О докритическом распространении трещины продольного сдвига в вязкоупругом композитном теле
В межах нелінійної механіки руйнування одержано рівняння розвитку тріщини поздовжнього зсуву в композитному матеріалі, компоненти якого мають лінійно-в'язкопружні властивості. Дослідження проведено на основі двох моделей механізму розвитку тріщини: моделі сталості довжини зони передруйнування т...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2013
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87760 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О докритическом распространении трещины продольного сдвига в вязкоупругом композитном теле / А.А. Каминский, М.Ф. Селиванов, Ю.А. Черноиван // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 49-59. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87760 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Каминский, А.А. Селиванов, М.Ф. Черноиван, Ю.А. 2015-10-24T19:39:43Z 2015-10-24T19:39:43Z 2013 О докритическом распространении трещины продольного сдвига в вязкоупругом композитном теле / А.А. Каминский, М.Ф. Селиванов, Ю.А. Черноиван // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 49-59. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87760 В межах нелінійної механіки руйнування одержано рівняння розвитку тріщини поздовжнього зсуву в композитному матеріалі, компоненти якого мають лінійно-в'язкопружні властивості. Дослідження проведено на основі двох моделей механізму розвитку тріщини: моделі сталості довжини зони передруйнування та моделі сталості напружень у цій зоні. Створену схему розв'язання задачі застосовано для побудови числового розв'язку у формі кінетичних кривих розвитку тріщини. Наведено аналіз одержаних результатів. In the framework of nonlinear fracture mechanics, the equations of a crack mode III growth in the composite material with the linearly viscoelastic components are obtained. The study is carried out using two models of a crack growth: the model with constant length of the prefracture zone and the model with constant shear stress in this zone. The solving scheme is offered and applied to obtain a numerical solution in the form of kinetic curves of the crack growth. An analysis of findings is given. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика О докритическом распространении трещины продольного сдвига в вязкоупругом композитном теле On Subcritical Propagation of the Crack Mode III in a Viscoelastic Composite Body Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О докритическом распространении трещины продольного сдвига в вязкоупругом композитном теле |
| spellingShingle |
О докритическом распространении трещины продольного сдвига в вязкоупругом композитном теле Каминский, А.А. Селиванов, М.Ф. Черноиван, Ю.А. |
| title_short |
О докритическом распространении трещины продольного сдвига в вязкоупругом композитном теле |
| title_full |
О докритическом распространении трещины продольного сдвига в вязкоупругом композитном теле |
| title_fullStr |
О докритическом распространении трещины продольного сдвига в вязкоупругом композитном теле |
| title_full_unstemmed |
О докритическом распространении трещины продольного сдвига в вязкоупругом композитном теле |
| title_sort |
о докритическом распространении трещины продольного сдвига в вязкоупругом композитном теле |
| author |
Каминский, А.А. Селиванов, М.Ф. Черноиван, Ю.А. |
| author_facet |
Каминский, А.А. Селиванов, М.Ф. Черноиван, Ю.А. |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On Subcritical Propagation of the Crack Mode III in a Viscoelastic Composite Body |
| description |
В межах нелінійної механіки руйнування одержано рівняння розвитку тріщини поздовжнього зсуву в композитному матеріалі, компоненти якого мають лінійно-в'язкопружні властивості. Дослідження проведено на основі двох моделей механізму розвитку тріщини: моделі сталості довжини зони передруйнування та моделі сталості напружень у цій зоні. Створену схему розв'язання задачі застосовано для побудови числового розв'язку у формі кінетичних кривих розвитку тріщини. Наведено аналіз одержаних результатів.
