Різнорівневі математичні моделі коефіцієнта турбулентної в'язкості

Представлено нові результати математичного моделювання пристінних градієнтних турбулентних зсувних течій на основі єдиного підходу до побудови моделі турбулентної в'язкості. Розглянуто сімейство напівемпіричних моделей, які володіють різними можливостями щодо врахування складності фізичних аспе...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Прикладна гідромеханіка
Дата:	2010
Автори:	Мовчан, В.Т., Шквар, Є.О.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2010
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87725
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Різнорівневі математичні моделі коефіцієнта турбулентної в'язкості / В.Т. Мовчан, Є.О. Шквар // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 1. — С. 55-67. — Бібліогр.: 48 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87725
record_format	dspace
spelling	Мовчан, В.Т. Шквар, Є.О. 2015-10-24T12:25:50Z 2015-10-24T12:25:50Z 2010 Різнорівневі математичні моделі коефіцієнта турбулентної в'язкості / В.Т. Мовчан, Є.О. Шквар // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 1. — С. 55-67. — Бібліогр.: 48 назв. — укр. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87725 532.526 Представлено нові результати математичного моделювання пристінних градієнтних турбулентних зсувних течій на основі єдиного підходу до побудови моделі турбулентної в'язкості. Розглянуто сімейство напівемпіричних моделей, які володіють різними можливостями щодо врахування складності фізичних аспектів динаміки турбулентного руху, але об'єднані єдиним принципом побудови. Наводяться результати наближено-аналітичних і чисельних розрахунків характеристик різних турбулентних примежових шарів. Продемонстровано можливості розробленого єдиного підходу при моделюванні ряду течій, для яких є наявними експериментальні розподіли локальних і інтегральних характеристик. Представлены новые результаты математического моделирования пристенных градиентных турбулентных сдвиговых течений на основе единого подхода к построению модели турбулентной вязкости. Рассмотрено семейство полуэмпирических моделей турбулентности, обладающих различными возможностями по учету сложности физических аспектов динамики турбулентного движения, но объединенных единым принципом построения. Приведены результаты приближенно-аналитических и численных расчетов характеристик различных турбулентных пограничных слоев. Продемонстрированы возможности разработанного единого подхода при моделировании ряда течений, для которых известны экспериментальные распределения локальных и интегральных характеристик. The results of mathematical modelling of wall shear flows on the base of unified approach to turbulebce models constructing are presented. A family of semi-empirical models of turbulence having different possibilities to account a difficulty of physical aspects of turbulent motion dynamics together with common principle of forming is considered. The results of approximate-analytical and numerical predictions for different turbulent boundary layers are illustrated. Possibilities of developed unified approach are demonstrated for modeling of several kinds of flows with known experimental distributions of local and integral characteristics. uk Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Різнорівневі математичні моделі коефіцієнта турбулентної в'язкості Different-level mathematical models of the coefficient of turbulent viscosity Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Різнорівневі математичні моделі коефіцієнта турбулентної в'язкості
spellingShingle	Різнорівневі математичні моделі коефіцієнта турбулентної в'язкості Мовчан, В.Т. Шквар, Є.О.
title_short	Різнорівневі математичні моделі коефіцієнта турбулентної в'язкості
title_full	Різнорівневі математичні моделі коефіцієнта турбулентної в'язкості
title_fullStr	Різнорівневі математичні моделі коефіцієнта турбулентної в'язкості
title_full_unstemmed	Різнорівневі математичні моделі коефіцієнта турбулентної в'язкості
title_sort	різнорівневі математичні моделі коефіцієнта турбулентної в'язкості
author	Мовчан, В.Т. Шквар, Є.О.
author_facet	Мовчан, В.Т. Шквар, Є.О.
publishDate	2010
language	Ukrainian
container_title	Прикладна гідромеханіка
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
format	Article
title_alt	Different-level mathematical models of the coefficient of turbulent viscosity
description	Представлено нові результати математичного моделювання пристінних градієнтних турбулентних зсувних течій на основі єдиного підходу до побудови моделі турбулентної в'язкості. Розглянуто сімейство напівемпіричних моделей, які володіють різними можливостями щодо врахування складності фізичних аспектів динаміки турбулентного руху, але об'єднані єдиним принципом побудови. Наводяться результати наближено-аналітичних і чисельних розрахунків характеристик різних турбулентних примежових шарів. Продемонстровано можливості розробленого єдиного підходу при моделюванні ряду течій, для яких є наявними експериментальні розподіли локальних і інтегральних характеристик. Представлены новые результаты математического моделирования пристенных градиентных турбулентных сдвиговых течений на основе единого подхода к построению модели турбулентной вязкости. Рассмотрено семейство полуэмпирических моделей турбулентности, обладающих различными возможностями по учету сложности физических аспектов динамики турбулентного движения, но объединенных единым принципом построения. Приведены результаты приближенно-аналитических и численных расчетов характеристик различных турбулентных пограничных слоев. Продемонстрированы возможности разработанного единого подхода при моделировании ряда течений, для которых известны экспериментальные распределения локальных и интегральных характеристик. The results of mathematical modelling of wall shear flows on the base of unified approach to turbulebce models constructing are presented. A family of semi-empirical models of turbulence having different possibilities to account a difficulty of physical aspects of turbulent motion dynamics together with common principle of forming is considered. The results of approximate-analytical and numerical predictions for different turbulent boundary layers are illustrated. Possibilities of developed unified approach are demonstrated for modeling of several kinds of flows with known experimental distributions of local and integral characteristics.
issn	1561-9087
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87725
citation_txt	Різнорівневі математичні моделі коефіцієнта турбулентної в'язкості / В.Т. Мовчан, Є.О. Шквар // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 1. — С. 55-67. — Бібліогр.: 48 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT movčanvt ríznorívnevímatematičnímodelíkoefícíêntaturbulentnoívâzkostí AT škvarêo ríznorívnevímatematičnímodelíkoefícíêntaturbulentnoívâzkostí AT movčanvt differentlevelmathematicalmodelsofthecoefficientofturbulentviscosity AT škvarêo differentlevelmathematicalmodelsofthecoefficientofturbulentviscosity
first_indexed	2025-11-26T02:45:27Z
last_indexed	2025-11-26T02:45:27Z
_version_	1850609227463131136
