Деформирование и повреждаемость композитных материалов с анизотропными компонентами (обзор)
Запропоновано статистичну модель зв'язаного деформування і пошкоджуваності композитів з пористими трансверсально-ізотропними і ортотропними компонентами. Механізм мікропошкоджуваності таких композитів досліджено на основі припущення, що мікроміцність матеріалу є неоднорідною. Одиничне мікропошк...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2013
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87786 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Деформирование и повреждаемость композитных материалов с анизотропными компонентами (обзор) / Л.П. Хорошун, Л.В. Назаренко // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 14-92. — Бібліогр.: 129 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859727907351429120 |
|---|---|
| author | Хорошун, Л.П. Назаренко, Л.В. |
| author_facet | Хорошун, Л.П. Назаренко, Л.В. |
| citation_txt | Деформирование и повреждаемость композитных материалов с анизотропными компонентами (обзор) / Л.П. Хорошун, Л.В. Назаренко // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 14-92. — Бібліогр.: 129 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Запропоновано статистичну модель зв'язаного деформування і пошкоджуваності композитів з пористими трансверсально-ізотропними і ортотропними компонентами. Механізм мікропошкоджуваності таких композитів досліджено на основі припущення, що мікроміцність матеріалу є неоднорідною. Одиничне мікропошкодження моделюється утворенням порожньої квазисферичної пори на місці мікрооб'єму, що руйнується за критерієм Губера - Мізеса. Границя мікроміцності приймається випадковою функцією координат, густина одноточкового розподілу якої описується розподілом Вейбула. На базі методу умовних моментів, рівняння балансу пошкоджуваності матеріалу і методу Ньютона - Рафсона побудовано алгоритми обчислення ефективних деформаційних властивостей таких матеріалів залежно від макродеформацій. Встановлено загальні закономірності впливу пошкоджуваності матеріалу на закон зв'язку макронапружень і макродеформацій. Проаналізовано вплив фізико-механічних характеристик матеріалів, об'ємного вмісту і пористості компонентів, геометричних параметрів структури та характеру розподілу мікроміцності на пошкодженість матеріалу і як наслідок на криві макродеформування.
A statistical model is proposed for the coupled deformation and damage of composites with porous transversally isotropic and orthotropic components. A mechanism of damage of the composites is studied basing on assumption that the micro-strength of material is inhomogeneous. The single micro-damage is modeled by the formation of an empty quasispherical pore at the place of micro-volume, which is damaged according to the Huber-Mises criterion. The microstrength limit is assmed to be a random function of coordinates. The onepoint distribution function is described by the Weibull distribution. Basing on the conditional moments method, balance equations of material damage and the Newton-Raphson method, the algorithm of evaluation of effective deformation characteristics of composite materials is built depending on macro-deformations. The general regularities of effect of the material damage on a link between macro-stresses and macro-strains are established. An effect of physicalmechanical properties of material, the volume fraction and porosity of components, geometrical parameters of structure and the character of distribution of micro-strength on the damage of material and as a consequence on the macro-deformation curves is analyzed.
|
| first_indexed | 2025-12-01T11:52:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 4
14 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 4
Л .П .Х о р ош у н
1
, Л .В . Н а з а р е н к о
2
ДЕФОРМИРОВАНИЕ И ПОВРЕЖДАЕМОСТЬ КОМПОЗИТНЫХ
МАТЕРИАЛОВ С АНИЗОТРОПНЫМИ КОМПОНЕНТАМИ (ОБЗОР)
1
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: stochac@inmech.kiev.ua
2
Институт материаловедения, механики материалов, Гельмгольц-Центр,
Макс-Планк штр. 1, 21502, Гестахт, Германия; e-mail: Lidiia.Nazarenko@hzg.de
Abstract. A statistical model is proposed for the coupled deformation and damage of
composites with porous transversally isotropic and orthotropic components. A mechanism of
damage of the composites is studied basing on assumption that the micro-strength of material
is inhomogeneous. The single micro-damage is modeled by the formation of an empty quasi-
spherical pore at the place of micro-volume, which is damaged according to the Huber-Mises
criterion. The microstrength limit is assmed to be a random function of coordinates. The one-
point distribution function is described by the Weibull distribution. Basing on the conditional
moments method, balance equations of material damage and the Newton-Raphson method, the
algorithm of evaluation of effective deformation characteristics of composite materials is built
depending on macro-deformations. The general regularities of effect of the material damage
on a link between macro-stresses and macro-strains are established. An effect of physical-
mechanical properties of material, the volume fraction and porosity of components, geometri-
cal parameters of structure and the character of distribution of micro-strength on the damage of
material and as a consequence on the macro-deformation curves is analyzed.
Key words: discrete-fibrous composite material, stochastic structure, anisotropic components,
stress-strain state, micro-damage, porosity, effective characteristics, porosity balance equation.
Введение.
Основной задачей механики композитных материалов является исследование за-
кономерностей их механического поведения в зависимости от свойств компонентов и
геометрических параметров структуры с целью определения оптимальных структур-
ных параметров и необходимого состава материала, для обеспечения оптимальной
работы конструкций при минимальных технологических затратах.
Многие современные композитные материалы имеют анизотропные компоненты,
а также при достаточно высоких нагрузках некоторые пористые композитные мате-
риалы деформируются нелинейно (так называемая структурная нелинейность), где
нелинейность обусловлена микроразрушениями в скелетах их компонентов, которые
проявляются в виде увеличения числа микропор или микротрещин. К ним относятся
полимерные композитные материалы при низких температурах, композиты на основе
углеродного связующего, а также керамические композитные материалы. Микрораз-
рушения в компонентах композитного материала можно описать зависимостью соот-
ветствующих модулей упругости от их пористости, которая, в свою очередь, зависит от
деформаций в компонентах.
Основным фактором, приводящим к нелинейности деформирования при микро-
разрушениях, является перераспределение напряжений в компонентах вследствие
исчерпания несущей способности материала в области микроразрушений. Реальное
единичное микроразрушение представляет собой микротрещину или микропору, за-
полненную частицами разрушенного материала. Если пренебречь остаточным сопро-
тивлением разрушенного материала, заполняющего микропоры, и частью материала в
15
окрестности трещины, которая не работает при нагружении, то придем к самой простой
модели участков микроразрушений – системе пустых пор.
Накопление повреждений является весьма сложным физическим процессом, зави-
сящим, прежде всего, от уровня и вида напряженно-деформированного состояния, тем-
пературы, химических и радиационных воздействий, структуры и механических
свойств материала. Экспериментальные данные и наблюдения за работой элементов
конструкций и сооружений свидетельствуют о том, что повреждаемость может быть
как кратковременной (мгновенной), соответствующей уровню напряжений или дефор-
маций в момент их задания, так и длительной, проявляющейся в росте повреждений во
времени после приложения нагрузки.
Конкретный характер повреждений в виде рассеянных субмикротрещин, их раз-
меры и форма, зависимость от режимов нагружения достаточно хорошо изучены для
полимерных материалов [45, 46]. Основные закономерности образования поврежде-
ний в ряде полимеров сводятся к следующему. Размеры субмикротрещин практически
не зависят от деформации, величины приложенного напряжения, а также от времени
пребывания образца под нагрузкой. Отношение продольного по отношению к направ-
лению растяжения размера субмикротрещины к поперечному для различных полиме-
ров находится в пределах от 0,4 до 1,3. Определенному значению растягивающей де-
формации соответствует определенное содержание субмикротрещин, которое возрас-
тает с увеличением деформации. При этом субмикротрещины образуются, начиная
только с некоторого значения деформации. Если задано растягивающее напряжение,
то определенное число субмикротрещин, соответствующее величине напряжения,
образуется в начальный момент, затем происходит накопление субмикротрещин во
времени. При этом вначале его скорость велика, а с течением времени уменьшается.
Скорость накопления субмикротрещин и уровень их объемного содержания, увеличи-
вающийся с течением времени, возрастают с ростом величины приложенного напря-
жения. При малых напряжениях, не превосходящих 0,5 от разрывного, накопление
субмикротрещин практически не наблюдается в течение довольно большого проме-
жутка времени.
Физически объяснить описанные выше экспериментальные закономерности мик-
ромеханики разрушения полимеров можно на основе статистических представлений.
На микроскопическом уровне прочность материала является неоднородной, т.е. пре-
дел мгновенной прочности и кривые длительной прочности микрообъема материала
являются случайными функциями координат, описываемыми определенными плотно-
стями или функциями распределения. При действии на макрообразец постоянного
растягивающего напряжения часть микрообъемов, предел прочности которых ниже
приложенного напряжения, разрушится, т.е. на их месте образуются микротрещины
или микрополости. На тех микроучастках, где напряжения меньше пределов прочно-
сти, но близки к ним, разрушение происходит через некоторый промежуток времени,
который зависит от степени близкости приложенного напряжения к пределу микро-
прочности. С течением времени микроучастки с пределами прочности, близкими к
приложенному напряжению, исчерпываются и накопление повреждений затухает. С
увеличением напряжения в процесс микроразрушений вовлекаются новые микроуча-
стки с более высокими пределами микропрочности. При этом интенсивность процесса
возрастает за счет перераспределения микронапряжений вследствие исчерпания не-
сущей способности разрушенных микроучастков.
Изучению процесса накопления микроразрушений в материалах посвящены мно-
гочисленные работы. Оно проводилось, в основном, в трех направлениях. В работах
первого направления рассматриваются субмикротрещины, возникающие в материалах
при нагружении, как источник их разрушения, и строятся модели разрушения мате-
риалов вследствие накопления микроповреждений. Статистические модели разруше-
ния однородных и композитных материалов построены в работах В. Вейбулла [121],
Н.Н. Афанасьева [3], Т.А. Конторовой, Я.И. Френкеля, О.А. Тимошенко [18, 19], В.В.
Болотина [4], С.Д. Волкова [7], Н.Н. Давиденкова [13], В.П. Когаева [16], Л.Г. Седра-
16
кяна [41], С.В. Серенсена [42], Н.К. Снитко [43], Я.Б. Фридмана [47], Б.Б. Чечулина
[51], Е.М. Шевадина [52], M.-H. Berger, D. Jeulin [55], W.A. Curtin [67, 68], G. Cusatis, Z.
Bazant, L. Cedolin [69], F. Desrumaux, F. Meraghni, L. Benzeggagh [70], Y.T. Zhu, W.R.
Blumenthal, B.L. Zhou [129] и др.].
Наиболее известной статистической теорией усталостной прочности металлов яв-
ляется теория Н.Н. Афанасьева [3], где предполагается, что усталостная трещина воз-
никает в результате объединения в единое целое ряда микроразрушений в отдельных
перенапряженных вследствие неоднородности процесса деформирования зернах.
Предполагается, что зерна в направлении действующей силы имеют одинаковый пре-
дел текучести, но различно напряжены. Степень неоднородности напряженного со-
стояния зерен задается в виде функции распределения. Причиной разрушения отдель-
ных зерен, испытывающих напряжения выше предела текучести, в момент достиже-
ния нормальными напряжениями сопротивления материала отрыву является упрочне-
ние, вызванное циклической нагрузкой.
Весьма широкое распространение получили статистические теории хрупкой проч-
ности, основанные на гипотезе «слабого звена». К таким работам отнесены работы В.
Вейбулла [121], Т.А. Конторовой, Я.И. Френкеля, О.А. Тимошенко [18, 19],
В.В. Болотина [4], В.П. Когаева [16], Л.Г. Седракяна [41], Б.Б. Чечулина [51],
M.-H. Berger, D. Jeulin [55], W.A. Curtin [67, 68], F. Desrumaux, F. Meraghni, L. Benzeg-
gagh [70], Y.T. Zhu, W.R. Blumenthal, B.L. Zhou [129] и др. В них предполагается, что
тело состоит из большого количества структурных элементов. Разрушение каждого
элемента есть случайное событие, независящее от состояния соседних элементов. Эле-
мент разрушается, когда некоторая характеристика (напряжение, деформация и др.)
превышает значение его прочности. Прочность элементов является случайной функ-
цией с заданным распределением (распределение Вейбулла, нормальное распределе-
ние или логарифмическое нормальное распределение). Источником разрушения мо-
жет стать элемент низкой прочности («слабое звено»). Его разрушение вызывает бы-
стро распространяющееся разрушение всего тела независимо от его размеров. Чем
крупнее тело, тем больше вероятность обнаружить элемент низкой прочности, тем
ниже прочность тела в целом (так называемый «масштабный эффект»).
Предложены такие подходы, представляющие синтез экспериментального изуче-
ния разрушения композитных материалов с построением теоретических моделей раз-
вития процессов разрушения в них. Так в работах Тамужа В.П., Куксенко В.С. и др.
[23, 44 – 46, 117] на основе экспериментального изучения закономерностей зарожде-
ния, образования и укрупнения субмикротрещин в материале с использованием мето-
дов микромеханики построена статистическая модель кинетики разрушения материа-
лов. Для характеристики разрушенности материала был введен в уравнения состояния
дополнительный параметр – мера поврежденности. Для него построено дополнитель-
ное уравнение, определяющее кинетику разрушения. Изучено напряженно-деформи-
рованное состояние в материале с развитием его поврежденности. И.М. Копьев, А.С.
Овчинский и др. [20] изучили различные механизмы микроразрушений в волокни-
стых композитах. Критерии срабатывания этих механизмов они получили на основе
анализа перераспределения напряжений в композите при разрыве отдельных волокон.
Перераспределение напряжений в волокнистом композите при разрыве волокон и
скольжении по границам волокно – матрица изучены в [62, 63] и др.
В работах [39, 55 , 57, 70, 71 и др.] построены также статистические модели дефо-
рмирования и разрушения материала. В этих работах процесс разрушения материала
рассматривается как процесс постепенного накопления повреждений в нагружаемой
системе структурных связей в соответствии со случайным характером их прочности.
Рассматривается распределение Вейбулла и др. для прочностей элементарных связей.
Напряжения последовательно перераспределяются на уцелевшие после начала актов
разрушения связи. Изучена взаимосвязь напряжений и деформаций с функцией веро-
ятности разрушения элементарных структурных связей.
17
В работах второго направления для характеристики разрушенности материала
формально вводят параметр поврежденности, который может быть скаляром или тензо-
ром. Точный физический смысл параметра поврежденности не всегда указывается,
часто не может быть однозначно определен и зависит от способа изменения характе-
ристик материала, изменяющихся в процессе нагружения. Наиболее часто параметр
поврежденности идентифицируется с плотностью микротрещин в окрестности рассмат-
риваемой точки или с относительным количеством разрушенных связей, но может
рассматриваться как усредненные по локальному объему перемещения поверхностей
трещин, относительная площадь расслоения компонентов и др. Формулируются эволю-
ционные уравнения, устанавливающие связь между изменением параметра повреж-
денности и макронапряжениями или макродеформациями. К таким работам относятся
работы [В.П. Голуба [8 – 10], Л.М. Качанова [14], Дж. Коллинза [15], Е.С. Переверзева
[37], Ю.Н. Работнова [38], J.-L. Chaboche [63] и др.].
В работах третьего направления повреждаемость материала трактуется как тер-
модинамический параметр, который может быть скаляром или тензором; затем авто-
ры пользуются формализмом термодинамических потенциалов, составляют балансо-
вые соотношения термодинамики и из условия существования связей между термо-
динамическими силами и потоками формально записывают соотношения между на-
пряжениями или деформациями и рассматриваемыми параметрами поврежденности.
К работам этого направления относятся работы [В.Н. Аптукова, В.Л. Белоусова [1, 2],
А.А. Вакуленко, Л.М. Качанова [5], В.И. Кондаурова [17], С.А. Лурье [24, 25], S.
Chandrakanth, P.C. Pandey [64] и др.].
Для прогнозирования механического поведения композитных материалов наряду
с изучением процесса накопления микроповреждений необходимо исследовать изме-
нения эффективных упругих свойств материалов при происходящих в них микрораз-
рушениях. Этому вопросу посвящен ряд работ. Как и в случае изучения процесса на-
копления повреждений, исследования проводились, в основном, в трех направлениях.
В работах первого направления изменение упругих свойств поврежденного материала
связывается с предположением о конкретной форме и размере микроразрушений или
же их объемном содержании. В работах [В.П. Тамужа, В.С. Куксенко и др. [44 – 46, 117],
Р.Л. Салганика [40], R.J. O’Connell, B. Budiansky [110] и др.] проведен расчет измене-
ния упругих свойств поврежденного материала с изолированными невзаимодейст-
вующими плоскими дискообразными трещинами одинакового размера. В этих рабо-
тах получены приближенные результаты, совпадающие с экспериментальными толь-
ко при очень малых концентрациях микротрещин. У Р.Л. Салганика [40] расчет про-
изведен путем усреднения деформаций по микрообъемам, содержащим по-разному
ориентированные микротрещины. Этот способ расчета, по существу, соответствует
схеме Рейсса. В [110] расчет произведен по аналогичной схеме, но при вычислениях
использована самосогласованная модель, т.е. предполагалось, что микротрещина на-
ходится в среде с неизвестными константами уже дефектного материала. В работе
[45] показан расчет упругих характеристик как по схеме Рейсса, так и по схеме Фойх-
та, причем в этих схемах он использовал также самосогласованную модель. При рас-
чете по схеме Рейсса рассмотрена дополнительная деформация, возникающая под
действием напряжений в поврежденном материале и зависящая от его поврежденно-
сти. Для получения результатов по схеме Фойхта исследовано снижение напряжений
вследствие наличия трещин при постоянной деформации. Получены аналитические
выражения для расчета упругих характеристик изотропного материала при возникно-
вении в нем дискообразных трещин. Для анизотропного материала аналогичный рас-
чет изменения жесткости в аналитическом виде может быть произведен в случае, ко-
гда нормаль к поверхности трещины совпадает с осью симметрии среды. В работе
[109] рассчитано уменьшение жесткости трансверсально-изотропного композитного
материала с однонаправленным армированием при наличии плоских круглых трещин.
В работах [11, 44, 45, 117] предложены формулы для определения изменения модуля
упругости и модуля сдвига трансверсально-изотропного однонаправленного волокни-
18
стого материала в результате разрыва волокон, причем каждый разрыв волокна ото-
ждествляется с появлением дискообразной микротрещины.
В ряде работ на основании стохастических моделей разрушения материалов с ис-
пользованием методов осреднения получены зависимости плотности микропор или
микротрещин от действующей нагрузки; установлено, что микроразрушения приво-
дят к нелинейному характеру взаимосвязи между напряжениями и деформациями;
исследовано влияние накопления микроразрушений на упругие свойства материалов.
К ним относятся работы [О.Б. Наймарка [97], M.-H. Berger, D. Jeulin [55], W.A. Curtin
[67, 68], F. Desrumaux, F. Meraghni, L. Benzeggagh [70] и др.].
В [97] с использованием результатов комплексных структурных и феноменологи-
ческих исследований на основании статистической модели описан процесс накопле-
ния микротрещин и изучено их влияние на упругие и релаксационные свойства твер-
дых тел: установлено, что процесс накопления микротрещин приводит к нелинейным
деформационным свойствам при сжатии.
В работах [70 и др.] для изучения влияния поврежденности на упругие свойства
композитов использованы стохастические модели и комбинация методов Эшелби и
Мори – Танака; также рассматриваются повреждения сфероидальных волокон трех
видов: полное дробление с образованием пустот сфероидальной формы; растрескива-
ние с образованием дискообразных трещин, плоскости которых перпендикулярны
действующему напряжению; отслоение от матрицы с образованием пустот сферои-
дальной формы, а также накопление повреждений, имеющих форму однонаправлен-
ных сфероидальных пор в матрице. Исследовано влияние повреждений на модуль
упругости композита в процессе одноосного нагружения. Отмечено, что вследствие
возникновения повреждений в изотропной матрице, она становиться трансверсально-
изотропной, что существенно усложняет численные расчеты тензора Эшелби при ис-
пользовании метода Мори – Танака для определения эффективных деформативных
свойств композитного материала с повреждениями.
Задачи о накоплении повреждений и определении упругих постоянных материала
с регулярным распределением микротрещин при их взаимодействии рассмотрены в
работе [111 и др.]. Авторы рассмотрели проблемы повреждаемости и определения
упругих постоянных материала с большим количеством микротрещин. Они решали
задачу о нахождении макрохарактеристик материала с учетом взаимодействия пло-
ской периодической системы параллельных микротрещин, используя приближенный
метод, согласно которому каждая трещина представляется уединенной, но под воз-
действием суммы нагрузок, генерируемых другими трещинами на месте расположе-
ния рассматриваемого дефекта. Макрохарактеристики поврежденной среды опреде-
ляются путем осреднения.
В работах второго направления для характеристики разрушенности материала
вводят параметр поврежденности, не имеющий точного физического смысла. К рабо-
там этого направления относятся работы В.П. Тамужа, В.С. Куксенко [46], V.A.
Lubarda, D. Krajcinovic, S. Mastilovic [92] и др.]. В [46] расчет изменения упругих
свойств поврежденного материала основан на формальном вычислении характеристик
материала путем усреднения локально измененных свойств по всем возможным на-
правлениям. В результате усреднения соотношений между локальными деформация-
ми, напряжениями и поврежденностью получены соотношения между средними на-
пряжениями и деформациями, содержащие меру поврежденности. К ним следует до-
бавить кинетическое уравнение для поврежденности. Отсюда следует, что накопление
микроповреждений в материале приводит к нелинейному характеру зависимостей
между напряжениями и деформациями. Поскольку неизвестна плотность, форма и
размеры микродефектов, то в соотношения между напряжениями и деформациями
входят некоторые константы, которые определяются из опытов на простое нагруже-
ние. После определения этих констант можно предсказать изменение механических
характеристик при других видах нагружения. В [92] рассмотрены материалы с раз-
личной прочностью при растяжении и сжатии. Для более точного учета влияния гид-
19
ростатического напряжения на усредненные свойства среды предложена новая струк-
тура поверхности поврежденности. Для случаев одноосного растяжения и сжатия полу-
чены нелинейные зависимости между напряжением, продольной, поперечной и объ-
емной деформациями.
В работах третьего направления для изучения механического поведения однород-
ных и композитных материалов в условиях накопления повреждений при нагружении
авторы исходят из соотношений термодинамики и энергетических критериев разру-
шения. К этому направлению относятся [72, 76, 115, 116, 118, 127, 128 и др.].
В [115] на основе соотношений термодинамики получены определяющие и эво-
люционные уравнения упруго-хрупкого материала с анизотропными повреждениями
и исследовано снижение упругой жесткости материала вследствие образования мик-
ропор и микротрещин. В [127, 128] построено уравнение, описывающее изменение
параметра поврежденности, представляющего собой относительную долю микротре-
щин. Из энергетических соотношений получены условия скачкообразного роста мик-
ротрещин; эти условия связаны с напряженным состоянием в окрестности микротре-
щины и ее ориентацией. В результате суммирования вкладов от различно ориентиро-
ванных микротрещин получено уравнение типа вязкоупругости, описывающее изме-
нение жесткости материала в процессе нагружения. Для плоских деформированного и
напряженного состояний даны выражения для инженерных модулей упругого тела с
микротрещинами. В работе [118] изучено накопление повреждений в слоистом ком-
позите при растяжении или сдвиге в плоскости слоев. Теория основана на анализе
напряженного состояния с использованием уравнений теории упругости и энергети-
ческом критерии разрушения. Получены аналитические зависимости упругих харак-
теристик от плотности трещин. В [116] рассмотрены следующие виды повреждений
однонаправлено армированных волокнистых композитов: растрескивание матрицы,
проскальзывание по поверхности раздела и расслоение поверхности раздела компо-
нентов. При построении определяющих уравнений тензоры поврежденности рассмат-
риваются как параметры состояния и включаются в число аргументов свободной
энергии. Получены определяющие уравнения для фиксированного поврежденного
состояния и выражения для упругих модулей, включающие параметры поврежденно-
сти. В [76] на основе функции диссипации с применением экстремальных принципов
изучена поврежденность компонентов однонаправленного волокнистого материала и
исследовано деформирование композита с учетом накопления повреждений в компо-
нентах при нагружении. Для случаев одноосного нагружения получены нелинейные
диаграммы деформирования и оценки поврежденности по изменению касательного
модуля композита. В [72] разработана теория расчета снижения термоупругих харак-
теристик слоистых и слоисто-волокнистых композитных материалов с трещинами в
матрице. Метод основан на записи выражений для упругой энергии в терминах на-
пряжений и деформаций с последующим вычислением вариационными методами
тензоров жесткости и податливости. Получена достаточно узкая граница между верх-
ней и нижней оценками термоупругих свойств композита.
Представленный краткий обзор исследований по определению эффективных де-
формативных свойств пористых композитных материалов и накоплении микроразру-
шений в компонентах в процессе нагружения показывает: в большинстве работ, посвя-
щенных построению моделей накопления микроразрушений в материалах и прогнози-
рованию их эффективных деформативных свойств, микроразрушения предполагаются
изолированными невзаимодействующими или же рассмотрены упрощенные самосогла-
сующиеся схемы, причем исследования проведены при частных видах нагружения.
Наиболее адекватным реальным процессам повреждаемости представляется не-
формальное первое направление, которое исходит из микронеоднородности деформа-
тивно-прочностных свойств материала, приводящей при нагружении к образованию
рассеянных микроразрушений. Стохастическая неоднородность микропрочности,
присущая реальным материалам и описываемая вероятностными распределениями,
позволяет объяснить и построить модель кратковременной (мгновенной) повреждае-
20
мости, проявляющейся при высоких нагрузках. Математическая теория кратковре-
менной (мгновенной) повреждаемости [81, 82] основана на моделировании разрушен-
ных микрообъемов материала системой стохастически расположенных микропор
(пустых или наполненных частицами разрушенного материала) с описанием микро-
деформирования и эффективных упругих свойств пористого материала на основе сто-
хастических уравнений теории упругости. Условием разрушения микрообъема при-
нимается критерий Губера – Мизеса или Шлейхера – Надаи, где предел микропрочно-
сти является случайной функцией координат с заданным законом статистически од-
нородного одноточечного распределения, удовлетворяющего свойству эргодичности.
Исходя из общего свойства одноточечной функции распределения эргодического слу-
чайного поля предела микропрочности, сформулировано уравнение баланса микропо-
вреждений (пористости), устанавливающее зависимость пористости от макронапря-
жений или макродеформаций. Совместные уравнения связи между макронапряже-
ниями и макродеформациями, зависимостей эффективных упругих постоянных от
пористости и баланса пористости описывают связанные процессы деформирования и
повреждаемости материала, которые приводят к нелинейным зависимостям между
макронапряжениями и макродеформациями. Закономерности связанных процессов
деформирования и повреждаемости исследованы как для однородных [27, 81 – 83, 98, 99],
так и для композитных материалов [28 – 34, 36, 84, 86 – 89, 100 – 104, 106 – 108] при
силовых и температурных воздействиях в случае линейных и физически нелинейных
соотношений упругости компонентов.
Построенная теория связанных процессов деформирования и кратковременной
повреждаемости материалов описывает взаимовлияние механических явлений, про-
исходящих на различных структурных уровнях. В случае повреждаемости однород-
ных материалов исследуется взаимовлияние процессов на двух структурных уровнях
– макродеформирование пористого материала и микроразрушения в неповрежденной
части материала. Если рассматривать макродеформирование композитных материа-
лов и микроповреждаемость их компонентов, то здесь механические явления проис-
ходят на трех структурных уровнях – макродеформирование композита, состоящего
из определенного числа компонентов, деформирование пористых компонентов и мик-
роразрушения в неповрежденных частях компонентов. Принимая во внимание суще-
ствующую классификацию и терминологию, сложившиеся в механике деформируе-
мых твердых тел [81], есть все основания отнести рассматриваемую теорию связан-
ных процессов деформирования и кратковременной повреждаемости к одному из на-
правлений мезомеханики, изучающей механические явления на различных структур-
ных уровнях.
В настоящей работе систематизированы исследования по математическим моде-
лям, применяемым для описания связанных процессов деформирования и микропо-
вреждаемости линейно-упругих композитных материалов стохастической структуры.
В основу положены работы, выполненные в Институте механики Национальной Ака-
демии наук Украины на протяжении 2001 – 2012 годов.
