при изменении градиента напо-
ра I в пределах от критического Ik до предельного
Iu, так что формально
k = k0 при I ≤ Ik, k = ku при I ≥ Iu.
(1)
Изменение же k в интервале [Ik, Iu], строго гово-
ря, носит нелинейный характер. Однако в первом
приближении здесь приемлемой оказывается ап-
проксимация k линейной функции
k = a + bI. (2)
Согласно (1), коэффициенты в выражении (2) бу-
дут
a = 1 − ku − k0
Iu − Ik
Ik, b =
ku − k0
Iu − Ik
. (3)
Именно выражения (1), (2) использованы в ста-
ционарных задачах фильтрации в деформирован-
ных несуффозионных грунтах между водотоками
(дренами), точные решения которых получены в
[9, 10] и данной работе. Построение указанных ре-
шений в значительной степени осложняется из-за
дополнительной нелинейности в связи с примене-
нием (2) и кусочной формой приближения коэф-
фициента k. Следует заметить, что от фрагмен-
тарного описания зависимости k(I) можно отка-
заться, воспользовавшись такими элементарными
функциями и их комбинациями, которые бы отра-
жали плавное асимптотическое приближение k к
своим предельным значениям с ростом и умень-
шением градиента I и быстрое изменение k при
средних значениях I. Перспективными в этом пла-
не представляются обратные тригонометрические
функции. Безусловно, что такой подход имеет и
сильные, и слабые стороны. Но для решаемых ни-
же задач предпочтительнее первый подход, бази-
рующийся на соотношениях (1), (2).
1. ПОСТАНОВКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ И ИХ РЕШЕНИЕ
Аналитическими методами анализируется уста-
новившееся безнапорное фильтрационное течение
в несвязном грунте с упорядоченной структурой,
направленное от протяженного источника жид-
кости к параллельно расположеному приемнику
(стоку). В их качестве могут выступать природные
и искусственные водотоки (река, канал, водохра-
нилище), а также длинные разноуровневые гори-
зонтальные дрены. Все эти водные объекты или
полностью (до водоупора) прорезают водоносную
толщу (совершенные, фильтрационное сопротив-
ление Φ равно 0), или чаще частично (несовершен-
ные, Φ > 0). Уровень в водотоках, а тем более на-
пор в дренах часто в течение длительного времени
является стабильным. Это дает основание прежде
всего рассмотреть заметно более простую стацио-
нарную задачу о плоской фильтрации между водо-
токами с заданными на них напорами. Гидродина-
мическое и конструктивное несовершенство обоих
водотоков учитывается в соответствии с [11, 12]
путем введения в исходную модель общих филь-
трационных сопротивлений Φd, Φs. При безнапор-
ной фильтрации в перемычках, земляных плоти-
нах и дамбах, междренном пространстве напор h
обычно меняется относительно плавно, и в зави-
симости от соотношения между граничными гра-
диентами напора
Id = I(0) =
dh
dx
|x=0, IL = I(L) =
dh
dx
|x=L
(здесь L – расстояние между водотоками) и ха-
рактерными значениями Ik, Iu возможны пять
способов деформирования несуффозионного грун-
та. Следует подчеркнуть, что установить строение
области фильтрации в деформированном грунте
при заранее неизвестном фильтрационном расхо-
де удается только после его определения. Соответ-
ствующие условия, регламентирующие существо-
вание зон предельной деформации (Id < I < Iu) и
недеформированного грунта (Ik < I ≤ IL), приво-
дятся ниже. Что касается самой возможности во-
зникновения деформаций, то подходящее условие
вытекает из решения аналогичной задачи в неде-
формированном грунте. Так как при этом макси-
мальный градиент напора Id0 имеет место на во-
доприемнике, то условие деформирования грунта
под действием несовершенных водотоков прини-
мает следующий вид:
Id0 > Ik, (4)
Id0 =
M2
s − M2
d
2
√
(L + 2Φd + 2Φs)(LM2
d + 2ΦsM
2
d + 2ΦdM2
s )
.
В первую очередь, исследуется наиболее сло-
жный способ деформирования грунта, который
В. Л. Поляков 61
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 4. С. 60 – 68
реализуется при условии
Id > Iu > Ik > IL. (5)
Тогда установившееся движение грунтовых вод со
свободной поверхностью в однородной пористой
среде при кусочно-линейной аппроксимации коэф-
фициента фильтрации описывается системой не-
линейных уравнений фильтрации:
d
dx
(
hu
dhu
dx
)
= 0, 0 ≤ x < Lu; (6)
d
dx
[(
a + b
dh
dx
)
h
dh
dx
]
= 0, Lu ≤ x ≤ Lk; (7)
d
dx
(
h0
dh0
dx
)
= 0, Lk < x ≤ L. (8)
Таким образом, область фильтрации условно де-
лится на три зоны: первую зону – предельной де-
формации (0 ≤ x < Lu), вторую зону – частичной
деформации (Lu ≤ x ≤ Lk), третью зону – неде-
формированного грунта (Lk < x ≤ L), а hu, h,
h0 – напоры в соответствующих (первой, второй и
третьей) зонах.