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 55 – 67 УДК 532.526 РIЗНОРIВНЕВI МАТЕМАТИЧНI МОДЕЛI КОЕФIЦIЄНТА ТУРБУЛЕНТНОЇ В’ЯЗКОСТI В. Т. МО ВЧ А Н, Є. О. ШК В А Р Нацiональний авiацiйний унiверситет, Київ Отримано 15.09.2009 Представлено новi результати математичного моделювання пристiнних градiєнтних турбулентних зсувних течiй на основi єдиного пiдходу до побудови моделi турбулентної в’язкостi. Розглянуто сiмейство напiвемпiричних моделей, якi володiють рiзними можливостями щодо врахування складностi фiзичних аспектiв динамiки турбулентного руху, але об’єднанi єдиним принципом побудови. Наводяться результати наближено-аналiтичних i чисельних розрахун- кiв характеристик рiзних турбулентних примежових шарiв. Продемонстровано можливостi розробленого єдиного пiдходу при моделюваннi ряду течiй, для яких є наявними експериментальнi розподiли локальних i iнтегральних характеристик. Представлены новые результаты математического моделирования пристенных градиентных турбулентных сдви- говых течений на основе единого подхода к построению модели турбулентной вязкости. Рассмотрено семейство полуэмпирических моделей турбулентности, обладающих различными возможностями по учету сложности физи- ческих аспектов динамики турбулентного движения, но объединенных единым принципом построения. Приведены результаты приближенно-аналитических и численных расчетов характеристик различных турбулентных пограни- чных слоев. Продемонстрированы возможности разработанного единого подхода при моделировании ряда течений, для которых известны экспериментальные распределения локальных и интегральных характеристик. The results of mathematical modelling of wall shear flows on the base of unified approach to turbulebce models constructing are presented. A family of semi-empirical models of turbulence having different possibilities to account a difficulty of physical aspects of turbulent motion dynamics together with common principle of forming is considered. The results of approximate-analytical and numerical predictions for different turbulent boundary layers are illustrated. Possibilities of developed unified approach are demonstrated for modeling of several kinds of flows with known experimental distributions of local and integral characteristics. ВСТУП Проблема турбулентностi i на сьогоднi залишає- ться не менш гострою, нiж вона була понад сто рокiв тому, коли її вперше вiдмiтив О.Рейнольдс. Серед сучасних пiдходiв до дослiдження турбулен- тностi, незважаючи на iнтенсивний розвиток мето- дiв прямого чисельного моделювання та моделю- вання динамiки великих вихорiв – концепцiя О. Рейнольдса все ще залишається прiоритетом [1, 2]. Незамкненiсть рiвнянь руху в формi Рейнольдса спонукала до подальших значних експерименталь- них та теоретичних дослiджень, якi дозволили ви- явити ряд фундаментальних властивостей та за- кономiрностей турбулентностi, визначальних па- раметрiв та їх взаємозв’язкiв. Результати експе- риментальних дослiджень представляли собою не стiльки рацiональну систему знань, скiльки набiр емпiричних фактiв, якi без достатнього теорети- чного базису не могли бути узагальненi, що спо- нукало до напрацювання напiвемпiричних моде- лей. Першi важливi результати отриманi зa допо- могою напiвемпiричних гiпотетичних моделей ал- гебраїчного рiвня, в яких турбулентне напружен- ня тертя пов’язане з локальними характеристика- ми осередненої течiї. Напiвемпiричнi теорiї своїми витоками зобов’язанi фундаментальним працям Буссiнеска (1877), Тейлора (1915, 1932), Прандтля (1911, 1925) та Кармана (1930). Вони дозволили на основi систематизацiї експериментальних резуль- татiв використати їх для передбачення результа- тiв аналогiчних експериментiв. Оскiльки матема- тичне моделювання напiвемпiричного спрямуван- ня спирається на знання структури течiї, то з’ясу- вання її стало однiєю з центральних проблем ме- ханiки турбулентностi. Спочатку Прандтль запро- понував двозонну (турбулентне ядро – ламiнарний прошарок), а згодом Карман – тризонну (турбу- лентне ядро, буферний i ламiнарний прошарки) схеми. Багаторазовi експериментальнi дослiджен- ня дозволили уточнити структурну схему пристiн- ної турбулентної течiї i на сьогоднi вона представ- ляється складеною з двох областей: 1) внутрiшньої (пристiнної) з трьома пiдобластями – в’язкою, пе- рехiдною i логарифмiчною, та 2) слiдної (зовнi- шньої) з пiдобластю дефекту швидкостi i надшару перемiжностi. Остаточно наведена схема устано- вилася пiсля класичних експериментiв Клаузера стосовно вихрової структури пристiнної течiї. Згi- дно цих дослiджень у пристiннiй областi турбулен- тнiсть - дрiбномасштабна (з короткою пам’яттю), а в зовнiшнiй областi – великомасштабна (з довгою пам’яттю). Затухання збурень у зовнiшнiй областi вiдбувається на вiддалi, яка значно перевищує вiд- c© В.Т.Мовчан, Є.О.Шквар, 2010 55 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 55 – 67 даль у внутрiшнiй областi та дорiвнює декiльком товщинам примежового шару, отже течiя у зовнi- шнiй областi у значнiй мiрi залежить вiд її перед- iсторiї. Вихореутворення рухаються разом з течi- єю i приймають участь у поперечному до неї пере- мiщеннi. Виникнення додаткового турбулентного опору як результат перемiщення вихровими стру- ктурами мас рiдини у поперечному до течiї на- прямку вiдмiтив ще Лоренц. Дрiбномасштабнi ви- хори бiля поверхнi мають розмiри порядку в’язкої пiдобластi, а великомасштабнi вихори зовнiшньої областi – порядку товщини примежового шару. Ве- ликомасштабна турбулентнiсть суттєво залежить вiд геометрiї меж та характеру зовнiшнiх впливiв, тому вона рiзна для рiзних типiв течiй. Дрiбно- масштабна ж практично не залежить вiд вказаних факторiв, але пiд дiєю дифузiї та в’язкої дисипа- цiї кiнетичної енергiї у тепло швидко згасає. Збу- рення переносяться великими вихорами, завдяки яким виникає “ефект пам’ятi”. У процесах перено- су кiлькостi руху, рейнольдсових напружень, кiне- тичної енергiї пульсацiй приймають участь вихо- ри рiзних масштабiв, проте основний внесок нале- жить великим вихорам. Пiд дiєю конвекцiї, гене- рацiї, дифузiї, дисипацiї вихори утворюються, роз- виваються, розпадаються i зникають. Проте вели- кi вихори не тiльки розпадаються на бiльш дрi- бнi, але вони i зростаються у бiльш великi вихо- ри i створюють так званi когерентнi структури – великомасштабнi утворення з випадковими фа- зою та амплiтудою, але з подiбними повторювани- ми коливаннями. Когерентнi структури виявили- ся визначальними у розвитку турбулентного руху. Багаточисельнi експериментальнi дослiдження ви- хрової структури [3–10] дозволяють представити її наступним чином: ланцюжок поздовжних вихорiв, що обертаються попарно у протилежних напрямах та коливаються, щiльно покриваючи усю гладку пластину. Над ними розмiщена зона низькошвид- кiсних острiвцiв коливання, що утворюються мiж двома поздовжними вихорами i рухаються вниз за течiєю. Внаслiдок руйнування острiвцiв коли- вання або згортання їх вздовж країв утворюються вихори, якi розмiщенi пiд невеликим кутом до об- тiчної стiнки, так що вiддаль вiд поверхнi зростає по мiрi просування вниз за течiєю. Цi вихори нази- ваються жгутами. Взаємодiя жгутiв з течiєю над ними вiдбувається у такiй послiдовностi: утворе- ння, пiдйом, раптовi рiзкi коливання та руйнува- ння. Перiод вiд пiдйому до руйнування дуже ма- лий, а тому його називають спалахами або вики- дами. Вважається, що