§1. Деформативные свойства и кратковременная повреждаемость композит-
ных материалов.
1.1. Уравнения механики композитных материалов стохастической структуры.
Композитный материал стохастической структуры представляет собой микроне-
однородный материал, физико-механические характеристики которого являются слу-
чайными функциями координат.
Рассмотрим представительный объем V композитного материала. Задача о на-
пряженно-деформированном состоянии в микроточке такого композитного материала
при статическом нагружении в линейной постановке сводится:
к уравнениям равновесия
, ( ) ( ) 0ij j ix F x , 1, 2 , 3 ;i j (1.1)
соотношениям Дюамеля-Неймана
( ) ( ) ( ) ( ) ;ij ijmn mn ijx x x x ( ) ( ) ( )ij ijmn mnx x x , 1, 2 , 3 ;m n (1.2)
21
или 1
( ) ( ) ( ) ( ) ;ij ijmn mn ijx x x x
(1.3)
соотношениям Коши
( , ) , ,
1
( ) ( ) ( ) ( ) ,
2ij i j i j j ix u x u x u x (1.4)
где ( )ij x , ( )ij x – соответственно, тензоры напряжений и деформаций, ( )iu x ; ( )iF x
– векторы перемещений и объемных сил; – приращение температуры; ( )ijmn x ,
( )ij x , ( )ij x – тензоры модулей упругости, коэффициентов термических напряже-
ний и коэффициентов линейного температурного расширения.
Тензоры ( )ijmn x , ( )ij x , ( )ij x являются заданными статистически однородными
случайными функциями координат, тогда одноточечная плотность распределения
термоупругих характеристик имеет вид
2
1
( ) ( ) ;k
ijmn k ijmn ijmn
k
f x c x
2
1
( ) ( ) ,k
ij k ij ij
k
f x c x
(1.5)
где [ ]k
ijmn – тензор модулей упругости k -го компонента; [ ]k
ij – тензор коэффициентов
термических напряжений k -го компонента; kc – относительное объемное содержа-
ние k -го компонента,
;k
k
V
c
V
2
1
1k
k
c
. (1.6)
Подставляя соотношения (1.2), (1.4) в уравнение (1.1) при нулевых объемных си-
лах 0iF , получаем уравнения равновесия в перемещениях
, ,
0ijmn m n ij j
x u x x . (1.7)
Случайные поля ( )ijmn x и ( )iu x удобно представить в виде суммы флуктуации и
математического ожидания
0( ) ( );c
ijmn ijmn ijmnx x 0( ) ( )i i iu x u u x (1.8)
i ij ju x , (1.9)
а тензор c
ijmn – некоторый тензор модулей упругости с независимыми от координат
компонентами, называемый тензором тела сравнения, о выборе которого будет сказа-
но ниже.
Подставив выражения (1.8) в уравнение (1.7), получим систему дифференциаль-
ных уравнений относительно флуктуаций перемещений
0 0
, ,
( ) ( ) ( ) ( ) 0,c
ijmn m nj ijmn mn ij j
u x x x x (1.10)
где 0 ( )mu x и 0 ( )ijmn x определяются соотношениями (1.8).
При этом граничные условия на поверхности макрообъема имеют вид
( ) .i S ij ju x x (1.11)
Из соотношений (1.8), (1.9) и (1.11) следует, что на границе макрообъема флук-
туации перемещений должны обращаться в нуль
0 ( ) 0.i Su x (1.12)
22
Поскольку макрообъем композитного материала существенно превосходит разме-
ры структурных элементов, то занимаемую им область можно рассматривать как бес-
конечную. Поэтому задача о напряженно-деформированном состоянии макрообъема
композитного материала сводится к решению уравнения (1.10) для бесконечной об-
ласти при условии, что на бесконечности выполняется условие
0 ( ) 0.iu x (1.13)
Уравнение (1.10) можно представить в интегральной форме
0 0 3
,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) di ik kjmn mn kj j
V
u x G x y y y y y 1, 2, 3 ,k (1.14)
где функция Грина ( )ikG x y удовлетворяет уравнению
, ( ) ( ) 0;c
ijmn mk jn ikG x y x y 0mkG x y . (1.15)
Подставляя (1.14) в соотношения Коши (1.4) и учитывая представление (1.8), полу-
чим стохастические интегральные уравнения относительно случайного поля микроде-
формаций
0( ) ( ) ( ) ( ) ( )ij ij ijkl klmn mn klx K x y y y y 1, 2, 3 .l (1.16)
В этом уравнении интегральный оператор ( )ijklK x y действует в соответствии с
правилом
3
, ,
2
, ,
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ,
2
ijkl ik jl kj li
V
ik j jk i l
S
K x y y G x y G x y y d y
G x y G x y y n y d y
(1.17)
где S – бесконечно удаленная граница области V ; ln – направляющие косинусы
нормали к ней.
1.2. Теория эффективных модулей композитных материалов стохастической
структуры.
Если считать, что тензорные поля модулей упругости ( )ijmn x и коэффициентов
термических напряжений ( )ij x являются статистически однородными на расстояни-
ях, значительно превосходящих характерные размеры неоднородностей, тогда микро-
напряжения ( )ij x и микродеформации ( )ij x будут также статистически однород-
ными. Так как масштаб корреляции случайных полей ( )ijmn x , ( )ij x , ( )ij x и ( )ij x
пренебрежимо мал по сравнению с размерами макрообъема, то они удовлетворяют
свойству эргодичности, т.е. осреднение случайных полей по области определения
совпадает со статистическим осреднением по ансамблю реализаций. Принимая эти
допущения композитный материал можно рассматривать как однородный материал с
эффективными характеристиками [26, 48 – 50].
В связи с этим необходимо различать микро- и макропараметры. Микроточки –
это элементарные объемы и площадки, размеры которых значительно превосходят
молекулярные, но значительно меньше характерных размеров структурных элемен-
тов. Микропараметры, которые относятся к микроточке и, таким образом, характери-
зуют изменения на расстояниях, меньших структурных элементов. Под макроточкой
будем понимать элементарный объем структурно-неоднородного тела, размеры кото-
рого значительно превосходят размеры структурных элементов, но значительно мень-
ше размеров физического объекта. Макропараметры относятся к элементарному объему и
представляют собой средние значения по элементарному объему от соответствующих
микропараметров.
23
Наряду с тензорами микронапряжений ( )ij x и микродеформаций ( )ij x , векто-
рами микроперемещений ( )iu x и объемных сил в микроточке ( )iF x можно ввести
тензоры макронапряжений ij и макродеформаций ij , векторы макроперемеще-
ний iu и объемных сил в макроточке iF как среднее от соответствующих микро-
параметров по элементарному объему (для композитных материалов стохастической
структуры по ансамблю реализаций). Тогда соответствующие уравнения статики от-
носительно макроскопических параметров имеют вид:
уравнения равновесия
,
0;ij ij
F (1.18)
соотношения термоупругости
* *
ij ijmn mn ij ; * * *
ij ijmn mn (1.19)
или 1* * ;ij ijmn mn ij
(1.20)
соотношения Коши
, ,,
1
,
2ij i j j ii ju u u (1.21)
где *
ijmn , *
ij и *
ij – соответственно, тензоры эффективных модулей упругости, ко-
эффициентов термических напряжений и коэффициентов линейного температурного
расширения.
Эффективные термоупругие постоянные характеризуют свойства элементарных
макрообъемов композитного материала, поэтому при статистически однородной
структуре они будут независимыми от координат. Тогда задача (1.18) – (1.21) сводит-
ся к уравнениям с постоянными коэффициентами, решение которых строится извест-
ными аналитическими или численными методами. Задача же механики композитных
материалов в этом случае состоит в определении эффективных постоянных.
Для определения эффективных свойств композитного материала необходимо ре-
шить задачу о напряженно-деформированном состоянии в микроточках макрообъема
при условии, что он находится в условиях однородного статического нагружения и
равномерного нагрева, т.е. const ;ij const ;ij const .
Проведя статистическое осреднение соотношений термоупругости (1.2), получаем
2
1
,k
ij k ijmn mn k ij
k
c
(1.22)
где ( )mn k mn x Vk
x – средние значения компонентов тензора деформаций по
объему k -го компонента kV .
Усредняя непосредственно тензор деформаций, можно записать
2
1
.mn k mn k
k
c
(1.23)
Сравнивая выражения (1.19) и (1.22), (1.23), видим, что для определения тензора
эффективных упругих модулей *
ijmn и коэффициентов температурных напряжений
*
ij достаточно определить соотношения, связывающие средние деформации в ком-
24
поненте mn k , средние деформации в макрообъеме композита mn и приращение
температуры . Действительно, если такие соотношения имеют вид
,k k
ij k ijmn mn ijA B (1.24)
то подставляя (1.24) в (1.22) и сравнивая с (1.19), получаем следующие выражения для
эффективных модулей:
2
*
1
;k k
ijmn k ijpq pqmn
k
c A
1* * * ;ij ijmn mn
2
*
1
.k k
ij k ijpq pq
k
c B
(1.25)
Таким образом, задача об определении эффективных термоупругих постоянных
сводится к определению тензоров k
ijmnA и k
pqB .
1.3. Метод условных моментов для определения эффективных термоупругих
свойств композитов с анизотропными компонентами.
Изложим суть метода условных моментов, разработанного для решения задачи об
эффективных термоупругих свойствах композитного материала стохастической
структуры [26, 48 – 50].
Рассмотрим представительный объем V композитного материала, который со-
стоит из матрицы, армированной стохастически распределенными однонаправленны-
ми эллипсоидальными включениями. Для сокращения дальнейших выкладок предста-
вим уравнение (1.16) в символической без индексной форме
(1) (1) (2) 0(2) (2) (2)( ) ijK x x (1.26)
(1) (1) (2) (2) 0(2) 0 (2) (2) (2)( ); ( ); ( ); и ( ) ,x x x x (1.27)
интегральный оператор (1) (2)( )K x x определяется соотношением (1.17), а 0 (2)( )x
первым уравнением (1.8).
Умножим уравнение (1.26) на условную плотность 1 2 2 1
1 , ,f (плотность
распределения деформаций в точке (1)x , деформаций и модулей упругости в точке
(2)x при условии, что в точке (1)x находится -ый компонент) и проведем статисти-
ческое осреднение. В результате получим
2
(1) (2) (2) (1) ' (2) (2) (1)
1
, k
k
k
K x x f
(1.28)
(1) (1) '; ; , 1, 2 ;k c
k k (1.29)
– средняя деформация -го компонента; k и k – тензоры упругих модулей
и коэффициентов температурных напряжений k -го компонента; (2) (1)
kf – вероят-
ность определения точки (2)x в k -ом компоненте при условии, что точка (1)x нахо-
дится в v -ом компоненте; (2) (2) (1),k – математическое ожидание тензора деформа-
ций в точке (2)x при условии, что точка (2)x находится в k -ом компоненте, а точка
(1)x – в v -ом компоненте.
25
Чтобы решить эту систему, необходимо определить условные двух точечные мо-
менты (2) (2) (1),k . Для этого умножим уравнение (1.26) на условную плотность
(1) (2) (2) (2) (1)
2 , , ,kf и проведем статистическое осреднение. В результате получим
систему алгебраических уравнений
(1) (1) (3) (1) (3), ( )k K x x
2
(2) (1) (3) ' (2) (2) (1) (3)
1
, , , .k kf
(1.30)
Продолжая этот процесс, получаем бесконечную систему уравнений относитель-
но условных моментов
1
; (1) (1) (2)
1 2
, ; (1) (1) (2) ( )
1 2
, , , ;i
i 1 2, 1, 2 . (1.31)
Замыкание этой системы может быть осуществлено путем обрыва процесса на не-
котором шаге. Можно принять, например, одно из условий
(1) (1) (2) ( )
1 2
, , , 0;i
i (1) (1) (2) ( )
1 2
, , , ;i
i (1) (1) (2) ( )
1 2 1
, , , .i
i (1.32)
Для решения полученной системы необходимо задать условные многоточечные
плотности распределения компонентов
(2) (1)
1kf , (2) (1) (3)
1 1 2
,kf ,
, (2) (1) (3) ( )
1 2
, , , , .i
i k i
f (1.33)
При построении теории многокомпонентных материалов целесообразно ограни-
читься двухточечным приближением и замкнуть систему принятием следующего ус-
ловия:
(1) (1) (2) ( )
1 2 1
, , , ,i
i (1.34)
что соответствует пренебрежению флуктуаций деформаций в пределах каждого ком-
понента. Тогда достаточно рассмотреть уравнение (1.28) при условии (1.34). В ре-
зультате приходим к системе алгебраических уравнений относительно средних по
компонентам деформаций
2
'
1
k
k k k
k
K
1, 2 , (1.35)
где матрица vkK определяется формулой
.vk vkK K x p x dx
(1.36)
Здесь интегральный оператор ( )K x определяется через функцию Грина в соответст-
вии с соотношением (1.17), при этом имеем
(1) (2) (2) (1)( ) .k kp x x f (1.37)
Для вероятности перехода примем представление [49, 50]
( ) ( ) ( ).vk k vk kp x c c x (1.38)
Тогда из (1.36), (1.37) следует, что
26
( ) ;vk vk kK c g ( ) ( ) .g K x x dx
(1.39)
С учетом этого соотношения приведем уравнения (1.35) к виду
2
'
1
.k
v k k k k
k
c g
(1.40)
Решение системы (1.40) находится в замкнутом виде. Вычислив сумму
1
2 2 2
' ' 1 '
1 1 1
s s s l l l k k
s l k
c g I c g I g c g
12 21' ' '
1 1
k
k k k k v
k
I g c g I g g c g
, (1.41)
где I – единичный тензор, после некоторых преобразований получим
1
21 1' '
1
v s s
s
I g c I g
1
2 21 1' '
1 1
k
s s k k
s k
c I g c I g g g
. (1.42)
Подставив полученное выражение в соотношение (1.22) и сравнив с (1.19), опре-
делим тензор эффективных модулей упругости
1
2 21 1* ' '
1 1
v s s
s
c I g c I g
(1.43)
и тензор эффективных коэффициентов термических напряжений
2 2 1* * '
1 1
.v vc c I g g
(1.44)
В индексной форме записи имеем равенства
1
2 21 1* ' '
1 1
v v s
ijmn v ijpq pquk pqst stuk s ukmn ukrl rlmn
s
c I g c I g
(1.45)
, , , , , , , , , , 1, 2 , 3 ;i j m n l k p q s t u
2 2 1* * '
1 1
.v v vv
ij v ij v ijpq ijpq pquk pqst stuk ukrl rlc c I g g
(1.46)
Формулы для определения эффективных термоупругих постоянных (1.45), (1.46)
содержат тензор ukrlg , определяемый через условную двухточечную плотность рас-
пределения 1 2( )vkp x x при помощи соотношений (1.38), (1.39), а также через
функцию Грина на основании уравнений (1.17) и тензор модулей упругости тела
сравнения c
ijmn .
27
Чтобы решить систему (1.42), необходимо задать двухточечные условные вероят-
ности (1) (2) (2) (1)( )k kp x x f , которые характеризуют форму и расположение включе-
ний, построить тензорную функцию Грина, которая учитывает анизотропию термоуп-
ругих свойств компонентов, а также определить тензор модулей упругости тела срав-
нения c
ijmn .
Условная плотность распределения (1) (2)( )kp x x , в среднем характеризующая
форму структурных элементов, может быть определена или экспериментально по фо-
тографиям сечений композита, или теоретически, задавая распределения размеров
структурных элементов в различных сечениях.
Тензорная функция Грина для анизотропной среды не может быть получена непо-
средственно из уравнения (1.15). Так как в правой части уравнения (1.15) присутствует
дельта-функция, то удобно перейти в пространство Фурье-образов данной функции,
найти Фурье-образ функции Грина и затем применить обратное преобразование Фурье.
Наличие тензора c
ijmn объясняется пренебрежением флуктуациями параметров в
пределах компонента. Выбором тензора c
ijmn во многом определяется близость вы-
численных тензоров эффективных модулей упругости ijmn и коэффициентов терми-
ческих напряжений ij к их истинным значениям. В работе [50] показано, что при
0c
ijmn приходим к постоянным Рейсса, при c
ijmn – к постоянным Фойхта. Пола-
гая c
ijmn равным тензору модулей упругости компонента с максимальной и мини-
мальной жесткостью, приходим, соответственно, к верхней и нижней границам Ха-
шина – Штрикмана. Физические соображения и сравнение с результатами, получен-
ными другими методами, показывают [48, 49], что в случае матричной структуры це-
лесообразно принять c
ijmn ijmn , если жесткость матрицы больше жесткости вклю-
чений, и 1 1c
ijmn ijmn , если жесткость включений больше жесткости матрицы. Для
двухкомпонентного материала c
ijmn имеет вид
1 2
1 1 21
, ;
, ;
ijmn ijmn ijmn
c
ijmn
ijmn ijmn ijmn
(1.47)
1 1
1 2 1 21
1 2 1 2и ,ijmn ijmn ijmn ijmn ijmn ijmnc c c c
(1.48)
причем тензор 1( )ijmn является обратным к тензору ijmn .
1.4. Эффективные деформативные свойства композитных материалов при
микроповреждениях в компонентах.
Рассмотрим макрообъем композитного материала с пористыми анизотропными
компонентами, находящийся в условиях однородных макродеформаций ij и тем-
пературы . Примем, что в процессе нагружения в компонентах происходят микро-
разрушения, которые моделируем системой стохастически расположенных пустых
квазисферических пор. Обозначим тензор модулей упругости и тензор коэффициен-
тов термических напряжений неразрушенной части k -го компонента, соответственно,
k
ijmn и k
ij , а начальную пористость – 0kp . Тогда зависимости между средними по
пористому k -ому компоненту напряжениями, деформациями и температурой имеют
вид
28
k kp k kp
ij ijmn mn ij 1, 2 ,k (1.49)
где kp
ijmn и kp
ij – тензор эффективных модулей упругости и тензор коэффициентов
термических напряжений пористого (поврежденного) k -го компонента, соответственно.
Эффективные модули упругости и коэффициенты термических напряжений пористого
k -го компонента определяются согласно п. 1.3 по формулам типа (1.45), (1.46)
1 10 0
0 0 0 0 01 1kp k k k
ijmn k k ijwq wquv k wqst stuv k uvmn k uvrh rhmnp p I p g p I p g
1
0
0 01 k
k uvmn k uvrh rhmnp I p g
(1.50)
, , , , , , , , , , , , 1, 2 , 3 ;i j m n l h q r s t u v w
10 0
0 0 0 01 1 .kp k k kp k k
ij k k ij k ijwq ijwq wquv k wqst stuv uvrh rhp p p I p g g
(1.51)
Средние по неразрушенной части k -го компонента напряжения
k
ij связаны со
средними по пористому k -ому компоненту напряжениями k
ij соотношениями
0
1
.
1
k k
ij ij
kp
(1.52)
Критерий разрушения неразрушенной части k -го компонента примем в виде пре-
дельного значения интенсивности средних касательных напряжений в ней, т.е.
1 2 ,
k kk k
ij ijI k (1.53)
где
k
ij – девиатор средних по неразрушенной части k -го компонента напряжений.
Предельное значение интенсивности средних касательных напряжений в нераз-
рушенной части компонента kk может быть одинаковым для всех его микрообъемов
или же являться случайной функцией координат с известным одноточечным распре-
делением. В обоих случаях для определения изменяющейся вследствие микроразру-
шений пористости используются уравнения, предложенные в работах [82, 83].
Рассмотрим вначале более простой случай, когда предел прочности одинаков для
всех микрообъемов компонента. Исходя из (1.49) – (1.53), получим выражение пре-
дельной поверхности для пористого k -го компонента в пространстве средних по по-
ристому компоненту деформаций. Если средние по пористому k -ому компоненту
деформации не выходят за эту предельную поверхность, то зависимости между k
ij ,
k
mn и являются линейными и определяются формулами (1.49) – (1.51). При вы-
ходе деформаций k
mn за предельную поверхность в k -ом компоненте происходят
микроразрушения, т.е. появляется дополнительная пористость 0k kp p , в результате
чего жесткость материала уменьшается, и напряжения в неразрушенной части мате-
риала не превосходят предельного значения (1.53). Для материала с пористостью kp
можно получить выражение для предельной поверхности в пространстве средних по
пористому k -ому компоненту деформаций, позволяющее по заданным деформациям
k
rs определить текущую пористость k -го компонента kp [82, 83]
29
.k
k k rsp p (1.54)
В случае, когда предел прочности k -го компонента является случайной функцией
координат, одноточечная плотность распределения ( )k kf k случайной функции kk
представляет собой асимметричную и ограниченную снизу кривую. Наиболее подхо-
дящей аппроксимацией экспериментально наблюдаемой кривой является закон Вейбулла,
представляющий собой экспоненциально-степенную функцию распределения, т.е.
0
0 0
0, ;
( ) ( )
1 exp , ,
k k
kk
k k k k k
k
k k k k k
k k
F k f k dk
n k k k k
(1.55)
где 0
kk – минимальная величина предельного значения kI , с которого начинается
разрушение в микроточках k -го компонента; ,k kn – коэффициенты, выбираемые
из условия наилучшей аппроксимации разброса прочности k -го компонента.
Функция распределения прочности k -го компонента ( )k kF k определяет относи-
тельное содержание материала скелета k -го компонента, в котором предел прочности
меньше соответствующего значения kk . Поэтому при напряжениях
k
ij функция
k kF I определяет относительное содержание разрушенных микрообъемов материа-
ла скелета k -го компонента. Так как разрушенные микрообъемы моделируются по-
рами, то можно записать уравнение баланса пористости [82, 83]
0 0( )(1 ).k k
k k kp p F I p (1.56)
Согласно (1.49) – (1.52) средние в неразрушенной части k -го компонента напря-
жения
k
ij можно выразить через средние в k -ом компоненте деформации k
mn . Та-
ким образом, формулы (1.49) – (1.53), (1.55), (1.56) определяют текущую пористость
k -го компонента kp как функцию средних в k -ом компоненте деформаций k
mn ,
т.е. снова приходим к соотношению вида (1.54).
Подставив kp вместо 0kp в формулы для эффективных термоупругих характери-
стик k -го компонента (1.50), (1.51), получим
10
110 0
1
1 1
kp k k
ijmn k k ijwq wquv k wqst stuv
k k
k uvmn k uvrh rhmn k uvmn k uvrh rhmn
p p I p g
p I p g p I p g
(1.57)
, , , , , , , , , , , , 1, 2 , 3 ;i j m n l h q r s t u v w
10 01 1 .kp k k kp k k
ij k k ij k ijwq ijwq wquv k wqst stuv uvrh rhp p p I p g g
(1.58)
Эффективные деформативные характеристики k -го компонента (1.57), (1.58) зависят
от текущей пористости, а, следовательно, согласно (1.54), от средних по пористому
k -му компонента деформаций k
rs , т.е.
30
kp kp k k k
ijmn k ijmn k rs ijmn rsp p (1.59)
.kp kp k k k
ij k ij k rs ij rsp p (1.60)
Поэтому зависимости между средними по k -му компоненту напряжениями, дефор-
мациями и температурой становятся нелинейными и могут быть представлены в виде
;k kp k k kp k
ij ijmn k rs mn ij k rsp p (1.61)
или
.k k k k k k
ij ijmn rs mn ij rs
(1.62)
Усреднив (1.2) по макрообъему композита, получим
2
1
.k k k k k
ij k ijmn rs mn ij rs
k
c
(1.63)
Следовательно, для определения нелинейных зависимостей между макронапряжениями
ij , макродеформациями mn и температурой необходимо получить средние
деформации компонентов k
rs как функции макродеформаций mn и температуры
и подставить в (1.63). Для этого проведем условное осреднение уравнений (1.26) и,
пренебрегая флуктуациями деформаций в пределах компонента, получим систему
нелинейных алгебраических уравнений относительно средних по компонентам де-
формаций
2
'
1
,v kp k k kp k
ij ij ijlq vk lqmn k rs mn lq k rs
k
K x p x dx p p
, 1, 2k (1.64)
(1) (1) '; ;v kp k kp k c
ij ij lqmn k rs lqmn k rs lqmnp p
v
ij – средняя деформация -го компонента; ( )vkp x – вероятности перехода опре-
деляемые (1.37); kp k
lqmn k rsp и kp k
lq k rsp – тензоры упругих модулей и ко-
эффициентов температурных напряжений поврежденного k -го компонента).
Воспользовавшись для вероятностей перехода ( )vkp x представлениями (1.38),
(1.39), приведем уравнения (1.64) к виду
2
'
1
.v kp k k kp k
ij ij vk k ijlq lqmn k rs mn lq k rs
k
c g p p
(1.65)
Отсюда получаем уравнение
1
1 12
' '
1
v vp kp k
ij ijfq ijzt ztfq rs k fqlm fqhw hwlm k rs lm
k
I g p c I g p
31
1
1 12 2
' '
1 1
kp k ep e
k fqlm fqhw hwlm k rs e lmab lmcd cdab e rs
k e
c I g p c I g p
lp e p
abfg fg e rs lmfg fg rsg p g p
(1.66)
, , , , , , , , , , , , , , , , 1, 2 , 3a b d f i j m l h q r s t u v w z ,
где характеристики kp k
ijmn k rsp , kp k
ij k rsp определяются по формулам
(1.57), (1.58), а ijpqI – единичный тензор.
Решение системы нелинейных алгебраических уравнений (1.66) относительно
средних по компонентам деформаций будем строить методом Ньютона – Рафсона.
Итерационную схему решения (1.66) можно представить следующим образом:
( 1)( ) ;
nn k
k k rsp p
(1.67)
( ) ( ) ( ) 01kp n n k n k
ijlm k k ijyq yquv k yqst stuvp p I p g
111( ) ( ) 0 ( ) ( ) 01 1 ;n n k n n k
k uvlm k uvrh rhlm k uvlm k uvrh rhlmp I p g p I p g
(1.68)
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 01 1 ;kp n n k n k kp n n k k
ij k k ij k ijqz ijqz k qzuv k qzst stuv uvrh rhp p p p I p g g
1
21 1
1 1' '
1
n n nv vp kp
ij ijfq ijzt ztfq k fqlm fqhw hwlm k lm
k
I g p c I g p
1
2 1
1'
1
nkp
k fqlm fqhw hwlm k
k
c I g p
2 1
1 1 1'
1
n n nep lp p
e lmab lmcd cdab e abfg fg e lmfg fg
e
c I g p g p g p
(1.69)
, 1, 2 , 1, 2, ,k n
причем в нулевом приближении предполагается, что материал компонентов деформи-
руется линейно и используется решение задачи об эффективных термоупругих посто-
янных, которое находится методом условных моментов и позволяет учесть случайный
характер распределения включений и микроповреждений. Т. е. в нулевом приближении
пористость компонентов является постоянной и равной начальной их пористости
00
0 ;k
k k rs kp p p
(1.70)
0
0 ;kp k kp
ijlm k rs ijlm kp p
0
0 .kp k kp
ij k rs ij kp p
(1.71)
Подставляя (1.70) в (1.22) и сравнивая с (1.19), находим в n -ом приближении вы-
ражение для макронапряжений
,
n n n
ij ijlm lm ij (1.72)
где n -ое приближение эффективных деформативных характеристик определяется по
формулам
32
12 1 1'
1
112 1'
1
;
n nn
ijlm v ijpq rs pquw pqgt gtuw rs
v
nk k
k uwlm uwha halm k rs
k
c p I g p
c I g p
(1.73)
12 21 1
1 1
1
1 1' .
n nn nv v
ij v ij rs v ijpq rs ijpq
v v
n nv v
pquv pqgt gtuv rs uvha ha rs
c p c p
I g p g p
(1.74)
Соотношения (1.70), (1.71), (1.73), (1.74) позволяют вычислить значения эффек-
тивных деформативных характеристик при заданных значениях макродеформаций
lm и температуры . Однако на практике обычно задают макронапряжения ij –
это различные виды простого и сложного нагружений. Для обобщения алгоритма
(1.70), (1.71), (1.73), (1.74) на этот случай вместо (1.72) используем соотношение
1n n n
ij ijlm lm ij
1
.n n n
ij ijlm lm
(1.75)
Подставив (1.75) в (1.70), получим
11 121 1
1
n n nv v v k k
ij ijpq ijzt ztpq rs k pqlm pqhw hwlm k rs
k
I g p c I g p
1121 1
1
nn n k k
lmuv uv lm k pqlm pqhw hwlm rs
k
c I g
(1.76)
12 1 1 1
1
n n ne e e e v v
e lmab lmcd cdab rs abfg fg rs lmfg fg rs
e
c I g g g
.