In the framework of nonlinear fracture mechanics, the equations of a crack mode III growth in the composite material with the linearly viscoelastic components are obtained. The study is carried out using two models of a crack growth: the model with constant length of the prefracture zone and the model with constant shear stress in this zone. The solving scheme is offered and applied to obtain a numerical solution in the form of kinetic curves of the crack growth. An analysis of findings is given.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87760 |
| citation_txt |
О докритическом распространении трещины продольного сдвига в вязкоупругом композитном теле / А.А. Каминский, М.Ф. Селиванов, Ю.А. Черноиван // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 49-59. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kaminskiiaa odokritičeskomrasprostraneniitreŝinyprodolʹnogosdvigavvâzkouprugomkompozitnomtele AT selivanovmf odokritičeskomrasprostraneniitreŝinyprodolʹnogosdvigavvâzkouprugomkompozitnomtele AT černoivanûa odokritičeskomrasprostraneniitreŝinyprodolʹnogosdvigavvâzkouprugomkompozitnomtele AT kaminskiiaa onsubcriticalpropagationofthecrackmodeiiiinaviscoelasticcompositebody AT selivanovmf onsubcriticalpropagationofthecrackmodeiiiinaviscoelasticcompositebody AT černoivanûa onsubcriticalpropagationofthecrackmodeiiiinaviscoelasticcompositebody |
| first_indexed |
2025-11-24T23:28:59Z |
| last_indexed |
2025-11-24T23:28:59Z |
| _version_ |
1850500325918638080 |
| fulltext |
2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 3
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 3 49
А .А .К а м и н с к и й , М .Ф .С е л и в а н о в , Ю .А .Ч е р н о и в а н
О ДОКРИТИЧЕСКОМ РАСПРОСТРАНЕНИИ ТРЕЩИНЫ
ПРОДОЛЬНОГО СДВИГА В ВЯЗКОУПРУГОМ КОМПОЗИТНОМ ТЕЛЕ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: fract@inmech.kiev.ua
Abstract. In the framework of nonlinear fracture mechanics, the equations of a crack
mode III growth in the composite material with the linearly viscoelastic components are
obtained. The study is carried out using two models of a crack growth: the model with con-
stant length of the prefracture zone and the model with constant shear stress in this zone.
The solving scheme is offered and applied to obtain a numerical solution in the form of ki-
netic curves of the crack growth. An analysis of findings is given.
Keywords: Subcritical crack growth, linear viscoelasticity, mode III, prefracture zone.
Введение.
Изучение механизмов и закономерностей разрушения современных композитных
материалов с вязкоупругими свойствами, как актуальная проблема механики разру-
шения, требует построения эффективных методов решения задач, связанных с разви-
тием трещин при взаимодействии разных типов нагрузки на тела из композитных ма-
териалов [1, 2]. До сих пор основное внимание уделялось изучению развития трещин
в условиях нормального отрыва [2, 4, 12]. Исследование задач о распространении
трещин продольного сдвига выполнено в [9, 10] в рамках концепций линейной меха-
ники разрушения с использованием упрощений в постановке задачи (изотропный ма-
териал, специальная форма зависимости вязкоупругих характеристик от времени). В
[8, 11, 13, 14, 16] разработаны эффективные методики, с помощью которых можно на
основе характеристик вязкоупругого поведения компонентов композитного материала
и принципа Вольтерра построить систему определяющих уравнений, численное ре-
шение которой предоставляет возможность строить кинетические кривые развития
трещин с немалыми зонами предразрушения.
В данной работе на основе имеющихся результатов приведены схемы построения
решения задачи о докритическом распространение трещины продольного сдвига в
композитном материале, компоненты которого обладают вязкоупругими свойствами.
Определяющие уравнения построены для двух основных моделей распространения
трещины в материале с вязкоупругими свойствами: модели неизменности длины зоны
предразрушения во время ее роста и модели неизменности равномерно распределен-
ных напряжений в этой зоне.
1. Постановка задачи. Применяемые модели.
Рассмотрим композитный материал с однонаправленным армированием дискрет-
ными трансверсально-изотропными волокнами. Волокно моделируем эллипсоидом
вращения; отношение большей оси эллипсоида к меньшей обозначим k , концентра-
цию фазы армирования – 1c . Примем, что материалы обеих фаз проявляют вязкоуп-
ругие свойства, которые обусловливают наследственное поведение композита.
50
Исследуем длительное разрушение вязкоупругого композитного тела со сквозной
трещиной. На бесконечности на тело действуют усилия T в нормальном к оси 1x
направлении (рис. 1, а).
а б
Рис. 1
Деформирование тела из композитного материала происходит в условиях плоской
деформации. Трещина расположена в одной из плоскостей симметрии механических
свойств композита и при своем развитии не выходит из нее. Это предположение вы-
полняется для композитов с высокой степенью адгезии, не предрасположенных к рас-
слоению. Рассмотрим случай, когда направление армирования нормально относи-
тельно плоскости трещины, т.е. совпадает с направлением оси 2x (рис. 1).
