Напряженно-деформированное состояние нетонких сферических оболочек переменной толщины при локализованных нагрузках
На основі теорії, що базується на гіпотезі прямої лінії, проведено дослідження напружено-деформованого стану нетонких сферичних оболонок зі змінною товщиною за дії локалізованих навантажень. Для зведення двовимірних крайових задач до одновимірних застосовано метод сплайн-колокації. Одновимірні крайо...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2013
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87762 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Напряженно-деформированное состояние нетонких сферических оболочек переменной толщины при локализованных нагрузках / А.Я. Григоренко, О.В. Вовкодав, С.Н. Яремченко // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 74-81. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87762 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Григоренко, А.Я. Вовкодав, О.В. Яремченко, С.Н. 2015-10-24T19:42:21Z 2015-10-24T19:42:21Z 2013 Напряженно-деформированное состояние нетонких сферических оболочек переменной толщины при локализованных нагрузках / А.Я. Григоренко, О.В. Вовкодав, С.Н. Яремченко // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 74-81. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87762 На основі теорії, що базується на гіпотезі прямої лінії, проведено дослідження напружено-деформованого стану нетонких сферичних оболонок зі змінною товщиною за дії локалізованих навантажень. Для зведення двовимірних крайових задач до одновимірних застосовано метод сплайн-колокації. Одновимірні крайові задачі розв'язано за допомогою методу дискретної ортогоналізації. Проведено аналіз розподілу переміщень та напружень в оболонках залежно від розміщення розподіленого навантаження, а також від параметрів зміни товщини оболонок. In terms of the based on the straight line hypothesis theory, an analysis of a stress-strain state on non-thin spherical shells of variable thickness under the localized loads is carried out. To reduce the two-dimensional boundary problems to the one-dimensional ones, the spline-collocation method is used. The one-dimensional boundary problems are solved with the discrete-orthogonalization method. An analysis of displacements and stresses distribution in shells is carried out depending on the location of distributed loading as well as on parameters of thickness variation. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Напряженно-деформированное состояние нетонких сферических оболочек переменной толщины при локализованных нагрузках The Stress-Strain State of Non-thin Spherical Shells of Variable Thickness under Local Loads Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Напряженно-деформированное состояние нетонких сферических оболочек переменной толщины при локализованных нагрузках |
| spellingShingle |
Напряженно-деформированное состояние нетонких сферических оболочек переменной толщины при локализованных нагрузках Григоренко, А.Я. Вовкодав, О.В. Яремченко, С.Н. |
| title_short |
Напряженно-деформированное состояние нетонких сферических оболочек переменной толщины при локализованных нагрузках |
| title_full |
Напряженно-деформированное состояние нетонких сферических оболочек переменной толщины при локализованных нагрузках |
| title_fullStr |
Напряженно-деформированное состояние нетонких сферических оболочек переменной толщины при локализованных нагрузках |
| title_full_unstemmed |
Напряженно-деформированное состояние нетонких сферических оболочек переменной толщины при локализованных нагрузках |
| title_sort |
напряженно-деформированное состояние нетонких сферических оболочек переменной толщины при локализованных нагрузках |
| author |
Григоренко, А.Я. Вовкодав, О.В. Яремченко, С.Н. |
| author_facet |
Григоренко, А.Я. Вовкодав, О.В. Яремченко, С.Н. |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
The Stress-Strain State of Non-thin Spherical Shells of Variable Thickness under Local Loads |
| description |
На основі теорії, що базується на гіпотезі прямої лінії, проведено дослідження напружено-деформованого стану нетонких сферичних оболонок зі змінною товщиною за дії локалізованих навантажень. Для зведення двовимірних крайових задач до одновимірних застосовано метод сплайн-колокації. Одновимірні крайові задачі розв'язано за допомогою методу дискретної ортогоналізації. Проведено аналіз розподілу переміщень та напружень в оболонках залежно від розміщення розподіленого навантаження, а також від параметрів зміни товщини оболонок.
