Нестационарная нагрузка на поверхности упругого полупространства
Рассматривается осесимметричная задача определения напряженно-деформированного состояния упругого полупространства, на границе которого действует нестационарное нормальное напряжение. Решение задачи строится с применением интегральных преобразований Лапласа и Бесселя. Выполнено совместное обращени...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87702 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нестационарная нагрузка на поверхности упругого полупространства / В.Д. Кубенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 5. — С. 58-64. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859624341873885184 |
|---|---|
| author | Кубенко, В.Д. |
| author_facet | Кубенко, В.Д. |
| citation_txt | Нестационарная нагрузка на поверхности упругого полупространства / В.Д. Кубенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 5. — С. 58-64. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Рассматривается осесимметричная задача определения напряженно-деформированного
состояния упругого полупространства, на границе которого действует нестационарное нормальное напряжение. Решение задачи строится с применением интегральных
преобразований Лапласа и Бесселя. Выполнено совместное обращение интегральных преобразований. Как результат, получено точное решение задачи и определено напряжение
и перемещение вдоль оси симметрии задачи. Приведен пример числовых расчетов.
Розглядається вiсесиметрична задача визначення напруженого стану пружного пiвпростору, на границi якого дiє нестацiонарне нормальне напруження. Розв’язок задачi будується
iз застосуванням iнтегральних перетвореь Лапласа i Бесселя. Виконано спiльне обернення
iнтегральних перетворень. Як результат, одержано точний розв’язок задачi i визначено
напруження i перемiщення вздовж осi симетрiї задачi. Наведено приклад числового розрахунку.
A nonstationary stress is applied to the surface of an elastic half-space. It is necessary to built
a solution of the transient boundary problem and to determine the stress-strain state of the halfspace. The solution is realized with help of the Laplace and Fourier integral transformations. The
coupled inversion of the integral transforms is realized. As a result, the exact solution for a stress
and a displacement along the axis of symmetry of the problem is determined. Numerical examples
are given.
|
| first_indexed | 2025-11-29T08:46:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 532.528
Академик НАН Украины В.Д. Кубенко
Нестационарная нагрузка на поверхности упругого
полупространства
Рассматривается осесимметричная задача определения напряженно-деформированного
состояния упругого полупространства, на границе которого действует нестационар-
ное нормальное напряжение. Решение задачи строится с применением интегральных
преобразований Лапласа и Бесселя. Выполнено совместное обращение интегральных пре-
образований. Как результат, получено точное решение задачи и определено напряжение
и перемещение вдоль оси симметрии задачи. Приведен пример числовых расчетов.
Формулировка задачи. Рассматривается упругое полупространство, к поверхности кото-
рого приложена нестационарния нагрузка. Имеет место осевая симметрия задачи, поэтому
полупространство отнесено к цилиндрической системе координат Orz, выбранной таким
образом, что ось Oz, являющаяся осью симметрии, направлена вглубь полупространства,
ось Or — вдоль его поверхности (рис. 1).
Нестационарная нагрузка в виде нормального напряжения возникает в некоторый на-
чальный момент времени t = 0 и в общем случае является функцией времени и координа-
ты r. Физические свойства материала среды описываются при помощи упругих постоян-
ных — модуля всестороннего сжатия K, модуля сдвига µ и плотности γ. Введем в рассмот-
рение также некоторую “акустическую” среду с параметрами E, γ и µ = 0, где E — модуль
Юнга. Через c0 обозначим скорость звука в акустической среде. Таким образом, скорости
распространения волн определяются формулами cp = ((K + 4/3µ)/γ)1/2; cs = (µ/γ)1/2;
c0 = (E/γ)1/2.
Вводятся безразмерные переменные и обозначения:
r =
r
R
, z =
z
R
, σij =
σij
E
(i, j = r, z), ui =
ui
R
,
t =
c0t
R
, β =
cs
c0
, α =
cp
c0
.
(1)
Здесь R — некоторый характерный линейный размер; ui — проекции вектора упругих пе-
ремещений; σij — компоненты тензора напряжений. Ниже (если не будет оговорено иное)
будут использоваться только безразмерные обозначения, поэтому черту над ними опускаем.
