Осесимметричное магнитоупругое деформирование гибкой ортотропной кольцевой пластины с учетом ортотропной электропроводности
Розглянуто нелінійну задачу магнітопружності в осесиметричній постановці для ортотропної кільцевої пластини з ортотропною електропровідністю. Одержано розв'язувальну систему нелінійних диференціальних рівнянь, яка описує напружено-деформівний стан гнучких ортотропних кільцевих пластин в механіч...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87763 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Осесимметричное магнитоупругое деформирование гибкой ортотропной кольцевой пластины с учетом ортотропной электропроводности / Л.В. Мольченко, И.И. Лоос, Л.М. Федорченко // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 82-88. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859469667583655936 |
|---|---|
| author | Мольченко, Л.В. Лоос, И.И. Федорченко, Л.М. |
| author_facet | Мольченко, Л.В. Лоос, И.И. Федорченко, Л.М. |
| citation_txt | Осесимметричное магнитоупругое деформирование гибкой ортотропной кольцевой пластины с учетом ортотропной электропроводности / Л.В. Мольченко, И.И. Лоос, Л.М. Федорченко // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 82-88. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Розглянуто нелінійну задачу магнітопружності в осесиметричній постановці для ортотропної кільцевої пластини з ортотропною електропровідністю. Одержано розв'язувальну систему нелінійних диференціальних рівнянь, яка описує напружено-деформівний стан гнучких ортотропних кільцевих пластин в механічному та магнітному полях. Наведено числовий приклад. Проведено аналіз напруженого стану ортотропної пластини залежно від тангенційної складової магнітної індукції.
The nonlinear problem of magnetoelasticity is considered in the axisymmetric statement for a circular ring plate. The resolving system of nonlinear differential equations is obtained, which describes the stress-strain state of the flexible orthotropic ring plate in mechanical and magnetic fields. The numerical example is given. An analysis of the stress state of orthotropic plate is carried out depending on the tangential component of the magnetic induction.
|
| first_indexed | 2025-11-24T08:35:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 3
82 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 3
Л .В .Мо л ь ч е н к о 1 , И .И .Л о о с 2 , Л .М .Ф е д о р ч е н к о
ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ МАГНИТОУПРУГОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ГИБКОЙ
ОРТОТРОПНОЙ КОЛЬЦЕВОЙ ПЛАСТИНЫ С УЧЕТОМ ОРТОТРОПНОЙ
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ
Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, пр. Глушкова, 4-Е,
03127, Киев, Украина; e-mail: 1 Mol_lv@univ.kiev.ua, 2 Loiri@ univ.kiev.ua
Abstract. The nonlinear problem of magnetoelasticity is considered in the axisymmet-
ric statement for a circular ring plate. The resolving system of nonlinear differential equa-
tions is obtained, which describes the stress-strain state of the flexible orthotropic ring plate
in mechanical and magnetic fields. The numerical example is given. An analysis of the
stress state of orthotropic plate is carried out depending on the tangential component of the
magnetic induction.
Keywords: ring flexible plate, magnetic field, magnetoelasticity.
Введение.
В механике сопряженных полей существенное место занимают вопросы изучения
движения оболочек и пластин в нелинейной постановке, в том числе и кольцевых плас-
тин, с учетом электромагнитных эффектов. Исследование механики связанных полей
в деформированных телах имеют как фундаментальный, так и прикладной характер,
что придает им особую актуальность. В современной технике используются конструкци-
онные материалы, которые в недеформированном состоянии являются анизотропными.
В данной статье исследовано напряженно-деформированное состояние гибких ор-
тотропных кольцевых пластин, находящихся в магнитном поле.
1. Постановка задачи. Основные уравнения.
Предполагая, что на тело действует внешнее магнитное поле, уравнения магнито-
упругости в лагранжевых переменных в области, занимаемой телом (внутренняя за-
дача), представим в виде [1 – 3]
rot ;
B
E
t
rot ;H J
div 0;B
div 0;D
(1)
( ) div ,
V
f f P
t
(2)
где E
– напряженность электрического поля; H
– напряженность магнитного поля;
B
– магнитная индукция; D
– электрическая индукция; J
– плотность электрического
тока; – плотность материала; f
– объемная механическая сила; f
– объемная
сила Лоренца; V
– скорость деформирования.