In terms of the based on the straight line hypothesis theory, an analysis of a stress-strain state on non-thin spherical shells of variable thickness under the localized loads is carried out. To reduce the two-dimensional boundary problems to the one-dimensional ones, the spline-collocation method is used. The one-dimensional boundary problems are solved with the discrete-orthogonalization method. An analysis of displacements and stresses distribution in shells is carried out depending on the location of distributed loading as well as on parameters of thickness variation.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87762 |
| citation_txt |
Напряженно-деформированное состояние нетонких сферических оболочек переменной толщины при локализованных нагрузках / А.Я. Григоренко, О.В. Вовкодав, С.Н. Яремченко // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 74-81. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT grigorenkoaâ naprâžennodeformirovannoesostoânienetonkihsferičeskihoboločekperemennoitolŝinyprilokalizovannyhnagruzkah AT vovkodavov naprâžennodeformirovannoesostoânienetonkihsferičeskihoboločekperemennoitolŝinyprilokalizovannyhnagruzkah AT âremčenkosn naprâžennodeformirovannoesostoânienetonkihsferičeskihoboločekperemennoitolŝinyprilokalizovannyhnagruzkah AT grigorenkoaâ thestressstrainstateofnonthinsphericalshellsofvariablethicknessunderlocalloads AT vovkodavov thestressstrainstateofnonthinsphericalshellsofvariablethicknessunderlocalloads AT âremčenkosn thestressstrainstateofnonthinsphericalshellsofvariablethicknessunderlocalloads |
| first_indexed |
2025-11-27T05:35:04Z |
| last_indexed |
2025-11-27T05:35:04Z |
| _version_ |
1850799164326150144 |
| fulltext |
2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 3
74 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 3
А .Я . Г р и г о р е н к о , О .В .В о в к о д а в , С .Н .Я р е м ч е н к о
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ НЕТОНКИХ
СФЕРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ
ПРИ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ НАГРУЗКАХ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина;
e-mail: ayagrigorenko@yandex.ru, oxanaukr2111@hotmail.com, yaremch@gmail.com
Abstract. In terms of the based on the straight line hypothesis theory, an analysis of a
stress-strain state on non-thin spherical shells of variable thickness under the localized loads
is carried out. To reduce the two-dimensional boundary problems to the one-dimensional
ones, the spline-collocation method is used. The one-dimensional boundary problems are
solved with the discrete-orthogonalization method. An analysis of displacements and
stresses distribution in shells is carried out depending on the location of distributed loading
as well as on parameters of thickness variation.
Keywords: spherical shell, refined statement, varying thickness, spline-collocation
method.
Введение.
Во многих областях современной техники широко применяются сферические
оболочки переменной толщины. Это обусловливает необходимость расчета их напря-
женно-деформированного состояния. Исследование прочностных характеристик от-
меченных оболочек сопряжено сo значительными трудностями вычислительного ха-
рактера, обусловленными сложностью исходной системы дифференциальных уравне-
ний в частных производных и соответствующих граничных условий.
Основные численные методы для исследования напряженно-деформированного
состояния оболочек и рекомендации по их применению изложены в [4, 6, 7]. В [11, 14,
15] проведены исследования некоторых классов сферических оболочек.
В данной статье рассмотрена задача о напряженно-деформированном состоянии
сферических оболочек, толщина которых может изменяться в одном или двух коор-
динатных направлениях, при определенных видах закрепления их сторон и действии
локализованной нагрузки. При этом исследовано влияние изменения толщины при
сохранении веса оболочек на их напряженно-деформированное состояние. Решение
задачи проведено в неклассической постановке на основе уточненной модели прямо-
линейного элемента [1, 3, 5, 12, 13].
1. Постановка задачи.
Рассмотрим нетонкие сферические оболочки, толщина которых изменяется в од-
ном или двух координатных направлениях, в уточненной постановке, основанной на
гипотезе прямолинейного элемента. Суть принятой гипотезы состоит в том, что пер-
воначально нормальный к координатной поверхности элемент после деформации ос-
тается прямолинейным, но не перпендикулярным к деформированной координатной
поверхности. При этом принимаем, что указанный элемент не изменяет свою длину.
Оболочка отнесена к ортогональной системе координат , , , где , – сфериче-
ские координаты, а – нормальная к поверхности приведения координата.
75
В соответствии с принятой гипотезой перемещения оболочки представим в виде
( , , ) ( , ) ( , );u u ( , , ) ( , ) ( , );u v
( , , ) ( , ),u w
(1)
где , ,u u u – соответствующие перемещения; , ,u v w – перемещения точек коорди-
натной поверхности в направлениях , , ; , – полные углы поворота прямо-
линейного элемента. В соответствии с (1) выражения для деформаций имеют вид
( , , ) ( , ) ( , );e ( , , ) ( , ) ( , );e
( , , ) ( , ) 2 ( , );e ( , , ) ( , );e ( , , ) ( , )e
(2)
1
;
u
w
r
1
cos ;
sin
v w
u
r r
1 1
cos ;
sin
u v
v
r r
1 1
;
u
w
r r
2
1 1
cos ;
sin
v u w
r r r r
2
1 1 1 1
2 cos ;
sin
v v u
r r r rr
(3)
; ;
1
;
w
u
r
1 1
sin
w
v
r
;
, , – тангенциальные, а , , изгибные деформации координатной по-
верхности; , – углы поворота нормали без учета поперечных сдвигов; , –
углы поворота нормали, обусловленные поперечными сдвигами).
