Колебания ортотропной цилиндрической панели с различными граничными условиями

Колебания ортотропной цилиндрической панели с различными граничными условиями

Досліджено власні коливання тонкої пружної ортотропної кругової незамкненої циліндричної оболонки (панелі) з вільним торцем і трьома жорстко закріпленими краями. На основі системи рівнянь відповідної класичної теорії ортотропних циліндричних оболонок одержано дисперсійне рівняння для визначення влас...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Прикладная механика
Дата:2013
Автори: Гулгазарян, Г.Р., Гулгазарян, Р.Г., Хачанян, А.А.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2013
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87797
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Колебания ортотропной цилиндрической панели с различными граничными условиями / Г.Р. Гулгазарян, Р.Г. Гулгазарян, А.А. Хачанян // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 40-61. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87797
record_format dspace
spelling Гулгазарян, Г.Р.
Гулгазарян, Р.Г.
Хачанян, А.А.
2015-10-25T18:31:32Z
2015-10-25T18:31:32Z
2013
Колебания ортотропной цилиндрической панели с различными граничными условиями / Г.Р. Гулгазарян, Р.Г. Гулгазарян, А.А. Хачанян // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 40-61. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
0032-8243
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87797
Досліджено власні коливання тонкої пружної ортотропної кругової незамкненої циліндричної оболонки (панелі) з вільним торцем і трьома жорстко закріпленими краями. На основі системи рівнянь відповідної класичної теорії ортотропних циліндричних оболонок одержано дисперсійне рівняння для визначення власних частот можливих типів коливань. Встановлено асимптотичний зв'язок між дисперсійними рівняннями задачі, що розглядається і аналогічної задачі для ортотропної прямокутної пластинки. Доведено асимптотичний зв'язок між дисперсійними рівняннями задачі, що розглядається і задачі на власні значення напівнескінченної ортотропної циліндричної оболонки відкритого профілю з вільним торцем, за наявності жорсткого закріплення на граничних твірних. На прикладах незамкнених ортотропних та ізотропних циліндричних оболонок з різними довжинами одержано наближені значення безрозмірної характеристики власної частоти і характеристики затухання відповідних форм коливань
The natural vibrations are considered for a thin elastic orthotropic non-closed cylindrical shell with one free end and three rigidly restrained ends. To find the natural frequencies of different types of vibrations, the dispersion equations are obtained. An asymptotic relation between the dispersion equations of the problem in hand and the corresponding equations for an orthotropic rectangular plate is established. Also, an asymptotic relation between the dispersion equations of the problem in hand and the corresponding equations for a semi-infinite non-closed orthotropic cylindrical shell with one free end and two rigidly restrained generatrixes is established. As an example, the non-closed orthotropic and isotropic shells of different length are considered. The approximate values are obtained for the dimensionless natural frequency and attenuation characteristics of modes
ru
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
Прикладная механика
Колебания ортотропной цилиндрической панели с различными граничными условиями
Vibrations of Orthotropic Cylindrical Panel with Different Boundary Conditions
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Колебания ортотропной цилиндрической панели с различными граничными условиями
spellingShingle Колебания ортотропной цилиндрической панели с различными граничными условиями
Гулгазарян, Г.Р.
Гулгазарян, Р.Г.
Хачанян, А.А.
title_short Колебания ортотропной цилиндрической панели с различными граничными условиями
title_full Колебания ортотропной цилиндрической панели с различными граничными условиями
title_fullStr Колебания ортотропной цилиндрической панели с различными граничными условиями
title_full_unstemmed Колебания ортотропной цилиндрической панели с различными граничными условиями
title_sort колебания ортотропной цилиндрической панели с различными граничными условиями
author Гулгазарян, Г.Р.
Гулгазарян, Р.Г.
Хачанян, А.А.
author_facet Гулгазарян, Г.Р.
Гулгазарян, Р.Г.
Хачанян, А.А.
publishDate 2013
language Russian
container_title Прикладная механика
publisher Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
format Article
title_alt Vibrations of Orthotropic Cylindrical Panel with Different Boundary Conditions
description Досліджено власні коливання тонкої пружної ортотропної кругової незамкненої циліндричної оболонки (панелі) з вільним торцем і трьома жорстко закріпленими краями. На основі системи рівнянь відповідної класичної теорії ортотропних циліндричних оболонок одержано дисперсійне рівняння для визначення власних частот можливих типів коливань. Встановлено асимптотичний зв'язок між дисперсійними рівняннями задачі, що розглядається і аналогічної задачі для ортотропної прямокутної пластинки. Доведено асимптотичний зв'язок між дисперсійними рівняннями задачі, що розглядається і задачі на власні значення напівнескінченної ортотропної циліндричної оболонки відкритого профілю з вільним торцем, за наявності жорсткого закріплення на граничних твірних. На прикладах незамкнених ортотропних та ізотропних циліндричних оболонок з різними довжинами одержано наближені значення безрозмірної характеристики власної частоти і характеристики затухання відповідних форм коливань The natural vibrations are considered for a thin elastic orthotropic non-closed cylindrical shell with one free end and three rigidly restrained ends. To find the natural frequencies of different types of vibrations, the dispersion equations are obtained. An asymptotic relation between the dispersion equations of the problem in hand and the corresponding equations for an orthotropic rectangular plate is established. Also, an asymptotic relation between the dispersion equations of the problem in hand and the corresponding equations for a semi-infinite non-closed orthotropic cylindrical shell with one free end and two rigidly restrained generatrixes is established. As an example, the non-closed orthotropic and isotropic shells of different length are considered. The approximate values are obtained for the dimensionless natural frequency and attenuation characteristics of modes
issn 0032-8243
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87797
citation_txt Колебания ортотропной цилиндрической панели с различными граничными условиями / Г.Р. Гулгазарян, Р.Г. Гулгазарян, А.А. Хачанян // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 40-61. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT gulgazarângr kolebaniâortotropnoicilindričeskoipanelisrazličnymigraničnymiusloviâmi
AT gulgazarânrg kolebaniâortotropnoicilindričeskoipanelisrazličnymigraničnymiusloviâmi
AT hačanânaa kolebaniâortotropnoicilindričeskoipanelisrazličnymigraničnymiusloviâmi
AT gulgazarângr vibrationsoforthotropiccylindricalpanelwithdifferentboundaryconditions
AT gulgazarânrg vibrationsoforthotropiccylindricalpanelwithdifferentboundaryconditions
AT hačanânaa vibrationsoforthotropiccylindricalpanelwithdifferentboundaryconditions
first_indexed 2025-11-25T22:20:11Z
last_indexed 2025-11-25T22:20:11Z
_version_ 1850562748558082048