Соотношения (1.71), (1.73), (1.74), (1.76) позволяют получить зависимости эффек-
тивных деформативных характеристик от макронапряжений ij и температуры ,
на основе чего построить кривые макродеформирования.
§2. Повреждаемость материалов с трансверсально-изотропными компонентами.
Пористый материал с нерегулярной структурой можно рассматривать как двух-
фазный композитный материал, физико-механические характеристики которого яв-
ляются случайными функциями координат, а жесткость одного компонента (включе-
ний) равна нулю. Предположим, что на расстояниях, значительно превосходящих
размеры неоднородностей, свойства среды статистически однородны. В таком случае
пористый материал можно рассматривать как однородный материал с некоторыми
усредненными по пространству термоупругими и другими физико-механическими
свойствами, которые могут быть определены методом условных моментов.
Рассмотрим представительный объем материала с квазисферическими порами.
Пусть объемное содержание пор в материале равно 0p , а модули упругости и коэффи-
циенты термического напряжения пор равны нулю. Как было изложено в п. 1.2, для оп-
ределения эффективных термоупругих характеристик композитного материала стохасти-
ческой структуры, необходимо решить систему статистически нелинейных интегральных
33
уравнений (1.26), где 0
ijmn определяется первым уравнением (1.8), а интегральный опе-
ратор (1) (2)( )K x x – соотношением (1.17). Тензорная функция Грина ( )ikG x y удов-
летворяет уравнению (1.15).
Применяя к уравнениям (1.26) описанный в п. 1.3 аппарат условного осреднения и
пренебрегая флуктуациями деформаций в пределах каждой фазы [48 – 50], получаем
систему линейных алгебраических уравнений относительно средних деформаций фаз
2
'
1
k
k k k
k
K
, 1, 2 , (2.1)
где матрица vkK определяется формулой
( ) ( ) .vk vkK K x p x dx
(2.2)
В случае, когда поры имеют квазисферическую форму, условные вероятности
(1) (2)( )vk l lp x x имеют вид [50, 98, 105]
2 2 2
1 2 3
2
0
8
exp
1k k k k
x x x
p x c c
p r
; , 1, 2k , (2.3)
где 1 0c p , 2 01c p , а r – средний радиус пор.
Тогда вводя обозначения
;vk vk kK c g
2 2 2
1 2 3
2
0
8
exp ,
1
x x x
g K x dx
p r
(2.4)
можно привести уравнения (2.1) к виду
2
'
1
k
v k k k k
k
c g
. (2.5)
Решение системы (2.5) находим в замкнутом виде
1'
1 12 2 21 1 1' ' '
1 1 1
.
v
k
s s s s k k
s s k
I g
c I g c I g c I g g g
(2.6)
Подставив полученное выражение в соотношение (1.22) и сравнив с (1.19), полу-
чим тензор эффективных модулей упругости
12 21 1* ' '
1 1
v s s
v s
c I g c I g
(2.7)
и тензор эффективных коэффициентов термических напряжений
2 2 1* * '
1 1
v v
v v
c c I g g
. (2.8)
В формулы для определения эффективных термоупругих постоянных (2.7), (2.8)
входит тензор g , определяемый через условную двухточечную плотность распреде-
ления (1) (2)( )vkp x x при помощи соотношений (2.2) – (2.4), а также через функцию
Грина на основе равенств (2.2), (1.17).
34
Тензоры эффективных упругих модулей и эффективных коэффициентов темпера-
турного напряжения данного пористого трансверсально-изотропного материала могут
быть определены на основании результатов, представленных в [50, 98, 105].
Пусть материал имеет начальную пористость 0p . Тогда компоненты тензоров
эффективных упругих модулей *
ijkl и эффективных коэффициентов температурного
напряжения *
ij пористого трансверсально-изотропного материала можно определить
через термоупругие постоянные материала ijkl , ij и его пористость 0p . Переходя во
всех тензорных величинах к матричным соотношениям согласно схеме
11 1 , 22 2 , 33 3 , 23 4 , 13 5 , 12 6 , (2.9)
получим для эффективных постоянных *
11 , *
12 , *
13 , *
33 , *
44 данного материала со-
отношения
* 20
13 0 13 13 11 12 33 1 0 13(1 ) 2 ( ) (2 1)
p
p K z p
13 11 12 3 0 33 13 33 4 0 11 12( ) (2 1) (2 1)( ) ;K z p K z p
* *
11 12 0
20
11 12 13 11 12 1 0 13 11 12 3 0 33
2
13 4 0 11 12
(1 )
4 ( ) (2 1) ( ) (2 1)
2 (2 1)( ) ;
p
p
K z p K z p
K z p
* 20
33 0 33 11 12 1 0 13
2 2
13 3 0 33 33 4 0 11 12
(1 ) ( ) (2 1)
(2 1) (2 1)( ) ;
p
p K z p
K z p K z p
(2.10)
2
* 0 44 5
44 0 44
0 44 5
4
(1 ) ;
1 4(2 1)
p K
p
p K
2
* * * 0 11 12 2
66 11 12 0 11 12
0 11 12 2
4 ( )1 1
( ) (1 ) ( ) ,
2 2 1 4(2 1)( )
p K
p
p K
а для коэффициентов линейного температурного расширения *
1 , *
3 –
* * *
1 1 3 2 1 ; * * *
3 1 1 3 32 ; (2.11)
*
1 0 1 0 33 1 11 12 3
1 0 13 11 12 1 3 0 33
13 3 4 0 11 12
(1 ) ( ) 2 ( )
(2 1) ( ) (2 1)
(2 1)( ) ;
p p
K z p K z p
K z p
*
3 0 3 0 13 1 33 3 1 0 13
13 1 3 0 33 33 3 4 0 11 12
1 2 (2 1)
2 (2 1) (2 1)( ) ;
p p K z p
K z p K z p
(2.12)
35
*
13
1 ;
a
*
33
2 ;
a
* *
11 12
3 ;
a
2* * * *
11 12 33 132 .a (2.13)
В (2.12) также обозначено
2 2
0 1 13 3 11 12 4 33 0 13 11 12 331 (2 1) 4 ( ) (2 1) 2 ( ) ;p K K K z p (2.14)
2
1 3 42 .z K K K (2.15)
Параметры 1, , 5nK n определяются следующим образом:
1 0 13 44 2 34(1 )( )( );K p A A 4 0 11 2 11 44 38(1 )[ ( ) ];K p A A
2 0 44 1 33 44 2 33 44 3 4 5(1 )[ ( 2 ) ( ) ];K p A A A A A
3 0 44 1 33 44 2 33 44 34(1 )[ ( 2 ) ( ) ];K p A A A (2.16)
5 0 11 1 11 13 2 11 13 33 3 4(1 )[ 2( ) ( 2 ) ]K p A A A A
1 1 1 22
0 11 44
2 1 2 3 12 2
0 11 44 0 11 44
1
1 2( 1)(2 ) ;
8(1 )
1 1 2
( 1) ; .
8(1 ) 8(1 ) 1 2
A q I f f I I
p
A f I I A I
p p f q
(2.17)
Здесь величины 1I и 2I , входящие в выражение (2.17), принимают различные значе-
ния в зависимости от знака параметра Q , который определяется соотношением
2Q f q . (2.18)
Если 0Q , то
1 2
1 ;
2
D D
I
Q
1 2
2 2
D D
I
(2.19)
3 2
3 2
1
arctg , 0;
11
ln , 0;
2( ) 1
i i
i
i
i
i
i i
z z
z
D
z
z
z z
1 21, 2 ; ; ; 1 .i z a Q z a Q a f
(2.20)
Если 0Q , то
1 3 3 3 33
3
2 3 3 3 33
3
1 1 1
( 2 )arcctg ( 2 ) ln ;
22 2
1 1 1
( 2 )arcctg ( 2 ) ln
22 2
I z a z a z a z a
z Q
I z a z a z a z a
z
(2.21)
3 33
3 1 2
3 3 3
1 2( )1
; ; .
2( ) 1 2( )
z a zz
z z z
z a z a z
(2.22)
36
Если 0,Q то
1 2
1 3
;
2
f D
I
fa
2
D
I
a
(2.23)
1
arctg , 0;
1 1
ln , 0
| |
a a
a
D
a
a
a f
. (2.24)
Величины 4A и 5A из (2.16) определяются формулами
4
0 66
;
8(1 )
E
A
p
5
0 66
1
8(1 ) ( 1)
E
A
p
(2.25)
1
arctg 1, 0;
1
1 11
ln , 0
1
E
. (2.26)
При этом для параметров ,f q и в уравнениях (2.17) – (2.26) имеем выражения
11 33 13 13 44
11 44
( 2 )
;
2
f
33
11
;q
44
66
.
(2.27)
Если задан тензор макродеформаций kl , то на основе зависимостей (1.19) и со-
отношений для определения эффективных термоупругих постоянных (2.10) – (2.27)
определим средние по скелету напряжения ij , которые связаны с макронапряже-
ниями ij соотношениями
01ij ij p . (2.28)
Для изотропных материалов наиболее простая структурная модель микроповреж-
даемости композита [81, 82] строится на основе критерия прочности микрообъема в
форме предельного значения второго инварианта девиатора средних касательных на-
пряжений в неповрежденной части материала компонента, т.е. критерия Губера – Ми-
зеса. В случае трансверсально-изотропных компонентов с плоскостью изотропии 1 2x x
исходим из обобщенного критерия Губера – Мизеса, который примем в виде
2 2 2' ' ' ' ' ' ' '
33 11 22 33 13 231 2 3ij ijI a a a k
, (2.29)
где ij – девиатор средних по скелету напряжений; 1a , 2a , 3a – безразмерные детер-
минированные постоянные, характеризующие трансверсальную изотропию прочности
неразрушенной части материала; k – предельное значение соответствующего выра-
жения, которое является случайной функцией координат.
При 1 2 3 0a a a из (2.29) следует критерий Губера – Мизеса
' ' 1 2( ) .ij ijI k (2.30)
37
Согласно (1.19), (2.28) напряжения в материале скелета ij выразим через макро-
деформации mn ; тогда можно получить выражение предельной поверхности для
пористого трансверсально-изотропного материала в пространстве макродеформаций
2 2 2* *
11 22 11 22 22
0
* * *
1 2 11 12 13 11 22
1 22 22 2* * * * *
33 13 33 3 44 11 22 1 3
1 1
4
1 2
1 3
2
9 2
2 2 4 2 2 ,
I
p
a a
a
(2.31)
где *
ij и *
i определяются на основании соотношений (2.10) – (2.27).
Если макродеформации не выходят за предельную поверхность (2.31), то зависи-
мости между макронапряжениями, макродеформациями и температурой являются
линейными и определяются формулами (1.19), (2.10) – (2.27). При выходе макроде-
формаций за предельную поверхность (1.19), в слабых микрообъемах скелета мате-
риала происходят микроразрушения. Примем, что участки микроразрушений полно-
стью теряют сопротивление, т. е. ведут себя как дополнительные пустые поры. В ре-
зультате появления дополнительной пористости 0p p при заданных макродеформа-
циях ij снижается жесткость материала и напряжения в неразрушенной части ма-
териала не превосходит предельного значения (2.29).
В реальных материалах микропрочность является случайной функцией коорди-
нат, т.е. микрообъемы имеют различную прочность с определенным законом распре-
деления. Одноточечную функцию распределения ( )F k предельного значения проч-
ности материала k можно описать степенным законом на конечном интервале, т.е.
0
0
0 1
1 0
0
0 , ;
( ) , ;
1,
k k
k k
F k k k k
k k
k k
(2.32)
или распределением Вейбулла
0
0 0
0 , ;
1 exp , ,
k k
F k
m k k k k
(2.33)
где 0k – минимальная величина предельного значения k , с которого начинается раз-
рушение материала; 1k , m , – постоянные, характеризующие разброс микропроч-
ности материала.
Если до начала деформирования начальная микроповрежденность материала ха-
рактеризуется его пористостью 0p , тогда функция распределения ( )F k предельного
значения прочности материала k , согласно свойству эргодичности, определяет отно-
сительное содержание неразрушенной части материала, где предел микропрочности
меньше соответствующего значения k . Поэтому если в скелете материала действуют
напряжения ij , то функция ( )F I определяет, согласно (2.29) – (2.33), относительное
38
содержание разрушенных микрообъемов скелета материала. Тогда можно записать
уравнение баланса разрушенных микрообъемов или пористости [81, 82]
0 0(1 ) ( )p p p F I . (2.34)
Подставив p вместо 0p в формулы (2.10) – (2.27), определим эффективные де-
формативные характеристики, которые, согласно (2.29), зависят от макродеформаций
kl , и поскольку закон связи между макронапряжениями и макродеформациями
определяется формулами (1.19), (2.10) – (2.27), то деформирование становится нелиней-
ным и пористость материала p определяется как функция макродеформаций kl
.klp p (2.35)
Подставляя затем (2.10) – (2.27), (2.34) в (1.19), получаем нелинейные зависимо-
сти между макронапряжениями ij , макродеформациями kl и температурой .
2.1. Итерационная схема решения. Для решения такой задачи предлагается чис-
ленно-аналитический алгоритм, который базируется на решении стохастических
дифференциальных уравнений теории упругости методом условных моментных
функций [48 – 50] с последующим применением метода Ньютона – Рафсона для ре-
шения нелинейного трансцендентного уравнения.
Итерационную схему решения трансцендентного уравнения, которое описывается
соотношениями (1.19), (2.29) – (2.34), (2.10) – (2.27) представим следующим образом:
– пористость материала в n -ом приближении ( )np связана с предельным значени-
ем интенсивности средних касательных напряжений в каркасе материала в n -ом при-
ближении ( )nk , т.е. с интенсивностью средних касательных напряжений скелета в n -
ом приближении ( )nI ;
– интенсивность средних касательных напряжений скелета в n -ом приближении
nI связана с текущей пористостью матрицы в ( 1)n -ом приближении ( 1)np , эф-
фективными термоупругими постоянными всего композита в ( 1)n -ом приближении
*( 1)n
ij
, *( 1)n
i
и макродеформациями kl согласно соотношениям (1.19), (2.28),
(2.29), (2.34);
– эффективные термоупругие модули в ( 1)n -ом приближении *( 1)n
ij
, *( 1)n
i
в
свою очередь также связаны с текущей пористостью материала в ( 1)n -ом прибли-
жении ( 1)np в соответствии с формулами (2.10) – (2.27).
Таким образом, на основании выражений (2.33), (2.34) получим
( ) ( )
0 0(1 ) ( )n np p p F k , (2.36)
где принимаем распределение Вейбулла
( )
0
( )
( ) ( )
0 0
0, ;
1 exp ( ) , .
n
n
n n
k k
F k
m k k k k
(2.37)
В свою очередь, согласно соотношениям (2.30), (2.31) имеем
( ) *( 1) *( 1) ( 1), , , ,n nn n n n
ij i klk I I p (2.38)
в то время как в соответствии с соотношениями (2.10) – (2.27)
*( 1) *( 1) ( 1)( , );n n n
ij ij mn p *( 1) *( 1) ( 1)( , , ).n n n
i i mn j p (2.39)
39
Следовательно, уравнения (2.10) – (2.27), (2.29) – (3.34) позволяют определить эффек-
тивные упругие характеристики пористого трансверсально-изотропного материала
* *( )lim ;n
ij ij kl
n
* *( )lim .n
i i kl
n
(2.40)
Таким образом, соотношения (1.19), (2.10) – (2.27) , (2.28) – (2.34), (2.36) – (2.39)
позволяют получить зависимости пористости (поврежденности) и эффективных де-
формативных характеристик пористого трансверсально-изотропного материала при
микроразрушениях в нем как функции макродеформаций.
2.2. Aнализ диаграмм макродеформирования. На основе полученных соотноше-
ний проведены расчеты и построены графики зависимостей макронапряжений от
макродеформаций. На рис. 2.1, показаны
расчетные кривые зависимостей макрона-
пряжений 33 (ГПа) от растягивающих
макродеформаций 33 в пористом мате-
риале при микроразрушениях для различ-
ных значений параметра m функции рас-
пределения прочности ( )F k . По оси абс-
цисс отложено значение макродеформа-
ции одноосного растяжения 33 , по оси
ординат – макронапряжения 11 , 33
(в ГПа). Графики построены для материа-
ла с упругими характеристиками:
11 263 ΓΠa ; 33 283 ΓΠa ; 13 133 ΓΠa ; 12 152 ΓΠa ; 44 52 ΓΠa ; (2.41)
начальном содержании пор
0 0; 0,2; 0,4p , (2.42)
а также при заданных параметрах функции распределения прочности
6; 410 ;m 510 ; 0 0,05 ΓΠa ,k (2.43)
где 0k – нижнее предельное значение интенсивности средних касательных напряже-
ний в скелете материала, с которого начинается разрушение; m и – значения пара-
метров функции распределения прочности ( )F k в микрообъемах материала (точеч-
ной линией обозначена кривая, полученная для 410m ; штриховой – для 510m ;
сплошной – где функция прочности является константой и равна 0k ).
Графики показывают, что параметр m существенно влияет на кривые макроде-
формирования и с его увеличением уменьшается величина макронапряжения, соот-
ветствующего фиксированному значению макродеформации. Из рис. 2.1 также следу-
ет, что диаграммы макродеформирования, в которых учитывался разброс микропроч-
ности, существенно зависят от начальной пористости.
§3. Повреждаемость однонаправленных дискретно-волокнистых композит-
ных материалов с трансверсально-изотропными компонентами.
3.1. Эффективные термоупругие модули композитных материалов с транс-
версально-изотропными компонентами. Рассмотрим композитный материал, пред-
ставляющий собой матрицу, армированную случайно расположенными однонаправ-
ленными дискретными волокнами. Матрица предполагается изотропной, а волокна –
трансверсально-изотропными с совпадающими плоскостями изотропии, причем в
процессе нагружения в волокнах и матрице возникают микроразрушения, которые
будем моделировать случайно расположенными пустыми микропорами квазисфери-
Рис. 2.1
40
ческой формы. Примем, что заданы макродеформации композита kl , тогда макро-
напряжения в композите ij связаны с ними соотношениями (1.19). Здесь *
ijkl , *
ij
– тензоры эффективных упругих модулей и эффективных коэффициентов темпера-
турного напряжения, которые в случае трансверсально-изотропной симметрии компо-
зита имеют пять и две независимых постоянных *
11 , *
12 , *
13 , *
33 , *
44 и *
1 , *
3 , ко-
торые являются функциями термоупругих модулей поврежденных компонентов [1]
ij ,
[2]
ij , [1]
i , [2]
i , объемных концентраций включений 1c , 2c и их пористости, а также
параметров формы включений. Индексы 1 и 2 обозначают, соответственно, включе-
ния и матрицу. Если форму дискретных волокон моделировать вытянутыми сферои-
дами с размером полуосей в поперечном и продольном направлениях, соответственно,
1t , 2t , то зависимость тензоров эффективных модулей упругости *
ij и эффективных
коэффициентов температурного напряжения *
i от термоупругих постоянных повре-
жденных компонентов [1]
ij , [2]
ij , [1]
i , [2]
i , объёмного содержания включений 1c в
матрице и параметра формы включений можно определить на основании следующих
соотношений:
* * [1] [2]
1, , , ;ijkl ijkl mnpq mnpq c t 1 2* * [1] [2]
1, , , , , ;ij ij kl kl mnpq mnpq c t 2 1 .t t t (3.1)
Тензоры эффективных упругих модулей и эффективных коэффициентов темпера-
турного напряжения данного трансверсально-изотропного композитного материала
могут быть определены на основании результатов, представленных в [50, 78, 98, 105].
Рассмотрим представительный объем композитного материала, представляющий
собой матрицу, армированную случайно расположенными однонаправленными сфе-
роидальными дискретными волокнами. Матрица и волокна предполагаются трансвер-
сально-изотропными с совпадающими плоскостями изотропии. Тогда компоненты
тензора эффективных упругих модулей определяются пятью независимыми постоян-
ными, а тензор коэффициентов температурных напряжений – двумя независимыми
постоянными.
Если форму дискретных волокон моделировать вытянутыми сфероидами с разме-
ром полуосей в поперечном и продольном направлениях, соответственно, 1t , 3t , то
условная плотность распределения (1) (2)( )kp x x для композитного материала, пред-
ставляющего собой матрицу, армированную случайно расположенными однонаправ-
ленными сфероидальными волокнами, имеет вид [50, 78, 98, 105]
( ) ( ) ( );p x c c x 2 2 2 2 2
1 1 2 3 3exp ( ) ;x n x x n x (3.2)
1 1n t ; 3 3n t ; 2
28 .c
Здесь 2 11c c ; 1c – объёмное содержание включений в матрице.
Построив Фурье-образ функции Грина для трансверсально-изотропного материа-
ла [50, 105], подставив выражения, определяющие условную плотность распределе-
ния композитного материала с однонаправленными сфероидальными включениями, и
Фурье-образ функции Грина для трансверсально-изотропной среды в соотношения
(2.2), затем проинтегрировав их и подставив в (2.1), получим соотношения для опре-
деления эффективных термоупругих свойств композитного материала с трансвер-
сально-изотропными компонентами в явном виде, как функцию термоупругих посто-
янных пористых компонентов композитного материала [1]
ij , [2]
ij , [1]
i , [2]
i , объём-
ного содержания включений 1c в матрице и параметра, характеризующего форму
41
включений. Эффективные упругие постоянные *
11 , *
12 , *
13 , *
33 , *
44 и коэффициен-
ты температурных напряжений *
1 , *
3 исследуемого материала можно определить в
соответствии с соотношениями
* [3]2 [3] [3] [3] '1 2
13 13 13 11 12 33 1 132
c c
K z
[3] [3] [3] ' [3] [3] ' '
13 11 12 3 13 13 33 4 11 12( ) ( ) ( ) ;K z K z (3.3)
* *
11 12 11 12
[3] [3] [3] ' [3] [3] 2 ' [3]2 ' '1 2
13 11 12 1 13 11 12 3 33 13 4 11 124 ( )( ) ( ) ( ) 2 ( ( )) ;
c c
K z K z K z
* [3] [3] ' [3]2 ' [3]2 ' '1 2
33 33 13 33 1 13 13 3 33 33 4 11 124 ( ) 2 ( ) ( ( )) ;
c c
K z K z K z
[3]2
* 1 2 44 5
44 44 '
44 5
4
;
1 4
c c K
K
[3] [3] 2
* * * 1 2 11 12 2
66 11 12 11 12 ' '
11 12 2
1 1 ( )
( )
2 2 1 2( )
c c K
K
и 2 составляющих матрицы эффективных коэффициентов линейного температурного
расширения
* * *
1 1 3 2 1 ; * * *
3 1 1 3 32 (3.4)
3 3 3 3* [3] '1 2
1 1 33 1 11 12 3 1 132 ( ) ( )
c c
K z
3 3 3 3' [3] ' '
11 12 1 3 33 13 3 4 11 12( ) ( ) ( )K z K z , (3.5)
*
3 3
3 3 3 3 3 3[3] ' ' [3] ' '1 2
13 1 13 3 33 33 4 11 121 33 3 13 1 32 ( ) 2 ( ) ( ) .
c c
K z K z K z
В (3.3) – (3.5) приняты обозначения:
' ' ' ' ' 2 ' ' '
1 13 3 11 12 4 44 13 11 12 331 4 ( ) 2 ( )K K K z (3.6)
и
*
13
1 ;
a
*
33
2 ;
a
* *
11 12
3 ;
a
* * * * 2
11 12 33 13( ) 2( )a (3.7)
( 2
1 3 42z K K K , [3] [1] [2]
ij ij ij , ' [1] [3]
1 2
c
ij ij ij ijc c ), (3.8)
а постоянные c
ij принимаются в виде (1.47).
Параметры 1, , 5nK n определяются формулами
1 13 44 2 34( ) ( );c cK A A 4 11 2 11 44 38 ( ) ;c c cK A A
42
2 44 1 33 44 2 33 44 3 4 5( 2 ) ( ) ;c c c c cK A A A A A
3 44 1 33 44 2 33 44 34 ( 2 ) ( ) ;c c c c cK A A A (3.9)
5 11 1 11 13 2 11 13 33 3 42 2c c c c c cK A A A A
2 2
1 1 24 2
11 44
1 ( 1)
1 2 ( 1) 2( 1) ;
8 2c c
t
A f f q I f I
t ft q
(3.10)
2
2 1 2 3 14 2 4 2
11 44 11 44
1 1 1 2
( 1) ; .
8 2 8 2c c c c
t
A f I I A I
t ft q t ft q
При этом величины 1I и 2I , входящие в выражения (3.10), имеют различный вид
в зависимости от знака параметра Q , определяющегося выражением
2Q f q . (3.11)
Если 0 ,Q тогда
1 2
1 2
;
2
D D
I
t Q
1 2
2 22
D D
I
t
(3.12)
3 2
2 2
1 22 2
3 2
1
arctg , 0
; 1, 2 ; ; .
11
ln , 0
2( ) 1
i i
i
i
i
i
i i
z z
z f t Q f t Q
D i z z
z t tz
z z
(3.13)
Если 0 ,Q тогда
1 3 3 3 32 3
3
1 1 1
( 2 )arcctg ( 2 ) ln
22 2
I z a z a z a z a
t z Q
;
2 3 3 3 32 3
3
1 1 1
( 2 )arcctg ( 2 ) ln
22 2
I z a z a z a z a
t z
(3.14)
2
3 33
3 1 2 2
3 3 3
1 2( )1
; ; ; .
2( ) 1 2( )
z a zz f t
z z z a
tz a z a z
(3.15)
Если 0 ,Q тогда
2
1 2
4
3
;
2
t f D
I
f z
2
4
;
D
I
z
2
4z f t (3.16)
4
4
4
4
4
4
arctg , 0;
ln , 0
zt
z
tz
D
t zt
z
z f
; (3.17)
43
t – параметр, характеризующий форму включений
1 3 ;t t t 0 t , (3.18)
а 1t , 3t – размеры полуосей сфероидальных включений в поперечном и продольном
направлениях, соответственно.
Величины 4A и 5A из (3.9) определяются формулами
2
4 2
66
1 11
8 c
t E
A
t
; 5 2
66
1 1
8 c
E
A
t
; (3.19)
2
2
2
2
2
2
arctg , 0;
ln , 0.
tt
t
tt
E
t tt
t
t
(3.20)
При этом параметры f , q и в уравнениях (3.9) – (3.20) определяются соотно-
шениями
11 33 13 13 44
11 44
( 2 )
;
2
c c c c c
c cf
33
11
;
c
cq
44
66
c
c
. (3.21)
Тензоры модулей упругости и коэффициентов температурных напряжений по-
врежденных компонентов [1]
ij , [2]
ij , [1]
i , [2]
i определяются через тензоры модулей
упругости и коэффициентов температурного напряжения скелетов компонентов 1
ij ,
2
ij , 1
i , 2
i и их пористости 1p , 2p , характеризующие поврежденность, на основании
соотношений (2.10) – (2.27), представленных в п. 2, т. е.
[ ] [ ] ( , );r r r
ijkl ijkl mnpq rp [ ] [ ] , ,r r r r
ij ij mnpq ij rp , 1, 2r . (3.22)
Таким образом, зная термоупругие постоянные пористых компонентов, их объем-
ное содержание, геометрические параметры структуры, а также объемное содержание
пор в компонентах на основании соотношений (2.10) – (2.27), (3.9) – (3.21) можно оп-
ределить эффективные термоупругие модули и коэффициенты температурных напря-
жений дискретно-волокнистого композитного материала с трансверсально-изотроп-
ными пористыми компонентами. Эффективные термоупругие постоянные таких ком-
позитов определяются в два этапа. На первом этапе по известным термоупругим
свойствам материала компонентов и объемным содержаниям пор в компонентах оп-
ределяются эффективные свойства пористых компонентов на основании соотношений
(2.10) – (2.27); на втором этапе по вычисленным эффективным свойствам пористых
компонентов, их объемным содержаниям и геометрическим параметрам структуры
можно определить эффективные термоупругие постоянные всего композитного мате-
риала на основании соотношений (3.9) – (3.21).