Рис. 1. Система координат
© В. Д. Кубенко, 2014
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №5
Движение упругой среды в осесимметричном случае описывается двумя скалярными
волновыми потенциалами Φ и Ψ, удовлетворяющими уравнениям [2]
∆Φ =
1
α2
∂2Φ
∂t2
; ∆Ψ =
1
β2
∂2Ψ
∂t2
; ∆ ≡ ∂2
∂r2
+
1
r
∂
∂r
+
∂2
∂z2
. (2)
Физические величины (перемещения, напряжения) выражаются через потенциалы Φ и Ψ
следующим образом:
ur =
∂Φ
∂r
+
∂2Ψ
∂r∂z
; uz =
∂Φ
∂z
− ∂2Ψ
∂r2
− 1
r
∂Ψ
∂r
;
σzz =
(
1− 2
β2
α2
)
∂2Φ
∂t2
+ 2β2
(
∂2Φ
∂z2
− ∂3Ψ
∂r2∂z
− 1
r
∂2Ψ
∂r∂z
)
;
σrr =
(
1− 2
β2
α2
)
∂2Φ
∂t2
+ 2β2
(
∂2Φ
∂r2
+
∂3Ψ
∂r2∂z
)
;
σrz = 2β2 ∂
∂r
(
∂Φ
∂z
+
∂2Ψ
∂z2
− 1
2β2
∂2Ψ
∂t2
)
.
Граничные условия на поверхности z = 0 состоят в задании нормального напряже-
ния σzz и отсутствии касательного напряжения
σzz|z=0 = Q(t, r),
σzr|z=0 = 0, r > 0.
(3)
Здесь Q(t, r) — заданная функция. Начальные условия для потенциалов Φ и Ψ являются
нулевыми
Φ|t=0 = Φ̇|t=0 = Ψ|t=0 = Ψ̇|t=0 = 0, (4)
на бесконечности волновые возмущения затухают.
Общее решение. Решение задачи (1)–(4) получим при помощи интегральных пре-
образований Лапласа по времени t с параметром s и преобразования Бесселя (Ханкеля)
порядка 0 по r с параметром ξ [6]. В частности,
fL(s) = L{f(t)} =
∞
∫
0
e−stf(t) dt; f(t) = L−1{fL(s)} =
1
2π
δ+i∞
∫
δ−i∞
etsfL(p) dp;
fB(ξ) = B{f(r)} =
∞
∫
0
f(r)rJ0(rξ) dξ; f(r) = B−1{fB(ξ)} =
∞
∫
0
fB(ξ)ξJ0(rξ) dξ.
(5)
Здесь через L и B, cоответственно, обозначены операторы интегральных преобразований
Лапласа и Бесселя; L−1, B−1 — операторы обращения, изображение функции обозначается
соответствующим верхним индексом; Jm — цилиндрическая функция Бесселя индекса m [3].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №5 59
В пространстве изображений по Лапласу и Бесселю получим следующую граничную задачу
(в которой начальные условия уже реализованы):
∂2ΦLB
∂z2
−
(
s2
α2
+ ξ2
)
ΦLB = 0,
∂2ΨLB
∂z2
−
(
s2
β2
+ ξ2
)
ΨLB = 0,
(
1− 2
β2
α2
)
s2ΦLB + 2β2
[
∂2ΦLB
∂z2
+ ξ2
∂
∂z
ΨLB
]
= QLB(s, ξ), z = 0,
∂ΦLB
∂z
+
∂2ΨLB
∂z2
− s2
2β2
ΨLB = 0, z = 0,
ΦLB → 0, ΨLB → 0, z → ∞.
