Індукція магнітного поля поверхневими хвилями, що генеруються зануреною областю завихреності
Розглядається індукція магнітного поля хвильовими рухами ідеальної провідної рідини у вертикальному зовнішньому магнітному полі. Наведено залежності, що описують характеристики поверхневих хвиль, які генеруються зануреною областю завихреності. Асимптотичним методом стаціонарної фази побудовано відхи...
Saved in:
| Published in: | Прикладна гідромеханіка |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87733 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Індукція магнітного поля поверхневими хвилями, що генеруються зануреною областю завихреності / О.В. Городецький, В.І. Нікішов // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 2. — С. 40-48. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859752167799259136 |
|---|---|
| author | Городецький, О.В. Нікішов, В.І. |
| author_facet | Городецький, О.В. Нікішов, В.І. |
| citation_txt | Індукція магнітного поля поверхневими хвилями, що генеруються зануреною областю завихреності / О.В. Городецький, В.І. Нікішов // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 2. — С. 40-48. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладна гідромеханіка |
| description | Розглядається індукція магнітного поля хвильовими рухами ідеальної провідної рідини у вертикальному зовнішньому магнітному полі. Наведено залежності, що описують характеристики поверхневих хвиль, які генеруються зануреною областю завихреності. Асимптотичним методом стаціонарної фази побудовано відхилення вільної поверхні в залежності від часу для заданої відстані від джерела збурень. У випадку вертикального зовнішнього магнітного поля отримано залежності, що описують зміну магнітуди збурень магнітного поля, які індуковано хвильовими рухами середовища. Побудовано картини зміни магнітуди магнітного поля у воді і в повітрі. Показано, що основний внесок у формування магнітного поля вносять низькочастотні рухи середовища.
Рассматривается индукция магнитного поля волновыми движениями идеальной проводящей жидкости в вертикальном внешнем магнитном поле. Приведены зависимости, описывающие характеристики поверхностных волн, генерируемых заглубленной областью завихренности. Асимптотическим методом стационарной фазы построены отклонения свободной поверхности в зависимости от времени для заданного расстояния от источника возмущений. Для случая вертикального внешнего магнитного поля получены выражения, описывающие изменение магнитуды возмущений магнитного поля индуктированного волновыми движениями среды. Построены картины изменения магнитуды магнитного поля в воде и над водой. Показано, что основной вклад в формирование магнитного поля вносят низкочастотные движения среды.
Induction of magnetic field by wave motions of ideal conductive fluid in a vertical external magnetic field is considered. Relationships described characteristics of surface waves that generated by submerged region of vorticity are presented. Departures of free surface in time at given distance from the perturbation source are found using the asymptotic method of stationary phase. The expression describing magnitude variations of perturbations of magnetic field that induced by wave motion of medium are obtained. Patterns of variations of magnetic field in water and in air are presented. It is found that low-frequency motions of medium produce the major contribution in formation of magnetic field.
|
| first_indexed | 2025-12-01T23:35:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 40 – 48
УДК 532
IНДУКЦIЯ МАГНIТНОГО ПОЛЯ ПОВЕРХНЕВИМИ
ХВИЛЯМИ, ЩО ГЕНЕРУЮТЬСЯ ЗАНУРЕНОЮ ОБЛАСТЮ
ЗАВИХРЕНОСТI
О. В. Г О РО Д ЕЦ Ь К И Й, В. I. Н IК IШО В
Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
Одержано 26.12.2009
Розглядається iндукцiя магнiтного поля хвильовими рухами iдеальної провiдної рiдини у вертикальному зовнiшньо-
му магнiтному полi. Наведено залежностi, що описують характеристики поверхневих хвиль, якi генеруються зану-
реною областю завихреностi. Асимптотичним методом стацiонарної фази побудовано вiдхилення вiльної поверхнi
в залежностi вiд часу для заданої вiдстанi вiд джерела збурень. У випадку вертикального зовнiшнього магнiтного
поля отримано залежностi, що описують змiну магнiтуди збурень магнiтного поля, якi iндуковано хвильовими ру-
хами середовища. Побудовано картини змiни магнiтуди магнiтного поля у водi i в повiтрi. Показано, що основний
внесок у формування магнiтного поля вносять низькочастотнi рухи середовища.
Рассматривается индукция магнитного поля волновыми движениями идеальной проводящей жидкости в верти-
кальном внешнем магнитном поле. Приведены зависимости, описывающие характеристики поверхностных волн,
генерируемых заглубленной областью завихренности. Асимптотическим методом стационарной фазы построены
отклонения свободной поверхности в зависимости от времени для заданного расстояния от источника возмущений.
Для случая вертикального внешнего магнитного поля получены выражения, описывающие изменение магнитуды
возмущений магнитного поля индуктированного волновыми движениями среды. Построены картины изменения
магнитуды магнитного поля в воде и над водой. Показано, что основной вклад в формирование магнитного поля
вносят низкочастотные движения среды.
Induction of magnetic field by wave motions of ideal conductive fluid in a vertical external magnetic field is considered.
Relationships described characteristics of surface waves that generated by submerged region of vorticity are presented.
