Наведене магнітне поле, обумовлене вертикальним рухом вихрової пари у стратифікованому середовищі

Розв'язана лінійна задача про збурення магнітного поля Землі, обумовлене полем швидкості морського середовища від внутрішніх хвиль, які утворюються при вертикальному русі двовимірної вихрової пари. Розв'язок задачі одержано у вигляді квадратур. Виявлені особливості формування збуреного маг...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Прикладна гідромеханіка
Дата:	2010
Автор:	Стеценко, О.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут гідромеханіки НАН України 2010
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87736
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Наведене магнітне поле, обумовлене вертикальним рухом вихрової пари у стратифікованому середовищі / О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 2. — С. 70-84. — Бібліогр.: 19 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859596680880455680
author	Стеценко, О.Г.
author_facet	Стеценко, О.Г.
citation_txt	Наведене магнітне поле, обумовлене вертикальним рухом вихрової пари у стратифікованому середовищі / О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 2. — С. 70-84. — Бібліогр.: 19 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Прикладна гідромеханіка
description	Розв'язана лінійна задача про збурення магнітного поля Землі, обумовлене полем швидкості морського середовища від внутрішніх хвиль, які утворюються при вертикальному русі двовимірної вихрової пари. Розв'язок задачі одержано у вигляді квадратур. Виявлені особливості формування збуреного магнітного поля в залежності від характеру руху та характеристик вихрової пари і стратифікованого середовища. Решена линейная задача о возмущении магнитного поля Земли, обусловленного полем скорости морской среды от внутренних волн, образующихся при вертикальном движении двухмерной вихревой пары. Решение задачи получено в виде квадратур. Выявлены особенности формирования возмущенного магнитного поля в зависимости от характера движения и характеристик вихревой пары и стратификации. A linear problem relating to a disturbed magnetic field of the Eartz, the said magnetic filed being determined by the velocity field of the marine environment generated by the iternal waves which are resulted from a vertical movement of the two-dimensional vortex pair, is solved. A solution for this problem is obtained in the form quadratures. The peculiarities of forming a disturbed magnetic field depending on the movement behaviour and on the characteristics of the vortex pair and on the stratification of the medium were found.
first_indexed	2025-11-27T22:26:57Z
format	Article
fulltext	ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 70 – 84 УДК 532.59 НАВЕДЕНЕ МАГНIТНЕ ПОЛЕ, ОБУМОВЛЕНЕ ВЕРТИКАЛЬНИМ РУХОМ ВИХРОВОЇ ПАРИ У СТРАТИФIКОВАНОМУ СЕРЕДОВИЩI О. Г. СТЕЦ Е Н К О Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ Одержано 22.09.2009 Розв’язана лiнiйна задача про збурення магнiтного поля Землi, обумовлене полем швидкостi морського середовища вiд внутрiшнiх хвиль, якi утворюються при вертикальному русi двовимiрної вихрової пари. Розв’язок задачi одер- жано у виглядi квадратур. Виявленi особливостi формування збуреного магнiтного поля в залежностi вiд характеру руху та характеристик вихрової пари i стратифiкованого середовища. Решена линейная задача о возмущении магнитного поля Земли, обусловленного полем скорости морской среды от внутренних волн, образующихся при вертикальном движении двухмерной вихревой пары. Решение задачи получено в виде квадратур. Выявлены особенности формирования возмущенного магнитного поля в зависимости от характера движения и характеристик вихревой пары и стратификации. A linear problem relating to a disturbed magnetic field of the Eartz, the said magnetic filed being determined by the velocity field of the marine environment generated by the iternal waves which are resulted from a vertical movement of the two-dimensional vortex pair, is solved. A solution for this problem is obtained in the form quadratures. The peculiarities of forming a disturbed magnetic field depending on the movement behaviour and on the characteristics of the vortex pair and on the stratification of the medium were found. ВСТУП На магнiтне поле (геомагнiтну iндукцiю) Зем- лi постiйно дiє велика кiлькiсть збурюючих фа- кторiв як космiчного, так i земного походження. До останнiх належать явища аерогiдродинамiчної природи, якi викликають рух водного чи повiтря- ного середовища. Особливий iнтерес в цьому ряду представляють гiдродинамiчнi процеси, якi мають детермiнований характер, що робить можливим прогнозування та монiторинг структури i енерге- тики наведених ними збурень магнiтного поля. В данiй роботi в лiнiйнiй постановцi розв’яза- на задача визначення наведеного магнiтного поля, обумовленого полем швидкостi внутрiшнiх хвиль, яке генерується при вертикальному русi двовимiр- ної вихрової пари (ВП) в неперервно стратифiко- ваному середовищi. Така пара може бути утво- рена, наприклад, системою двох пiдводних крил скiнченого розмаху. В процесi свого саморуху в такому середовищi (пiдйому або опускання в зале- жностi вiд напрямкiв обертання середовища нав- коло центрiв вихорiв) протягом деякого скiнченого iнтервалу часу ВП генерує поле внутрiшнiх хвиль (ВХ). Дослiдження руху двовимiрних точкових вихо- рiв у стратифiкованих середовищах донинi обме- жувалось, головним чином, стацiонарними режи- мами (рiвномiрний горизонтальний рух) для ша- руватих схем стратифiкацiї (див. бiблiографiю в [1]). Для неперервно стратифiкованих середовищ перше дослiдження було виконано для стацiонар- ного руху в необмеженiй лiнiйно стратифiкованiй рiдинi [2], де методом асимптотичного зрощуван- ня вдалося побудувати розв’язок вiдповiдної лiнiй- ної задачi. Подальший розвиток дослiджень у цьо- му напрямку пов’язаний з роботами, виконаними в IГМ НАНУ. В роботi [3] вперше одержано лiнiй- не рiвняння, яке описує збурення середовища при стацiонарному русi точкового вихора у довiльно- му стiйко стратифiкованому середовищi i мiстить у собi характеристики вихора. Проведенi дослiд- ження для декiлькох схем стратифiкацiї, зокрема i для схеми [4], для якої виконана дана робота. Задача, яка розв’язується тут, є нестацiонарною, причому при визначеннi динамiки руху самої ВП, в силу їхньої важливостi, враховуються в’язкiсть середовища i наявнiсть у ньому дрiбномасштабної турбулентностi. Характер цього впливу розгляну- то в роботах [5–7]. В роботi [7] запропоновано про- стий наближений вираз, який описує змiну в часi величини iнтенсивностi точкового вихора Γ(t), об- умовлену впливом в’язкостi i турбулентностi сере- довища. Необхiднiсть враховування цих факторiв обумовлена масштабом ВП (метри) та присутнi- стю турбулiзацiї самого середовища в її околi: Γ(t) = Γ0 [ 1 − exp ( − r2 4ν T )] exp ( −c∗ qt 2a ) , де Γ0 – iнтенсивнiсть вихора в початковий момент; 70 c© О. Г. Стеценко, 