Уравнения равновесия имеют вид
cos sin 0;
NN
N N Q
2cos sin 0;
NN
N Q
cos sin 0
Q Q
Q N N rq
; (4)
cos sin 0;
M M
M M rQ
2cos sin 0
MM
M rQ
,
где , , ,N N N N – тангенциальные усилия; ,Q Q – перерезывающие усилия;
, , ,M M M M – изгибающие и крутящие моменты.
Соотношения упругости для ортотропных оболочек симметричной структуры по
толщине относительно выбранной координатной поверхности принимают вид
11 12 ;N C C 12 22 ;N C C
76
66 2 662 ;N C k D 66 1 662 ;N C k D
11 12 ;M D D 12 22 ;M D D (5)
662 ;M M D 1 ;Q K 2Q K
11 ;
1
E h
C
12 11;C C 22 ;
1
E h
C
66 ;C G h
3
11 ;
12(1 )
E h
D
12 11;D D
3
22 ;
12(1 )
E h
D
3
66 ;
12
G h
D 1
5
;
6
K hG 2
5
6
K hG
.
(6)
В формулах (6) , , ,E E – модули упругости и коэффициенты Пуассона в на-
правлениях и ; , ,G G G – модули сдвига; ( , )h h – толщина оболочки.
Для определения напряжений в ортотропных прямоугольных в плане пологих
оболочках будем исходить из соотношений закона Гука [1, 2]
11 12 ;e b b 12 22 ;e b b 66e b ; 55e b ; 44e b (7)
11
1
b
E
; 12b
E E
; 22
1
b
E
; 66
1
b
G
; 44
1
b
G
; 55
1
b
G
. (8)
Разрешив равенства (7) относительно напряжений и используя (2), получаем вы-
ражения для напряжений через деформации координатной поверхности
2
11 22 12 22 12( ) ( ) ( )b b b b b ;
2
12 11 22 12 11( ) ( ) ( )b b b b b ; (9)
66 2b ; 55b ; 44b .
Разрешающими функциями выберем компоненты вектора перемещения и полные
углы поворота , , , ,u v w . После некоторых преобразований из указанных основ-
ных уравнений уточненной теории оболочек получаем систему пяти разрешающих
дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с перемен-
ными коэффициентами:
2 2 2
2 211 12 13 1 4 15 1 6 17 18 19
u u u u v v v w
a a a a u a a a a v a
22
21,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 ;a w a a a a a a a
2 2 2
2 22 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9
v u u u v v v w
a a a a u a a a a v a
22
2,11 2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,1722,10 ;a w a a a a a a a
77
2 2
2 231 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9
w u v w w w
a a u a a v a a a a w a
3,10 3,11 3,12 3,13 ;a a a a q
2 2 2
2 24 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 7
u u u v v v
a a a a u a a a
2
248 49 4,10 4,11 4,12 4,13
w
a v a a w a a a
2
4,14 4,15 4,16 4,17 4,18 ;a a a a a
(10)
2 2 2
2 25 5 5 751 5 2 5 3 5 4 5 6
u u u v v v
a a a a u a a a
2
58 59 5,10 5,11 5,12 5,13
w
a v a a w a a a
2
25,14 5,15 5,16 5,17 5,18 .a a a a a
Коэффициенты ija в общем случае зависят от и .
Рассмотрим задачу при условиях, когда края оболочки жестко закреплены, т.е.
0u v w . (11)
2. Метод решения задачи.
Для решения рассматриваемого класса двумерных краевых задач применим под-
ход, основанный на аппроксимации искомого решения в одном координатном на-
правлении с помощью сплайн-функций, а для решения полученной при этом одно-
мерной краевой задачи используем устойчивый численный метод дискретной ортого-
нализации [2, 3, 8 – 10].