Departures of free surface in time at given distance from the perturbation source are found using the asymptotic method
of stationary phase. The expression describing magnitude variations of perturbations of magnetic field that induced by
wave motion of medium are obtained. Patterns of variations of magnetic field in water and in air are presented. It is found
that low-frequency motions of medium produce the major contribution in formation of magnetic field.
ВСТУП
Течiї у реальних електропровiдних середови-
щах, якi вiдбуваються у магнiтному полi Землi,
викликають збурення електромагнiтних полiв у
широкому просторово-частотному дiапазонi, при-
чому, збурення в одному середовищi можуть по-
ширюватися i реєструватись в iншому. Вiдзначи-
мо, що важливi науковi результати в областi оке-
анографiї було отримано на основi аналiзу даних
про спостереження електромагнiтних полiв. Огля-
ди стану дослiджень щодо збурень магнiтного по-
ля Землi, обумовлених гiдродинамiчними джере-
лами у морях i океанах, представленi у [1, 2]. З на-
ведених робiт випливає, що iдентифiкацiя гiдроди-
намiчних течiй у морях i океанах, яка ґрунтується
на вимiрах вторинних електромагнiтних полiв, є
важливим методом дослiдження мiнливостi стану
вод океанiв та морiв.
Фiзичнi принципи iндукцiї електромагнiтного
поля середовищем, що рухається, добре вiдомi. Во-
да в океанi є електропровiдною рiдиною, i її пе-
ремiщення пiд впливом поверхневих i внутрiшнiх
хвиль, вихорiв i течiй вiдбуваються в квазiстацiо-
нарному магнiтному полi Землi. Це викликає збу-
рення електромагнiтного поля, якi можуть реє-
струватися сучасною вимiрювальною апаратурою.
Таким чином, iнформацiя про рух морського се-
редовища може бути отримана на основi аналiзу
даних електромагнiтних вимiрiв.
Для розвитку методiв розв’язання цих задач ро-
билось два головних припущення. По-перше, через
малу електричну провiднiсть морської води вплив
електромагнiтного поля Землi на гiдродинамiчнi
рухи в океанi є незначним. По-друге, iндуковане
магнiтне поле є iстотно слабшим за магнiтне поле
Землi. Це дозволяє використовувати вiдомi теоре-
тичнi моделi течiй рiдини для дослiдження про-
сторових i часових характеристик вторинних ма-
гнiтного i електричного полiв.
Одним iз джерел, якi викликають iндукцiю вто-
ринного магнiтного поля, є хвильовi рухи морської
води. Збурення магнiтного поля над поверхнею
моря, викликанi вiтровими хвилями, дослiдженi
в роботi [3]. Вiдповiднi оцiнки збурень магнiтного
поля в товщi вод приведенi в [4]. Робота [5] при-
свячена вивченню проблеми генерацiї магнiтного
поля морськими хвилями та брижами. Показано,
що поряд з вiтровими хвилями великої амплiту-
40 c© О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов, 2010
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 40 – 48
ди довгохвильовi брижi також є важливим дже-
релом iндукцiї магнiтного поля. Аналогiчнi задачi
у випадку басейну кiнцевої глибини розглянуто в
роботах [6, 7].
Розв’язок задачi про iндукцiю магнiтного поля
поверхневими хвилями, якi утворюються при русi
пiдвiдного об’єкта, наведено в [8]. В усiх цих робо-
тах припускається, що зворотний вплив електро-
магнiтних сил на рух рiдини малий i ним можна
знехтувати. Це дозволило роздiлити задачу i зна-
йти (або використати вiдомi розв’язки) спочатку
поле течiї, а потiм на пiдставi отриманих залежно-
стей, що описують потiк, розв’язати рiвняння iн-
дукцiї.
В данiй роботi розглядається iндукцiя вторинно-
го магнiтного поля поверхневими хвилями, що ге-
неруються зануреною областю завихреностi. В [9]
було отримано розв’язок задачi про генерацiю гра-
вiтацiйних поверхневих хвиль пульсуючими гiдро-
динамiчними рухами, якi зосередженi в локалiзо-
ванiй зануренiй областi (нестацiонарною областю
завихреностi) i в [10] наведено уточнений розв’я-
зок задачi. Для достатньо великих глибин зануре-
ння областi завихреностi зворотнiй вплив поверх-
невих хвиль на рухи рiдини в данiй областi не-
значний. Таке припущення ґрунтується на вiдо-
мому фактi [11], що вплив хвильових рухiв зга-
сає з глибиною згiдно з експоненцiальним законом,
у той час як збурення вiд нестацiонарної обла-
стi завихреностi – по степеневому. Подiбний пiдхiд
застосовано в теорiї генерацiї звуку флуктуацiя-
ми швидкостi, коли зворотнiм впливом звукових
хвиль на цi флуктуацiї нехтують [12]. Треба вiд-
значити, що в [9, 10] було розглянуто генерацiю лi-
нiйних хвиль, але величини флуктуацiй швидкостi
в границях областi можуть бути великими, оскiль-
ки параметри “джерела” розраховуються окремо.
