О системе инерциальной навигации без датчиков угловой скорости
Викладено алгоритми роботи автономних систем инерціальної навігації, що не містять датчиків кутової швидкості. Розглянуто системи, які мають 6, 9 і 12 акселерометрів. У зв'язку з тим, що 6 акселерометрів достатньо для вимірювання кутового прискорення об'єкту, то у випадках, коли система мі...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2013
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87791 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О системе инерциальной навигации без датчиков угловой скорости / В.Б. Ларин, А.А. Туник // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 130-144. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859917822320181248 |
|---|---|
| author | Ларин, В.Б. Туник, А.А. |
| author_facet | Ларин, В.Б. Туник, А.А. |
| citation_txt | О системе инерциальной навигации без датчиков угловой скорости / В.Б. Ларин, А.А. Туник // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 130-144. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Викладено алгоритми роботи автономних систем инерціальної навігації, що не містять датчиків кутової швидкості. Розглянуто системи, які мають 6, 9 і 12 акселерометрів. У зв'язку з тим, що 6 акселерометрів достатньо для вимірювання кутового прискорення об'єкту, то у випадках, коли система містить 9 або 12 акселерометрів є можливість підвищити точність визначення вектора кутової швидкості об'єкту. З цією метою використано додаткову інформацію, обумовлену наявністю додаткових акселерометрів. Наведено відповідні алгоритми корекції. На прикладах показано, що такі системи можуть бути ефективними у випадках руху об'єкту з великою кутовою швидкістю, коли, як відомо, використання датчиків кутової швидкості стає проблемним.
The algorithms of functioning the autonomic system of inertial navigation are stated, which do not include the sensors of angular velocity. The systems are considered, which have 6, 9 or 12 accelerometers. Owing to the fact that 6 accelerometers is enough to measure the angle acceleration of object, the opportunity occurs in the case of 9 or 12 accelerometers to increase the exactness in determination of the object angle velocity vector. For this purpose, the additional information is used, which is caused by presence of additional accelerometers. The corresponding algorithms of correction are shown. It is shown on examples that such systems can be effective in the cases of motion of object with the big angle velocity, when, as it is well-known, the use of sensors of angle velocity becomes problematic.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:06:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 4
130 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 4
В . Б . Л а р и н 1 , А .А .Т у н и к 2
О СИСТЕМЕ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ
БЕЗ ДАТЧИКОВ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ
1Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: model@inmech.kiev.ua
2НАУ, пр-т Комарова, 1, Киев, Украина; e-mail: aatunik@hotmail.com
Abstract. The algorithms of functioning the autonomic system of inertial navigation are
stated, which do not include the sensors of angular velocity. The systems are considered,
which have 6, 9 or 12 accelerometers. Owing to the fact that 6 accelerometers is enough to
measure the angle acceleration of object, the opportunity occurs in the case of 9 or 12 accel-
erometers to increase the exactness in determination of the object angle velocity vector. For
this purpose, the additional information is used, which is caused by presence of additional
accelerometers. The corresponding algorithms of correction are shown. It is shown on ex-
amples that such systems can be effective in the cases of motion of object with the big angle
velocity, when, as it is well-known, the use of sensors of angle velocity becomes problematic.
Key words: autonomic system of inertial navigation, sensors of angular velocity, atti-
tude determination, quaternion.
Введение.
Традиционные системы инерциальной навигации (INS) [1, 3] используют датчики
угловой скорости (ДУС) и акселерометры. В настоящее время продолжаются интен-
сивные исследования, направленные на создание малогабаритной и сравнительно де-
шевой элементной базы [17]. Представляет интерес оценка возможности создания INS
на базе только акселерометров и поэтому, как отмечено в [7], в ряде стран ведутся
разработки таких INS. Естественно, что такого рода INS, при значительном времени
автономной работы, могут не обеспечить достаточную точность определения коорди-
нат объекта. Поэтому указанные INS целесообразно интегрировать со спутниковой
навигационной системой GPS [10], т.е. рассматривать ее как элемент навигационного
комплекса GPS/INS [18]. Этот комплекс может быть использован в сравнительно де-
шевых беспилотных летательных аппаратах [6].
В данной статье, как и в [14], рассмотрена задача создания INS без ДУС’ов. Она
включает в себя как задачу определения угловой скорости объекта по результатам
измерений с помощью GPS линейных скоростей трех точек объекта, так и задачу оп-
ределения, с помощью акселерометров, углового ускорения, интегрируя которое
можно вычислить текущее значение угловой скорости. В этой связи ниже, как и в
[14], рассмотрены две задачи определения кинематических параметров движения
твердого тела. В первой, по результатам измерения скоростей трех точек тела опреде-
лены вектор угловой скорости и скорости точки, принятой в качестве начала подвиж-
ной системы координат связанной с телом. Во второй задаче, по результатам наблю-
дения ускорения трех точек тела и известной угловой скорости тела, вычислены угло-
вые ускорения и ускорения начала подвижной системы координат. Далее рассмотре-
ны бортовые измерительные системы, содержащие 6, 9, 12 акселерометров. Различ-
ные системы, содержащие 6 акселерометров (например, [14, 19]) позволяют опреде-
лять угловые ускорения, но не дают возможность корректировать результаты его ин-
131
тегрирования без «внешних» источников информации. Показано, что в случае 9 аксе-
лерометров можно использовать избыточную информацию, обусловленную дополни-
тельными 3 акселерометрами, для коррекции результатов интегрирования углового
ускорения. Однако, такая измерительная система не всегда позволяет проводить кор-
рекцию результатов интегрирования. Существенно более эффективной является из-
мерительная система, содержащая 12 акселерометров. На примере показана эффек-
тивность такой схемы INS в случае движения объекта с большой угловой скоростью,
когда, как отмечено в [7], использование ДУС’ов может быть проблематичным.