fulltext 2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 5 40 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 5 Г . Р . Г у л г а з а р я н 1 , Р . Г . Г у л г а з а р я н 2 , А .А Х а ч а н я н 3 КОЛЕБАНИЯ ОРТОТРОПНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПАНЕЛИ С РАЗЛИЧНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ 1,3 Армянский государственный педагогический университет им. Х. Абовяна, ул. Тигран Мец 17, 0010, Ереван, Армения. 706700 2 ЕрФИ им Братьев Алиханянов ул. Братьев Алиханянов 2, 0036, Ереван, Армения e-mail:1ghulgr@yahoo.com; 2 ghulr@yahoo.com Abstract. The natural vibrations are considered for a thin elastic orthotropic non-closed cylindrical shell with one free end and three rigidly restrained ends. To find the natural fre- quencies of different types of vibrations, the dispersion equations are obtained. An asymp- totic relation between the dispersion equations of the problem in hand and the corresponding equations for an orthotropic rectangular plate is established. Also, an asymptotic relation between the dispersion equations of the problem in hand and the corresponding equations for a semi-infinite non-closed orthotropic cylindrical shell with one free end and two rigidly restrained generatrixes is established. As an example, the non-closed orthotropic and iso- tropic shells of different length are considered. The approximate values are obtained for the dimensionless natural frequency and attenuation characteristics of modes. Key words: natural vibrations, thin elastic orthotropic non-closed cylindrical shell, nat- ural frequencies, attenuation characteristics of modes. Введение. Исследования колебаний пластин и оболочек занимают важное место в динамике деформируемого твердого тела. Это обусловлено как потребностями самой теории, так и практическими вопросами машиностроения, строительства, приборостроения и т.д. Известно, что у свободного края ортотропной полубесконечной пластинки, неза- висимо существуют планарные и изгибные волны [2, 20]. При искривлении пластинки два указанных типа движения оказываются связанными, давая начало двум новым типам локализованных у кромки волн (преимущественно тангенциальных и изгиб- ных). У свободного торца тонкой упругой цилиндрической оболочки происходит трансформация одного типа волнового движения в другой [16]. При этой трансфор- мации волн, с учетом геометрических и механических параметров оболочки, возни- кают сложные картины распределения частот собственных колебаний конечных и бесконечных цилиндрических оболочек со свободным краем [6, 17 – 19]. Для тонких цилиндрических оболочек со свободным краем первые частоты распределены очень густо [6, 10], поэтому численный расчет не всегда эффективен. Эти трудности пре- одолевают с помощью комбинирования аналитической и асимптотической теорий с численными расчетами. Ниже рассматриваемая задача не допускает разделения переменных, что еще бо- лее усложняет расчеты. Такие задачи обычно решаются методом понижения раз- мерности на основе интегральных или коллокационных подходов типа Канторовича – Власова в сочетании с численными методами решения одномерных задач [3 – 5, 7 – 9, 11, 13 – 14]. В [3, 4, 13] метод сведения к обыкновенным дифференциальным уравне- 41 ниям Канторовича – Власова обобщен и применен для решения стационарных задач теории пологих оболочек и многомерных задач теплопереноса. Применение методов полных систем для решения задач статики и свободных колебаний неоднородных анизотропных тел в вариационнной постановке изложено в [4]. В работах [7 – 9, 14 и др.] использованы сплайн-функции и дискретные ряды фу- рье для численного исследования напряженно деформированных состояний пластин и оболочек. В частности, применяя сплайн-функции, исследованы свободные колебания полых прямоугольных в плане нетонких оболочек переменной толщины [7], а в [4] на основе дискретных рядов Фурье разработана методика для численного решения крае- вых задач упругих тел сложной геометрии и структуры. Ниже в рамках классической теории ортотропных цилиндрических оболочек, по- лучены точные дисперсионные уравнения для определения собственных частот воз- можных типов колебаний незамкнутой цилиндрической оболочки со свободным тор- цом и тремя жестко защемленными краями. На примерах ортотропных и изотропных цилиндрических оболочек с разными длинами исследованы собственные колебания и получены значения для безразмерной характеристики собственной частоты и характе- ристики затухания соответствующих форм колебаний. Установлена асимптотическая связь между дисперсионными уравнениями рассматриваемой задачи и аналогичной задачи для ортотропной прямоугольной пластинки. Также, показана асимптотическая связь между дисперсионными уравнениями рассматриваемой задачи и задачи на соб- ственные значения полубесконечной цилиндрической оболочки (пластины-полосы) со свободным торцом и двумя жестко защемленными краями. Для проверки достоверно- сти полученных результатов выведены дисперсионные уравнения и исследованы пла- нарные и изгибные собственные колебания для вышеуказанных задач. Численно под- тверждено наличие соответствующей асимптотической связи между дисперсионными уравнениями рассматриваемых задач, что подтверждает достоверность полученных результатов. В данной работе для вычисления собственных частот и соответствующих собст- венных форм применен обобщенный метод сведения к обыкновенным дифферен- циальным уравнениям Канторовича – Власова, развитый в [3, 4, 13]. В качестве ба- зисных функций использованы собственные функции задачи (балочные функции) 4 0, 0, , 0, 0IV s s w w w w s         , (1) где s – длина направляющей окружности срединной поверхности цилиндрической оболочки открытого профиля, а для пластинки – ее ширина. Задача в случае (1) – са- мосопряженная и имеет положительный простой дискретный спектр с предельной точкой на бесконечности. Собственным значениям 4 , 1,m m   , задачи (1) соответ- ствуют собственные функции ( ) sin ( cos ) cos ( sin ), 0 , 1, 2 2 m m m m m m m m s s w ch sh s m                     , (2) которые образуют ортогональный базис в соответствующем гильбертовом простран- стве 2[ , ]L o s [6, с. 84]. Заметим, что , 1, ,m m   определяются из уравнения cos 1ch s s   . (3) Введем обозначения 2 2 0 0 ; , ; ( ) / ( ) . s s m m m m m m mk k m m N w d w d s                 (4) Тогда имеем равенства 2 2 0 0 sin ( ) (1 cos ) ; ( ) (1 cos ); 2 2 s s m m m m m m m m ss s w d s w d s                  42 2 0 0 0 ( ) , ; ( ) ( ) ( ) ( ) 0, ; s s s m m n n m m n n m m w d n m w w d w w d n m                           (5) (2 1) ( ), lim ( ) 0; lim 1; lim 1. 2m m m m m m m s m m m m                  (6) Используя полученные ниже дисперсионные уравнения и асимптотические фор- мулы этих дисперсионных уравнений, можно, меняя геометрию оболочек и механи- ческие свойства материала, управлять спектром, смещая начало спектра или точки сгущения из нежелательной области резонанса [15]. §1. Колебания тонкой упругой ортотропной незамкнутой цилидрической оболочки со свободным торцом и тремя жестко защемленными краями. 