Об осесимметричном физически нелинейном состоянии ортотропных оболочек
Розроблено методику визначення осесиметричного фізично нелінійного стану тонких ортотропних оболонок. Використовувані рівняння стану конкретизовані для трансверсально-ізотропного матеріалу в різних діапазонах зміни параметра навантаження, що являє собою відношення головних напружень в природній сист...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2013
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87787 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об осесимметричном физически нелинейном состоянии ортотропных оболочек / А.З. Галишин, Ю.Н. Шевченко // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 93-98. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87787 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Галишин, А.З. Шевченко, Ю.Н. 2015-10-25T16:48:11Z 2015-10-25T16:48:11Z 2013 Об осесимметричном физически нелинейном состоянии ортотропных оболочек / А.З. Галишин, Ю.Н. Шевченко // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 93-98. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87787 Розроблено методику визначення осесиметричного фізично нелінійного стану тонких ортотропних оболонок. Використовувані рівняння стану конкретизовані для трансверсально-ізотропного матеріалу в різних діапазонах зміни параметра навантаження, що являє собою відношення головних напружень в природній системі координат. Наведено приклад розрахунку циліндричної судини з торо-сферичним днищем. A technique for determination of the axisymmetric physically nonlinear state of the thin orthotropic shells is elaborated. The used constitutive equations are specified for the transversally isotropic material in different ranges of variation of the loading parameter, which is the ratio of principal stresses in the natural coordinate system. An example of analysis of the cylindrical vessel with the torus-spherical bottom is given. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Об осесимметричном физически нелинейном состоянии ортотропных оболочек On Axisymmetric Physically Nonlinear State of Orthotropic Shells Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об осесимметричном физически нелинейном состоянии ортотропных оболочек |
| spellingShingle |
Об осесимметричном физически нелинейном состоянии ортотропных оболочек Галишин, А.З. Шевченко, Ю.Н. |
| title_short |
Об осесимметричном физически нелинейном состоянии ортотропных оболочек |
| title_full |
Об осесимметричном физически нелинейном состоянии ортотропных оболочек |
| title_fullStr |
Об осесимметричном физически нелинейном состоянии ортотропных оболочек |
| title_full_unstemmed |
Об осесимметричном физически нелинейном состоянии ортотропных оболочек |
| title_sort |
об осесимметричном физически нелинейном состоянии ортотропных оболочек |
| author |
Галишин, А.З. Шевченко, Ю.Н. |
| author_facet |
Галишин, А.З. Шевченко, Ю.Н. |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
On Axisymmetric Physically Nonlinear State of Orthotropic Shells |
| description |
Розроблено методику визначення осесиметричного фізично нелінійного стану тонких ортотропних оболонок. Використовувані рівняння стану конкретизовані для трансверсально-ізотропного матеріалу в різних діапазонах зміни параметра навантаження, що являє собою відношення головних напружень в природній системі координат. Наведено приклад розрахунку циліндричної судини з торо-сферичним днищем.
A technique for determination of the axisymmetric physically nonlinear state of the thin orthotropic shells is elaborated. The used constitutive equations are specified for the transversally isotropic material in different ranges of variation of the loading parameter, which is the ratio of principal stresses in the natural coordinate system. An example of analysis of the cylindrical vessel with the torus-spherical bottom is given.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87787 |
| citation_txt |
Об осесимметричном физически нелинейном состоянии ортотропных оболочек / А.З. Галишин, Ю.Н. Шевченко // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 93-98. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT gališinaz obosesimmetričnomfizičeskinelineinomsostoâniiortotropnyhoboloček AT ševčenkoûn obosesimmetričnomfizičeskinelineinomsostoâniiortotropnyhoboloček AT gališinaz onaxisymmetricphysicallynonlinearstateoforthotropicshells AT ševčenkoûn onaxisymmetricphysicallynonlinearstateoforthotropicshells |
| first_indexed |
2025-11-25T22:20:10Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:20:10Z |
| _version_ |
1850559739525595136 |
| fulltext |
2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 4
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 4 93
А . З . Г а л иш и н , Ю . Н .Шев ч е н к о
ОБ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОМ СОСТОЯНИИ
ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3,
03057, Киев, Украина; e-mail: plast@inmech.kiev.ua
Abstract. A technique for determination of the axisymmetric physically nonlinear state
of the thin orthotropic shells is elaborated. The used constitutive equations are specified for
the transversally isotropic material in different ranges of variation of the loading parameter,
which is the ratio of principal stresses in the natural coordinate system. An example of
analysis of the cylindrical vessel with the torus-spherical bottom is given.