Приведем сравнение результатов для эффективных упругих модулей пористого
трансверсально-изотропного материала, полученных методом условных моментов и
другими методами.
На рис. 3.1, 3.2 показаны кривые зависимостей модулей Юнга *
1E , *
3E трансвер-
сально-изотропного материала, ослабленного стохастически расположенными квази-
сферическими порами, от концентрации пор 1c , полученные различными методами.
Сплошной кривой изображены данные, полученные методом условных моментов;
пунктирной линией – модули, полученные методом, не учитывающим взаимодействие
44
включений; точечной линией – данные, полученные методом эффективных полей [113];
штрих-пунктирной линией – данные, полученные детерминированным методом «единич-
ной ячейки» [90] для следующих упругих постоянных трансверсально-изотропного
материала: 1
11 2,179; 1
33 10,345; 1
13 0,689; 1
13 0,579; 1
44 1.
Рис. 3.1 Рис. 3.2
Следует отметить, что результаты, полученные методом условных моментов и де-
терминированным методом «единичной ячейки» имеют незначительные различия
даже при высокой концентрации пор (более 30%). Метод «единичной ячейки» являет-
ся достаточно точным численным методом (для периодических структур), особенно
при изучении свойств композитных материалов, у которых физико-механические
свойства фаз имеют существенное различие и при большом объемном содержании
включений или пор, где структура материала и взаимодействие включений (пор) ока-
зывают существенное влияние на эффективные свойства. Однако в качестве недос-
татка этого метода следует отметить, что в данном случае эффективные упругие кон-
станты, полученные детерминированным методом «единичной ячейки» имеют орто-
тропную симметрию, в то время как реальные материалы в рассматриваемом случае
имеют трансверсально-изотропную симметрию. Т.е., регуляризация структуры поро-
ждает дополнительную анизотропию. Поэтому используется дополнительное допу-
щение, позволяющее понизить анизотропию данного пористого материала. В тоже
время метод условных моментов учитывает случайный характер расположения вклю-
чений или пор (что свойственно реальным материалам) и учитывает взаимное влия-
ние включений или пор на эффективные свойства материала без дополнительных ог-
раничений и допущений в рамках двухточечного приближения. Большие различия
наблюдаются между результатами, полученными методом условных моментов и по-
стоянными, полученными методом, не учитывающим взаимодействие включений и
методом эффективных полей. Это можно объяснить тем, что последние два метода не
учитывают взаимодействие пор, что, при большой их концентрации, оказывает суще-
ственное влияние на эффективные свойства.
Ниже в табл. 3. 1 приведено сравнение с экспериментальными данными (d) для
эффективных упругих характеристик углепластика, имеющего трансверсально-
изотропную фазу (угольные волокна) и теоретическими результатами, вычисленными
(a) «cross-property connections» [114], (b) «approximate cross-property connections» [112]
и (c) методом условных моментов, которые подтверждают тот факт, что метод услов-
ных моментов дает более точные приближения по сравнению с другими методами.
Для поверки результатов использованы экспериментальные данные [65] для поли-
пропиленовой матрицы (PPS), упрочненной угольными волокнами, и теоретические
результаты [112, 114]. Угольные волокна имеют сильную анизотропию (трансверсально-
изотропные свойства вдоль оси волокна). Упругие свойства матрицы и волокон явля-
ются следующими: угольные волокна – 1
1 13,8E ГПа; 1
3 231E ГПа; 1
13 12,4G ГПа;
45
1
12 5,52G ГПа; 1
13 0,2 ; 1
12 0,25 , полипропиленовая матрица – 2 4,0E ГПа;
2 0,4 ; отношение полуосей сфероидов – 17t .
Таблица 3.1
1 0,24c 1 0,34c
*
ij
(a) (b) (c) (d) (a) (b) (c) (d)
*
11 9,3 (7%) 9,3 (7%) 9,5 (5%) 10 9,4 (13%) 9,5 (12%) 9,9 (8%) 10,8
*
22 9,3 (2%) 8,9 (6%) 9,5 (0%) 9,5 9,4 (9%) 9,1 (12%) 9,9 (4%) 10,3
*
33 36,1 (5%) 13,3 (35%) 40 (5%) 38,0 40,7 (2%) 14,1 (66%) 58 (38%) 41,7
*
44 2,0 (13%) 2,1 (8%) 2,2 (4%) 2,3 2,0 (20%) 2,2 (12%) 2,6 (4%) 2,5
*
55 2,0 (41%) 2,1 (38%) 2,2 (35%) 3,4 2,0 (49%) 2,2 (44%) 2,6 (33%) 3,9
*
66 1,8 (0%) 1,7 (5%) 1,9 (5%) 1,8 1,8 (10%) 1,8 (10%) 2,1 (5%) 2,0
*
12 5,8 (12%) 5,7 (10%) 5,7 (10%) 5,2 5,8 (5%) 5,7 (6%) 5,7 (6%) 6,1
*
13 5,7 (8%) 5,7 (8%) 5,6 (9%) 6,2 5,6 (22%) 5,7 (21%) 5,5 (23%) 7,2
*
23 5,7 (10%) 5,7 (10%) 5,6 (8%) 5,2 5,6 (10%) 5,7 (8%) 5,5 (11%) 6,2
Отметим, что точность результатов, полученных методом условных моментов,
является более высокой по сравнению с другими методами для постоянных *
11 , *
22 ,
*
44 , особенно для более высокой концентрации включений ( 1 0,34c ). В тоже время
для постоянных *
66 , *
12 , *
13 , *
23 точность результатов, полученных всеми методами,
является приблизительно одинаковой для всех объемных содержаний включений.
Исключение составляет только *
33 для более высокой концентрации включений.
Здесь наблюдается значительное различие результатов эксперимента и результатов,
полученных методом условных моментов. Это можно объяснить не идеальностью
контакта матрица – включение, влияние которого, больше всего, проявляется в направ-
лении волокон (33). Также сказывается разориентация волокон в образце, для которо-
го были получены экспериментальные данные. Известно, что для волокнистого ком-
позита эффективные упругие постоянные в направлении волокон могут быть опреде-
лены приближением Фойхта [12], в соответствие с которым модуль *
33 возрастает
пропорционально объемной концентрации волокон. В случае, когда отношение полу-
осей сфероидальных включений является достаточно большим 17t , то *
33 должно
возрастать почти пропорционально 1c , что и показывает метод условных моментов.
3.2.Повреждаемость однонаправленных дискретно-волокнистых материалов.
Если задан тензор макродеформаций kl , то на основе зависимостей (1.19) и со-
отношений
[ ] [ ]r r r r
ij ijkl kl ij , 1, 2r , (3.23)
а также равенств
1 2
1 2ij ij ijc c , 1 2
1 2kl kl klc c , (3.24)
находим, что
*[ ] [ ]r r r
ij ijkl kl ij , (3.25)
46
*[ ] [ ] * [3 ] [ ] 1r r r r
ijmn ijpq pqmn r pqkl pqkl klmn klmnI c , (3.26)
где pqmnI – единичный тензор, а r
ij , r
kl – соответственно, тензоры средних на-
пряжений и средних деформаций поврежденного r-го компонента.
Средние по скелету r-го компонента напряжения
r
ij связаны со средними напря-
жениями r
ij поврежденного r -го компонента зависимостями
1
1
r r
ij ij
rp
. (3.27)
Тогда на основе (3.23) – (3.27) получим выражения средних по скелету r -го ком-
понента напряжений
r
ij через макродеформации
[ ] * [3 ] [ ] 1 [ ]1
;
1
r r r r r
ij ijpq pqmn r pqkl pqkl klmn klmn mn ij
r
I c
p
(3.28)
1 2
1 2 .pqkl pqkl pqklc c (3.29)
В случае трансверсально-изотропных компонентов с плоскостью изотропии 1 2x x
– исходим из обобщенного критерия разрушения в форме Губера – Мизеса, который
для скелета r -го компонента примем в виде
' ' ' ' ' ' '2 '22
33 11 22 33 13 231 2 3( ) ( ) ( ) .
r r r r r r r rr
ij ij r r r rI a a a k (3.30)
Здесь 1ra , 2ra , 3ra – безразмерные детерминированные постоянные, характеризую-
щие трансверсальную изотропию прочности неразрушенной части материала r -го
компонента; rk – предельное значение выражения (3.30), которое является случайной
функцией координат.
При 1 2 3 0r r ra a a из (3.30) следует критерий Губера – Мизеса.
.r r r
ij ij rI k (3.31)
Согласно (3.25), (3.28) напряжения в материале скелета r -го компонента r
ij вы-
разим через макродеформации mn , тогда получим выражение предельной поверх-
ности для материала r -го компонента в пространстве макродеформаций
2 22*[ ] *[ ]
11 22 11 22 22
1 1
4
1 2
r r r
r
I
p
*[ ] *[ ] *[ ]
1 2 11 12 13 11 22
1 3
2
9 2
r r r
r ra a
(3.32)
1 222 2 2*[ ] *[ ] *[ ]
33 13 33 3 44 11 22 1 32 2 4 2 2 .r rr r r
ra
Одноточечную функцию распределения rF k параметра rk можно описывать
степенным законом на конечном интервале
47
0
0
0 1
1 0
0
0, ;
( ) , ;
1, ;
r r
r
r r
r r r r
r r
r r
k k
k k
F k k k k
k k
k k
(3.33)
или распределением Вейбулла
0
0 0
0, ;
( )
1 exp ( ) , ,
r r
r
r
r r r r r
k k
F k
m k k k k
(3.34)
где 0rk – минимальная величина предельного значения rk , с которого начинается
разрушение в некоторых микрообъемах r -го компонента; 1rk , rm , r – постоянные,
характеризующие разброс микропрочности в r -ом компоненте.
Пусть до начала деформирования композита начальная микроповрежденность r -го
компонента характеризуется пористостью 0rp . Тогда функция распределения ( )rF k ,
согласно свойству эргодичности, определяет относительное содержание материала
неразрушенной части r -го компонента, где предел микропрочности меньше соответст-
вующего значения rk . Поэтому если в неразрушенной части r -го компонента напря-
жения равны r
ij , то функция ( )rF I определяет, согласно (3.30) – (3.34), относитель-
ное содержание разрушенных микрообъемов скелета r -го компонента. Тогда можно
записать уравнение баланса разрушенных микрообъемов или пористости [81, 82]
0 0(1 ) ( ),r
r r rp p p F I 1, 2r . (3.35)
Подставляя (3.32) в (3.35), получаем систему уравнений для определения порис-
тости компонентов rp как функций макродеформаций kl
r r klp p . (3.36)
Подставляя затем (2.10) – (2.27), (3.9) – (3.21), (3.32), (3.35) в (1.19), получаем не-
линейные зависимости между макронапряжениями ij и макродеформациями kl
композита.
На основе соотношений (1.19), (3.32), (3.35) можно записать алгоритм последова-
тельных приближений для определения текущей пористости (поврежденности) мате-
риала, а зависимости (2.10) – (2.27), (3.9) – (3.21) дают возможность определить его
эффективные деформативные характеристики.
3.3. Итерационная схема решения трансцендентного уравнения. Итерацион-
ную схему решения трансцендентного уравнения, которое описывается соотноше-
ниями (1.19), (3.32), (3.35), (2.10) – (2.27), (3.9) – (3.21), можно представить следую-
щим образом:
– пористость r -го компонента в n -ом приближении ( )n
rp связана с предельным
значением интенсивности средних касательных напряжений в каркасе материала r -го
компонента в n -ом приближении ( )n
rk , т.е. с интенсивностью средних касательных
напряжений скелета в n -ом приближении ( )r nI ;
– интенсивность средних касательных напряжений скелета r -го компонента в n -
ом приближении ( )r nI связана с текущей пористостью скелета r -го компонента в
48
( 1)n -ом приближении ( 1)n
rp , эффективными термоупругими постоянными всего
композита в ( 1)n -ом приближении *( 1)n
ij
, *( 1)n
i
и макродеформациями kl со-
гласно соотношениям (3.32), (3.35);
– эффективные термоупругие постоянные в ( 1)n -ом приближении *( 1)n
ij
, *( 1)n
i
в свою очередь также связаны с текущей пористостью скелета r -го компонента в
( 1)n -ом приближении ( 1)n
rp в соответствии с соотношениями (2.10) – (2.27), (3.9) –
(3.21).
Таким образом, на основании выражений (3.32), (3.35) находим
( ) ( )
0 01n n
r r r rp p p F k , (3.37)
где принимаем распределение Вейбулла
( )
0
( )
( ) ( )
0 0
0, ;
( )
1 exp ( ) , .r
n
r r
n
r n n
r r r r r
k k
F k
m k k k k
(3.38)
В свою очередь, согласно соотношениям (1.19), (3.32) имеем
( ) ( ) ( ) *( 1) *( 1) ( 1), , , ,n r n r n n n n
r ij i r klk I I p (3.39)
в то время как в соответствии с соотношениями ((2.10) – (2.27), (3.10) – (3.22)
*( 1) *( 1) ( 1)
1, , , ;n n r n
ij ij mn rc p t *( 1) *( 1) ( 1), , , .n n r r n
i i mn j rp t (3.40)
Следовательно, уравнения (1.19), (2.10) – (2.27), (3.9) – (3.34) позволяют опреде-
лить эффективные термоупругие характеристики пористого трансверсально-
изотропного композита в зависимости от макродеформаций
* *( )lim n
ij ij kl
n
, * *( )lim n
i i kl
n
. (3.41)
Таким образом, задавая макродеформации, которым подвергается композит, и оп-
ределив его эффективные термоупругие характеристики, на основании выражений
(1.19), (2.10) – (2.27), (3.9) – (3.34) можно вычислить макронапряжения.
3.4. Анализ диаграмм макродеформирования. На основании полученных зави-
симостей исследованы диаграммы макродеформирования композитного материала на
основе изотропной матрицы и однонаправлено ориентированных дискретных транс-
версально-изотропных сфероидальных включений при микроразрушениях в компо-
нентах для различных случаев одноосной деформации при заданных упругих харак-
теристиках, объемных содержаниях и пористости компонентов, а также заданных
геометрических параметрах структуры.
Рассмотрим случай, когда накопление повреждений происходит в матрице компо-
зитного материала. Построим диаграмму макродеформирования и исследуем поведе-
ние композита с изотропными прочностными свойствами ( 12 22 32 0a a a ) для од-
ноосного растяжения
11 0 , (3.42)
при заданных упругих характеристиках включений
1
11 263 ΓΠa ; 1
33 283 ΓΠa ; 1
13 133 ΓΠa ; 1
12 152 ΓΠa ; 1
44 52 ΓΠa ; (3.43)
эпоксидной матрицы
2 3 ΓΠa ;E 2 0,35, (3.44)
объёмной концентрации и форме включений, начальном содержании пор в матрице
49
1 0,4c ; 2t ; 02 0; 0,2; 0,4 ,p (3.45)
а также при заданных параметрах функции распределения прочности связующего 2( )F k
2 2 ; 3 4
2 10 ;10m ; 02 0,03 ΓΠa .k (3.46)
На рис. 3.3 показаны кривые зависимости поврежденности матрицы 2p от макро-
деформаций 11 и на рис. 3.4 – кривые зависимостей макронапряжений 11 (ГПа)
от макродеформаций 11 для различных значений начальной пористости матрицы
02p и параметров функции разброса микропрочности 2m , а также без учёта разброса
микропрочности (предполагается, что 2k является постоянной величиной равной
02k ). Сплошной линией обозначены кривые, не учитывающие разброс микропрочно-
сти, пунктирной – учитывающие разброс микропрочности с параметрами 2 2 ;
3
2 10 ,m точечной – с параметрами 2 2 ; 4
2 10m .
Рассмотрим случай, когда накопление повреждений происходит в волокне рас-
сматриваемого композитного материала. Построим нелинейную диаграмму макроде-
формирования и исследуем поведение композита с изотропными прочностными свой-
ствами 11 21 31( 0)a a a для одноосного растяжения
33 0 , (3.47)
при объёмной концентрации включений, начальном содержании пор в волокне и от-
ношении полуосей сфероидального волокна
1 0,4c ; 01 0; 0,2; 0,4p ; 20t , (3.48)
а также при заданных параметрах функции распределения прочности угольного во-
локна 1( )F k
1 6; 3 4
1 10 ;10 ;m 01 0,4 ΓΠa .k (3.49)
На рис. 3.5 показаны кривые зависимости поврежденности волокон 1p от макроде-
формаций 33 и на рис. 3.6 показаны кривые зависимостей макронапряжений 33 (в
ГПа) от макродеформаций 33 для различных значений начальной пористости волокна
01p и параметров функции разброса микропрочности 1m , а также без учёта разброса
микропрочности (предполагается, что 1k является постоянной величиной, равной 01k ).
Сплошной линией обозначены кривые, не учитывающие разброс микропрочности, пунк-
тирной – кривые, учитывающие разброс микропрочности с параметрами 1 6 ,
Рис. 3.3
Рис. 3.4
50
3
1 10 ,m точечной – учитывающие разброс микропрочности с параметрами 1 6 ,
4
1 10m .
Из графиков видно, что кривые, полученные без учёта разброса микропрочности,
не учитывают влияния начальной пористости волокон 01p на поведение материала
после начала образования микроповреждений. Из рис. 3.4, 3.6, также следует, что ха-
рактер зависимостей кривых макродеформирования существенно зависит от параметров
функции распределения прочности как при микроразрушениях в матрице 2( )F k , так и в
волокнах 1( )F k . С увеличением значения параметров 1m , 2m уменьшается макронапря-
жение, соответствующее фиксированному значению макродеформации, и характер кри-
вых зависимости приближается к характеру соответствующих кривых, построенных
без учета разброса прочности в микрообъемах компонентов композита.
Кривая деформирования состоит из двух звеньев – прямолинейного восходящего
и гиперболического, сначала восходящего, а затем нисходящего. Максимум кривой
соответствует началу микроразрушений. Экспериментальная кривая деформирования
материала при микроразрушениях обычно представляет собой только восходящее
выпуклое звено, в конце которого происходит мгновенный разрыв. Отсутствие нисхо-
дящего звена в эксперименте объясняется трудностью задания макродеформации. Од-
нако существуют работы [69, 118], подтверждающие наличие нисходящего звена при
растяжении, что обусловлено возникновением рассеянных разрушений в материале и
уменьшением его эффективной жесткости и как следствие уменьшением макронапря-
жений, соответствующих фиксированным значениям макродеформаций. Выпуклость
восходящего звена экспериментальной кривой можно объяснить реальной неоднород-
ностью напряжений и предела прочности в материале.
§4. Повреждаемость зернисто-волокнистых композитов с трансверсально-изо-
тропными компонентами.
В данном разделе модель кратковременной микроповреждаемости [81, 82] обоб-
щена на случай трех компонентного композитного материала. Рассмотрим представи-
тельный объем V композитного материала при заданных макродеформациях ij .
Композитный материал представляет собой матрицу, армированную однонаправлен-
ными бесконечными волокнами и случайно расположенными однонаправленными
дискретными сфероидальными включениями, причем предполагается, что волокна и
дискретные включения имеют различные упругие свойства, которые характеризуются
трансверсально-изотропной симметрией. Кроме того, полагаем, что повреждаемость
компонентов характеризуется пористостью, а микроповреждения моделируются сто-
хастически расположенными порами квазисферической формы.
Эффективные модули и напряженно-деформированное состояние такого компо-
зитного материала определяются на основании стохастических уравнений теории уп-
ругости, учитывающих случайный характер распределения включений и микропор в
Рис. 3.5
Рис. 3.6
51
компонентах методом условных моментных функций [48, 49, 105]. При однородном
нагружении в представительном объеме напряжения и деформации образуют стати-
стически однородные случайные поля, удовлетворяющие условию эргодичности, что
позволяет заменить операцию усреднения по представительному объему на операцию
усреднения по ансамблю реализаций. Тогда для макронапряжений и макродеформа-
ций такого материала будет справедлив закон Гука в следующей форме:
klijklij ** , 3,2,1,,, lkji . (4.1)
Здесь **
ijkl – тензор эффективных упругих постоянных композитного материала; ij ,
kl – тензоры напряжений и деформаций, а угловые скобки обозначают усреднение
по ансамблю реализаций. Тензор эффективных упругих постоянных данного компо-
зита определяется в три этапа. На первом этапе на основании соотношений представ-
ленных в §2. для пористых материалов (2.10) – (2.27), определяем эффективные упру-
гие модули компонентов, ослабленных порами. Затем на основании результатов,
представленных в §3 для материалов, упрочненных однонаправленными сфероидами
с трансверсально-изотропной симметрией физико-механических свойств (3.9) – (3.21),
последовательно в два этапа определяем эффективные свойства всего композита с
двумя различными типами включений.
Предположим, что матрица имеет начальную пористость 02p , а включения – 1
01p
(волокна) и 2
01p (дискретные сфероидальные включения); концентрация включений в
матрице равна 11c и 12c для волокон и дискретных сфероидальных включений, соот-
ветственно. Тогда компоненты тензора эффективных упругих модулей всего компо-
зита можно определить как функции упругих модулей компонентов ]1,1[
ijkl , ]2,1[
ijkl и ]2[
ijkl
(индексы 1,1 и 1,2 обозначают включения первого (волокна) и второго (сфероиды)
типа, соответственно, а 2 обозначает матрицу), объемного содержания включений 11c ,
12c в матрице, пористости компонентов 1
01p , 2
01p , 02p и параметра, характеризующего
форму дискретных сфероидальных включений 3 1( ).t t t
** ** [1,1] [1,2] [2] 1 2
11 12 01 01 02, , , , , , , , ,ijkl ijkl mnpq mnpq mnpq c c p p p t , , , 1, 2 , 3 .m n p q (4.2)
Здесь 1t , 3t – полуоси сфероидов в направлении их осей симметрии. Тензоры ]1,1[
ijkl ,
]2,1[
ijkl и ]2[
ijkl определяются на основании соотношений (2.10) – (2.27) через тензоры
упругих модулей скелетов компонентов 1,1
ijkl , 2,1
ijkl и 2
ijkl и их пористости 1
01p , 2
01p ,
02p , которые характеризуют повреждаемость каждого компонента.
[1,1] [1,1] 1,1 1
01( , );ijkl ijkl mnpq p [1,2] [1,2] 1,2 2
01( , );ijkl ijkl mnpq p [2] [2] 2
2( , ).ijkl ijkl mnpq p (4.3)
Зная макродеформации и определив тензор эффективных упругих модулей всего
композита, можно вычислить средние деформации матрицы 2pq
[1,2] * ** [1,2] * 1
2 12 12 12(1 ) (1 ) ( )pq pqkl pqkl pqkl pqkl klrs klrsI c c c
' ' [1,1] ' [2] * [3] 1
2 1 2 ;rsmn rsmn rsmn rsmn mnij ijI c c c 3,2,1,,, srqp (4.4)
и включений первого 1,1pq и второго типа 2,1pq на основании соотношений
1,2 1,2* ** * 1
1,2 12 12 11 2( ) ( ) ;pq pqmn pqkl pqkl pqkl klmn klmn mnI c c c c
52
11 1,1 12 1,2 2 2 ;pq pq pq pqc c c [3] [1,1] [2] ;mnij mnij mnij (4.5)
2c – объемное содержание матрицы; 11c и 12c – концентрация волокон и дискретных
сфероидальных включений в матрице соответственно; '
1c и '
2c определяются следую-
щими соотношениями:
' 11
1
11 2
;
c
c
c c
' 2
2
11 2
;
c
c
c c
11 12 2 1,c c c (4.6)
а *
klpq – тензор эффективных упругих постоянных композита на основе пористой
матрицы и бесконечных волокон, который можно определить на основании соотно-
шений (3.9) – (3.21), представленных в § 3, положив t
* * [1,1] [2] 1
11 01 02, , , , ;ijkl ijkl mnpq mnpq c p p 3,2,1,,, qpnm . (4.7)
В свою очередь, зная средние деформации компонентов 1,1 ,kl 1,2 ,kl 2 ,kl
можно определить средние напряжения в каждом компоненте 1,1ij , 2,1ij , 2 ,ij
которые связаны между собой следующим образом:
[1,1]
1,1 1,1 ;ij ijkl kl [1,2]
1,2 1,2 ;ij ijkl kl [2]
2 2 .ij ijkl kl (4.8)
Средние по скелету компонентов напряжения
1,1
ij ,
1,2
,ij
2
,ij связаны со сред-
ними напряжениями в каждом компоненте 1,1ij , 2,1ij , 2ij зависимостями
1,1
1,11
01
1
;
1
ij ijp
1,2
1,22
01
1
;
1
ij ijp
2
2
02
1
.
1
ij ijp
(4.9)
Таким образом, на основании выражений (4.4) – (4.9), средние по скелету компо-
нентов напряжения
1,1
ij ,
2,1
ij ,
2
ij связаны с макродеформациями посредством соот-
ношений kl
1,2 1,2 1,2[1,2] * ** * 1
12 12 11 22
01
1
( ) ( ) ;
1
ij ijpq pqmn pqkl pqkl pqkl klmn klmn mnI c c c c
p
2 [2] [1,2] * **
12 12 12
02
1
(1 ) (1 )
1
ij ijpq pqkl pqkl pqkl pqklI c c c
p
[1,2] * 1 ' * [3] 1
2( ) ;klrs klrs rsmn rsmn rsmn mnkl klI c (4.10)
1 1,1 2 1,2 2
11 01 12 01 2 02(1 ) (1 ) (1 ) .ij ij ij ijc p c p c p
Предположим, что критерий разрушения скелета компонента определяется пре-
дельным значением интенсивности средних по неразрушенной части касательных
напряжений
;
r rr
ij ij rI k 1, 2, 3 ,r (4.11)
где
r
ij – девиатор средних напряжений по скелету r -го компонента; rk – соответст-
вующее предельное значение прочности r -го компонента, являющееся случайной
53
функцией координат ( 1; 2; 3,r где 1,1 1; 1,2 2; 2 3) , что соответствует вклю-
чениям первого и второго типа и матрице.
Одноточечная функция распределения ( )rF k случайной величины rk представ-
ляет собой ассиметричную кривую. Наиболее подходящая аппроксимация экспери-
ментально наблюдаемой кривой может быть описана распределением Вейбулла на
полу бесконечном интервале
0
0 0
0, ;
1 exp , ,r
r r
r
r r r r r
k k
F k
m k k k k
3,2,1r . (4.12)
Здесь rk0 – минимальная величина предельного значения интенсивности средних по
скелету r -го компонента касательных напряжений rk , с которого начинается разру-
шение материала r -го компонента; rk0 , rm и r – коэффициенты, выбираемые из
условия наилучшей аппроксимации разброса прочности, которые для каждого мате-
риала определяются экспериментально.
Пусть до начала деформирования композита начальная микроповрежденность r -го
компонента характеризуется пористостью rp0 . Также предположим, что случайное
поле предела микропрочности rk является статистически однородным, что характер-
но для реальных материалов, а размеры единичных микроразрушений и расстояний
между ними пренебрежимо малы по сравнению с размерами рассматриваемого мак-
рообъема материала. Тогда имеет место свойство эргодичности, согласно которому
функция распределения ( )rF k определяет относительное содержание неразрушенной
части материала r -го компонента, где предел микропрочности меньше соответст-
вующего значения rk . Поэтому, если известны напряжения в скелете материала r -го
компонента
r
ij , то функция ( )rF I определяет относительное содержание разрушен-
ных микрообъемов в материале r -го компонента. Если разрушенные микрообъемы
моделировать порами, то можно записать уравнение баланса пористости [81, 82]
0 0( ) (1 );r
r r rp p F I p 3,2,1r . (4.13)
Согласно формуле (4.10), напряжения в скелете материала r -го компонента
r
ij
можно выразить через макродеформации всего композита kl . Подставляя (4.9),
(4.11) в (4.13), получим систему уравнений для определения текущей пористости r -го
компонента rp , характеризующую микроповреждаемость, возникающую под воздей-
ствием приложенных деформаций, т.е.
klrr pp , 3,2,1r . (4.14)
Затем, подставляя rp вместо rp0 в уравнения (4.2), (4.3), (4.7), получим нелиней-
ные зависимости между макронапряжениями ij и макродеформациями kl , где
нелинейность обусловлена микроразрушениями материала r -го компонента.