1.1. Постановка задачи и основные уравнения. Рассмотрим собственные колеба- ния круговой ортотропной тонкой упругой цилиндрической оболочки открытого про- филя со свободным торцом и тремя жестко защемленными краями. Предполагаем, что образующие ортогональны краям оболоч- ки. На срединной поверхности оболочки вводим криволинейные координаты ( , )  , где (0 )l   и (0 ),s   которые являются, соответствено, длиной образую- щей и длиной дуги направляющей окруж- ности (рис. 1); l – длина цилиндрической оболочки, а s – длина направляющей ок- ружности. В качестве исходных уравнений, опи- сывающих колебания оболочки, исполь- зуем уравнения, которые соответствуют классической теории ортотропных цилиндрических оболочек и записаны в выбран- ных криволинейных координатах ,  [1] 2 2 2 31 1 2 12 11 66 12 66 12 2 ( ) uu u u B B B B B u R              ; 2 2 2 24 31 2 2 22 2 12 66 66 22 662 2 2 2 ( ) 4 uu u u B u B B B B B R R                  3 32 4 3 32 22 22 12 66 22 3 2 ( 4 ) u uu B B B B u R                    ; (1.1) 4 4 4 34 4 3 3 3 2 11 12 66 22 224 2 2 4 3 2( 2 ) u u u u B B B B B R                         3 2 12 1 22 2 22 12 66 3 32 2 ( 4 ) u B u B u B B B u u R R R               . Здесь 1 2 3, ,u u u – проекции вектора смещений, соответственно, в направлениях ,  и нормали к срединной поверхности оболочки; R – радиус направляющей окружности срединной поверхности; 4 2 /12h  ( h – толщина оболочки); 2   , где  – Рис. 1 43 угловая частота собственных колебаний;  –плотность материала; ijB –коэффицинты упругости. Граничные условия имеют вид [1] 24 3 31 12 2 2 1 2 11 0 0 4 1 0; 0; u uu B u u u u B R R R                                     2 2 3 3 2 3 3 3 12 66 312 2 2 2 2 3 2 11 110 0 41 1 0; 0; u u u B B uB u u B R B R                                          (1.2) 3 1 2 30; 0; 0; 0; l l l l u u u u             (1.3) 3 1 2 30, 0, 0, 0, 0; 0; 0; 0, s s s s u u u u             (1.4) где соотношения (1.2) являются условиями свободного края при 0  , а соотно- шения (1.3) и (1.4) – условиями жесткого защемлениями при l  , 0  , s  , со- ответственно. Можно доказать, что задаче (1.1) – (1.4) соответствует самосопряженный и неот- рицательно определенный оператор, который имеет неотрицательный дискретный спектр с предельной точкой на  [6, с. 362]. Этот факт позволяет задачу (1.1) – (1.4) свести к обобщенной задаче на собственные значения [12, с. 92] с применением обоб- щенного метода сведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям Канторо- вича – Власова. 1.2. Вывод и анализ характеристических уравнений. В первом, втором и треть- ем уравнениях системы (1.1) спектральный параметр  формально заменим на 1 , 2 , 3 , соответственно. Пусть 1 0 / 2R kr  , где /k s , а 0r – безразмерный па- раметр. Решение системы (1.1) представим в виде 1 2 3( , , ) { ( ), ( ), ( )}exp( ), 1,m m m m m m m mu u u u w v w w k m         . (1.5) Здесь ( )m mw   определяется по формуле (2); ,m mu v – неопределенные коэффициен- ты,  – неопределенный коэффициент затухания. При этом условия (1.4) выполня- ются автоматически. Подставим (1.5) в (1.1). Полученные первое и третье уравнения умножаем на ( )m mw   , а второе – на ( )m mw   . Затем все три уравнения интегрируем в пределах от 0 до s . Из первых двух полученных уравнений имеем 2 2 2 2 2 20 0 22 12 66 0 22 12 * 11 66 11 66 ( ) ( ) 4 2 4m m m m m m m r r B B B r B B c a g d u a a m l a d B B B B            ; (1.6)   2 2 20 0( ) 4 2 m m m m cm m m m r r m c a g d v b a g l     , (1.7) а из третьего уравнения, учитывая соотношения (1.6) и (1.7), получаем характеристи- ческое уравнение 2 0 4mm m r R c   44 2 2 2 2 2 2 212 66 *12 * * 2 22 22 2( 4 ) (1 )m m m m mm m m m m B B mB c m b a a R g d m b B B                        2 2 2 2 4 2 20 12 6612 * * 2 11 22 4 ( ) 0 4 m m m m m r B BB m a d b a m g l B B              (1.8) 2 2 2 2 2 2 2 11 22 12 12 6612 22 12 22 22 * 2 1 * 1 1 11 11 11 11 11 11 66 ; ; ;m m B B B B BB B B B B a m b B m B B B B B B B B                4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 266 6622 2 * 1 2 * * 1 * 2 11 11 11 ( ) ;m B BB c B m m m m B B B                          2 266 * 11 4 ;m B d m B   (1.9) 2 2 211 22 12 12 66 12 66 2 * 11 66 22 2 4 ; ;m B B B B B B B B l m B B B        2 2 2 2 4 222 22 22 * 1 66 11 11 ; ;m B B B g m a k B B B       2 4 2 4 2 212 66 * 6611 * 32 22 22 22 2( 2 ) ;mm m B B m BB m R a B B B               2 2 2 2 * 2 66 ; , 1,3 .i m m im m i B k           Пусть , 1, 4j j  – попарно различные нули уравнения (1.8) с неположительными действительными частями; тогда 5 1 6 2 7 3 8 4, , ,               – также попарно различные нули этого уравнения. Пусть ( ) ( ) ( ) 1 2 3( , , ), 1,8j j ju u u j  – нетриви- альные решения вида (1.5) системы (1.1) при , 1,8j j   , соответственно. Решение задачи (1.1) – (1.4) ищем в виде 8 ( ) 1 , 1,3j i j ij u w u i  . (1.10) Подставим (1.10) в граничные условия (1.2), (1.3). В полученных уравнениях, выра- жения, которые содержат ( )m mw   , умножаем на ( )m mw   , а остальные уравнения – на ( )m mw   . Интегрируя все полученные уравнения в пределах от 0 до s , получаем систему уравнений ( )8 2 1 ( ) 2 ( ) ( )0 0, 1,8 4 m ij j j j j j m m m M w i r c a g d     ; (1.11) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 2012 12 12 22 * * 11 2 11 11 11 ( ) 4 m j j j j j m m m mj rB B B B M a m b c a d m B B B        45 2 2 ( ) 2 2 222 12 12 * * 1 11 11 11 ;j m j B B B a m l m B B B           ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 222 12 22 22 * 12 66 11 66 11 4m j j j j j m m m m jj B B B B M a b a c l m B B B B                      2 2 ( ) ( ) 2 2 ( )0 12 22 12 11 66 22 4 4 ; 4 j j j m m j m r B B B a b d a g B B B          (1.12) 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 2 2 ( )0 6612 11 22 12 12 * * *3 11 22 11 22 11 4 4 m j j j j m j m j mj r BB B B B B M m c a g m m b B B B B B                        ; ( ) 2 2 ( )12 66 *4 11 4m j j j mj B B M m c B          + 2 2 2 2 ( ) 2 20 66 11 22 12 12 66 * 22 11 22 4 4 4 j j m j r B B B B B B a g m B B B              2 ( )12 66 * 11 4 ;j m B B m b B     2 ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 ( )22 12 66 0 22 12 *5 11 66 11 66 ( ) exp( ); 4 m j j j j m m m jj B B B r B B M a a m l a d z B B B B            ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 6 exp( )m j j j m m m jjM b a g l z  ; 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )0 7 exp( ) 4 m j j j m m m jj r M c a g d z         ; 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )0 8 exp( ) 4 m j j j j m m m jj r M c a g d z         ; , 1,8.j jz k l j  Верхний индекс j в скобках oзначает, что соответствующая функция принята с уче- том j  . Чтобы система (1.11) имела нетривиальное решение, необходимо и дос- таточно выполнения условия 8( ) , 1 0m ij i j Det M   . (1.13) Численный анализ показывает, что левая часть этого равенства становится малой, когда любые два корня уравнения (1.8) становятся близкими друг к другу. Это услож- няет расчеты и может привести к появлению ложных решений. Множитель в левой части равенства (1.13), стремящийся к нулю при сближении корней, можно выделить. Для этого введем обозначения * * 0 */ , 1,8; / , 1,3; / (2 );j j im i mx m j m i r m         * *[ ] (exp( ) exp( )) / ( ); [ ] [ ] [ ] / ( );i j i j i j i j k i j i k j kz z km l z z z z z z z km l z z z z z z       1 2 3 4 * 1 2 3 1 2 4 3 4[ ] [ ] [ ] / ( )z z z z km l z z z z z z z z   ; 46 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4( , , , )x x x x x x x x      ; 2 2 1 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4( , , , )x x x x x x x x x x x x x x x x        ; 3 3 1 2 3 4 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4( , , , )x x x x x x x x x x x x x x x x      ; (1.14) 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4( , , , )x x x x x x x x   ; 1 2 3 1 2( , , ,0); ( , ,0,0), 1,4.k k k kx x x x x k      При этом 4 4 3 0.     