Для исследования кинетики развития трещины используем определяющие урав-
нения докритического развития трещины, аналогичные полученным в работе [3, раз-
дел 3]. В основе построения этих уравнений лежит модель трещины с зоной предраз-
рушения.
Трещину-щель в вязкоупругом композите представим как разрез, берега которого
имеют два характерных участка: на одном берега взаимодействуют, на другом – нет
[7, 14]. При этом взаимодействие берегов происходит в узких зонах предразрушения
на краях трещины (рис. 1 б). При продольном сдвиге распространение трещины сдер-
живается материалом в зоне вершины трещины, пока сдвиг берегов в зоне вершины
не превысит критического значения ( III ), [1, 6, 7]
1 1 III2 ( ) ( )x a x aw t t (1)
где 2a – размер трещины; ( )w t – смещение вдоль оси 3x ; t – время.
При моделировании противодействия материала в зоне устья трещины (зоне
предразрушения) соответствующими касательными напряжениями будем использо-
вать одну из двух концепций.
1. Напряжения равномерно распределены вдоль берегов зоны предразрушения
( )d t и не изменяются на протяжении периода докритического роста (концепция
const );
2. Напряжения ( )t равномерно распределены по берегам зоны предразрушения,
размер которой во время роста трещины сохраняет постоянное значение d (концеп-
ция constd ).
Распространение трещины определяется как процесс перехода точек области, где
есть взаимодействие берегов, в область, где оно отсутствует.
Для характеристики продолжительной трещиностойкости в данной работе ис-
пользуем такие параметры: геометрический параметр 0a a , где 0a и a – на-
чальный и критический полуразмеры трещины, соответственно; при использовании
51
концепции const введем силовой параметр, который равняется отношению интен-
сивности касательных напряжений в зоне предразрушения к интенсивности внешней
нагрузки 2 T ; при использовании концепции d const вводим геометрический
параметр 0d a .
2. Вязкоупругое смещение берегов трещины.
Вязкоупругое смещение на продолжении трещины определяем на основе решения
задачи об упругом раскрытии в ортотропном теле в условиях плоской деформации. С
этой целью воспользуемся принципом упруго-вязкоупругой аналогии, являющимся
аналогом принципа Вольтерра, который получил обоснование для аналогичных задач
[3]. Согласно этому принципу в выражении для смещений берегов на продолжении
трещины заменим упругие модули соответствующими преобразованными величина-
ми и воспользуемся обратным преобразованием.
В случае, когда релаксационные свойства материалов компонентов композита
можно описать в рамках линейной теории вязкоупругости, эффективные модули
представим рядом функций Миттаг – Леффлера [15]
( )
( )( ) ( ) 1 ( )
1 0
( ) ; ( )ij
ij
nn
ij ij ij k ij k
k n
x
t E t E x
n
(2)
При проведении вычислений оставим лишь одно слагаемое в выражении (2) и ис-
пользуем один параметр функции Миттаг – Леффлера для описания долговремен-
ных свойств материалов компонентов композита с целью качественного исследования
результатов. Примем также, что материалы компонентов композита являются изо-
тропными (механические свойства описываем модулем Юнга E и коэффициентом
Пуассона ). Отметим, что ни одно из этих упрощений не обусловлено использован-
ным методом решения поставленной задачи.
При указанных упрощениях выражение (2) в области преобразования принимает
вид
( ) ( ) ( ) ( )
0 ( )
( )i i i i
i
s
s E E EE
s
(3)
где ( ) ( )E s sE s , ( )E s – преобразование Лапласа функции ( )E t ; 0E – мгновенное
значение модуля; 1i отвечает армированию, 2i – наполнителю.
Композит с однонаправленными короткими волокнами моделируем трансвер-
сально-изотропным телом с приведёнными характеристиками [8]. Рассмотрим про-
дольный сдвиг этого тела, когда плоскость изотропии перпендикулярна оси 2x (рис. 1).
Таким образом, сдвиг происходит в плоскости, перпендикулярной к плоскости распо-
ложения трещины.
Обобщенный закон Гука имеет вид 23 44 23 13 66 13;a a где ija – компоненты
тензора податливости трансверсально-изотропного тела с осью симметрии вращения,
которая совпадает с осью 3x .