На основе соотношений (4.1) – (4.3), (4.11), (4.12), (4.14) можно записать итераци-
онный алгоритм для определения текущей пористости материала, а зависимости (2.10) –
(2.27), (3.9) – (3.21) дают возможность определить его эффективные деформативные ха-
рактеристики.
4.1. Итерационная схема решения трансцендентного уравнения. Решение по-
лученного трансцендентного уравнения, которое описывается соотношениями (4.1) –
(4.13), можно получить на основании следующей итерационной схемы:
54
– пористость r -го компонента в n -ом приближении )(n
rp определяется как функ-
ция предельного значения интенсивности средних касательных напряжений в каркасе
r -го компонента в n - ом приближении )(n
rk , а значит, она зависит от интенсивности
средних касательных напряжений скелета r -го компонента в n -ом приближении
)(nrI ;
– интенсивность средних касательных напряжений скелета r -го компонента в n -
ом приближении
)(nrI согласно соотношениям (4.8) – (4.10) зависит от макродефор-
маций kl , эффективных упругих модулей композита в )1( n -ом приближении
)1(** n
ij и от текущей пористости r -го компонента в )1( n -ом приближении )1( n
rp ;
– эффективные упругие модули композита в )1( n -ом приближении
)1(** n
ij явля-
ются функцией текущей пористости r -го компонента в )1( n -ом приближении
)1( n
rp согласно уравнениям (4.7), (2.10) – (2.27).
Таким образом, на основании зависимостей (4.12), (4.13) можем записать уравне-
ние баланса пористости
( 1) ( 1)
0 0(1 ) ( ),n n
r r r rp p p F k 1, 2, 3 ;r (4.15)
( 1)
0
( 1)
( 1) ( 1)
0 0
0, ;
( )
1 exp ( ) , ;r
n
r r
n
r
n n
r r r r r
k k
F k
m k k k k
3,2,1r . (4.16)
В соответствии с выражениями (4.1) – (4.11) величина )1( n
rk в )1( n -ом прибли-
жении зависит от макродеформаций kl , эффективных упругих модулей композита
)1( n -ом приближении
)1(** n
ij и от пористостей r -го компонента )1( n
rp в )1( n -ом
приближении
( 1) ( 1) ( 1) **( 1) ( 1), , ;n r n r n n n
r ij r klk I I p 3,2,1r , (4.17)
в то время как компоненты тензора эффективных упругих модулей всего композита
можно определить на основании соотношений (2.10) – (2.27), (3.9) – (3.21)
**( 1) **( 1) [1,1] [1,2] [2] ( 1)
11 12, , , , , , .n n n
ij ij kl kl kl rc c t p (4.18)
Следовательно, уравнения (2.10) – (2.27), (3.9) – (3.21), (4.1) – (4.18) позволяют
определить эффективные упругие характеристики пористого трансверсально-изотроп-
ного композита в зависимости от макродеформаций
kl
n
ij
n
ij
)(**** lim
. (4.19)
Таким образом, задавая макродеформации, которым подвергается материал, и оп-
ределив его эффективные упругие характеристики, можно определить макронапряже-
ния, возникающие в таких композитных материалах.
4.2. Анализ диаграмм макродеформирования. На основе предложенной модели
приводится численное решение задачи о напряженно-деформируемом состоянии уп-
ругого композита армированного двумя различными типами включений с трансвер-
сально-изотропной симметрией упругих свойств. Предполагается, что матрица имеет
начальную пористость, которая характеризует повреждаемость. Рассматривается слу-
чай одноосного нагружения материала при задаваемых деформациях. В процессе де-
формирования в матрице происходит накопление повреждений и, начиная с опреде-
ленного момента, она начинает разрушаться.
55
В качестве примера построим диаграмму макродеформирования и исследуем по-
ведение композита на основе эпоксидной матрицы, упрочненной угольными волок-
нами и зернистыми включениями из алюмоборосиликатного стекла при одноосном
нагружении
011 , (4.20)
при заданных упругих характеристиках угля и стекла, соответственно:
1,1
11 263 ΓΠa ; 1,1
33 283 ΓΠa ; 1,1
13 133 ΓΠa ; 1,1
12 152 ΓΠa ; 1,1
44 52 ΓΠa ;
1,2 70 ΓΠa ;E 1 0,2, (4.21)
и упругих постоянных матрицы (эпоксид)
2 3 ΓΠa ;E 2 0,382, (4.22)
для объемной концентрации включений, начальном содержании пор в матрице и па-
раметре t , характеризующем форму сфероидальных включений
11 0,3;c 12 0,1;c 02 0; 0,2; 0,4;p 1t , (4.23)
а также при заданных параметрах функции распределения прочности:
3 2; 3 100 ;m 310 ; 42 10 ; 03 0,015 ΓΠa .k (4.24)
На рис. 4.1 приведены диаграммы
макродеформирования 11 (в ГПа) в
зависимости от 11 при различных значе-
ниях начальной пористости матрицы 02p и
параметре функции распределения проч-
ности 3m . На диаграммах сплошной ли-
нией обозначены кривые, учитывающие
разброс прочности материала матрицы с
параметрами 23 , 1003 m , штриховой
– кривые, учитывающие разброс прочности
с параметрами 23 , 3
3 10m , точечной
линией – учитывающие разброс прочности с параметрами 23 ; 4
3 102m .
Таким образом, можно сделать вывод, что предложенный подход, базирующийся
на методе условных моментных функций, уравнении баланса пористости и итераци-
онном методе, позволяет нам исследовать эффективные деформативные свойства и
напряженно-деформируемое состояние зернисто-волокнистого композита, стохасти-
ческой структуры, компоненты которого обладают трансверсально-изотропной сим-
метрией упругих свойств. Эффективные упругие модули зависят от упругих свойств
компонентов их объемных концентраций, формы включений, начальной пористости
матрицы и величины приложенной деформации.
§5. Повреждаемость ортотропного материала.
Рассмотрим макрообъем линейно-упругого материала ослабленного стохастиче-
ски расположенными квазисферическими порами при заданных макродеформациях
ij и температуре . Материал скелета принимаем ортотропным, а его начальную
пористость равной 0p . Закон связи между макронапряжениями, макродеформациями
и температурой имеет вид (1.19).
Рис. 4.1
56
Тензоры эффективных упругих модулей и эффективных коэффициентов темпера-
турного напряжения данного пористого ортотропного материала могут быть опреде-
лены на основании результатов, представленных в [79, 98, 99].
Пусть материал имеет начальную пористость 0p . Тогда компоненты тензора эф-
фективных упругих модулей *
ijkl и эффективных коэффициентов температурного
напряжения *
ij пористого ортотропного материала можно определить через термо-
упругие постоянные материала ijkl , ij и его пористость 0p . Переходя к матричным
обозначениям компоненты тензора эффективных упругих постоянных *
11 , *
12 , *
13 ,
*
22 , *
23 , *
33 , *
44 , *
55 , *
66 и коэффициенты температурных напряжений *
1 , *
2 , *
3
исследуемого материала определяются в соответствие с соотношениями
*
0 0(1 ) ;ij ij iq qk kl ljp p P M , , , , 1, 2 , 3 ;i j q k l (5.1)
* 2
0 0
0
4
(1 ) ( ) ;
1 4(2 1)
pp
pp pp pp
pp pp
M
p p
p M
4, 5, 6 ;p
1
0(2 1) .qk qk ql lkP p M
(5.2)
Здесь суммирование по индексу p не производится.
Компоненты матрицы ijM , которые входит в выражения (5.1), (5.2) для определе-
ния эффективных упругих модулей, в случае ортотропного материала с квазисфери-
ческими порами определяются через определенные интегралы
22
0
11 55 66 1 44 22 4 33 8 3 1 5 3 6 8
0
2( 1)
;
p
M S S S S u S u S u d
22
0
22 44 66 2 55 11 3 33 9 4 2 6 9 7 3
0
2( 1)
;
p
M S S S S u S u S u d
22
0
33 44 55 10 66 11 5 22 7 6 7 8 2 9 1
0
2( 1)
;
p
M S S S S u S u S u d
22
0
23 6 5 6 11 4 4 66 7 55 9
0
2( 1)
;
p
M S u u u u S S d
(5.3)
22
0
13 6 4 6 22 5 5 66 5 44 8
0
2( 1)
;
p
M S u u u u S S d
22
0
12 6 4 5 33 6 6 55 3 44 4
0
2( 1)
;
p
M S u u u u S S d
22
0
44 55 11 5 33 10 66 11 3 22 2 7 22 55 23 66
0
2( 1)
2
p
M S S S S S
9 33 66 23 55 6 10 8 9 4 72 2 ;S S u S u S u d
57
2
0
66134411542211166103372244
2
0
55 2
12
SSSSS
p
M
8 33 66 13 44 6 11 9 8 3 72 2 ;S S u S u S u d
551244113
2
0
8331115593322244
2
0
66 2
12
SSSSS
p
M
4 22 55 12 44 6 12 7 8 5 92 2 .S S u S u S u d
Здесь величины iu 12,,1 i являются постоянными и определяются формулами
1 44 66 22 55 ;u 2 55 66 11 44;u 3 44 55 33 66;u
4 23 44 ;u 5 13 55;u 6 12 66;u
2
7 11 22 12 12 662 ;u 2
8 22 33 23 23 442 ;u (5.4)
2
9 11 33 13 13 552 ;u 10 5 6 55 66 11 23;u u u
11 4 6 44 66 22 13;u u u 12 4 5 44 55 33 12 ,u u u
jS являются функциями угла , по которому выполняется интегрирование, и имеют
вид
6
1 1 cos ;S A 6
2 4 3 2 13 3 sin ;S A A A A
4 2
3 2 1 cos sin ;S A A 2 4
4 3 2 12 cos sin ;S A A A (5.5)
4
5 2 cos ;S A 2 2
6 3 2 cos sin ;S A A 4
7 4 3 22 sin ;S A A A
2
8 3 cos ;S A 2
9 4 3 sin ;S A A 10 4.S A
Величины jA ( 1, , 4)j , которые также являются функциями угла и в зави-
симости от знака параметра
3 2 ,R h q (5.6)
принимают различные значения, которые будут приведены ниже.
Параметры h и q определяются выражениями
2
1 3 2
2
1
3
;
9
b b b
h
b
3
2 32 1
3 2
1 1 1
,
27 6 2
b bb a
q
b b b
(5.7)
где ia 4,,1 i определяются формулами
3 2 2 4 4 2 2
1 0 55 44 11 66 22 66 7(1 ) cos sin cos sin cos sin ;a p u
3 4 4 2
2 0 3 11 22 13 13 55(1 ) cos sin 2a p u (5.8)
2 2 2 2 2 2 2
66 22 23 23 44 66 11cos sin cos 2 sin cos sin
58
2 2
44 55 66 4 5 6 33 72 2 cos sin ;u u u u
3 2 2
3 0 33 55 66 44 9 33 44 66 55 8(1 ) cos sin ;a p u u
3
4 33 44 66(1 ) .a p
Если 0R , тогда jA 4,,1 j из (5.5) определяются соотношениями
i
i
j
i
ji
i
j d
I
hb
A
13
11
1
4
1
1, 2 , 3 ;j
33
4
11
1 1
1 1 ;
4
i
i i
i i
I
A
b h d
1
arctg , 0;
11
ln , 0;
2 1
i i
i
i
i
i
i i
I
1, 2 , 3 .i (5.9)
Здесь приняты обозначения:
2
1 1
1
2sign ;
3
b
q h v
b
2
2 2
1
2sign ;
3
b
q h v
b
3
1
2
3 sign2
3
vhq
b
b
;
1
1
cos arctg ;
3
R
v
h
2
1
cos arctg ;
3 3
R
v
h
(5.10)
3
1
cos arctg ;
3 3
R
v
h
1 1 2 1 3 ;d v v v v 2 1 2 3 2 ;d v v v v 3 1 3 3 2 .d v v v v
Если 0R , тогда имеем
1 1 2 32 ;A L I a I I 2
2 1 2 3 ;A L I z I I
2 2 2
3 1 2 32 ;A L I z I z a I (5.11)
3 2 2 2 2 2
4 1 2 3
1
1
2 2 4 ;A L I z z a I az a z I
b
1
1
arctg , ( 0);
1 1
ln , ( 0);
2 1
I
2
1
2sign ;
3
b
q h v
b
1 1
;
2
v r
r
3
1 2
;
h R
r
h
(5.12)
59
2
1 2( )1 1 1 1
ln arcctg ;
2 2 2 1 2( ) 2( )
z a z z
I
z z a z a z z a z a
3
1 2( )1 1 1 1
ln arcctg ;
2 2 2 1 2( ) 2( )
z a z z
I
z a z a z z a z a
2 2
1
1
;
( 2 )
L
b a z
2
1
1
sign ;
3
b
a q h m
b
2 2
23 .z a h m
Параметры 1m и 2m в зависимости от знака величины h принимают различные
значения.
1
1 1
;
2
m r
r
2
1 1
;
2
m r
r
(5.13)
1
1 1
;
2
m r
r
2
1 1
.
2
m r
r
(5.14)
Если задан тензор макродеформаций kl или макронапряжений ij , то на ос-
нове зависимостей (1.19) и соотношений для определения эффективных термоупругих
постоянных (5.1) – (5.14) можно определить средние по скелету напряжения ij , ко-
торые связаны с макронапряжениями ij соотношениями
01 pijij . (5.15)
Для изотропных материалов наиболее простая структурная модель микроповре-
ждаемости композита [81, 82] строится на основе критерия прочности микрообъема в
форме предельного значения второго инварианта девиатора тензора средних напря-
жений в неповрежденной части материала компонента, т.е. критерия Губера – Мизеса.
В случае ортотропных компонентов, если ограничится только квадратичной формой,
будем исходить из обобщенного критерия Губера – Мизеса, который возьмем в виде
2 2 2 2
22 33 11 33 22 33 13 231 2 3 4 5 6( ) ( ) ( ) ( ) ,ij ijI a a a a a a k
(5.16)
а если учитывать, что на растяжение и на сжатие прочностные свойства материала
являются различными, то добавятся еще линейные члены
2 2 2 2
22 33 11 33 22 33 13 231 2 3 4 5 6( ) ( ) ( ) ( )ij ijI a a a a a a
11 22 337 8 9 ;a a a k (5.17)
ia , 6...,,1i или 9...,,1i – безразмерные детерминированные постоянные,
характеризующие ортотропию прочности неразрушенной части материала; k – пре-
дельное значение соответствующего выражения, которое является случайной функ-
цией координат.
При 0ia 6...,,1,i или ( 1, , 9)i из (5.16), (5.17) следует критерий Губера
– Мизеса.
.ij ijI
(5.18)
60
Согласно (1.19), (5.14) напряжения в материале скелета ij можно выразить через
макродеформации mn , тогда можно получить выражение предельной поверхности
для пористого материала в пространстве макродеформаций
2
33
*
23
*
1322
*
22
*
1211
*
22
*
11
0 6
1
1
1 p
I
2
33
*
33
*
2322
*
23
*
2211
*
13
*
12
2
23
*
44
2
33
*
13
*
3322
*
12
*
2311
*
11
*
13
2 2 2 2 2* * * * * * * *
55 13 66 12 1 3 2 3 1 2 ;
(5.19)
*
ij и *
i определяются на основании соотношений (5.1) – (5.14).
Если макродеформации не выходят за предельную поверхность (5.7), то зависи-
мости между макронапряжениями, макродеформациями и температурой являются
линейными и определяются формулами (5.1), (5.1) – (5.14). При выходе макродефор-
маций за предельную поверхность (5.19) в слабых микрообъемах скелета материала
происходят микроразрушения. Примем, что участки микроразрушений полностью
теряют сопротивление, т. е. ведут себя как дополнительные пустые поры. В результа-
те появления дополнительной пористости 0pp при заданных макродеформациях
ij снижается жесткость материала, и напряжения в неразрушенной части материа-
ла не превосходит предельного значения (5.6).
В реальных материалах микропрочность является случайной функцией коорди-
нат, т.е. микрообъемы имеют различную прочность с определенным законом распре-
деления. Одноточечную функцию распределения ( )F k предельного значения проч-
ности материала k можно описывать степенным законом на конечном интервале
0
0
0 1
1 0
0
0, ;
( ) , ;
1,
k k
k k
F k k k k
k k
k k
(5.20)
или распределением Вейбулла
0
0 0
0, ;
1 exp , ,
k k
F k
m k k k k
(5.21)
где 0k – минимальная величина предельного значения k , с которого начинается раз-
рушение материала; 1k , m , – постоянные, характеризующие разброс микропроч-
ности материала.
Если до начала деформирования начальная микроповрежденность материала ха-
рактеризуется его пористостью 0p , тогда функция распределения ( )F k , согласно
свойству эргодичности, определяет относительное содержание материала неразру-
шенной части материала, где предел микропрочности меньше соответствующего зна-
61
чения k . Поэтому если в скелете материала напряжения равны ,ij то функция
)( IF определяет, согласно (5.18) – (5.21), относительное содержание разрушенных
микрообъемов скелета материала. Тогда можно записать уравнение баланса разру-
шенных микрообъемов или пористости [81, 82] в виде
0 0(1 ) ( ).p p p F I (5.22)
Подставив p вместо 0p в формулы (5.1) – (5.14), определим эффективные де-
формативные характеристики, которые, согласно (5.11) (5.18), (5.22), зависят от мак-
родеформаций kl , и, поскольку закон связи между макронапряжениями и макро-
деформациями определяется формулами (1.19), (5.1) – (5.14), деформирование стано-
вится нелинейным, а пористость материала p определяется как функций макроде-
формаций kl , т.е.
klpp . (5.23)
Подставляя затем (5.1) – (5.14), (5.22) в (1.19), получаем нелинейные зависимости
между макронапряжениями ij , макродеформациями kl и температурой .
На основе соотношений (5.21), (5.22) можно записать алгоритм последовательных
приближений для определения текущей пористости материала, а зависимости (5.1) –
(5.14) дают возможность определить его эффективные деформативные характеристики.
5.1. Итерационная схема решения трансцендентного уравнения. Итерацион-
ную схему решения трансцендентного уравнения, которое описывается соотношениями
(5.1) – (5.14), (5.18) – (5.22), можно представить следующим образом:
– пористость материала в n -ом приближении )(np связана с предельным значе-
нием интенсивности средних касательных напряжений в каркасе материала в n -ом
приближении )(nk , т.е. с интенсивностью средних касательных напряжений скелета в
n -ом приближении nI ;
– интенсивность средних касательных напряжений скелета в n -ом приближении
nI связана с текущей пористостью матрицы в )1( n -ом приближении )1( np , эф-
фективными термоупругими постоянными всего композита в )1( n -ом приближении
)1(* n
ij ,
)1(* n
i и макродеформациями kl согласно соотношениям (5.1) – (5.14), (5.19);
– эффективные термоупругие модули
)1(* n
ij , *( 1) ,n
i
в свою очередь также связа-
ны с текущей пористостью материала в )1( n -ом приближении )1( np в соответствии
с формулами (5.1) – (5.14).
Таким образом, на основании выражений (5.20), (5.21) находим
( ) ( )
0 0(1 ) ( )n np p p F k , (5.24)
где принимаем распределение Вейбулла
( )
0
( )
( ) ( )
0 0
0, ;
( )
1 exp , .
n
n
n n
k k
F k
m k k k k
(5.25)
В свою очередь согласно соотношениям (5.18), (5.19)
( ) *( 1) *( 1) ( 1), , , ,n nn n n n
ij i klk I I p (5.26)
62
в то время как в соответствии с соотношениями (5.1) – (5.14)
*( 1) *( 1) ( 1)( , );n n n
ij ij vn p *( 1) *( 1) ( 1)( , , ).n n n
i i mn j p (5.27)
Следовательно, уравнения (5.1) – (5.14), (5.19) – (5.22) позволяют определить эф-
фективные упругие характеристики пористого ортотропного материала в зависимости
от макродеформаций
* *( )lim ;n
ij ij kl
n
* *( )lim .n
i i kl
n
(5.28)
Таким образом, соотношения (5.1) – (5.14), (5.19) – (5.22) позволяют найти зави-
симости пористости и эффективных деформативных характеристик пористого орто-
тропного материала при микроразрушениях в нем от макродеформаций.
5.2. Анализ диаграмм макродеформирования. На основе полученных соотноше-
ний были проведены расчеты и построены графики зависимостей макронапряжений
от макродеформаций для ортотропного
материала при одноосном растяжении
33 0. (5.29)
На рис. 5.1 показаны кривые зависи-
мостей макронапряжений 11 (в ГПа)
от растягивающих макродеформаций
33 пористого ортотропного материала
при микроразрушениях для различных
значений параметра m функции прочно-
сти ( )F k . Графики построены для мате-
риала с упругими характеристиками
11 287 ΓΠa; 22 365 ΓΠa; 33 300 ΓΠa;
23 90 ΓΠa; 13 85 ΓΠa; 12 128 ΓΠa; (5.30)
44 110 ΓΠa; 55 135 ΓΠa; 66 133 ΓΠa ;
начальном содержании пор – 0 0; 0,2; 0,4p а также при заданных параметрах функции
распределения прочности – 6; 310m ; 410 ; 0 0,4 ΓΠa ,k где 0k – предельное
нижнее значение интенсивности средних касательных напряжений в скелете материала,
с которого начинается разрушение; m и – значения параметров функции распре-
деления прочности ( )F k в микрообъемах материала (точечной линией обозначена
кривая для 410 ,m штриховой для 310m ; сплошной линией – кривая, где функция
прочности является константой и равна 0k ).
Графики показывают, что параметр m существенно влияет на кривые макроде-
формирования и с его увеличением уменьшается величина макронапряжения, соот-
ветствующего фиксированному значению макродеформации.
§6. Повреждаемость композитных материалов, армированных бесконечными
ортотропными волокнами.
Ниже модель кратковременной повреждаемости обобщена на случай композитно-
го материала на основе ортотропных матрицы и бесконечных волокон.
Рассмотрим композитный материал, представляющий собой матрицу, армирован-
ную однонаправленными бесконечными волокнами. Предполагаем, что матрица и
волокна обладают ортотропной симметрией упругих свойств, причем в процессе на-
гружения в компонентах возникают микроразрушения, которые будем моделировать
случайно расположенными пустыми микропорами квазисферической формы. При-
Рис. 5.1
63
мем, что заданы макродеформации композита kl . Закон связи между макронапря-
жениями, макродеформациями и температурой имеет вид (1.19)
Пусть компоненты композитного материала имеет начальную пористость kp0 .
Тогда компоненты тензора эффективных упругих модулей *
ijkl и эффективных коэф-
фициентов температурного напряжения *
ij ортотропного композитного материала с
пористыми компонентами можно определить через термоупругие постоянные повре-
жденных компонентов ]1[
ij , ]2[
ij , ]1[
i , ]2[
i , объемные концентрации включений 1c , 2c
и их пористости, а также параметр, характеризующий эллипсоидальное волокно 2t .
Переходя к матричным обозначениям, компоненты тензора эффективных упругих
постоянных *
11 , *
12 , *
13 , *
22 , *
23 , *
33 , *
44 , *
55 , *
66 и коэффициенты температурных
напряжений *
1 , *
2 , *
3 исследуемого материала определим в соответствии с соот-
ношениями [50, 77, 79]
*
1 2 ;ij ij ijc c L
3 2
*
1 2 '
4
;
1 4
pp pp
pp pp
pp pp
M
c c
M
, 1, 2 , 3 ,i j 4, 5, 6p (6.1)
и тремя коэффициентами температурных напряжений *
1 , *
2 , *
3
*
1 2 1 2 ,j j j jc c aP bP (6.2)
где суммирование по индексу p не производится.
Здесь введены следующие обозначения:
1 1 2 2 ;ij i j i jL P R P R ' [2] [1]
1 2 ;c
ij ij ij ijc c ]2[]1[]3[
ijijij (6.3)
3 3 3 3
1 1 2 2 1 1 2 2; ; 1, 2 ;nj n j n j nj n j n jR M M P N N n (6.4)
3 3 3 3 [3] [1] [2]
11 1 12 2 12 1 22 2; ; .j j ja M M b M M
Параметры nmM , nmN 2,1, mn и ppM 6,5,4p имеют вид
22
11 66 3 32
2
2
;
c
cM A A
t
12 12 66 22
2
2
( ) ;c cM A
t
66
22 11 2 12 2
2 2
2
;
c
cM A A
t t
(6.5)
44 12
2
1
;
2
M B
t
55 2
1
;
2
M B
12 22
66 11 3 2 12 4
2 2
1 2
.
2
c c
cM A A A
t t
Постоянные c
ij принимаются в виде (1.47), а 2t – параметр эллипсоидального
волокна определяется соотношением
2 2 1t t t , (6.6)
где 1t , 2t – размеры полуосей эллипса в направлении осей 1x , 2x , соответственно.
Величины jA 3,2,1j имеют различный вид в зависимости от знака параметра Q
qfQ 2 (6.7)
11 22 12 12 66 11 22 66
2 4
2 2
( 2 ) 4
; .
c c c c c c c c
f q
t t
(6.8)
64
Если 0Q , то имеем варианты:
1) 0p
21
6622
2
22211
2
21166
4
2662211
4
2
4
2
1 1
2
zz
Q
ftt
ftt
t
A
cc
cccc
ccc
;
212
2
2211
2
266
4
2662211
4
2
4
2
2 1
2
zz
Qt
t
ftt
t
A
ccc
ccc
; (6.9)
21
6611
4
2
4
22211
2
22266
4
2662211
4
2
4
2
3 1
2
zz
Qt
ftt
ftt
t
A
cc
cccc
ccc
;
1
1
( );
2
z p Q 1
1
( );
2
z p Q
2) 0p
ftt
t
AAA
ccc 4
2662211
4
2
4
2
321
2
. (6.10)
Если 0Q , то имеем варианты:
1) 0p
4 2
4 4
2 222 11
1 4 2
4
2 266 22 11 22 11 22
4
;
2 10
c c
c c c c c c
t t
A
t t
2
4
22
4
11
2
2
4
221166
2
2
2
4
ccccc t
t
A
;
cccccc
cc
tt
tt
A
2211
2
22211
4
2
4
1166
4
22
4
11
2
2
4
2
3
102
4
; (6.11)
2) 0p
ccc t
t
AAA
2211
4
266
4
2
321
2
. (6.12)
Если 0Q , то имеем, соответственно, формулы:
2 2
4 2 266 11 22 112
1 4 4
2 2 22 6611 22 66
1 ;
2
c c c c
c cc c c
t t ft
A
f qt t f
qft
t
ftt
t
A
ccc
ccc 2
2
2211
2
266
4
2662211
4
2
4
2
2 1
2
; (6.13)
65
2 4
4 2 266 22 11 222
3 44 4
22 2 11 6611 22 66
1 .
2
c c c c
c cc c c
t t ft
A
t f qt t f
Тензоры модулей упругости и коэффициентов температурного напряжения по-
врежденных компонентов ]1[
ijkl , ]2[
ijkl , ]1[
ij , ]2[
ij определяются через тензоры модулей
упругости и коэффициентов температурного напряжения скелетов компонентов 1
ijkl ,
2
ijkl , 1
ij , 2
ij и их пористости 1p , 2p , характеризующие поврежденность, на основа-
нии соотношений (5.1) – (5.14).
Зная эффективные термоупругие постоянные и макродеформации композита,
можно определить деформации в компонентах композита посредством соотношений
12 * [3]
2 ;kl klpq klmn klmn mnpq pqI c
2
2
1
1 klklkl cc , (6.14)
где r
kl – тензор средних деформаций поврежденного r -го компонента 2,1r .