Key words: thin orthotropic shell, physical nonlinearity, axisymmetric state.
Введение.
В современной технике широко используются оболочечные элементы конструк-
ций, изготовленные из анизотропных материалов. Определению физически нелиней-
ного состояния анизотропных (ортотропных или трансверсально-изотропных) оболо-
чек посвящены работы [1 – 5, 8, 11, 15 и др.]. В [1, 2, 15] в качестве определяющих
уравнений использованы соотношения Р.Хилла [14], т.е. уравнения теории течения с
изотропным (пропорциональным) упрочнением. Согласно этим соотношениям диа-
граммы деформирования, полученные в направлениях главных осей анизотропии,
должны быть подобными, что не всегда подтверждается экспериментом. Исследова-
ния [3, 11] основаны на уравнениях состояния [12], полученных с использованием
принципа независимости действия сил. Коэффициенты в этих уравнениях определя-
ются из экспериментов на одноосное растяжение плоских образцов, вырезанных в
направлениях главных осей анизотропии, с замерами продольных и поперечных де-
формаций. Однако, как показано в [10], уравнения состояния, основанные на принци-
пе независимости действия сил, в общем случае не описывают процессы физически
нелинейного деформирования ортотропного материала. В [4, 5, 8] для определения
физически нелинейного состояния ортотропных оболочек использованы определяю-
щие уравнения, изложенные в работе [7]. Эти уравнения зависят от работы напряже-
ний на пластических деформациях, которая является функцией второго обобщенного
инварианта тензора напряжений, содержащего тензор анизотропии. Уравнения со-
стояния конкретизированы для случая плоского напряженного состояния, имеющего
место в ортотропном листовом стеклопластике. Коэффициенты анизотропии опреде-
лены из условия подобия зависимостей работы напряжений на пластических дефор-
мациях, полученных в опытах на одноосное растяжение образцов, вырезанных в на-
правлениях главных осей анизотропии и под углом 45 . Сопоставление расчетных и
экспериментальных данных в работе [7] отсутствует.
В настоящей работе использованы определяющие уравнения [9], которые основа-
ны на уравнениях работы [7], но с другой конкретизацией функции, определяющей
нелинейные свойства материала.
94
§1. Постановка задачи и основные уравнения.
Рассмотрим тонкую ортотропную оболочку вращения, меридиан координатной
поверхности которой состоит из последовательно сопряженных звеньев с разной гео-
метрией и с переменной вдоль меридиана толщиной. Положение произвольной точки
оболочки определим в системе криволинейных ортогональных координат ix (i=1,2,3),
где 1x 10 1 1( )nx x x – длина дуги координатного меридиана; 2x – окружная коорди-
ната; 3x 3( / 2 / 2)h x h – расстояние точки от координатной поверхности; h –
толщина оболочки. Примем, что главные направления ортотропии совпадают с осями
ix выбранной системы координат.
Пусть первоначально оболочка находится в недеформированном состоянии, а за-
тем подвергается действию осесимметричных нагрузок, не вызывающих кручение.
Задачу рассмотрим в геометрически линейной постановке в рамках гипотез Кирхгофа
– Лява, пренебрегая величинами 3 ix k (i=1,2) по сравнению с единицей, где ik – глав-
ные кривизны координатной поверхности оболочки. Геометрические и статические
соотношения приведены в [13].
Предположим, что в отдельных элементах оболочки реализуются активные про-
цессы деформирования по прямолинейным траекториям, а деформации ползучести
пренебрежимо малы по сравнению с мгновенными. В качестве определяющих урав-
нений для описания физически нелинейного деформирования ортотропного материа-
ла воспользуемся уравнениями [7], согласно которым полные деформации представ-
ляются в виде суммы упругих и пластических составляющих. Упругие деформации
определяются равенствами [6]
12
11 11 22
1 2
1e
E E
; 21
22 11 22
1 2
1e
E E
, (1.1)
где iE – модули упругости; ij – коэффициенты Пуассона, характеризующие попе-
речную деформацию в направлении ix при растяжении в направлении jx , причем
12 21 2 1/E E .
