О движении точки, стесненной плоской симметричной связью
На однопараметричній множині замкнених плоских в'язей, що мають чотири осі симетрії, побудовано систему неперервних процесів з періодами T є √2,8}. Ці процеси виражають значення декартових координат рухомої точки як функцій пройденого шляху. Виявлено 2π періодичні процеси, що відрізняються від...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87803 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О движении точки, стесненной плоской симметричной связью / Н.П. Плахтиенко // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 122-138. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859519578372046848 |
|---|---|
| author | Плахтиенко, Н.П. |
| author_facet | Плахтиенко, Н.П. |
| citation_txt | О движении точки, стесненной плоской симметричной связью / Н.П. Плахтиенко // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 122-138. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | На однопараметричній множині замкнених плоских в'язей, що мають чотири осі симетрії, побудовано систему неперервних процесів з періодами T є √2,8}. Ці процеси виражають значення декартових координат рухомої точки як функцій пройденого шляху. Виявлено 2π періодичні процеси, що відрізняються від класичних тригонометричних знаком кривизни в кожній точці її існування. Обчислено асимптотичні 2³ періодичні процеси і застосовано в задачі про рух матеріальної точки по замкнутій плоско-ребристій поверхні. Вказано спосіб побудови неперервних еволюційних процесів гіперболічного типу, аргументами яких є довжини дуг розімкнених ліній з парою осей симетрії. Встановлено зв'язок диференціала дуги плоскої кривої з лагранжіаном простої динамічної системи ненатурального типу. Побудовано нелінійну динамічну систему другого порядку, частинними розв'язками якої можуть бути Т-періодичні або еволюційні процеси гіперболічного типу, що залежать від початкових значень.
On the one-parametric set of closed plane constraints with four symmetry axes, the system of continuous processes with periods T є √2,8}. is constructed. They express the values of Cartesian coordinates of the moving point as the functions of passed distance. The 2π – periodic processes are revealed, which are differing from the classical trigonometrical process by the curvature sign in every point of its existence. The asymptotic 2³-periodic processes are evaluated and they are applied to the problem on motion of the material point over the closed plane-ribbed surface. A way is shown to construct the continuous evolution processes of hyperbolic type, which arguments are the lengths of arcs of open lines with a pair of symmetry axes. A link is established between the differential of plane curve with Lagrangian of the simple dynamical system of non-natural type. A nonlinear dynamical system of the second order is built, the partial solution of which can be T periodic or evolution processes of hyperbolic type, what depends on the initial values.
|
| first_indexed | 2025-11-25T20:53:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 5
122 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 5
Н .П .Пл а х т и е н к о
О ДВИЖЕНИИ ТОЧКИ, СТЕСНЕННОЙ ПЛОСКОЙ
СИММЕТРИЧНОЙ СВЯЗЬЮ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестeрова, 3, 03057, Киев, Украина;e-mail: model@inmech.kiev.ua
Abstract. On the one-parametric set of closed plane constraints with four symmetry
axes, the system of continuous processes with periods 4 2 ,8T is constructed. They
express the values of Cartesian coordinates of the moving point as the functions of passed
distance. The 2π – periodic processes are revealed, which are differing from the classical
trigonometrical process by the curvature sign in every point of its existence. The asymptotic
222-periodic processes are evaluated and they are applied to the problem on motion of the
material point over the closed plane-ribbed surface. A way is shown to construct the con-
tinuous evolution processes of hyperbolic type, which arguments are the lengths of arcs of
open lines with a pair of symmetry axes. A link is established between the differential of
plane curve with Lagrangian of the simple dynamical system of non-natural type. A nonlin-
ear dynamical system of the second order is built, the partial solution of which can be T-
periodic or evolution processes of hyperbolic type, what depends on the initial values.
Key words: closed symmetric constraints, 222-periodic and evolution processes of hy-
perbolic type, Lagrangian of the simple dynamical system of non-natural type.
Введение.
