О применении сосредоточения в методе конечных элементов Петрова–Галеркина при решении задач конвекции-диффузии
Рассмотрены вопросы противодействия дисперсионным и диссипативным эффектам,
 возникающим после применения сосредоточения в конечноэлементном методе Петрова–Галеркина при решении задач конвекции-диффузии. Обобщены некоторые результаты
 в данной области, полученные ранее, и проведено с...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87699 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О применении сосредоточения в методе конечных элементов Петрова–Галеркина при решении задач конвекции-диффузии / С.В. Сирик, Н.Н. Сальников // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 5. — С. 39-44. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860259599680012288 |
|---|---|
| author | Сирик, С.В. Сальников, Н.Н. |
| author_facet | Сирик, С.В. Сальников, Н.Н. |
| citation_txt | О применении сосредоточения в методе конечных элементов Петрова–Галеркина при решении задач конвекции-диффузии / С.В. Сирик, Н.Н. Сальников // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 5. — С. 39-44. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Рассмотрены вопросы противодействия дисперсионным и диссипативным эффектам,
возникающим после применения сосредоточения в конечноэлементном методе Петрова–Галеркина при решении задач конвекции-диффузии. Обобщены некоторые результаты
в данной области, полученные ранее, и проведено сравнение с другими существующими подходами. Теоретические результаты исследования подтверждаются расчетными данными.
Розглянуто питання протидiї дисперсiйним та дисипативним ефектам, що виникають
пiсля застосування зосередження в скiнченноелементному методi Петрова–Гальоркiна при
розв’язаннi задач конвекцiї-дифузiї. Узагальнено деякi результати в данiй областi, отриманi ранiше, та проведено порiвняння з iншими iснуючими пiдходами. Теоретичнi результати
дослiдження пiдтверджуються розрахунковими даними.
We address the topics of overcoming the dispersive and dissipative effects that arise after the
application of mass lumping in the finite-element Petrov–Galerkin method for convection-diffusion
problems. A generalization of some earlier results in this field is carried out, as well as the comparison with other existing approaches. The test calculations confirm the theoretical results obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:53:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.63;004.75
С.В. Сирик, Н.Н. Сальников
О применении сосредоточения в методе конечных
элементов Петрова–Галеркина при решении задач
конвекции-диффузии
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В. Ф. Губаревым)
Рассмотрены вопросы противодействия дисперсионным и диссипативным эффектам,
возникающим после применения сосредоточения в конечноэлементном методе Петрова–
Галеркина при решении задач конвекции-диффузии. Обобщены некоторые результаты
в данной области, полученные ранее, и проведено сравнение с другими существующи-
ми подходами. Теоретические результаты исследования подтверждаются расчетными
данными.
Метод Петрова–Галеркина (МПГ) [1–3] в форме метода конечных элементов (МКЭ) [4] счи-
тается одним из наиболее успешных подходов к построению устойчивых численных аппрок-
симаций в задачах моделирования процессов конвекции-диффузии [1, 2]. При пространс-
твенной аппроксимации МПГ нестационарного параболического уравнения конвективно-
диффузионного типа получаем полудискретную аппроксимацию [1, 2, 8] — систему обыкно-
венных дифференциальных уравнений (СОДУ) вида M~̇a = ~F (t,~a), где ~a(t) — вектор ко-
эффициентов разложения искомого решения по базисным функциям МКЭ; ~F — некоторая
вектор-функция (в общем случае, нелинейная); M — так называемая матрица масс [1, 2, 4],
которая, в общем случае, является недиагональной, несимметричной и разреженной. При
последующем переходе от СОДУ к разностным схемам из-за недиагональности M схемы
получаются неявными. Кроме того, при некоторых постановках задач матрица M оказы-
вается зависимой от времени [1–3, 7], что может приводить к ситуациям, когда на каждом
шаге интегрирования СОДУ приходится обращатьM (или выполнять какую-либо ее факто-
ризацию). Это требует значительных вычислительных затрат. Для устранения указанных
трудностей в вычислительной практике часто используют так называемый прием сосредо-
точения (mass lumping) [1, 4, 5], суть которого заключается в замене M диагональной мат-
рицей M̄ , в которой элементы диагонали являются суммами элементов соответствующих
строк матрицы M . В результате, после выполнения указанной операции, получаем систе-
му M̄~̇a = ~F (t,~a) (будем в дальнейшем называть ее сосредоточенной аппроксимацией [7]).