Оператор краевых условий включает, во-
первых, условия на водоприемнике и водоисто-
чнике, учитывающие их несовершенство:
x = 0, h2
u − 2Φd
dh2
u
dx
= M2
d ; (9)
x = L, h2
0 − 2Φs
dh2
0
dx
= M2
s , (10)
где Md, Ms – уровни в приемнике и источнике соо-
тветственно. Во-вторых, включает условия сопря-
жения напоров и расходов на внутренних грани-
цах области движения:
x = Lu, hu = h; ku
dhu
dx
=
(
a + b
dh
dx
)
dh
dx
; (11)
x = Lk, h = h0;
(
a + b
dh
dx
)
dh
dx
= k0
dh0
dx
, (12)
где ku – коэффициент фильтрации в зоне предель-
ной деформации. Наконец, для установления изна-
чально неизвестного положения внутренних гра-
ниц задаются дополнительные условия:
x = Lu,
dhu
dx
= Iu; (13)
x = Lk,
dh0
dx
= Ik. (14)
Сначала дважды интегрируются уравнения (6),
(8) и с использованием условий (9), (10) находятся
выражения для односторонних расходов и напоров
в пределах крайних зон, содержащие две пока не-
определенные постоянные:
kuhu
dhu
dx
= kuA, (15)
h2
u = M2
d + 2A(x + 2Φd), (16)
k0h0
dh0
dx
= k0C, (17)
h2
0 = M2
s + 2C(x− L − 2Φs). (18)
Уравнение (7) после первого интегрирования
трансформируется к виду
dh
dx
= − a
2b
+
√
( a
2b
)2
+
B1
bh
. (19)
Его общее решение представляется зависимостью
x + B2 = S(h) = 2b
∫
√
hdh
√
a2h + 4bB − a
√
h
. (20)
Далее неизвестные координаты Lk, Lu с помощью
условий (13), (14) определяются через B1. Прежде
всего из полученного с помощью (14) и (18) урав-
нения
B1
√
k2
0M
2
s + 2k0B1(Lk − L − 2Φs)
= Ik
находится положение границы между второй и
третьей зонами:
Lk = L + 2Φs +
1
2k0B1
(
B2
1
I2
k
− k0M
2
s
)
. (21)
Аналогично из выражений (13) и (16) вытекает
B1
√
k2
uM2
d + 2kuB1(Lu + 2Φd)
= Iu,
и формула для координаты границы между пер-
вой и второй зонами:
Lu = −2Φd +
ku
2B1
(
B2
1
k2
uI2
u
− M2
d
)
. (22)
Для определения констант B1, B2 условия равен-
ства напоров (11), (12) применяются к (20). Тогда
Lu + B2 = S1 = 2b
hu(Lu)
∫
√
ξdξ
√
a2ξ + 4bB1 − a
√
ξ
,
(23)
62 В. Л. Поляков
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 4. С. 60 – 68
Lk+B2 = S2 = 2b
h0(Lk)
∫
√
ξdξ
√
a2ξ + 4bB1 − a
√
ξ
. (24)
Вычитание выражения (23) из (24) позволяет, во-
первых, исключить B2 и, во-вторых, получить
уравнение относительно B1 в такой форме:
Lk(B1) − Lu(B1) = 2b
h0(B1)
∫
hu(B1)
√
ξdξ
√
a2ξ + 4bB1 − a
√
ξ
,
(25)
где
hu(B1) =
√
M2
d +
2B1
ku
(Lu(B1) + 2Φd),
h0(B1) =
√
M2
s +
2B1
k0
(Lk(B1) − L − 2Φs).
При определенной из (25) постоянной B1 по фор-
мулам (21), (22) вычисляются значения Lu, Lk.
После этого становится возможным расчет распре-
деления напора в области движения с использова-
нием системы зависимостей
hu =
√
M2
d +
2B1
ku
(x + 2Φd), 0 ≤ x < Lu; (26)
x = Lu+
h
∫
hu(Lu)
√
ξdξ
√
a2ξ + 4bB1 − a
√
ξ
, Lu ≤ x ≤ Lk;
(27)
h0 =
√
M2
s +
2B1
k0
(x − L − 2Φs), Lk < x ≤ L.