Исходя из симметрии задачи, трещину рассматриваем как разрез вдоль оси 1x ,
при этом на участке 1a x a d касательные напряжения, которые стягивают бере-
га трещины, распределены равномерно с интенсивностью . Общая длина разреза
2( )a d определяется в ходе решения задачи. Поэтому краевую задачу линейной теории
упругости сформулируем так: в упругой области есть разрез по оси 1x длиной 2( )a d с
центром в начале координат; на поверхности разреза действуют напряжения
1
11 1 22 1 23
1
0 ;
( 0) 0 ( 0) 0
.
x a
x x
a x a d
52
В бесконечно отдаленных точках плоскости приложена внешняя нагрузка интен-
сивности 23 1( )x T . Сдвиг берегов трещины длины 2a в точке 1( 0)x представим
на основе результатов работы [7] в форме
1 0 1( ) ( ) ( 1 5);ix a LTa s s x a i (4)
0 3 1 2 3 4 2 5( ) Re{(1 ) ( 1) ( 1) )} 2(1 )is b t t s t s t t
причем величины b , 3t , 4t и 5t зависят от геометрического параметра s ;
232 2 4
1 2 3 4 5 5
1 2 3 2
1 4 2 4 3 4 4 4 5
ln ; ln ; ln ; ln ;
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; ;
dd d b d b
t t t t t s
d d d b d b
d i d i d i d i b s it
1 2
2 3 2 4 3 5 4; 2 ; ; 1T (5)
Параметр 5 связан с параметрами модели таким образом:
2
5 1 1(1 ) d a (6)
Условие конечности напряжений 23 в точке ( 0)a d , которое используется при
получении выражения (4), во введенных обозначениях имеет вид
2
2 12arctg (1 ) 1 (7)
откуда следует утверждение о постоянстве величины 1 во время распространения
трещины в случае использования концепции const и постоянной интенсивности
внешней нагрузки. В этом случае из выражений (5) – (7) следует, что величины i ,
1 5i , являются постоянными и зависят только от параметра 2 , введенного в п. 1
как относительный параметр трещиностойкости для концепции const . С ростом
трещины увеличивается длина зоны предразрушения.
В случае использования концепции constd при росте трещины величина 2
увеличивается и, таким образом, увеличивается напряжение в зоне предразрушения
при постоянных интенсивностях внешней нагрузки. Величины i , 1 5i , в этом слу-
чае зависят от размера трещины. Учитывая выбор второго параметра трещиностойко-
сти, в рамках этой концепции величины i выражения для раскрытия трещины (4),
вычисляем в обратном порядке
2 1
5 0 4 5 3 4 2 3[1 ( )] ; 1; arctan ; 2a a
Раскрытие в вершине трещины, согласно (4), имеет вид
1
0 6 6 3 3( ) (1 ) ; 2 lncosia a LTa LTa (8)
В выражениях (4) и (8) характеристика L , связанная со свойствами материала,
определяется следующим образом [7]:
44 55( ) 1ijL L a (9)
где ij – эффективные модули композита с однонаправленными дискретными волок-
нами. Эти модули приведем для направления оси симметрии вращения, которое сов-
падает с направлением оси 3Ox . Для выбранных направлений координатных осей ось
симметрии вращения совпадает с направлением оси 2Ox , но здесь оставим ij в фор-
ме для оси симметрии вращения вдоль 3Ox , т.е. в таком виде, как они получены в [8]:
53
2[3] [3]2[3]
1 2 11 12 21 2 544
44 44 66 11 12
44 11 125 2
4
12
1 4 1 2( )
c c Kc c K
K K
где 1c – объемное содержимое армирования, 2 11c c – наполнителя;
(1) (2) (2) (1) [3] (2) (1)
1 2 1 2; ; ;c
ij ij ij ij ij ij ij ij ij ijc c c c
знак (1) , как и раньше, отвечает характеристике армирования, (2) – наполнителя;
33 33
2 44 1 44 2 44 3 1 22 2
13 13 33
5 11 1 11 2 11 3 22 2 4
2( 1) 2( 1)1 1
0 0
11 44 1 66 2
2
2
2
1 1
;
8 ( ) 8 ( )
c c
c c c
c c c
c c c
n n
n nc c c
K E E E F F
k k
K E E E F
k k k
x x
E dx F
x x
2 2 2 2 4 2
1 22 4 2
11 33 13 13 44 33 44
11 44 11 66
2
( ) (1 ) (1 ) ; ( ) 1 1
( 2 )
; ;
2
c c c c c c c
c c c c
dx
p q
x x x x x x x
k k k
p q
где коэффициент k – отношение продольного и поперечного размеров эллипсоида
вращения, которым моделируется волокно.