Цi флуктуацiї, як правило, є результатом нелiнiй-
ної взаємодiї гiдродинамiчних полiв, якi вiдомi або
визначаються окремо, i процес лiнеаризацiї до них
не застосовувався.
1. ГЕНЕРАЦIЯ ПОВЕРХНЕВИХ ХВИЛЬ
Коротко зупинимося на задачi про генерацiю по-
верхневих хвиль зануреною областю завихреностi
Ω, яка знаходиться на глибинi h (рис. 1). Вважає-
мо, що в початковий момент часу рiдина нерухо-
ма, а вiльна поверхня горизонтальна. Вводимо ха-
рактернi масштаби густини ρ 0 (густина рiдини),
довжини h i швидкостi
√
g h , де g – прискорен-
ня сили тяжiння. Система рiвнянь, що описує рух
рiдини, приймає наступний вигляд у безрозмiрнiй
формi:
∂ ~v
∂ t
+ ∇
(
|~v| 2
2
)
+ ∇ p + ~e = − (~ω × ~v) , (1)
∇~v = 0, (2)
де ~v – вектор швидкостi руху рiдини; ~ω – вектор
завихреностi рiдини; p – тиск, ~e – одиничний ве-
ктор, який направлений вздовж вертикальної вiсi
z. Представимо вектор швидкостi як суму потен-
x
y
z
h
W
x
Рис. 1. Розмiщення областi завихреностi
цiальної та вихрової складових:
~v = ∇Φ + ~u.
Вiдзначимо, що вихрова складова ~u дорiвнює ну-
лю за межами областi Ω. З рiвняння нестисловостi
(2) випливає
∇ 2Φ = 0, (3)
∇~u = 0. (4)
Таким чином, генерацiя та розповсюдження по-
верхневих хвиль описується рiвнянням Лапласа
(3) з вiдповiдними граничними та початковими
умовами. Враховуючи згасання збурень на вели-
кiй вiдстанi вiд поверхнi, граничну умову на не-
скiнченностi можна записати у виглядi:
Φ → 0 при z → −∞. (5)
Для визначення граничної умови на вiльнiй по-
верхнi введемо функцiю Бернуллi
B =
∂ Φ
∂ t
+
~v2
2
+
p
ρ0
+ g z.
Тодi рiвняння (1) можна привести до наступного
вигляду:
∇B = − ∂ ~u
∂ t
− ~ω × ~v.
О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов 41
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 40 – 48
Iз врахуванням (4) отримуємо рiвняння для функ-
цiї Бурнуллi:
∇2 B = −∇ ( ~ω × ~v ). (6)
Застосувавши метод вiдображень [13], розв’язок
рiвняння (6) запишемо за допомогою функцiї Грi-
на:
G(~x, ~x′) = − 1
4 π
[
1
|~x − ~x′| +
1
|~x − ~x′′|
]
, (7)
де вектор ~x′ вiдповiдає мiсцю розташування еле-
мента джерела, вектор ~x′′ – мiсцю розташування
зображення i ~x – точцi спостереження.
Припустимо, що характерний розмiр l областi Ω
набагато менший, нiж глибина h, (l << h). Вве-
демо величину радiуса в горизонтальнiй площинi
r2 = x2 + y2. Приблизно можна записати
√
(x − x′)2 + (y − y′)2 + (z + z′)2 ∼=
∼=
√
r2 + (z + h)2 = R 1
i вiдповiдно
√
(x − x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2 ∼=
∼=
√
r2 + (z − h)2 = R 2.
Введемо позначення
L ( t ) =
∫
Ω
∇ (~ω × ~v) d x′ d y′ d z′ (8)
i одержимо
B (x, y, z, t ) =
L(t)
4 π
(
1
R 1
+
1
R 2
)
. (9)
Звiдси випливає, що гранична умова на вiльнiй по-
верхнi з врахуванням кiнематичної умови i при-
ймаючи до уваги рiвнiсть R 1 = R 2 = R при
z = 0, може бути записана у виглядi:
∂ 2 Φ
∂ t2
+
∂ Φ
∂ z
− ∂
∂ t
L ( t )
2π R
= 0 при z = 0. (10)
Було прийнято, що в початковий момент часу
рух у локалiзованiй областi завихреностi вiдсу-
тнiй. Тодi
L ( t ) = 0 при t = 0. (11)
Таким чином, задачу зведено до рiвняння Лапласа
(3) з граничними умовами (5) та (10) i початкови-
ми умовами (11). Розв’язок задачi отримуємо шля-
хом застосування iнтегральних перетворень Фур’є
щодо часу i змiнних x та y. Бiльш детальнi мате-
матичнi викладки наведено в роботi [10].
Розглянуто випадок, коли iнтенсивнiсть руху
спочатку зростає, а з часом падає. Така модель
адекватно вiдповiдає фiзицi процесу виникнення
i виродження локалiзованих областей з флукту-
ацiями швидкостi в реальних умовах морського
середовища. Виходячи iз мiркувань розмiрностi,
розмiрна функцiя L̃ (t) ∝ Ũ 2
c h l̃, де l̃ − характер-
ний розмiр областi, Ũ c h − характерна швидкiсть
руху в областi. У безрозмiрному виглядi маємо
L (t) = C T (t)U2
c h l , де залежнiсть T (t) опи-
сує змiну iнтенсивностi руху в часi. Тут T (t) є
безрозмiрною функцiєю; C – постiйна величина,
яка залежить вiд структури i iнтенсивностi руху в
областi Ω.