(28)
Расход жидкости из источника в приемник всю-
ду одинаковый, так что
kuA = k0C = B1. (29)
Фильтрационный же расход для аналогичных
условий, но в недеформированном грунте, как
известно, составляет
Q0 = k0
M2
s − M2
d
2(L + 2Φd + 2Φs)
. (30)
И из выражения (30) при Φd = Φs = 0 следует
классическая формула Дюпюи. Тогда относитель-
ное увеличение указанного расхода будет
GQ =
B1
Q0
=
2B1(L + 2Φd + 2Φs)
k0(M2
s − M2
d )
. (31)
Коэффициент фильтрации в зоне частичной де-
формации kI представляет собой следующую фун-
кцию от x:
k =
a
2
+
√
a2
4
+
bB1
h(x)
, (32)
в которой связь между h и x имеет вид (27).
Условие образования зоны полной деформации
будет
B1
kuhu(0)
> Iu
и после ряда преобразований с учетом (26) транс-
формируется, так что
B1 > kuI2
u
(
√
4Φ2
d +
M2
d
I2
u
+ 2Φd
)
. (33)
При Φd = 0 условие (33) упростится
B1 > kuIuMd.
Условие существования зоны без деформаций
принимает вид
B1
k0h0(L)
< Ik,
что в конце концов накладывает на B1 следующее
ограничение:
B1 < k0I
2
k
(
√
4Φ2
s +
M2
s
I2
k
− 2Φs
)
, (34)
а при Φs = 0
B1 < k0IkMs.
Переход к безразмерным величинам с приме-
нением в качестве масштабов L, k0, I0 = (Ms −
Md)/L, а также некоторых дополнительных пре-
образований позволяют вывести более простые и
общие представления искомых характеристик. То-
гда ключевое уравнение относительно безразмер-
ного коэффициента B̄1 станет
L̄k(B̄1) − L̄u(B̄1) = 2b̄B̄1(S1 − S2), (35)
где
L̄k = Lk/L, L̄u = Lu/L,
B̄1 = B1/(k0LI2
0 ), ā = a/k0, b̄ = bI0/k0,
Īk = Ik/I0, Īu = Iu/I0, k̄u = ku/k0,
S1 =
ā
8b̄Ī2
k
+
(
1
8b̄Īk
+
1
4ā2
)
√
ā2
Ī2
k
+
4b̄
Īk
− (36)
В. Л. Поляков 63
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 4. С. 60 – 68
− b̄
2ā3
ln
(
2ā
√
ā2
Ī2
k
+
4b̄
Īk
+
2ā2
Īk
+ 4b̄
)
,
S2 =
ā
8b̄k̄2
uĪ2
k
+
(
1
8b̄k̄uĪk
+
1
4ā2
)
√
ā2
k̄2
uĪ2
k
+
4b̄
k̄uĪk
−
(37)
− b̄
2ā3
ln
(
2ā
√
ā2
k2
uĪ2
u
+
4b̄
kuĪu
+
2ā2
kuĪu
+ 4b̄
)
.
При расчете относительных напоров и других ха-
рактеристик в первую очередь необходимо устано-
вить относительные значения L̄k, L̄u по формулам
L̄k = 1 + 2Φ̄s +
1
2B̄1
(
B̄2
1
Ī2
k
− M̄2
s
)
, (38)
L̄u = −2Φ̄d +
k̄u
2B̄1
(
B̄2
1
k̄2
uĪ2
u
− M̄2
d
)
, (39)
где Φ̄d = Φd/L, Φ̄s = Φs/L, M̄d = Md/(Ms − Md),
M̄s = Ms/(Ms − Md). Подстановка выражений
(38), (39) в уравнение (35) позволяет получить для
B̄1 квадратное уравнение
S̃B̄2
1 + 2(1 + 2Φ̄d + 2Φ̄s)B̄1 + k̄uM̄2
d − M̄2
s = 0,
где
S̃ =
1
Ī2
k
− 1
k̄uĪ2
k
− 4b̄(S1 − S2).