В случае, когда материалы компонент композита являются изотропными ( (1) и
(1) – преобразованные характеристики Ламе волокон, (2) и (2) – наполнителя),
имеем:
при (1) (2) –
231 4
13 11 12 33 44 66 3 4 2
1 3 4
1
; ; ; ; 2
1
2( ) 2
; ; ; 2(3 2 ) ;
c c c c c c
c
c c c
s
s s s
ss s
s s s
s s s
при (1) (2) –
11 11 12 12 13 13 33 33 44 44; ; ; ;c c c c c
В соответствии с принципом упруго-вязкоупругой аналогии [5], заменим зависи-
мые от времени характеристики релаксации ( ) ( )iE t соответствующими преобразован-
ными величинами ( )( )i sE (согласно (3)), предварительно переписав характеристики
Ламе через модуль упругости E , который используется для описания наследствен-
ных характеристик материалов компонент композита, и коэффициент Пуассона ;
примем объемную деформацию упругой, что позволит записать коэффициенты Пуас-
сона материалов компонент в виде
( )
( )( )
0 ( )
0
1
1 1 2
2
i
ii
i
E
E
54
Подставляя преобразованные величины ij в агрегат (9), получаем L в области пре-
образования. Агрегат L как функцию времени определим с помощью обратного пре-
образования Лапласа
1( )L t L L s (10)
С помощью результатов работы [15] получим ( )L t в форме
( ) k
n
z t
k j j
k n
L t e t t t
(11)
0
( ) ( ); ( ) [1 sin( )]
2
( ); ;
2 (1 )
; ; ( ) arch (1 )sin
( )
kk k k k k
k x k k
s
s
s
h
L z z z T x T x ixz
i
x x h k k n … nz T
adn
h a s
t a n
(12)
где параметры a и d удовлетворяют дополнительному условию, а 0 1s ,
0 1 . Отметим также, что параметр принимает значение порядка 10 и соответ-
ствующий ему интервал мал по сравнению с промежутками интегрирования в инте-
гралах в уравнениях докритического роста трещины (см. п. 3). Поэтому возникает
необходимость разбить упомянутый промежуток интегрирования и получить решение
в виде (11) на каждом из интервалов.
Для определения вязкоупругого раскрытия необходима производная от ( )L t , ко-
торую определим как 1( )L t L L L
Коэффициенты представления этой функ-
ции можно получить аналогично тому, как это было определено для (10).
Процесс докритического стабильного роста трещины продольного сдвига (как и
для трещины нормального отрыва) условно разделим на три периода [3]: инкубаци-
онный, переходной и основной. Исходя из принципа Вольтерра и соотношений для
определения упругого сдвига берегов трещины (4) и (8), запишем выражение для вяз-
коупругого раскрытия трещины в точке 1 ( )x a t в зависимости от ее положения на
линии продолжения трещины.
1. При 1 0x a ( 0a – начальный полуразмер трещины) имеем раскрытие для инку-
бационного периода, во время которого наблюдается сдвиг берегов трещины без ее
роста
0 0 0 0 0
0
( ) (1 ) ( ) (1 )
t
i it L Ta L t Ta d
или
0 0( ) ( ) (1 )it L t Ta (13)
– в случае отсутствия зависимости интенсивности внешней нагрузки от времени.
2. При 0 1 0 0a x a d ( 0d – начальный размер зоны предразрушения) имеем рас-
крытие для переходного периода
0
0
0 0 0 0 0 0
0
( ) ( ) (1 ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t
i i i
t
t L Ta t L t Ta a t a d L t Ta a t a d
где 0t – продолжительность инкубационного периода (см. ниже); за время этого пе-
риода трещина стартует и проходит расстояние, которое равняется длине ее началь-
55
ной зоны предразрушения. Первое слагаемое в выражении является мгновенным зна-
чением раскрытия в вершине трещины, второе – раскрытием в точке 1 ( )x a t трещи-
ны размера 0a , которое получено на протяжении инкубационного периода, третье –
раскрытием в точке 1 ( )x a t трещины размера ( )a , которое получено на протяже-
нии текущего периода. В случае отсутствия зависимости интенсивности внешней на-
грузки получим выражение для раскрытия в следующем виде:
0
0 0 0 0 0 0
0
( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ( ( ) )
( ) ( ) ( ) ( ) .
i i
t
i
t
t T L a t L t L t t a a t a
L t a a t a d
(14)
3. При 1 0 0x a d имеем раскрытие для основного периода
0 0 0( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) )
t
i i
t
t L Ta t L t Ta a t a d
(15)
где t определяется из уравнения ( ) ( ) ( )a t a t d t ; за время этого периода трещина
медленно подрастает до своего критического размера, после чего начинается ее дина-
мическое развитие.