Использование сосредоточения позволяет в схемах МКЭ трактовать частную производную
по времени таким же образом, как это делается в методах конечных разностей. Понят-
но, что после проведения указанной диагонализации матрицы M отпадает необходимость
в выполнении трудоемких операций по ее обращению. Однако можно показать (см. [6–8]),
что применение сосредоточения в ряде случаев вносит в численную схему дисперсионную
и диссипативную ошибки и приводит к возникновению больших погрешностей (достаточно
подробный обзор работ “за” и “против” использования сосредоточения в численных аппрок-
симациях приводится в [6]). Это является существенным недостатком приема сосредоточе-
ния, изучению и преодолению которого посвящены работы [7, 8]. Подход работы [7] основан
© С. В. Сирик, Н.Н. Сальников, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №5 39
на том, чтобы с помощью соответствующего выбора управляющих параметров МПГ сде-
лать решение сосредоточенной аппроксимации МПГ близким (в некотором смысле) к реше-
нию исходной (“несосредоточенной”) аппроксимации МПГ. Для этого сравниваются погреш-
ности исходной и сосредоточенной аппроксимаций МПГ на решении дифференциального
уравнения. Отметим, что в работе [7] рассматривался случай применения МПГ (и постро-
ения соответствующих полудискретных и дискретных аппроксимаций) к достаточно обще-
му уравнению конвекции-диффузии с переменными коэффициентами. Подход работы [8]
основан на использовании матричных рядов для аппроксимации M−1: для этого M пред-
ставляется в виде M = M̄(I −A) (где I — единичная матрица, A ≡ M̄−1(M̄ −M)), откуда
M−1 = (I +A+A2 + · · · )M̄−1 (ряд Неймана). В [8] авторы отмечают, что уже использова-
ние (I+A)M̄−1 вместо M−1 способно значительно улучшить точность численного решения
(однако не приводят никаких теоретических оценок качества и точности решения в зависи-
мости от взятого числа членов матричного ряда). Заметим, что (в отличие от [7]) в работе [8]
рассматривалось только уравнение переноса с постоянными коэффициентами, а основное
внимание уделено полудискретным аппроксимациям Галеркина (и сходимость соответст-
вующих матричных рядов Неймана доказана только для классического МКЭ Галеркина
с линейными элементами). В данной работе результаты [7] обобщены и показано, что в не-
которых случаях подходы работ [7] и [8] приводят к одинаковым вычислительным схемам.
Уравнение конвекции-диффузии и его аппроксимации МПГ. Рассмотрим одно-
мерное нестационарное уравнение конвекции-диффузии [1, 2]
Lu ≡
∂u
∂t
+ λ
∂u
∂x
− κ
∂2u
∂x2
= 0, (1)
где коэффициенты λ = λ(t) и κ = κ(t) заданы, а u = u(x, t) — неизвестное решение.
Используя в МПГ стандартные кусочно-линейные базисные и кусочно-квадратичные весо-
вые функции [7, 1–3], для (1) получаем СОДУ, i-е уравнение (соответствующее узлу xi)
которой имеет вид [7, 1]
(
1
6
+
αi
4
)
dai−1
dt
+
2
3
dai
dt
+
(
1
6
−
αi
4
)
dai+1
dt
+ λ
ai+1 − ai−1
2h
−
−
(
κ+
αiλh
2
)
ai−1 − 2ai + ai+1
h2
= 0, (2)
где ~a = {ai(t)} — коэффициенты разложения приближенного решения по соответствую-
щим базисным функциям; {αi} — стабилизационные коэффициенты [1, 2, 7]; h — шаг сетки
(для упрощения выкладок сетка предполагается равномерной). При всех αi = 0, по опре-
делению, получаем классический МКЭ Галеркина. Вопросы учета начальных и граничных
условий начально-краевых задач подробно освещены в [1–3]. Применяя к уравнению (2)
сосредоточение относительно производных по времени, получаем следующее соотношение:
da
(l)
i
dt
+ λ
a
(l)
i+1 − a
(l)
i−1
2h
−
(
κ+
α
(l)
i λh
2
)
a
(l)
i−1 − 2a
(l)
i + a
(l)
i+1
h2
= 0 (3)
(здесь верхние индексы (l) введены для того, чтобы отличать величины от соответствующих
величин из соотношения (2)).