Таким образом,
B̄1 = − 1
S̃
(
√
(1 + 2Φ̄d + 2Φ̄s)2 + S̃(M̄2
s − k̄uM̄2
d )+
+1 + 2Φ̄d + 2Φ̄s
)
. (40)
Теперь несложно рассчитать относительные напо-
ры в пределах трех характерных зон:
h̄u =
hu
Ms − Md
=
√
M̄2
d +
2B̄1
k̄u
(x̄ + 2Φ̄d),
0 ≤ x̄ < L̄u; (41)
x̄ = L̄u + 2b̄[S(h̄) − B̄1S2], L̄u ≤ x̄ < L̄k; (42)
h̄0 =
h0
Ms − Md
=
√
M̄2
s + 2B̄1(x̄ − 1 − 2Φ̄s),
L̄k ≤ x̄ ≤ 1, (43)
где x̄ = x/L, h̄ = h/(Ms − Md),
S(h̄) =
āh̄2
8b̄B̄1
+
(
h̄
8b̄B̄1
+
1
4ā2
)
√
ā2h̄2 + 4b̄B̄1h̄−
(44)
− b̄B̄1
2ā3
ln
(
2ā
√
ā2h̄2 + 4b̄B̄1h̄ + 2ā2h̄ + 4b̄B̄1
)
.
Относительное приращение фильтрационного
расхода за счет переориентации частиц скелета ха-
рактеризуется параметром расхода (31), выраже-
ние которого через безразмерные величины дает
GQ =
Q
Q0
=
2B̄1
M̄s + M̄d
. (45)
Относительный коэффициент фильтрации в зо-
не частичной деформации будет
k̄ =
k
k0
=
ā
4
+
√
ā2
4
+
b̄B̄1
h̄(x̄)
. (46)
Наконец, область фильтрации состоит из трех зон
при выполнении условия
Ī2
k
(
√
4Φ̄2
s +
M̄2
s
Ī2
k
− 2Φ̄s
)
> B̄1 > (47)
> k̄uĪ2
u
(
√
4Φ̄2
d +
M̄2
d
Ī2
u
+ 2Φ̄d
)
,
которое при совершенных водотоках станет
ĪkM̄s > B̄1 > k̄uĪuM̄d.
При определении расхода установившегося пло-
ского безнапорного фильтрационного течения в
недеформированном грунте между несовершен-
ными водотоками часто используется такое выра-
жение:
Q0 = k0
Ms + Md
2
Ms − Md
L + Ψ
. (48)
С помощью обобщенного параметра – сопротивле-
ния Φ – в принципе возможно учитывать любые
виды и комбинации несовершенства. В частности,
Φ может включать компоненту Φc, связанную с
деформированием грунта. В этом случае расход
будет
Q = kuhu
dhu
dx
|x=0 = B1. (49)
Отождествляя в выражении (48) Φ с Φc и при-
равнивания затем (48), (49), после ряда преобра-
зований выведены для Φc формулы в размерной
форме:
Φc =
k0
2B1
(M2
s − M2
d ) − L
и безразмерной:
Φ̄c =
Φc
L
=
M̄s + M̄d
2B̄1
− 1. (50)
Вторая типичная ситуация имеет место, если
выделенные значения градиента напора связаны
соотношениями
Iu ≥ Id > Ik > IL. (51)
64 В. Л. Поляков
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 4. С. 60 – 68
Тогда зона полной деформации отсутствует, и
уравнение фильтрации (6), а также условия сопря-
жения на границе x = Lu (11) выпадают из мо-
дели. Таким образом сохраняются уравнения (7),
(8), условия (10), (12), (14) и, кроме того, на дрене
принимается аналогичное (9) условие
x̄ = 0, h̄2 − 2Φ̄2
dh̄2
dx̄
= M̄2
d . (52)
Выкладки при решении данной и предыдущей за-
дач имеют много общего. Поэтому ниже приводя-
тся, по существу, только основные расчетные фор-
мулы с минимумом дополнительной информации,
причем уже в относительных величинах. Но пре-
жде, опираясь на выражение (47), можно утвер-
ждать, что первая зона не образуется, если
B̄1 < k̄uĪ2
u
(
√
4Φ̄2
d +
M̄2
d
Ī2
u
+ 2Φ̄d
)
. (53)
Несмотря на более простой с формальной точ-
ки зрения вид исходной математической модели,
трудности при вычислении базового коэффициен-
та B̄1 возрастают из-за неопределенности функ-
ции напора h(x) на дрене и Φd > 0. В связи с
этим приходится предварительно находить значе-
ние h̄d = h(0)/(Ms−Md). Воспользовавшись выра-
жением для градиента напора
dh̄2
dx̄
= − ā
b̄
h̄ +
√
( ā
b̄
h̄
)2
+ 4B̄1h̄, (54)
несложно с помощью условия (52) установить
связь B̄1 с h̄d:
B̄1 =
b̄(h̄2
d − M̄2
d )
16Φ̄2
dh̄d
+
ā
4Φ̄d
(
h̄2
d − M̄2
d
)
. (55)