Так как в [14] подробно рассмотрены вопросы создания на базе таких INS навига-
ционного комплекса GPS/INS, в данной статье эти вопросы не рассматриваются.
В связи с тем, что рассматриваемая INS не относится к высокоточным, при рас-
смотрении алгоритмов их функционирования для простоты изложения вращение Зем-
ли и ускорение Кориолиса не принимались во внимание, хотя учёт этих факторов и не
связан с принципиальными трудностями.
§1. Основные соотношения.
Приведем известные соотношения,
связанные с задачей определения ориен-
тации твердого тела [4, 5, 13, 20]. Опишем
различные способы определения ориен-
тации.
Углы Эйлера , , (прецессии,
нутации и чистого вращения) определя-
ют ориентацию тела, т.е. переход тела из
начального положения, определяемого
осями Oxyz , в конечное, определяемое
осями Ox y z (рис. 1). Этот переход
можно осуществить и посредством одно-
го поворота на угол относительно
оси, направление которой определяется
углами , , . Поэтому ориентацию
тела можно характеризовать четырьмя параметрами Родрига – Гамильтона [4] 0 1, ,
2 3, (параметры Эйлера [20])
1 cos sin / 2 ; 2 cos sin / 2 ; 3 cos sin / 2 ; 0 cos / 2 .
Очевидно, что
2 2 2 2
0 1 2 3 1 .
Параметры Родрига – Гамильтона выражаются через углы Эйлера следующим
образом:
0 cos cos
2 2
; 1 sin cos
2 2
;
2 sin sin
2 2
; 3 cos sin
2 2
. (1.1)
Ориентацию твердого тела относительно неподвижной системы координат Oxyz
можно определить матрицей A преобразования координат (матрицей косинусов ме-
жду осями неподвижной и подвижной систем координат), т.е., если m – некоторый
вектор в неподвижной системе координат, а составляющие вектора k являются про-
екциями этого вектора на оси подвижной системы координат ( Ox y z ), то
k Am . (1.2)
Рис. 1
132
Эта матрица имеет следующее представление через параметры Родрига – Гамиль-
тона 0 1 2 3, , , :
2 2 2 2
0 1 2 3 1 2 0 3 1 3 0 2
2 2 2 2
1 2 0 3 0 1 2 3 2 3 0 1
2 2 2 2
1 3 0 2 2 3 0 1 0 1 2 3
2( ) 2( )
( ) 2( ) 2( )
2( ) 2( )
A
. (1.3)
Имеют место и обратные соотношения. Так, например, если ijA a , 1,3ij и
11 22 331 0a a a , то [5, 20]
0 11 22 33
1
1
2
a a a ; 23 32
1
11 22 332 1
a a
a a a
; (1.4)
31 13
2
11 22 332 1
a a
a a a
; 12 21
3
11 22 332 1
a a
a a a
; 11 22 331a a a a .
Приведем выражения через углы Эйлера проекций 1 2 3, , вектора угловой ско-
рости тела на оси, связанные с телом [4]
1 sin sin cos ; 2 sin cos sin ; 3 cos . (1.5)
При измерении проекций вектора угловой скорости твердого тела 1 2 3
T
на оси, связанные с телом, и известном положении твердого тела в начальный момент
вектор (кватернион) параметров Родрига – Гамильтона 0 1 2 3
T определяется
в результате интегрирования кинематических уравнений
1
2
;
1 2 3
1 3 2
2 3 1
3 2 1
0
0
0
0
; 2 1T . (1.6)
Здесь и далее обозначает спектральную матричную норму; верхний индекс T –
транспонирование.
В случае близости трехгранников Oxyz и Ox y z (углы Эйлера малы) можно ис-
пользовать приближенное выражение, например, [20, ф-ла (26)] для матрицы A
3 2
3 1
2 1
1
1
1
A
, (1.7)
где 1 2 3, , – малые углы поворота трехгранника Oxyz относительно осей , ,x y z ,
соответственно.
§2. Определение скоростей.
Задача определения угловой скорости твердого тела и скорости одной его точки
по результатам наблюдения скоростей трех точек тела рассмотрена рядом авторов
([9, 16 и др.]). Задача формулируется следующим образом (рис. 2). Три вектора
1 2 3, ,r r r определяют точки, в которых происходит измерение линейной скорости. По
результатам этих измерений необходимо определить векторы угловой скорости тела
133
( 1 2 3
T ) и линейной скорости
( 0 1 2 3
T
v v v v ) начала системы коорди-
нат О1, связанной с телом. Приняв во
внимание известное соотношение (см.,
например [4, ф-ла (2.7.8)], [9, ф-ла (2)]),
определяющее скорость точки твердого
тела заданной вектором r
0v v r , (2.1)
можно записать следующие линейные
соотношения (уравнения [16, ф-ла (6)],
[9, ф-ла (4)]), связывающие искомые ком-
поненты векторов ,v и результаты на-
блюдения скоростей точек
0
TV P v h ; (2.2)
3 2
3 1
2 1
0
0
0
; 1 2 3P r r r ; 1 1 1
T
h ;
V – матрица, столбцы которой являются векторами скоростей точек, определяемых
векторами 1 2 3, ,r r r .