Пусть , 1,6nf n  – симметрический многочлен n -й степени от переменных 1 2 3 4, , ,x x x x . Известно, что он выражается через элементарные симметрические многочлены единственным образом. Обозначая 1 2 3 4( , , , )n nf f     ; 1 2 3( , , ,0)n nf f    ; 1 2( , ,0,0)n nf f   , 1,6n  ; (1.15) 2 3 4 2 2 1 1 2 1 2 3 1 1 2 3 4 1 1 2 2 1 3 4, ; 2 ; 3 2 ;f f f f                        5 3 2 2 6 4 2 2 3 5 1 1 2 1 2 1 3 2 3 6 1 1 2 1 2 24 3 3 2 ; 5 6f f                       (1.16) и выполняя элементарные действия над столбцами определителя (1.13), получаем 8 8( ) 34 2 * 1 2 3 4 , 1, 1 exp( )m ij ij i ji j Det M m K z z z z Det m       , (1.17) где элементы ijm приведены в Приложении (§6), а 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4( )( )( )( )( )( )K x x x x x x x x x x x x       . (1.18) Уравнение (1.13) эквивалентно уравнению 8 , 1 0ij i j Det m   . (1.19) Учитывая возможные соотношения между 1 2,  и 3 , заключаем, что уравнение (1.19) определяет частоты соответствующих типов колебаний. При 1 2 3      уравнение (1.8) – характеристическое уравнение системы (1.1), уравнение (1.19) – дисперсионное уравнение задачи (1.1) – (1.4). Отметим, что ниже (в §4) исследованы асимптотики дисперсионного уравнения (1.19) при 1 0R  (предельный переход к пластинке) и при l  (предельный пе- реход к полубесконечной цилиндрической оболочке). Для проверки достоверности полученных в §4 асимптотических связей ниже (§2, 3) исследованы планарные и из- гибные собственные колебания ортотропной прямоугольной пластинки с одним сво- бодным и тремя жестко защемленными сторонами и полубесконечной пластинки- полосы со свободным торцом и жестко защемленными краями. §2. Планарные колебания ортотропной прямоугольной пластинки с одной свободной и тремя жестко защемленными сторонами. Пусть ортотропная прямоугольная пластинка отнесена к триортогональной сис- теме прямолинейных координат ( , , )   с нача- лом в свободной торцевой плоскости так, что координатная плоскость  совпадает со сре- динной плоскостью пластинки, а главные на- правления упругости материала пластинки сов- падают с координатными линиями (рис. 2). Пусть ,s l являются шириной и длиной плас- тинки, соответственно. При условиях сво- бодного колебания рассмотрен вопрос существо- вания планарных колебаний прямоугольной пла- Рис. 2 47 стинки со свободной и тремя жестко защемленными сторонами. В качестве исходных уравнений примем уравнения малых планарных колебаний, которые соответствуют классической теории ортотропных пластин [1] 2 2 2 1 1 2 11 66 12 66 12 2 ( ) ; u u u B B B B u            2 2 2 1 2 2 12 66 66 22 22 2 ( ) , u u u B B B B u             (2.1) где (0 )l   и (0 )s   – ортогональные координаты точки срединной плос- кости; 1 2,u u – проекции вектора смещений, соответственно, в направлениях ,  ; , , 1, 2,6,ikB i k  – коэффициенты упругости; 2   , где  – угловая частота собст- венных колебаний;  – плотность материала. Граничные условия имеют вид 1 12 2 2 1 11 00 0 u B u u u B                 ; (2.2) 1 2 0 l l u u    ; (2.3) 1 20, 0, 0 s s u u    , (2.4) где соотношения (2.2) выражают условия свободного края при 0  , a условия (2.3), (2.4) являются условиями жесткого защемления при , 0,l s     , соответственно. Решение системы (2.1) ищем в виде 1 2( , ) { ( ), ( )}exp( ), 1,m m m m m mu u u w v w k m       , (2.5) где , ,m mu v  – неизвестные постоянные, а ( )m mw   и k определены в (2) и (4). При этом условия (1.4) выполняются автоматически. Подставим (2.5) в (2.1). Первое уравнение полученной системы умножаем на ( )m mw   , а второе на ( )m mw   . Интегрируя оба уравнения в пределах от 0 до s , получаем систему урав- нений 2 2 2 2 11 66 66 12 66 2 2 2 2 12 66 66 22 66 ( ) ( ) 0; ( ) ( ) 0, m m m m m m m m m m m B B m B u B B m v B B m u B B m B v                        (2.6) где 2 2 66/ ( )k B  , а m и m определены в (4). Приравнивая определитель системы (2.6) к нулю, получаем характеристическое уравнение системы уравнений (2.1) 2 4 2 2 2 2 211 22 12 12 66 11 66 6622 11 66 11 11 11 2 (1 ) 0m m m m B B B B B B B BB c y y y B B B B B                  ; (2.7) 2 2 2 * * * , ,m m my m m m m       . (2.8) Пусть 1y и 2y – различные корни уравнения (2.7) с неположительными действи- тельными частями, тогда 1y и 2y также различные корни уравнения (2.7). Пред- ставим решение задачи (2.1) – (2.4) в виде 48     2 2( ) ( ) 1 21 1 2 2( ) ( ) 2 21 1 ( ) exp( ) exp( ) ; ( ) exp( ) exp( ) ; j j m m j m j j m jj j j j m m j m j j m jj j u w w u к w u к u w w v к w v к                           (2.9) ( ) ( ) 2 212 66 66 * 11 11 , (1 ) , , 1,j j m j m j m m j j B B B u y v y m m y m B B                . (2.10) Подставим (2.9) в граничные условия (2.2), (2.3). Первое и второе из полученных уравнений умножаем на ( )m mw   и ( )m mw   , соответственно. Интегрируя все полу- ченные уравнения в пределах от 0 до s , получаем систему уравнений 2 2 ( ) 1 ( ) 2 1 1 ( 1) 0, 1,2;m i m ij j ij j j j R w R w i         2 2 ( ) ( ) 2 1 1 exp( ) ( 1) exp( ) 0, 5,6;m i m ij j j ij j j j j R z w R z w i         (2.11) ( ) ( )2 2 2 26612 12 1 2 11 11 11 (1 ); ;m m j m j j mj j BB B R y R y y B B B              ( ) ( ) 2 266 *5 6 11 ; (1 ) , , 1, 2.m m j j m j jj j B R y R y z km y l j B       (2.12) Приравнивая определитель системы (2.11) к нулю, получаем дисперсионнoе уравнениe 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )(1 exp(2( ))) 4 ( ) exp( )m m m m m mP y y K Q z z y y R z z           2 2 1 3 3 1 2( ) ( ) ( )(exp(2 ) exp(2 )) 0;m m m my y K Q z z     (2.13)   2 2 2 1 211 22 12 1 2 11 66 (1 ) ( 1) ;i im m m m m B B B K y y B B               266 1 2 11 ( ) (1 ) ( 1) , 2,3;i im m m B Q y y i B       (2.14)   2 2 212 66 11 22 12 11 12 11 11 66 11 2 (1 ) .m m m B B B B B B B R B B B B               Заметим, что ( )mP  из (2.13) можно привести к виду 2 2 1( ) ( ) ( )m mP y y P    ; (2.15) 2 2 1 2( ) ( ) ( )(1 exp(2( )))m m m m mP K Q z z      – 11 12 11 21 22 61 1 1 2 12 66 4 ( ) exp( ) B m m m m m y z z B B     211 11 22 21 12 1 12 61 11 11 21 61 1 1 2 1 2 12 66 12 66 ( )( ) 4 (exp(2 ) exp(2 )) [ ] B m m m m y m m B m m m y z z z z B B B B         49 11 1 61 11 22 21 12 11 21 1 12 61 2 1 1 2 12 66 2 [ ( ) ( )] (exp( ) exp( ))[ ]; B y m m m m m m m y m m z z z z B B       (2.16) 2 ( ) ( ) ( ) 211 22 12 12 66 11 21 61 22 1 211 21 61 11 66 ; ; ; ;m m m m B B B B B m R m R m R m y y B B          12 1 2 1 2 * 2 1 2 1; [ ] (exp( ) exp( )) / ( ).m y y z z km l z z z z     Учитывая (2.15), можно утверждать, что дисперсионное уравнениe (2.13) экви- валентно дисперсионнoму уравнению ( ) 0mP   . (2.17) Численный анализ показывает, что применение дисперсионного уравнения (2.17) более эффективно, когда значения корней уравнения (2.7) близки друг к другу. Заметим, что если 1y и 2y корни уравнения (2.7) с отрицательными действитель- ными частями, то при *m l  уравнения (2.13) и (2.17) распадаются на совокуп- ность уравнений   2 2 2 211 22 12 2 1 2 11 66 (1 ) 0m m m m m B B B K y y B B                ; (2.18) 266 2 1 2 11 ( ) (1 ) 0m m m B Q y y B      . (2.19) Уравнениe (2.18) являeтся уравнением Рэлея для полубесконечной ортотропной пластинки-полосы, когда боковые края жестко защемлены [18]). Отметим, что анало- гичное уравнение как (2.19) имеет место и в случае, когда прямоугольная пластинка защемлена при l  , а две противолежащие стороны шарнирно закреплены [18]. §3. Изгибные колебания ортотропной прямоугольной пластинки со свобод- ной и тремя жестко защемленными сторонами. Пусть имеем ортотропную прямоугольную пластинку и , ,h s l – толщина, ширина и длина пластинки, соответственно (рис. 2). При условиях свободного колебания рас- смотрим вопрос существования изгибных колебаний прямоугольной пластинки со свободной и