явище спалаху є головним у генерацiї турбулентностi та що воно у значнiй мiрi визначає процес переносу мiж областями i вi- дiграє важливу роль у формуваннi структури усiєї пристiнної течiї. Трохи вище поздовжних вихорiв, що покривають стiнку, розмiщується зона, яка по- стiйно руйнується спалахами i в якiй вiдбуваються дрiбномасштабнi рухи великої енергiї. Одначе вiд- сутнє розумiння, чому реалiзується саме така схе- ма розвитку течiї бiля стiнки. Ще одним елемен- том вихрової структури пристiнної областi є по- перечнi вихори великої енергiї. Утворюються во- ни, напевне, в перехiднiй пiдобластi i заповнюють логарифмiчну пiдобласть. Стосовно природи ви- никнення цих вихорiв вiдомо дуже мало. Вважає- ться, що спалахи утворюють майже 70% рейнольд- сових напружень. У зовнiшнiй областi основними елементами вихрової структури є великомасшта- бнi поперечнi вихори, якi розмiщенi на вiддалi 0.8 товщини примежового шару вiд стiнки. Другим основним елементом зовнiшньої областi є “типо- вi” поперечнi вихори великої енергiї, якi розмiщенi в надшарi перемiжностi. Стосовно природи вини- кнення цих вихорiв вiдомо дуже мало. Механiзм утворення їх частiше за все пов’язують з нестiй- кiстю течiї, яка є результатом наявностi точки пе- регину профiлю швидкостi. Наявнiсть явища пе- ремiжностi приводить до того, що межа примежо- вого шару є нерегулярною у просторi та часi. Для неї характернi ламiнарнi “впадини” та турбулентнi “вздуття” (горби). Правдоподiбною здається гiпо- теза про те, що вздуття бiля межi примежового шару є наслiдком спарювання вихорiв, пов’язаних з двома-чотирма спалахами. Вiдомi результати до- слiдження органiзованих структур у примежових шарах вказують на вiдсутнiсть повного розумiн- ня процесiв переносу. Можна вважати достовiр- ним факт утворення бiльшої частини енергiї тур- булентностi в околi стiнки, але сам механiзм зали- шається незрозумiлим. Неповнота знань стосовно вихрової структури турбулентної течiї не дає мо- жливостi отримати завершене визначення явища турбулентностi. Карман i Тейлор визначали тур- булентнiсть як невпорядкований рух у часi. Хiнце зазначив, що цей рух невпорядкований як у ча- сi, так i у просторi, а також iснує можливiсть ви- вчення турбулентностi статистичними методами. Найбiльш, мабуть, загальне визначення на сього- днi належить Бредшоу: “Турбулентнiсть – це трьо- хвимiрний нестацiонарний рух, в якому внаслi- док розтягування вихорiв вiдбувається неперерв- ний розподiл пульсацiй швидкостi в iнтервалi дов- жин хвиль вiд мiнiмальних, що визначаються в’яз- кими силами, до максимальних, що визначаються межами течiй. Вона є звичайним станом рухомої рiдини, за виключенням течiй, якi характеризу- ються малими числами Рейнольдса”. З урахува- 56 В.Т.Мовчан, Є.О.Шквар ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 55 – 67 нням якiсних дослiджень органiзованих структур Лапiн та Стрiлець [7] запропонували доповнити визначення Бредшоу так: “Це багатомасштабний рух, який в певних частинах спектру носить ко- герентний характер”. Слiд зазначити, що усi наве- денi визначення носять скорiше описовий, нiж ка- нонiчний характер. Хоча на сьогоднi вiдсутнє пов- не описання розтягування вихрових трубок, але воно дає можливiсть зрозумiти, за рахунок чо- го пiдтримується турбулентнiсть. Великомасшта- бнi структури (вихори) поглинають енергiю основ- ної течiї, деформуються, дiляться i шляхом нелi- нiйних взаємодiй здiйснюють передачу енергiї вiд основного руху до дрiбномасштабних структур у пристiннiй областi, де вiдбувається в’язка дисипа- цiя. Отже турбулентний рух може iснувати за ра- хунок енергiї основного потоку, завдячуючи вели- комасштабним структурам. Механiзм розтягу ви- хрових трубок пов’язаний з каскадним процесом передачi енергiї вiд основного руху до великомас- штабних вихорiв, а вiд них – до дрiбномасштабних. Каскадний процес ще в 1922 роцi запропонував Рi- чардсон. Великомасштабнi структури дуже анiзо- тропнi та суттєво залежать вiд меж та характерiв зовнiшнiх впливiв, а тому є рiзними для рiзних потокiв. Характеристики дрiбномасштабних стру- ктур слабкiше залежать вiд iндивiдуальних осо- бливостей течiй. Важливо пiдкреслити, що турбу- лентнi вихори неперервно та постiйно стикаються один з другим, при цьому бiльшi вихори вмiщу- ють у собi вихори менших розмiрiв. Особливо слiд зазначити, що турбулентнiсть на сьогоднi трактує- ться i як вихровий, так i хвильовий процес. Приве- дене досить спрощене уявлення при вихрову стру- ктуру зсувної пристiнної течiї представляє собою досить складну та до кiнця не вивчену картину взаємодiї структурних елементiв. Отже, врахову- ючи сказане, можемо констатувати, що нашi знан- ня про зародження та протiкання турбулентностi значно обмеженi. Тому при вирiшеннi наукових та практичних проблем знайшли широке застосуван- ня напiвемпiричнi феноменологiчнi моделi. Часто iз урахуванням рiзномасштабностi пристiнної та слiдної областей будують окремi залежностi для кожної з них. Це приводить до необхiдностi введе- ння дискретних схем, якi не в змозi урахувати вза- ємодiю суттєво рiзних процесiв переносу кожної з областей. З метою усунення вказаного недолi- ку була запропонована модель коефiцiєнта турбу- лентної в’язкостi, яка враховує особливостi розви- тку турбулентностi в кожнiй з областей, взаємо- дiю суттєво рiзних процесiв у них [25-29, 31, 32, 36]. В данiй роботi наводиться удосконалена мо- дель коефiцiєнта турбулентної в’язкостi, яка за- стосована в розрахунках турбулентних зсувних те- чiй як на алгебраїчному, так i диференцiальному рiвнях. Отримано наближено-аналiтичнi розв’яз- ки, якi дають можливiсть задати початковi умовi в разi вiдсутностi їх у експериментах. 1. БАЗОВА МОДЕЛЬ КОЕФIЦIЄНТА ТУРБУЛЕНТНОЇ В’ЯЗКОСТI Ще в 1973 роцi одним з авторiв [25] було запро- поновано єдину математичну модель коефiцiєнта турбулентної в’язкостi для усiєї зсувної пристiнної течiї: νt = νtwkth νtwl νtwk , (1) де νt – коефiцiєнт турбулентної в’язкостi усього примежового шару; νtwk – коефiцiєнт турбулен- тної в’язкостi слiдної областi; νtwl – коефiцiєнт турбулентної в’язкостi пристiнної областi. З фор- мули (1) витiкає, що бiля стiнки νt ≈ νtwl, а вда- линi νt ≈ νtwk та iснує пiдобласть перекриття, де одночасно працюють i νtwl, i νtwk. У 1985 ро- цi Джонсон i Кiнг [38] запропонували свiй варiант єдиної формули: νt = νtwk [ 1 − exp ( − νtwl νtwk )] . (2) У роботi I. Бєлова, С. Iсаєва [9] модель (1) помил- ково приписана Джонсону i Кiнгу. 2. АЛГЕБРАЇЧНI МОДЕЛI КОЕФIЦIЄНТА ТУРБУЛЕНТНОЇ В’ЯЗКОСТI Пристiнна область. Для пристiнної областi про- понується така удосконалена модель: νtwl = k0Y +νDm, (3) Dm = th sh 2(k1Y +)th [ sh 2 (k2Y +) ] k0Y + , (4) де k0, k1, k2 – модельнi коефiцiєнти; Y + = y+ √ τ+; y+ = y+v∗/ν ; v∗ = √ τw/ρ; τ+ = τ∗/τw; τw – на- пруження тертя на стiнцi, τ∗ – напруження тертя в околi стiнки: τ∗ = τw + y dp dx при dp dx ≥ 0 i τ∗ = τw(1 − y τw dp dx )−1 при dp dx ≤ 0; τ+ = 1 + y+p+ при dp dx ≥ 0 i τ+ = (1 − y+p+) −1 при dp dx ≤ 0; p – тиск; x, y – поздовжня i нормальна коорди- нати; p+ = ν ρv3 ∗ dp dx ; ν – коефiцiєнт кiнематичної в’язкостi; γ – коефiцiєнт перемiжностi: В.Т.Мовчан, Є.О.