Пусть 1 2 3, , и 1 2 3, , – столбцы матриц TP и ,TV т.е. 1 2 3, ,TP ;
1 2 3, ,TV . В этом случае, соотношение (2.2) можно записать как систему ли-
нейных уравнений относительно 0, :v
vA x B ;
0
x
v
;
3 2
3 1
2 1
v
o h o o
A o o h o
o o o h
;
1
2
3
B
; (2.3)
o – нулевая матрица размера 3 1 .
Учитывая то, что измерения скорости сопровождаются погрешностями, предста-
вим (2.3) в следующем виде:
0v vA x B n , (2.4)
где vn – погрешности измерений, вектор 0B формируется из точных значений скоро-
стей рассматриваемых точек.
§3. Определение ускорений.
По аналогии с описанной выше задачей, рассмотрим задачу определения углового
ускорения тела и ускорения одной его точки по результатам наблюдения ускорения
трех точек тела. Задачу сформулируем следующим образом. Пусть три вектора
1 2 3, , определяют точки твердого тела, в каждой из которых расположено три
акселерометра, позволяющие регистрировать компоненты вектора ускорения данной
точки. По результатам этих измерений и значению вектора угловой скорости
( 1 2 3
T ) необходимо определить вектор углового ускорения 1 2 3
T
/d dt и ускорения ( 0 1 2 3
T
w w w w ) начала системы координат, связанной с те-
Рис. 2
134
лом. Применительно к рассматриваемой задаче, аналогом соотношения (2.1) будет
соотношение [4, ф-ла (2.17.9)], определяющее ускорение ( )w точки твердого тела,
определяемой вектором
0 ( )w w . (3.1)
Обозначив 1 2 3U W W W , iW – векторы ускорения точек, определяемых
( 1, 2, 3)i i , можно, базируясь на (3.1), запиcать аналог соотношения (2.2), т.е.
2
0
T
w wU P EP w h (3.2)
( 1 2 3wP ;
3 2
3 1
2 1
0
0
0
E
; матрицы ,h аналогичны, фигурирую-
щим в (2.2)).
Соотношение (3.2) можно, как и (9), представить в виде системы линейных урав-
нений относительно 0, w . Пусть 1 2 3, , ; 1 2 3, , ; 1 2 3, , столбцы матриц
2, , ( )T T T
w wU P P , т.е.
1 2 3
TU ; 1 2 3
T
wP ; 2
1 2 3( )T
wP .
Тогда соотношение (3.2) запишем в форме, аналогичной (2.3), а именно:
w wA x B B ;
0
x
w
;
(3.3)
3 2
3 1
2 1
w
o h o o
A o o h o
o o o h
;
1
2
3
B
;
1
2
3
wB
(здесь o – как и в (2.3), нулевая матрица размера 3 1 ).
Как и в случае соотношения (2.3), полагая, что показания акселерометров сопро-
вождаются погрешностями, представим (3.3) в следующем виде:
w wo wA x B B n , (3.4)
где wn – погрешности измерений, а компоненты woB формируются точными значе-
ниями ускорений.
В связи с тем, что размер матрицы
wA в (3.4) равен 9 6 , имеется возмож-
ность исключить из рассмотрения три
строки в (3.4). Для иллюстрации этого
утверждения рассмотрим схему распо-
ложения акселерометров приведенную
на рис. 3. Здесь 1 1 1, ,X Y Z – точки осей
, ,OX OY OZ , в которых установлено по
два акселерометра. Ориентация осей их
чувствительности указана на рисунке;
например y
xa обозначает, что этот аксе-
лерометр измеряет ускорение точки 1Y в
Рис. 3
135
направлении оси OX . При такой схеме расположения акселерометров, в системе 9
уравнений (3.4) можно оставить 6 уравнений, вычеркнув первую, пятую и девятую
строки. Таким образом, при известном векторе угловой скорости (векторе B ) для
определения векторов и 0w достаточно 6 акселерометров (см. пример 1).
Отметим, что в [19] приведена иная схема расположения 6 акселерометров, кото-
рая позволяет сразу определить вектор углового ускорения как линейную комби-
нацию показаний акселерометров. Однако, очевидно, что точность определения те-
кущего значения вектора угловой скорости в результате интегрирования углового
ускорения будет существенно зависеть от точности задания значения вектора угловой
скорости в начальный момент времени. Для снижения этой зависимости целесообразно
увеличить число акселерометров, а полученную в результате этого избыточную инфор-
мацию использовать для повышения точности определения текущего значения .
Рассмотрим случай 9 акселерометров. Пополним, изображенную на рис. 3 схему 6
акселерометров, тремя акселерометрами, расположенными в точке O , оси чувстви-
тельности которых направлены вдоль осей , ,OX OY OZ соответственно, т.е. эти ак-
селерометры измеряют ускорение начала координат. Показания этих акселерометров
обозначим 0 0 0, ,x y za a a . Предположим, что расстояние от начала координат каждой из
точек 1 1 1, ,X Y Z равно L .
Введем обозначения: 0x x
y y yn a a ; 0y y
x x xn a a ; 0x x
z z zn a a ; 0y y
z z yn a a ;
0z z
x x xn a a ; 0z z
y y yn a a . При такой схеме расположения акселерометров, из (3.1) или
(3.2) следуют следующие соотношения:
12 y z
z yL n n ; 22 z x
x zL n n ; 32 x y
y xL n n ; (3.5)
2 32 y z
z yL n n ; 1 32 z x
x zL n n , 1 22 x y
y xL n n . (3.6)
Отметим, что уравнения (3.5) совпадают с [1, ф-ла (3.390)]. Таким образом, в случае 9
акселерометров соотношения (3.6) определяют еще три величины: 1 2 1 3 2 3, , .