Теперь уравнение относительно h̄d приобретает
вид
L̄k(B̄1(h̄d)) = 2b̄[S1B̄1(h̄d) − S(h̄d)]. (56)
Здесь S1 вычисляется согласно (36), а функция
S(h̄d) – (44); L̄k – по формуле (38). При известном
h̄d сначала находится B̄1 по (55), а затем распре-
деление напоров в области движения. В зоне неде-
формированного грунта оно определяется зависи-
мостью (43), а в зоне частичной деформации будет
x̄ = L̄k − 2b̄[S2B̄1 − S(h̄)]. (57)
Важнейшие же параметры задачи GQ, Φ̄c предла-
гается рассчитывать по ранее выведенным форму-
лам (45), (50). Изменение их значений вследствие
смены способа деформирования объясняется толь-
ко изменением B̄1. В частном случае Φd = Φs = 0
h̄d известно заранее и равно M̄d. Поэтому искомое
B̄1 находится сразу путем решения уравнения
L̄k(B̄1) = 2b̄[S1B̄1 − S(M̄d)]. (58)
Еще одна реальная ситуация складывается при
выполнении условия
Id > Iu > IL ≥ Ik. (59)
В соответствии с выражением (47) для ее реали-
зации необходимо, чтобы
B̄1 ≥ Ī2
k
(
√
4Φ̄2
s +
M̄2
s
Ī2
k
− 2Φ̄s
)
. (60)
Тогда в математической модели будет отсут-
ствовать уже уравнение (8), а к оставшимся урав-
нениям (6), (7) и условиям (9), (11)–(13) добавится
условие на источнике:
x̄ = 1, h̄2 − 2Φ̄s
dh̄2
dx̄
= M̄2
s . (61)
Ход решения опустим. Положение единственной
внутренней границы вычисляется по формуле
(39).
В общем случае Φs > 0 возникают вычисли-
тельные осложнения в связи с необходимостью до-
полнительного определения на внешней границе
x = L (x̄ = 1) относительного напора h̄L. С этой
целью использовались выражения (54), (61), и в
итоге получено уравнение
h̄2
L − 2Φ̄s
ā
b̄
h̄L + 2Φ̄s
√
( ā
b̄
h̄L
)2
+ 4B̄1h̄L, (62)
исходя из которого B̄1 выражается через h̄L сле-
дующим образом:
B̄1 =
b̄(M̄2
s − h̄2
L)
16Φ̄2
sh̄L
+
ā
4Φ̄s
(
M̄2
s − h̄2
L
)
. (63)
Само же значение h̄L вычисляется в результате
решения уравнения
L̄u(B̄1(h̄L)) = 1 − 2b̄[S(h̄L) − S2B̄1(h̄L)], (64)
где выражения для L̄u(B̄1), S(h̄L), S2 соответ-
ственно есть (39), (44), (37). При известном h̄L
последовательно определяются B̄1 – по формуле
(63), GQ – по формуле (45), Φ̄c – по формуле (50).
Для расчета напоров следует пользоваться в пре-
делах зоны полной деформации формулой (41), а
в пределах зоны частичной деформации – (42).
Процедура вычислений упрощается, если Φd =
= Φs = 0. В таком случае h̄L = M̄s и B̄1 находится
непосредственно из уравнения
L̄u(B̄1) = 1 − 2b̄[S(M̄s) − S2B̄1]. (65)
В. Л. Поляков 65
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 4. С. 60 – 68
2. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
РАСЧЕТА ПРИМЕРОВ
Предложенная выше методика расчета устано-
вившейся плоской безнапорной фильтрации из
источника в приемник в грунте с упорядоченной
структурой между двумя водотоками иллюстри-
руется вычислениями ряда примеров. Полученные
результаты вычислений благодаря принятию ти-
пичных и вместе с тем заметно отличающихся ме-
жду собой значений модельных параметров дают
наглядную картину возможных изменений хара-
ктеристик водного режима несвязного несуффози-
онного грунта при возникновении в нем деформа-
ций второго рода. Поскольку для градиентов на-
пора в области движения выбран в качестве мас-
штаба средний в ней градиент Ia, а кривизна сво-
бодной поверхности относительно небольшая, то
характерные относительные градиенты Īk, Īu ока-
зываются порядка 1.