2010 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 70 – 84 ν T – турбулентна в’язкiсть середовища; q – сере- дньоквадратичне значення пульсацiй швидкостi в ньому; c∗ – експериментальна стала; r – радiус- вектор точки з координатами x, z вiдносно центра вихора з координатами x0, z0; 2a – вiддаль мiж центрами вихорiв, яка в присутностi границь се- редовища також змiнюється в часi. В силу наявностi стратифiкацiї величина iнтен- сивностi вихорiв, а отже, i швидкiсть руху ви- хрової пари буде додатково зменшуватись за ра- хунок витрат енергiї на випромiнювання внутрi- шнiх хвиль i на виконання роботи по перемiщенню “атмосфери” ВП – внутрiшньої областi навколо вихорiв, в якiй всi лiнiї течiї є замкнутими, а вся рiдина, яка там знаходиться, переноситься разом з вихорами [8]. Оскiльки густина середовища всере- динi атмосфери вiдповiдає густинi на горизонтi її утворення, то при її подальшому русi, незалежно вiд напрямку вгору чи вниз, на неї дiятиме сила плавучостi, направлена протижно напрямку її ру- ху. В силу названих причин вертикальний рух ВП в реальному середовищi, тим бiльше у стратифiко- ваному, завжди має обмежений шлях свого руху. Виконанi в данiй роботi дослiдження вiдповiд- но до особливостей фiзики розглянутого процесу мiстять три характернi етапи. На першому з них вивчена динамiка руху вихорової пари в необме- женому лiнiйно стратифiкованому середовищi. На другому етапi в рамках спрощеної моделi характе- ру руху ВП розв’язана нестацiонарна лiнiйна за- дача про генерацiю поля внутрiшнiх хвиль у шарi скiнченої товщини L з лiнiйною стратифiкацiєю в процесi вертикального руху двовимiрної ВП про- тягом заданого iнтервалу часу та визначено утво- рене при цьому швидкiсне поле. На третьому етапi розв’язана лiнiйна задача знаходження наведеного магнiтного поля Землi, обумовленого швидкiсним полем ВХ вiд ВП. На пiдставi виконаних чисель- них експериментiв виявленi особливостi формува- ння збуреного магнiтного поля в залежностi вiд характеру руху та характеристик ВП i стратифi- кацiї середовища. 1. ДИНАМIКА САМОРУХУ ВИХРОВОЇ ПАРИ Вiдомо [9], що при рiвномiрному русi крила (або системи двох крил) скiнченого розмаху на деякiй вiдстанi за ними в результатi взаємодiї системи збi- гаючих вiльних вихорiв утворюються два поздов- жнiх вихрових жгути з протилежним напрямком обертання в них. Якщо кожен з цих жгутiв замiни- ти точковим вихором з вiдповiдною iнтенсивнiстю, то з певною мiрою наближення такий вихровий слiд представляється утворенням вихрової пари. Коли таке джерело породження (воно може мати i iншу природу) вихрової пари рухається рiвномiр- но з достатньо великою швидкiстю U вздовж гори- зонтальної вiсi, то позаду нього в деякiй умовнiй точцi на вiддалi 5÷10 характерних розмiрiв цього джерела структура двох поздовжнiх вихорiв набу- ває двовимiрного характеру в площинi, перпенди- кулярнiй вiсi руху джерела, пiсля чого рух утво- реної ВП з достатньо високою точнiстю є вiдповiд- ним руху двовимiрної ВП. У просторовiй рухомiй системi координат, пов’язанiй з джерелом ВП, по- чаток якої знаходиться на вiльнiй поверхнi, вiссю x, яка направлена протилежно вектору швидкостi руху джерела породження ВП i вiссю z, направ- леною вгору, ця умовна точка також рухається зi швидкiстю U , перебуваючи на деякому горизонтi з координатою z = −h, яка близька до координати горизонту руху джерела. Для розв’язання задачi генерацiї внутрiшнiх хвиль саме цю умовну точку зручно задавати як джерело породження двови- мiрної ВП. Тодi вiдповiдна задача ВХ розгляда- ється у двовимiрнiй нестацiонарнiй постановцi в площинi yoz, перпендикулярнiй вiсi руху джерела x. В нiй у початковий момент часу t = 0 на го- ризонтi z = −h в точках з координатами y = −a та y = a задаються згенерованi вихори з рiвними iнтенсивностями Γ0, але протилежних знакiв. Це вiдповiдає утворенню вихрової пари з початковою швидкiстю Γ0/4πa, направленою вгору або вниз. Якщо правий вихор має вiд’ємну циркуляцiю (рух навколо центра вiдбувається в напрямку годин- никової стрiлки), а лiвий – додатню циркуляцiю (рух навколо центра вихора вiдбувається в проти- лежному напрямку), вихрова пара рухається вго- ру. Надалi приймається, що рух ВП вiдбувається достатньо далеко вiд границь середовища, так що їхнiм впливом на динамiку руху атмосфери ВП можна знехтувати. Отже, для визначення хара- ктеру динамiки руху ВП розглядається її верти- кальний рух у необмеженому лiнiйно стратифi- кованому середовищi в умовах наявностi впливу в’язкостi та дрiбномасштабної турбулентностi. В роботi [10] показано, що для випадку необмежено- го iдеального середовища в залежностi вiд швид- костi руху ВП Vп можливi два варiанти утворення її атмосфери. Якщо виконується умова Γ/πVп > a, то має мiсце одна спiльна атмосфера такої пари вихорiв. За виконання умови Γ/πVп < a реалiзую- ться двi окремi атмосфери для кожного з вихорiв. Неважко переконатись, що у випадку саморуху в такому середовищi, коли швидкiсть ВП складає величину Vп = Γ/4πa, завжди виконується умо- О. Г. Стеценко 71 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 70 – 84 ва, вiдповiдна iснуванню однiєї спiльної атмосфе- ри. Враховуючи факт зменшення швидкостi руху ВП за рахунок наявностi в’язкостi i стратифiка- цiї, в таких середовищах при виконаннi останньої умови тим ймовiрнiше матиме мiсце одна спiльна атмосфера. З певною долею наближеностi можна припу- стити, що площа утвореної в початковий момент атмосфери така сама, як i для випадку iдеального середовища, коли тiлом саморухомої ВП є овоїд з пiввiсями 1.72a i 2.09a вздовж осей oy i oz вiдпо- вiдно i з площею поперечного перерiзу S = 1.61a2 [11]. На одиницю довжини такого тiла, маса якого складає величину ma = ρs(−h)S, де ρs(z) – густина незбуреного середовища, неза- лежно вiд напрямку вертикального руху, дiє сила плавучостi Fп = −gS{ρs(−h) − ρs[z(t)]}. Для лiнiйно стратифiкованого середовища з ρs(z) = ρs0(1 − βz), β > 0 , (1) Fп = −gsρs0(z + h). (2) Зменшення швидкостi руху атмосфери ВП за рахунок в’язкостi i турбулентностi еквiвалентне дiї на неї додаткової сили опору, яка, враховуючи ха- рактер впливу названих факторiв на величину iн- тенсивностi вихорiв, представляється у виглядi F T = maΓ0 4πa d dt [ exp(−b∗t) ( 1 − exp ( −d∗ t ))] , (3) де b∗ = c∗qT 2a , d∗ = r 4ν T . Величину сили, обумовленої наявнiстю прилуче- ної маси при нестацiонарному русi атмосфери ВП, можна визначити наближено, замiнивши овальну форму атмосфери на форму елiпса з тими сами- ми вiсями 2.09a i 1.79a. Оскiльки в данiй схемi руху швидкiсть ВП перпендикулярна бiльшiй вiсi елiпса, то величина прилученої маси визначається виразом [12] mп = 1 4 πρs(z)(2, 09a)2 = 3, 53ρs(z)a 2 . Вiдповiдна складова сили представляється як Fпm = −mп dVп dt , (4) де швидкiсть руху ВП Vп визначається в кожний момент часу подiбно до випадку iдеального сере- довища, але зi змiнною iнтенсивнiстю вихора Γ(t): Vп = Γ(t) 4πa . Рiвняння руху тiла атмосфери ВП пiд дiєю визна- чених вище сил (1)–(4) має вигляд ma dVп dt = Fп + F T −mп dV dt . (5) Якщо у виразi (3) величину Γ0 замiнити на Γs(t) так, що ця величина враховує вплив стратифiка- цiї на величину iнтенсивностi вихора (при цьо- му Γs(0) = Γ0), то рiвняння (5) пiсля обезрозмi- рювання, коли в якостi масштабу довжини бере- ться товщина шару L, масштабу часу – L/U , мас- штабу швидкостi – U , масштабу густини – ρs(0), масштабу циркуляцiї – UL i звичного позначення Vп = dz/dt, набирає вигляду d2z dt2 + 0.0814 a [ exp(−b∗t) ( 1 − exp ( −d∗ t ))] dΓs dt + +1.0227βλ(z + h) = 0 (6) з початковими умовами z(0) = −h , (7) dz dt (0) = Γ0 4πa . (8) Тут λ = gL/U2. Для визначеня характеру змiни Γs(t) пiд дiєю стратифiкацiї використовується умова зменшення iнтенсивностi вихорiв за рахунок переходу кiнети- чної енергiї руху всерединi ВП Ek в потенцiальну енергiю атмосфери Eп. У вiдповiдностi до цього dEk dt = −dEп dt . (9) За величину кiнетичної енергiї ВП Ek прийма- ється величина енергiї потенцiального руху все- рединi її атмосфери. Якщо для виконання умови скiнченностi цiєї величини вибрати радiусами ядер вихорiв r0, то в роботi [13] одержано для неї такий вираз: Ek = 1 2π ρs(−h)Γ2 s ( ln 2a h + 0.726 + r20 4a2 ) . Величина потенцiальної енергiї Eп для лiнiйного профiлю стратифiкацiї представляється у виглядi Eп = gS z ∫ −h [ρs(−h) − ρs(z)] dz = 72 О. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 70 – 84 = 1 2 ρs(0)gβS(z + h)2 . Як ранiше вiдзначалось, при русi ВП мають мi- сце втрати Ek на генерацiю внутрiшнiх хвиль, але тут вони не враховуються з огляду на їхню вiдно- сну малiсть. Пiдстановка виразiв для Ek i Eп у спiввiдношен- ня (9) i аналогiчний ранiше виконаним перехiд до безрозмiних змiнних приводить до диференцiаль- ного рiвняння, яке описує характер змiни Γs(t) пiд дiєю стратифiкацiї: dΓ2 s dt + µ∗ d dt (z + h)2 = 0 , (10) де µ∗ = βgS 2U2b , b = 1 2π ( ln 2a r0 + 0.726 + r20 4a2 ) . Рiвняння (10) має простий розв’язок: Γs(t) = [ Γ2 0 − µ∗(z + h)2 ] 1 2 . Пiдстановка цього виразу у рiвняння (5) дає рiв- няння, яке визначає динамiку вертикального руху ВП вгору з урахуванням всiх вказаних ранiше фа- кторiв: d2z dt2 + 0.0814 a d dt { [ Γ2 0 − µ∗(z + h)2 ] 1 2 } × × [ exp(−b∗t) ( 1 − exp ( −d∗ t ))] + +1.0227βλ(z + h) = 0 (11) з початковими умовами, якi спiвпадають з (7), (8). Для розв’язання задачi генерацiї внутрiшнiх хвиль з метою спрощення постановки задачi рух ВП у вiдповiдностi до розв’язку рiвняння (11) мо- жна замiнити рiвномiрним рухом ВП протягом перiоду її пiдйому до моменту tm, коли градi- єнт швидкостi руху атмосфери ВП починає рiзко зменшуватись. Таке обмеження обумовлене тим, що пiсля цього можлива поява так званої нестiй- костi Кроу з переплетенням вiсей вихорiв [14]. Ве- личина середньої швидкостi руху знаходиться як Vпc = zm + h tm , де zm – координата центру атмосфери в момент t = tm. Середнє значення iнтенсивностi вихорiв визна- чається з виразу Γ2 c = 1 tm tm ∫ 0 Γ2(t)dt , де Γ(t) = [ Γ2 0 − µ∗(z + h)2 ] 1 2 × × exp(−b∗t) ( 1− exp ( −d∗ t )) , що визначає рiвнозначнi затрати енергiї для обох схем руху (реальної та апроксимацiйної) протягом одного i того самого iнтервалу часу. Вплив тако- го роду апроксимацiї на картину ВХ проявляється лише в ближнiй зонi в околi ВП, бо на загаль- ну картину поля ВХ цей вплив має мiсце лише в областi високочастотних гармонiк. Дослiдження в цьому напрямку для областей перемiшаної рiдини [15] показали саме такий характер цього впливу на поле внутрiшнiх хвиль. 2. ВНУТРIШНI ХВИЛI, ПОРОДЖЕНI ПРИ ВЕРТИКАЛЬНОМУ РУСI ВИХРОВОЇ ПАРИ 2.1. Математичне формулювання задачi В цiлому, картина внутрiшнiх хвиль, згенерова- них рухом ВП, має просторовий характер, оскiль- ки область, яка їх мiстить, у площинi xoz має ви- гляд клина, половина кута якого γ визначається з виразу γ = arctg cqm U , де cqm – максимальна групова швидкiсть пошире- ння утворених ВХ. Оскiльки для реальних сере- довищ величини cqm складають величину поряд- ка см/с ÷ десятки см/с, а рух джерела розглядає- ться зi швидкостями U >> cqm, то γ << 1. Тодi в площинi yoz, перпендикулярнiй до вiсi руху дже- рела збурення, рух середовища з достатньо висо- кою точнiстю має локальнодвовимiрний характер i задача генерацiї ВХ таким стацiонарно рухомим джерелом у рухомiй системi координат, пов’язанiй з цим джерелом, може розглядатися як нестацiо- нарна в нерухомiй системi координат у площинi yoz. В нерухомiй системi координат, вибранiй так, як в роздiлi 1, використовується нстацiонарна систе- ма рiвнянь руху стратифiкованого середовища в наближеннi Бусинеска (спрощена схема) [16]: ρs0 ∂v ∂t + ∂p ∂y = 0 , ρs0 ∂w ∂t + ∂p ∂z + gρ = 0 , ∂ρ ∂t − dρs dz w = 0 , О. Г. Стеценко 73 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 70 – 84 ∂v ∂y + ∂w ∂z = 0 . Тут v i w – складовi збуреної швидкостi в напрям- ку осей oy i oz вiдповiдно; p i ρ – збуренi тиск i густина; g – прискорення сили тяжiння. Ця система пiсля введення функцiї течiї ψ(x, y, z) такої, що v = ∂ψ ∂z , w = −∂ψ ∂y , зводиться до рiвняння ∂2 ∂t2 ∆ψ +N2∂ 2ψ ∂y2 = 0 , (12) де ∆ – двовимiрний оператор Лапласа; N – ча- стота Брента-Вяйсяля середовища. Для випадку лiнiйної стратифiкацiї (1) N2 = βg. Щоб одержа- ти рiвняння, яке описує збурений рух середовища, викликаний нестацiонарним рухом точкового ви- хора, використовується пiдхiд граничного перехо- ду до однорiдного середовища, аналогiчний засто- сованому в [3] для стацiонарної задачi. При N → 0 рiвняння трансформується до вигляду ∂2 ∂t2 ∆ψ = 0 . Але в однорiдному середовищi для двовимiрного точкового вихора постiйної iнтенсивностi Γ0, роз- мiщеного в точцi з координатами (y0, z0), рiвнян- ня, яке описує збурений рух середовища, є ∆ψ = −Γ0δ(y − y0)δ(z − z0) , де δ(y), δ(z) – дельта-функцiї Дiрака. Якщо вихор рухається нестацiонарно вздовж де- якої траєкторiї y = y(t), z = z(t), то вiдповiдне рiв- няння має вигляд ∆ψ = −Γ(t)δ[y − y0(t)]δ[z − z0(t)] . (13) Тодi з цього рiвняння i (12) випливає загальний вигляд лiнiйного рiвняння для функцiї течiї збу- реного руху стратифiкованого середовища, викли- каного нестацiонарним рухом точкового вихора: ∂2 ∂t2 ∆ψ +N2d 2ψ dy2 = = − ∂2 ∂t2 { Γ(t)δ[y− y0(t)]δ[z − z0(t)] } . (14) У вiдповiдностi до прийнятої схеми, в проце- сi руху вихрової пари iнтенсивнiсть вихорiв Γc, швидкiсть їхнього пiдйому Vc i вiддаль мiж ними 2a вважаються незмiнними, а рух ВП вiдбувається протягом iнтервалу часу ∆t = tm. Тодi характер траєкторiї руху ВП та змiна в часi iнтенсивностi вихорiв у вибранiй системi координат будуть y01 = a , y02 = −a , z0 = [−h+ Vct] , Γ(t) = Γc[H(t) −H(t− tm)] . Тут Vпc – розмiрна величина; H(t) – одинична функцiя Хевiсайда. Безрозмiрна форма рiвняння (14) для такої схе- ми руху ВП, якщо вибрати масштаби: довжини – товщина шару середовища L, часу – N−1, функцiї течiї – L2N для стратифiкацiї, вiдповiдний незбу- реному розподiлу густини (1), має вигляд (в тих же позначеннях для y, z, t, ψ) ∂2 ∂t2 ∆ψ + ∂2ψ ∂y2 = Γc[δ(y − a) − δ(y + a)] × × ∂2 ∂t2 { [H(t) −H(t− tmw)]δ(z + h− Vct) } , де tmw = Fr−1tm; Fr = U/LN – густинне число Фруда. Враховуючи властивостi дельта-функцiй [17], це рiвняння представляється як ∂2 ∂t2 ∆ψ + ∂2ψ ∂y2 = sΓc[δ(y − a) − δ(y + a)] × × { H [s(z + h)] −H [s(z − zm)] } × × d2 dt2 { δ[t− s(z + h)] } . (15) Тут s = V −1 пc . Граничнi умови для ψ приймаються у виглядi умови “твердої кришки” на вiльнiй поверхнi та умови непроникностi на днi: ∂ψ ∂x = 0 при z = 0 i z = −1 . (16) 2.2. Метод iнтегральних перетворень Розв’язок для ψ(y, z, t) знаходиться у виглядi iнтегрального представлення Фур’є з використа- нням умови “причинностi”, тобто вiдсутностi збу- рень при t < 0: ψ(y, z, t) = (17) = sΓc 4π2 Re ∞+iε ∫ −∞+iε e−iωtdω ∞ ∫ −∞ eik2yψ̄(k2, z, ω)dk2 , 74 О. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 70 – 84 де ε – як завгодно мала додатня величина. Пiдстановка представлення (17) у рiвняння (15) та умови (16) дає для визначення функцiї-образу ψ̄(k2, zω) наступну задачу – звичайне диференцi- альне рiвняння ψ̄′′ + k2 ( 1 ω2 − 1 ) ψ̄ = ( eik2a − e−ik2a ) × × { H [s(z + h)] −H [s(z − zm)] } eis(z+h) (18) з граничними умовами ψ̄ = 0 при z = 0 i z = −1 . (19) Розв’язок рiвняння (18) зручно знайти з вико- ристанням методу варiацiї сталих для знаходже- ння частинного розв’язку. В результатi одержує- ться для t > tm, що i представляє практичний iн- терес, наступний розв’язок для ψ̄(k2, z, ω): ψ̄(k2, z, ω) = ψ̄1(k2, z, ω) + ψ̄2(k2, z, ω) , де ψ̄1 = − ( eik2a − e−ik2a ) [ eis(zm+h)ω − 1 ] (M2 − s2ω2) (eiM − e−iM ) × × [ eiM(z+1) − e−iM(z+1) ] , ψ̄2(k2, z, ω) = ( ψ̄∗ − 1 ) eik2a − e−ik2a M2 − s2ω2 , де 1 при z < −h , ψ∗(k2, z, ω) = eis(z+h)ω при − h ≤ z ≤ zm , eis(zm+h)ω при zm < z ≤ 0 , i M = k2 ( 1 − ω2 ) 1 2 ω . Iнтегрування в (17) зручно виконувати спочатку у k2 – площинi, де пiдiнтегральна функцiя задо- вольняє умовам леми Жордана i має простi полю- си в точках, де мають мiсце рiвностi eiM − e−iM = 0 , (20) M2 − s2ω2 = 0 . (21) Розв’язок рiвняння (20) дає полюси, що визнача- ють модову структуру поля внутрiшнiх хвиль: ζn = ± πnω (1 − ω2) 1 2 n = 1, 2, 3, ... , а рiвняння (21) дає полюси, якi при наявностi вiль- ної поверхнi визначають поверхневi хвилi: ζ1 = ± sω2 (1 − ω2) 1 2 . Оскiльки в ω-площинi iнтегрування виконується вздовж прямої, змiщеної на величину iε вiд дiйсної вiсi ω, в k2-площинi полюси будуть також змiще- ними з дiйсної вiсi k2. Якщо у розв’язки для ζn i ζ1 пiдставити замiсть ω величину ω = ωr + iε, то з точнiстю до ε2 ζn = ± [ ζnr + iε ζnr ωr (1 − ω2 r) ] , ζ1 = ± [ ζ1 r + iε ζ1 r ωr (1 − ω2 r) ] , де ζnr = ± πnωr (1 − ω2 r) 1 2 , ζ1 r = ± sω2 r (1 − ω2 r) 1 2 . Використання теореми Кошi для замкнутого контура, що складається з дiйсної вiсi k2-площини i кола нескiнченого радiуса, приводить до такого результату для функцiї–образу: ψ̃(y, z, ω) = ∞ ∫ −∞ ψ̄(k2, z, ω)eik2ydk2 , ψ̃(y, z, ω) = ψ̃11 + ψ̃12 + ψ̃2 , (22) де в областi \|y\| > a ψ̃11(y, z, ω) = −2πiωSign(y) [ eis(zm+h)ω − 1 ] × × ∞ ∑ n=1 sin(πnz) [ eiζnr(\|y\|+a) − eiζnr(\|y\|−a) ] (1 − ω2) 1 2 (π2n2 − s2ω2) , ψ̃12(y, z, ω) = −πiSign(y) [ eis(zm+h)ω − 1 ] s sin(sω) (1 − ω2) 1 2 × × sin[sω(z + 1)] [ eiζ1 r (\|y\|+a) − eiζ1 r (\|y\|−a) ] , ψ̃2(y, z, ω) = πiSign(y) [ eiζ1 r (\|y\|+a) − eiζ1 r (\|y\|−a) ] s (1 − ω2) 1 2 i в областi \|y\| < a ψ̃11(y, z, ω) = −2πiω [ eis(zm+h)ω − 1 ] × × ∞ ∑ n=1 sin(πnz) [ eiζnr(y+a) − e−iζnr(y−a) ] (1 − ω2) 1 2 (π2n2 − s2ω2) , ψ̃12(y, z, ω) = −πi [ eis(zm+h)ω − 1 ] s sin(sω) (1 − ω2) 1 2 × × sin[sω(z + 1)] [ eiζ(1) r (y+a) − eiζ(1) r (y−a) ] , ψ̃2(y, z, ω) = πi [ eiζ(1) r (y+a) − e−iζ(1) r (y−a) ] s (1 − ω2) 1 2 . О. Г. Стеценко 75 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 70 – 84 Тут Sign(y) – знакова функцiя. В ω-площинi функцiї ψ̃11, ψ̃12 i ψ̃2 також задо- вольняють умовам леми Жордана, тому для iнте- грування в цiй площинi також використовується апарат теорiї лишкiв. Функцiї ψ̃11 i ψ̃12 мають тут особливостi при ω = 1 i ω = −1, якi одночасно є точками розгалуження i суттєво особливими то- чками, та при ω1n = πn/s i ω2n = −πn/s, якi є простими полюсами i в залежностi вiд величини s та значення n, можуть знаходитись як всереди- нi iнтервала \|ω\|, так i зовнi його. Функцiя ψ̃2 має особливостi лише при ω = 1 та ω = −1. Процедура знаходження розв’язку iнтегруванням по замкну- тому контуру в ω-площинi аналогiчна попереднiй в k2-площинi, тут лише додається ще iнтегруван- ня по берегам розрiзу мiж точками розгалуження, виконаного вздовж дiйсної вiсi ω-площини. Вибiр значень радикала √ 1 − ω2 на берегах розрiзу вико- нується iз необхiдностi виконання умов затухання збурень при \|y\| → ∞. Вiдповiдний аналiз показує, що для цього мають бути однаковими знаки ωr та√ 1 − ω2 i для y > 0 треба покласти на верхньому березi розрiзу аргумент √ 1 − ω2 = 0, а на нижньо- му – аргумент √ 1 − ω2 = π. Для y < 0 необхiдно зробити вiдповiдно навпаки. При обходi особливостей ω = 1 i ω = −1 по колам нескiнчено малого радiуса r → 0 вклад у розв’язок для всiх його складових при r → 0 пря- мує до нуля як r 1 2 exp(iπny/r 1 2 ) або r 1 2 exp(isy/r 1 2 ). Вклад у розв’язок задачi вiд полюсiв ωn = ±πn s визначається по рiзному для випадкiв \|ωn\| < 1 i \|ωn\| > 1. Якщо \|ωn\| = 1, то, як вже показано, вкладу у розв’язок немає. Якщо \|ωn\| < 1, то по- люси знаходяться на лiнiї розрiзу, так що їх обхiд на рiзних берегах здiйснюється з рiзними аргумен- тами √ 1 − ω2. Якщо \|ωn\| > 1, то вклад вiд цих полюсiв знаходиться простим знаходженням вiд- повiдних лишкiв. Виконання вiдповiдних операцiй показало, що вклади у розв’язок вiд полюсiв при \|ωn\| < 1 є чисто уявними, а при \|ωn\| > 1 дають зростаючi по y розв’язки характеру ∼ eay, що про- тирiчить фiзицi явища. Оскiльки цей розв’язок за- довольняє однорiднiй частинi рiвняння (15), його можна просто вiдняти, тобто опустити. Обчислення iнтегралiв вздовж розрiзу мiж ω = −1 та ω = 1 виявило, що вклад у розв’язок дає лише складова ψ11, яка обумовлена наявнiстю внутрiшнiх хвиль. Вiдсутнiсть вкладу у розв’язок вiд складових ψ12 та ψ2 обумовлена грани- чною умовою в наближеннi “твердої кришки”, що вiдповiдає вiдсутностi поверхневих хвиль. Таким чином, вклад вiд ψ11 i є розв’язком для ψ(y, z, t). Для всiєї областi вiн представляється квадратур- ним виразом ψ(y, z, t) = −4Γcs π ∞ ∑ n=1 sin(πnz) × × 1 ∫ 0 ω (1 − ω2) 1 2 (π2n2 − s2ω2) sin [ πnωa (1 − ω2) 1 2 ] × × sin [ πnωy (1 − ω2) 1 2 ] { sin[ω(t− tmw)]− sin(ωt) } dω , (23) де tm = s(zm + h). В (23) в околi особливостей, де π2n2 − s2ω2 = 0, iнтеграл обчислюється у розумiннi головного зна- чення. 3. ЗБУРЕННЯ МАГНIТНОГО ПОЛЯ ВIД РУХУ ВИХРОВОЇ ПАРИ В попередньому роздiлi знайдено поле вну- трiшнiх хвиль, яке утворюється вертикальним рухом вихрової пари протягом заданого iнтервалу часу в шарi скiнченої товщини лiнiйно страти- фiкованої рiдини. Їм вiдповiдне поле швидкостi, яке у нерухомiй системi координат представля- ється як ~V (t, y, z) = 0~i + v(t, y, z)~j + w(t, y, z)~k, а в рухомiй системi координат, пов’язанiй з джерелом збурення, вiдповiдно виражається як ~V ( x U , y, z ) = (0~i) + v ( x U , y, z ) ~j + w ( x U ~k ) . Це поле обумовлює утворення додаткового магнiтно- го поля ~B = µ ~H вiдносно геомагнiтної iндукцiї Землi ~B E . Нижче розв’язується лiнiйна задача визначення такого наведеного магнiтного поля. Схема руху джерела збурень i система координат – така сама, як у задачi про внутрiшнi хвилi. 