Эту информацию целесообразно использовать для коррекции результатов интегриро-
вания углового ускорения . Отметим, что, если две из трех компонент вектора
равны нулю (вращение относительно неподвижной оси), то соотношения (3.6) не мо-
гут быть использованы для коррекции результатов интегрирования.
В этой связи целесообразно рассмотренную выше систему 9 акселерометров по-
полнить еще 3 акселерометрами таким образом, что в точке 1X измеряется еще и ус-
корение вдоль оси OX , в точке 1Y – вдоль оси OY и в точке 1Z – вдоль оси OZ . От-
метим, что эта схема расположения акселерометров совпадает с приведенной в [1,
рис. 3.7]. Пусть показания этих 3 акселерометров – , ,x y z
x y za a a . Введем обозначения:
0x x
x x xn a a ; 0y y
y y yn a a ; 0z z
z z zn a a . В рассматриваемой измерительной системе из
12 акселерометров соотношения (3.5), (3.6) должны быть дополнены следующими:
2
12 x y z
x y zL n n n ; 2
22 x y z
x y zL n n n ; 2
32 x y z
x y zL n n n . (3.7)
Таким образом, в рассматриваемом случае (12 акселерометров) для коррекции ре-
зультатов интегрирования углового ускорения cледует использовать соотношения
(3.6), (3.7).
§4. Система инерциальной навигации.
Принимая во внимание, что 0 0 /w dv dt ; /d dt , систему (3.4) рассматрива-
ем как систему нелинейных дифференциальных уравнений относительно , т.е., рас-
сматривая сигналы акселерометров ( )wB как известные внешние воздействия, можем,
136
при заданных начальных условиях, путем интегрирования (3.4) вычислить значения
( )t и 0 ( )v t . Таким образом, рассматриваемый подход позволяет получить информа-
цию об угловой скорости объекта без использования датчиков угловой скорости. Од-
нако, в этом случае при создании инерциальной навигационной системы необходимо
принимать во внимание следующие обстоятельства.
Фигурирующий в (3.4) вектор x задан в подвижной системе координат. В связи с
тем, что исследователя интересует положение объекта в инерциальной системе коор-
динат, целесообразно проектировать вторую компоненту вектора x (вектор 0w ) в
инерциальную систему координат и там осуществить дальнейшее интегрирование,
которое позволит определить в подвижной системе координат скорость и координаты
точки объекта, которая принята в качестве начала подвижной системы координат.
Относительно первой части вектора x (вектора ) отметим, что его следует исполь-
зовать для определения текущей ориентации тела, которую можем определить как
параметрами Родрига – Гамильтона (1.1), так и матрицей косинусов (1.2) (связь между
ними определяется соотношениями (1.3), (1.4)). В данном случае удобно определять
параметры Родрига – Гамильтона путем интегрирования уравнения (1.6), в котором
компоненты вектора определяются в процессе интегрирования уравнения (3.4).
Далее значение матрицы A , которая используется для проектирования 0w в инерци-
альную систему координат, определяем в соответствии с (1.3). Эта матрица позволяет
спроектировать вектор 0w в инерциальную систему координат и, как отмечено выше,
путем интегрирования определить текущие значения скорости и координат объекта.
Таким образом, реализация такого типа инерциальной системы включает: 1) вы-
числение путем интегрирования трех дифференциальных уравнений (первые три
соотношения (3.4) или соотношения (3.5)); 2) получение кватерниона , определяю-
щего, согласно (1.3), матрицу косинусов A (которая позволяет спроектировать вектор
ускорения 0w в инерциальную систему координат) путём интегрирования системы
(1.6) (4 уравнения); 3) определение скорости и координат объекта путем интегрирова-
ния 6 уравнений.
Другими словами, необходимо интегрировать систему дифференциальных урав-
нений 13 порядка. Начальные условия для этой системы – значения следующих вели-
чин в начальный момент времени: координат объекта ( 0 0 0 0
T
r x y z ); начальной
ориентации (кватернион ) или соответствующей матрицы косинусов ( )A ; скоро-
сти объекта ( 0 0 0 0[ ]T
x y zv v v v ), вектора угловой скорости ( 0 0 0 0[ ]x y z ).
Отметим, что 0v , 0 определим по результатам измерений с помощью GPS ско-
рости трех точек объекта, используя алгоритм, описанный в §2.
Таким образом, функционирование рассматриваемой системы INS связано с ин-
тегрированием нелинейной (в случае 6 акселерометров) системы дифференциальных
уравнений 13 порядка. С точки зрения реализации такой INS представляется целесо-
образным рассмотреть вопрос о «дискретизации» этой системы, т.е. рассмотреть слу-
чай, когда съем показаний датчиков производится не непрерывно, а через равные
промежутки времени t , т.е. с частотой 1 /f t . Соответственно, искомые навига-
ционные параметры (матрица косинусов ( )A , скорость v , координаты r ) вычисля-
ем через интервал времени t . В связи с тем, что для вычисления навигационных
параметров могут быть использованы различные процедуры «дискретизации», от-
дельно остановимся на каждой из них. Определим оценки кватернионов в моменты
времени 1,i i it t t t ; 1, 2, 3,i [2, 13]. Итак, пусть известны на промежутке вре-
мени t квазикоординаты (компоненты вектора
i
i
t t
i
t
dt
). Выразив через эти
137
квазикоординаты решение it уравнения (1.6) на промежутке времени t при
начальном условии 1 0 0 0
T
(т.е. вычислив кватернион, соответствующий мало-
му повороту твердого тела за время t ), ориентацию тела определяем последователь-
ным перемножением it «элементарных» кватернионов
1i i it t t ; 0 1 2 1
T
i i i i it t t t t . (4.1)
В матричном виде эта процедура выглядит так:
0 1 1 1 2 1 3 1 0 1
1 1 0 1 3 1 3 1 1 1
2 1 3 1 0 1 1 1 2 1
3 1 2 1 2 1 0 1 3 1
i
i
i
i
i
t t t t t
t t t t t
t
t t t t t
t t t t t
. (4.2)
В [2, 13] приведены выражения кватернионов it через вектор квазикоординат
i , которые, в зависимости от сложности, обеспечивают то или иное качество ап-
проксимации.