Шквар 57 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 55 – 67 γ = √ 1 − ȳ при ȳ ≤ 0.8 i γ = (20.153ȳ2 = 13.35ȳ)−1 при ȳ ≥ 0.8; ȳ = y/δ; δ - товщина примежового шару. Множник Dm дає можливiсть врахувати наяв- нiсть в’язкої та перехiдної пiдобластей та взаємо- дiю молекулярного та турбулентного переносiв в околi стiнки. Значну роль у впорядкуваннi та осмислен- нi накопичених фактiв вiдiграв запропонований Прандтлем закон стiнки. Для течiй на пластинi чи в круглiй трубi цей закон записують: u+ = u+(y+). За характернi масштаби довжини було вибрано L = ν/v∗, а за характерний масштаб швидкостi U = v∗. При значних градiєнтах тиску τ вiдчу- тно змiнюється iз змiною координати y бiля стiн- ки. Для врахування цього факту при визначен- нi масштабу швидкостi замiсть τw використаємо τ∗, а за локальну величину довжини L = ν/v∗∗, де v∗∗ = √ τ∗/ρ. Добуток yL−1 = yv∗∗/ν роз- глядається як локальне число Рейнольдса, яке для несприятливого градiєнтa дорiвнює Y + = = yv∗ √ 1 + p+y+/ν , а для сприятливого градiєн- та Y + = yv∗/(ν √ 1 − p+y+). Локальне число Рей- нольдса для x = const, y = const, при несприятли- вому градiєнтi тиску Y + зростає при зростаннi dp dx , а при несприятливому – зменшується. Отже згi- дно структури формул (3), (4) та з урахуванням асимптотичних властивостей гiперболiчного тан- генсу отримуємо, що при зростаннi несприятливо- го градiєнтa тиску товщина пристiнної областi та кожної з її пiдобластей зменшується, а при спри- ятливому – навпаки зростає. Розглянемо спочатку течiю при несприятливо- му градiєнтi тиску. У цьому випадку τ∗ = τw+ +y dp dx . Виконаємо аналiз для граничних випадкiв: A) τw � y dp dx ; Б) τw � y dp dx . Випадок А: τw � y dp dx . Це випадок, коли гра- дiєнт тиску дуже малий або нульовий. Модель (1) у цьому випадку приймає вигляд νtwl = k0y +νDm, Dm = th sh 2(k1y +)th [ sh 2 (k2y +) ] k0y+ . (5) Формула (5) дає змогу отримати наступнi зале- жностi для профiлiв швидкостi [29]: u+ = u v∗ = 1 k1 th (k1y +) (6) – для перехiдної та в’язкої пiдобластей, u+ = 1 k0 ln(y+) + C (7) – для логарифмiчної областi. Випадок Б: τ∗ ≈ y dp dx . Ця умова дозволяє отримати наступнi залежностi для профiлiв швид- костi в кожнiй з пiдобластей вiдповiдно: u+ = 1 2 (y+ p )2, (8) u+ = 2 3k1 [ √ y+ p th ( k1(y + p )3/2 ) − 1 4 k1(y + p )2 ] , (9) u = 2 k0 √ y+ p , (10) де y+ p = yup ν , u+ p = u up , up = √ ν ρ dp dx . Якщо в (9) перейти до границi при y → 0, то отримаємо (8), а це означає, що (9) описує одночасно перехi- дну i в’язку пiдобластi. Формули (8)-(10) свiдчать, що з ростом up вiдбувається перебудова пристiнної областi – вона зменшується, але не зникає зовсiм. Розглянемо загальний випадок, коли слiд врахо- вувати обидва члени: τ∗ та y dp dx . У цьому випадку профiль швидкостi для логарифмiчної пiдобластi приймає вигляд [29]: u+ = 1 k0 [ ln √ 1 + p+y+ + 1 √ 1 + p+y+ − 1 + 2 √ 1 + p+y+ ] + C (11) при p+ ≥ −1. Для перехiдної та в’язкої пiдобла- стей отримуємо u+ = y ∫ 0 (1 + p+y+)dy µch 2(k1y+ √ 1 + p+y+) . (12) У випадку незначного градiєнтa тиску, коли для перехiдної та в’язкої пiдобластей можна наближе- но покласти νt + ν ≈ ν sh 2(k1y +), (13) тодi з (12) отримаємо u+ = 1 + p+y+ k1 th (k1y +) − p+ k2 1 ln [ ch (k1y +) ] . (14) При вiд’ємному градiєнтi тиску для профiлю швидкостi у логарифмiчнiй пiдобластi маємо u+ = 1 k0 ln √ 1 − p+y+ − 1 √ 1 − p+y+ + 1 + C, (15) 58 В.Т.Мовчан, Є.О.Шквар ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 55 – 67 а для в’язкої i перехiдної - u+ = y ∫ 0 dy (1 − p+y+)ch 2 ( k1y+/ √ 1 − p+y+ ) (16) i для в’язкої пiдобластi u+ = ln(1 + (−p+)y+) k0(−p+) . (17) У випадку, коли (−p+y+ � 1), отримуємо для в’язкої перехiдної та логарифмiчної пiдобластей: u+ = ln y+ (−p+) , u+ = y ∫ 0 dy+ (−p+y+)ch 2(k1 √ y+ (−p+) + C, u+ = C − 2 k0 √ (−p+)y+ , отже u+ = u+(y+, p+). При значному зростаннi сприятливого градiєнта тиску (−p+ � 0) отриманi формули адекватно вiд- творюють вiдомий ефект реламiнарiзацiї. Слiдна область. У слiднiй областi найбiльш вживаними моделями для коефiцiєнта турбулен- тної в’язкостi є модель Прандтля-Ескудiєра νtwk = ρ(0.09δ)2 ∂u ∂y (18) та Клаузера νtwk = χγu H δ∗, (19) де u H – швидкiсть течiї за межами примежового шару. Бiльшiсть користувачiв алгебраїчних моде- лей у зовнiшнiй областi використовують формулу (18), а у пристiннiй областi – модель Прандтля- Ван Дрiста νtwk = ρk2 0y 2 [ 1 − exp(−y+) ]2 ∂u ∂y . (20) Для течiї на пластинi та в трубi Карман обґрун- тував закон дефекту швидкостi, який має вигляд: u− = u − u H v∗ = f ( ȳ, ρ, v∗ u H ) . Найбiльш сильнi впливи на розвиток пристiнної зсувної течiї вияв- ляють градiєнти тиску. При цьому несприятливий градiєнт може привести до вiдриву, а сприятливий – до реламiнарiзацiї. Якщо розподiли напружень тертя у примежовому шарi є вiдомими, то, засто- сувавши гiпотезу Бусiнеска, отримаємо формулу для профiлю швидкостi: u(y) − u0(y0) = y ∫ y0 τ µ + µt dy, (21) де y0 – ордината нижньої межi областi (пiдобла- стi). З кiнця 30-х рокiв минулого столiття у часи популярностi iнтегральних методiв широке розпо- всюдження набуло полiномiальне наближення на- пружень тертя. Бурi [43] запропонував використо- вувати полiноми для опису напружень тертя для турбулентних примежових шарiв подiбно до того, як це зробив Польгаузен для профiлiв швидкостi в ламiнарних течiях. Найбiльш повно та вдало для зсувних пристiнних течiй реалiзував полiномiаль- не представлення напружень тертя Федяєвський [43]. У подальшому виявилося, що при значних несприятливих градiєнтах тиску наявнi експери- ментальнi данi погано вiдтворюються розрахунка- ми. Спроба покращити полiномiальнi наближення не увiнчалися успiхом [6]. Полiномiальний пiдхiд був розвинений Гiневським [45] на випадок турбу- лентних вiльних струменiв та слiдiв, а Мовчаном – на випадок пристiнних струменiв [46]. Причина невiдповiдностi полiномiального розподiлу експе- риментам при значних несприятливих градiєнтах тиску – в його однопараметричностi, а тому були запропонованi двопараметричнi наближення для профiлiв напруження тертя τ̄ = τ τw = (1 − ȳ) (A0 + A1ȳ + A2ȳ n) (22) – при невiд’ємному градiєнтi тиску та τ̄ = (1 − ȳ) ( B0 B1 + B2ȳ + B3ȳ n ) (23) – при вiд’ємному. У наведених формулах n – до- вiльне дiйсне число, для знаходження якого вико- ристане означення параметру ∆ [29]. Формули (20) - (22) дозволили отримати для дефекту швидкостi наступнi залежностi: u− = 1 χ∆1 [ ȳ − 1 + 2Φ + 1 4 (ȳ2 − 1) + Φ + 1 5 (ȳ3 − 1)− −(2 + Φ) ( ȳn+1 n + 1 − ȳn+2 2(n + 2) )] (24) при Φ ≥ −1, u− = 1 χ∆1 [ 0.5 + Φ (Φ + 1)2 ln 1 + (Φ + 1)ȳ −Φ + + ȳ − 1 2(Φ + 1) + 1 Φ ( ȳn+1 − 1 n + 1 − ȳn+2 − 1 2(n + 2) )] (25) В.Т.Мовчан, Є.О.Шквар 59 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 55 – 67 при Φ < −1, u− = 1 χ∆1 [ ȳ − 1 + ȳ2 − 1 4 + ȳ3 − 1 6 − −2 ( ȳn+1 n + 1 − ȳn+2 2(n + 2) )] (26) при Φ = 0, де Φ = δ τw dp dx , ∆1 = ∆/δ. З метою узгодження математичної моделi з експеримента- ми при значних змiнах градiєнтiв тиску викона- но тестування розрахункiв за формулами (5), (15), (22), (25) та числових розрахункiв. Висновки пер- шої Стенфордської конференцiї 1968 р. про неефе- ктивнiсть розрахункiв за алгебраїчними моделя- ми при значних несприятливих градiєнтах тиску з можливим вiдривом пiдштовхнуло до уточнень, що дозволили отримати результати, якi адекватно описують фiзичний експеримент. Виконанi дослiд- ження [9, 37] показали, що коефiцiєнти в алгебраї- чних моделях не є постiйними (унiверсальними), а залежать вiд параметрiв градiєнта тиску i малих значень числа Рейнольдса. У роботi одного з ав- торiв [29] наведена уточнена математична модель i результати розрахункiв з значною кiлькiстю екс- периментальних результатiв. Аналiз порiвнянь по- казав цiлком задовiльну збiжнiсть розрахункiв та даних експериментiв. 