Получение основных уравнений. Найдем связь между коэффициентами αi и α
(l)
i
соотношений (2), (3) (данный подход к исследованию сосредоточенных аппроксимаций был
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №5
предложен и развит в работе [7], см. там более подробное обсуждение его аспектов). Обозна-
чим через Lh и L
(l)
h дифференциально-разностные операторы соотношений (2) и (3) соот-
ветственно. Приравнивая теперь погрешности ψ ≡ Lhu−Lu и ψ(l) ≡ L
(l)
h u−Lu аппроксима-
ции (в точке (xi, t)) операторами Lh и L
(l)
h дифференциального оператора L уравнения (1)
на его решении u(x, t), получаем (тут ui ≡ u(xi, t)):(
1
6
+
αi
4
)
dui−1
dt
−
1
3
dui
dt
+
(
1
6
−
αi
4
)
dui+1
dt
−
αiλh
2
ui−1 − 2ui + ui+1
h2
=
= −
α
(l)
i λh
2
ui−1 − 2ui + ui+1
h2
.
Выразив из данного равенства значение α
(l)
i и подставив в (L
(l)
h u)(xi, t), находим
(L
(l)
h u)(xi, t) = u̇i + λ
ui+1 − ui−1
2h
−
(
κ+
αiλh
2
)
ui−1 − 2ui + ui+1
h2
+
+
h2
6
u̇i+1 − 2u̇i + u̇i−1
h2
−
αih
2
u̇i+1 − u̇i−1
2h
. (4)
Раскладывая в ряды Тейлора и используя (1) для выражения частной производной по вре-
мени, преобразуем в (4) последние два слагаемых
(
∂jui
∂xj
≡
∂ju
∂xj
∣∣∣∣
x=xi
)
:
u̇i+1 − u̇i−1
2h
=
∂
∂x
(
∂u
∂t
)∣∣∣∣
x=xi
+
h2
6
∂3
∂x3
(
∂u
∂t
)∣∣∣∣
x=xi
+O(h4) =
= −λ
∂2ui
∂x2
+ κ
∂3ui
∂x3
−
λh2
6
∂4ui
∂x4
+
κh2
6
∂5ui
∂x5
+O(h4), (5)
u̇i+1 − 2u̇i + u̇i−1
h2
=
∂2
∂x2
(
∂u
∂t
)∣∣∣∣
x=xi
+
h2
12
∂4
∂x4
(
∂u
∂t
)∣∣∣∣
x=xi
+O(h4) =
= −λ
∂3ui
∂x3
+ κ
∂4ui
∂x4
−
λh2
12
∂5ui
∂x5
+
κh2
12
∂6ui
∂x6
+O(h4). (6)
Подставляя (5), (6) в (4) и учитывая, что
αiλh
2
(
ui−1 − 2ui + ui+1
h2
−
∂2ui
∂x2
)
=
αih
3λ
24
∂4ui
∂x4
+O(h5),
получаем
(L
(l)
h u)(xi, t) = u̇i + λ
ui+1 − ui−1
2h
− κ
ui−1 − 2ui + ui+1
h2
−
(
καih
2
+
λh2
6
)
∂3ui
∂x3
+
+
(
αiλh
3
24
+
κh2
6
)
∂4ui
∂x4
−
(
αiκh
3
12
+
λh4
72
)
∂5ui
∂x5
+
κh4
72
∂6ui
∂x6
+O(h5). (7)
Для упрощения записей при проведении выкладок введем следующие сокращенные обо-
значения (стандартные в теории разностных схем, см. [9]) для выражения разностных соот-
ношений: ux̄,i ≡ (ui − ui−1)/h, ux,i ≡ (ui+1 − ui)/h, ux̊,i ≡ (ui+1 − ui−1)/(2h), ux̄x,i ≡ (ux̄)x,i =
= (ui+1 − 2ui + ui−1)/h
2. Поскольку
∂3ui
∂x3
= ux̄x̊x,i −
h2
4
∂5ui
∂x5
+O(h4),
∂4ui
∂x4
= ux̄xx̄x,i −
h2
6
∂6ui
∂x6
+O(h4),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №5 41
ux̄xx̊x̄x,i =
∂5ui
∂x5
+O(h2), ux̄xx̄xx̄x,i =
∂6ui
∂x6
+O(h2),
то (L
(l)
h u)(xi, t) из соотношения (7) можно представить в виде
u̇i + λux̊,i − κux̄x,i − θ3ux̄x̊x,i − µ4ux̄xx̄x,i − θ5ux̄xx̊x̄x,i − µ6ux̄xx̄xx̄x,i +O(h5), (8)
где коэффициенты θ3, θ5, µ4, µ6 определяются следующими выражениями:
θ3 ≡
καih
2
+
λh2
6
, µ4 ≡ −
(
αiλh
3
24
+
κh2
6
)
, θ5 ≡ −
(
αiκh
3
24
+
λh4
36
)
, µ6 ≡
κh4
72
.