3.1. Математичне формулювання задачi Величина геомагнiтної iндукцiї Землi ~B E при- ймається постiйною, яка виражається через вла- сну магнiтуду F , кут α мiж вiссю руху джерела ВП i напрямком магнiтної пiвночi та кут заглибле- ння I. Якщо позначити~i,~j, ~k як одиничнi вектори вздовж осей ox, oy, oz вiдповiдно, то у вибранiй си- стемi координат ~B E = F ( ~i cos I cosα+~j cos I sinα− ~k sin I ) . (24) Iндуковане магнiтне поле ~H , в свою чергу, є при- чиною утворення наведеного електричного поля 76 О. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 70 – 84 ~E, яке визначається для морської води як ~E = ~V × ( µ ~H + ~B E ) , де µ – магнiтна проникнiсть води, а знак × означає операцiю векторного добутку. Надалi, в силу того, що µ ~H � ~B E , можна вико- ристовувати наближену апроксимацiю ~E = ~V × ~B E . На пiдставi такого спрощення i представлення для ~E через ~H iз рiвнянь Максвелла в [19] одержа- но наступне лiнiйне рiвняння для наведеного ма- гнiтного поля ~H(x, y, z, t): −∇2 ~H = σ 0 [ −µ∂ ~H ∂t + ~∇× ( ~V × ~B E ) − εµ ∂2 ~H ∂t2 ] , де σ 0 – електрична провiднiсть морської води; ε - дiелектрична провiднiсть; ∇2 = ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 + ∂2 ∂z2 – трьохвимiрний лапласiан; ~∇ =~i ∂ ∂x +~j ∂ ∂y +~k ∂ ∂z . В силу малостi складової εµ∂2 ~H/∂t2 в цьому рiвняннi нею можна знехтувати i надалi для ви- значення наведеного магнiтного поля використо- вувати рiвняння ∇2 ~H = σ 0 [ µ ∂ ~H ∂t − ~∇× ( ~V × ~B E ) ] . В безрозмiнiй формi, де прийнято в якостi масшта- бу довжини – L, масштабу швидкостi – U , масшта- бу часу – L/U , масштабу ~H – µ−1\| ~B E \|, масштабу ~B E – його модуль \| ~B E \|, це рiвняння набирає ви- гляду ∇2 ~H = σµ [ ∂ ~H ∂t − ~∇× ( ~V × ~B E ) ] , (25) де σµ = LUσ0µ = Reµ – магнiтне число Рейнольд- са. Функцiя ~H(x, y, z, t) задовольняє також умову бездивiргентностi: ~∇ ~H = 0. (26) Структура шуканого розв’язку для ~H вибира- ється на пiдставi характеру представлення гене- рованого вихровою парою поля швидкостi внутрi- шнiх хвиль ~V . Як випливає iз результатiв попере- днього роздiлу, це поле у принятому наближеннi має двi компоненти – в напрямку осей oy i oz. Та- ким самим буде i наведене магнiтне поле H(y, z, t). Для пiдстановки у рiвняння (25) поля ~V , його не- обхiдно виразити у безрозмiрному виглядi з ви- користанням масштабiв обезрозмiрювання дано- го роздiлу. Це зручно зробити, замiнивши у (23) ψ(y, z, t) на ψ1 = Fr−1ψ(y, z, tFr), не змiнюючи в iншому структури пiдiнтегрального виразу. Тодi, враховуючи, що при замiнi масштабiв обезpозмi- рювання з роздiлу 2 на масштаби з даного роз- дiлу вiдбувається замiна Γc на Γc1 = ΓcFr i s на s1 = sFr−1, так що Γcs = Γc1s1 , вiдповiдне пред- ставлення розв’язку (23) матиме вигляд ψ1(y, z, t) = 4Γc1s1 πFr ∞ ∑ n=1 sin(πnz) × × 1 ∫ 0 ω (1 − ω2) 1 2 (π2n2 − s21ω 2) sin(ζna) × × sin(ζny){sin[ωFr(t− tmw)] − sin(ωFrt)}dω . Тут використано позначення з попереднього роздiлу ζn = πnω (1 − ω2) 1 2 , але вже для дiйсних значень ω (без iндекса ”r”) . Враховуючи вираз для tmw через tm, для даного розв’язку одержується таке представлення iндуко- ваного ВХ вiд ВП поля швидкостi: ~V (y, z, t) = ∞ ∑ n=1 Re 1 ∫ 0 Gn(ω) ( ~jVy + ~kζnVz ) dω , (27) де Vy = πn(v1e if1 + v2e −if1 + v3e if2 + v4e −if2) , Vz = w1e if1 +w2e −if1 +w3e if2 + w4e −if2 , f1 = ζny + ωFrt , f2 = ζny − ωFrt , Gn = − Γc1s1ω sin(ζna) 2πFr (1 − ω2) (π2n2 − s2ω2) , v1 = v1r + iv1i , v1r = − cos(πnz + tmω) − cos(πnz − tmω) + +2 cos(πnz)] , v1i = sin(πnz + tmω) − sin(πnz − tmω) , v2 = v̄1 , v3 = −v̄1 , v4 = −v1 , w1 = w1r + iw1i , w1r = − cos(πnz + tmω) + cos(πnz − tmω) , w1i = sin(πnz + tmω) + sin(πnz − tmω) − О. Г. Стеценко 77 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 70 – 84 −2 sin(πnz) , w2 = w̄1 , w3 = w̄1 , w4 = w1 . У виразах для vm i wm риски зверху означають комплексну спряженiсть вiдповiдної функцiї. Виходячи з рiвняння (25) та представлення (27), розв’язок для ~H(y, z, t) = ~jHy(y, z, t) + ~kHz(y, z, t) зручно знаходити у виглядi ~H(y, z, t) = ∞ ∑ n=1 Re 1 ∫ 0 Gn(ω)(~jHy + ~kζnHz) , (28) Hy = h1ye if1 + h2ye −if1 + h3ye if2 + h4ye −if2 , Hz = h1ze if1 + h2ze −if1 + h3ze if2 + h4ze −if2 , де hmy i hmz(m = 1, 2, 3, 4) – комплекснi величи- ни. Пiдстановка представлень (27), (28) у рiвнян- ня (25) приводить до звичайних диференцiальних рiвнянь вiдносно невiдомих функцiй ~hm = ~jhmy(y, z, ω) + ~khmz(y, z, ω) для кожної моди внутрiшнiх хвиль з номером n: d2~hm dz2 − δ2~hm = ~Mm , (29) де а) в областi z > 0 : δ = ζn , ~Mm = 0 . б) в областi −1 ≤ z ≤ 0 : δ2 = ζ2 n + iεµωFr для m = 1, 4 , δ2 = ζ2 n − iεµωFr для m = 2, 3 , а ~Mm, враховуючи вид представлення (28), умову нестисливостi ~∇~V = 0 та наявнiсть зв’язку мiж ~B E та ~V [19] ~∇× ( ~V × ~B E ) = ( ~B E ~∇ ) ~V − ~B E ( ~∇~V ) , набирає вигляду ~Mm(y, z, ω) = σµ [ −iζn ( ~B E ~j ) ~Vm − ( ~B E ~k ) ∂~Vm ∂z ] для m = 1, 3 i ~Mm(y, z, ω) = σµ [ iζn ( ~B E ~j ) ~Vm − ( ~B E ~k ) ∂~Vm ∂z ] для m = 2, 4. в) в областi z < −1 значення δ приймається та- ким самим, як в областi водного середовища, а Mm = 0. Отже, двовимiрне поле швидкостi середови- ща породжує наведене двовимiрне магнiтне поле ~H(y, z, t) = ~jhy(y, z, t) + ~khz(y, z, t). Граничнi умови для ~hm виражають умови непе- рервностi для hm на границях рiдкого середовища при z = 0 та z = −1: ~hm(+0) = ~hm(−0) ,~hm(−1+0) = ~hm(−1−0) . (30) Виконання умови бездивiргентностi (26) приво- дить до наступних спiввiдношень для ~hm: ∂ ∂z ( ~hm ~k ) = −i ( ~hm ~j ) для m = 1, 3. (31) ∂ ∂z ( ~hm ~k ) = i ( ~hm ~j ) для m = 2, 4. (32) Надалi для зручностi буде використовуватись позначення ~B Ey ~j = B Ey , ~B E ~k = B Ez . 3.2. Розв’язання рiвняння для ~hm(y, z, ω) Розв’язок рiвняня (29) має вигляд ~hm = ~C(1) m e−ζnz (33) для z > 0, ~hm = ~C2 me δz + ~C3 me −δz +~hm∗ , (34) для −1 < z < 0 i ~hm = ~C4 me δz (35) для −1 < z < 0. Тут ~Ci m – сталi iнтегруван- ня, а ~hm∗(y, zω) – частинний розв’язок рiвняння (29). Для виконання умов затухання розв’язку при z → −∞ величина δ вибирається так, щоб її дiйсна частина була додатньою. Зважаючи на характер поля швидкостi ~V (y, z, t), вираз для ~Mm можна представити у виглядi σ−1 µ ~Mm = ~am1 cos(πnz + ωtm) + +~am2 cos(πnz − ωtm) + ~am3 sin(πnz + ωtm) + +~am4 sin(πnz − ωtm) + ~am5 cos(πnz) + +~am6 sin(πnz) , (36) 78 О. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 70 – 84 де величини amiвизначаються як ~a11 = i ( a11y ~j + a11z ~k ) , a11y = πnζnBEy − (πn)2B Ez , a11z = ζnBEy − πnB Ez , ~a12 = i ( a12y ~j + a12z ~k ) , a12y = πnζnBEy + (πn)2B Ez , a12z = −ζnBEy − πnB Ez , ~a13 = a11y ~j + a11z ~k , ~a14 = −a12y ~j − a12z ~k , ~a15 = 2i ( −πnB Ey ~j + πnB Ez ~k ) , ~a16 = 2(πn)2B Ez ~j − 2ζnBEy ~k , ~a21 = −~a11 , ~a22 = −~a12 , ~a23 = −i~a11 , ~a24 = i~a12 , ~a25 = −~a15 , ~a26 = ~a16 , ~a31 = −~a12 , ~a32 = −~a11 , ~a33 = −~a14 , ~a34 = −~a13 , ~a35 = −~a15 , ~a36 = −~a16 , ~a41 = ~a12 , ~a42 = ~a11 , ~a43 = −~a14 , ~a44 = −~a13 , ~a45 = ~a15 , ~a46 = −~a16 . Частинний розв’язок рiвняння (29) з правою ча- стиною ~Mm з (36) в областi −1 ≤ z ≤ 0 одержує- ться у виглядi ~hm∗(z) = − ~Mm [δ2 + (πn)2] . (37) Безпосередня перевiрка показує, що частинний розв’язок (37) задовольняє умовам бездивiрген- тностi (31), (32). Для визначеня чотирьох сталих iнтегрування Ci m(i = 1, 2, 3.4) використовуються граничнi умо- ви (30) та умови бездивiргентностi (31), (32). В результатi знайденi такi вирази для Ci m та їхнiх складових, якi визначають шуканi розв’язки для ~hm(y, z, ω): C(1) my = C(2) my + C(3) my + h (0) m∗y , C(1) mz = C(2) mz +C(3) mz + h (0) m∗z , C(4) my = C(2) my +C(3) mye 2δ + eδh (1) m∗y , C(4) mz = C(2) mz + C(3) mze 2δ + eδh (1) m∗z , h (0) m∗y = hm∗y(0) , h (0) m∗z = hm∗z(0) , h (1) m∗y = hm∗y(−1) , h (1) m∗z = hm∗z(−1) , C (2) 1y = −1 2 ( h (0) 1∗y + iδh (0) 1∗z ) , C (2) 1z = −1 2 ( h (0) 1∗z − i δ h (0) 1∗y ) , C (3) 1y = −1 2 e−δ ( h (1) 1∗y − iδh (1) 1∗z ) , C (3) 1z = −1 2 e−δ ( h (1) 1∗z + i δ h (1) 1∗y ) , C (2) 2y = −1 2 ( h (0) 2∗y − iδh (0) 2∗z ) , C (2) 2z = −1 2 ( h (0) 2∗z + i δ h (0) 2∗y ) , C (3) 2y = −1 2 e−δ ( h (1) 2∗y − iδh (1) 2∗z ) , C (3) 2z = −1 2 e−δ ( h (1) 2∗z − i δ h (1) 2∗y ) , C (2) 3y = −1 2 ( h (0) 3∗y + iδh (0) 3∗z ) , C (2) 3z = −1 2 ( h (0) 3∗z − i δ h (0) 3∗y ) , C (3) 3y = −1 2 e−δ ( h (1) 3∗y − iδh (1) 3∗z ) , C (3) 3z = −1 2 e−δ ( h (1) 3∗z + i δ h (1) 3∗y ) , C (2) 4y = −1 2 ( h (0) 4∗y − iδh (0) 4∗z ) , C (2) 4z = −1 2 ( h (0) 4∗z + i δ h (0) 4∗y ) , C (3) 4y = −1 2 e−δ ( h (1) 4∗y + iδh (1) 4∗z ) , C (3) 4z = −1 2 e−δ ( h (1) 4∗z − i δ h (1) 4∗y ) . Видiлення у (28) дiйсної частини з використан- ням одержаного розв’язку (33)–(35) дає шуканий розв’язок для наведеного магнiтного поля. О. Г. Стеценко 79 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 70 – 84 3.3. Наближений розв’язок для наведеного магнiтного поля Отримання точного розв’язку (28) для H(y, z, t) пов’язане з обчисленням iнтегралiв для швидкоо- сцилюючих функцiй, що ускладнює обчислюваль- ну прцедуру. Однак для великих значень Frt iн- теграл в (28) можна легко обрахувати наближено, використавши для цього вiдомий метод стацiонар- ної фази. Для великих Frt вклад у розв’язок (28) для областi y > 0 дають складовi з h3 i h4, а в областi y < 0 – вiдповiдно складовi з h1 i h2. Вiдпо- вiдно до методу стацiонарної фази управляючими функцiями розв’язку (28) є χ = ζnξ − ω в областi y > 0 , χ = ζnξ + ω в областi y < 0 , де ξ = y Frt . Розв’язком рiвняння стацiонарних точок dχ dω = 0 для n-ої моди є ωn = [ 1 − (πnξ) 2 3 ] 1 2 , а вiдповiдне цiй частотi хвильове число для всiх y представляється виразом ζn = (πn) 2 3 \|ξ\|−1 3 [ 1 − (πnξ) 2 3 ] 1 2 . Фазова i групова швидкостi для вiдповiдних мод cnф = ωn ζn , cng = dω dξ = ξ . Як видно з виразу для стацiонарних точок, вони дiйснi лише при \|ξ\| ≤ 1/πn, що i визначає грани- цi областi поширення збурень для n-ої моди, при цьому величина cng визначає швидкiсть руху її пе- реднього фронту. Застосування формули методу стацiонарної фа- зи [18] пiсля ряду спрощуючих операцiй приво- дить до наступного представлення наближеного розв’язку задачi для горизонтальної Hy та верти- кальної Hz компонент наведеного магнiтного по- ля: а) в областi y > 0 Hy = εµ (3t) 1 2 (Fr) 3 2 ∞ ∑ n=1 Gn1hy+ , (38) Hz = εµ (3t) 1 2 (Fr) 3 2 ∞ ∑ n=1 ζnGn1hz+ , (39) б) в областi y < 0 Hy = σµ (3t) 1 2 (Fr) 3 2 ∞ ∑ n=1 Gn1hy− , (40) Hz = σµ (3t) 1 2 (Fr) 3 2 ∞ ∑ n=1 ζnGn1hz− , (41) де hy+ = (h3yr + h4yr) cos ( tFrω3 n − π 4 ) + +(h3yi − h4yi) sin ( tFrω3 n − π 4 ) , hz+ = (h3zr + h4zr) cos ( tFrω3 n − π 4 ) + +(h3zi − h4zi) sin ( tFrω3 n − π 4 ) , hy− = (h2yr + h1yr) cos ( tFrω3 n − π 4 ) − −(h1yi − h2yi) sin ( tFrω3 n − π 4 ) , hz− = (h1zr + h2zr) cos ( tFrω3 n − π 4 ) − −(h1zi − h2zi) sin ( tFrω3 n − π 4 ) , Gn1 = − Γ1s1ω 1 2 n sin(ζna) (2π) 1 2 (πn\|ξ\|) 1 3 ( π2n2 − s2ω2Fr−2 ) . Тут iндекси r i i, як звично, вiдносяться до дiйсних i уявних значень вiдповiдних функцiй. Представленi у розв’язку вирази hmyr , hmyi, hmzr i hmzi, де m = 1, 2, 3, 4, а iндекси r i i вiдносяться до дiйсних i уявних величин вiд- повiдно, тут не наведенi в силу їхньої громiздкостi. 3.4. Результати чисельних експериментiв Для iлюстрацiї одержаних результатiв були прове- денi розрахунки наведеного магнiтного поля при русi джерела породження вихрової пари на глиби- нi h = 0, 4L для таких параметрiв руху: L = 500 м, U = 5/52 м/с, Γ0 = 4 м2с−1, β = 10−4 м−1, ν T = 10−4 м2 с−1, 2a = 12 м, I = π/3. Для α зада- валось два значення: α = 0 i α = π/2. Вiдповiднi безрозмiрнi параметри задачi такi: h = 0.4 , β = 0.05 , λ = 161 , a = 0.012 , d∗ = 1.44 , b∗ = 0.5 , µ∗ = 0.342 · 10−2 , Fr = 0.349 , Γ0 = 0.145 · 10−2 . Величина σµ визначається характером стратифi- кацiї водного середовища. В силу модельного ха- 80 О. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 70 – 84 Рис. 1. Картина наведеного магнiтного поля для горизонтальної складової при z = 0.5, t = 150 i γ = 0 Рис. 2. Картина наведеного магнiтного поля для горизонтальної складової при z = 0.5, t = 350 i γ = 0 рактеру даної задачi розрахунки проведенi для ха- рактерного значення σmu = 0.001. Для заданих початкових умов Γ0 i a була розра- хована динамiка пiдйому ВП. За величину крити- чного значення Γ(t), пiсля якого приймалась мо- жливою поява нестiйкостi Кроу, взято значення Γ(t) при такому значеннi t = tm, що при t > tm рiз- ко зменшувався градiєнт швидкостi пiдйому ВП, так що вона майже зупинялася. В розглянутому варiантi було вiдповiдно одержано tm = 3.86 , zm = −0.397 ,Γс = 0.846 · 10−3 , s1 = 1.287 · 103 i, вiдпо- вiдно, s = 3.688 · 103. Розрахунки наведеного магнiтного поля викона- нi для декiлькох горизонтiв у повiтрi та у водно- му середовищi для двох моментiв часу t = 150 i t = 350. Їхнi результати представленi на рис. 1– 8. На рис. 1 i 2 наведена картина горизонталь- ної складової збуреного магнiтного поля у повiтрi на горизонтi z = 0.5 при α = 150 для t = 150 i t = 350 вiдповiдно. Як видно, в цьому випадку для Hy має мiсце антисиметрiя у розподiлi амплi- туд вздовж вiсi y вiдносно вiсi z, що i має бути при α = 0, оскiльки збурення для Hy виклика- нi складовою швидкостi Vy, яка тут антисиметри- чна вiдносно напрямку магнiтної пiвночi. Хвильо- ва картина для вертикальної складової Hz за кар- тиною розподiлу амплiтуд i їх величиною майже така сама, як i для Hy i вiдрiзняється, головним чином тим, що має симетричний вигляд в розподi- лi вздовж вiсi y вiдносно вiсi z. Зi збiльшенням t, як це видно з рис.2, амплiтуди хвильової картини зменшуються. Як випливає з розв’язкiв (38)–(41), Рис. 3. Картина наведеного магнiтного поля для горизонтальної