3. КОМБIНАЦIЯ МОДЕЛI ТУРБУЛЕНТНОЇ В’ЯЗКОСТI З ПIДХОДОМ БОЛДУIНА-ЛОМАКСА У випадку виникнення ускладнень у визначеннi лiнiйних масштабiв, таких як ∆, δ, δ∗, що входять у формули для коефiцiєнта турбулентної в’яз- костi, зручно використовувати пiдхiд Болдуiна- Ломакса. Це позбавляє необхiдностi визначати лi- нiйнi масштаби у процесi вирiшення задачi роз- рахунку шляхом iтерацiй, якi зменшують швид- кiсть збiжностi та ефективнiсть методу, одноча- сно ускладнюючи його. Виконанi розрахунки по стандартнiй моделi Болдуiна-Ломакса та її вико- ристання в межах пiдходу (1) лише у слiднiй обла- стi при порiвняннi з канонiчними експериментами Стенфордської конференцiї 1968 р. демонструють переваги запропонованої комбiнацiї. У останньо- му випадку формула Болдуiна-Ломакса застосо- вується локально для слiдної областi з наступною модифiкацiєю визначальних функцiй: νtwk = χCcpFwkγ, (27) Fwk = min [ y(Fmax) Fmax, Cwk y(Fmax) U2 max Fmax ] , F (y) = y ∣ ∣ ∣ ∣ ∂u ∂y ∣ ∣ ∣ ∣ th sh 2(k1y +)th [ sh 2(k2y +) ] k0y+ √ τ+ , Fmax = max [ F (y) ] , γ = [ 1 + 5, 5 ( CKleb y ymax )6 ] −1 , де Ccp = 1.6, Cwk = 0.25, CKleb = 0.4 – коефiцiєн- ти моделi; ymax – значення координати y в точцi, де функцiя F (y) набуває максимуму, umax – ма- ксимальне значення швидкостi в розрахунковому перерiзi x = const. Слiд зазначити, що при тестуваннi моделi у ви- падку, коли початковi профiлi вiдсутнi, їх можна задати за допомогою отриманих наближень (5), (7), (10)–(12), (23)–(25). Вiдомо, що при зростан- нi несприятливого градiєнта тиску вiдбувається деформацiя закону дефекту швидкостi. Перрi та Шефiлд (1973 р.) з’ясували, що якщо замiнити ди- намiчну швидкiсть v∗ на динамiчну швидкiсть ма- ксимального напруження тертя v∗max = √ τmax ρ , це забезпечить кращу кореляцiю закону дефекту швидкостi. Джонсон та Кiнг (38) використали ди- намiчну максимальну швидкiсть в якостi масшта- бу швидкостi в обох областях. Лапiн, Стрiлець, Гарбарук [40] у слiднiй областi замiсть зовнiшньої швидкостi у формулi Клаузера використали v∗max, для якої вони запропонували емпiричну залеж- нiсть i дiйшли висновку про те, що коефiцiєнти моделi у цьому випадку не залежать нi вiд параме- трiв градiєнтa тиску, нi вiд малих чисел Рейнольд- са. Отже з урахуванням цiєї модифiкацiї форму- ла турбулентної в’язкостi для слiдної областi при- ймає вигляд νtwk = χγv∗maxδ∗, χ = 0.436. (28) Якщо в формулi (28) δ∗ замiнити на δ∗∗, то коефi- цiєнт набуває значення χ = 0.5798, а при замiнi δ∗ на δ цей коефiцiєнт дорiвнюватиме χ = 0.08. 4. УЗАГАЛЬНЕННЯ МОДЕЛI ТУРБУЛЕНТНОЇ В’ЯЗКОСТI НА ПРОСТОРОВИЙ ВИПАДОК При дослiдженнi просторових зсувних течiй уза- гальнюють напiвемпiричнi моделi турбулентної в’язкостi, розробленi для плоских течiй. Введемо у розгляд зв’язану з обтiчною поверхнею декартову систему координат (x1, x2, x3), побудовану так, що вiсь Ox2 перпендикулярна до поверхнi i iдентична y, а осi Ox1 та Ox3 лежать у дотичнiй до поверхнi площинi. Складовi швидкостi у дотичнiй до обтi- чної поверхнi площини позначатимемо вiдповiдно 60 В.Т.Мовчан, Є.О.Шквар ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 55 – 67 u1 та u3. Тодi формула Прандтля для тривимiрних потокiв узагальнена наступним чином [37]: νt = l2 √ ( ∂u1 ∂y )2 + ( ∂u3 ∂y )2 , (29) де коефiцiєнт турбулентної в’язкостi νt розгляда- ється як скалярна величина. При виконаннi уза- гальнень слiд врахувати особливiсть просторової течiї, яка заключається у неiзотропностi турбу- лентної течiї, у результатi чого напрямки векто- рiв дотичних напружень i швидкостi деформацiй не спiвпадають. Позначимо через v∗i = √ τwi/ρ проекцiї динамiчної швидкостi вздовж напрямкiв i = 1, 3, де τwi – проекцiя напружень тертя на поверхнi у напрямку i. Тодi сумарна динамiчна швидкiсть на стiнцi v∗Σ = √ v2 ∗1 + v2 ∗3. Дотичнi напруження тертя в околi поверхнi τ∗i = ρv2 ∗iτ + i , де τ+ i = 1+Φix̄2 при Φi ≥ 0 i τ+ i = 1/(1−Φix̄2) при Φi ≤ 0; x̄2 = x2/δ; Φi = δ τwi ∂p ∂xi , ∂p ∂xi – проекцiя градiєнтa тиску на напрямок Oxi. Для її визначення використаємо формулу ∂p ∂xi = −ρ ( u H1 ∂u HΣ ∂x1 + u H3 ∂u HΣ ∂x3 ) . Масштаб швидкостi у пристiннiй областi визнача- ється так: v∗∗Σ = √ τΣ∗/ρ = √ v2 ∗1τ + 1 + v2 ∗3τ + 3 = = v∗Σ √ ( v∗1 v∗Σ )2 τ+ 1 + ( v∗3 v∗Σ )2 τ+ 3 . Тодi νtwl = k0Y +νDm, Dm = th sh 2(k1Y +)th [ sh 2 (k2Y +) ] k0Y + , (30) де Y + = yv∗Σ/ν . Для врахування анiзотропностi просторової турбулентної течiї використаємо пiд- хiд Ротта [6]: νt 11 = νt u2 1 + Nu2 3 u2 H , νt 33 = νt Nu2 1 + u2 3 u2 H , νt 13 = νt 31 = νt(1 − N) u1u3 u2 H , де N – коефiцiєнт анiзотропiї, який визначається як вiдношення коефiцiєнтiв турбулентної в’язкостi у напрямках вторинної (n) i основної (s) вiдповiд- но. Для турбулентних складових зсувного напру- ження тертя використовуються залежностi: τt 1 = ρ ( νt 11 ∂u1 ∂x2 + νt 13 ∂u3 ∂x2 ) , τt 3 = ρ ( νt 13 ∂u1 ∂x2 + νt 33 ∂u3 ∂x2 ) . Якщо вважати, що τ+ i ≈ 1, то прийдемо до ранi- ше отриманої нами спрощеної моделi [44], яка бу- ла апробована авторами цiєї роботи для широкого кола пристiнних течiй. 5. УРАХУВАННЯ В МОДЕЛI ВПЛИВIВ ШОРСТКОСТI ОБТIЧНОЇ ПОВЕРХНI ТА IНЖЕКЦIЇ ПОЛIМЕРНИХ ДОМIШОК Спроможнiсть моделi турбулентностi до урахува- ння факторiв, що здiйснюють вплив поблизу об- тiчної поверхнi, є її вагомою перевагою при роз- робцi, дослiдженнi ефективностi та оптимiзацiї рi- зноманiтних засобiв керування пристiнними течiя- ми. У межах даної роботи розглянемо вплив лише двох факторiв: шорсткостi обтiчної поверхнi та iн- жекцiї полiмерних домiшок, якi є принципово рi- зними щодо фiзичного механiзму дiї, але спорiдне- ними з точки зору можливостi урахування їхнiх впливiв на коефiцiєнт турбулентної в’язкостi. Для урахування шорсткостi в рамках даної моделi ви- користано пiдхiд, запропонований Ротта [6], згiдно якого турбулiзуючий вплив мiкрорельєфу поверх- нi враховується шляхом додавання до нормальної до поверхнi координати y вiдповiдної функцiї зсу- ву ∆yr. Одним iз авторiв даної роботи було здiйсне- но адаптацiю пiдходу Ротта в модель (3)-(4), що дало змогу на вiдмiну вiд iнших моделей отри- мати наближено-аналiтичнi вирази для профiлiв швидкостi у пристiннiй та логарифмiчнiй обла- стях. Порiвняння отриманих залежностей з роз- подiлом швидкостi для гладкої поверхнi дозволило зв’язати представленi у координатах закону стiн- ки функцiю зсуву ординати ∆y+ r зi зсувом логари- фмiчної дiлянки профiлю швидкостi ∆u+ r насту- пним чином: ∆y+ = { (k1) −1arcth(k1∆u+) при h+ ≤ h∗, h+ exp(−kB(h+) при h+ > h∗, де h – середня висота елементiв шорсткостi, h+ = = hv∗ ν , h∗ = y∗ exp[k(C + 2.89], C = 5.2, y∗ = = 25.36, ∆u+ = 1 k lnh+ − B(h+) + C. Спiвставлення цих розв’язкiв з вiдомими апро- ксимацiями експериментальних даних пiсочної шорсткостi дозволило запропонувати зручну апро- ксимацiю параметра B(h+) логарифмiчного зако- ну для шорсткої поверхнi у виглядi B = C + sth lnh+ ks , В.Т.Мовчан, Є.О.