Далее используем следующую аппроксимацию кватерниона ( )it (соотношение
[13, ф-ла (2.6)]):
2
1
1 /12
( )
/ 2 / 24
i
i
i i i
t
. (4.3)
Как и в [13], для вычисления i используем квадратичную сплайн-аппроксимацию
вектора угловой скорости ( )t . Так, если известны значения 2( )it , 1( )it , ( )it , то
1 2(5 ( ) 8 ( ) ( ))
12i i i i
t
t t t
; (4.4)
1
1
( ) ( )
( ) ( )
2
i i
i i
t t
t t t
. (4.5)
В (4.5) it – вектор угловых ускорений, определяемых по результатам показаний
акселерометров в момент it (в (3.2) для вычисления элементов матрицы исполь-
зуются компоненты вектора 1it ). Располагая полученной, согласно (4.4), оценкой
кватерниона ,it находим, использовав (4.1), (4.2), кватернион it и далее, со-
гласно (1.3), матрицу iA t .
Спроектировав с помощью матрицы iA t , определенный выражением (3.3)
вектор 0 iw t в неподвижную систему координат, получим оценки скорости iv t и
координат ir t объекта [13].
В этой связи, в рассматриваемых примерах ограничимся только оценкой точности
определения матрицы A .
§5. Повышение точности определения .
Рассмотрим задачу использования соотношений (3.6) для повышения точности
определения в случае 9 акселерометров и аналогичную задачу в случае 12 акселе-
рометров. В последнем случае используются кроме упомянутых соотношений (3.6)
138
еще и соотношения (3.7). Итак, рассмотрим случай 9 акселерометров, показания кото-
рых определяют как вектор углового ускорения (соотношения (3.5)), так и компонен-
ты вектора 2 3 1 3 2 1
T
n (соотношения (3.6)). Предполагая ( )i it –
1( )it малой величиной, можно записать следующее соотношение:
0n i nH ;
3 2
3 1
2 1
0
0
0
H
; 0 2 3 1 3 1 2
T
n . (5.1)
В (5.1) n определяется (3.6), а значения компонент вектора , фигурирующие в H
и 0n , соответствуют значениям компонент вектора 1( )it . Иначе, в результате сде-
ланного предположения о малости i , имеем стандартную задачу оценки парамет-
ров методом взвешенных наименьших квадратов [8]. А именно, если имеется началь-
ная оценка 1( ) ( ) / 2i i it t t , то согласно (5.1) наблюдается вектор z
0n nz H , (5.2)
где – вектор погрешностей измерений. Оценка величины i
определяется соот-
ношением [8, (12,2, 7)]
1( )T
i i iPH R z H
; 1 1 1TP M H R H (5.3)
(здесь M – ковариационная матрица погрешностей оценки i ; R – ковариацион-
ная матрица погрешностей измерений в (5.2)). Окончательно, величина вектора
в момент it определяется соотношением
1( ) ( )i i it t , (5.4)
в котором i
находится из (5.3).
Отметим, что матрица 1P может быть плохообусловленной и поэтому для полу-
чения матрицы P , фигурирующей в (5.3), может оказаться целесообразным исполь-
зовать подход [12, 13].
Так как матрицы ,M R – симметричны и положительно определены, то их можно
представить в виде: 2 2; ,M m R r т.е.
1 1
2 2;m M r R . Соответственно, выражения
для матрицы 1P можем записать так:
1 1 1 1 1 TT TP m H r m H r . (5.5)
Используя процедуру QR -разложение, преобразуем матрицу 1 1 TTm H r сле-
дующим образом:
1 1 0
T TTm H r Q , (5.6)
где Q – ортогональна матрица; – обратимая матрица.
Приняв во внимание, что TQ Q I , подставив (5.6) в (5.5), получим 1 TP
или 1 TP . Таким образом, выражение (5.3) можно представить в виде
1 1( )T T
i i iH R z H
. (5.7)
Если предположить, что 2M I , 2R I , то соотношение (5.7) можно записать так:
139
1 ( )T T
i i iH z H
, (5.8)
где определяется QR -разложением следующей матрицы:
TTI H ; / . (5.9)
Отметим, что описанный выше алгоритм коррекции можно использовать и в слу-
чае 12 акселерометров. Так, в этом случае, фигурирующие в (5.1), матрица H и век-
тор 0n имеют вид
3 2 1
3 1 2
2 1 3
0 2 0 0
0 0 2 0 ;
0 0 0 2
T
H
2 2 2
0 2 3 1 3 1 2 1 2 3
T
n .
Здесь, как и в случае 9 акселерометров, компоненты H и 0n определяются компо-
нентами вектора 1( )it . Компоненты вектора n определяются соотношениями
(3.6), (3.7).
§6. Примеры.