В результатi було знайдено [10], що вертикальна
швидкiсть руху рiдини, яка пов’язана з поверхне-
вими хвилями, для великих значень ω 2r з точнi-
стю до O (ω 2r)− 3 описується формулою:
w =
∞
∫
0
G (ω) eω 2z
{
L̂ (−ω ) e−i ω t H
(1)
0 (ω 2 r) +
+ L̂ (ω ) ei ω t H
(2)
0 (ω 2 r)
}
d ω, (12)
i горизонтальна компонента швидкостi v r знахо-
диться iз рiвняння нестисливостi:
vr = −
∞
∫
0
G (ω) eω 2 z
{
L̂ (−ω ) e−i ω t H
(1)
1 (ω 2 r) +
+ L̂ (ω ) ei ω t H
(2)
1 (ω2 r)
}
d ω. (13)
Тут
G (ω) =
1
4π
ω3 e−ω2
; L (ω) – спектр функцiї
L (t); H
(1)
i , H
(2)
i – функцiї Ханкеля першого i дру-
гого роду i-го порядку.
Було розглянуто двi модельнi залежностi T (t):
T1(t) =
1
2
t
1 + e−t
e− t/2,
T2(t) =
1
2
t2
1 + e−t
e− t/2. (14)
Графiки функцiй T1 (t) i T2 (t) представлено на
рис. 2. Фур’є перетворення, застосоване до ви-
разiв (14), дає спектри [14] вiдповiдно
T̂1(ω) =
iπ2
2
sh π ω
ch 2 π ω
,
T̂2(ω) =
π3
2
(2 − ch 2 π ω)
ch 3 π ω
. (15)
42 О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 40 – 48
Рис. 2. Залежнiсть функцiй T1(t) (крива 1)
i T2(t) (крива 2) вiд часу
Рис. 3. Спектри функцiй T1(ω) (крива 1)
i T2(ω) (крива 2)
Графiки спектрiв приведено на рис. 3.
Були проведенi чисельнi розрахунки вiдхилення
вiльної поверхнi ζ для спектрiв (15) на основi ви-
разу для вертикальної компоненти швидкостi (12).
Метод стацiонарної фази застосовувався для роз-
рахунку ζ для великих значень r i t вздовж шляхiв
r = c t, де c – постiйна величина. Було прийнято,
що характерна швидкiсть дорiвнює vc h = 0.33,
характерний розмiр областi завихреностi l = 0.1 i
постiйна величина C = 1. Результати розрахункiв
вiдхилення вiльної поверхнi ζ в залежностi вiд ча-
су на вiдстанi r = 100 для спектрiв T̂1 (ω) i T̂2 (ω)
представлено на рис. 4 i 5 вiдповiдно. Iз аналiзу
рисункiв видно, що iнтенсивнiсть хвиль зростає у
часi, коли до точки спостереження наближаються
енергонесучi хвилi. Згодом, коли цi хвилi прохо-
дять точку спостереження, амплiтуда хвиль рiзко
спадає. В той самий час мають мiсце вiдмiнностi у
хвильових картинах, зокрема, при t < 100. Це об-
умовлено суттєвими вiдмiнностями спектрiв T̂1 (ω)
i T̂2 (ω) при малих значеннях ω.
Рис. 4. Вiдхилення вiльної поверхнi ζ для r = 100 для
першої моделi спектру
Рис. 5. Вiдхилення вiльної поверхнi ζ для r = 100 для
другої моделi спектру
2. IНДУКЦIЯ МАГНIТНОГО ПОЛЯ
Вiдомо, що при русi провiдної рiдини в магнi-
тному полi виникають iндукованi електричнi та
магнiтнi поля. Це призводить до складних проце-
сiв взаємодiї магнiтних i гiдродинамiчних полiв,
О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов 43
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 40 – 48
якi можуть бути описанi на основi загальної си-
стеми рiвнянь електродинамiки та гiдродинамiки.
Ця система рiвнянь може бути суттєво спрощена,
якщо прийняти ряд припущень, якi є обгрунтова-
нi, в даному випадку до морської води.
У магнiтогiдродинамiцi розглядається поведiн-
ка провiдної рiдини в електромагнiтному полi. Та-
кi рiдини високої густини, як морська вода, ха-
рактеризуються високою частотою зiткнень, яка
суттєво вище ларморовської частоти носiїв току.
В даному випадку циклотронне обертання пра-
ктично не проявляється на фонi хаотичних про-
цесiв зiткнення в середовищi, тобто довжина про-
бiгу носiїв току значно менша, нiж радiус криви-
зни їхньої траєкторiї в магнiтному полi. Для та-
ких середовищ можна прийняти, що до звичайних
коефiцiєнтiв переносу (в’язкостi, температуропро-
вiдностi) додається в даному випадку тiльки еле-
ктрична провiднiсть, яку можна вважати скаляр-
ною величиною [15]. Оскiльки заряджена частин-
ка не може далеко зсунутись пiд дiєю магнiтного
поля, то ефектом Холла, суть якого полягає в то-
му, що виникає струм, який є перпендикулярний
до електричного поля i по величинi пропорцiйний
магнiтному полю, можна знехтувати. Крiм того,
можна знехтувати iонним ковзанням, коли врахо-
вується рiзниця швидкостей iонiв та нейтральних
частинок, яка є важливою в iонiзованому газi.