тремя жестко защемленными сторонами. В качестве исходного уравне- ния примем уравнение малых изгибных колебаний, которое соответствует классичес- кой теории ортотропных пластин [1] 4 4 4 4 3 3 3 11 12 66 22 34 2 2 4 2( 2 ) u u u B B B B u                    , (3.1) где (0 )l   и (0 )s   – ортогональные координаты точки срединной плос- кости пластинки; 3u – нормальная компонента вектора перемещения точки средин- ной плоскости; , , 1, 2,6ikB i k  – коэффициенты упругости; 4 2 /12h  ( h – толщина пластинки); 2   , где  – угловая частота собственных колебаний;  – плот- ность материала. Граничные условия имеют вид 2 2 3 3 3 3 3 12 66 312 2 2 3 2 11 110 0 4 0 u u u B B uB B B                     ; (3.2) 50 3 3 0 l l u u        ; (3.3) 3 3 0, 0, 0 s s u u        , (3.4) где соотношения (3.2) выражают условия свободного края при 0  , a условия (3.3), (3.4) являются условиями жесткого защемления при , 0,l s     , соответственно. Решения уравнения (3.1) определяем в виде 3 ( ) exp( ); 1,m mu w k m     , (3.5) где ( )m mw   определено в (2). При этом условия (3.4) выполняются автоматически. Подставим (3.5) в (3.1). Полученное уравнение, умножая на ( )m mw   и интегри- руя в пределах от 0 до s , получаем характеристическое уравнение 2 2 4 2 212 66 6611 * 2 22 22 22 2( 2 ) 1 0mm m m B B BB R m a y y B B B              ; (3.6) 2 2 4 2 2 2 2 *2 * *66 ; , ; ; ;m m my a k k m m m m sk B              , (3.7) где m и m определены в (4). Пусть 3y и 4y различные корни уравнения (3.6) с неположительными действи- тельными частями. Тогда 3y и 4y – также различныe корни уравнения (3.6). Реше- ние задачи (3.1) – (3.4) определяем в виде  4 4 3 2 *3 3 ( ) exp( ) exp( ) , , 3,4m m j j j j j jj j u w w к w к m y j             . (3.8) Подставим (3.8) в граничные условия (3.2), (3.3). Умножая все полученные урав- нения на ( )m mw   и интегрируя в пределах от 0 до s , получаем систему уравнений 4 4 ( ) ( ) 2 3 3 0, 3,4;m m ij j ij j j j R w R w i       4 4 ( ) 1 ( ) 2 3 3 exp( ) ( 1) exp( ) 0, 7,8;m i m ij j j ij j j j j R z w R z w i          (3.9) ( ) ( )2 2 12 6612 3 4 11 11 4 ; ;m m j j jj j B BB R y R y y B B          ( ) ( ) *7 81; ; , 3, 4.m m j j jj jR R y z km y l j    (3.10) Приравнивая определитель системы (3.9) к нулю, получаем дисперсионнoе уравнениe 2 4 3 1 3 4 3 4 3 4( ) ( ) ( )(1 exp(2( ))) 4 ( )exp( )m m m mB y y K z z y y S z z          2 3 4 4 3 4( ) ( )(exp(2 ) exp(2 )) 0;m my y K z z    (3.11) 51   2 2 2 1 66 12 3 4 3 4 11 11 ( 1) 4 , 1,4;i im m B B K y y y y i B B               2 2 12 12 66 6622 2 2 2 2 11 1111 * 41 2 .m m m m B B B BB S B BB a m             (3.12) Заметим, что ( )mB  из (3.11) можно привести к виду 2 4 3( ) ( ) ( )m mB y y B    ; (3.13) 2 12 1 3 4 3 3 4 3 4 3 4 11 ( ) ( )(1 exp(2( ))) 4( ) exp( )m m m B B K z z y y y y y z z B                2 12 33 3 3 4 43 3 4 3 4 11 ( ) (exp(2 ) exp(2 )) B R y y y R y y z z B                2 12 6612 3 33 43 3 4 3 4 3 3 4 11 11 2 4 (exp( ) exp( ))[ ] B BB y R R y y y z z z z B B                   2 2 3 33 43 3 4 3 4 * 3 4 3 44 [ ] ; [ ] (exp( ) exp( )) / ( ).y R R z z z z km l z z z z    (3.14) Учитывая (3.13), можно утверждать, что дисперсионнoе уравнениe (3.11) эквива- лентнo дисперсионному уравнению ( ) 0mB   . (3.15) Численный анализ показывает, что применение дисперсионного уравнения (3.15) более эффективно, когда значения корней уравнения (3.6) близки друг к другу. Заметим, что если 3y и 4y – корни уравнения (3.6) с отрицательными действи- тельными частями, то при *m l  уравнения (3.11) и (3.15) преобразуются к урав- нению   2 2 2 66 12 1 3 4 3 4 11 11 4 0m m B B K y y y y B B           , (3.16) которое является дисперсионным уравнением изгибного колебания для полубеско- нечной ортотропной пластинки-полосы со свободным торцом, когда краи 0  и s  жестко защемлены. §4. Асимптотики дисперсионного уравнения для цилиндрической оболочки. 4.1. Асимптотика дисперсионного уравнения (1.19) при →-1R 0 . Используя предыдущие формулы, предположим, что 1 2 3 */m m m m m        . Тогда при 1 00 ( 0)R r   уравнение (1.8) преобразуется в совокупность уравнений 4 2 2 2 2 2 2 2 211 66 6622 2 * * * 11 11 11 ( ) 0m B B BB c B m m m B B B                   ; (4.1) 2 4 2 4 2 212 66 * 6611 * 2 22 22 22 2( 2 ) 0mm m B B m BB m R a B B B                . (4.2) 52 Предельный переход 0 0r  здесь понимается в том смысле, что фиксируя ради- ус R и b – расстояние между граничными образующими цилиндрической оболочки, совершается переход к цилиндрической оболочке радиуса R кратному :R R nR  , и к пределу 0 0 / 0r r n   при n  . Уравнения (4.1), (4.2) являются характеристическими уравнениями для уравнений планарных и изгибных колебаний пластины, соответственно, когда одна сторона сво- бодна, а три стороны жестко защемлены. Корни */ m уравнений (4.1) и (4.2) с непо- ложительными действительными частями, как в §2 и §3, обозначаются через 1 2,y y и 3 4,y y , соответственно. Аналогичным образом [18] доказываем, что при 1; , ,m i jy y i j    (4.3) корни 2 *( / )m уравнения (1.8) можно представить в виде 2 2 ( ) 2 ( ) 4 ..., 1, 4m m i i i m i mx y i        . (4.4) При условии (4.3), учитывая соотношения (1.12), (1.17), (4.4) и тот факт, что 6 7 4 5 2 3 * 4 * 7 * 8 */ / / / ( ), 1,2i i i i mM m M m M m M m O i     , (4.5) уравнение (1.19) можно привести к виду 8 2 2 2 11 66 3, 1 / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,ij m m m m m mi j Det m B B N K P B O         (4.6) где ( )mP  и ( )mB  определяются формулами (2.16) и (3.14), соответственно, a 2 2 4 4 3 1 * 2 * 3 3 1 3 2 4 1 4 2( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( )( )( )( );m m mK N a m N a m N N y y y y y y y y            22 212 11 22 12 66 22 66 1222 11 22 12 1 3 3 11 11 ( )( ) ( )m m B B B B B B B BB B B B N B B        ; 2 2 422 11 22 12 2 11 22 12 12 11 22 12 663 3 11 66 11 2 ( ) 1 ( ) ( 2m B B B B N B B B B B B B B B B B         (4.7) 3 2 2 2 2 3 2 12 66 12 66 22 66 12 12 22 66 12 66 11 22 666 10 2 8 8 4B B B B B B B B B B B B B B B       3 2 412 66 11 66 12 22 66 3 11 ( 4 )( ) 4 ) m m B B B B B B B B       ; 2 2 22 12 66 12 66 12 66 3 22 11 22 2211 66 ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( ) 1m B B B B B B B N B B B BB B         2 2 2 412 66 12 22 12 66 22 66 66 11 22 12 66 66 2 2 11 22 11 22 ( 4 )( 3 4 ) ( 4 ) m m B B B B B B B B B B B B B B B B B B             . Из (4.6) следует, что при 0m  уравнения (1.13) и (1.19) распадаются на уравнения 3( ) 0; ( ) 0; ( ) 0.m m m mP B K     (4.8) Из них первые два – дисперсионные уравнения планарных и изгибных колебаний в аналогичной задаче для ортотропной прямоугольной пластинки со свoбодным и 53 тремя жестко защемленными сторонами (см. (2.17) и (3.15)). Корням третьего уравне- ния соответствуют планарные колебания цилиндрической оболочки. Третье уравне- ние появляется в результате использования уравнения соответствующей классической теории ортотропных цилиндрических оболочек. Если 1 2,y y и 3 4,y y – корни уравнения (4.1) и (4.2) с отрицательными дейст- вительными частями, соответственно, то при *m l  yравнения (1.19) и (4.6) преоб- разуются в уравнение 8 2 2 11 66 1 2 3 2, 1 / ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ij m m m m m m m m mi j Det m B B N K K K Q        42 1 ( ) (exp( )) 0.m jj O O z    (4.9) Из (4.9) следует, что при 0m  и *m l  дисперсионное уравнение (1.19) рас- падается на уравнения 2 2 2 66 12 1 3 4 3 4 11 11 ( ) 4 0m m B B K y y y y B B           ; (4.10) 2 2 2 211 22 12 2 1 2 11 66 ( ) (1 ) 0m m m m m B B B K y y B B                ; (4.11) 2 2 4 4 3 1 * 2 * 3( ) ( ) ( ) ( ) 0m m m m mK N a m N a m N       ; (4.12) 266 2 1 2 11 ( ) (1 ) 0m m m B Q y y B      . (4.13) Уравнения (4.10) и (4.11) являются дисперсионными уравнениями изгибных и планарных колебаний полубесконечной ортотропной пластинки-полосы со свобод- ным торцом при наличии жесткого защемления на боковых краях, соответственно (см. (2.18) и (3.16)). Уравнение (4.13) соответствует тому, что другой торец цилинд- рической оболочки жестко защемлен. Следовательно, при малых m и больших *m l приближенные значения корней уравнения (1.19) являются корнями уравнения (4.10) – (4.13) (ср. табл. 1,2,3). 