Средние напряжения в r -го компонента r
ij связаны с его средними деформа-
циями r
kl следующим образом:
[ ] [ ] ;r r r r
ij ijkl kl ij 2,1r , (6.15)
или со средними деформациями всего композита kl
][]*[ r
ijkl
r
ijkl
r
ij ; (6.16)
13** r
klmn
r
klmnpqklpqklrpqmn
r
ijpq
r
ijmn cI , (6.17)
pqmnI – единичный тензор, а
2
2
1
1 pqklpqklpqkl cc . (6.18)
Средние по скелету r -го компонента напряжения
r
ij связаны со средними на-
пряжениями r
ij поврежденного r -го компонента зависимостями
r
r
ij
r
ij p 1 . (6.19)
Тогда на основе (6.16), (6.17) получим выражения средних по скелету r -го ком-
понента напряжений
r
ij через макродеформации в виде
[ ] * [3 ] [ ] 1 [ ]1
.
1
r r r r r
ij ijpq pqmn r pqkl pqkl klmn klmn mn ij
r
I c
p
(6.20)
В случае ортотропных компонентов, если ограничиться только квадратичной фор-
мой, и исходя из обобщенного критерия Губера – Мизеса, который для скелета r -го
компонента примем в виде
2 2 2 2
22 33 11 33 22 33 13 231 2 3 4 5 6( ) ( ) ( ) ( )
r r r r r r r r r rr
ij ij rI a a a a a a k
(6.21)
66
а если учитывать, что на растяжение и на сжатие прочностные свойства материала
являются различными, то добавятся еще линейные члены
2 2 2 2
22 33 11 33 22 33 13 231 2 3 4 5 6( ) ( ) ( ) ( )
r r r r r r r r r rr
ij ijI a a a a a a
11 22 337 8 9 .
r r r
ra a a k (6.22)
Здесь
'r
ij – девиатор средних по скелету материала r -го компонента напряжений;
ira , 6...,,1i или 9...,,1i – безразмерные детерминированные постоянные,
характеризующие ортотропию прочности неразрушенной части материала; rk – пре-
дельное значение соответствующего выражения, которое является случайной функ-
цией координат.
При 0ira 6...,,1i или 9...,,1i из (6.21), (6.22) следует критерий Губера
– Мизеса.
.
r rr
ij ij rI k (6.23)
Согласно (6.19), (6.20) напряжения в материале скелета
r
ij можно выразить через
макродеформации mn , тогда получим выражение предельной поверхности скелета
r -го компонента композитного материала в пространстве макродеформаций
2
33
*
23
*
1322
*
22
*
1211
*
22
*
11
0 6
1
1
1
r
r
p
I
2
33
*
33
*
2322
*
23
*
2211
*
13
*
12 (6.24)
2
23
*
44
2
33
*
13
*
3322
*
12
*
2311
*
11
*
13
2*
2
*
1
2*
3
*
2
2*
3
*
1
2
12
*
66
2
13
*
55 .
Одноточечную функцию распределения ( )rF k параметра rk можно описывать
распределением Вейбулла
0 ;
0 0
0,
( )
1 exp , ,r
r r
r
r r r r r
k k
F k
m k k k k
(6.25)
где rk0 – минимальная величина предельного значения rk , с которого начинается
разрушение в некоторых микрообъемах r -го компонента; rk1 , rm , r – постоянные,
характеризующие разброс микропрочности в r -ом компоненте.
Пусть до начала деформирования композита начальная микроповрежденность r -го
компонента характеризуется пористостью rp0 . Функция распределения ( )rF k , со-
гласно свойству эргодичности, определяет относительное содержание материала не-
разрушенной части r -го компонента, где предел микропрочности меньше соответст-
вующего значения rk . Поэтому если в неразрушенной части r -го компонента напря-
жения равны
r
ij , то функция )( rIF определяет, согласно (6.23) – (6.25), относитель-
ное содержание разрушенных микрообъемов скелета r -го компонента. Тогда можно
записать уравнение баланса разрушенных микрообъемов или пористости [81, 82]
67
0 0(1 ) .r
r r rp p p F I (6.26)
Подставляя (6.24) в (6.26), получаем систему уравнений для определения порис-
тости компонентов rp как функций макродеформаций kl
klrr pp . (6.27)
Подставляя (5.1) – (5.14), (6.1) – (6.13), (6.24) в (6.26), получаем нелинейные зави-
симости между макронапряжениями ij и макродеформациями kl композита.
6.1. Решение трансцендентного уравнения. Итерационную схему решения
трансцендентного уравнения, которое описывается соотношениями (5.1) – (5.14), (6.1)
– (6.13), (6.24) – (6.26) можно представить следующим образом:
– пористость r -го компонента в n -ом приближении )(n
rp связана с предельным
значением интенсивности средних касательных напряжений в каркасе материала r -го
компонента в n -ом приближении )(n
rk , т.е. с интенсивностью средних касательных
напряжений скелета в n -ом приближении
)(nrI ;
– интенсивность средних касательных напряжений скелета r -го компонента в n -
ом приближении
)(nrI связана с текущей пористостью скелета r -го компонента в
)1( n -ом приближении )1( n
rp эффективными термоупругими постоянными всего
композита в )1( n -ом приближении
)1(* n
ij ,
)1(* n
i и макродеформациями kl со-
гласно соотношениям (6.24);
– эффективные термоупругие постоянные в )1( n -ом приближении
)1(* n
ij ,
)1(* n
i в свою очередь также связаны с текущей пористостью скелета r -го компонен-
та в )1( n -ом приближении )1( n
rp в соответствии с соотношениями (5.1) – (5.14),
(6.1) – (6.13).
Таким образом, на основании выражений (6.24) – (6.26) находим
( ) ( )
0 0(1 ) ( ),n n
r r r rp p p F k (6.28)
где принимаем распределение Вейбулла
( )
0
( )
( ) ( )
0 0
0, ;
( )
1 exp , .r
n
r r
n
r
n n
r r r r r
k k
F k
m k k k k
(6.29)
В свою очередь, согласно соотношениям (6.24)
( ) ( ) ( ) *( 1) *( 1) ( 1), , , ,n r n r n n n n
r ij i r klk I I p (6.30)
в то время как в соответствии с соотношениями (5.1) – (5.14), (6.1) – (6.13)
*( 1) *( 1) ( 1)
1 2( , , , );n n r n
ij ij mn rc p t *( 1) *( 1) ( 1)
2, , , ;n n r r n
i i mn j p t 2 2 1 .t t t (6.31)
Следовательно, уравнения (5.1) – (5.14), (6.1) – (6.13), (6.24) – (6.26) позволяют
определить эффективные термоупругие характеристики ортотропного волокнистого
композита в зависимости от макродеформаций
* *( )lim ;n
ij ij kl
n
* *( )lim .n
i i kl
n
(6.32)
68
Таким образом, задавая макродеформации, которым подвергается композит, и оп-
ределив его эффективные термоупругие характеристики, на основании выражений
(5.1) – (5.14), (6.1) – (6.13), (6.24) – (6.26) можно вычислить макронапряжения.
6.2. Анализ диаграмм макродеформирования. На основании полученных зави-
симостей исследованы диаграммы макродеформирования композитного материала на
основе изотропной матрицы, армированной бесконечными однонаправленными орто-
тропными волокнами, при микроразрушениях в компонентах при заданных отноше-
ниях упругих характеристик и объемных содержаниях компонентов. Рассмотрим слу-
чай, когда накопление повреждений происходит в матрице композитного материала.
Построим нелинейную диаграмму макродеформирования и исследуем поведение
композита с изотропными прочностными свойствами для одноосного растяжения
011 . (6.33)
В качестве включений и матрицы приняты, соответственно, топаз и эпоксидная
смола с термоупругими характеристиками неповрежденной части:
1
11 287 ΓΠa ; 1
22 365 ΓΠa ; 1
33 300 ΓΠa ; 1
23 90 ΓΠa ; 1
13 85 ΓΠa ;
1
12 128 ΓΠa ; 1
44 110 ΓΠa ; 1
55 135 ΓΠa ; 1
66 133 ΓΠa ; (6.34)
1 6
1 5,92 10 1 ;K 1 6
2 4,84 10 1 ;K 1 6
3 4,44 10 1 ;K
2 3 ΓΠa ;E 2 0,35; 6
2 65 10 1 ;K
объёмной концентрации и форме включений; начальном содержании пор в матрице
4,01 c ; 4,0;2,0;002 p ; 22 t , (6.35)
а также при заданных параметрах функции распределения прочности связующего
2( )F k
22 ; 3
2 10m ; 410 ; 02 0,015 ΓΠa .k (6.36)
На рис. 6.1 показаны кривые зависимости поврежденности матрицы 2p от макро-
деформаций 11 и на рис. 6.2 – кривые зависимостей макронапряжений 11 (в ГПа)
от макродеформаций 11 для различных значений начальной пористости матрицы 02p
и параметров функции разброса микропрочности 2m , а также без учёта разброса мик-
ропрочности (предполагается, что 2k является постоянной величиной, равной 02k ).
Сплошной линией обозначены кривые, не учитывающие разброс микропрочности,
пунктирной линией – кривые, учитывающие разброс микропрочности с параметрами
22 , 3
2 10m , точечной линией – кривые, учитывающие разброс микропрочности
с параметрами 22 , 4
2 10 .m
Рис. 6.1
Рис. 6.2
69
Рассмотрим случай, когда накопление повреждений происходит в волокне рас-
сматриваемого композитного материала. Построим нелинейную диаграмму макроде-
формирования и исследуем поведение композита с изотропными прочностными свой-
ствами для одноосного растяжения
033 (6.37)
при объёмной концентрации и форме включений, начальном содержании пор в во-
локне
6,01 c ; 4,0;2,0;001 p ; 2t , (6.38)
а также при заданных параметрах функции распределения прочности угольного во-
локна 1( )F k
61 , 43
1 10;10m , 4,001 k a . (6.39)
На рис. 6.3 показаны кривые зависи-
мости макронапряжений 11 (в ГПа) от
макродеформаций 33 для различных
значений начальной пористости волокон
01p и параметров функции разброса мик-
ропрочности 1m , а также без учёта разброса
микропрочности ( 1k является постоянной
величиной равной 01k ). Сплошной линией
обозначены кривые, не учитывающие раз-
брос микропрочности, пунктирной – учи-
тывающие разброс микропрочности с па-
раметрами 1 6; 3
1 10 ,m штрих-точеч-
ной – учитывающие разброс микропрочности с параметрами 61 , 4
1 10 .m
Из приведенных на рис. 6.2 – 6.3 графиков следует, что характер зависимости кри-
вых макродеформирования существенно зависит от наличия разброса прочности в микро-
объемах компонентов композита и от параметров функции распределения прочности как
при микроразрушениях в матрице 2( )F k , так и в волокнах 1( )F k . Сравнения результатов,
полученных без учета разброса прочности и с учетом, показывают, что при наличии раз-
броса прочности характер кривых становится сложнее, с увеличением значения парамет-
ров 1m , 2m уменьшается макронапряжение, соответствующее фиксированному значению
макродеформации.
§7. Деформативные свойства и повреждаемость однонаправленных дискрет-
но-волокнистых ортотропных композитных материалов.
В настоящем разделе вышеизложенная модель обобщена на случай кратковременной
повреждаемости композитного материала на основе ортотропных матрицы и однона-
правленных дискретных эллипсоидальных волокон и исследуется процесс связанного
деформирования и кратковременной микроповреждаемости данного композитного мате-
риала. Получены зависимости накопления поврежденностей в компонентах (как матри-
це, так и волокне) от макродеформаций и диаграммы макродеформирования композита.
Рассмотрим композитный материал, представляющий собой матрицу, армирован-
ную однонаправленными дискретными эллипсоидальных волокнами. Предполагается,
что матрица и волокна обладают ортотропной симметрией упругих свойств, причем
оси симметрии эллипсоидов совпадают с осями ортотропии упругих свойств компо-
нентов. Также предполагается, что в процессе нагружения в компонентах возникают
микроразрушения, которые будем моделировать случайно расположенными пустыми
микропорами квазисферической формы. Закон связи между макронапряжениями,
макродеформациями и температурой имеет вид (1.19).
Рис. 6.3
70
Пусть компоненты композитного материала имеет начальную пористость 0kp .
Тогда компоненты тензора эффективных упругих модулей *
ijkl и эффективных коэф-
фициентов температурного напряжения *
ij ортотропного композитного материала с
пористыми компонентами можно определить через термоупругие постоянные повре-
жденных компонентов [1]
ij , [2]
ij , [1]
i , [2]
i , объемных концентраций включений 1c ,
2c и их пористости, а также параметры характеризующие дискретное эллипсоидаль-
ное включение 2 ,t 3.t Компоненты тензора эффективных упругих постоянных и ко-
эффициенты температурных напряжений исследуемого материала определяются в
соответствии с равенствами [50, 79]
3 3*
1 2 ;ij ij iq qk kl ljc c P M
3 2
*
1 2 '
4
;
1 4
pp pp
pp pp
pp pp
M
c c
M
4, 5, 6 ;p
3 3*
1 2ij ij iq qk kl ljc c P M , 1, 2 , 3 ,i j (7.1)
где суммирование по индексу p не производится.
Здесь введены следующие обозначения:
1'
qk qk ql lkP M
, (7.2)
а '
ij , [3]
ij определяются соотношениями (6.3).
Компоненты матрицы ijM , которые входит в выражения (7.1) для определения
эффективных упругих модулей, в случае материала с ортотропными эллипсоидаль-
ными включениями определяются через интегралы
2
11 55 66 1 44 22 4 33 8 3 1 5 3 6 8
0
2
;c c c c cM S S S S u S u S u d
2
22 44 66 2 55 11 3 33 9 4 2 6 9 7 3
0
2
;c c c c cM S S S S u S u S u d
2
33 44 55 10 66 11 5 22 7 6 7 8 2 9 1
0
2
;c c c c cM S S S S u S u S u d
2
23 6 5 6 11 4 4 66 7 55 9
0
2
;c c cM S u u u u S S d
(7.3)
2
13 6 4 6 22 5 5 66 5 44 8
0
2
;c c cM S u u u u S S d
2
12 6 4 5 33 6 6 55 3 44 4
0
2
;c c cM S u u u u S S d
2
44 55 11 5 33 10 66 11 3 22 2 7 22 55 23 66
0
2
2c c c c c c c c c cM S S S S S
9 33 66 23 55 6 10 8 9 4 72 2 ;c c c cS S u S u S u d
71
2
55 44 22 7 33 10 66 11 1 22 4 5 11 44 13 66
0
2
2c c c c c c c c c cM S S S S S
8 33 66 13 44 6 11 9 8 3 72 2 ;c c c cS S u S u S u d
2
66 44 22 2 33 9 55 11 1 33 8 3 11 44 12 55
0
2
2c c c c c c c c c cM S S S S S
4 22 55 12 44 6 12 7 8 5 92 2 .c c c cS S u S u S u d
Здесь величины iu , 1, ...,12i , являются постоянными и определяются формулами
1 44 66 22 55
c c c cu ; 2 55 66 11 44
c c c cu ; 3 44 55 33 66
c c c cu ;
4 23 44
c cu ; 5 13 55
c cu ; 6 12 66
c cu ; 2
7 11 22 12 12 662c c c c cu ;
2
8 22 33 23 23 442c c c c cu ; 2
9 11 33 13 13 552c c c c cu ; 10 5 6 55 66 11 23
c c c cu u u ; (7.4)
11 4 6 44 66 22 13
c c c cu u u ; 12 4 5 44 55 33 12
c c c cu u u ;
jS являются функциями угла , по которому выполняется интегрирование, и имеют
вид
6
1 1 cos ;S A
4 3 2 1 6
2 6
2
3 3
sin ;
A A A A
S
t
2 1 4 2
3 2
2
cos sin ;
A A
S
t
3 2 1 2 4
4 4
2
2
cos sin ;
A A A
S
t
42
5 2
3
cos ;
A
S
t
(7.5)
3 2 2 2
6 2 2
2 3
cos sin ;
A A
S
t t
4 3 2 4
7 4 2
2 3
2
sin ;
A A A
S
t t
23
8 4
3
cos ;
A
S
t
4 3 2
9 2 4
2 3
sin ;
A A
S
t t
4
10 6
3
,
A
S
t
где 2 ,t 3t – параметры формы включений, определяемые выражениями 2 2 1 ;t t t
3 3 1t t t , а c
ij принимаются в виде тензора с постоянными коэффициентами в виде
(1.47).
Величины jA 1, ... , 4j , которые также являются функциями угла , и в зави-
симости от знака параметра
3 2R h q (7.6)
принимают различные значения, которые приведены ниже. Параметры h и q опреде-
ляются выражениями
2
1 3 2
2
1
3
;
9
b b b
h
b
3
2 32 1
3 2
1 1 1
;
27 6 2
b bb a
q
b b b
(7.7)
(
4
1
1
1 ;
i
i
i
b a
2 1 2 33 2 ;b a a a 3 1 23 ;b a a
2 2 4 4 2 222 66 744
1 55 11 662 4 2
2 2 2
cos sin cos sin cos sin ;
c cc
c c c u
a
t t t
72
24 422
2 3 11 13 13 552 4
3 2
1
cos sin 2
c
c c c ca u
t t
(7.8)
2
44 55 66 4 5 6 33 72 2 2 266
112 2 2
2 2 2
2 2sin
sin cos cos sin ;
c c c cc
c
u u u u
t t t
33 44 66 55 82 2
3 33 55 66 44 94 2
3 2
1
cos sin ;
c c c c
c c c c
u
a u
t t
33 44 66
4 6
3
c c c
a
t
.
Если 0R , тогда имеем
13
11
1
1
4
i j j
i i
j
i i
I
A
b h d
, 1, 2, 3j ;
33
4
11
1 1
1 1
4
i
i i
i i
I
A
b h d
;
1
arctg , 0;
11
ln , 0;
2 1
i i
i
i
i
i
i i
I
1, 2,3i (7.9)
2 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1 1
2sign ; 2sign ; 2sign ;
3 3 3
b b b
q h v q h v q h v
b b b
1
1
cos arctg
3
R
v
h
; 2
1
cos arctg
3 3
R
v
h
; (7.10)
3
1
cos arctg
3 3
R
v
h
;
1 1 2 1 3 2 1 2 3 2 3 1 3 3 2; ; .d v v v v d v v v v d v v v v
Если 0R , тогда имеем
2
1 1 2 3 2 1 2 3(2 ) ; ;A L I a I I A L I z I I
2 2 2
3 1 2 3( 2 ) ;A L I z I z a I (7.11)
3 2 2 2 2 2
4 1 2 3
1
1
( 2 ) (2 4 ) ;A L I z z a I az a z I
b
1
1
arctg , 0;
1 1
ln , 0;
2 1
I
73
2
1
2sign ;
3
b
q h v
b
1 1
;
2
v r
r
3
1 2
;
h R
r
h
(7.12)
2
1 21 1 1 1
ln arcctg
2 2 2 2( )1 2
z a z z
I
z z a z a z az a z
;
3
1 21 1 1 1
ln arcctg
2 2 2 2( )1 2
z a z z
I
z a z a z az a z
;
2 2
1
1
;
( 2 )
L
b a z
2
1
1
sign ;
3
b
a q h m
b
2 2
23z a h m .
Параметры 1m и 2m в зависимости от знака величины h принимают различные зна-
чения.
Если 0h , то
1
1 1
;
2
m r
r
2
1 1
.
2
m r
r
(7.13)
Если 0h , то
1
1 1
;
2
m r
r
2
1 1
.
2
m r
r
(7.14)
Тензоры модулей упругости и коэффициентов температурного напряжения по-
врежденных компонентов [1]
ijkl , [2]
ijkl , [1]
ij , [2]
ij определяются через тензоры модулей
упругости и коэффициентов температурного напряжения скелетов компонентов 1
ijkl ,
2
ijkl , 1
ij , 2
ij и их пористости 1p , 2p , характеризующие поврежденность, на основа-
нии соотношений (5.1) – (5.14).
Зная эффективные термоупругие постоянные и макродеформации композита,
можно определить деформации в компонентах композита r
kl , 1, 2r , посредст-
вом соотношений (6.14).
Средние напряжения в r -го компонента r
ij связаны с его средними деформа-
циями r
kl следующим образом:
[ ] [ ]r r r r
ij ijkl kl ij , 1, 2r ,
или со средними деформациями всего композита kl
*[ ] [ ]r r r
ij ijkl kl ij , 1, 2 ;r (7.15)
* 3* 1r r r r
ijmn ijpq pqmn r pqkl pqkl klmn klmnI c , 1, 2r ; (7.16)
pqmnI – единичный тензор, а pqkl определяется в (6.18)).
Средние по скелету r -го компонента напряжения
r
ij связаны со средними на-
пряжениями r
ij 1, 2r поврежденного r -го компонента зависимостями
74
1
r r
ij ij rp , 1, 2 .r (7.17)
Тогда на основе (7.15) – (7.17) получим выражения средних по скелету r -го ком-
понента напряжений
r
ij через макродеформации
[ ] * [3 ] [ ] 1 [ ]1
1
r r r r r
ij ijpq pqmn r pqkl pqkl klmn klmn mn ij
r
I c
p
. (7.18)
В случае ортотропных компонентов будем исходить из обобщенного критерия
Губера – Мизеса, который для скелета r -го компонента имеет вид (6.21), (6.22).
При 0ira , 1, ...,6i , или 1, ...,9i из (6.21), (6.22) следует критерий Губе-
ра – Мизеса
r rr
ij ij rI k
, 1, 2 .r (7.19)
Согласно (7.15), (7.18) напряжения в материале скелета
r
ij можно выразить через
макродеформации mn , тогда можно получить выражение предельной поверхности
для пористого композитного материала в пространстве макродеформаций, которое
имеет вид (6.24)
Одноточечную функцию распределения rF k параметра rk можно описывать
распределением Вейбулла
0
0 0
0, ;
1 exp , ;r
r r
r
r r r r r
k k
F k
m k k k k
1, 2r , (7.20)
где 0rk – минимальная величина предельного значения rk , с которого начинается
разрушение в некоторых микрообъемах r -го компонента; 1rk , rm , r – постоянные,
характеризующие разброс микропрочности в r -ом компоненте.
Пусть до начала деформирования композита начальная микроповрежденность r -го
компонента характеризуется пористостью 0rp . Тогда функция распределения ( )rF k ,
согласно свойству эргодичности, определяет относительное содержание материала
неразрушенной части r -го компонента, где предел микропрочности меньше соответ-
ствующего значения rk . Поэтому если в неразрушенной части r -го компонента на-
пряжения равны
r
ij , то функция rI определяет, согласно (7.19), (7.20), относитель-
ное содержание разрушенных микрообъемов скелета r -го компонента. Тогда можно
записать уравнение баланса разрушенных микрообъемов или пористости [81, 82]
0 0(1 ) ( ),r
r r rp p p F I 1, 2r . (7.21)
Подставляя (7.19), (7.20) в (7.21), получаем систему уравнений для определения
пористости компонентов rp 1, 2r как функций макродеформаций kl , т.е.
,r r klp p 1, 2r . (7.22)
На основе этих соотношений можно записать алгоритм последовательных при-
ближений для определения текущей пористости материала r -го компонента, а зависи-
мости (5.1) – (5.14), (7.1) – (7.14) дают возможность определить эффективные дефор-
мативные характеристики композитного материала с пористыми ортотропными ком-
понентами, где включения являются однонаправленными трехосными эллипсоидами.
75
Имея вычисленные значения модулей упругости и коэффициентов термических
напряжений поврежденных компонентов композитного материала в целом можно
решить трансцендентные уравнения относительно 1p , 2p , которые описываются со-
отношениями (5.1) – (5.14), (7.1) – (7.14), (7.19) – (7.21). Итерационная схема является
аналогичной случаю, представленному в §6.
7.1.Анализ диаграмм макродеформирования. На основании полученных зависи-
мостей исследованы диаграммы макродеформирования композитного материала на
основе изотропной матрицы с ортотропными эллипсоидальными волокнами при мик-
роразрушениях в компонентах и при заданных термоупругих характеристиках и объ-
емных содержаниях компонентов.
Рассмотрим случай, когда накопление повреждений происходит в матрице компо-
зитного материала. Построим диаграмму макродеформирования и исследуем поведе-
ние композита с изотропными прочностными свойствами для одноосного растяжения
и равномерного нагрева
11 0; 30 . (7.23)
В качестве включений и матрицы приняты, соответственно, топаз и эпоксидная
смола с термоупругими характеристиками неповрежденной части, представленными в
(6.34), объёмной концентрации и форме включений, начальном содержании пор в
матрице и отношении полуосей эллипсоидов
1 0,4c , 02 0; 0,2; 0,4p , 2 2t , 3 10t , (7.24)
а также при заданных параметрах функции распределения прочности связующего
2( )F k
2 2 , 3
2 2 10m ; 410 ; 02 0,015 ΓΠa.k (7.25)
На рис. 7.1 – 7.2 показаны кривые зависимостей макронапряжений 11 и 33
(в ГПа) от макродеформаций 11 для различных значений начальной пористости
матрицы 02p и параметров функции разброса микропрочности 2m , а также с учетом и
без учёта температурного нагрева. Сплошной линией обозначены кривые, учитываю-
щие разброс микропрочности с параметрами 2 2 , 3
2 2 10m без учёта нагрева,
пунктирной линией – с параметрами 2 2 , 3
2 2 10m с учетом нагрева на o30 ,
штрих-точечной линией – кривые, учитывающие разброс микропрочности с параметра-
ми 2 2 , 4
2 10m без учёта нагрева и точечной линией – кривые, учитывающие раз-
брос микропрочности с параметрами 2 2 , 4
2 10m с учетом нагрева на o30 .
Рис. 7.2
Рис. 7.1
76
Кривые, построенные без учета температурных воздействий, лежат выше соответ-
ствующих кривых, учитывающих нагревание.
Рассмотрим случай, когда накопление повреждений происходит в волокнах рас-
сматриваемого композитного материала. Построим диаграммы макродеформирования
и исследуем поведение композита с изотропными прочностными свойствами для од-
ноосного растяжения
33 0 (7.26)
при объёмной концентрации и форме включений, начальном содержании пор в во-
локне
1 0,6c ; 01 0; 0,2; 0,4p ; 2 2t ; 3 8t , (7.27)
а также при заданных параметрах функции распределения прочности угольного во-
локна 1( )F k
1 6 , 3 4
1 10 ;10m ; 01 0,4k a . (7.28)
На рис. 7.3 показаны кривые зависи-
мостей макродеформаций 33 (в ГПа)
от макронапряжений 33 для различных
значений начальной пористости волокон
01p и параметров функции разброса мик-
ропрочности 1m , а также без учёта раз-
броса микропрочности (предполагается,
что 1k является постоянной величиной
равной 01k ). Сплошной линией обозначе-
ны кривые, не учитывающие разброс
микропрочности, пунктирной линией –
кривые, учитывающие разброс микро-
прочности с параметрами 1 6 , 3
1 10m , штрих-точечной линией – с параметрами
1 6 , 4
1 10m .
Из приведенных на рис. 7.1 – 7.3 графиков следует, что характер зависимости кривых
макродеформирования существенно зависит от наличия разброса прочности в микрообъ-
емах связующего композита и от параметров функции распределения прочности как при
микроразрушениях в матрице 2( )F k , так и в волокнах 1( )F k . Сравнения результатов,
полученных без учета разброса прочности и с учетом показывают, что при наличии раз-
броса прочности с увеличением значения параметров 1m , 2m уменьшается макронапря-
жение, соответствующее фиксированному значению макродеформации.
§8. Повреждаемость дискретно-волокнистых композитных материалов с
произвольно ориентированными включениями.
В данном разделе выше изложенная модель обобщена на случай кратковременной
повреждаемости композитного материала на основе изотропных матрицы и дискрет-
ных эллипсоидальных ортотропных волокон, которые ориентированы в пространстве
определенным образом. Исследуется процесс связанного деформирования и кратко-
временной микроповреждаемости данного композитного материала. Получены зави-
симости накопления повреждений в компонентах (как матрице, так и волокне) от
макродеформации и нелинейные диаграммы макродеформирования композита.
Рассмотрим композитный материал, армированный хаотически расположенными
и определенным образом направленными эллипсоидальными включениями. Предста-
вительный объем такого материала представлен на рис. 8.1.