Шквар 61 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 55 – 67 s = 2.98 1 − 87 ( lnh+ 8 )2.03( 1 − lnh+ 8 )8.39 . Для шорсткостi iншої геометрiї, вiдмiнної вiд пi- сочної, вигляд залежностi B(h+) безсумнiвно за- знає змiн, але перевага пiдходу полягає у тому, що потрiбнi модифiкацiї можна ефективно внести, користуючись вiдповiдними дослiджуваному типу шорсткостi експериментальними даними. Струк- тура ж зв’язку мiж ∆y+ r та ∆u+ r у випадку змiни типу шорсткостi залишається незмiнною. Концептуально близькою до цього пiдходу ви- явилася можливiсть врахування впливу iнжекцiї малих концентрацiй домiшок полiмерiв, якi вво- дяться в окiл обтiчної поверхнi з метою модифi- кацiї в’язких властивостей потоку i, як наслiдок, гальмування турбулентних збурень. Вагоме пра- ктичне значення застосування цього впливу поля- гає в реалiзацiї можливостi ефективного гальму- вання опору тертя за рахунок його турбулентної складової. У даному випадку у доповнення до на- веденої вище функцiї зсуву нормальної координа- ти ∆y+ r введено ще одну зсувну функцiю ∆yadd, яка додавалася до y+ наступним чином: y+ = { 0 при s+ ≤ 0, s+ при s+ > 0, де s+ = y+ + ∆y+ r − ∆y+ add. Як i ∆y+ r , дана функцiя ∆yadd отримана на осно- вi наближено-аналiтичних формул для розподiлiв швидкостi у внутрiшнiй областi примежового ша- ру, що були здобутi iз використанням (3), (4), (21). Суттєвою особливiстю є той факт, що функцiя ∆y+ add > 0 описує зсув логарифмiчної дiлянки про- фiлю швидкостi у напiвлогарифмiчних координа- тах у напрямку, протилежному дiї шорсткостi. Ця обставина отримала багаточисельне експеримен- тальне пiдтвердження, але, як i у випадку з шорс- ткiстю, величини зсувiв ∆uadd суттєво залежать вiд виду використаного полiмеру та його концен- трацiї. Тим не менш, як i у випадку моделювання впливу шорсткостi, функцiональний зв’язок мiж ∆yadd та ∆uadd при змiнi типу чи концентрацiї по- лiмерної домiшки змiн не зазнає. Ще однiєю вагомою особливiстю даної реалiза- цiї моделi є притаманна їй можливiсть врахування неоднорiдностi розподiлу концентрацiї та фiзико- хiмiчного складу полiмеру по товщинi зсувної те- чiї, що може бути як наслiдком дифузiї, так i ре- зультатом використання багатофазної iнжекцiї. У випадку iнжекцiї кiлькох складових вважається, що вплив кожної складової визначається за її по- точною концентрацiєю i є адитивним по вiдношен- ню до решти. 6. ПОБУДОВА МОДЕЛI КОЕФIЦIЄНТА ТУРБУЛЕНТНОЇ ТЕПЛОПРОВIДНОСТI При конвективному теплообмiнi температурнi по- ля тiсно пов’язанi з полями швидкостей, тому при дослiдженнi конвективного теплообмiну слiд вра- ховувати визначальну роль динамiчних характе- ристик потоку. Як i для динамiчного примежового шару, так i для теплового у поперечному перети- нi течiї видiляються аналогiчнi областi i пiдобла- стi, в яких структура поля температури та проце- су переносу тепла суттєво рiзняться. Результати дослiджень показують, що розподiл температури суттєво залежить вiд значень числа Прандтля, яке вiдображає теплофiзичнi властивостi рiдин чи га- зiв. При цьому слiд врахувати, що повна аналогiя мiж динамiчними та тепловими характеристика- ми має мiсце тiльки при Pr=1. Отже при Pr ≈ 1 досягається подiбнiсть розподiлiв температури та швидкостi. У цьому випадку товщини динамiчно- го та теплового шарiв рiвнi, а структурнi пiдобла- стi обох шарiв спiвпадають. Для рiдин чи газiв з числом Прандтля, яке суттєво вiдрiзняється вiд одиницi, динамiчний та тепловий примежовi шари розвиваються рiзними темпами, а тому вiдповiднi структурнi пiдобластi не спiвпадають. Так, тепло- вий примежовий шар рiдких металiв, для якого Pr � 1, значно товщий, нiж динамiчний та в ме- жах динамiчного примежового шару перенос те- пла протiкає пiд дiєю молекулярних сил, а турбу- лентний перенос теплоти має мiсце поза межами динамiчного шару. Для в’язких рiдин з Pr � 1 тепловий примежовий шар значно тонший за ди- намiчний, та перенос тепла вiдбувається перева- жно пiд впливом турбулентностi. Для коефiцiєнта турбулентної теплопровiдностi λt по аналогiєю з математичною моделлю коефiцiєнта турбулентної в’язкостi пропонується наступна залежнiсть: λt = λtwkth λtwl λtwk . (31) Для алгебраїчної математичної моделi прийма- ємо: λtwl = kh0Y +λDmh , (32) Dmh = th sh 2(kh1Y +)th [ sh 2 (kh2Y +) ] kh0Y + , λtwk = χh∆hv∗γ. Для врахування особливостей стосовно числа Прандтля, якi були започаткованi Себесi для ко- ефiцiєнта у формулi Ван Дрiста, в рамках даної 62 В.Т.Мовчан, Є.О.Шквар ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 55 – 67 моделi цей пiдхiд був розвинений на її коефiцiєн- ти Шкваром i частково уточнений Л. Маджидом [15, 34, 45, 46]: χh = f(Pr)χ, k0h = f0(Pr)k0h, k1h = f1(Pr)k1h, k2h = f2(Pr)k2h, де f0(Pr) ≈ 1√ 0.86 , f1(Pr) = 1 + 6 ∑ i=1 Ai lgi(Pr), A1 = 1.095, A2 = 0.348, A3 = −0.668, A4 = 0.354, A5 = 0.239, A6 = −0.121, f2(Pr) = √ Pr 1.5367 ( 1.3446 + 5 ∑ i=1 Bi lgi(Pr) ) , B1 = 1.1073, B2 = 1.3058, B3 = 0.2346, B4 = −0.0246, f(Pr) = Pr−6.157 при 0.5 ≥ Pr ≥ 1, f(Pr) = 0.9162Pr−1.885 при 1 > Pr ≥ 3, f(Pr) = 0.3126Pr−1.143 при 3 > Pr ≥ 64, Аналогiчно до динамiчного примежового шару були проведенi дослiдження профiлю температу- ри у пристiннiй областi. Для перехiдної i в’язкої пiдобластей отримано T+ = Pr k1h th (k1hy+) при Pr = 1, а для логарифмiчної зони T+ = 1 k0h ln y+ + C при Pr = 1 – вiдомий логарифмiчний закон, де T− = Tw − T T∗ , T∗ = q/(ρCpv∗), q – тепловий потiк. Для розпо- дiлу вiдносної щiльностi теплового потоку у тур- булентному примежовому шарi запропоновано ви- користати аналогiчну напруженню тертя апрокси- мацiю виду q̄ = q qw = (1 − ȳ) ( A0 + A1ȳ + A2ȳ nth k0hy √ τ+ χh∆h ) (33) при dp dx ≥ 0. Тут A0 = A1 = 1; A2 = −2, ∆h = δh ∫ 0 T−dy, T− = T H − T T ∗ . Профiль температури визначається iз закону Фур’є T = T ∫ Tw dT = 1 ρCp y ∫ 0 q λ + λt dy, де λ – коефiцiєнт молекулярної теплопровiдностi, Cp – питома теплоємнiсть при сталому тиску. У зовнiшнiй областi матимемо: T− = s χh∆1h [ (1 − ȳ) − s 4 (1 − ȳ2) − 1 3 (1 − ȳ3)− −s 8 (1 − ȳ4) + 2 ( ȳm+1 n m + 1 − (1 − 0.5s) ȳm+2 n − 1 m + 2 − −0.5s ȳm+3 n − 1 m + 3 )] при Pr 6= 1, де s = δh δ , ∆1h = ∆h δh . 7. ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI МОДЕЛI ТУРБУЛЕНТНОЇ В’ЯЗКОСТI. НАБЛИЖЕНО-АНАЛIТИЧНI РОЗВ’ЯЗКИ У логарифмiчнiй областi моделi Колмогорова, Прандтля, Невзглядова еквiвалентнi, оскiльки усi вони повиннi забезпечувати виконання логарифмi- чного закону. Використавши цей факт i хара- ктернi лiнiйнi масштаби, було знайдено наступнi наближено-аналiтичнi залежностi: k = v2 ∗ C0 th (k1y +) √ th [sh 2(k2y+)], ε = (C0k)2 νch 2(k1y+) при нульовому градiєнтi тиску для в’язкої i пере- хiдної пiдобластей та k = v2 ∗ C0 , ε = v3 ∗ k0y для логарифмiчної пiдобластi, де C0 = 0.257 { 1 + 0.2478[1− th (0.4y+)]− −0.0592th (40ȳ)} . За наявностi градiєнту тиску вказанi залежностi для логарифмiчної пiдобластi набувають вигляду: k = v2 ∗ C0 τ+, ε = v3 ∗ k0y τ+3/2 , а для в’язкої i перехiдної пiдобластей - k = v2 ∗ C0 th (k1Y +) √ th [sh 2(k2Y +)]τ+, В.Т.Мовчан, Є.О.