Для пластических составляющих деформаций имеем формулы
11 11 11 12 22
p q q ; 22 12 11 22 22
p q q , (1.2)
где ( )f – функция, описывающая упрочнение материала за пределами упруго-
сти. Эта функция зависит от квадратичной формы напряжений f [7], которая в дан-
ном случае имеет вид
2 2
11 11 22 22 12 11 220,5 0,5f q q q , (1.3)
где 11q , 22q , 12q – коэффициенты тензора констант анизотропии, определяемые экс-
периментально. Квадратичная форма (1.3) является однозначной функцией работы
напряжений на пластических деформациях
0
p
ij
p
p ij ijW d
, т.е.
pf f W или p pW W f . (1.4)
Функция ( )pW f аппроксимируется выражением
1
n
p
s
f
W a
f
, (1.5)
95
где sf – значение квадратичной формы (1.3), при котором начинается пластическое
деформирование материала; a , n – коэффициенты, определяемые из условия наи-
лучшей аппроксимации экспериментальной зависимости ( )pW f выражением (1.5).
При выбранной аппроксимации функция упрочнения представляется в виде
1
( )
2 1
n
s
s s
fan f
f
n f f f
. (1.6)
В упругой области ( sf f ) эта функция полагается равной нулю.
В работе [7] для определения коэффициентов 11q , 22q , 12q , a , n , sf для орто-
тропного листового материала использованы эксперименты на одноосное растяжение
образцов, вырезанных в направлениях главных осей анизотропии и под углом 045 .
В отличие от [7] воспользуемся результатами работы [9], где эти коэффициенты
определены применительно к трансверсально-изотропному материалу Д16Т. В этой
работе использованы экспериментальные данные [12], где приведены результаты ис-
пытаний трубчатых образцов, подверженных растяжению и внутреннему давлению, с
разным отношением 11 22/k (осевого и окружного напряжений). Образцы изго-
товлены из цилиндрических прутков, ось симметрии 1x которых совпадала с осью
прутка. Опыты проведены при k = 0; 0,5; 1; 2; . Коэффициенты анизотропии опре-
делены в трех диапазонах изменения параметра k . В I диапазон включены опыты
при k = 0; 0,5; 1; во II – при k = 0,5; 1; 2, в III – при k =1; 2; . В соответствии с [9]
при решении краевой задачи эти коэффициенты при 0 0,5k определяем на основе
экспериментальных данных I диапазона, а при 2 k – III . При 0,5 1k ис-
пользуем линейную интерполяцию по k коэффициентов в I и II диапазонах, а при
1 2k – во II и III диапазонах.
§2. Разрешающая система уравнений. Алгоритм решения задачи.
Для вывода разрешающей системы уравнений используем геометрические и ста-
тические уравнения теории тонких оболочек [13], а также физические уравнения (1.1),
(1.2), которые являются существенно нелинейными (они неразрешимы в аналитиче-
ском виде относительно напряжений). Разрешим их относительно напряжений чис-
ленно, используя метод Ньютона, изложенный в [4, 5, 8]. В качестве начального при-
ближения выберем напряжения, найденные из решения упругой задачи. После чис-
ленного обращения получим зависимости вида
11 11 11 22, 1 , 2 , (2.1)
в которых полные напряжения 11 представляем в виде суммы линейных 11
l и нели-
нейных 11
n составляющих, т.е.
11 11 11
l n 1 , 2 , (2.2)
а линейные составляющие напряжений определяем законом Гука
1
11 11 12 22
12 211
l E
1 , 2 . (2.3)
В качестве разрешающих функций выберем следующие величины: rN , zN – ра-
диальная и осевая составляющая усилия, действующего в сечении оболочки
1 constx ; 1M – меридиональный изгибающий момент; ru , zu – радиальная и осевая
составляющая перемещения точки координатной поверхности; 1 – угол поворота
96
нормали к этой поверхности в меридиональном направлении. Статические, геометри-
ческие и физические уравнения (2.1) – (2.3) сведем к системе обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений вида [13]
1 1
1
d Y
P x Y f x
dx
, 1 1, , , , ,
T
r z r zY N N M u u
(2.4)
при заданных на торцах оболочки граничных условиях
1 jj jB Y x b
0,j n . (2.5)
Здесь P – матрица системы; f
– вектор свободных членов; jB и jb
– заданные мат-
рицы и векторы граничных условий. Матрица P зависит от упругих характеристик
материала и от геометрических параметров оболочки, а вектор f
зависит также от
нелинейных компонент напряжений 11
n , 22
n .