Друге важливе припущення наближення магнi-
тної гiдродинамiки полягає в нехтуваннi струмом
змiщення, вплив якого треба враховувати при ви-
сокiй нестацiонарностi процесiв. Порiвняння стру-
му змiщення зi струмом провiдностi показує, що
першим можна знехтувати навiть при достатньо
високих частотах [16]. В рiдинах великої густи-
ни частота зiткнень є значною навiть у випадку
високої провiдностi. Для таких середовищ закон
Ома можна використовувати в простiй формi для
широкої областi частот. Пiд впливом електрично-
го поля електрони i iони рухаються таким чином,
що не виникає роздiлення зарядiв. Механiчний рух
системи може бути описано як рух єдиного провiд-
ного середовища за допомогою звичайних гiдроди-
намiчних параметрiв: густини, швидкостi, тиску.
Крiм вищеописаних припущень, можна прийня-
ти також iншi спрощення, якi випливають з оцiнок
тих чи iнших ефектiв, ґрунтуючись на фiзичних
параметрах середовища. Зокрема, оцiнки показу-
ють, що конвекцiйним струмом можна знехтува-
ти порiвняно зi струмом провiдностi [16, 17]. На-
магнiченiсть i поляризацiя морської води є мали-
ми, ними теж нехтують. Магнiтна проникнiсть µ
середовища, яке описуються системою рiвнянь ма-
гнiтної гiдродинамiки, мало вiдрiзняється вiд оди-
ницi [17].
Систему рiвнянь Максвела запишемо у виглядi
[16, 17]
∇ × ~H = ~J + ε
∂ ~E
∂t
, ∇ × ~E = −∂ ~B
∂t
= −µ
∂ ~H
∂t
,
∇ · ~D = ρe, ∇ · ~B = 0,
де ~B = µ ~H i ~D = ε ~E – iндукцiя магнiтного i
електричного полiв вiдповiдно; ~H i ~E – напруже-
ностi магнiтного i електричного полiв вiдповiдно;
~J – густина струму; ε – дiелектрична проникнiсть;
ρe – щiльнiсть вiльних зарядiв.
Для отримання повної системи динамiчних рiв-
нянь необхiдно встановити зв’язок мiж густиною
струму ~J i полями ~E i ~B. Для середовища з про-
вiднiстю σ, нехтуючи конвективним струмом по-
рiвняно з струмом провiдностi, закон Ома може
бути представлений у виглядi [16, 17]
~J = σ (~E + ~v × ~B). (16)
Провiднiсть морського середовища σ є малою. З
цього випливає, що iндуковане магнiтне поле буде
значно слабше, нiж магнiтне поле Землi, тодi рiв-
няння (16) можна спростити, зокрема прийняти,
що ~v× ~B ∼= ~v× ~BE , де ~BE – геомагнiтна iндукцiя.
З рiвнянь Максвела випливає наступне рiвняння
(в безрозмiрнiй формi) [16, 17]:
−∇2 ~H = − εM
∂ ~H
∂t
+ εM · ∇ ×
(
~v × ~BE
)
, (17)
де εM = ReM = U H σ µ – магнiтне число Рей-
нольдса.
Це рiвняння дозволяє визначити iндуковане ма-
гнiтне поле рухами провiдної рiдини в магнiтному
полi Землi. В данiй роботi роглядається випадок,
коли вектор геомагнiтної iндукцiї має тiльки вер-
тикальну складову. Iз урахуванням залежностей
(12) i (13) представимо вектор швидкостей у ви-
глядi ~v = ~l vr + ~mw, де ~l, ~m − одиничнi векто-
ра, направленi вздовж радiусу i вертикальної ко-
ординати вiдповiдно. Аналогiчним чином введемо
радiальну Hr i вертикальну Hm компоненти ма-
гнiтного поля:
~H = ~l Hr + ~mHm.
Рiвняння iндукцiї є лiнiйним, тому можна окремо
розглядати iндукцiю магнiтного поля, яка обумов-
лена впливом однiєї спектральної компоненти.
Спочатку розглянемо компоненти, якi мiстять
спектр збурень флуктуацiй L̂(−ω). Виходячи з ви-
ду залежностi (12), будемо шукати спектральну
44 О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 40 – 48
компоненту Hsp
m у виглядi
Hsp
m = hm(z) e− i ω tH
( 1)
0 (ω2r). (18)
Iз (17) для магнiтуди hm(z) отримаємо наступне
рiвняння:
d2 hm(z)
d z2
− δ2
− hm(z) = −κ− eω2z ,
де
δ2
− = ω4 − i εm ω, κ− = εm BE G(ω)ω2 L̂(−ω).