Пример 1 [14]. Рассмотрим следующую навигационную задачу. Пусть система
координат Oxyz связана с поверхностью Земли. В этой системе координат объект (с
которым связана система Ox y z ) движется по кругу в плоскости xy со скоростью
30м/секv и периодом 60 секT . В процессе движения его ориентация (система
Ox y z ) определяется следующей зависимостью от времени ( )t углов Эйлера:
; 2 / ; 0; 0t T . Согласно (1.5) проекции угловой скорости на оси
подвижной системы координат – следующие: 1 2 30; . Начальная ориен-
тация объекта, согласно (1.1), задается кватернионом 1 0 0 0
T и, следовательно,
согласно (1.3), матрица косинусов – единичная матрица. В момент 0t объект рас-
положен на оси y на расстоянии 0 / 2 ,R Tv его скорость (вектор 0v , фигурирую-
щий в (2.2)) и ускорение 0w в (3.2) определяются следующими соотношениями:
0 0 0
T
v v ;
2
0
0
0
T
v
w g
R
; здесь 29,81 м/секg – ускорение силы тяжести.
Акселерометры установлены по осям трехгранника так, как показано на рис. 3, при-
чем величина L принята равной 0,1 м. Погрешности акселерометров ( wn в (3.4)) мо-
делируются равномерно распределенными некоррелированными случайными числа-
ми с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 3 210 м/секw
.
Таким образом, приведенные начальные условия и принятые предположения о
погрешностях акселерометров позволяют выполнить моделирование работы рассмат-
риваемой инерциальной системы навигации, которая не содержит датчиков угловой
скорости. Однако, для иллюстрации алгоритма, описанного в §2, рассмотрим ситуа-
цию, когда начальные значения скоростей объекта (угловой и линейной) определяют-
ся с помощью GPS путем обработки результатов измерения при 0t скоростей 3
точек объекта. В этой связи предположим, что матрица P в (2.2) имеет вид
1 0 0
0 1 1
0 0 0
P
.
140
Отметим, что так как матрица 1P не существует, использовать алгоритм [16] не
представляется возможным.
Погрешности измерений (компоненты вектора vn в (2.4)) предполагаются некор-
релированными равномерно распределенными числами с нулевым математическим
ожиданием и дисперсией 110 м/секv
. При этих исходных данных, использовав
алгоритм §2, получим следующие оценки:
3 3(0) 10 6, 4 10 0,1024
T
; 3
0 (0) 29,9955 3, 4 10 0,0101
T
v . (6.1)
Эти оценки приняты в качестве соответствующих начальных условий при моде-
лировании системы инерциальной навигации (размерность (0) – 1/сек; размерность
0 (0)v – м/сек). Для остальных параметров, а именно параметров, определяющих на-
чальное положение и ориентацию объекта, в качестве начальных приняты точные их
значения при 0t .
Моделирование работы системы в течение 15с произведено с использованием
процедур пакета MATLAB, а именно, для интегрирования системы дифференциаль-
ных уравнений использована процедура ode 45.m, для генерирования случайных чи-
сел – процедура rand.m.
На рис. 4 приведены (полученные в результате моделирования погрешности опре-
деления ориентации) величины , ,x y z (размерность – градусы), которые являются
наддиагональными элементами матрицы ( ) ( )TA A , аппроксимированной в виде (1.7)
1
( ) ( ) 1
1
z y
T
z x
y x
A A
.
Здесь – значение кватерниона, полученного путем интегрирования; – точное
значение. Соответственно, ( ), ( )A A – точное значение матрицы косинусов и полу-
ченная в результате интегрирования ее оценка.
На рис. 4 и др. сплошная линия соответствует x , штриховая – y , штрих-
пунктирная – z . Отметим, что результаты, приведенные на рис. 4, соответствуют
результатам, приведенным в [14, Fig. 9 – 11]. Необходимо подчеркнуть, что приве-
денные на рис. 4 результаты получены с использованием процедуры интегрирования
системы нелинейных дифференциальных уравнений (ode 45.m).
Рис. 4
141
Пример 2. На объекте установлено 9 акселерометров, а именно, 6 акселерометров
как показано на рис. 3 и еще 3 акселерометра – в начале координат (подробности см.
конец §3). Начало координат приборного трехгранника, связанного с подвижной сис-
темой координат ( )Ox y z , задаем вектором 0 1 0
T
R . Ориентацию подвижной
системы координат задаем следующей зависимостью от времени углов Эйлера:
(0) 0; (0) / 4; (0) 0; 1; 0; 10 . Проекции угловой скорости на
оси подвижной системы координат определяем (1.5). Отметим, что в рассматривае-
мом примере модуль вектора угловой скорости превосходит 600 град/с, в то время как
в примере 1 он составил 6 град/с. В этой связи в рассматриваемом примере принято,
что 310t с. Начальную ориентацию (кватернион) определяем соотношениями
(1.1). Как и в примере 1, принимаем, что 310w
м/с2, 0,1L м. Погрешность вы-
ставки начального значения угловой скорости (аналог (6.1)) моделируем следующим
образом. В качестве начального значения ( (0))
(0) (0) / 2 , (6.2)
где (0) – точное значение, определяемое (5).
Принимаем, что в (5.9) 0,1 .
Результаты погрешностей опреде-
ления кинематических параметров
движения, полученные при моде-
лировании движения в течение
15с, приведены на рис. 5, 6.
На рис. 5 приведены значения
(размерность град / сек) величины
1
dom( ) ( ) ( )
k
k i i
i
t t t k
.
Здесь ( )it – оценка значения
угловой скорости, полученная
согласно (5.4); ( )it – точное зна-
чение вектора угловой скорости.