В систему (10) входят производные от разрешающих функций по координате не
выше второго порядка. На этом основании при аппроксимации решений по координа-
те ограничимcя сплайн-функциями третьей степени. Тогда искомое решение крае-
вой задачи для системы уравнений (10) с соответствующими граничными условиями
представим в следующем виде [3, 8, 10]:
1( , ) ( ) ( );
N
i i
i o
u u
2( , ) ( ) ( );
N
i i
i o
v v
3( , ) ( ) ( );
N
i i
i o
w w
4( , ) ( ) ( );
N
ii
i o
5( , ) ( ) ( ),
N
ii
i o
(12)
где ( ), ( ), ( ), ( ), ( )i i i i iu v w – искомые функции переменной , ( )ji ( 1,5)j
– линейные комбинации B-сплайнов на равномерной сетке 0 1: 0 ... ,N b
удовлетворяющие граничным условиям на контурах 0 и b . В систему входят
производные от разрешающих функций по координате y не выше второго порядка; в
этом случае ограничимся их аппроксимацией сплайн-функциями третьей степени
78
2
3
2 1
3 2
1
3 3 2
1
3
1 2
2
0, ;
, ;
3 3 3 1, ;
( )
3 6 4, ;
(1 ) , ;
0, ,
i
i i
i ii
i i
i i
i
z
z z z
B
z z
z
(13)
где ( ) /kz h на интервале 1,k k ; 2, 1k i i ; 1, 1i N ; 1 constk kh .
При этом функции ( )ji формируются таким образом:
1) если соответствующая разрешающая функция равна нулю, то
1 0
0 3 3( ) 4 ( ) ( )j B B ; 1 0 1
1 3 3 3
1
( ) ( ) ( ) ( )
2j B B B ;
3( ) ( ) ( 2, 3,..., 2)i
ji B i N ;
(14)
2) если производная по разрешающей функции равна нулю, то
0
0 3( ) ( )j B ; 1 0 1
1 3 3 3
1
( ) ( ) ( ) ( )
2j B B B ;
3( ) ( ), ( 2, 3,..., 2)i
ji B i N .
(15)
Аналогично представляются функции , 1( )j N и , ( )j N .
Подставляя решение (12) в разрешающую систему уравнений (10) и в соответст-
вии с методом сплайн-коллокации требуя их удовлетворения в заданных точках кол-
локации [0, ], 0,k b k N , получаем систему обыкновенных дифференциальных
уравнений порядка 10( 1)N , которая в нормальной форме Коши имеет вид
( ) ( )
dR
A R f
d
(16)
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1, ,..., , , ,..., , , ,..., , , ,..., , , ,...,N N N NR u u u u u u v v v v v v w w
0 1 0 1, , ,..., , , ,...,
T
N N Nw
– вектор-функция от ; f – вектор правых частей; A – квадратная матрица,
элементы которой зависят от ) .
Для решения одномерной краевой задачи (16) используем метод дискретной орто-
гонализации.
3. Решение задач и анализ полученных результатов.
С помощью предложенного численно-аналитического подхода решена задача о
напряженно-деформированном состоянии сферической, замкнутой по параметру
оболочки / 6 5 / 6 переменной в одном координатном направлении толщи-
ны. Толщина оболочки изменяется по следующему закону: 1 cos ,h где –
параметр, который характеризирует изменения толщины оболочки в координатном
направлении ( = 0,25). Радиус оболочки R = 20, края жестко закреплены. На обо-
лочку действует нормальная локализованная нагрузка 0 constq q , приложенная в
области ( / 6 , 0 2 ) .
79
Рис. 1
На рис. 1 показано разделение прогибов w на поверхностях 0 (сплошная ли-
ния) и (штриховая линия) при изменении интервала приложения распределен-
ной нагрузки.
Видно, что при перемещении нагрузки с края оболочки к середине (т.е. при изме-
нении параметра от / 6 до 5 /12 ) наблюдается также смещение точки макси-
мального прогиба. При отдалении от края оболочки максимальные прогибы смеща-
ются незначительно как для сечения 0 (сплошная линия), так и для (штри-
ховая линия).
На рис. 2, 3 показано изменение напряжений на внутренней поверхности оболоч-
ки (
), соответственно, в сечениях 0 (рис. 2) и (рис. 3) при изменении
интервала приложения распределенной нагрузки.
Рис. 2
Рис. 3
80
Из результатов рис. 2, 3 следует, что максимальные напряжения
имеют место
вблизи края оболочки / 6 в случае, когда нагрузка приложена у края оболочки.
При смещении нагрузки к середине оболочки напряжения у края существенно уменьша-
ются, при этом их максимальные значения сдвигаются в среднюю часть оболочки.
Также исследовано распределение прогибов оболочки в двух координатных на-
правлениях при локализованной нагрузке ( = / 6 ). Принято, что толщина изменя-
ется по следующему закону: (1 cos )(1 cos ),h где и – параметры, ха-
рактеризующие изменение толщины в направлениях, соответственно, и .
На рис. 4 показана зависимость значений прогибов w в сечении 0 от значений
параметров изменений толщины оболочек. Рассмотрены такие комбинации парамет-
ров: 1) = 0, = 0 (толщина оболочки постоянная); 2) = 0, = 0,15; 3) = 0,
= 0,25; 4) = 0,25 и = 0,15.