Шквар 63 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 55 – 67 ε = (C0k)2 νch 2(k1Y +) τ+3/2 . Для отримання наближених розв’язкiв у зовнi- шнiй областi використано формули Невзглядова- Драйдена τ = ρakk (ak – емпiрична стала), степе- невi двопараметричнi наближення для τ (22)-(23) та формулу Прандтля-Ротти ε = Cεk 3/2/L, якiй Вольштейн, а згодом Норрiс, Рейнольдс [12] на- дали вигляду ε = 0.5478k3/2/δ. При y+p+ � 1 у автомодельному градiєнтному пiдшарi отримуємо залежнiсть ε = √ y k0 ( 1 ρ dp dx )3/2 , яку ранiше здобув Кадер. Модель пристiнної областi. З урахуванням отриманих наближено-аналiтичних залежностей та алгебраїчної моделi (3), (4) для пристiнної обла- стi пропонується наступна модель: νtwl = k01k +νDm, Dm = th sh 2 ( k11 √ k+ ) th [ sh 2 ( k21 √ k+ )] k01k+ , (34) де k+ = √ ky ν , k01 = 0.2, k11 = 0.225, k21 = 0.27. Моделi зовнiшньої областi. Для зовнiшньої областi можна використати моделi Колмогорова- Прандтля (k − L), Джонсона-Лаундера (k − ε) i Колмогорова-Сафмена-Уiлкокса (k−ω) або моди- фiковану Ментером модель. У данiй роботi вико- ристовується модель Джонсона-Лаундера. 8. МОДЕЛЮВАННЯ ПРИСТIННИХ СТРУМЕНIВ Пристiнний струмiнь є видом турбулентних при- стiнних зсувних течiй, який ефективно використо- вується з метою перешкоджання вiдриву. Профiль швидкостi у пристiнному струменi характеризує- ться немонотоннiстю, що ускладнює як модельне представлення турбулентної в’язкостi, так i метод розрахунку. Причина обумовлена необхiднiстю ви- значати межi кожної з дiлянок струменевого про- фiлю швидкостi i в кожнiй з них використовувати вiдповiднi масштаби швидкостi i довжини. Першi спроби авторiв по моделюванню даного виду те- чiй грунтувалися на алгебраїчному пiдходi до мо- делювання турбулентностi [36], згiдно якого було використане традицiйне представлення пристiнно- го струменя з подiлом його на три характернi зони: пристiнну, струменеву та слiдну, в кожнiй з яких поздовжня складова розподiлу швидкостi зберiгає монотоннiсть. У пристiннiй областi використову- валися формули (3), (4) при γ = 1. У струменевiй областi δm ≤ y < δjet i у слiднiй - δjet ≤ y < δwk застосовувалися залежностi [27, 31 - 33] виду: νt = χjetδjetγ(um − umin) при δm ≤ y < δjet, νt = χwkδwkγ(u H − umin) при δjet ≤ y < δwk, де χjet, χwk – модельнi коефiцiєнти; δm, δjet, δwk – товщини пристiнної, струменевої та слiдної обла- стей: δjet = δjet ∫ δm um − u um − umin dy; δwk = δwk ∫ δwk u H − u u H − umin dy. У данiй роботi для зовнiшньої частини пристiнної областi, а також для струменевої та слiдної обла- стей застосовується диференцiальна k − ε модель турбулентностi. Цей пiдхiд є бiльш унiверсальний у порiвняннi з алгебраїчним, оскiльки диферен- цiальнi моделi є у бiльшiй мiрi адаптованими до вiдтворення iнерцiйних властивостей, притаман- них динамiцi великомасштабної турбулентностi. З точки зору методики проведення розрахункiв та- кий пiдхiд також має переваги, оскiльки забезпе- чує єдине представлення турбулентної в’язкостi i дає змогу уникнути необхiдностi визначення по- точних значень масштабiв довжини i швидкостi у виглядi характерних товщин i дефектiв швидко- стей для вiдповiдних областей у кожному розра- хунковому перерiзi, а також координат переходу вiд одного модельного представлення до iншого, що притаманно застосуванню алгебраїчних моде- лей. 9. МОДЕЛЮВАННЯ ЕФЕКТУ НАЯВНОСТI ПРИСТРОЇВ РУЙНУВАННЯ ВЕЛИКОМАС- ШТАБНИХ ВИХРОВИХ СТРУКТУР Пристрої руйнування великомасштабних вихро- вих структур (Large Eddy BreakUp devices - LEBU) – це тонкi пластини або дуже тонкi тiла обтi- чної форми, що встановлюються на деякiй вiд- станi вiд поверхнi обтiкання, традицiйно в зовнi- шнiй областi примежового шару, з метою розрi- зання притаманних турбулентному руху велико- масштабних вихроутворень. Пристрої LEBU про- йшли значний обсяг експериментальних дослiд- жень у рiзних лабораторiях свiту [47], а також у льотних випробовуваннях у науково-дослiдному центрi NASA iм. Ленглi (США) [48]. Призначен- ня LEBU як модифiкатора великомасштабної тур- булентностi, яка характеризується iнерцiйнiстю i 64 В.Т.Мовчан, Є.О.Шквар ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 55 – 67 "довгою"пам’яттю, не дозволяє сподiватися на успiх моделювання у разi використання алгебра- їчної моделi турбулентностi. Саме тому тут бу- ло використано двопараметричну диференцiальну модель турбулентностi, яка добре адаптована до опису властивостей великомасштабної турбулен- тностi, вiдтворюючи вiдповiдними диференцiаль- ними рiвняннями динамiку переносу кiнетичної енергiї турбулентностi та швидкостi її дисипацiї. За рахунок цих властивостей дана модель повин- на описувати релаксацiйну реакцiю примежового шару на збурюючий вплив LEBU у слiдi поза цим пристроєм. Перевiрцi цього припущення присвяче- но цей етап дослiдження. У ролi експерименталь- них даних були використанi результати вимiрю- вань, отриманi Горшковим та Корнiловим на тiлi обертання зi встановленим LEBU кiльцевої форми. З метою урахування всiх особливостей формува- ння течiї, притаманних наявним експерименталь- ним даним, розрахунки здiйснювалися починаю- чи з першого перерiзу за задньою крайкою LEBU, для якого були замiрянi профiлi швидкостi та кiне- тичної енергiї турбулентностi. Розподiл швидкостi дисипацiї у початковому перерiзi знаходився пе- рерахунком. Подальший розрахунок здiйснювався маршовим методом з єдиною суттєвою модифiка- цiєю порiвняльно з попереднiми конфiгурацiями - згущенням сiтки в областi формування слiду за LEBU. Рис. 1–3 iлюструють результати вiдтворен- ня розрахунковим шляхом (лiнiї) розподiлiв швид- костi, кiнетичної енергiї турбулентностi та коефiцi- єнта тертя в примежовому шарi за LEBU на цилiн- дричному тiлi обертання дiаметром 100 мм, який був дослiджений експериментально в [43] (кола). Наведенi профiлi у напрямку розвитку течiї, тоб- то злiва направо, вiдповiдають наступним вiдста- ням вiд задньої крайки LEBU вздовж поздовжньої координати ∆x, м: 0,00229; 0,0453; 0,0953; 0,1453; 0,1953; 0,3953; 0,7953; 1,1953. ВИСНОВКИ Запропоновано новий унiфiкований пiдхiд до по- будови моделi турбулентної в’язкостi, який є бiльш адекватним вiдомим властивостям пристiнних те- чiй, що формуються пiд впливом градiєнта тиску. Наведено результати по узагальненню розробле- ного пiдходу на випадки просторових та струме- невих течiй, показано, як з єдиних позицiй вра- хувати впливи двох рiзних з фiзичної точки зо- ру факторiв – шорсткостi та iнжекцiї полiмер- них домiшок. Продемонстровано гнучкiсть цьо- го пiдходу щодо комбiнування з iншими моделя- ми турбулентностi, зокрема, з моделлю Болдуiна- Рис. 1. Формування примежового шару за LEBU. Cпiвставлення розрахункiв профiлiв швидкостi за LEBU (лiнiї) з експериментальними даними [43] (кола): повiтря, u H = 25м/с, L = 1.2м, h/δo = 0.74 Рис. 2. Cпiвставлення розрахункiв профiлiв поздовжньої складової пульсацiйної швидкостi за LEBU (лiнiї) з експериментальними даними [43] (кола) Рис. 3. Cпiвставлення розрахункiв коефiцiєнта тертя cf = 2τw/(ρu2 H ) в областi формування течiї за LEBU (лiнiї) з експериментальними даними [43] (кола) Ломакса, а також при побудовi диференцiальних моделей турбулентностi. Враховано шорсткiсть обтiчної поверхнi, iнжекцiю полiмерних домiшок, просторовiсть течiї, наявнiсть пристроїв руйнува- ння великомасштабних вихорiв. Наведенi резуль- тати наближено-аналiтичних i числових розрахун- кiв параметрiв формування рiзних турбулентних примежових шарiв iлюструють якiсне вiдтворен- ня розрахунками вiдомих експериментальних роз- подiлiв локальних i iнтегральних характеристик. В.Т.Мовчан, Є.О.Шквар 65 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 55 – 67 Зокрема, показана можливiсть вiдтворення розра- хунковим шляхом ефекту наявностi у примежово- му шарi руйнiвникiв великомасштабних вихрових структур. 