Для рассматриваемого случая квадратичной нелинейности [1, 4] принимаем, что
деформации и сдвиги малы в сравнении с углами поворота элемента, а сами углы су-
щественно меньше единицы. Упругие свойства материала соответствуют ортотроп-
ному телу, главные направления упругости которого совпадают с направлениями со-
83
ответствующих координатных линий, а электромагнитные свойства материала харак-
теризуются тензорами электрической проводимости ij , магнитной проницаемости
ij , диэлектрической проницаемости ( , 1, 2, 3)ij i j . При этом, исходя из кристалло-
графии [2], для класса проводящих ортотропных тел с ромбической кристаллической
структурой тензора ij , ij , ij принимают диагональный вид. В этом случае матери-
альные соотношения, обобщенный закон Ома и выражения пондеромоторных сил
запишем, соответственно, в виде [3, 5]
;ijB H
ijD E
; (3)
( )ijJ E V B
; (4)
( ) .ijf E V B B
(5)
При исследовании деформации круглой ортотропной пластины в магнитном поле
отнесем ее к цилиндрической системе координат , ,r z так, чтобы срединная плос-
кость пластины была связана с полярной системой координат и центр пластины нахо-
дился в начале координат.
Рассмотрим кольцевую пластину в одномерной постановке по пространственной
координате r ; предположим, что 0 ; 0v ; 0rE ; 0B ; 0S ; 0H ;
0;f 0;f ( )h h r , где S – сдвигающее усилие; v – окружное перемещение.
С учетом диагонального вида тензоров электропроводности полная система урав-
нений, позволяющая описать геометрически нелинейную модель магнитоупругости
ортотропных кольцевых пластин, состоит из [1, 6, 7]:
уравнений магнитоупругости
2
2
( )
( ) ;r
r r
rN u
N r f f r h
r t
2
2
( )
( ) ;r
z z
rQ w
r f f r h
r t
( )
0;r
r r r
rM
M rQ rN
r
( )1
;
B rE
t r r
(6)
2 0,5 ( ) ;z r r
r r z
w u H H H
E B B B
t t r h
выражений для деформаций:
21
;
2r r
u
r
;
u
r
;r
r r
1
,rr
(7)
где r
w
r
– угол поворота нормали;
соотношений упругости:
( );
1
r
r r
r
e h
N
( );
1 r r
r
e h
N
(8)
3
( );
12(1 )
r
r r
r
e h
M
3
.
12(1 ) r r
r
e h
M
84
В равенствах (6) – (8) принято: r r , r , r re e ; ,r – коэффициенты
Пуассона; ,re e – модули Юнга; ,u w – перемещения; ,rN N – тангенциальные
усилия; ,rM M – изгибающие моменты; rQ – обобщенное перерезывающее усилие;
,r – главные кривизны срединной поверхности пластины; rB – известные значе-
ния компонент тангенциальных составляющих магнитной индукции на поверхностях
пластины.
Компоненты силы Лоренца имеют такой вид:
2
1 0,5 ( ) ;r z z r r z
u w
f h E B B B B B
t t
2 0,5 ( )z r rf h E B B (9)
2 21
0,25 ( ) ( ) 0,5 ( ) .
12r r r r r r z
w w u
B B B B B B B
t t t
2. Разрешающая система уравнений магнитоупругости ортотропной кольце-
вой пластины.
При построении разрешающей системы уравнений в качестве искомых функций
выбираем , , , , , , ,r r r r zu w N Q M B E , которые также используем при задании гра-
ничных условий.
После соответствующих преобразований соотношений (6) – (9) получаем сле-
дующую разрешающую систему дифференциальных уравнений в нормальной форме:
21
0,5 ;r
r r
r
u
N u
r e h r
;r
w
r
3
12(1 )
;rr
r r
r
M
r re h
2
2 2
1
( 1) ( ) ;r
r r r
e hN u
N u f f h
r r r t
2
2
1
( ) ;r
r z z
Q w
Q f f h
r r t
(10)
3
2
1
( 1) ;
12
r
r r r r r
e hM
M Q N
r r r
2 0,5 ( ) ;z r r
r r z
B w u B B
E B B B
r t t h
1
.zE B
E
r t r
Полученная связанная нелинейная система гиперболо-параболических уравнений
магнитоупругости восьмого порядка в частных производных с переменными коэффи-
циентами описывает симметричную деформацию гибких кольцевых пластин пере-
менной вдоль радиуса толщины.