Для первых двух серий примеров взяты значе-
ния Īk = 1, для третьей серии – Īk = 0.5. При-
емник и источник считаются совершенными и в
гидродинамическом, и в конструктивном отноше-
нии. Диапазон изменения k̄u для полноты анализа
расширен по сравнению с опытными данными и
лежит в пределах от 1 до 3. Относительные уровни
M̄d, M̄s подбирались специально на основе усло-
вий (47), (53), (60). Тем самым удалось отразить
в примерах, а затем и обсудить три наиболее ра-
спространенных способа деформаций несуффози-
онного грунта, которые последовательно и деталь-
но рассмотрены здесь аналитическими методами.
Предметом многочисленных расчетов стали, глав-
ным образом, два ключевых параметра, а именно
GQ и Φ̄c.
Заданные в первой серии примеров M̄d = 0,
M̄s = 1 при Īk = 1 отвечают множеству ситуа-
ций, которые различаются уровнем воды в исто-
чнике, но имеют оптимальные условия для ее отво-
да из грунта и приемника. При этом справедливым
является условие (47), что предопределяет разви-
тие наиболее сложного способа деформаций, когда
область фильтрации состоит из трех зон. Значе-
ния GQ, Φ̄c вычислялись при непрерывно меняв-
шимся в вышеупомянутых пределах коэффициен-
те k̄u и дискретно менявшимся Īu. Деформации в
этом случае были локализованы вблизи приемни-
ка, что ослабило их влияние на фильтрационное
течение, его расход. Мерой такого влияния может
служить параметр GQ, данные расчетов которого
представлены на рис. 1. Преобладают близкие к 1
значения GQ, что дает основание считать дефор-
мации в заданных условиях плоской безнапорной
Рис. 1. Графики зависимости GQ(k̄u):
1 – Īu = 2; 2 – Īu = 3; 3 – Īu = 4; 4 – Īu = 5
фильтрации малосущественными для фильтраци-
онного режима. С ростом Īu значимость дефор-
мационного фактора убывает. Также выяснилось,
что и компонента сопротивления Φ̄c – еще один
важный интегральный показатель действенности
деформаций, оказывается малой величиной (рис.
2). Это связано не только с локализацией дефор-
маций, но и способом нормировки Φc. Фактиче-
ские его значения могут быть довольно большими
при значительной протяженности области филь-
трации. Отрицательные значения Φc объясняются
улучшением условий фильтрации вследствие пе-
реориентации частиц.
Наглядное представление о масштабах дефор-
маций дает рис. 3, на котором показано положе-
ние внутренних границ в области движения для
Īk = 1 и разных значений k̄u, Īu. При этом k̄u
является аргументом, а Īu принимает два резко
отличающихся значения (1 и 5). Установлено, что
деформированный грунт занимает лишь неболь-
шую часть области фильтрации. Особенно малую
протяженность имеет зона предельной деформа-
ции и, например, при Īu = 5 на нее приходится
всего 1% общего объема фильтрующего грунта.
Основной же вклад в изменение фильтрационных
характеристик связан с повышением проницаемо-
сти в зоне частичной деформации. Тем не менее
даже в крайнем из рассчитанных случаев (k̄u = 3,
Īu = 2) ее внешняя граница не достигает середи-
ны области движения (Lk = 0.4L). Но, как следует
из предшествующих вычислений (рис. 1, 2), этого
66 В. Л. Поляков
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 4. С. 60 – 68
Рис. 2. Графики зависимости Q(Īu):
1 – k̄u = 3; 2 – k̄u = 2; 3 – k̄u = 1, 5; 4 – k̄u = 1, 25
Рис. 3. Графики зависимости L̄u(k̄u), L̄k(k̄u):
1, 2 – L̄k; 3, 4 – L̄u; 1, 3 – Īu = 1; 2, 4 – Īu = 5
еще недостаточно для серьезного усиления филь-
трации. Чтобы деформации происходили вторым
способом, были выбраны M̄d = 0.25, M̄s = 1.25,
что при Īk = 1 обеспечило выполнение условия
(53), а при Īk = 1 – и существование третьей зоны.
Таким образом, градиент напора на входе в при-
емник уменьшился настолько, что Id стало меньше
Iu и зона предельной деформации исчезла. Расче-
ты GQ(k̄u), Φ̄c(k̄u), однако, указывают на малое
отклонение последних от соответствующих дан-
ных, полученных для первого способа деформа-
Рис. 4. Графики зависимости GQ(k̄u):
1 – Īu = 2; 2 – Īu = 3; 3 – Īu = 4; 4 – Īu = 5
ций. Поэтому не имеет смысла, по сути, дублиро-
вание рисунков. А поскольку эффект деформаций
здесь выражен еще слабее, то учитывать дефор-
мации в подобных условиях ценой значительного
усложнения формализмов нецелесообразно.