В рамках концепции const величины i в выражениях (13) – (15) являются
постоянными и зависят только от относительного параметра трещиностойкости 2 .
В рамках концепции constd эти величины, согласно (6), зависят от величины d a ,
которая не является постоянной во время роста трещины. Итак, в первых слагаемых
выражений (14) и (15) будут i зависеть от ( )a t , а в третьем слагаемом выражения (14)
и во втором выражении (15) – от ( )a (по переменной выполняется интегрирование).
3. Развитие трещины.
Для построения уравнений докритического развития трещины продольного сдви-
га в рамках обеих использованных концепций, запишем параметр критического рас-
крытия, который содержится в исходном уравнении (1), в виде
III 0 0 (1 )iL Ta (16)
где i зависят от a при использовании концепции constd .
Также введем обозначение
0( ) ( ); ( ) ( )i (17)
где 0a a – безразмерная длина трещины. При использовании концепции constd
величины i зависят от , когда эта величина превышает единицу.
Определяющие уравнения докритического роста трещины продольного сдвига
получим на основании подхода, изложенного в [2, 3, 13], исходя из критерия разру-
шения (1), вязкоупругого сдвига берегов трещины (13) – (15). Для трех периодов раз-
вития трещины, учитывая (16) и (17), получаем:
1 1 0( )L t (18)
0
10[ ( )] ( ( ) 1)[ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )]
t
t
t t L t L t t t t dL (19)
56
1[ ( )] ( ) [ ( ) ( )]
t
t
t t t dL
(20)
на каждом из отмеченных этапов, соответственно. В уравнениях (18) – (20) 0( ) ( )t a t a
– относительный размер трещины, 1 0( ) ( )L t L t L , ( ) , 0a a . В уравне-
нии (20) величина t определяется из уравнения
0 1( ) ( ) ( ) или ( ) (1 ) ( )t t d t a t t (21)
если задачу решаем в рамках концепции постоянства напряжений в зоне предразру-
шения, и уравнения
( ) ( )t t (22)
если задачу решаем в рамках концепции постоянства длины зоны предразрушения.
Решая последовательно уравнения (18) – (20), можно исследовать кинетику разви-
тия трещины сдвига, а также определить долговечность вязкоупругого композита с
трещиной.
4. Численные решения и обсуждение результатов.
Зафиксируем характеристики материала наполнителя и введем коэффициенты,
которые характеризуют взаимное расположение зависимостей от времени для модулей
материалов армирования и наполнителя (согласно модельному представлению (3))
(1) (1)(1)
0 0
1(2) (2) (1)
0
1
lg ; lg ; lgE
E E
k k k
E E
(23)
Первый из коэффициентов определяет соотношение между мгновенным модулем
Юнга двух материалов, второй – отношение мгновенного и долговременного модулей
Юнга для материала армирования, третий – сдвиг в положительном направлении оси
времени кривой, которая описывает изменение во времени модуля материала армирова-
ния относительно зависимости изменения во времени модуля материала наполнителя.
Разобьем отрезок на продолжении трещины от точки 0a до точки a на N отрез-
ков ia , 1 2i … N . Тогда уравнения (18) – (20) могут быть использованы для оп-
ределения времени прохождения трещиной K -го узла разбивки
0
1
( ) 1 ; ;
N
K K i i i
i
t a a
в пределах каждого из них будем строить решение в форме показательной функции
1( )
1 11( ) ;( ) K Kt t t
K K K KK Kt t t t
(24)
которая удовлетворяет условиям 1 1( )K Kt , ( )K Kt .
Продолжительность инкубационного периода 0t определим из уравнения (18).