Краевые условия для функций, характеризующих механическую часть задачи, за-
даем как и в обычной теории оболочек. Краевые условия для электромагнитных функ-
ций могут быть заданы с учетом электрического поля или комбинации электрических
и магнитных полей. Начальные условия задаем в классическом виде.
85
3. Методика решения.
Методика решения нелинейной задачи магнитоупругости кольцевой пластины
переменной жесткости вдоль радиальной координаты основана на последовательном
использовании схемы Ньюмарка, метода квазилинеаризации и метода дискретной
ортогонализации [1, 8 – 11].
Для разделения переменных по временной координате применяем неявную схему
Ньюмарка, с помощью которой нелинейная краевая задача сводится к последователь-
ности нелинейных одномерных краевых задач на каждом временном шаге.
Следующий этап решения последовательности нелинейных краевых задач магни-
тоупругости основан на применении метода квазилинеаризации, с помощью которого
нелинейная краевая задача сводится к последовательности линейных краевых задач.
Далее каждую из линейных краевых задач последовательности на соответствующем
временном интервале решаем численно с помощью устойчивого метода дискретной
ортогонализации.
4. Числовой пример.
Исследуем напряженно-деформированное состояние металлической (бороалюми-
ний) кольцевой пластины постоянной толщины h , внутреннего радиуса 0r , внешнего
1r , находящейся под воздействием нормальной составляющей механической нагрузки
zP и внешнего магнитного поля с заданным вектором магнитной индукции ( )eB
.
Внешние токи и внешние электрические заряды отсутствуют.
Контуры пластины закреплены следующим образом:
0u ; 0rQ ; 0rM ; 0,1sinzB t (при 0r r );
0u ; 0w ; 0rM ; 0zB (при 1r r ) ( – круговая частота).
Параметры пластины и материала приняты следующие:
0 0,49м;r 1 0,86м;r 22 10 м;h 2 23 10 Н / м ;zP
10 222,9 10 Н / м ;re 10 210,7 10 Н / м ;e 61,256 10 Гн / м;
0,262;r 0,32; 32600кг / м ; 1314,16с ;
18
1 0,454 10 Ом м ; 18
2 0,454 10 Ом м ; 0,5 .rB T
Решение задачи получено на интервале времени 210t с , шаг интегрирования по
времени 310t c .
Исследовано влияние тангенциальных составляющих магнитной индукции на на-
пряженно-деформированное состояние кольцевой пластины для двух вариантов задачи:
1) 3 3 21 10 ; 5 10 ; 1 10 ;rB T 2) 0,15; 0,25; 0,5 .rB T
Результаты решения рассматриваемой задачи представлены ниже в виде графиков.
На рис. 1, 2 (вариант 1, вариант 2) представлено максимальное распределение про-
гиба пластины ( )w r при 35 10t c . Линии 1 – 3 соответствуют отрицательным значе-
ниям магнитной индукции, линии 4 – 6 – положительным значениям для вариантов 1, 2.
Положительные значения прогиба соответствуют отрицательным значениям маг-
нитной индукции (рис. 1, 2).
86
Максимальное значение прогиба отвечает линии 2 на рис. 1 ( 35 10rB Т ), мини-
мальное – линии 1 ( 31 10rB Т ) для положительных значений прогиба. Аналогичная
картина наблюдается и для отрицательных значений прогиба на рис. 1. Максимальному
значению w по абсолютной величине соответствует линия 5 ( 35 10rB Т ), минималь-
ному – линия 4 ( 31 10rB Т ).
На рис. 2 максимальное значение для положительного прогиба достигается при
0,15rB Т (линия 1), минимальное – при 0,25rB Т (линия 2). Для отрицатель-
ных значений прогиба максимальное значение по абсолютной величине достигается
при 0,5rB Т (линия 6), минимальное – при 0,25rB Т (линия 5).
Как следует из представленных результатов (рис. 1, 2), при увеличении значений тан-
генциальной составляющей магнитной индукции rB значения прогиба уменьшаются и
сближаются между собой (рис. 2). Это соответствует общей нелинейной теории пластин
(с увеличением тангенциальных усилий пластина становится более жесткой). Однако,
установить прямую закономерность между величиной прогиба и изменением тангенци-
альной составляющей магнитного поля, как это происходит с тангенциальными силами в
геометрически нелинейной теории пластин без влияния магнитного поля, не удается.