Физически нелинейную задачу решаем методом последовательных приближений,
в каждом из которых краевую задачу (2.4), (2.5) сводим к ряду задач Коши, для интег-
рирования которых используем метод Рунге – Кутта с дискретной ортогонализацией
по Годунову. Алгоритм решения задачи состоит в следующем. В первом приближе-
нии решаем линейную краевую задачу ( 11
n = 22
n =0) и определяем линейные компо-
ненты напряжений 11
l , 22
l . Затем физические уравнения обращаем методом Ньюто-
на и находим полные компоненты напряжений 11 и 22 . В процессе этого обраще-
ния значения коэффициентов 11q , 22q , 12q , a , n , sf и функции получаем в зави-
симости от параметра нагружения 11 22/k . Затем в соответствии с (2.2) опреде-
ляем нелинейные составляющие напряжений 11
n , 22
n и решаем краевую задачу во
втором приближении. В результате вновь определяем линейные компоненты напря-
жений, обращаем физические уравнения и т. д. Процесс последовательных приближе-
ний заканчиваем тогда, когда интенсивность деформаций сдвига
2 2
11 11 22 22 / 3 , вычисленная в двух соседних приближениях, будет отли-
чаться на малую заданную величину , определяющую точность решения физически
нелинейной задачи.
§3. Пример расчета.
Определим физически нелинейное напряженно-деформированное состояние обо-
лочки, моделирующей элемент сосуда давления. Меридиан координатной поверхно-
сти оболочки изображен на рис. 1 ( z – ось вращения).
Рис. 1
Оболочка состоит из сферического AB , тороидального BC и цилиндрического CD
звеньев, которые плавно соединены между собой. Принятые геометрические размеры
имеют значения: 1R = 0,32м; 2R = 0,08м; 3R = 0,12м; 1 / 50 ; 2 / 3 ; длина
97
меридиана цилиндрического звена L = 0,15м; толщина оболочки h = 0,005м. Оболоч-
ка подвержена действию внутреннего давления 3q = 8,5МПа. На ее торцах заданы
следующие граничные условия: при 1 10x x – 3 1 10,5 sinzN q R , 0ru , 1 0 ; при
1 1nx x – условия симметрии 0rN , 0zu , 1 0 . Оболочка изготовлена из транс-
версально-изотропного материала Д16Т (предполагаем, что ось симметрии этого ма-
териала совпадает с осью 1x выбранной системы координат). Значения коэффициен-
тов анизотропии вычислены при 11 1q и приведены в таблице [9].
Упругие характеристики данного материала: 1E 88256 МПа; 2E 83174 МПа;
21 0,3344. В расчетах количество точек интегрирования вдоль меридиана каждого
звена принято 1K = 201, а количество точек интегрирования по толщине оболочки –
3K = 9. Точность решения нелинейной системы уравнений методом Ньютона и точ-
ность решения физически нелинейной задачи были заданы и равны 0,001.
Некоторые результаты расчетов приведены на рис. 2 – 5. На рис. 2, 3 изображены
графики изменения вдоль меридиана оболочки на внутренней ее поверхности напря-
жений 11 , 22 (напряжения – в МПа; координата 1x – в метрах). Вертикальные ли-
нии сетки соответствуют границам раздела звеньев. Результаты, полученные на осно-
ве изложенной выше методики, обозначены цифрами 2. Для сравнения на этих же
рисунках приведены результаты решения данной задачи при использовании коэффи-
циентов анизотропии, найденных в I диапазоне (кривые 1) и в III диапазоне (кри-
вые 3). Из рисунков видно, что в начале оболочки (в области, примыкающей к торцу
1 10x x ) основными являются напряжения 11 . Поэтому до средины второго звена
кривые 2 практически совпадают с кривыми 3. В конце же оболочки (в области, при-
Рис. 2
Рис. 4
Рис. 3
Рис. 5
98
мыкающей к торцу 1 1nx x ) преобладают напряжения 22 ; здесь имеет место совпа-
дение кривых 2 и 1. На рис. 4, 5 представлены аналогичные результаты для деформа-
ций 11 , 22 . Приведенные графики показывают, что в области максимальных значе-
ний напряжения 11 отличаются на 30%, а деформации 22 отличаются в 3 раза.