Отметим, что в случае, когда αi = O(h), последний член в (7) и (8) будет величиной O(h6)
(это следует из процесса вывода соотношений (7) и (8). Отбрасывая в (8) этот последний
член, получаем следующую полудискретную аппроксимацию для нахождения коэффициен-
тов {ai(t)}:
ȧi + λax̊,i = κax̄x,i + θ3ax̄x̊x,i + µ4ax̄xx̄x,i + θ5ax̄xx̊x̄x,i + µ6ax̄xx̄xx̄x,i. (9)
Сравнение с подходом работы [8]. Отметим, что частный случай соотношения (9),
уравнение
ȧi + λax̊,i = κax̄x,i + θ3ax̄x̊x,i − (κh2/6)ax̄xx̄x,i, (10)
был получен и исследован в работе [7]. Непосредственным подсчетом можно убедиться, что
к (10) (при всех αi = 0) также приводит подход работы [8], если M−1 аппроксимировать
выражением (I + A)M̄−1. Действительно, из уравнений (2), (3) следует, что i-е уравнение
соответствующей системы записывается в форме ȧi+
i+1∑
j=i−1
dj{λ(aj+1−aj−1)/2−κ(aj+1−2aj+
+ aj−1)/h}/h = 0 (где di = 4/3, di±1 = −1/6), которая элементарными преобразованиями
приводится к (10).
Рассмотрим теперь подход работы [8] в случае, когда матрица M−1 аппроксимируется
выражением (I +A+A2)M̄−1. Тогда, как прежде, непосредственным подсчетом убеждаем-
ся, что i-е уравнение полудискретной аппроксимации будет иметь вид ȧi+
i+2∑
j=i−2
d̃j{λ(aj+1−
−aj−1)/2−κ(aj+1−2aj +aj−1)/h}/h = 0 (где d̃i = 3/2, d̃i±1 = −5/18, d̃i±2 = 1/36), который
элементарными преобразованиями приводится к виду (9), где значения θ3, θ5, µ4 равны
прежним значениям соответствующих параметров, а µ6 = κh4/36. Приведенные ниже рас-
четы свидетельствуют, что данная численная схема, в сравнении с оригинальной схемой (9),
дает худшие результаты. При κ = 0, когда имеем чисто конвекционный процесс переноса (а
в [8] рассматривался только этот случай), данная схема полностью совпадает с (9). Отметим,
что для аппроксимации производных в (7) (и, соответственно, получения (9)) были исполь-
зованы центрально-разностные формулы (повышенного порядка точности). Выбрав же для
аппроксимации производных в (7) другие разностные соотношения, мы получили бы другие
вычислительные схемы, отличающиеся от (9) и, соответственно, от схем работы [8]. Пото-
му, в этом смысле, подход, использованный и развиваемый в данной работе, предоставляет
бо́льшую свободу действий по сравнению с подходом работы [8].