(6)
Общее решение волновых уравнений, затухающее при z → ∞, имеет вид
ΦLB = Ae−
z
α
√
s2+α2ξ2 ; ΨLB = Be−
z
β
√
s2+β2ξ2 . (7)
Определяя произвольные постоянные A, B из граничных условий, будем иметь выражение
для изображения нормального напряжения
σLB
zz (s, ξ, z) = QLB(s, ξ)×
×
(s2 + 2β2ξ2)2e−
z
α
√
s2+α2ξ2 − 4
β3
α
ξ2
√
s2 + α2ξ2
√
s2 + β2ξ2e−
z
β
√
s2+β2ξ2
(s2 + 2β2ξ2)2 − 4
β3
α
ξ2
√
s2 + α2ξ2
√
s2 + β2ξ2
. (8)
Перемещение uz и напряжение сдвига σrz в изображениях имеют вид
uLBz = −QLB(s, ξ)
1
α
√
s2 + α2ξ2
[
(s2 + 2β2ξ2)e−
z
α
√
s2+α2ξ2 − 2β2ξ2e
−
z
β
√
s2+β2ξ2
]
(2β2ξ2 + s2)2 − 4
β
α
3
ξ2
√
s2 + α2ξ2
√
s2 + β2ξ2
, (9)
σLB
rz = −QLB(s, ξ)
1
α
(s2 + 2β2ξ2)
√
s2 + α2ξ2
(
e−
z
α
√
s2+α2ξ2 − e
−
z
β
√
s2+β2ξ2
)
(2β2ξ2 + s2)2 − 4
β3
α
ξ2
√
s2 + α2ξ2
√
s2 + β2ξ2
. (10)
Обращение интегральных преобразований. Обратим внимание на то обстоятельст-
во, что дробь в выражениях (8)–(10) является однородной функцией параметров преобра-
зований s и ξ. Это позволяет надеяться, что для некоторых внешних воздействий, которые
задают функцию QLB(s, ξ), можно получить аналитическое выражение для σzz, σ
LB
rz , uLBz
на основе метода Каньяра [4, 5] совместного обращения интегральных преобразований.
Методика обращения зависит от свойств функции Q(r, t), поэтому ее необходимо кон-
кретизовать. В рамках данной публикации ограничимся нагрузкой следующего вида:
Q(t, x) = Q0H(kt− r), (11)
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №5
где H(t) — единичная функция Хевисайда: H(t) =
{
1, t > 0;
0, t < 0
. Функция (11) задает
внезапно возникающее и распространяющееся с постоянной скоростью по поверхности по-
лупространства напряжение.
Нетрудно определить преобразование Лапласа и Бесселя этой функции
QL
zz(r, s) = Q0
1
s
e−s r
k ; QLB
zz (s, ξ) = Q0
k2
(s2 + ξ2k2)
3
2
. (12)
Тогда, например, из (8) получим
σLB
zz (s, ξ, z) = Q0
k2
(s2 + ξ2k2)
3
2
×
×
(s2 + 2β2ξ2)2e−
z
α
√
s2+α2ξ2 − 4
β3
α
ξ2
√
s2 + α2ξ2
√
s2 + β2ξ2e−
z
β
√
s2+β2ξ2
(s2 + 2β2ξ2)2 − 4
β3
α
ξ2
√
s2 + α2ξ2
√
s2 + β2ξ2
.
Запишем инверсию преобразования Бесселя на оси z, т. е. при r = 0
σL
zz(s, z) = Q0
∞
∫
0
k2
(s2 + ξ2k2)
3
2
×
×
[
(s2 + 2β2ξ2)2e−
z
α
√
s2+α2ξ2 − 4
β3
α
ξ2
√
s2 + α2ξ2
√
s2 + β2ξ2e−
z
β
√
s2+β2ξ2
]
(s2 + 2β2ξ2)2 − 4
β3
α
ξ2
√
s2 + α2ξ2
√
s2 + β2ξ2
ξdξ
и сделаем замену переменного ξ = sη, dξ = sdη, предполагая s вещественным. Будем иметь
σL
zz(s, z) = Q0
1
s
∞
∫
0
k2
(1 + η2k2)
3
2
×
×
[
(1 + 2β2η2)2e−s z
α
√
1+α2η2 − 4β3
α η2
√
1 + α2η2
√
1 + β2η2e−s z
β
√
1+β2η2
]
(1 + 2β2η2)2 − 4β3
α η2
√
1 + α2η2
√
1 + β2η2
ηdη. (13)
Перепишем (13) в виде суммы двух интегралов
σL
zz(s, z) = Q0
1
s
[RL
1 (z, s) +RL
2 (z, s)] = Q0
1
s
[ ∞
∫
0
RL
1 (s, z, η)dη +
∞
∫
0
RL
2 (s, z, η)dη
]
,
RL
1 (s, z, η) = e−s z
α
√
1+α2η2 k2
(1 + η2k2)
3
2
(1 + 2β2η2)2
(1 + 2β2η2)2 − 4
β3
α
η2
√
1 + α2η2
√
1 + β2η2
η, (14)
RL
2 (s, z, η) = −4
β3
α
e
−s z
β
√
1+β2η2 k2
(1 + η2k2)
3
2
η2
√
1 + α2η2
√
1 + β2η2
(1+2β2η2)2−4
β3
α
η2
√
1+α2η2
√
1+β2η2
η.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №5 61
В выражении (14) сделаем следующие замены переменного:
для RL
1 (s, z, η) :
z
α
√
1 + α2η2 = t;
для RL
2 (s, z, η) :
z
β
√
1 + β2η2 = t.