Заключение.
В настоящей статье разработана методика определения осесимметричного физи-
чески нелинейного состояния тонких ортотропных оболочек. Уравнения состояния
конкретизированы для трансверсально-изотропного материала в различных диапазо-
нах изменения параметра нагружения, представляющего собой отношение главных
напряжений в естественной системе координат. На примере цилиндрического сосуда
с торосферическим днищем показано существенное различие результатов расчетов с
коэффициентами, найденными в разных диапазонах.
Р Е ЗЮМ Е . Розроблено методику визначення осесиметричного фізично нелінійного стану то-
нких ортотропних оболонок. Використовувані рівняння стану конкретизовані для трансверсально-
ізотропного матеріалу в різних діапазонах зміни параметра навантаження, що являє собою відношен-
ня головних напружень в природній системі координат. Наведено приклад розрахунку циліндричної
судини з торо-сферичним днищем.
1. Бабешко М.Е., Шевченко Ю.Н. Термоупругопластическое напряженно-деформированное состоя-
ние слоистых трансверсально-изотропных оболочек при осесимметричном нагружении // Прикл.
механика. – 2004. – 40, № 8. – С. 100 – 110.
2. Бабешко М.Е., Шевченко Ю.Н. Термоупругопластическое осесимметричное напряженно-
деформированное состояние слоистых ортотропных оболочек // Прикл. механика. – 2004. – 40,
№ 12. – С. 85 – 91.
3. Галишин А.З. Определение осесимметричного термоупругопластического состояния разветвленных
слоистых трансверсально-изотропных оболочек // Прикл. механика. – 2000. – 36, № 4. – С. 125 – 131.
4. Гузь А.Н., Максимюк В.А., Чернышенко И.С. Численное исследование напряженно-
деформированного состояния оболочек с учетом нелинейных и сдвиговых свойств композитных
материалов // Прикл. механика. – 2002. – 38, № 10. – С. 73 – 81.
5. Концентрация напряжений / Гузь А.Н., Комодамианский А.С., Шевченко В.П. и др. – К.: «А.С.К»,
1998. – 387с. – (Механика композитов: В 12-ти т.; Т.7).
6. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.: Наука, 1977. – 415 с.
7. Ломакин В.А., Юмашева М.А. О зависимостях между напряжениями и деформациями при нелинейном
деформировании ортотропных стеклопластиков // Механика полимеров. – 1965. – № 4. – С. 28 – 34.
8. Максимюк В.А., Сторожук Е.А., Чернышенко И.С. Решение нелинейных задач теории оболочек
сеточными методами // Прикл. механика. – 2009. – 45, № 1. – С. 41 – 70.
9. Шевченко Ю.Н., Галишин А.З. Конкретизация определяющих уравнений упругопластического дефор-
мирования трансверсально-изотропного материала // Прикл. механика. – 2011. – 47, № 6. – С. 68 – 75.
10. Шевченко Ю.Н., Галишин А.З. Об определяющих уравнениях физически нелинейного ортотроп-
ного материала // Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій (Дніпропетровськ).
– 2011. – Вип. 17. – С. 296 – 305.
11. Шевченко Ю.Н., Галишин А.З. Определение осесимметричного геометрически нелинейного тер-
моупругопластического состояния слоистых ортотропных оболочек // Прикл. механика. – 2003.
– 39, № 1. – С. 70 – 77.
12. Шевченко Ю.Н, Гойхман М.И. Исследование закономерностей упруго-пластического деформиро-
вания трансверсально-изотропных тел // Прикл. механика. – 1990. – 26, № 9. – С. 50 – 54.
13. Шевченко Ю.Н., Прохоренко И.В. Теория упругопластических оболочек при неизотермических
процессах нагружения. – К.: Наук. думка, 1981. – 296 с. – (Методы расчета оболочек: В 5-ти т.; Т.3).
14. Hill R. The Mathematical Theory of Plasticity. – Oxford: Clarendon Press, 1950. – 350 p.
15. Shevchenko Yu.N., Babeshko M.E. Numerical Analysis of the Thermoelastoplastic Stress-Strain State of
Laminated Orthotropic Shells under Axisymmetric Loading // J. Therm. Stres. – 2006. – 29,
N 12. – P. 1143 – 1162.
Поступила 29.06.2011 Утверждена в печать 22.11.2012
|