Загальний розв’язок цього рiвняння складається з
суми загального розв’язку однорiдного рiвняння i
частинного розв’язку неоднорiдного рiвняння. То-
дi з урахуванням граничної умови на нескiнченно-
стi hm(z) → 0 при z → −∞ маємо
hm(z) = Am e δ
−
z − κ− eω2 z
ω4 − δ2
−
. (19)
Компоненту Hs p
r шукаємо у виглядi
Hs p
r = hr(z) e− i ω tH
( 1)
1 (ω2r) (20)
i для магнiтуди h r з (17) одержуємо рiвняння, в
якому членами порядку O
(
(ω4r2)− 1
)
знехтували:
d2 hr(z)
d z2
− δ2
− hr(z) = −κ− eω2z.
Iз врахуванням граничної умови hr(z) → 0 при
z → −∞ отримуємо наступний розв’язок:
hr(z) = A r e δ
−
z +
κ− eω2 z
ω4 − δ2
−
. (21)
Використовуючи умову дивергентностi магнiтного
поля ∇ ~H = 0, знаходимо зв’язок мiж коефiцiєтна-
ми Am i A r:
δ− Am + ω2 A r = 0. (22)
Далi розглянемо iндуковане поле у повiтрi, де еле-
ктропровiднiсть дорiвнює нулю, тобто εm = 0. Ви-
ходячи з виразiв для радiальної i вертикальної спе-
ктральних компонент магнiтного поля у виглядi
(18) i (20) вiдповiдно, для магнiтуд компонент h r i
h m iз рiвняння (17) з врахуванням граничної умо-
ви знаходимо
h m = Qm e− ω2z, h r = Qr e− ω2z. (23)
З умови дивергентностi магнiтного поля отримує-
мо
Qm = Qr . (24)
На межi повiтря i водного середовища має мiсце
неперервнiсть компонент iндукованого магнiтного
поля. Використовуючи вирази (19), (21) i (23) при
z = 0, iз врахуванням спiввiдношень (22) i (24)
отримуємо
Am = 2
(
1 +
δ−
ω2
)− 1
κ−
ω4 − δ2
−
, (25)
i тодi можемо знайти коефiцiєнти A r, Q m,Q r, що
дозволяє описати магнiтне поле в водi та повiтрi.
Схоже поступаємо з спектральними компонента-
ми, що мiстять спектр L̂(ω) у виразах (12), (13),
якi описують поле швидкостей. Розв’язок отриму-
ється аналогiчно. Виходячи з виду залежностей
(12) i (13), шукаємо спектральнi компоненти ма-
гнiтного поля у виглядi:
Hs p
m = hm(z) e− i ω tH
( 2)
0 (ω2r),
Hs p
r = hr(z) e− i ω tH
( 2)
1 (ω2r). (26)
Можна показати, що магнiтуди hm i hr у водi ма-
ють вигляд
hm(z) = Fm eδ+ z − κ+ eω2z
ω4 − δ2
+
,
hr(z) = Fr eδ+ z +
κ+ eω2z
ω4 − δ2
+
, (27)
де δ2
+ = ω4 + i εm ω, κ+ = εm BE G(ω)ω2 L̂(ω).
З умови дивергентностi магнiтного поля знаходи-
мо
δ+Fm + ω2 Fr = 0. (28)
Для повiтря отримуємо
h m = Sm e− ω2z, h r = Sr e− ω2z. (29)
Умова дивергентностi приводить до рiвностi:
Sm = Sr. (30)
Задовольняючи граничним умовам на межi роздi-
лу, можемо знайти
Dm = 2
(
1 +
δ+
ω2
)− 1
κ+
ω4 − δ2
+
. (31)
За допомогою останнього спiввiдношення можна
визначити iншi коефiцiєнти.