Тогда получим
RL
1 (s, z) =
∞
∫
z
α
e−stR(1)
zz (t, z) dt;
R1(t, z) =
α3k2[α2z2 + 2β2A(t, z)]2tz
[α2z2+k2A(t, z)]
3
2 ([α2z2+2β2A(t, z)]2−4αβ3tA(t, z)
√
α2z2+β2A(t, z))
,
RL
2 (s, z) =
∞
∫
z
β
e−stR(2)
zz (t, z) dt;
R2(z, t) = 4
β4k2
α
B(t, z)
√
β2z2 + α2B(t, z)t2z
[β2z2 + k2B(t, z)]
3
2 [(2β2t2 − z2)2 − 4
β
α
tB(t, z)
√
β2z2 + α2B(t, z)]
,
A(t, z) = α2t2 − z2; B(t, z) = β2t2 − z2.
(15)
Интегральные операторы в (15) есть операторы преобразования Лапласа, следователь-
но, оригиналами RL
1 (s, z) и RL
2 (s, z) есть, соответственно, H(t− z/α)R1(t, z) и H(t− z/β)×
× R2(z, t).
Окончательно, учитывая множитель 1/s в выражении (14), будем иметь следующее
аналитическое выражение для нормального напряжения σzz(t, z) на оси симметрии задачи:
σzz(t, z) = Q0
[
H
(
t− z
α
)
t
∫
z
α
R1(τ, z) dτ −H
(
t− z
β
)
t
∫
z
β
R2(τ, z) dτ
]
. (16)
Выражения для остальных напряжений и перемещений получаются аналогично.
Числовые результаты. Приведем некоторые числовые результаты, в частности, для
напряжения σzz. При вычислениях были выбраны следующие значения параметров мате-
риала упругого полупространства: α = 1,28, β = 0,69, кроме того, параметр нагрузки
Q0 = 1.
На рис. 2, а, б скорость расширения нагрузки такова, что k = k/α = 1.
На рис. 2, а представлено распределение напряжения вдоль оси z в фиксированные
моменты времени:
1 — t = 1,0; 2 — t = 5,0; 3 — t = 10,0; 4 — t = 15,0.
Можно видеть, что напряжение, оставаясь равным единице на поверхности полупрост-
ранства, с течением времени и с ростом расстояния от граничной поверхности изменяет
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №5
Рис. 2. Напряжение σzz при k = 1
Рис. 3. Напряжение σzz при различных k
профиль таким образом, что его крутизна уменьшается. При этом увеличивается зона,
в которой значение напряжения близко к значению на границе. Рис. 2, б иллюстрирует
развитие напряжения во времени в нескольких точках оси z:
1 — z = 1,0; 2 — z = 2,0; 3 — z = 5,0; 4 — z = 10,0.
С ростом z нарастание напряжения в рассматриваемой точке становится все менее резким,
а время достижения значения, близкого к значению на границе, увеличивается.
Рис. 3, а, б построены для нескольких значений безразмерного параметра k: 1 — k = 0,1;
2 — k = 1,0; 3 — k = 5,0; 4 — k = 10,0. При этом рис. 3, а показывает напряжение σzz как
функцию z в момент времени t = 1,5, рис. 3, б — как функцию t в точке z = 0,5).
Как следует из графиков, характер изменения напряжения существенно зависит от ско-
рости распространения нагрузки. С уменьшением параметра k градиент роста напряжения
уменьшается. Наблюдаемый на рис. 3, а, б (кривые 3, 4 ) излом отвечает фронту порож-
денной сдвиговой волны и имеет место только при движении нагрузки по поверхности
полупространства с опережением фронта волны расширения.
Укажем, что решение аналогичной плоской задачи изложено в работе [7].
1. Снеддон И.Н., Берри Д.С. Классическая теория упругости. – Москва: ГИФМЛ, 1961. – 220 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №5 63
2. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – Киев: Наук. думка, 1978. –
308 с.
3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований в 2-х т. Т. 1. Преобразования Фурье,
Лапласа, Меллина. – Москва: Наука, ГИФМЛ, 1969. – 344 с.