4.2. Асимптотикa дисперсионного уравнения (1.19) при l  . При использо- вании предыдущих формул полагаем, что 1 2 3, ,   и 4 (корни уравнения (1.8)) имеют отрицательные действительные части. Тогда уравнение (1.19) можно привести к виду 8 4 8 4 1, 1 , 1 , 5 (exp( )) 0ij ij ij jji j i j i j Det m Det m Det m O k l       , (4.14) откуда следует, что при *m l  уравнение (1.19) распадается на уравнения 4 8 , 1 , 5 0; 0.ij iji j i j Det m Det m     (4.15) Первое из них, при m N , определяет всевозможные локализованные собствен- ные колебания у свободного торца полубесконечной ортотропной круговой цилинд- рической оболочки открытого профиля при наличии жесткого защемления на гранич- ных образующих. Если 0m  , имеем  4 2 1 2 3, 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ij m m m m m m m mi j Det m N K K K O        ; (4.16) 54  8 2 11 66 3 2, 5 / ( ) ( ) ( ) ( )ij m m m m m mi j Det m B B N K Q O       . (4.17) Учитывая формулы (4.14), (4.16) и (4.17), заключаем, что дисперсионное уравне- ние (1.19) принимает вид (4.9). §5. Численные исследования. В табл. 1 приведены значения некоторых корней ( )m первых двух уравнений из (4.8) для прямоугольной пластинки из стеклопластика с параметрами (вариант I) 32, 4 10   кг/М 3 ; 10 1 6,37 10   Н/М 2 ; 10 6 2 1,47 10 ; 4,9 10G     ; 1v =0,26; 2v =0,06 (5.1) и изотропного материала с коэффициентом Пуассона 1 / 3  (вариант II) при 1 / 50;h  / 4; 15, 5k l  . Заметим, что для изотропного материала имеем равенства 66 6612 12 11 22 11 22 1 , 2 B BB B B B B B       . (5.2) Следовательно, чтобы использовать полученные характеристические и дисперси- онные уравнения можно в них формально подставить 11 22 1;B B  12 ;B  66B = (1 ) / 2  . В качестве характеристики коэффициентов затухания, для планарных и изгибных колебаний, соответственно, приведены следующие величины:    0 * 1 2 0 * 3 4/ max Re , Re ; / max Re , Rek m k y k y k m k y k y   . (5.3) Численный анализ показывает, что у свободного края прямоугольной пластинки, когда остальные три стороны жестко защемлены, могут появляться локализованные колебания планарного и изгибного типов. При *m l  частоты планарного и изгибного локализованного колебания у сво- бодного края прямоугольной пластинки стремятся к частотам планарных и изгибных локализованных колебаний полубесконечной пластинки-полосы, соответственно. В табл. 2 приведены некоторые безразмерные характеристики собственных значе- ний */ m и характеристики коэффициентов затухания соответствующих форм 0 */k m для ортотропных цилиндрических оболочек открытого профиля из стекло- пластика с механическими параметрами (5.1) (вариант I) и изотропного материала с коэффициентом Пуассона 1 / 3  (вариант II) с геометрическими параметрами: 40;R  0 0,0637;r  0,7851; 1/ 50; 4k h b   ( b – расстояние между граничными образующими); 15l  . Результаты, представленные в табл. 3, соответствуют цилиндрической оболочке открытого профиля из стеклопластика с механическими параметрами (5.1) (вариант I) и изотропного материала с коэффициентом Пуассона 1 / 3  (вариант II) с теми же геометрическими параметрами, что в табл. 2, но при 5l  . В качестве характеристики коэффициентов затухания приведены значения следующих величин:  0 * 1 2 3 4/ max Re , Re , Re , Rek m k x k x k x k x  . (5.4) 55 Таблица 1 ( ) 0, 15mP l   ( ) 0, 5mP l   ( ) 0, 15mB l   ( ) 0, 5mB l   Вариант m m 0 */ mk m  0 */ mk m  0 */ mk m  0 */ mk m  2 1,9627 -0,0409 0,9841 3 2,7477 -0,0418 0,9833 4 3,5328 -0,0431 0,9823 -0,0163 0,9975 5 4,3179 -0,0432 0,9822 -0,0241 0,9945 -0,0057 0,0460 13 10,598 -0,0433 0,9821 -0,0430 0,9824 -0,0137 0,1093 14 11,383 -0,0433 0,9821 -0,0431 0,9822 -0,0138 0,1122 -0,0024 0,1122 15 12,169 -0,0433 0,9821 -0,0432 0,9822 -0,0138 0,1252 0,0042 0,1251 20 16,094 -0,0433 0,9821 -0,0433 0,9821 -0,0138 0,1597 -0,0114 0,1597 100 70,900 -0,0433 0,9821 -0,0433 0,9821 -0,0138 0,7928 -0,0138 0,7928 110 86,750 -0,0433 0,9821 -0,0433 0,9821 -0,0138 0,8719 -0,0138 0,8719 118 93,031 -0,0433 0,9821 -0,0433 0,9821 -0,0138 0,9352 -0,0138 0,9352 119 93,816 -0,0433 0,9821 -0,0433 0,9821 -0,0138 0,9482 -0,0138 0,9482 120 94,601 -0,0433 0,9821 -0,0433 0,9821 -0,0138 0,9510 -0,0138 0,9511 125 98,526 -0,0433 0,9821 -0,0433 0,9821 -0,0138 0,9957 -0,0138 0,9957 I 130 102,45 -0,0433 0,9821 -0,0433 0,9821 -0,0138 1,0302 -0,0138 1,0302 1 1,1825 -0,3089 0,9194 -0,2452 0,9500 2 1,9627 -0,3089 0,9194 -0,3086 0,9196 -0,0413 0,0169 3 2,7477 -0,3089 0,9194 -0,3088 0,9195 -0,0422 0,0298 4 3,5328 -0,3089 0,9194 -0,3088 0,9194 -0,0436 0,0326 -0,0143 0,0327 5 4,3179 -0,3089 0,9194 -0,3089 0,9194 -0,0436 0,0455 -0,0233 0,0456 13 10,598 -0,3089 0,9194 -0,3089 0,9194 -0,0437 0,1082 -0,0434 0,1082 14 11,383 -0,3089 0,9194 -0,3089 0,9194 -0,0437 0,1110 -0,0436 0,1110 15 12,169 -0,3089 0,9194 -0,3089 0,9194 -0,0437 0,1239 -0,0436 0,1239 20 16,094 -0,3089 0,9194 -0,3089 0,9194 -0,0437 0,1580 -0,0437 0,1580 100 70,900 -0,3089 0,9194 -0,3089 0,9194 -0,0437 0,7844 -0,0437 0,7844 110 86,750 -0,3089 0,9194 -0,3089 0,9194 -0,0437 0,8626 -0,0437 0,8626 118 93,031 -0,3089 0,9194 -0,3089 0,9194 -0,0437 0,9253 -0,0437 0,9253 119 93,816 -0,3089 0,9194 -0,3089 0,9194 -0,0437 0,9382 -0,0437 0,9382 120 94,601 -0,3089 0,9194 -0,3089 0,9194 -0,0437 0,9409 -0,0437 0,9409 125 98,526 -0,3089 0,9194 -0,3089 0,9194 -0,0437 0,9851 -0,0437 0,9851 130 102,45 -0,3089 0,9194 -0,3089 0,9194 -0,0437 1,0192 -0,0437 1,0192 220 173,11 -0,3089 0,9194 -0,3089 0,9194 -0,0437 1,7232 -0,0437 1,7232 II 240 188,81 -0,3089 0,9194 -0,3089 0,9194 -0,0437 1,8797 -0,0437 1,8797 56 В табл. 2 и 3 после характеристик собственных частот указан тип колебаний: b – преимущественно изгибный; e – преимущественно планарный, n-новый тип колеба- ний. Модули упругости 1 и 2 соответствуют направлениям вдоль образующей и на- правляющей, соответственно. В табл. 2 и 3 случай 1 2 3      соответствует за- даче (1.1) – (1.4). Случай 1 2 30,      соответствует задаче (1.1) – (1.4), в кото- рой отсутствует тангенциальная компонента силы инерции, т.