1. Быстров Ю. А., Исаев С. И., Кудрявцев Н. А., Леонтьев А. И. Численное моделирование вихре- вой интенсификации теплообмена в пакетах труб.– СПб.: Судостроение, 2003.– 392 с. 2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.– М.: На- ука, 1969.– 744 с. 3. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.– М.: Наука, 1973.– 847 с. 4. Путята В. Й., Сiдляр М. М. Гiдромеханика.– К.: Вид-во Київського Ун-ту, 1963.– 480 с. 5. Хинце И. О. Турбулентность.– М.: Физматгаз, 1963.– 680 с. 6. Ротта И. К. Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости.– Л.: Судостроение, 1967.– 232 с. 7. Лапин Ю. В., Стрелец М. Х. Внутренние течения газовых смесей.– М.: Наука, 1989.– 366 с. 8. Бабенко В. В., Канарский М. В., Коробов В. И. Пограничный слой на эластичных пластинах.– K.: Наукова думка, 1993.– 264 с. 9. Белов И. А., Исаев С. А. Моделирование тур- булентных течений.– СПб: Балт. гос. техн. ун-т., 2001.– 108 с. 10. Приходько А. А. Компьютерные технологии в аэрогидродинамике и тепломассообмене.– К.: На- укова думка, 2003.– 279 с. 11. Федяевский К. К., Гиневский А. С., Колесни- ков А. В. Расчет турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости.– Л.: Судостроение, 1973.– 256 с. 12. Турбулентность. / Под ред. П. Брэдшоу.– М.: Ма- шиностроение, 1980.– 343 с. 13. Турбулентность. Принципы и применения. / Под ред. У. Фроста, Т. Моулдена.– М.: Мир, 1980.– 526 с. 14. Андерсен А., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычи- слительная гидромеханика.– М.: Мир, 1990.– Т. 1 с. 384, – Т. 2 с. 396 15. Себиси Т., Брэдшоу П. Конвективный те- плообмен. Физические основы и вычислительные методы.– М.: Мир, 1987.– 592 с. 16. Совершенный В. Д. Модель полной вязкости в пристенной области турбулентного пограничного слоя // Инж. физ. журн..– 1974.– Т. 27,- N 5.– С. 22–29. 17. Долгов А. Н., Шулемович В. М. Турбулентная вязкость для несжимаемых градиентных течений в предотрывных областях и на шероховатой по- верхности // Журн. прикладной механики и те- хнической физики.– 1977.– N 1.– С. 88–92. 18. Саффмен, Уилкокс Модель турбулентности для расчета турбулентного пограничного слоя // Ра- кет. техн. и космонавтика.– 1974.– Т. 12,- N 4.– С. 160–167. 19. Капинос В. М. Слитенко А. О., Тарасов А. И. Мо- дифицированная полуэмпирическая модель тур- булентности // Инж. физ. журн.– 1981.– Т. 16,- N 6.– С. 970–975. 20. Хорстмен Модель турбулентности для расчета не- равновесных течений при положительном гради- енте давления // Ракет. техн. и космонавтика.– 1977.– Т. 15,- N 2.– С. 5–7. 21. Патанкар С., Сполдинг Д. Тепло – и массообмен в пограничных слоях.– М.: Энергия, 1971.– 126 с. 22. Турбулентные течения и теплопередача. / Под ред. Линь Цзя-Цзяо.– М.: Иност. лит, 1963.– 563 с. 23. Computation of turbulent boundary layer // Proc. AFOSR-IFR-Stanford Conference. Ed. Coles P.E., Hirst E.A..– Vol. 2, 1969.– P. 519. 24. Монин А. С., Яглом А. М.Статистическая гидромеханика.–М.:Наука 1965, ч. 1, 639 c., 1967, ч. 2, 720 c. 25. Мовчан В. Т. Приближенный метод вычисления профилей напряжения трения и скоростей в тур- булентном потоке с положительным градиентом давления. Тезисы доклада III Всесоюзной научно- технической конференции по прикладной аэроди- намики // Сб. “Гидромеханика”.– 1975.– Bып. 31.– С. 25–28. 26. Мовчан В. Т.К исследованию турбулентных тече- ний// Сб. “стратифицированные и турбулентные течения”.– 1979C. 82–89 27. Мовчан В. Т. К вычислению коэффициента турбу- лентной вязкости // Сб. “Гидромеханика”.– 1980.– Bып. 41.– С. 78–82. 28. Мовчан В. Т. Об одной полуэмпирической гипо- тезе в теории турбулентных пограничных слоев // Сб. “Приклад. мех.”.– 1981.– т. ХVII, N 2.– С. 138– 141. 29. Мовчан В. Т. Приближенно-аналитическое ис- следование турбулентного пограничного слоя // Журн. ПМТФ.– 1982.– N 3.– С. 102–111. 30. Мовчан В. Т. Плоская пристенная турбулентная струя и ее исследование // Сб. “Гидромеханика”.– 1982.– Bып. 46.– С. 73–80. 31. Мовчан В. Т. Исследование турбулентного пограничного слоя вблизи стенки при нали- чии положительного градиента давления // Сб. “Гидромеханика”.– 1984.– Bып. 46.– С. 25-29. 32. Шквар Е. А. К учету влияния шероховатости об- текаемой поверхности // Журн. ПМТФ.– 1986.– N 6.– С. 57–63. 33. Агеев С. А., Мовчан В. Т., Мхитарян А. М., Шквар Е. А. Моделирование двухфазных течений с поверхностью раздела фаз // Журн. ПМТФ.– 1990.– N 6.– С. 101–108. 34. Мовчан В. Т., Шквар Е. А. Алгебраическая модель турбулентной вязкости для расчетов сло- жных турбулентных течений // Бионика.– 1998.– Bып. 27-28.– С. 38–41. 35. Шквар Е. А. Математическое моделирование пе- реноса примесей турбулентным пограничным сло- ем // Прикладная гидромеханика.– 2000.– T. 2.– С. 96–105. 36. Лунис М., Мамчук В. И., Мовчан В. Т., Романюк Л. А., Шквар Е. А. Алгебраические модели турбу- лентной вязкости и теплопроводности в расчетах пристенных турбулентных течений // Прикладная гидромеханика.– 2001.– N 1.– С. 37–45. 37. Мовчан В. Т., Шквар Е. А. Математическое мо- делирование пограничных слоев // Прикладная гидромеханика.– 2005.– T. 7, № 3-4.– С. 73–85. 38. Johncon D. A., King L. S. A mathematically simple turbulence closure model for attached and separated turbulence boundary layers // AIAA Journal.– 1985.– Vol. 25, N 1.– P. 1684 – 1692. 66 В.Т.Мовчан, Є.О.Шквар ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 1. С. 55 – 67 39. Зайков Л.А., Стрелец М.Х., Шур М.Л. Сравнение возможностей дифференциальных моделей турбу- лентности с одним и двумя уравнениями при ра- счете течений с отрывом и присоединением. Тече- ние в каналах с обратным уступом // Теплофизика высоких температур.– 1996.– T. 34, N 5.– С. 724- 736. 40. Гарбарук А.В., Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Про- стая алгебраическая модель турбулентности для расчета турбулентного пограничного слоя с поло- жительным градиентом давления // Теплофизика высоких температур.– 1999.– T. 37, N 1.– С. 87–91. 41. Мовчан В. Т. К построению непрерывной алге- браической модели коэффициента турбулентной вязкости // Бионика.– 1986.– Bып. 20.– С. 58–60. 42. Мовчан В. Т. О коэффициенте турбулентной вяз- кости в двухпараметрической k − ε модели // Бионика.– 1985.– Bып. 19.– С. 80–82. 43. Горшков В. Г., Корнилов В. И.Влияние устройств разрушения крупных вихрей на характеристики турбулентного пограничного слоя на теле враще- ния// Препринт № 4-2003.– Новосибирск: ИТПМ.– 2003. - 42 c. 44. Мхитарян А. М., Мовчан В. Т., Шквар Е.А. Мате- матическое и численное моделирование турбулен- тного пограничного слоя на скользящем крыле // В сб.: Прикладная аэродинамика.– К.– 1993.– С. 3– 16. 45. Гиневский A. C. Теория турбулентных струй и следов.– М.: Машиностроение, 1969.– 400 с. 46. Мовчан В. Т. О распространении полуограничен- ной осесимметричной струи несжимаемой жидко- сти в спутном потоке // В сб.: Некоторые вопро- сы аэродинамики и электродинамики.– Bып. II.– 1966.– С. 70–78. 47. Корнилов В. И. Проблемы снижения турбулен- тного трения активными и пассивными методами (обзор) // Теплофизика и аэромеханика.– № 2.– 2005.– С. 183–208. 48. Хефнер Дж. Н. Проблема снижения сопротивле- ния. Борьба за снижение стоимости горючего // Аэрокосмическая техника.– № 7.– 1988.– С. 143– 146. В.Т.Мовчан, Є.О.Шквар 67

Різнорівневі математичні моделі коефіцієнта турбулентної в'язкості

Репозитарії

Схожі ресурси