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №5
Численный пример. Рассмотрим задачу для уравнения (1) с известным анали-
тическим решением u(x, t) = exp
(
−
(x+ 3/5 − (t+ 1))2
4κ(t + 1)
)
/2
√
πκ(t+ 1), λ(t) = 1, κ =
= 10−3 на отрезке [0; 1] (см. [7]). Количество узлов равно 100, все αi = 0. Для оцен-
ки уклонения численного решения ũ от аналитического u используем величину errmax =
= max
i
|ũ(xi, t)− u(xi, t)|. Тогда при t = 0,35 расчет с помощью системы (2) дает errmax ≈
≈ 0,0098, а с помощью (3) — errmax ≈ 0,4653 (как видим, применение сосредоточения резко
увеличивает погрешность). Расчет с помощью системы (10) дает errmax ≈ 0,017, а с помо-
щью системы (9) — errmax ≈ 0,0097, откуда видим, что учет дополнительных разностных
членов ax̄xx̊x̄x,i и ax̄xx̄xx̄x,i в (9) (по сравнению с (10)) значительно увеличивает точность
численного решения. Расчет с помощью соотношений (9), где µ6 положено равным κh4/36,
дает errmax ≈ 0,01. Для интегрирования СОДУ был использован явный адаптивный метод
3-го порядка из работы [10] (с начальным шагом по времени τ = 10−4 и соответствующими
настройками точности).
Разностные схемы. Пусть по временно́й переменной t введена сетка с шагом τ и узла-
ми tn = nτ . Для любой функции c(x, t) обозначим cni ≡ c(xi, tn) (или просто c, когда
ясно, что речь идет о значении в текущем узле (xi, tn) сетки), ĉ ≡ cn+1
i , ct ≡ (ĉ − c)/τ ,
c(σ) ≡ σĉ + (1 − σ)c (см. [9, 7]). От полудискретной аппроксимации (9) можно перейти
к разностной схеме, аппроксимировав ȧi разностью at и использовав взвешенную аппрокси-
мацию для остальных членов:
at + λ(σ)a
(σ)
x̊ = κ(σ)a
(σ)
x̄x + θ
(σ)
3 a
(σ)
x̄x̊x + µ
(σ)
4 a
(σ)
x̄xx̄x + θ
(σ)
5 a
(σ)
x̄xx̊x̄x + µ
(σ)
6 a
(σ)
x̄xx̄xx̄x. (11)
Вместо λ(σ), κ(σ), θ
(σ)
3 , µ
(σ)
4 , θ
(σ)
5 , µ
(σ)
6 можно было бы использовать λ(tn+σ), κ(tn+σ),
θ3(tn+σ), µ4(tn+σ), θ5(tn+σ), µ6(tn+σ), где tn+σ ≡ tn + στ . Исследуем вопрос устойчивос-
ти схемы (11) (об устойчивости схем (10) см. [7]). Для упрощения выкладок предположим
(см. [9, 7]), что область по пространственной переменной x неограничена, сеточные функ-
ции финитны [9], а коэффициенты схемы (11) “заморожены” по пространству (не зависи-
мы от xi). Для произвольных сеточных функций y и v введем скалярное произведение
(y, v) =
∑
i
yivih и норму ‖y‖ =
√
(y, y). Докажем теорему, что предоставляет достаточные
условия для строгой равномерной устойчивости [9] схемы (11) в норме ‖ · ‖ по начальному
условию.
Теорема. Если σ > 1/2, κ(σ) > 0, µ
(σ)
4 6 0, µ
(σ)
6 > 0, а λ(σ), θ
(σ)
3 и θ
(σ)
5 могут принимать
произвольные действительные значения, то для решения схемы (11) справедливо ‖â‖ 6
6 ‖a‖.