О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов 45
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 40 – 48
3. РЕЗУЛЬТАТИ ОБЧИСЛЕНЬ. ВИСНОВКИ
Найбiльшiй iнтерес становить обчислення iнду-
кованого магнiтного поля в повiтрi. Чисельнi роз-
рахунки збурень магнiтного поля в повiтрi було
виконано для моделей флуктуацiй швидкостi i за-
вихреностi, якi розглянуто в роздiлi 1. Ґрунту-
ючись на визначених залежностях, що описують
окремi спектральнi компоненти, горизонтальну i
радiальну складовi iндукованого магнiтного поля
представимо у виглядi iнтегралiв по частотах ана-
логiчно виразам (12) i (13). Розрахунки було зро-
блено за допомогою асимптотичного методу ста-
цiонарної фази для великих значень r i t вздовж
шляхiв r = c t, де c – постiйна величина. Функцiї
Бесселя було замiнено на їхнi асимптотичнi вира-
зи. Як i в роздiлi 1, фазовi функцiї в даному ви-
падку мають вигляд φ ± = ± (ω − c ω 2 ). Точки
стацiонарної фази – ω s = 1 / 2 c = t / 2 r . Ре-
зультати розрахункiв магнiтуд вертикальної Hm i
радiальної Hr компонент iндукованого магнiтного
поля в повiтрi при z = 2 в залежностi вiд часу на
Рис. 6. Мiнливiсть вертикальної компоненти
магнiтного поля для r = 100 (перша модель, z = 2)
вiдстанi r = 100 для спектру T̂1 (ω) представленi
на рис. 6 i 7 вiдповiдно. Аналогiчнi результати для
спектру T̂2 (ω) представленi на рис. 8 i 9. Розрахун-
ковi величини нормованi на величину геомагнiтної
iндукцiї. Можна бачити, що в цiлому характер мiн-
ливостi iндукованого магнiтного поля вiдповiдає
спектрам гiдродинамiчних збурень (див. рис. 4 i
5). Порiвняльний аналiз результатiв з даними про
вiдхилення вiльної межi вказує на те, що всi збу-
Рис. 7. Мiнливiсть радiальної компоненти магнiтного
поля для r = 100 (перша модель, z = 2)
Рис. 8. Мiнливiсть вертикальної компоненти
магнiтного поля для r = 100 (друга модель, z = 2)
рення магнiтного поля в повiтрi характеризуються
низькочастотною мiнливiстю. Збурення, пов’яза-
нi з високочастотною мiнливiстю поля швидкостi,
яка виявляється у картинi вiдхилень вiльної по-
верхнi, згасають у повiтрi. Аналiз результатiв по-
казує, що амплiтуда iндукованого магнiтного поля
для другої моделi спектру значно вища за амплi-
туду магнiтного поля для першої моделi. Аналiз
спектрiв гiдродинамiчних збурень (рис. 3) показує,
що основна енергiя збурень для другого спектру
зосереджена в областi низьких частот, в той час
як перший спектр характеризується бiльш рiвно-
46 О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 40 – 48
Рис. 9. Мiнливiсть радiальної компоненти магнiтного
поля для r = 100 (друга модель, z = 2)
мiрним розподiлом енергiї по частотах. Цi особли-
востi спектрiв належним чином вiдображаються в
картинах розподiлу iндукованого магнiтного поля.
Рис. 10. Мiнливiсть вертикальної компоненти
магнiтного поля для r = 100 (друга модель, z = 10)
На рис. 10 i 11 приведено результати обчислень
змiни магнiтуд компонент вторинного магнiтного
поля в залежностi вiд часу на достатньо великих
вiдстанях (z = 10) вiд вiльної поверхнi для другого
типу збурень. Можна бачити, що високочастотнi
осциляцiї магнiтуди малi, i основнi змiни вiдбува-
ються на протязi невеликого часового iнтервалу.
Рис. 11. Мiнливiсть радiальної компоненти
магнiтного поля для r = 100 (друга модель, z = 10)
Вiдзначимо, що високочастотнi осциляцiї значно
зменшуються з ростом z, в той самий час затуха-
ння низькочастотних осциляцiй незначне. Анало-
гiчнi висновки випливають з аналiзу розрахункiв
магнiтного поля для першої моделi гiдродинамi-
чних збурень. Отриманi результати пiдтверджу-
ють висновок щодо впливу частоти гiдродинамi-
чних збурень на характеристики iндукованого ма-
гнiтного поля. Основний внесок дають низькоча-
стотнi збурення i внесок вiд високочастотних збу-
рень є малим. Цi особливостi iндукцiї магнiтного
поля рухами слабкопровiдної рiдини, якою є мор-
ська вода, треба враховувати при обчисленнях ха-
рактеристик магнiтного поля i при розв’язку обер-
нених задач iдентифiкацiї рухiв морського середо-
вища на основi аналiзу даних магнiтних спостере-
жень.
1. Palshin N.A. Oceanic electromagnetic studies: A
Review // Surveys in Geophysics.– 1996.– N 17.–
P. 455–491.
2. Карнаушенко Н.Н. Естественное электромагни-
тное поле морей и океанов в диапазоне сверхниз-
ких частот.– Севастополь: ЭКОСИ-Гидрофизика,
2001.– 328 с.
3. Crews A. and Futterman J. Geomagnetic mi-
cropulsations due to the motion of ocean waves //
J. Geoph. Res.– 1962.– N 67.– P. 299–306.
4. Warburton F. and Caminiti R. The induced magnetic
field of sea waves // J. Geoph. Res.– 1964.– N 69.–
P. 4311–4318.
5. Weaver T.J. Magnetic variations associated with
ocean waves and swell // J. Geoph. Res.– 1965.– N
70.– P. 1921–1929.
6. Горская Е.М., Скрунников З.Г., Соколов Г.В. Ва-
риации магнитного поля, индуцированные движе-
О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов 47
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 40 – 48
нием морских волн на мелководье // Геомагнетизм
и аэрономия.– 1972.– N 12.– С. 153-156.
7. Бурцев Г.А. К теории магнитного поля морских
волн в море конечной глубины // Геомагнетизм и
аэрономия.– 1974.– N 14.– С. 516–521.
8. Madurasinghe D., Tuck E.O. The induced
electromagnetic field associated with submerged
moving bodies in an unstratified conducting fluis //
J. Ocean Eng.– 1994.– N 19.– P. 193–199.
9. Liu J.T.C. Generation of interfacial gravity waves
by submerged regions of fluctuating hydrodynami-
cal motions and fluid inhomogeneities // Physics of
Fluids.– 1979.– T. 22, N 5.– P. 814–818.