е. имеем преимущест- венно изгибный тип колебаний. Аналогично, случай 1 2 3, 0      соответствует преимущественно планарному типу. Вычисления показывают, что первые частоты собственных колебаний, локализованных у свободного края цилиндрических оболо- чек, где присутствует нормальная компонента силы инерции, являются частотами колебаний преимущественно изгибного типа. Наряду с первыми частотами колебаний квазипоперечного типа существуют частоты незатухающих колебаний квазитанген- циального типа. С увеличением m эти колебания становятся колебаниями “рэлеев- ского” типа. Из анализа полученных численных результатов следует, что при 0m  собст- венные колебания (задачи (1.1) – (1.4)) расчленяются на квазипоперечные и квазитан- генциальные колебания, а частоты этой задачи стремятся к частотам аналогичной за- дачи для прямоугольной пластинки. С увеличением m колебания квазипоперечного типа становятся незатухающими, а безразмерные характеристики m собственной частоты квазитангенциальных коле- баний стремятся к корню уравнения Рэлея (4.11) (для стеклопластика: (2) m  0,9821, а для изотропного материала: (2) m  0,9194 ). При *m l  собственные частоты зада- чи (1.1) – (1.4) стремятся к собственным частотам колебаний локализованных у сво- бодного края полубесконечной цилиндрической оболочки открытого профиля при наличии жесткого защемления на граничных образующих. В зависимости от параметра 2 2 *а m появляются не более двух новых типов коле- баний, характерных только для цилиндрических оболочек и обусловленных продоль- ными и крутильными компонентами силы инерции. Отметим, что число новых типов локализованных колебаний у свободного торца цилиндрической оболочки может со- кратиться, когда оболочка изготовлена из ортотропного материала. При преимущественно тангенциальном типе колебаний цилиндрических оболочек 1 2(   3, 0   ), кроме планарного колебания "рэлеевского" типа, могут появить- ся не более, чем два новых колебания, также обусловленных продольными и крутиль- ными компонентами силы инерции. Заметим также, что при отсутствии нормальной компоненты силы инерции, тангенциальные локализованные колебания появляются при более малых значениях m . При увеличении m собственные частоты и соответствующие коэффициенты за- тухания задачи (1.1) – (1.4) стремятся к собственным частотам и коэффициентам за- тухания консольной цилиндрической оболочки открытого профиля с шарнирно за- крепленными граничными образующими (см. табл. 1, 2 из [18]). В таблицах параметры незатухающих колебаний не приведены, а там, где не об- наружены частоты затухающих колебаний, ячейки пустуют. Появление локализован- ных колебаний у свободного торца цилиндрической оболочки и процесс затухания по толщине оболочки зависит от типа колебаний, геометрических и физических пара- метров. Колебания квазипоперечного типа, в основном, затухают медленнее, чем ос- тальные типы колебаний. Численные результаты показывают, что асимптотические формулы (4.6) и (4.9) дисперсионного уравнения (1.19) являются хорошим ориенти- ром для вычисления собственных частот задачи (1.1) – (1.4). 57 Таблица 2 1 2 3      1 2 30,      1 2 3, 0      Вариант m m 3 ( ) 0m mK   0 */ mk m  0 */ mk m  0 */ mk m  2 1,96268 -0,0767 0,9582 e 3 2,74775 -0,0493 0,9776 e 4 3,53282 -0,0452 0,9807 e 5 4,31789 -0,0055 0,0460 b -0,0560 0,0460 b -0,0442 0,9814 e 20 8,24324 -0,0135 0,0805 b -0,0135 0,0805 b -0,0433 0,9821 e 100 78,8996 -0,0137 0,7925 b -0,0138 0,7925 b -0,0433 0,9821 e 110 86,7503 -0,0133 0,8716 b -0,0138 0,8716 b -0,0433 0,9821 e -0,2201 0,2210 n -0,2201 0,2210 n 118 93,0308 0,2210 -0,0138 0,9347 b -0,0138 0,9349 b -0,0433 0,9821 e 120 94,6010 0,3441 -0,2121 0,3441 n -0,0138 0,9507 b -0,0138 0,9507 b -0,2121 0,3441 n -0,0433 0,9821 e 125 98,5263 0,5088 -0,1949 0,5088 n -0,0138 0,9953 b -0,0433 0,9821 e -0,0138 0,9953 b -0,1949 0,5088 n -0,0433 0,9821 e I 130 102,452 06482 -0,1729 0,6482 n -0,0433 0,9821 e -0,0138 1,0298 b -0,1729 0,6482 n -0,0433 0,9821 e 1 1,1825 -0,0545 0,5208 e 2 1,9627 -0,0435 0,0169 b -0,0407 0,0169 b -0,0693 0,9712 e 3 2,7477 -0,0419 0,0298 b -0,0418 0,0298 b -0,3501 0,9056 e 4 3,5328 -0,0435 0,0326 b -0,0435 0,0326 b -0,3632 0,9156 e 5 4,3179 -0,0436 0,0455 b -0,0436 0,0455 b -0,3351 0,9173 e 20 16,094 -0,0437 0,1579 b -0,0437 0,1579 b -0,3088 0,9194 e 100 70,900 -0,0437 0,7840 b -0,0437 0,7840 b -0,3088 0,9194 e 110 86,750 -0,0437 0,8623 b -0,0437 0,8623 b -0,3088 0,9194 e 118 93,031 -0,0743 0,9194 e -0,3088 0,9194 e -0,0437 0,9249 b -0,0437 0,9249 b 120 94,601 -0,1248 0,9194 e -0,3088 0,9194 e -0,0437 0,9406 b -0,0437 0,9405 b 125 98,526 -0,2076 0,9194 e -0,3088 0,9194 e -0,0437 0,9847 b -0,0437 0,9847 b 130 102,45 -0,2475 0,9194 e -0,3088 0,9194 e -0,0437 1,0188 b 220 173,11 0,0266 -0,7540 0,0268 n -0,7547 0,0268 n 0,0421 -0,7531 0,0421 n -0,7547 0,0421 n -0,3089 0,9194 e -0,0437 1,7232 b -0,3089 0,9194 e 240 188,81 0,2535 -0,7227 0,2535 n -0,7560 0,2535 n 0,4063 -0,6903 0,4063 n -0,7173 0,4063 n II -0,3089 0,9194 e -0,0437 1,8797 b -0,3089 0,9194 e 58 Таблица 3 1 2 3      1 2 30,      1 2 3, 0      Вариант m m 3 ( ) 0m mK   0 */ mk m  0 */ mk m  0 */ mk m  4 3,53282 -0,0225 0,9953 e 5 4,31789 -0,0263 0,9935 e 14 11,3835 -0,0431 0,9822 e 15 12,1686 -0,0042 0,1251 b -0,0042 0,1251 b -0,0432 0,9822 e 20 16,0939 -0,0114 0,1596 b -0,0114 0,1596 b -0,0433 0,9821 e 100 78,8996 -0,0138 0,7925 b -0,0138 0,7925 b -0,0433 0,9821 e 110 86,7503 -0,0138 0,8716 b -0,0138 0,8716 b -0,0433 0,9821 e -0,2201 0,2210 n -0,2201 0,2210 n 118 93,0308 0,2210 -0,0138 0,9349 b -0,0138 0,9349 b -0,0433 0,9821 e 120 94,6010 0,3441 -0,2121 0,3441 n -0,0138 0,9507 b -0,0138 0,9507 b -0,2121 0,3441 n -0,0433 0,9821 e 125 98,5263 0,5088 -0,1949 0,5088 n -0,0433 0,9821 e -0,0138 0,9953 b -0,0138 0,9953 b -0,1949 0,5088 n -0,0433 0,9821 e I 130 102,452 0,6482 -0,1729 0,6482 n -0,0433 0,9821 e -0,0138 1,0298 b -0,1729 0,6482 n -0,0433 0,9821 e 2 1,9627 -0,2177 0,8805 e 3 2,7477 -0,3501 0,9056 e 4 3,5328 -0,0139 0,0327 b -0,0139 0,0327 b -0,3632 0,9156 e 5 4,3179 -0,0231 0,0456 b -0,0231 0,0456 b -0,3351 0,9173 e 20 16,094 -0,0437 0,1579 b -0,0437 0,1579 b -0,3088 0,9194 e 100 70,900 -0,0437 0,7840 b -0,0437 0,7840 b -0,3088 0,9194 e 110 86,750 -0,0437 0,8623 b -0,0437 0,8623 b -0,3088 0,9194 e 118 93,031 -0,0743 0,9194 e -0,3088 0,9194 e -0,0437 0,9249 b -0,0437 0,9249 b 120 94,601 -0,1248 0,9194 e -0,3088 0,9194 e -0,0437 0,9406 b -0,0437 0,9405 b 125 98,526 -0,2076 0,9194 e -0,3088 0,9194 e -0,0437 0,9847 b -0,0437 0,9847 b 130 102,45 -0,2475 0,9194 e -0,3088 0,9194 e -0,0437 1,0188 b 220 173,11 0,0266 -0,7540 0,0268 n -0,7547 0,0268 n 0,0421 -0,7531 0,0421 n -0,7547 0,0421 n -0,3089 0,9194 e -0,0437 1,7232 b -0,3088 0,9194 e 240 188,81 0,2535 -0,7227 0,2535 n -0,7560 0,2535 n 0,4063 -0,6903 0,4063 n -0,7173 0,4063 n II -0,3089 0,9194 e -0,0437 1,8797 b -0,3088 0,9194 e 59 §6. Приложение. Ниже приведены аналитические выражения для элементов ijm (1.19): 4 2 11 1 1 1 2 12 3 1 1 13 2 1 14; ; ,; ;m Hx d x d m Hf d f m Hf d m Hf        5 3 21 1 3 1 4 1 22 4 3 2 4 23 3 3 1 24 2 3; ; ; ;m Tx d x d x m Tf d f d m Tf d f m Tf d          6 4 2 31 1 5 1 6 1 7 32 5 5 3 6 1; ;m mm x d x d x d m f d f d f        33 4 5 2 6 34 3 5 1; ;m mm f d f d m f d f      7 5 3 41 1 8 1 9 1 10 1 42 6 8 4 9 2 10; ;m mm x d x d x d x m f d f d f d         2 2 2 43 5 8 3 9 1 44 4 8 2 9; ; 1 4 ;m m m mm f d f d f m f d f d a m           1 1 5 1 1 6 2 2 1 1 2( 1) exp( ); ( 1) ( exp( ) [ ]);i i i i i i im m z m m z m z z      1 7 3 3 2 2 3 1 1 2 3( 1) ( exp( ) [ ] [ ]);i i i i im m z m z z m z z z    1 8 4 4 3 3 4 2 2 3 4 1 1 2 3 4( 1) ( exp( ) [ ] [ ] [ ]), 1, 4;i i i i i im m z m z z m z z z m z z z z i      (6.1) 3 51 1 1 2 1 52 1 2 2 53 1 1 2 1 54 1; ; ; ;n x x n f n f x n             4 2 61 1 3 1 4 62 3 3 1 63 2 3 64 1; ; ; ;n Fx x n Ff f n Ff n Ff           4 2 71 1 5 1 6 72 3 5 1 73 2 5 74 1; ; ; ;m m m mn x x n f f n f n f               5 3 81 1 5 1 5 1 82 4 5 2 6 83 3 5 1 84 2 5; ; ; ;m m m mn x x x n f f n f f n f                   1 1 1 4 4 4 3 3 4 2 2 3 4 1 1 2 3 4exp( ); exp( ) [ ] [ ] [ ];i i i i i i im n z m n z n z z n z z z n z z z z     2 2 2 1 1 2 3 3 3 2 2 3 1 1 2 3exp( ) [ ]; exp( ) [ ] [ ], 5,8;i i i i i i im n z n z z m n z n z z n z z z i      54 5 64 6 74 7 84 8; ; ; , 1, 4;j j j j j j j jm n m n m n m n j          2 2 2 2 2 2 2 2 212 66 12 6612 * * * * 11 66 66 4 4 ; ; 1 4 ; ;m m m B B B BB H a m T a m a m F a m B B B              2 2 2 2 2 212 66 12 6611 22 12 1 1 * 12 2 2 11 