Рис. 7.3
77
Рис. 8.1 Рис. 8.2
На рис. 8.2 показан представительный объем композитного материала, который
рассматривается как совокупность подсистем, каждая из которых представляет собой
материал с ориентированными включениями, оси симметрии которого направлены
определенным образом относительно исходной системы координат материала в це-
лом. Полагаем, что материал включений является ортотропным, причем геометрические
оси эллипсоидов совпадают с осями ортотропии тензора модулей упругости. Также
предполагается, что в процессе нагружения в компонентах возникают микроразруше-
ния, которые будем моделировать случайно расположенными пустыми микропорами
квазисферической формы. Принимаем, что заданы макродеформации композита
kl , под воздействием которых в компонентах происходит накопление поврежде-
ний. Макронапряжения в композите ij связаны с макродеформациями следующи-
ми соотношениями:
**
ij ijkl kl , (8.1)
где ijkl – тензор эффективных упругих модулей рассматриваемого композитного ма-
териала.
Пусть ориентация координатных осей подсистемы 1x , 2x , 3x относительно ос-
новной системы координат материала '
1x , '
2x , '
3x описывается направляющими коси-
нусами согласно равенству '
i ik kx a x .
Направляющие косинусы могут быть выражены через углы Эйлера по формулам
11 cos cos cos sin sin ;a 21 cos sin cos sin cos ;a
31 sin sin ;a 12 sin cos cos cos sin ;a 13 sin sin ;a
22 sin sin cos cos cos ;a 32 sin cos ;a 23 sin cos ;a
33 cosa (0 , 0 2 , 0 2 ) . (8.2)
Тогда из формулы преобразования компонент тензора четвертого ранга при переходе
из системы координат ix в систему '
ix находим
*' * ,ijkl im jn kp lq mnpqa a a a (8.3)
78
где *
mnpq – тензор эффективных упругих модулей композитного материала с однона-
правленными включениями, который в случае ортотропной симметрии упругих
свойств включений определяется на основании соотношений (6.1) – (6.14) для волок-
нистых материалов или на основании соотношений (7.1) – (7.14) – для дискретно во-
локнистых материалов и является функцией тензоров упругих модулей поврежден-
ных компонентов [1]
ijkl , [2]
ijkl , объемного содержания включений в матрице 1c и пара-
метров, характеризующих форму эллипсоидального включения 2 ,t 3,t т.е.
* * [1] [2]
2 31, , , ,ijkl ijkl ijkl ijkl c t t , 2 2 1t t t , 3 3 1t t t , (8.4)
где 1t , 2t , 3t – размеры полуосей эллипсоида в направлении осей 1x , 2x , 3x , а индек-
сы 1 и 2 сверху обозначают, соответственно, включения и матрицу. Тензоры модулей
упругости поврежденных компонентов [1]
ijkl , [2]
ijkl определяются через тензоры моду-
лей упругости скелетов компонентов 1
ijkl , 2
ijkl и их пористости 1p , 2p , характери-
зующие поврежденность, на основании соотношений (5.1) – (5.14).
Далее вводя функцию распределения, описывающую разброс координатных осей
подсистем относительно углов Эйлера ( , , )f , можно записать среднее значение
коэффициентов упругости в виде интеграла по всем трем углам
2 2
** * *'
2
0 0 0
1
( , , ) ( , , ) sin .
8
ijkl ijkl ijklf d d d
(8.5)
Таким образом, приближенное определение упругих постоянных композита (сис-
темы) можно проводить в два этапа: на первом этапе определяются свойства подсис-
тем, ориентированных определенным образом относительно осей основной системы
координат, а затем с помощью заданной функции распределения определяются эф-
фективные свойства всей системы по вычисленным свойствам каждой подсистемы.
Решение задачи первого этапа осуществляется на основе модели композита сто-
хастической структуры, армированного ориентированными эллипсоидами, второго –
либо на основе схемы Фойхта, как было изложено выше, либо Рейсса (усредняется
тензор упругих податливостей). В этом случае уравнение (8.5) будет иметь вид
2 2
** * *'
2
0 0 0
1
( , , ) ( , , )sin ,
8ijkl ijkl ijklS S f S d d d
(8.6)
где * * 1
ijkl ijklS , и *'
ijklS определяется по аналогии с формулами (8.3).
Зная эффективные модули упругости и макродеформации композита, можно оп-
ределить деформации в компонентах композита посредством соотношений
1** [3]
2 2 1 1 2 2; ,kl klpq klmn klmn mnpq pq kl kl klI c c c
(8.7)
где r
kl r kl – тензор средних деформаций поврежденного r -го компонента
1, 2r ;
[1] [2]
1 2 ;klmnklmn klmnc c
[1][3] [2] ;mnpqmnpq mnpq (8.8)
2 2
1 1 '
2
0 0 0
1
( , , ) ( , , ) sin ;
8
ijkl ijklf d d d
(8.9)
1 ' ( , , )ijkl определяется по аналогии с формулами (8.4); 1c , 2c – объемные содер-
жания матрицы и включений в композите.
79
Средние напряжения в r -го компонента r
ij связаны с его средними деформациями
r
kl следующим образом: rr r
ij ijkl kl , 1, 2r , или со средними деформациями
всего композита kl
** rr
ij ijkl kl (8.10)
** 3** 1 , 1, 2 ;
eдиничный тензор .
r r r r
ijmn ijpq pqmn r pqkl pqkl klmn klmn
pqmn
I c r
I
(8.11)
Средние по скелету r -го компонента напряжения
r
ij 1, 2r , связаны со сред-
ними напряжениями r
ij поврежденного r -го компонента зависимостями
1
r r
ij ij rp ; 1, 2r . (8.12)
Тогда на основе (8.10) – (8.12) получим выражения средних по скелету r -го ком-
понента напряжений
r
ij через макродеформации
3* 11
1
r r r r
ij ijpq pqmn r pqkl pqkl klmn klmn mn
r
I c
p
. (8.13)
В случае ортотропных компонентов будем исходить из обобщенного критерия
Губера – Мизеса, который для скелета r -го компонента имеет вид (6.21), (6.22). При
0ira , 1, ...,6i или 1, ...,9i , из (6.21), (6.22) следует критерий Губера – Ми-
зеса (7.19).
Согласно (8.13) напряжения в материале скелета
r
ij можно выразить через макро-
деформации mn , тогда получим выражение предельной поверхности для пористого
композитного материала в пространстве макродеформаций, которое имеет вид (6.24)
** **
11 22 11
0
1 1
1 6
r rr
r
I
p
** ** ** ** 2
12 22 22 13 23 33
r r r r
2
** ** ** ** ** **
12 13 11 22 23 22 23 33 33
r r r r r r
2
** ** ** ** ** **
13 11 11 23 12 22 33 13 33
r r r r r r
(8.14)
2 2 2
** ** **
44 23 55 13 66 12
r r r , 1, 2r .
Одноточечную функцию распределения ( )rF k параметра rk можно описывать
распределением Вейбулла (7.20). Если до начала деформирования композита началь-
ная микроповрежденность r -го компонента характеризуется пористостью 0rp . Тогда
функция распределения ( )rF k , согласно свойству эргодичности, определяет относи-
тельное содержание материала неразрушенной части r -го компонента, где предел
микропрочности меньше соответствующего значения rk . Поэтому если в неразру-
80
шенной части r -го компонента напряжения равны
r
ij , то функция ( )rF I определя-
ет, согласно (7.20), (8.14), относительное содержание разрушенных микрообъемов
скелета r -го компонента. Тогда можно записать уравнение баланса разрушенных
микрообъемов или пористости [81, 82]
0 01 r
r r rp p p F I ; 1, 2r . (8.15)
Подставляя (7.20), (8.14) в (8.15), получаем систему уравнений для определения
пористости компонентов rp как функций макродеформаций kl , т.е.
r r klp p 1, 2 .r (8.16)
На основе этих соотношений можно записать алгоритм последовательных при-
ближений для определения текущей пористости материала r -го компонента, а зави-
симости (5.1) – (5.14), (7.1) – (7.14), (8.1) – (8.9) дают возможность определить эффек-
тивные деформативные характеристики композитного материала с пористыми орто-
тропными компонентами, где включения являются разориентированными трехосны-
ми эллипсоидами.
Имея вычисленные значения модулей упругости и коэффициентов термических
напряжений поврежденных компонентов композитного материала, в целом можно
решить трансцендентные уравнения относительно 1p , 2p , которые описываются со-
отношениями (5.1) – (5.14), (7.1) – (7.14), (8.1) – (8.9), (7.19), (8.14), (8.15). Итерацион-
ная схема является аналогичной случаю, представленному в §6.
8.1. Равномерная разориентация в пространстве. Рассмотрим случай равно-
мерной разориентации включений в матрице и найдем осредненные модули **
ij в со-
ответствии со схемой Фойхта. Положив в уравнении (8.5) ( , , ) 1f , видно, что
задача сводится к усреднению суммы произведений направляющих косинусов. После
подстановки (8.3) в (8.5) и учитывая (8.2), получим
** ** ** * * *
11 22 33 11 22 33
1
5
* * * * * *
12 13 23 44 55 66
2
2 2 2
5
;
** ** ** * * *
12 13 23 11 22 33
1
15
* * * * * *
12 13 23 44 55 66
4 2
15 15
;
** ** ** ** **
44 55 66 11 12
1
2
. (8.17)
Таким образом, из полученных формул видно, что такой композит в макрообъеме
представляет собой изотропную среду.
Аналогичным образом можно вычислить усредненную матрицу упругих податли-
востей *
ijS , что будет соответствовать усреднению по Рейсу:
** ** ** * * * * * * * * *
11 22 33 11 22 33 12 13 23 44 55 66
1 2
2 2 2
5 5
S S S S S S S S S S S S ;
** ** ** * * * * * * * * *
12 13 23 11 22 33 12 13 23 44 55 66
1 4 2
15 15 15
S S S S S S S S S S S S ; (8.18)
** ** ** ** **
44 55 66 11 12
1
2
S S S S S .
Здесь *
ijkl и *
ijklS связаны соотношением * * 1
ijkl ijklS .
81
8.2. Равномерное и непрерывное распределение включений в интервале *0 ,
0 2 , 0 2 . Рассмотрим случай, когда включения равномерно и непре-
рывно распределены в указанном интервале, где * – максимальный угол отклонения
от оси '
3x . В этом случае функция распределения ( , , )f будет иметь вид
*( , , ) ( ).f ah
(8.19)
Здесь * ( )h
– индикаторная функция угла
*
*
*
1, 0 ;
( )
0, ,
h
(8.20)
а множитель a находится из условия нормировки
2 2
2
0 0 0
1
( , , ) sin 1.
8
f d d d
(8.21)
Подставляя (8.19), (8.20) into (8.21), получим
*
2
1 cos
a
. (8.22)
Учитывая соотношения (8.19), получаем
**
2
( , , ) ( ).
1 cos
f h
(8.23)
Зная функцию распределения ( , , )f , из уравнения (8.5) можно получить ус-
редненные постоянные **
ij . Приведем выражения для средних модулей упругости
** ** * * * * * * * * *
11 22 1 11 22 2 33 3 23 13 44 55 1 12 663 3 2 2 2 2 2 ;a a a a
** * * * * * * * * *
33 2 11 22 4 33 5 23 13 44 55 2 12 663 2 2 2 2 2 ;a a a a
** ** * * * * *
23 13 3 11 22 5 33 6 2 13 232a a a a
* * * *
3 5 12 2 44 55 7 662 2 2a a a a ; (8.24)
** ** * * * * * *
44 55 3 11 22 5 33 5 13 23 2 12a a a a
* * *
6 2 5 44 55 3 2 662 2 2 ;a a a a a ** ** **
66 11 12
1
2
.
Здесь ia , 1, ...,10i определяются соотношениями
* 2 * 3 * 4 *
1
1
64 19cos 19cos 9cos 9cos
960
a ;
* 2 * 3 * 4 *
2
1
8 7cos 7cos 3cos 3cos
120
a ;
* 2 * 3 * 4 *
3
1
16 cos cos 9cos 9cos
240
a ;
82
* 2 * 3 * 4 *
4
1
1 cos cos cos cos
5
a ; (8.25)
* 2 * 3 * 4 *
5
1
2 2cos 2cos 3cos 3cos
30
a ;
* 2 * 3 * 4 *
6
1
8 8cos 8cos 3cos 3cos
120
a ;
* 2 * 3 * 4 *
7
1
32 47cos 47cos 3cos 3cos
480
a .
Таким образом, из полученных соотношений видно, что такой композит является
трансверсально-изотропным. Следует отметить, что при * 2 приходим к слу-
чаю, когда включения равномерно разориентированы. Действительно, тогда имеем
1 2 3 5 6 7
1
;
15
a a a a a a 4
1
5
a , (8.26)
и уравнения (8.24) сводятся к (8.18).
8.3. Равномерная разориентация включений в плоскости '
1x '
2x . Положив в вы-
ражениях (8.25) * 0 , приходим к случаю, когда эллипсоиды равномерно разориен-
тированы в плоскости '
1x '
2x , тогда как ориентация вдоль оси '
3x сохраняется. В этом
случае имеем
1
1
8
a ; 2 3 5 0a a a ; 4 1a ; 6 7
1
4
a a . (8.27)
Тогда выражения (8.24) с учетом (8.27) примут вид
** ** * * * *
11 22 11 22 12 66
3 1 1
8 4 2
, ** *
33 33 ; (8.28)
** ** * *
13 23 13 23
1
2
; ** * * * *
12 11 22 12 66
1 3 1
8 4 2
;
** ** * *
44 55 44 55
1
2
; ** ** **
66 11 12
1
2
.
Отметим также, что эти формулы можно получить непосредственно из выражения
(8.5), учитывая, что функция распределения включений, разориентированных в плос-
кости '
1x '
2x , имеет вид
( )
( , , ) 4 ( ) .
sin( )
f
(8.29)
8.4. Равномерное и непрерывное распределение включений в интервале *0 ,
0 2 и 0 . Рассмотрим случай, когда включения равномерно и непрерывно
распределены в интервале *0 , 0 2 и 0 . Тогда функция распределе-
ния ( , , )f будет иметь вид
*( , , ) ( ) ( ),f bh
(8.30)
где * ( )h
– индикаторная функция угла , задаваемая соотношением (8.20); ( ) –
-функция, а множитель b определяется из условия нормировки (8.21)
83
*4 (1 cos ).b (8.31)
Тогда функция распределения (8.30) с учетом (8.31) примет вид
**
4
( , , ) ( ) ( ).
1 cos
f h
(8.32)
Опуская промежуточные вычисления, приведем полученные выражения средних
модулей упругости для данного случая
** ** * * * * * * * * *
11 22 1 11 2 22 4 33 5 23 44 3 13 55 1 12 663 3 3 6 2 2 2 2 2a a a a a a ;
** * * * *
33 4 22 2 33 5 23 448 8 16 2a a a ;
** ** * *
23 13 5 22 334a * * * *
2 4 23 1 13 3 12 5 444 4 4 4a a a a a ; (8.33)
** * * * *
12 1 11 2 22 4 33 5 232a a a a * * * * *
3 13 1 12 5 44 3 55 1 666 6 4 4 4a a a a a ;
** ** * * *
44 55 5 22 33 234 2a * * *
2 4 5 44 1 55 3 664 2 4 4a a a a a ;
** ** **
66 11 12
1
( );
2
* 2 *
1
1
1 cos cos ;
24
a * 2 *
3
1
2 cos cos
24
a ;
* 2 * 3 * 4 *
2
1
1 cos cos cos cos
40
a ;
* 2 * 3 * 4 *
4
1
8 7cos 7cos 3cos 3cos
120
a ; (8.34)
* 2 * 3 * 4 *
5
1
2 2cos 2cos 3cos 3cos
120
a .
Принимая в выражениях (8.34) * 0 , получим случай, когда эллипсоиды равно-
мерно разориентированы в плоскости '
1x '
2x , а ориентация вдоль оси '
3x сохраняется.
В этом случае имеем
1 2 1 8a a ; 3 4 5 0a a a . (8.35)
Тогда уравнения (8.33) с учетом (8.35) сводятся к (8.28). Также следует отметить,
что аналогичным образом можно определять и усредненный тензор упругих податли-
востей **
ijS , что соответствует усреднению по Рейссу.
8.5. Анализ диаграмм макродеформирования. На основании полученных зави-
симостей численно исследованы диаграммы макродеформирования композитного
материала на основе изотропной матрицы с ортотропными эллипсоидальными волок-
нами, при микроразрушениях в компонентах при заданных упругих характеристиках,
объемных содержаниях компонентов, геометрических параметрах структуры и ориен-
тации включений.
Рассмотрим случай, когда накопление повреждений происходит в матрице компо-
зитного материала. Построим диаграмму макродеформирования и исследуем поведе-
ние композита с изотропными прочностными свойствами для одноосного растяжения
11 0. (8.36)
84
В качестве включений и матрицы приняты, соответственно, топаз и эпоксидная
смола с характеристиками неповрежденной части, представленными в (6.34), и объ-
ёмной концентрации и форме включений, начальном содержании пор в матрице
1 0,4c , 02 0,2p , 2 1t , 3 4t , (8.37)
а также при заданных параметрах функции распределения прочности связующего
2( )F k , представленными в (7.25).
На рис. 8.3 – 8.4 показаны кривые зависимостей макронапряжений 11 (в ГПа)
от макродеформаций 11 для различных значений параметров функции разброса
микропрочности и различных способов ориентации волокон в матрице, определенные
на основе приближения Фойхта (рис. 8.3) и Рейсса (рис. 8.4). Сплошной линией обо-
значены кривые, учитывающие разброс микропрочности с параметрами 2 2 ,
3
2 10m , пунктирной линией – с параметрами 2 2 , 4
2 2 10m . Рассмотрены
случаи равномерной разориентации включений в пространстве (UD), равномерного и
непрерывного распределения включений внутри интервала *0 , 0 2 ,
0 2 , для угла * 30 , 60 , 80 и равномерной разориентации включений в
плоскости '
1x '
2x (PD).
Рассмотрим случай, когда накопление повреждений происходит в волокне рас-
сматриваемого композитного материала. Построим диаграмму макродеформирования
и исследуем поведение композита с изотропными прочностными свойствами для од-
ноосного растяжения
33 0 , (8.38)
при объёмной концентрации и форме включений, начальном содержании пор в во-
локне
1 0,6;c 01 0,2;p 2 2;t 3 8,t (8.39)
а также при заданных параметрах функции распределения прочности угольного во-
локна 1( )F k
1 6; 4 4
1 10 ; 5 10 ;m 01 0,3 a .k (8.40)
На рис. 8.5 – 8.6 показаны кривые зависимостей 33 (в Гпа) от 33 для раз-
личных значений параметров функции разброса микропрочности и различныx спосо-
бов ориентации волокон в матрице, определенные на основе приближения Фойхта
(рис. 8.5) и Рейсса (рис. 8.6). Рассмотрены случаи равномерной разориентации вклю-
чений в пространстве (UD), равномерного и непрерывного распределения включений
Рис. 8.3
Рис. 8.4
85
внутри интервалов *0 ; 0 2 ; 0 2 , для углов * 10 , 30 , 60 , 80
и равномерной разориентации включений в плоскости 1x 2x (PD).
Из графиков видно, что ориентация включений может существенно влиять на
кривые макродеформирования. Максимальное разрушение в волокне происходит,
когда макродеформации направлены вдоль волокна. При разориентации включений в
пространстве (UD) и равномерном, непрерывном распределениях включений внутри
интервалов *0 , 0 2 , 0 2 для угла * 60 и больше волокно
практически не разрушается при данном способе нагружения. Из графиков также сле-
дует, что результаты, полученные на основании схемы Фойхта, превышают значения
тех же результатов, полученных в результате усреднения по Рейссу.
На основе приведенных на рис. 8.3 – 8.6 диаграмм получено, что характер зависимо-
стей кривых макродеформирования существенно зависит от наличия разброса прочности
в микрообъемах связующего композита и от параметров функции распределения прочно-
сти как при микроразрушениях в матрице 2( )F k , так и в волокнах 1( )F k . При наличии
разброса прочности кривые макродеформирования имеют более сглаженный вид в облас-
ти начала микроразрушений, что и наблюдается в реальных материалах, а характер кри-
вых становится сложнее. С увеличением значения параметров 1m , 2m уменьшается мак-
ронапряжение, соответствующее фиксированному значению макродеформации.
Следует отметить, что расхождения между результатами, вычисленными разными
способами не значительны, поэтому можно сделать вывод о правомерности использо-
вания предложенной модели. В каждом конкретном случае, исходя из физических
соображений, можно выбирать ту или иную схему. Так, в случае жесткой матрицы
или длинных жестких волокон (каркас) целесообразно применять приближение
Фойхта, в случае мягкой матрицы – приближение Рейсса. В некоторых случаях мож-
но использовать приближение Хилла [50], являющееся средним арифметическим зна-
чений, найденных усреднением по Фойхту и по Рейссу.
Выводы.
Предложена теория прогнозирования эффективных деформативных свойств порис-
тых анизотропных материалов и композитов стохастической структуры с пористыми
анизотропными компонентами при микроразрушениях в компонентах, что приводит к
нелинейным зависимостям между макронапряжениями и макродеформациями:
построены модели линейного деформирования пористых анизотропных материа-
лов и композитов с пористыми анизотропными компонентами различной структуры и
связанного деформирования и повреждаемости пористых анизотропных материалов и
композитов с пористыми анизотропными компонентами различной структуры;
исследованы закономерности линейного деформирования пористых анизотроп-
ных материалов и композитов с пористыми анизотропными компонентами различной
структуры в зависимости от физико-механических параметров и пористости компонен-
тов и геометрических параметров структуры;
Рис. 8.6
Рис. 8.5
86
построены модели связанных процессов деформирования и кратковременной по-
вреждаемости пористых трансверсально-изотропных и ортотропных материалов и
композитов различной структуры с пористыми трансверсально-изотропными и орто-
тропными компонентами;
сформулированы и решены задачи о связанном деформировании и кратковремен-
ной повреждаемости пористых трансверсально-изотропных ортотропных материалов и
композитов различной структуры с пористыми трансверсально-изотропными и орто-
тропными компонентами при микроразрушениях в их компонентах (как в матрице, так
и во включениях) с учетом характера распределения прочности в микрообъемах ком-
понентов;
исследованы закономерности связанных процессов деформирования и микрораз-
рушений анизотропных материалов и композитов с анизотропными компонентами
различной структуры в зависимости от физико-механических свойств и объемного
содержания компонентов, геометрических параметров структуры и приложенной
нагрузки.
Процесс микроразрушений моделируется образованием системы стохастически
расположенных пустых квазисферических пор в компонентах композита.
Критерий разрушения в микрообъеме принимается в виде предельного значения
интенсивности средних по неразрушенной части компонента касательных напряжений.
Предел прочности является случайной функцией координат, одноточечное рас-
пределение которой описывается экспоненциально-степенным законом.
Для определения изменяющейся вследствие микроразрушений пористости ком-
понента используется уравнение баланса пористости компонента. Это позволяет опи-
сать связанный процесс деформирования и микроразрушений с учетом их взаимодей-
ствия, которое приводит к нелинейному закону связи между макронапряжениями и
макродеформациями.
Микроразрушения в компонентах композита можно описать зависимостью соот-
ветствующих термоупругих характеристик от их пористости, которая, в свою очередь,
зависит от деформаций в компонентах, что дает возможность обобщить результаты,
полученные для линейного деформирования, на случай микроразрушений.
При решении задач об эффективных деформативных характеристиках композитов
использован подход, основанный на методе условных моментов и методе Ньютона –
Рафсона.
Построены алгоритмы, позволяющие определить напряженно-деформированное
состояние и эффективные деформативные характеристики пористых трансверсально-
изотропных и ортотропных материалов и композитов с пористыми трансверсально-
изотропными и ортотропными компонентами при произвольном сложном деформиро-
ванном состоянии, причем в качестве нулевого приближения используется решение
соответствующей задачи об эффективных термоупругих постоянных композитов при
отсутствии микроразрушений.
Численно исследованы деформирование и кратковременная повреждаемость ука-
занных материалов в зависимости от термоупругих постоянных и объемных содержа-
ний компонентов, геометрических параметров структуры, а также от характера распре-
деления прочности в микрообъемах их компонентов.
Выполненный аналитический и численный анализ позволил обнаружить новые
закономерности и характерные механические эффекты, среди которых можно выде-
лить следующие.
1. Характер распределения прочности в микрообъемах компонентов и значения па-
раметров функции распределения прочности материала компонентов существенно
влияют на эффективные деформативные свойства композита и на характер нелинейно-
сти зависимостей между макронапряжениями и макродеформациями.
2. Кривые деформирования однородного материала состоят из двух звеньев: линейно-
го восходящего и нелинейного сначала восходящего, а затем нисходящего, что подтвер-
ждается экспериментальными исследованиями [69, 118]. Наличие армирующих элемен-
тов в композитных материалах может привести к тому, что второй участок будет также
восходящим. Выпуклость восходящего звена экспериментальной кривой можно объяс-
нить реальной неоднородностью напряжений и предела прочности в материале. Учесть
87
неоднородность напряжений в материале в рамках двухточечного приближения [48 – 50]
не представляется возможным.
3. При учете распределения микропрочности в микрообъемах компонентов участок
кривой в районе начала микроразрушений является сглаженным, что и наблюдается в
реальных материалах. С увеличением параметра km функции распределения прочности
( )kF k уменьшается напряжение, соответствующее фиксированному значению макро-
деформации, и характер кривых деформирования приближается к характеру соответ-
ствующих кривых, построенных без учета разброса прочности.
4. Установлено, что температурные воздействия могут существенно влиять на
кривые макродеформирования.
5. Также установлено, что ориентация включений может существенно влиять на
кривые макродеформирования. Максимальное разрушение в волокне происходит,
когда макродеформации направлены вдоль волокна. При выборе определенной ори-
ентации включений в каждом конкретном случае нагружения можно добиться того,
что волокно практически не будет разрушаться. Расхождения между результатами,
вычисленными разными способами (схемы Фойхта и Рейсса) не значительны, поэто-
му можно сделать вывод о правомерности использования предложенной модели. В
каждом конкретном случае, исходя из физических соображений, следует выбирать ту
или иную схему.
Р Е ЗЮМ Е . Запропоновано статистичну модель зв’язаного деформування і пошкоджуваності
композитів з пористими трансверсально-ізотропними і ортотропними компонентами. Механізм
мікропошкоджуваності таких композитів досліджено на основі припущення, що мікроміцність
матеріалу є неоднорідною. Одиничне мікропошкодження моделюється утворенням порожньої
квазисферичної пори на місці мікрооб'єму, що руйнується за критерієм Губера – Мізеса. Границя
мікроміцності приймається випадковою функцією координат, густина одноточкового розподілу якої
описується розподілом Вейбула. На основі метода умовних моментів, рівнянні балансу
пошкоджуваності матеріалу і методі Ньютона – Рафсона побудовано алгоритми обчислення ефек-
тивних деформаційних властивостей таких матеріалів в залежності від макродеформацій. Встановле-
но загальні закономірності впливу пошкоджуваності матеріалу на закон зв’язку макронапружень і
макродеформацій. Проаналізовано вплив фізико-механічних характеристик матеріалів, об’ємного
вмісту і пористості компонентів, геометричних параметрів структури та характеру розподілу
мікроміцності на пошкодженість матеріалу і як наслідок на криві макродеформування.
1. Аптуков В.Н. Континуальная модель анизотропной поврежденности // Деформирование и разру-
шение структурно-неоднородных материалов АН СССР. Урал. отд-ние. – Свердловск, 1992. –
С. 41 –52.
2. Аптуков В.Н., Белоусов В.Л. Модель анизотропной поврежденности тел. Сообщ. 1. Общие соотно-
шения // Пробл. прочности. – 1994. – № 2. – С. 28 – 34.
3. Афанасьев Н.Н. Статистическая теория усталостной прочности металлов. – К.: Изд-во АН УССР,
1953. – 128 с.
4. Болотин В.В. Стохастические модели разрушения в однонаправленных волокнистых композитах //
Механика композитных материалов. – 1981. – № 3 – С. 404 – 420.
5. Вакуленко А.А., Качанов Л.М. Континуальная теория среды с трещинами // Изв. АН СССР. Меха-
ника твердого тела. – 1971. – № 4. – С. 159 – 166.
6. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов. – К.: Наук. думка, 1985. – 302 с.
7. Волков С.Д. Статистическая теория прочности. – М.; Свердловск: Госуд. науч.-техн. изд-во маши-
ностроит. лит-ры, 1960. – 176 с.
8. Голуб В.П. Нелинейная механика поврежденности и ее приложения // Трещиностойкость материа-
лов и элементов конструкций. – 15-ое Всесоюзное научное совещание по тепловым напряжени-
ям в элементах конструкций. – Канев. – 1980. – С. 19 – 20.
9. Голуб В.П. Нелинейные модели накопления повреждений в условиях ползучести // Пробл. маши-
ностроения и автоматизации. – 1992. – № 1. – С. 51 – 58.
10. Голуб В.П. Определяющие уравнения в нелинейной механике поврежденности // Прикл. механи-
ка. – 1993. – 29, № 10. – С. 37 – 49.
88
11. Грушецкий И.В., Микельсон М.Я., Тамуж В.П. Изменение жесткости однонаправленного волок-
нистого композита вследствие дробления волокон // Механика композитных материалов. – 1982.
– № 2. – С. 211 – 216.
12. Гузь А.Н., Хорошун Л.П., Ванин Г.А. и др. Механика материалов. – К.: Наук. думка, 1982. – 368 с.
– (Механика композитных материалов и элементов конструкций: В 3-х т.; Т.1).
13. Давиденков Н.Н. Усталость металлов. – К.: Изд-во АН УССР, 1947. – 241 с.
14. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. – М.: Наука, 1974. – 312 с.
15. Коллинз Дж. Повреждение материалов в конструкциях. Анализ, предсказание, предотвращение:
Пер. с англ. – М.: Мир, 1984. – 624 с.
16. Когаев В.П. Расчеты на прочность при напряжениях, переменных во времени. – М.: Машино-
строение, 1977. – 232 с.
17. Кондауров В.И. О моделировании процессов накопления поврежденности и динамическом раз-
рушении твердых тел размерами // Исследование свойств вещества в экстремальных условиях. –
М., 1990. – С. 145 – 152.
18. Конторова Т.А., Тимошенко О.А. Обобщение статистической теории прочности на случай неод-
нородного напряженного состояния // Журн. техн. физики. – 1949. – 19, № 3. – С. 119 – 121.
19. Конторова Т.А., Френкель Я.И. Статистическая теория хрупкой прочности реальных кристаллов
// Журн. техн. физики. – 1941. – 11, № 3. – С. 173 – 183.
20. Копьев И.М., Овчинский А.С. Разрушение металлов, армированных волокнами. – М.: Наука, 1977.
– 240 с.
21. Крегерс А.Ф. Математическое моделирование термического расширения пространственно арми-
рованных композитов // Механика композитных материалов. – 1988. – № 3. – С. 433 – 441.
22. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. / – М.: Мир, 1982. – 336 с.
23. Куксенко В.С. Диагностика и прогнозирование разрушения крупномасштабных объектов // Физика
твердого тела. – 2005. – 47, № 5. – С. 788 – 792.
24. Лурье С.А. Об одной энтропийной модели накопления повреждений в композите // Механически
неоднородных структур: Тез. докл. 3-ей Всесоюз. конф. (Львов, 17 – 19 сент, 1991). – Ч. 2. –
Львов, 1991. – С. 198.
25. Лурье С.А., Криволуцкая И.И., Введенский А.Р. Об одной микромеханической энтропийной моде-
ли накопления рассеянных повреждений в композиционных материалах // Технология. Сер.
Конструкции из композиционных материалов. – 1995. – № 1. – С. 5 – 12.
26. Механика композитных материалов и элементов конструкций: В 3-х т. / Гузь А.Н., Хорошун Л.П.,
Ванин Г.А. и др. Механика материалов. – К.: Наук. думка, 1982. – Т. 1.– 368 с.
27. Назаренко Л.В. Влияние микроразрушений на деформативные свойства анизотропных материа-
лов // Доп. НАН України. – 1999. – № 10. – С. 63 – 67.
28. Назаренко Л.В. Деформация трансверсально-изотропных дискретно-волокнистых композитов при
микроповреждениях матрицы // Докл. НАН Украины. – 2002. – № 11. – С. 49 – 54.
29. Назаренко Л.В. Деформативные свойства и длительная повреждаемость волокнистых ортотроп-
ных композитов при дробно-степенной функции длительной микропрочночности // Вісн. До-
нецьк. нац. ун-ту. Сер. А. Природничі науки. – 2008. – № 2, Ч. 1. – С. 94 – 102.
30. Назаренко Л.В. Долговременная повреждаемость трансверсально-изотропных композитных мате-
риалов при дробно-степенной функции долговечности // Докл. НАН Украины. – 2008. – № 4. –
С. 62 – 67.
31. Назаренко Л.В. Деформативные свойства трансверсально-изотропных композитов с учетом дол-
говременной повреждаемости при экпоненциально-степенной функции микродолговечности //
Докл. НАН Украины. – 2008. – № 5. – С. 75 – 81.
32. Назаренко Л.В. Деформативные свойства и долговременная повреждаемость композитов с орто-
тропными включениями при дробно-степенной функции длительной микропрочности // Докл.
НАН Украины. – 2008. – № 8. – С. 72 – 77.
33. Назаренко Л.В Деформирование и кратковременная повреждаемость материала армированного
бесконечными ортотропными волокнами // Теорет. и прикл. механика. – 2008. – 44. – С. 29 – 38.
34. Назаренко Л.В. Долговременная повреждаемость дискретно-волокнистых композитов с орто-
тропными включениями при экcпоненциально-степенной функции длительной микропрочности
// Докл. НАН Украины. – 2009. – № 1. – С. 63 – 70.
35. Назаренко Л.В., Хорошун Л.П., Мюллер В.Г., Вилле Р. Применение метода условных моментов для
исследования деформативных свойств ортотропных волокнистых композитов при микроразру-
шениях в волокнах // Механика композит. материалов. – 2009. – № 1. – С. 17 – 30.
89
36. Назаренко Л.В. Деформирование волокнистого материала c ортотропными компонентами при
микроповреждаемости волокна // Докл. НАН Украины. – 2009. – № 5. – С. 66 – 72.
37. Переверзев Е.С. Модели накопления повреждений в задачах долговечности. – К.: Наук. думка,
1995. – 358 с.
38. Работнов Ю.М. Ползучесть элементов конструкций. – М.: Наука, 1966. – 752 с.
39. Ржаницин А.Р. Теория расчета строительных конструкций на надежность. – М.: Стройиздат,
1978. – 239 с.
40. Салганик Р.Д. Механика тел с большим числом трещин // Изв. АН СССР. Механика твердого
тела. – 1973. – № 4. – С. 149 – 158.
41. Седракян Л.Г. К статистической теории прочности. – Ереван: Изд-во АРМ. Ин-та стройматериа-
лов и сооружений, 1958. – 104 с.
42. Серенсен С.В. Усталость материалов и элементов конструкций. Избр. труды: В 3-х т. – К.: Наук.
думка, 1985. Т. 2. – 256 с.
43. Снитко Н.К. О теории прочности металлов с учетом структуры // Журнал техн. физики. – 1948. –
18, № 6. – С. 857– 864.
44. Тамуж В.П. Расчет констант материала с повреждениями // Механика полимеров. – 1977. – № 5. –
С. 838 – 845.
45 Тамуж В.П. Особенности разрушения гетерогенных материалов / Прочность и разрушение компо-
зитных материалов. – Рига: Зинатне, 1983. – С. 28 – 32.
46. Тамуж В.П., Куксенко В.С. Микромеханика разрушения полимерных материалов. – Рига: Зинат-
не, 1978. – 294 с.
47. Фридман Я.Б. Единая теория прочности металлов. – М.: Оборонгиз, 1952. – 555 с.
48. Хорошун Л.П. Методы теории случайных функций в задачах о макроскопических свойствах микроне-
однородных сред // Прикл. механика. – 1978. – 14, № 2. – С. 3 – 17.
49. Хорошун Л.П. Метод условных моментов в задачах механики композитных материалов // Прикл.
механика. – 1987. – 23, № 10. – С. 100 – 108.
50. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Шикула Е.Н., Назаренко Л.В. Статистическая механика и эффектив-
ные свойства материалов. – К.: Наук.думка, 1993. – 389 с. – (Механика композитов: В 12-ти т.;
Т.3).
51. Чечулин Б.Б. К статистической теории хрупкой прочности структуры // Журнал техн. физики. –
1954. – 24, № 2. – С. 41 – 49.
52. Шевадин Е.М, Разов И.А., Решетникова Р.Е., Серпеников Б.Н. О природе масштабного эффекта
при разрушении металлов // Докл. АН СССР. – 1957. – 113, № 5. – С. 1057 – 1060.
53. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред / – М.: Наука, 1977. – 400 с.
54. Baaran J., Kärger, L., Wetzel, A. Stiffness and failure behaviour of folded sandwich cores under com-
bined transverse shear and compression: Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part G
// J. Aerospace Eng. – 2008. – 222 (2). – Р. 179 – 188.
55. Berger M.-H., Jeulin D. Statistical analysis of the failure stresses of ceramic fibers: Dependence of the
Weibull parameters on the gauge length, diameter variation and fluctuation of defect density // J. Mate-
rial Sci. – 2003. – 38. – P. 2913 – 2923.
56. Berryman James G. Effective Medium Theories for Multicomponent Poroelastic Composites // J. Engi-
neering Mech. – 2006. – 132, N 5. – P. 519 – 531.
57. Breysse D. Probabilistic Formulation of Damage-Evolution Law of Cementitious Composites // J. Eng.
Mech. – 1990. – 116, N 7. – P. 1489 – 1510.
58. Budiansky B. On the elastic moduli of some heterogeneous materials // J. Mech. Phys. Solds. – 1965. –
13, N 4. – P. 223 – 227.
59. Camanho P.P., Dávila C.G., Pinho S.T., Iannucci L., Robinson P. Prediction of in situ strengths and
matrix cracking in composites under transverse tension and in-plane shear. // Composites. Part A: Ap-
plied Science and Manufacturing. – 2006. – 37 (2). – Р. 165 – 176.
60. Castaneda P.P. The effective mechanical properties of nonlinear isotropic solids // J. Mech. and Phys. of
Solids. – 1991. – 39 (1). – Р. 45 – 71.
61. Castaneda P.P. Exact second-order estimates for the effective mechanical properties of nonlinear com-
posite materials // J. Mech and Phys. Solids. – 1996. – 44 (6). – Р. 827 – 862.
62. Castaneda P.P., Suquet P. Nonlinear composites // Adv. Appl. Mech. – 1998. – 34. – P. 171 – 302.
63. Chaboche J.L. Phenomenological aspects of continuum damage mechanics // Theor. and Appl. Mech.:
Proc. 17th Int. Congr., Grenoble, 21 – 27 Aug., 1988. – Amsterdam etc. – 1989. – P. 41 – 56.
64. Chandrakanth S., Pandey P.C. An Isotropic Damage Model for Ductile Material // Eng. Fract. Mater. –
1995. – 50, N 4. – P. 457 – 465.
90
65. Choy C.L., Leung W.P., Kowk K.W., Lau F.P. Elastic moduli and thermal conductivity of injection-
molded short fiber reinforced thermoplastics // Polymer Composites. – 1992. – 13. – Р. 69 – 80.
66. Christensen R.M. A critical evaluation for a class of micro-mechanics models // J. Mech. and Phys. of
Solids. – 1990. – 38, N 3. – P. 379 – 404.
67. Curtin W.A. Theory of mechanical properties of ceramic-matrix composites // J. Amer. Ceram. Soc. –
1991. – 74, N 11. – P. 2837 – 2845.
68. Curtin W.A. Tensile Strength of Fiber-Reinforced Composites: III Beyond the Traditional Weibull Mod-
el for Fiber Strength // J. Composite Material. – 2000. – 34, N 15. – P. 1302 – 1332.
69. Cusatis G., Bazant Z, Cedolin L. Confinement-shear lattice model for concrete damage in tension and
compression: I. Theory. // Int. J. Eng. Mech. – 2003. – 123 (12). – Р. 1439 – 1448.
70. Desrumaux F., Meraghni F., Benzeggagh L. Generalised Mori–Tanaka scheme to model anisotropic
damage using numerical eshelby tensor // J. Composite Material. – 2001. – 35, N. 7. – P. 603 – 623.
71. Freudental A. M., Gumbel E. F. Physical and statistical aspects of fatigue // Adv. Appl. Mech. – 1956. –
N 4. – P. 117 – 168.
72. Gudmunson P., Ostlund S. Numerical verification of elastic constants in micro-cracking composite lam-
inates // J. Compos. Mater. – 1992. – 26, N 17. – P. 2480 – 2492.
73. Guz A.N. On One Two-Level Model in the Mesomechanics of Cracked Composites // Int. Appl. Mech. –
2003. – 39, N 3. – P. 274 – 285.
74. Hill R. On a class of constitutive relations for nonlinear infinitesimal elasticity // J. Mech. and Phys.
Solids. – 1987. – 35, N 5. – P. 565 – 576.
75. Kachanov M., Sevostianov I., Shafiro B. Explict cross-property correlations for porous materials with
anisotropic microstructures // J. Mech. and Phys. Solids. – 2001. – 49. – P. 1 – 25.
76. Kattan P.I., Voyiadjis G.Z. Micromechanical modeling of damage in uniaxially loaded unidirectional
fiber-reinforced composite laminate // Int. J. Solids and Struct. – 1993. – 30, N 1. – P. 19 – 36.
77. Khoroshun L.P., Leshchenko P.V. and Nazarenko L.V. Prediction of the thermoelastic properties of lami-
nar and fibrous composites with orthotropic components // Int. Appl. Mech. – 1988. – 24, N 3. – Р. 216 – 223.
78. Khoroshun L.P., Leshchenko P.V. and Nazarenko L.V. Effective thermoelastic constants of discretely-
fibrous composites with anisotropic components // Int. Appl. Mech. – 1988. – 24, N 10. – Р. 955 – 961.
79. Khoroshun L.P., Nazarenko L.V. Thermoelasticity of orthotropic composites with ellipsoidal inclusions
// Int. Appl. Mech., – 1990. – 26, N 9. – Р. 805 – 812.
80. Khoroshun L.P. and Nazarenko L.V. Effective Elastic Properties of Composites with Disoriented Anisot-
ropic Ellipsoidal Inclusions // Int. Appl. Mech. – 1992. – 28, N 12. – Р. 801 – 808.
81. Khoroshun L.P. Principles of the Micromechanics of Material Damage. 1. Short-Term Damage // Int.
App. Mech. – 1998. – 34, N 10. – P. 1035 – 1041.
82. Khoroshun L.P. Micromechanics of Short-Term Thermal Microdamageability // Int. Appl. Mech.– 2001.
– 37, N 9. – P. 1158 – 1165.
83. Khoroshun L.P., Nazarenko L.V. Model of short–term damaging of transversally isotropic materials //
Int. Appl. Mech. – 2001. – 37, N 1. – P. 74 – 83.
84. Khoroshun L.P., Nazarenko L.V. Deformation and microdamaging of discretely-fibrous composites with
transversally-isotropic components // Int. Appl. Mech. – 2003. – 39, N 6. – P. 696 – 703.
85. Khoroshun L.P., Nazarenko L.V., Müller W.H., Wille R. Homogenization of Unidirectional and Arbitrar-
ily Oriented Fiber-Reinforced Materials by the Method of Conditional Moments // PAMM Proc. Appl.
Math. Mech. – 2008. – 8. – Р. 10451 – 10452.
86. Khoroshun L.P., Nazarenko L.V. Elastic Properties and Long-term Damage of Transversally-isotropic
Composites with Stress-rupture Microstrength Described by a Fractional-power Function // Int. Appl.
Mech. – 2009. – 45, N 1. – P. 57 – 65.
87. Khoroshun L.P., Nazarenko L.V. Long-term Damage of Discrete-fiber-reinforced Composites with
Transversally-isotropic Inclusions Stress-rupture Microstrength Described by an Exponential Power
Function // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 2. – P. 125 – 133.
88. Khoroshun L.P., Nazarenko L.V. Coupled processes of deformation and damage of composites with
orthotropic inclusions and unbounded rupture-stress function // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 3. –
P. 272 – 281.
89. Khoroshun L.P., Nazarenko L.V. Deformation and Long-term Damage of Orthotropic Composites with
Limited Stress-rupture Microstrength // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 4. – P. 389 – 400.
90. Kushch V., Sevostianov I. Effective elastic moduli tensor of particulate composite with transversely iso-
tropic phases // Int. J. Solid Struct. – 2004. – 41. – Р. 885 – 906.
91. Liu P.F., Zheng J.Y.: Progressive failure analysis of carbon fiber/epoxy composite laminates using contin-
uum damage mechanics // Mater. Scien. and Eng.: A. – 2008. – 485. – Р. 711 – 717.
91
92. Lubarda V.A., Krajcinovic D., Mastilovic S. Damage model for brittle elastic solids with unequal tensile
and compressive strength // Eng. Fract. Mech. – 1994. – 49, N 5. – P. 681 – 697.
93. Markov K.Z. Elementary micromechanics of heterogeneous media. In: Markov, K.Z., Preziozi,
L. (Eds.), Heterogeneous Media: Micromechanics Modeling Methods and Simulations. Birkhauser,
Boston. – 2000. – Р. 1 – 162.
94. Milton G.W., Kohn R.V. Variational bounds on the effective moduli of anisotropic composites // J. Mech.
and Phys. Solids – 1988. – 36 (5) . – Р. 597 – 629.
95. Milton G.W.: The Theory of Composites. – Cambridge University Press. – 2002. – 721 p.
96. Mura T. Micromechanics of defects in solids // Martinus Nijhoff Publishers, Dortrecht, The Netherlands,
1987. – 587 p.
97. Naimark O.B. Defect-Induced Transitions as Mechanisms of Plasticity and Failure in Multifield Con-
tinua / Advances in Multifield Theories for Continua with Substructure [Edited by Gianfranco Capriz,
Paolo Maria Mariano]. – Basel. – Springer – Verlag – 2004. – P. 75 – 115.
98. Nazarenko L.V. Elastic Properties of Materials with Ellipsoidal Porous // Int. Appl. Mech. – 1996. – 32,
N 1. – Р. 46 – 53.
99. Nazarenko L.V. Thermoelastic Properties of Orthotropic Porous Materials // Int. Appl. Mech. – 1997. –
33, N 2. – Р. 114 – 121.
100. Nazarenko L.V. Three-component discretely-fibrous composites under matrix microdamaging // J.
Comp. and Appl. Mech. – 2005. – 6, N 2. – Р. 285 – 294.
101. Nazarenko L.V. Nonlinear deformation of Three-Component Composites // PAMM Proc. Appl. Math.
Mech. – 2006. – 6 – Р. 405 – 406.
102. Nazarenko L.V. Deformation of Orthotropic Composites with unidirectional ellipsoidal inclusions under
Matrix Microdamages // Mathem. Methods and Physicomech. Fields. – 2008. – 51, N 1. – P. 121 – 130.
103. Nazarenko L.V. Deformation and short-term microdamaging of the material strengthened by infinite
orthotropic fibers // Theor. and Appl. Mech. – 2008. – 44. – P. 29 – 38.
104. Nazarenko L.V. Deformative Properties of granular-fiber composites under matrix microdamaging //
Appl. Problems of Math. Mech. – 2008. – 6. – P. 146 – 153.
105. Nazarenko L.V., Khoroshun L.P., Müller W.H., Wille R. Effective Thermoelastic Properties of Discrete-
Fiber Reinforced Materials with Transversally-Isotropic Components // Continuum Mechanics and
Thermodynamics. – 2009. – 20. – Р. 429 – 458.
106. Nazarenko L.V. Deformation of composites with arbitrarily oriented orthotropic fibers under matrix
microdamages // J. Math. Scien. – 2010. – 167, N 2. – P. 217 – 231.
107. Nazarenko L.V. Damageability of Material Reinforced with Unidirectional Orthotropic Fibers for an
Exponential-Power Function of Long-term Microstrength // J. Mathem. Scien. – 2010. – 168, N 5. –
P. 653 – 664.
108. Nazarenko L.V., Khoroshun L.P., Müller W.H., Wille R. Deformation and damaging of Composites
with transversally-isotropic components under compressive loading // PAMM Proc. Appl. Math. Mech.
– 2010. – 10. – Р. 129 – 130.
109. Nomura S., Ball D.L. Stiffness reduction due to multiple microcracks in transverse isotropic media //
Eng. Fract. Mech. – 1994. – 48, N 5. – P. 649 – 653.
110. O'Connell R.J., Budiansky B. B. Seismic velocities in dry and saturated cracked solids // J. Geophys.
Research. – 1974. – 79, N 35. – P. 5412 – 5426.
111. Pijaudier-Cabot G., Bazant Z. P. Nonlocal damage theory // J. Eng. Mech. – 1987. – 113 (10). –
P. 1512 – 1533.
112. Sevostianov I., Kachanov M. Explicit cross-property correlations for anisotropic two-phase composite
materials // J. Mech. Phys. Solids. – 2002. – 50. – Р. 253 – 282.
113. Sevostianov I., Yilmaz N., Kushch V., Levin V.: Effective elastic properties of matrix composites with
transversely-isotropic phases. // Int. J. Solids and Structures. – 2005. – 42. – Р. 455 – 476.
114. Sevostianov I., Kachanov M. Explicit cross-property correlations for composites with anisotropic inho-
mogeneities // J. Mech. Phys. Solids. – 2007. – 55. – P. 2181 – 2205.
115. Shen Wei. A constitutive relation of elasto-brittle material with damage and its application // Acta. Mech.
Sin. – 1991. – 23, N 3. – P. 374 – 378.
116. Ramesh T. Continuum modelling of damage in ceramic matrix composites // Mech. Mater. – 1991.
– 12, N 2. – P. 165 – 180.
117. Tamuzs V., Tarasovs S., Vilks U. Delamination properties of translaminar-reinforced composites //
Comp. Scien. and Techn. – 2003. – N 8. – P. 1423 – 1431.
118. Tan S.С, Nuismer R.J. A theory for progressive matrix cracking in composite // J. Compos. Mater.
– 1989. – 23, N 10. – P. 1029 – 1047.
92
119. Torquato S. Random Heterogeneous materials: Microstructure and Macroscopic properties. – Berlin:
Springer-Verlag, 2002. – 705 p.
120. Walpole L. J. Elastic behaviour of composite-materials – theoretical foundations // Advances in Appl.
Mech. – 1981. – 21. – Р. 169 – 242.
121. Weibull W.A. A Statistical Theory of the Strength of Materials // Proc. Roy. Swed. Inst. Eng. Res. –
1939. – N 151. – P. 5 – 45.
122. Willis J.R. The overall elastic response of composite Materials // J. Appl. Mech. – 1983. – 50 (4B): – Р.
1202 – 1209.
123. Willis J.R. In mechanics of solids. The Rodney Hill 60th Anniversary Volume. – Oxford: Pergamon
Press, 1982. – Р. 653 – 686.
124. Willis J.R. Micromechanics and Inhomogeneity. The Toshio Mura Anniversary Volume. – New York:
Springer, 1989. – 581 р.
125. Withers P.J.: The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion in a transversally isotropic
medium, and its relevance to composite materials // Philos. Mag. – 1989. – A. – 59. – Р. 759 – 781.
126. Wittel F.K., Kun F., Kröplin B.H., Herrmann, H.J. A study of transverse ply cracking using a discrete
element method // Comp. Mat. Scien. – 2003. – 28 (3 – 4). – Р. 608 – 619.
127. Zhou J., Lu Y. A damage evolution equations of particle-filled composite materials // Eng. Fract. Mech.
– 1991. – 40, N 3. – P. 499 – 506.
128. Zhou J., Li Aili, Yu Fangru The stress-strain law of elastic body with microcracks // Acta Mech. Sin. –
1994. – 26, N 1. – P. 49 – 59.
129. Zhu Y.T., Blumenthal W.R., Zhou B.L.: Characterizing size dependence of ceramic-fiber strength using
modified Weibull distribution // Micromechanics of advanced materials (Edited by Chu S., Liaw P.,
Arsenault R.J., Sadananda K., Chen K., Gerberich W.W., Chau C.C., Kung T.M.) TMS. – Warrendale.
– 1995. – P. 493 – 497.
Поступила 17.09.2012 Утверждена в печать 22.11.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87786 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T11:52:56Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Хорошун, Л.П. Назаренко, Л.В. 2015-10-25T16:46:47Z 2015-10-25T16:46:47Z 2013 Деформирование и повреждаемость композитных материалов с анизотропными компонентами (обзор) / Л.П. Хорошун, Л.В. Назаренко // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 14-92. — Бібліогр.: 129 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87786 Запропоновано статистичну модель зв'язаного деформування і пошкоджуваності композитів з пористими трансверсально-ізотропними і ортотропними компонентами. Механізм мікропошкоджуваності таких композитів досліджено на основі припущення, що мікроміцність матеріалу є неоднорідною. Одиничне мікропошкодження моделюється утворенням порожньої квазисферичної пори на місці мікрооб'єму, що руйнується за критерієм Губера - Мізеса. Границя мікроміцності приймається випадковою функцією координат, густина одноточкового розподілу якої описується розподілом Вейбула. На базі методу умовних моментів, рівняння балансу пошкоджуваності матеріалу і методу Ньютона - Рафсона побудовано алгоритми обчислення ефективних деформаційних властивостей таких матеріалів залежно від макродеформацій. Встановлено загальні закономірності впливу пошкоджуваності матеріалу на закон зв'язку макронапружень і макродеформацій. Проаналізовано вплив фізико-механічних характеристик матеріалів, об'ємного вмісту і пористості компонентів, геометричних параметрів структури та характеру розподілу мікроміцності на пошкодженість матеріалу і як наслідок на криві макродеформування. A statistical model is proposed for the coupled deformation and damage of composites with porous transversally isotropic and orthotropic components. A mechanism of damage of the composites is studied basing on assumption that the micro-strength of material is inhomogeneous. The single micro-damage is modeled by the formation of an empty quasispherical pore at the place of micro-volume, which is damaged according to the Huber-Mises criterion. The microstrength limit is assmed to be a random function of coordinates. The onepoint distribution function is described by the Weibull distribution. Basing on the conditional moments method, balance equations of material damage and the Newton-Raphson method, the algorithm of evaluation of effective deformation characteristics of composite materials is built depending on macro-deformations. The general regularities of effect of the material damage on a link between macro-stresses and macro-strains are established. An effect of physicalmechanical properties of material, the volume fraction and porosity of components, geometrical parameters of structure and the character of distribution of micro-strength on the damage of material and as a consequence on the macro-deformation curves is analyzed. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Деформирование и повреждаемость композитных материалов с анизотропными компонентами (обзор) Deformation and Damageability of Composite Materials with Anisotropic Components (review) Article published earlier |
| spellingShingle | Деформирование и повреждаемость композитных материалов с анизотропными компонентами (обзор) Хорошун, Л.П. Назаренко, Л.В. |
| title | Деформирование и повреждаемость композитных материалов с анизотропными компонентами (обзор) |
| title_alt | Deformation and Damageability of Composite Materials with Anisotropic Components (review) |
| title_full | Деформирование и повреждаемость композитных материалов с анизотропными компонентами (обзор) |
| title_fullStr | Деформирование и повреждаемость композитных материалов с анизотропными компонентами (обзор) |
| title_full_unstemmed | Деформирование и повреждаемость композитных материалов с анизотропными компонентами (обзор) |
| title_short | Деформирование и повреждаемость композитных материалов с анизотропными компонентами (обзор) |
| title_sort | деформирование и повреждаемость композитных материалов с анизотропными компонентами (обзор) |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87786 |
| work_keys_str_mv | AT horošunlp deformirovanieipovreždaemostʹkompozitnyhmaterialovsanizotropnymikomponentamiobzor AT nazarenkolv deformirovanieipovreždaemostʹkompozitnyhmaterialovsanizotropnymikomponentamiobzor AT horošunlp deformationanddamageabilityofcompositematerialswithanisotropiccomponentsreview AT nazarenkolv deformationanddamageabilityofcompositematerialswithanisotropiccomponentsreview |