На рис. 3, 4 представлены максимальные значения прогиба ( )w t на внутреннем
контуре пластины для вариантов 1, 2. Картина распределения максимальных значений
прогиба в зависимости от времени соответствует результатам, приведенным на рис. 1, 2.
Положительные и отрицательные значения прогиба отвечают тем же значениям маг-
нитной индукции, что и на рис. 1, 2. Получено, что с увеличением значений rB про-
гиб уменьшается по абсолютной величине.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 3
87
Максимальное распределение составляющей напряженности электрического поля
( )E t представлено на внутреннем контуре пластины на рис. 5 при 0,15; 0,25; 0,5rB Т
(линии 1 – 3) и 0,15; 0,25; 0,5rB Т (линии 4 – 6). Согласно полученным
результатам наибольшее значение напряженности электрического поля E
достигается при 0,5rB Т . Для остальных значений магнитной индукции
результаты практически совпадают.
На рис. 6 показано максимальное распределение нормальной составляющей ме-
ханического напряжения ( )rrs r при 35 10t c по верхней поверхности пластины.
Линии 1 – 3 соответствуют значениям магнитной индукции варианта 1 со знаком ми-
нус, линии 4 – 6 – со знаком плюс. Как видно из графиков, представленных на рис. 6,
нормальные составляющие механического напряжения ( )rrs r зависят от изменения
тангенциальных составляющих магнитной индукции rB и соответствуют изменени-
ям прогиба, представленным на рис. 1.
Анализ полученных результатов, позволяет оценить влияние тангенциальных со-
ставляющих магнитной индукции на напряженное состояние гибкой ортотропной
кольцевой пластины. Исходя из представленных результатов, магнитоупругую нели-
нейную задачу для кольцевой пластины необходимо рассматривать в связанном виде,
что и отражено на рисунках.
Заключение.
В данной статье получено решение нелинейной задачи магнитоупругости орто-
тропной кольцевой пластины с учетом ортотропной электропроводности. Приведена
разрешающая система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая на-
пряженно-деформируемое состояние гибких кольцевых пластин с ортотропной элек-
тропроводностью, находящихся в силовом и магнитном полях. Дан числовой пример.
Результаты представлены в виде графиков. Проведен анализ влияния тангенциальной
составляющей магнитной индукции на напряженное состояние ортотропной пластины.
Р Е ЗЮМ Е . Розглянуто нелінійну задачу магнітопружності в осесиметричній постановці для
ортотропної кільцевої пластини з ортотропною електропровідністю. Отримано розв’язувальну сис-
тему нелінійних диференціальних рівнянь, яка описує напружено-деформівний стан гнучких орто-
тропних кільцевих пластин в механічному та магнітному полях. Наведено числовий приклад. Прове-
дено аналіз напруженого стану ортотропної пластини в залежності від тангенційної складової магніт-
ної індукції.
Рис. 5
Рис. 6
88
1. Григоренко Я.М., Мольченко Л.В. Основы теории пластин и оболочек с элементами магнитоупру-
гости: учебник. – К.: ИПЦ «Киевский университет», 2010. – 403 с.
2. Келли А., Гровс Г. Кристаллография и дефекты в кристаллах. – М.: Мир, 1974. – 496 с.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. – М.: Наука, 1982. – 624 с.
4. Мольченко Л. В., Лоос И. И., Индиаминов Р. Ш. Магнитоупругость конической оболочки с учетом
ортотропной электропроводности в геометрически нелинейной постановке // Вестник Киев. нац.
ун-та. – 2007. Вып. 2. – С. 85 – 90.
5. Стрэттон Д. А. Теория электромагнетизма. – М.: Л.: ГТТИ, 1948. – 540 с.
6. Шаповалов Л.А. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически нелинейной теории
тонких оболочек // Инж. журн. МТТ. – 1968. № 1. – С. 56 – 62.
7. Molchenko L.V. A Method for Solving Two-Dimensional Nonlinear Boundary-value Problems of Mag-
neto elasticity for Thin Shells // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 5. – P. 490 – 495.
8. Molchenko L.V., Loos I.I. Effect of Conicity on Axisymmetrical Strain State of Flexible Orthotropic Coni-
cal Shell in Non-stationary Magnetic Field // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 11. – P. 1261 – 1267.