Т.е. величина dom характеризует
точность оценки текущего значе-
ния вектора угловой скорости, по-
лученной согласно (5.4) (на рис. 5
размерность dom – град / сек). На
рис. 6 приведены значения по-
грешностей определения ориента-
ции (обозначения совпадают с
принятыми на рис. 4). Таким об-
разом, согласно приведенным ре-
зультатам можно утверждать, что
в рассматриваемом примере ис-
пользование алгоритма коррекции
(5.4) позволило существенно по-
высить точность определения те-
кущего значения и, как следст-
вие, повысить точность определе-
ния ориентации. Так, согласно
графику dom (рис. 5) величина
Рис. 5
Рис. 6
142
погрешности на 15 сек имеет
порядок 2 град/сек, в то время как,
в соответствии с (6.2), погреш-
ность начальной выставки име-
ет порядок 300 град/сек. Как след-
ствие этого можно констатировать
и повышение точности определе-
ния ориентации (рис. 6). Так, в
начальный период наблюдается
разное нарастание погрешности
определения ориентации, обуслов-
ленное грубой начальной выстав-
кой . Однако, далее, после сни-
жения погрешности определения
текущего значения можно кон-
статировать, что погрешности оп-
ределения ориентации не претер-
певают существенных изменений.
Отметим, что в то время как по-
грешность начальной выставки
угловой скорости имеет порядок
300 град/сек, погрешность ориен-
тации объекта на 15 секунде имеет
порядок 10 градусов.
Пример 3. Рассмотрим изме-
рительную систему, содержащую
12 акселерометров (ее описание
приведено в конце §3). Сохраним
исходные данные примера 2 (па-
раметры движения, погрешность
начальной выставки и т.д.), изме-
нив только значения w и . Так,
принимаем, что 110w
м/сек2;
700 , т.е. точность акселеро-
метров снижена на два порядка.
Результаты моделирования приве-
дены на рис.7, 8 (обозначения сов-
падают с принятыми на рис.5, 6).
Эти результаты свидетельст-
вуют о существенно большей эффективности измерительной системы, содержащей
12 акселерометров. Так, согласно 7, несмотря на то, что погрешности измерения
ускорений возросли на два порядка, величина погрешности текущего значения
на 15 сек имеет практически тот же порядок, что и в примере 2. Можно констатиро-
вать, что в такой системе уменьшение ошибки начальной выставки происходит
существенно быстрее и, как следствие, снижаются погрешности определения ори-
ентации (ср. рис. 6, 8).
Пример 4. Продолжим рассмотрение примера 1. Сохраним все исходные данные
(параметры движения, точность акселерометров и т. п.) примера 1. Однако, предпо-
ложим, что измерительная система содержит уже не 6, а 12 акселерометров (как и в
примере 3). Принимаем, что в (5.9) 7 . Результаты моделирования приведены на
рис. 9.
Рис. 7
Рис. 8
143
Рис. 9
Сравнивая их с результатами рис. 4, можно констатировать одинаковую точность
определения ориентации. Однако, в отличие от примера 1, в этом примере, для полу-
чения оценки использована не процедура интегрирования нелинейного дифферен-
циального уравнения (ode 45.m), а конечно-разностная схема (4.5).
Заключение.
Изложены алгоритмы работы автономных систем инерциальной навигации, не
содержащих датчиков угловой скорости. Рассмотрены системы, содержащие 6, 9 и 12
акселерометров. В связи с тем, что 6 акселерометров достаточно для измерения угло-
вого ускорения объекта, то в случаях, когда система содержит 9 или 12 акселеромет-
ров имеется возможность повысить точность определения вектора угловой скорости
объекта, используя дополнительную информацию, обусловленную наличием допол-
нительных акселерометров. Приведены соответствующие алгоритмы коррекции. На
примерах показано, что такие системы могут быть эффективны в случаях движения
объекта с большой угловой скоростью, когда, как известно, использование датчиков
угловой скорости становится проблематичным.
Р Е ЗЮМ Е . Викладено алгоритми роботи автономних систем инерціальної навігації, що не
містять датчиків кутової швидкості. Розглянуто системи, які мають 6, 9 і 12 акселерометрів. У зв'язку
з тим, що 6 акселерометрів достатньо для вимірювання кутового прискорення об'єкту, то у випадках,
коли система містить 9 або 12 акселерометрів є можливість підвищити точність визначення вектора
кутової швидкості об'єкту. З цією метою використана додаткова інформація, обумовлена наявністю
додаткових акселерометрів. Наведено відповідні алгоритми корекції. На прикладах показано, що такі
системи можуть бути ефективними у випадках руху об'єкту з великою кутовою швидкістю, коли, як
відомо, використання датчиків кутової швидкості стає проблемним.
1. Андреев В.Д. Теория инерциальной навигации. Автономные системы. – М.: Наука, 1966. – 580 с.
2. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. –
М.: Наука, 1973. – 320 с.
3. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. – М.: Наука, 1976. – 670 с.
4. Лурье А.И. Аналитическая механика. – М.: Физматгиз, 1961. – 824 с.
5. Онищенко С.М. Применение гиперкомплексных чисел в теории инерциальной навигации. – К.:
Наук. думка, 1983. – 208 с.
6. Ahn I.K., Ryu H., Larin V.B., Tunik A.A. Integrated Navigation, Guidance and Control Systems for Small
Unmanned Aerial Vehicles // The World Congress «Aviation in the XXI Century». Ukraine. .– K.,
2003. – P. 14 – 16.
144
7. Bogdanov M.B., at al. Integrated inertial/satellite orientation and navigation system on accelerometer-based
SINS // Proc. of 18th Saint-Petersburg Conf. on Integrated Navigation Systems. – 2011. – P. 216 – 218.