10. Городецький О.В., Нiкiшов В.I. Генерацiя поверх-
невих гравiтацiйних хвиль локалiзованою областю
завихреностi // Прикладна гiдромеханiка.– 2008.–
T. 10(82), N 2.– С. 48–58.
11. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений
жидкости.– М.: Наука, 1977.– 815 с.
12. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях.– М.: Мир,
1981.– 598 с.
13. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической фи-
зики. Т. 2.– М.: ИЛ, 1960.– 897 с.
14. Бейтмен Г, Эрдейи А. Таблицы интегральных пре-
образований. Т. 1.– М.: Наука, 1969.– 343 с.
15. Половин Р.В., Демуцкий В.И. Основы магнитной
гидродинамики.– М.: Энергоатомиздат, 1987.–
206 с.
16. Саттон Дж., Шерман А. Основы технической ма-
гнитной газодинамики.– М.: Мир, 1968.– 492 с.
17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика
сплошных сред.– М.: Гостехиздат, 1957.– 510 с.
48 О. В. Городецький, В. I. Нiкiшов
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87733 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-9087 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T23:35:20Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут гідромеханіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Городецький, О.В. Нікішов, В.І. 2015-10-24T13:47:31Z 2015-10-24T13:47:31Z 2010 Індукція магнітного поля поверхневими хвилями, що генеруються зануреною областю завихреності / О.В. Городецький, В.І. Нікішов // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 2. — С. 40-48. — Бібліогр.: 17 назв. — укр. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87733 532 Розглядається індукція магнітного поля хвильовими рухами ідеальної провідної рідини у вертикальному зовнішньому магнітному полі. Наведено залежності, що описують характеристики поверхневих хвиль, які генеруються зануреною областю завихреності. Асимптотичним методом стаціонарної фази побудовано відхилення вільної поверхні в залежності від часу для заданої відстані від джерела збурень. У випадку вертикального зовнішнього магнітного поля отримано залежності, що описують зміну магнітуди збурень магнітного поля, які індуковано хвильовими рухами середовища. Побудовано картини зміни магнітуди магнітного поля у воді і в повітрі. Показано, що основний внесок у формування магнітного поля вносять низькочастотні рухи середовища. Рассматривается индукция магнитного поля волновыми движениями идеальной проводящей жидкости в вертикальном внешнем магнитном поле. Приведены зависимости, описывающие характеристики поверхностных волн, генерируемых заглубленной областью завихренности. Асимптотическим методом стационарной фазы построены отклонения свободной поверхности в зависимости от времени для заданного расстояния от источника возмущений. Для случая вертикального внешнего магнитного поля получены выражения, описывающие изменение магнитуды возмущений магнитного поля индуктированного волновыми движениями среды. Построены картины изменения магнитуды магнитного поля в воде и над водой. Показано, что основной вклад в формирование магнитного поля вносят низкочастотные движения среды. Induction of magnetic field by wave motions of ideal conductive fluid in a vertical external magnetic field is considered. Relationships described characteristics of surface waves that generated by submerged region of vorticity are presented. Departures of free surface in time at given distance from the perturbation source are found using the asymptotic method of stationary phase. The expression describing magnitude variations of perturbations of magnetic field that induced by wave motion of medium are obtained. Patterns of variations of magnetic field in water and in air are presented. It is found that low-frequency motions of medium produce the major contribution in formation of magnetic field. uk Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Індукція магнітного поля поверхневими хвилями, що генеруються зануреною областю завихреності Induction of magnetic field due to surface waves generated by submerged region of vorticity Article published earlier |
| spellingShingle | Індукція магнітного поля поверхневими хвилями, що генеруються зануреною областю завихреності Городецький, О.В. Нікішов, В.І. |
| title | Індукція магнітного поля поверхневими хвилями, що генеруються зануреною областю завихреності |
| title_alt | Induction of magnetic field due to surface waves generated by submerged region of vorticity |
| title_full | Індукція магнітного поля поверхневими хвилями, що генеруються зануреною областю завихреності |
| title_fullStr | Індукція магнітного поля поверхневими хвилями, що генеруються зануреною областю завихреності |
| title_full_unstemmed | Індукція магнітного поля поверхневими хвилями, що генеруються зануреною областю завихреності |
| title_short | Індукція магнітного поля поверхневими хвилями, що генеруються зануреною областю завихреності |
| title_sort | індукція магнітного поля поверхневими хвилями, що генеруються зануреною областю завихреності |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87733 |
| work_keys_str_mv | AT gorodecʹkiiov índukcíâmagnítnogopolâpoverhnevimihvilâmiŝogeneruûtʹsâzanurenoûoblastûzavihreností AT níkíšovví índukcíâmagnítnogopolâpoverhnevimihvilâmiŝogeneruûtʹsâzanurenoûoblastûzavihreností AT gorodecʹkiiov inductionofmagneticfieldduetosurfacewavesgeneratedbysubmergedregionofvorticity AT níkíšovví inductionofmagneticfieldduetosurfacewavesgeneratedbysubmergedregionofvorticity |