4. Cagniard L. Reflexion et Refraction des Ondes Seismiques Progressives. – Paris: Gauthier-Villars, 1939. –
255 p.
5. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. – Ленинград: Судостроение, 1972. – 374 с.
6. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. – Москва:
ГИФМЛ, 1961. – 524 с.
7. Кубенко В.Д. Нестационарная нагрузка на поверхности упругой полуплоскости // Доп. НАН Украї-
ни. – 2011. – № 10. – С. 67–71.
Поступило в редакцию 25.11.2013Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Академiк НАН України В.Д. Кубенко
Нестацiонарне навантаження на поверхнi пружного пiвпростору
Розглядається вiсесиметрична задача визначення напруженого стану пружного пiвпросто-
ру, на границi якого дiє нестацiонарне нормальне напруження. Розв’язок задачi будується
iз застосуванням iнтегральних перетвореь Лапласа i Бесселя. Виконано спiльне обернення
iнтегральних перетворень. Як результат, одержано точний розв’язок задачi i визначено
напруження i перемiщення вздовж осi симетрiї задачi. Наведено приклад числового розра-
хунку.
Academician of the NAS of Ukraine V.D. Kubenko
Nonstationary loading at the elastic half-space surface
A nonstationary stress is applied to the surface of an elastic half-space. It is necessary to built
a solution of the transient boundary problem and to determine the stress-strain state of the half-
space. The solution is realized with help of the Laplace and Fourier integral transformations. The
coupled inversion of the integral transforms is realized. As a result, the exact solution for a stress
and a displacement along the axis of symmetry of the problem is determined. Numerical examples
are given.
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87702 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-29T08:46:40Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кубенко, В.Д. 2015-10-23T19:08:49Z 2015-10-23T19:08:49Z 2014 Нестационарная нагрузка на поверхности упругого полупространства / В.Д. Кубенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 5. — С. 58-64. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87702 532.528 Рассматривается осесимметричная задача определения напряженно-деформированного состояния упругого полупространства, на границе которого действует нестационарное нормальное напряжение. Решение задачи строится с применением интегральных преобразований Лапласа и Бесселя. Выполнено совместное обращение интегральных преобразований. Как результат, получено точное решение задачи и определено напряжение и перемещение вдоль оси симметрии задачи. Приведен пример числовых расчетов. Розглядається вiсесиметрична задача визначення напруженого стану пружного пiвпростору, на границi якого дiє нестацiонарне нормальне напруження. Розв’язок задачi будується iз застосуванням iнтегральних перетвореь Лапласа i Бесселя. Виконано спiльне обернення iнтегральних перетворень. Як результат, одержано точний розв’язок задачi i визначено напруження i перемiщення вздовж осi симетрiї задачi. Наведено приклад числового розрахунку. A nonstationary stress is applied to the surface of an elastic half-space. It is necessary to built a solution of the transient boundary problem and to determine the stress-strain state of the halfspace. The solution is realized with help of the Laplace and Fourier integral transformations. The coupled inversion of the integral transforms is realized. As a result, the exact solution for a stress and a displacement along the axis of symmetry of the problem is determined. Numerical examples are given. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка Нестационарная нагрузка на поверхности упругого полупространства Нестацiонарне навантаження на поверхнi пружного пiвпростору Nonstationary loading at the elastic half-space surface Article published earlier |
| spellingShingle | Нестационарная нагрузка на поверхности упругого полупространства Кубенко, В.Д. Механіка |
| title | Нестационарная нагрузка на поверхности упругого полупространства |
| title_alt | Нестацiонарне навантаження на поверхнi пружного пiвпростору Nonstationary loading at the elastic half-space surface |
| title_full | Нестационарная нагрузка на поверхности упругого полупространства |
| title_fullStr | Нестационарная нагрузка на поверхности упругого полупространства |
| title_full_unstemmed | Нестационарная нагрузка на поверхности упругого полупространства |
| title_short | Нестационарная нагрузка на поверхности упругого полупространства |
| title_sort | нестационарная нагрузка на поверхности упругого полупространства |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87702 |
| work_keys_str_mv | AT kubenkovd nestacionarnaânagruzkanapoverhnostiuprugogopoluprostranstva AT kubenkovd nestacionarnenavantažennânapoverhnipružnogopivprostoru AT kubenkovd nonstationaryloadingattheelastichalfspacesurface |