складової при z = 0.5, t = 150 i γ = π/2 Рис. 4. Картина наведеного магнiтного поля для вертикальної складової при z = 0.5, t = 150 i γ = π/2 характер затухання цього процесу вiдбувається як О. Г. Стеценко 81 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 70 – 84 t−1/2. При цьому в збуреному полi зростає його поперечний розмiр та кiлькiсть хвильових гармо- нiк, якi там знаходяться. При вiддаленнi вiд водно- го шару iнтенсивнiсть наведеного магнiтного поля зменшується по експоненцiйному закону вiдповiд- но до (33). Як показують розрахунки, для рiзних значень z амплiтуди Hy i Hz у повiтрi при γ = 0 приблизно однаковi. Спiввiдношення мiж макси- мальними амплiтудами i сам характер наведеного магнiтного поля помiтно змiнюється при зростаннi кута α. З рис. 3 i 4, де наведенi розрахунки i для вертикальної складової Hz, видно, що при α = π/2 для того ж горизонту i часу, що i на рис.1, де α = 0, амплiтуднi картини Hy i Hz не лише втра- чають свою антисиметрiю та симетрiю вiдповiдно, але максимальнi амплiтуди Hz при цьому суттє- во перевищують вiдповiднi значення Hy. Причи- ною цього є те, що максимальнi значення Hy зi збiльшенням α зростають мало. Отже, змiна ку- та α впливає на вертикальну складову збуреного магнiтного поля значно бiльш суттєво, змiнюючи не лише симетрiю хвильової збуреної картини, але iстотно i її максимальнi значення амплiтуд. Розра- Рис. 5. Картина наведеного магнiтного поля для горизонтальної складової при z = −0.3, t = 150 i γ = 0 хунки, виконанi для областi водного середовища, показують, що там мають мiсце тi самi закономiр- ностi змiни наведеного магнiтного поля в залежно- стi вiд змiни z, α i t, що i у повiтрi, але енергетика Hy i Hz при цьому суттєво (для z = 0.5 бiльш нiж на порядок, а зi збiльшенням вiдстанi вiд водного шару ще бiльше) перевищує вiдповiднi значення для повiтряного простору. Про це свiдчать резуль- тати, наведенi на рис. 5 – 8. Справдi, як випливає з рис. 5 – 6, при α = 0 має мiсце антисиметрiя в роз- подiлi Hy i симетрiя в розподiлi Hz при їх прибли- зно однакових значеннях максимальних амплiтуд. Рис. 6. Картина наведеного магнiтного поля для вертикальної складової при z = −0.3, t = 150 i γ = 0 Але амплiтуди наведеного магнiтного поля значно бiльшi, нiж на рис. 1 – 4. З рис. 7 i 8 видно ха- рактер змiни збуреного магнiтного поля зi змiною величини кута α до значення π/2 порiвняно з си- туацiєю, наведеною на рис. 5 i 6 для α = 0. Рис. 7. Картина наведеного магнiтного поля для горизонтальної складової при z = −0.3, t = 150 i γ = π/2 Порiвняння картин наведеного магнiтного поля для водного шару i повiтряного простору показує також, що для водного шару, на вiдмiну вiд повi- тряного простору, характерним є можливiсть зна- ходження найбiльш енергетичної областi ближче до вiсi руху джерела збурення ВП, що вiдповiдає меншiй швидкостi поширення збуреного магнiтно- го поля. В проведених розрахунках для z = 0 це особливо помiтно для вертикальної складової Hz. Причиною такої особливостi є модова структура 82 О. Г. Стеценко ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 70 – 84 Рис. 8. Картина наведеного магнiтного поля для вертикальної складової при z = −0.3, t = 150 i γ = π/2 поля внутрiшнiх хвиль у шарi скiнченої товщи- ни, в результатi чого, в залежностi вiд горизонту руху джерела породження вихрової пари, енергiя згенерованих при цьому внутрiшнiх хвиль може зосереджуватись в певних модах вищого поряд- ку. Швидкiсть поширення цих мод ВХ менша вiд швидкостi поширення старшої (першої) моди, то- му на фонi загальної областi поширення ВХ вклад таких енергонесучих хвиль буде помiтним у зонi наведеного магнiтного поля ближче до вiсi руху джерела породження ВП. На пiдставi одержано- го розв’язку в локальнодвовимiрнiй нестацiонар- нiй постановцi в нерухомiй системi координат лег- ко одержати стацiрнарний просторовий трьохви- мiрний розв’язок задачi в рухомiй системi коорди- нат, пов’язанiй з джерелом породження вихрової пари. Для цього (в безрозмiрнiй формi розв’язку) необхiдно виконати просту замiну t = x . ЗАКЛЮЧЕННЯ Виконанi дослiдження дозволяють оцiнити енергетику та характер збурень магнiтного поля Землi, викликаних одним iз механiзмiв гiдродина- мiчної природи, а саме полем швидкостi вiд вну- трiшнiх хвиль, якi генеруються вихровою парою, що породжується при рiвномiрному горизонталь- ному русi джерела генерацiї цiєї пари в умовах стратифiкованого морського середовища. Таким джерелом може бути, наприклад, пiдводне крило або система двох таких крил скiнченого розмаху. За ними при достатньо великiй швидкостi їхнього руху утворюється система двох вихрових жгутiв з вiсями, паралельними вiсi руху джерела i проти- лежними напрямками обертання, що з достатньою мiрою точностi вiдповiдає утворенню двовимiрної вихрової пари. В результатi виконаних дослiджень розв’яза- на вiдповiдним чином сформульована задача, яка включає в себе три характернi етапи – вивчення динамiки вертикального руху двовимiрної вихро- вої пари в площинi, перпендикулярнiй вiсi руху джерела, задачу генерацiї поля внутрiшнiх хвиль у шарi скiнченої товщини середовища з лiнiйною стратифiкацiєю при пiд’йомi вихрової пари i, накi- нець, лiнiйну задачу генерацiї збуреного магнiтно- го поля полем швидкостi середовища, наведеним цiєю вихровою парою. Побудована модель динамi- ки нестацiонарного руху вихрової пари у в’язкому стратифiкованому середовищi з наявнiстю в ньо- му дрiбномасштабної турбулентностi, яка врахо- вує також ефекти плавучостi i наявнiсть прилуче- них мас. В лiнiйнiй постановцi розроблена локаль- но двовимiрна модель генерацiї внутрiшнiх хвиль, породжених вертикальним рухом вихрової пари у водному шарi скiнченої товщини. В рамках цiєї мо- делi вперше одержано рiвняння нестацiонарного руху точкового вихора, яке в явнiй формi мiстить його характеристики. З використанням цих моделей одержано набли- жений розв’язок задачi динамiки руху ВП та точнi розв’язки у виглядi квадратур для лiнiйних задач генерацiї ВХ та знаходження обумовленого ними наведеного магнiтного поля Землi. Для великих значень часу з використанням методу стацiонарної фази одержано наближений аналiтичний розв’я- зок задачi. Локально двовимiрна задача iндукцiї магнiтно- го поля Землi внутрiшнiми хвилями, якi генеру- ються вертикальним рухом двовимiрної вихрової пари у водному шарi, дозволяє побудувати просто- рову картину цього збуреного поля як в рухомiй (пов’язанiй з джерелом породження ВП), так i в нерухомiй системах координат. Аналiз полiв наве- деного магнiтного поля Землi, спричиненого цим рухом, показує як його надзвичайну малiсть по- рiвняно з магнiтним полем Землi, так i чiтко де- термiнований характер його структури i характе- ру еволюцiї в часi. Так, енергетика цього поля у водному шарi на порядки перевищує його значе- ння у повiтряному просторi. Структура збурень визначається структурою поля внутрiшнiх хвиль та величиною кута α мiж вiссю руху джерела по- родження ВП i напрямом магнiтної