Рис. 4
Из данных рис. 4, следует, что если параметры, характеризующие изменения
толщины оболочки, увеличиваются, то прогибы на отрезке / 6 / 3 уменьша-
ются достаточно заметно, а на остальном участке – прогибы изменяются незначи-
тельно.
На рис. 5 показана зависимость значений прогибов w в сечении от измене-
ний толщины оболочки.
Рис. 5
Получено, что с увеличением параметров изменения толщины оболочки, прогибы
поверхности в сечении на отрезке / 6 / 3 увеличиваются, причем па-
раметр значительно больше влияет на прогибы, чем параметр .
81
Изменение толщины влияет исключительно на величину прогибов, в то время как
локализованная нагрузка не только влияет на величину, но также смещает точку мак-
симального прогиба.
Таким образом, из полученных результатов следует, что, варьируя не только ве-
личиной параметров изменения толщины, но также и величиной локализованной на-
грузки, можно влиять на выбор рациональных параметров оболочки, относящихся к
оценке ее деформативности и прочности.
Р Е ЗЮМ Е . На основі теорії, що базується на гіпотезі прямої лінії, проведено дослідження на-
пружено-деформованого стану нетонких сферичних оболонок зі змінною товщиною при дії локалізо-
ваних навантажень. Для зведення двовимірних крайових задач до одновимірних застосовано метод
сплайн-колокації. Одновимірні крайові задачі розв’язано методом дискретної ортогоналізації. Прове-
дено аналіз розподілу переміщень та напружень в оболонках в залежності від розміщення розподі-
леного навантаження, а також від параметрів зміни товщини оболонок.
1. Власов В.З. Общая теория оболочек. – М.; Л.: Гл. изд. техн.-теор. лит., 1949. – 784 с.
2. Григоренко Я.М. Василенко А.Т. Теория оболочек переменной жесткости. – К.: Наук. думка,
1981. – 543 с.
3. Григоренко Я.М., Влайков Г.Г., Григоренко А.Я. Численно-аналитическое решение задач механики
оболочек на основе различных моделей. – К.: Академпериодика, 2006. – 472 с.
4. Григоренко Я.М., Шевченко Ю.Н., Василенко А.Т. и др. Численные методы. – К.: «А.С.К.»,
2002. – 448с.
5. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. – К.: Наук. думка, 1973. – 246с.
6. Cheung У.К. Finite Snip Method in Structure Analysis. – Oxford: Pergamon Press, 1976. – 514 p.
7. Fan S.C., Cheung Y.K. Analysis of shallow shells by spline finite strip method // Eng. Struct. – 1983. –
N 5. – P. 255 – 263.
8. Grigorenko A.Ya., Mal’sev S.A. Natural Vibrations of Thin Conical Panels of Variable Thickness // Int.
Appl. Mech. – 2009. – 45, N 11. – P.1221 – 1231.
9. Grigorenko A. Ya., Parkhomenko A. Yu. Free Vibrations of Shallow Nonthin Shells with Variable Thick-
ness and Rectangular Platform // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 8. – P. 877 – 889.
10. Grigorenko Ya. M., Rozhok L.S. Influence of Curvature on the Stress State of Hollow Cylinders with
Complex-Shaped Noncircular Cross-Section // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 7 – P. 737 – 743.
11. Li Q.S., Lui J., Tang J. Buckling of shallow spherical shells including the effect of transverse shear de-
formation // Int. J. of Mech. Science. – 2003. – 38, N 9. – P. 1519 – 1529.
12. Rychter Z. Family of shear deformation theories for shallow shells // Adv Mech. – 1993. – N 98. –
P. 221 – 232.
13. Simmonds J.G., Wan F.Y.M. An asymptotic analysis of the three-dimensional displacements and stresses
in a spherical shell under inward radically opposed concentrated surface loads // Int. J. of Solids and
Struct. – 2001. – 38, N 38 – 39. – P. 6869 – 6887.
14. Voronovich I.I., Manakova N.I. Equations of the axisymmetric state of stress and strain of a non-
shallow spherical shell of nonlinear elastic material under large deformation // J. of Appl. Math.
and Mech. – 1973. – 37, N 4. – P. 886 – 891.
15. Wunderlich W., Albertin U. Buckling behaviour of imperfect spherical shells // Int. J. of Non-
Linear Mech. – 2002. – 37, N 4 – 5. – P. 589 – 604.
Поступила 15.04.2011 Утверждена в печать 22.11.2012
|