Доказательство. Умножим скалярно уравнение (11) на a(σ). Представляя a(σ) в виде
a(1/2) + (σ − 1/2)τat и учитывая, что (at, a
(1/2)) = (‖â‖2 − ‖a‖2)/2τ , получаем (at, a
(σ)) =
= (‖â‖2 − ‖a‖2)/2τ + (σ − 1/2)τ‖at‖
2. В дальнейшем будем использовать разностные ана-
логи формул интегрирования по частям и формул Грина [9]: (yx̄, v) = −(y, vx), (yx, v) =
= −(y, vx̄), (yx̄x, v) = (y, vx̄x). Тогда для выражения (a
(σ)
x̊ , a(σ)) имеем (кососимметричность
оператора центральной разности) (a
(σ)
x̊ , a(σ)) = ((a(σ)x , a(σ)) + (a
(σ)
x̄ , a(σ)))/2 = ((a(σ)x , a(σ)) −
− (a(σ), a(σ)x ))/2 = 0. Аналогично, (a
(σ)
x̄x̊x, a
(σ)) = −(a
(σ)
x̄x̊ , a
(σ)
x̄ ) = 0 и (a
(σ)
x̄xx̊x̄x, a
(σ)) =
= (a
(σ)
x̄xx̊, a
(σ)
x̄x ) = 0. Далее, (a
(σ)
x̄x , a
(σ)) = −(a
(σ)
x̄ , a
(σ)
x̄ ) = −‖a
(σ)
x̄ ‖2. Аналогично, для 4-й раз-
ностной производной получаем выражение (a
(σ)
x̄xx̄x, a
(σ)) = (a
(σ)
x̄x , a
(σ)
x̄x ) = ‖a
(σ)
x̄x ‖
2. И, наконец,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №5 43
(a
(σ)
x̄xx̄xx̄x, a
(σ)) = (a
(σ)
x̄xx̄x, a
(σ)
x̄x ) = −(a
(σ)
x̄xx̄, a
(σ)
x̄xx̄) = −‖a
(σ)
x̄xx̄‖
2. В результате всех этих преобразо-
ваний получаем энергетическое тождество
(‖â‖2 − ‖a‖2)/2τ + (σ − 1/2)τ‖at‖
2 + κ(σ)‖a
(σ)
x̄ ‖2 − µ
(σ)
4 ‖a
(σ)
x̄x ‖
2 + µ
(σ)
6 ‖a
(σ)
x̄xx̄‖
2 = 0,
из которого, в силу условий теоремы, вытекает неравенство ‖â‖−‖a‖ 6 0. Теорема доказана.
1. Finlayson B.A. Numerical methods for problems with moving fronts. – Seattle; Washington: Ravenna Park
Publ., 1992. – 613 p.
2. Roos H.-G., Stynes M., Tobiska L. Robust numerical methods for singularly perturbed differential equa-
tions. – Berlin: Springer-Verlag, 2008. – 604 p.
3. Сирик С. В., Сальников Н.Н. Численное интегрирование уравнения Бюргерса методом Петрова–
Галеркина с адаптивными весовыми функциями // Пробл. управления и информатики. – 2012. –
№ 1. – С. 94–110.
4. Zienkiewicz O. Z., Taylor R. L. The finite element method. Vol. 1: The basis. – Oxford: Butterworth-
Heinemann, 2000. – 690 p.
5. Hansbo P. Aspects of conservation in finite element flow computations // Comput. Methods Appl. Mech.
Engrg. – 1994. – 117. – P. 423–437.
6. Wendland E., Schulz H. E. Numerical experiments on mass lumping for the advection-diffusion equation //
Revista Minerva. – 2005. – 2, No 2. – P. 227–233.
7. Сирик С. В. Анализ применения сосредоточенных аппроксимаций в методе конечных элементов при
решении задач конвекции-диффузии // Кибернетика и систем. анализ. – 2013. – № 5. – С. 152–163.
8. Guermond J.-L., Pasquetti R. A correction technique for the dispersive effects of mass lumping for transport
problems // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. – 2013. – 253. – P. 186–198.
9. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики: Изд. 5-е. –
Москва: Либроком, 2009. – 424 с.
10. Скворцов Л.М. Простые явные методы численного решения жестких обыкновенных дифференци-
альных уравнений // Вычислит. методы и программирование. – 2008. – 9. – С. 154–162.
Поступило в редакцию 09.01.2013НТУ Украины “Киевский политехнический институт”
Институт космических исследований НАН
и ГКА Украины, Киев
С.В. Сiрик, М.М. Сальнiков
Про застосування зосередження в методi скiнченних елементiв
Петрова–Гальоркiна при розв’язаннi задач конвекцiї-дифузiї
Розглянуто питання протидiї дисперсiйним та дисипативним ефектам, що виникають
пiсля застосування зосередження в скiнченноелементному методi Петрова–Гальоркiна при
розв’язаннi задач конвекцiї-дифузiї. Узагальнено деякi результати в данiй областi, отрима-
нi ранiше, та проведено порiвняння з iншими iснуючими пiдходами. Теоретичнi результати
дослiдження пiдтверджуються розрахунковими даними.