пiвночi Зем- лi. Для α = 0 характерними є антисиметрiя по y вiдносно вiсi руху джерела для горизонтальної складової наведеного магнiтного поля i симетрiя О. Г. Стеценко 83 ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2010. Том 12, N 2. С. 70 – 84 для вертикальної складової. Зi збiльшенням вели- чини α картина ~H(y, z, t) стає несиметричною, а амплiтуди Hy i Hz зростають, причому зростан- ня Hy незначне, а Hz суттєве. В результатi цього при α = π/2 амплiтуди Hz в декiлька разiв бiльшi вiд амплiтудHy. У водному шарi, в залежностi вiд горизонту руху джерела породження ВП, можливi ситуацiї, коли енергомiстка частина збуреного спе- ктра ~H(y, z, t) знаходиться в ближнiй до вiсi руху зонi. З виконаного дослiдження випливає, що рухо- ме джерело породження вихрової пари може бути причиною утворення специфiчного наведеного ма- гнiтного поля Землi, дослiдження якого представ- ляє iнтерес як такого, що спричинений одним iз механiзмiв гiдродинамiчної природи з детермiно- ваним характером i який може бути використаний при монiторингу збурень магнiтного поля в районi морської поверхнi. 1. Горлов С.И. Решение линейных задач о равно- мерном движении вихреисточника в многослойной жидкости // Изв. АН СССР, МЖГ.– 1995.– № 31.– С. 127–132. 2. Janowitz G.S. Line singularities in inbounded strati- fied fluid // J.Fluid Mech.– 1974.– 66, 3.– P. 455–464. 3. Стеценко О.Г. Лiнiйна задача про стацiонарний рух вихора у стратифiкованому середовищi // Прикл. гiдромеханiка.– 2004.– 6(78), №1.– С. 62– 68. 4. Стеценко О.Г. Стацiонарний рух точкового вихо- ра в шарi скiнченої товщини стратифiкованого середовища, обмеженого твердими границями // Прикл. гiдромеханiка.– 2010.– 12(84), №1.– С. 68– 75. 5. Holzäpfel F., Gerz T., Bauman R. The turbulent decay of trailing vortex pairs in stably stratified enwi- romments // Sci.Technol.– 2001.– №5.– P. 95–108. 6. Wittenbeck P., Moore K.J. The rising vortex : A source for NA-ASW// 1993.–118 c. 7. Белоцерковский А.С., Гиневский А.С. Численное моделирование дальнего вихревого следа самолета на взлетно-посадочных режимах // ДРАН.– 2001.– 380, №6.– С. 761–764. 8. Thomson V. On the vortex atoms // Phil.Mag.ser.4.– 1867.– 33, №226.– P. 511–512. 9. Повх И.Л. Тухническая гидромеханика.– Л.: Ма- шиностроение, 1969.– 524 с. 10. Беляев С.Т., Краснов Ю.К. О собственной мас- се сингулярной вихревой пары // ДАН СССР.– 1989.– 306, №3.– С. 566–570. 11. Hicks V.M. The mass carried forward by a vortex // Phil. Mag. ser.6.– 1919.– 38, №287.– P. 597–612. 12. Хаскинд М.Д. Гидродинамическая теория качки корабля.– М.: Наука, ГРФМЛ, 1973.– 289 с. 13. Мелешко В.В., Константинов М.Ю. Динамика ви- хревых структур.– К.: Наукова думка, 1993.– 289 с. 14. Widnall S.E. The structure and dynamics of fortex fi- laments // Ann.Rev. of Fl. Mech.– 1975.– 7.– P. 141– 166. 15. Никишов В.И., Стеценко А.Г. Влияние формы коллапсирующего “пятна” и границ жидкости на образование внутренних волн в стратифицирован- ной среде // Прикл. мех.– 1982.– 18, №7.– С. 90–97. 16. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях М.:Мир.– 1977.–431 c. 17. Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции.– М.: Наука, ГРФМЛ, 1966.– 367 с. 18. Джефрис Г., Свирлс Б. Методы математической физики, вып. 3.– М.: Мир, 1970.– 343 с. 19. Mandurasingle D., Tuck E.O. The induced Electromagnetic Field Assotiated with Submerged Moving Bodies in an Unstratified Conducting Fluid // Jour. of Ocea. Eng.– 1994.– 19, №2.– P. 193–199. 84 О. Г. Стеценко
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87736
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1561-9087
language	Ukrainian
last_indexed	2025-11-27T22:26:57Z
publishDate	2010
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Стеценко, О.Г. 2015-10-24T13:51:51Z 2015-10-24T13:51:51Z 2010 Наведене магнітне поле, обумовлене вертикальним рухом вихрової пари у стратифікованому середовищі / О.Г. Стеценко // Прикладна гідромеханіка. — 2010. — Т. 12, № 2. — С. 70-84. — Бібліогр.: 19 назв. — укр. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87736 532.59 Розв'язана лінійна задача про збурення магнітного поля Землі, обумовлене полем швидкості морського середовища від внутрішніх хвиль, які утворюються при вертикальному русі двовимірної вихрової пари. Розв'язок задачі одержано у вигляді квадратур. Виявлені особливості формування збуреного магнітного поля в залежності від характеру руху та характеристик вихрової пари і стратифікованого середовища. Решена линейная задача о возмущении магнитного поля Земли, обусловленного полем скорости морской среды от внутренних волн, образующихся при вертикальном движении двухмерной вихревой пары. Решение задачи получено в виде квадратур. Выявлены особенности формирования возмущенного магнитного поля в зависимости от характера движения и характеристик вихревой пары и стратификации. A linear problem relating to a disturbed magnetic field of the Eartz, the said magnetic filed being determined by the velocity field of the marine environment generated by the iternal waves which are resulted from a vertical movement of the two-dimensional vortex pair, is solved. A solution for this problem is obtained in the form quadratures. The peculiarities of forming a disturbed magnetic field depending on the movement behaviour and on the characteristics of the vortex pair and on the stratification of the medium were found. uk Інститут гідромеханіки НАН України Прикладна гідромеханіка Наведене магнітне поле, обумовлене вертикальним рухом вихрової пари у стратифікованому середовищі Induced magnetic field due to vertical motion of vortex pair in a stratified medium Article published earlier
spellingShingle	Наведене магнітне поле, обумовлене вертикальним рухом вихрової пари у стратифікованому середовищі Стеценко, О.Г.
title	Наведене магнітне поле, обумовлене вертикальним рухом вихрової пари у стратифікованому середовищі
title_alt	Induced magnetic field due to vertical motion of vortex pair in a stratified medium
title_full	Наведене магнітне поле, обумовлене вертикальним рухом вихрової пари у стратифікованому середовищі
title_fullStr	Наведене магнітне поле, обумовлене вертикальним рухом вихрової пари у стратифікованому середовищі
title_full_unstemmed	Наведене магнітне поле, обумовлене вертикальним рухом вихрової пари у стратифікованому середовищі
title_short	Наведене магнітне поле, обумовлене вертикальним рухом вихрової пари у стратифікованому середовищі
title_sort	наведене магнітне поле, обумовлене вертикальним рухом вихрової пари у стратифікованому середовищі
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87736
work_keys_str_mv	AT stecenkoog navedenemagnítnepoleobumovlenevertikalʹnimruhomvihrovoípariustratifíkovanomuseredoviŝí AT stecenkoog inducedmagneticfieldduetoverticalmotionofvortexpairinastratifiedmedium

Наведене магнітне поле, обумовлене вертикальним рухом вихрової пари у стратифікованому середовищі

Репозитарії

Схожі ресурси