Моменты времени прохождения K -го узла разбивки определяем из уравнений:
0
10
0
( ) ( 1)[ ( ) ( )] ( ) [ ( )]
Kt t
K K K K K KL t L t t t dL
(25)
если 11 1K ( const ) или 1 1K ( constd );
1
0
( ) ( ) [ ( )]
Kt t
K K Kt dL
(26)
если 11K ( const ) или 1K ( constd ); ( )Kt определяется соглас-
но (24); согласно (21), (22) и (24) определим
57
1
1
1
ln( )
ln( )
I
K I I
I I
t t t t
где I удовлетворяет условию 1I I , 1(1 ) K ( const ) или K
( constd ).
Исходя из того, что для исследованного класса задач наблюдается увеличение ус-
корения при приближении этапа нестабильного роста трещины, выполним разбивку
отрезка [1 ] с возрастающими K , например, полагая длину каждого следующего
отрезка разбивки в q раз большей длины предыдущего, т.е.
1 ( 1)( 1) ( 1) ( 0 1 , )K N
K q q K … N (27)
Отметим, что если M удовлетворяет равенству 11M ( const ) или
1M ( constd ), то время 0I Mt t t является продолжительностью переходно-
го периода, время II N Mt t t – продолжительностью основного периода. Долговеч-
ность определяется величиной Nt .
Рис. 2
58
На рис. 2, а представлено взаимное расположение кривых релаксации материала
волокон и кривой релаксации наполнителя (нижняя кривая) для указанных значений
Ek и фиксированных 1k и k . Соответствующие кинетические диаграммы роста
трещины в композитном теле в рамках концепции const представлены на рис. 2, б.
На рис. 2, в представлены кинетические кривые для случая использования кон-
цепции constd для композита, релаксационные свойства компонент которого при-
ведены на рис. 2, а.
Кинетические кривые, позволяющие оценить влияние на характер разрушения
параметра k , для параметров, значения которых указаны на рис. 2, г, представлены
на рис. 2, д (концепция const ) и рис. 2, е (концепция constd ). Кинетические
кривые, позволяющие оценить влияние на характер разрушения параметра 1k , для
параметров, значения которых указаны на рис. 2, ж, представлены на рис. 2, з (кон-
цепция const ) и рис. 2, и (концепция constd ).
Диаграммы получены на основании решения уравнений (18), (25) (26) при сле-
дующих значениях параметров задачи: 10k , 1 0,33c (параметры формы и концен-
трации элементов армирования); 0,5 (параметр функции Миттаг-Леффлера);
(1)
0 0,3 (мгновенный коэффициент Пуассона материала элементов армирования);
(2) 9
0 4 10E Па, (2)
0 0,35 (мгновенные характеристики наполнителя), (2) 0,1 сек
(реологический параметр наполнителя); 5 , 2 3 (параметры трещиностойкос-
ти). Другие реологические параметры определяются при помощи введенных в (23)
коэффициентов, значение которых представлено на рисунке. Приведем также пара-
метры для реализации обратного преобразования Лапласа согласно выражениям (11)
и (12): 0,7d , 0,8 , 35n , 5 , 0,8 , 0,5s . Таким образом, на каждом
интервале изменения времени [ ]j jt t мы получаем ядро в виде линейной комбина-
ции 71 экспонент.
Разбивка интервала [1 ] выполнена согласно к (27), причем параметр q выбран
следующим образом: принимая 0q незначительно большим единицы, вычисляем ко-
личество интервалов переходного периода как наименьшее натуральное число M
большее 0M – корня уравнения
0
11 ( 1) ( 1)( 1) 1M Nq q (28)
дальше параметр q определен как корень уравнения (28) (с параметром M вместо
0M ), ближайший к 0q . Такое построение позволяет сохранить разбивку в виде гео-
метрической прогрессии, без добавления отдельного узла в точку 11 .
Количество интервалов в расчетах 30N . Причем на рисунке показаны лишь
части кинетических кривых для 2,6 5 (на отсутствующей части существен-
но возрастает скорость распространения трещины).
Заполненные квадратики на каждой из кинетических кривых соответствуют про-
должительности инкубационного периода и времени окончания переходного периода.
При расчетах, результаты которых приведены на рис. 2(в, е, и) сохранены все ис-
ходные параметры, кроме параметра , который выбран таким образом, чтобы во
время инкубационного периода параметр 2 представлял такую же величину, которая
была выбрана при исследовании в рамках концепции const ; согласно (7) параметр
1
2cos ( 2 ) 1 ; параметр M выбран как и при использовании концепции
const , когда в выражении (28) вместо 1 принято .