S.V. Siryk, N.N. Salnikov
On the application of mass lumping in the Petrov–Galerkin finite
element method for convection-diffusion problems
We address the topics of overcoming the dispersive and dissipative effects that arise after the
application of mass lumping in the finite-element Petrov–Galerkin method for convection-diffusion
problems. A generalization of some earlier results in this field is carried out, as well as the compari-
son with other existing approaches. The test calculations confirm the theoretical results obtained.
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87699 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:53:37Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сирик, С.В. Сальников, Н.Н. 2015-10-23T19:08:05Z 2015-10-23T19:08:05Z 2014 О применении сосредоточения в методе конечных элементов Петрова–Галеркина при решении задач конвекции-диффузии / С.В. Сирик, Н.Н. Сальников // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 5. — С. 39-44. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87699 519.63;004.75 Рассмотрены вопросы противодействия дисперсионным и диссипативным эффектам,
 возникающим после применения сосредоточения в конечноэлементном методе Петрова–Галеркина при решении задач конвекции-диффузии. Обобщены некоторые результаты
 в данной области, полученные ранее, и проведено сравнение с другими существующими подходами. Теоретические результаты исследования подтверждаются расчетными данными. Розглянуто питання протидiї дисперсiйним та дисипативним ефектам, що виникають
 пiсля застосування зосередження в скiнченноелементному методi Петрова–Гальоркiна при
 розв’язаннi задач конвекцiї-дифузiї. Узагальнено деякi результати в данiй областi, отриманi ранiше, та проведено порiвняння з iншими iснуючими пiдходами. Теоретичнi результати
 дослiдження пiдтверджуються розрахунковими даними. We address the topics of overcoming the dispersive and dissipative effects that arise after the
 application of mass lumping in the finite-element Petrov–Galerkin method for convection-diffusion
 problems. A generalization of some earlier results in this field is carried out, as well as the comparison with other existing approaches. The test calculations confirm the theoretical results obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика О применении сосредоточения в методе конечных элементов Петрова–Галеркина при решении задач конвекции-диффузии Про застосування зосередження в методi скiнченних елементiв Петрова–Гальоркiна при розв’язаннi задач конвекцiї-дифузiї On the application of mass lumping in the Petrov–Galerkin finite element method for convection-diffusion problems Article published earlier |
| spellingShingle | О применении сосредоточения в методе конечных элементов Петрова–Галеркина при решении задач конвекции-диффузии Сирик, С.В. Сальников, Н.Н. Інформатика та кібернетика |
| title | О применении сосредоточения в методе конечных элементов Петрова–Галеркина при решении задач конвекции-диффузии |
| title_alt | Про застосування зосередження в методi скiнченних елементiв Петрова–Гальоркiна при розв’язаннi задач конвекцiї-дифузiї On the application of mass lumping in the Petrov–Galerkin finite element method for convection-diffusion problems |
| title_full | О применении сосредоточения в методе конечных элементов Петрова–Галеркина при решении задач конвекции-диффузии |
| title_fullStr | О применении сосредоточения в методе конечных элементов Петрова–Галеркина при решении задач конвекции-диффузии |
| title_full_unstemmed | О применении сосредоточения в методе конечных элементов Петрова–Галеркина при решении задач конвекции-диффузии |
| title_short | О применении сосредоточения в методе конечных элементов Петрова–Галеркина при решении задач конвекции-диффузии |
| title_sort | о применении сосредоточения в методе конечных элементов петрова–галеркина при решении задач конвекции-диффузии |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87699 |
| work_keys_str_mv | AT siriksv oprimeneniisosredotočeniâvmetodekonečnyhélementovpetrovagalerkinaprirešeniizadačkonvekciidiffuzii AT salʹnikovnn oprimeneniisosredotočeniâvmetodekonečnyhélementovpetrovagalerkinaprirešeniizadačkonvekciidiffuzii AT siriksv prozastosuvannâzoseredžennâvmetodiskinčennihelementivpetrovagalʹorkinaprirozvâzannizadačkonvekciídifuzií AT salʹnikovnn prozastosuvannâzoseredžennâvmetodiskinčennihelementivpetrovagalʹorkinaprirozvâzannizadačkonvekciídifuzií AT siriksv ontheapplicationofmasslumpinginthepetrovgalerkinfiniteelementmethodforconvectiondiffusionproblems AT salʹnikovnn ontheapplicationofmasslumpinginthepetrovgalerkinfiniteelementmethodforconvectiondiffusionproblems |