9. Molchenko L.V., Loos I.I., Indiaminov R.Sh. Determining the Stress State of Flexible Orthotropic Shell of
Revolution in Magnetic Field // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 8. – P. 882 – 891.
10. Molchenko L.V., Loos I.I., Indiaminov R.Sh. Stress-strain State of Flexible Ring Plates of Variable Stiff-
ness in a Magnetic Field // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 11. – P. 1236 – 1242.
11. Molchenko L.V., Loos I.I., Plyas I.V. Stress Analysis of a Flexible Ring Plate with Circumferentially
Varying Stiffness in a Magnetic Field // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 5. – P. 567 – 572.
Поступила 05.04.2011 Утверждена в печать 22.11.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87763 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T08:35:18Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мольченко, Л.В. Лоос, И.И. Федорченко, Л.М. 2015-10-24T19:44:10Z 2015-10-24T19:44:10Z 2013 Осесимметричное магнитоупругое деформирование гибкой ортотропной кольцевой пластины с учетом ортотропной электропроводности / Л.В. Мольченко, И.И. Лоос, Л.М. Федорченко // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 3. — С. 82-88. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87763 Розглянуто нелінійну задачу магнітопружності в осесиметричній постановці для ортотропної кільцевої пластини з ортотропною електропровідністю. Одержано розв'язувальну систему нелінійних диференціальних рівнянь, яка описує напружено-деформівний стан гнучких ортотропних кільцевих пластин в механічному та магнітному полях. Наведено числовий приклад. Проведено аналіз напруженого стану ортотропної пластини залежно від тангенційної складової магнітної індукції. The nonlinear problem of magnetoelasticity is considered in the axisymmetric statement for a circular ring plate. The resolving system of nonlinear differential equations is obtained, which describes the stress-strain state of the flexible orthotropic ring plate in mechanical and magnetic fields. The numerical example is given. An analysis of the stress state of orthotropic plate is carried out depending on the tangential component of the magnetic induction. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Осесимметричное магнитоупругое деформирование гибкой ортотропной кольцевой пластины с учетом ортотропной электропроводности Axisymmetric Magnetoelastic Deformation of A Flexible Ring Plate with allowance for the Orthotropic Electroconductivity Article published earlier |
| spellingShingle | Осесимметричное магнитоупругое деформирование гибкой ортотропной кольцевой пластины с учетом ортотропной электропроводности Мольченко, Л.В. Лоос, И.И. Федорченко, Л.М. |
| title | Осесимметричное магнитоупругое деформирование гибкой ортотропной кольцевой пластины с учетом ортотропной электропроводности |
| title_alt | Axisymmetric Magnetoelastic Deformation of A Flexible Ring Plate with allowance for the Orthotropic Electroconductivity |
| title_full | Осесимметричное магнитоупругое деформирование гибкой ортотропной кольцевой пластины с учетом ортотропной электропроводности |
| title_fullStr | Осесимметричное магнитоупругое деформирование гибкой ортотропной кольцевой пластины с учетом ортотропной электропроводности |
| title_full_unstemmed | Осесимметричное магнитоупругое деформирование гибкой ортотропной кольцевой пластины с учетом ортотропной электропроводности |
| title_short | Осесимметричное магнитоупругое деформирование гибкой ортотропной кольцевой пластины с учетом ортотропной электропроводности |
| title_sort | осесимметричное магнитоупругое деформирование гибкой ортотропной кольцевой пластины с учетом ортотропной электропроводности |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87763 |
| work_keys_str_mv | AT molʹčenkolv osesimmetričnoemagnitouprugoedeformirovaniegibkoiortotropnoikolʹcevoiplastinysučetomortotropnoiélektroprovodnosti AT loosii osesimmetričnoemagnitouprugoedeformirovaniegibkoiortotropnoikolʹcevoiplastinysučetomortotropnoiélektroprovodnosti AT fedorčenkolm osesimmetričnoemagnitouprugoedeformirovaniegibkoiortotropnoikolʹcevoiplastinysučetomortotropnoiélektroprovodnosti AT molʹčenkolv axisymmetricmagnetoelasticdeformationofaflexibleringplatewithallowancefortheorthotropicelectroconductivity AT loosii axisymmetricmagnetoelasticdeformationofaflexibleringplatewithallowancefortheorthotropicelectroconductivity AT fedorčenkolm axisymmetricmagnetoelasticdeformationofaflexibleringplatewithallowancefortheorthotropicelectroconductivity |