11 11 4 (1 )m m m B B B BB B B d a m B B B            2 2 2 2* 11 22 12 12 66 12 12 66 12 11 4 ( 4 ) ;m a m B B B B B B B B B      2 2 2 2 212 2 1 66 2 * 222 11 (1 )( (1 ))m m m B d B a m B B       ; 2 2 2 2 2 4 4 2 211 22 12 12 12 12 3 * 1 2 1 * 1 11 66 11 11 11 3 4 4 (1 )m m m m m B B B B B B d a m B a m B B B B B                  ; 2 2 2 2 2 2 222 12 66 6622 12 22 4 1 2 * 1 2 1 11 11 11 66 11 11 ( 4 ) 3 4 (1 )m m m m m B B B BB B B d a m B B B B B B                 2 2 2 212 6622 * 1 11 66 ( 4 ) 4 ;m m B BB a m B B          2 2 2 2 2 266 12 66 66 5 1 2 1 * 1 1 11 11 11 4 4 m m m m B B B B d B a m B B B B                ; 2 2 2 2 222 11 22 12 12 6 * 1 12 1111 22 ( ) (1 )m m B B B B B d a m B BB B            – 60 2 211 22 12 66 12 66 1 22 1111 m m B B B B B B BB             2 2 2 2 266 6622 12 12 22 22 1 2 2 7 1 2 11 11 11 11 11 11 11 ; (1 ) ;m m m m m B BB B B B B B d B B B B B B B                  2 2 2 2 2 266 66 66 12 66 8 1 2 1 * 2 1 11 11 11 11 4 4 2 4 m m m m B B B B B d B a m B B B B B                 ; 2 2 2 2 266 11 22 12 66 66 12 66 12 66 9 1 2 1 2 22 11 11 1111 4 5 ( 4 ) m m m m B B B B B B B B B B d B B B BB              2 2 2 2 211 22 12 12 66 12 6622 * 1 12 11 1111 4 ( 4 ) (1 ) ;m m B B B B B B BB a m B B BB            2 2 212 66 6622 22 10 1 2 11 11 11 11 4 (1 ) ;m m m B B BB B d B B B B             2 2 12 66 12 6612 1 * 11 11 66 ( )( 4 ) ;m B B B BB a m B B B       2 2 2 2 2 222 12 6622 12 22 12 2 2 * * 11 11 11 66 11 66 ( ) m m B B BB B B B a m a m B B B B B B         ; 2 2 2 2 2 222 11 12 66 66 12 66 3 1 * * 1 11 66 11 4 4 ;m B B B B B B B B a m a m B B B         2 2 222 4 * 1 11 (1 )(1 );m B a m B      2 2 2 2 2 266 6622 5 1 2 2 * 1 11 66 11 4 (1 ) ;m m m m B BB B a m B B B                 2 2 2 2 26622 22 6 1 2 * 11 11 11 (1 ) .m m m BB B a m B B B              Заключение. Таким образом, в данной статье исследован вопрос существования собственных колебаний тонкой упругой ортотропной круговой незамкнутой цилиндрической обо- лочки со свободным торцом и тремя жестко защемленными краями. С использовани- ем системы уравнений соответствующей классической теории ортотропных цилинд- рических оболочек получены дисперсионные уравнения для нахождения собственных частот возможных типов колебаний. Установлена асимптотическая связь между дис- персионными уравнениями рассматриваемой задачи и аналогичной задачи для орто- тропной прямоугольной пластинки. Доказана также асимптотическая связь между дисперсионными уравнениями рассматриваемой задачи и задачи на собственные зна- чения полубесконечной ортотропной цилиндрической оболочки открытого профиля со свободным торцом, при наличии жесткого защемления на граничных образующих. На примерах незамкнутых ортотропных и изотропных цилиндрических оболочек с разными длинами получены приближенные значения безразмерной характеристики собственной частоты и характеристики затухания соответственных форм колебаний. 61 Р Е ЗЮМ Е . Досліджено власні коливання тонкої пружної ортотропної кругової незамкненої циліндричної оболонки (панелі) з вільним торцем і трьома жорстко закріпленими краями. На основі системи рівнянь відповідної класичної теорії ортотропних циліндричних оболонок отримано диспер- сійне рівняння для визначення власних частот можливих типів коливань. Встановлено асимптотич- ний зв’язок між дисперсійними рівняннями задачі, що розглядається і аналогічної задачі для ортот- ропної прямокутної пластинки. Доведено асимптотичний зв’язок між дисперсійними рівняннями задачі, що розглядається і задачі на власні значення напівнескінченної ортотропної циліндричної оболонки відкритого профілю з вільним торцем, за наявності жорсткого закріплення на граничних твірних. На прикладах незамкнених ортотропних та ізотропних циліндричних оболонок з різними довжинами отримано наближені значення безрозмірної характеристики власної частоти і характерис- тики затухання відповідних форм коливань. 1. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. – М.: Наука, 1974. – 446с. 2. Белубекян М.В., Енгибарян И.А. Волны, локализованные вдоль свободной кромки пластинки с ку- бической симметрией // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 1996. – № 6. – С. 139 – 143. 3. Беспалова Е.И. К решению стационарных задач теории пологих оболочек обобщенным методом Канторовича – Власова // Прикл. механика. – 2008. – 44, № 11. – С. 99 – 111. 4. Беспалова Е.И. Решение задач теории упругости методами полных систем // Журн. вычислит. ма- тематики и мат. физики. – 1989. – 29, № 9. – С. 1346 – 1353. 5. Власов В.З. Новый практический метод расчета складчатых покрытий и оболочек // Строит. про- мышленность. – 1932. – № 11. – С. 33 – 38; № 12. – С. 21 – 26. 6. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. – М.: Наука, 1979. – 383 с. 7. Григоренко А.Я., Пархоменко А.Ю. Свободные колебания пологих прямоугольных в плане нетонких оболочек переменной толщины // Прикл. механика – 2010. – 46, № 7. – С. 50 – 64. 8. Григоренко Я.М., Григоренко А.Я., Захарийченко Л.И. Исследование вляния геометрических пара- метров на напряженное состояние цилиндрических оболочек с гофрированным эллиптическим поперечным сечением // Прикл. механика. – 2009. – 45, № 2. – С. 91 – 98. 9. Григоренко Я.М. Решение краевых задач о напряженном состоянии упругих тел сложной геомет- рии и структуры с применением дискретных рядов Фурье // Прикл. механика. – 2009. – 45, № 5. – С. 3 – 51. 10. Гулгазарян Г.Р., Лидский В.Б. Плотность частот свободных колебаний тонкой анизотропной обо- лочки, составленной из анизотропных слоев // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1982. – № 3. – С. 171 – 174. 11. Канторович Л.В. Один прямой метод приближенного решения задачи о минимуме двойного ин- теграла // Изв. АН СССР. Отд-ние мат. и естеств. наук – 1933. – № 5. – С. 647 – 653. 12. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. – М.: Наука, 1970. – 510 с. 13. Прокопов В.Г., Беспалова Е.И., Шеренковский Ю.В. Метод сведения к oбыкновенным дифферен- циальным уравнениям Л.В. Канторовича и общий метод решения многомерных задач теплопе- реноса // Инж.-физ. журн. – 1982. – 42, № 6. – С. 1007 – 1013. 14. Grigorenko A.Ya., Yaremchenko N.P. Stress – Strain State of Shallow Shells with Rectangular Plane form and Varying Thickness // Int. Appl. Mech. – 2007. – 41, N 10. – P. 1132 – 1141. 15. Grigorenko Ya.M., Yaremchenko S.N. Analysis of an Effect of Orthotropy Parameters on Displacements and Stresses in Nonthin Cylindrical Shells with Elliptic Cross Section // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 6. – P. 654 – 661. 16. Grinchenko V.T. Wave Motion Localization Effects in Elastic Waveguides // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 9. – P. 988 – 994. 17. Gulgazaryan G.R., Gulgazaryan L.G., Saakyan R.D. Тhe vibrations of a thin elastic orthotropic circular cylindrical shell with free and hinged edges // J. Appl. Math. and Mech. – 2008. – 72, N 3. – P. 453 – 465. 18. Gulgazaryan G.R. Natural Vibrations of a Cantilever thin Elastic Orthotropic Cylindrical Shell // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N 5. – P. 534 – 554. 19. Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu., Wilde M.V. Free Localized Vibrations of a Semi-infinite Cylindrical Shell // J. Acoust. Soc. Amer. – 2000. – 107, N 3. – P. 1383 – 1393. 20. Thompson I., Abrahams I.D. On the existence of flexural edge waves on thin orthotropic plates // J. Acoust. Soc. Amer. – 2002. – 112, N 5. – P. 1756 – 1765. Поступила 11.10.2010 Утверждена в печать 06.06.2013

Схожі ресурси