Особый интерес для практики представляет
третий способ, который реализуется при слабом
сцеплении частиц скелета, их неправильной фор-
ме и непрочной фиксации в структуре грунта. То-
гда вследствие прежде всего малости Ik соблюдае-
тся условие (60), что означает распространение де-
формаций на всю область движения. Параметры
GQ, Φ̄c снова рассчитывались при M̄d = 0, M̄s = 1,
что гарантировало существование зоны предель-
ной деформации, а также Īk = 0.5, позволившее
устранить зону недеформированного грунта. Ре-
зультаты множества вычислений GQ, Φ̄c приведе-
ны на рис. 4, 5. Поведение кривых GQ(k̄u), Φ̄c(k̄u)
на рис. 1, 2 и рис. 4, 5 имеет во многом сходный
характер, но величины указанных параметров при
разных способах деформаций сильно отличаются.
Действительно, они при одних и тех же значени-
ях k̄u возрастают за счет расширения области де-
формаций примерно в 3 раза. Подобным образом
увеличивается и фильтрационный расход.
Важную роль в фильтрационном процессе игра-
ют параметры Īu, Īk. В этом несложно убедиться,
во-первых, благодаря рис.6, на котором изображе-
ны графики зависимости GQ от Īu при различных
фиксированных k̄u. Уменьшение k̄u, как видно из
рис.6, ведет к такому росту размеров зоны пре-
дельной деформации, который может стать при-
В. Л. Поляков 67
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2009. Том 11, N 4. С. 60 – 68
Рис. 5. Графики зависимости −Φc(k̄u):
1 – Īu = 2; 2 – Īu = 3; 3 – Īu = 4; 4 – Īu = 6
Рис. 6. Графики зависимости Q(Īu):
1 – k̄u = 3; 2 – k̄u = 2; 3 – k̄u = 1, 5
чиной значительного увеличения расхода филь-
трационного течения Q, особенно при Īu < 2 и
большом k̄u. Во-вторых, при сопоставлении ре-
зультатов расчетов GQ для первого и третьего
способов деформаций очевидно резкое возраста-
ние упомянутого расхода при сокращении Īk лишь
вдвое.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проведенный количественный анализ показал
недопустимость бездоказательного пренебреже-
ния деформациями второго рода в несвязных не-
суффозионных грунтах. Рост проницаемости та-
ких грунтов под действием интенсивных плоских
фильтрационных потоков в отдельных случаях
обуславливает возрастание его расхода в полто-
ра раза и более. Вместе с тем, формальный учет
этого фактора намного усложняет фильтрацион-
ные модели и их теоретическое исследование. По-
этому рекомендуется предварительно оценивать
на базе предложенной в данной работе методики
значимость подобных деформаций, сообразуясь с
конкретными физико-механическими условиями,
а при необходимости далее их учитывать, осно-
вываясь на концепции и методе фильтрационных
сопротивлений.
1. Кондратьев В.Н. Фильтрация и механическая
суффозия в несвязных грунтах.– Симферополь:
Крымиздат, 1958.– 76 с.
2. Поляков В.Л. О механической суффозии грунтов
под действием цилиндрического стока перемен-
ной интенсивности // Прикладна гiдромеханiка.–
2006.– 8, N 4.– С. 43–52.
3. Сидор В.Б. Порiвняльний аналiз значущостi су-
фозiйного i фiльтрацiйного процесiв при функцiо-
нуваннi рiзних типiв дренажiв // Проблеми во-
допостачання, водовiдведення та гiдравлiки.– К.:
КНУБА.– 2005. - Вип.5.– С. 120–128.
4. Ojha C.S.P., Singh V.P., Adrian D.D. Determination
of critical head in soil piping // J. Hydraul. Eng.–
2003.– 129, N 7.– P. 511–518.
5. Willardson L.S., Walker R.E. Synthetic drain
envelope-soil interaction // J.Irrig. and Drain. Div.,
ASCE.– 1989.– 115, N 4.– P. 626–641.
6. Дмитриев А.Ф., Хлапук Н.Н., Дмитриев Д.А.
Деформационные процессы в несвязных грун-
тах в придренной зоне и их влияние на рабо-
ту осушительно-увлажнительных систем.– Ровно:
Издательство РГТУ, 2002.– 145 с.
7. Хлапук М.М. Новi аспекти роботи дренажних кон-
струкцiй, виявленi за допомогою фiзичного та ма-
тематичного моделювання // Зб. статей за матерi-
алами 3-ої наук.-техн. конференцiї.– 4.2. Гiдроте-
хнiчне будiвництво.– Рiвне.– С. 66–69.