59
Характер кинетических диаграмм развития трещины продольного сдвига качест-
венно отвечает аналогичным диаграммам для трещины нормального отрыва, полу-
ченным в работах [2 – 4]. Близость долговечностей для разных значений одного из
параметров Ek , 1k и k и фиксированных других обусловлена соответствующими
расхождениями между кривыми релаксации материала волокон на временном проме-
жутке, в котором получено решение уравнений докритического развития трещины.
Изучение кривых на рис. 2 показывает, что использование модели с постоянной
длиной зоны предразрушения приводит к получению больших значений долговечно-
сти, чем использование модели с постоянным напряжением в зоне предразрушения.
Следовательно, если с помощью проведенных исследований не удается определить,
которой из моделей следует отдать предпочтение при прогнозировании развития тре-
щин в том или ином композитном материале, тогда оценку долговечности следует
выполнять по результатам исследования с использованием модели постоянного на-
пряжения в зоне предразрушения.
Р Е ЗЮМ Е . В рамках нелінійної механіки руйнування отримано рівняння розвитку тріщини
поздовжнього зсуву в композитному матеріалі, компоненти якого мають лінійно-в’язкопружні влас-
тивості. Дослідження проведено на основі двох моделей механізму розвитку тріщини: моделі сталос-
ті довжини зони передруйнування та моделі сталості напружень у цій зоні. Створену схему
розв’язання задачі застосовано для побудови числового розв’язку у формі кінетичних кривих розвит-
ку тріщини. Наведено аналіз отриманих результатів.
1. Ву Э. Прочность и разрушение композитов (Композиционные материалы, т. 5 – Разрушение и ус-
талость, под. ред. Браутман Л.). – М.: Мир, 1978. – 484 c.
2. Гузь А.Н, Каминский А.А. Назаренко В.М. Механика разрушения. – К.: Наук. думка, 1996. – 340с. –
(Механика композитов: в 12-ти т.; т. 5).
3. Каминский А.А. Разрушение вязкоупругих тел с трещинами. – К.: Наук. думка, 1990. – 310 с.
4. Каминский А.А., Гаврилов Д.А. Длительное разрушение полимерных и композитных материалов с
трещинами. – К.: Наук. думка, 1992. – 248 с.
5. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. – М.: Мир, 1982. – 336 с.
6. Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. – К.: Наук. думка, 1991. – 416 с.
7. Серенсен С.В., Зайцев Г.П. Несущая способность тонкостенных конструкций из армированных
пластиков с дефектами. – К.: Наук. думка, 1982. – 295 с.
8. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Шикула Е.Н., Назаренко Л.В. Статистическая механика и эффектив-
ные свойства материалов. – К.: Наук. думка, 1993. – 390 с. – (Механика композитов: в 12 т.; т. 3).
9. Alex R., Schovanec L. An anti-plane crack in a nonhomogeneous viscoelastic body // Engng Fract. Mech.
– 1996. – 1, N 5 – P. 727 – 735.
10. Herrmann J.M., Schovanec L. Quasi-static mode III fracture in a nonhomogeneous viscoelastic body //
Acta Mech. – 1990. – 85, N 3 – 4. – P. 235 – 249.
11. Kaminsky A.A., Chernoivan Yu.A. On certain numerical-analytical method of solving the boundary problems of
linear theory of viscoelasticity of anisotropic body // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 5. – P. 509 – 517.
12. Kaminsky A.A., Selivanov M.F. Growth of a penny-shaped crack with a nonsmall fracture process zone
in a composite // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 8. – P. 866 – 871.
13. Kaminsky A.A., Selivanov M.F. Determination and analysis of the effective relaxation properties of a
composite with viscoelastic components // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 1. – P. 18 – 27.
14. Kaminsky A.A., Selivanov M.F. Mode II macrocrack initiation in orthotropic composite viscoelastic plate
// Int. J. Fract. – 2006. – 139, N 1. – P. 153 – 160.
15. López –Fernández M., Palencia C., Schädle A. A spectral order method for inverting sectorial Laplace
transforms // SIAM J. Numer. Anal. – 2006 – 44, N 3, P. 1332 – 1350.
16. Selivanov M.F. On the effective properties of linear viscoelastic composite // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45,
N 10. – P. 1139 – 1146.
Поступила 11.11.2010 Утверждена в печать 22.11.2012
|