8. Bryson A.E. Jr., Ho-Yu-Chi. Applied optimal control. Optimization, estimation and control. – Massachu-
setts: Waltham, 1969. – 544 p.
9. Fenton R.G., Willgoss R.A. Comparison of Methods for Determining Screw Parameters of Infinitesimal
Rigid Body Motion from Position and Velocity Data // J. Dynamic Syst. Measurement and Control. –
1990. – 112. – P. 711 – 716.
10. Greenspan R.L. Global navigation satellite systems. Ser. 207 // AGARD Lecture, NATO. – 1996. –
P. 1 – 1, 1 – 9.
11. Grewal M.S., Andrews A.P. Kalman Filtering. – Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, 1993. – 381 p.
12. Larin V.B. On Integrating Navigation Systems // J. Autom. and Inform. Scie. – 1999. –31, N 10. –
P. 95 – 98.
13. Larin V.B. Attitude-Determination Problems for a Rigid Body // Int. Appl. Mech. – 2001. – 37, N7. –
P. 870 – 898.
14. Larin V.B., Tunik A.A.. About Inertial-Satellite Navigation System without Rate Gyros // Appl. and Comp.
Math.. – 2010. – 9, N 1. – P. 3 – 18.
15. Larin V.B., Tunik A.A.. On Inertial Navigation System Error Correction // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48,
N2. – P. 213 – 223.
16. Laub A.J., Shiflett G.R. A Linear Algebra Approach to the Analysis of Rigid Body Velocity from Posi-
tion and Velocity Data // Trans. ASME – 1983. – 105. – P. 92 – 95.
17. Schmidt G. INS/GPS Technology Trends, NATO RTO Lecture Series, RTO-EN-SET-116, Low-Cost
Navigation Sensors and Integration Technology. October – 2008. – P. 1 – 1, 1 – 18.
18. Schmidt G., Phillips R. INS/GPS Integration Architecture Performance Comparison. – NATO RTO Lec-
ture Series, RTOEN-SET-116, Low-Cost Navigation Sensors and Integration Technology, Publ., Pra-
gue. October – 2008. – P. 5 – 1, 5 – 18.
19. Tan C.-W., Park S. Design and error analysis of accelerometer-based inertial navigation systems, Cali-
fornia PATH Research Report UCB-ITS-PRR-2002-21, Institute of Transportation Studies, University
of California, Berkeley, 2002. – 29 p.
20. Wittenburg J. Dynamics of Systems of Rigid Bodies. B.G. Teubner, Stuttgart. – 1977.– 292 p.
Поступила 13.02.2012 Утверждена в печать 22.11.2012
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87791 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:06:59Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ларин, В.Б. Туник, А.А. 2015-10-25T16:53:19Z 2015-10-25T16:53:19Z 2013 О системе инерциальной навигации без датчиков угловой скорости / В.Б. Ларин, А.А. Туник // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 4. — С. 130-144. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87791 Викладено алгоритми роботи автономних систем инерціальної навігації, що не містять датчиків кутової швидкості. Розглянуто системи, які мають 6, 9 і 12 акселерометрів. У зв'язку з тим, що 6 акселерометрів достатньо для вимірювання кутового прискорення об'єкту, то у випадках, коли система містить 9 або 12 акселерометрів є можливість підвищити точність визначення вектора кутової швидкості об'єкту. З цією метою використано додаткову інформацію, обумовлену наявністю додаткових акселерометрів. Наведено відповідні алгоритми корекції. На прикладах показано, що такі системи можуть бути ефективними у випадках руху об'єкту з великою кутовою швидкістю, коли, як відомо, використання датчиків кутової швидкості стає проблемним. The algorithms of functioning the autonomic system of inertial navigation are stated, which do not include the sensors of angular velocity. The systems are considered, which have 6, 9 or 12 accelerometers. Owing to the fact that 6 accelerometers is enough to measure the angle acceleration of object, the opportunity occurs in the case of 9 or 12 accelerometers to increase the exactness in determination of the object angle velocity vector. For this purpose, the additional information is used, which is caused by presence of additional accelerometers. The corresponding algorithms of correction are shown. It is shown on examples that such systems can be effective in the cases of motion of object with the big angle velocity, when, as it is well-known, the use of sensors of angle velocity becomes problematic. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика О системе инерциальной навигации без датчиков угловой скорости On a System of Inertial Navigation without of Sensors of Angular Velocity Article published earlier |
| spellingShingle | О системе инерциальной навигации без датчиков угловой скорости Ларин, В.Б. Туник, А.А. |
| title | О системе инерциальной навигации без датчиков угловой скорости |
| title_alt | On a System of Inertial Navigation without of Sensors of Angular Velocity |
| title_full | О системе инерциальной навигации без датчиков угловой скорости |
| title_fullStr | О системе инерциальной навигации без датчиков угловой скорости |
| title_full_unstemmed | О системе инерциальной навигации без датчиков угловой скорости |
| title_short | О системе инерциальной навигации без датчиков угловой скорости |
| title_sort | о системе инерциальной навигации без датчиков угловой скорости |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87791 |
| work_keys_str_mv | AT larinvb osistemeinercialʹnoinavigaciibezdatčikovuglovoiskorosti AT tunikaa osistemeinercialʹnoinavigaciibezdatčikovuglovoiskorosti AT larinvb onasystemofinertialnavigationwithoutofsensorsofangularvelocity AT tunikaa onasystemofinertialnavigationwithoutofsensorsofangularvelocity |