8. Дмитрiєв Д.А. Про вплив градiєнта напору на ко-
ефiцiєнт фiльтрацiї незв’язних грунтiв // Вiсник
Укр. держ. акад. водн. госп-ва. - Рiвне: УДАВГ.–
1998.– 4, N 2.– С. 23–27.
9. Поляков В.Л. Фильтрационные деформации не-
связных несуффозионных грунтов при установив-
шейся одномерной безнапорной фильтрации //
Доп. НАН України.– 2009.– № 4.– С. 56–62.
10. Поляков В.Л., Желизко В.В. Безнапорная осесим-
метричная фильтрация к совершенной дрене в не-
связном грунте с упорядоченной структурой //
Науковий вiсник будiвництва. - Харкiв: ХДТУБА,
ХОТВ АБУ.– 2008.– Вип. 49.– С. 153–163.
11. Олейник А.Я. Геогидродинамика дренажа.– К.:
Наукова думка, 1982.– 283 с.
12. Пивовар Н.Г., Бугай Н.Г., Фридрихсон В.Л., Кри-
воног А.И., Кривоног В.В. Дренаж с волокни-
стыми фильтрами для защиты территорий от
подтопления.– К.: НАНУ. Институт гидромехани-
ки, 2000.– 332 с.
68 В. Л. Поляков
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87690 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:28:19Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Поляков, В.Л. 2015-10-23T18:39:18Z 2015-10-23T18:39:18Z 2009 Установившаяся безнапорная фильтрация в несвязном несуффозионном грунте между водотоками (дренами) / В.Л. Поляков // Прикладна гідромеханіка. — 2009. — Т. 11, № 4. — С. 60-68. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87690 532.546 Аналитическими методами выполнено исследование стационарной безнапорной фильтрации между водотоками в несвязном несуффозионном грунте, который подвергся фильтрационным деформациям без мобилизации его частиц. Сформулированы условия реализации трех основных способов деформаций. Для них поставлены математические задачи и получены их строгие решения. На основе выведенных расчетных формул и на многочисленных примерах детально проанализирована значимость указанных деформаций для фильтрационного процесса (расхода). Аналiтичними методами виконано дослiдження стацiонарної безнапiрної фiльтрацiї мiж водотоками в незв'язному несуфозiйному грунтi, який зазнав фiльтрацiйних деформацiй без мобiлiзацiї його часток. Наведено умови реалiзацiї трьох основних способiв деформацiй. Для них сформульованi математичнi задачi i отримано їх точнi розв'язки. На основi побудованих розрахункових формул i на багаточисленних прикладах детально проаналiзовано значущiсть вказаних деформацiй для фiльтрацiйного процесу (витрати). A steady groundwater flow between two channels (drains) is studied by analytical methods in cohesive less sand soil which is subjected to hydrodynamic deformations without solid particles mobilization. The conditions of three main deformation mechanisms realization are presented. Mathematical tasks are formulated for them and their exact solutions are obtained. Importance of the deformations above for groundwater process is analysed based on a great number of examples. ru Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Установившаяся безнапорная фильтрация в несвязном несуффозионном грунте между водотоками (дренами) Steady free-flow filtration in noncoherent nonsuffosion soil between waterways (drains) Article published earlier |
| spellingShingle | Установившаяся безнапорная фильтрация в несвязном несуффозионном грунте между водотоками (дренами) Поляков, В.Л. |
| title | Установившаяся безнапорная фильтрация в несвязном несуффозионном грунте между водотоками (дренами) |
| title_alt | Steady free-flow filtration in noncoherent nonsuffosion soil between waterways (drains) |
| title_full | Установившаяся безнапорная фильтрация в несвязном несуффозионном грунте между водотоками (дренами) |
| title_fullStr | Установившаяся безнапорная фильтрация в несвязном несуффозионном грунте между водотоками (дренами) |
| title_full_unstemmed | Установившаяся безнапорная фильтрация в несвязном несуффозионном грунте между водотоками (дренами) |
| title_short | Установившаяся безнапорная фильтрация в несвязном несуффозионном грунте между водотоками (дренами) |
| title_sort | установившаяся безнапорная фильтрация в несвязном несуффозионном грунте между водотоками (дренами) |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87690 |
| work_keys_str_mv | AT polâkovvl ustanovivšaâsâbeznapornaâfilʹtraciâvnesvâznomnesuffozionnomgruntemežduvodotokamidrenami AT polâkovvl steadyfreeflowfiltrationinnoncoherentnonsuffosionsoilbetweenwaterwaysdrains |