Периодические процессы и симметрические геометрические структуры широко
распространены в объектах физической и механической природы. Классическими
примерами периодических процессов в природе являются движения планет солнеч-
ной системы, рассматриваемые как точечные массы для орбитальных перемещений
или абсолютно твердые тела при их вращательных движениях относительно фикси-
рованной в пространстве оси или точки. В качестве природных симметричных струк-
тур, описываемых периодическими зависимостями, можно указать на кристалличе-
ские объекты, включающие фуллерены. Они составляют основу современной физики
твердого тела и наномеханики материалов [2, 12].
Математическим аппаратом исследования циклических движений материальных
систем и симметричных пространственных объектов являются классические (круго-
вые, сферические, эллиптические) и другие специальные аналитические функции.
Поэтому теория периодических и циклических процессов является наиболее разрабо-
танной в современном динамическом анализе дискретных и непрерывных физико-
механических систем [1, 3, 4, 7, 8 , 11, 13]. Однако некоторые задачи математического
моделирования объектов и процессов физико-технических систем требуют также
применения периодических функций некруговой и неаналитической природы. К ним
относятся задачи динамики виброударных и волновых систем; геометрические задачи
об отображении граничных поверхностей сплошных упругих объектов машинострое-
ния, жилищного и промышленного строительства, кристаллографии, включая на-
нокристаллические совокупности. Неаналитические периодические функции удобны
для моделирования колебательных процессов движения механических систем под
123
действием разрывных нагрузок [3, 6]. Они полезны в задачах параметризации замк-
нутых плоско-ребристых поверхностей твердых тел, включая плоские и пространст-
венные фуллерены углеродного типа.
Цель данной работы состоит в расширении класса элементарных периодических и
эволюционных процессов, пригодных для математического моделирования некото-
рых неклассических физико-механических задач.
§1. Кинематический способ задания движения точки по симметричной связи.
Рассмотрим на плоскости Oxy однопараметрическое семейство конечных связей
( , , ) 1 0
p p
F x y p y x ( 0 p ). (1.1)
На рис. 1 показаны кривые (1.1) для
трех различных значений параметра
1 2 3: 0,5615; 1; 2p p p p . Перемен-
ные ,x y и параметр p в (1.1) являются
безразмерными величинами.
С уравнением (1.1) связано три группы
симметрий: 2 , 2 ,L P C . Группа 2L означа-
ет, что при повороте этих линий на угол
относительно перпендикулярной к плос-
кости Oxy оси, проходящей через точку
O , повернутые линии совмещаются с не-
подвижными линиями. Кривые (1.1) име-
ют также 2 линии симметрии: 0, 0x y .
Группа 2Р связана с инвариантностью
уравнения (1.1) при замене ,x x y y .
Далее имеем группу симметрий ( C ), когда каждой точке ( , )A x y линии (1.1) отвечает
центрально симметричная ей точка ( , )A x y .
Применительно к области изменения аргумента x формулу (1.1) следует исполь-
зовать раздельно. Для области 1( 1)D x она принимает вид
1
p p
x y , (1.2)
а в области 2 ( 1)D x , соответственно, имеем
1
p p
x y . (1.3)
Уравнения (1.2) описывают замкнутые линии более высокого уровня симметрии
4 4L PC . Они могут порождать периодические процессы при движении изображаю-
щей точки по замкнутым траекториям при задании ее декартовых координат ,x y как
функций пройденного пути. Соотношение (1.3) описывает разомкнутые линии, кото-
рые включают гиперболу при 2p и могут порождать эволюционные (непериодиче-
ские) функции типа гиперболических.
В точках | | 1x линии из областей 1 2,D D с одинаковым параметром p гладко
смыкаются, но при переходе точки с замкнутой на разомкнутую ветвь кривой (1.1) и
наоборот кривизна траектории претерпевает скачкообразный разрыв. Линия при
1p , содержащаяся в объединенной области 1 2D D D , является единой и знако-
вой. Она разделяет линии с противоположными знаками их кривизны.
Далее, развивая подход работ [6, 7], вычислим периодические процессы на замк-
нутых кривых (1.2), включая их предельное (асимптотическое) значение. Определим
Рис. 1
124
также эволюционные процессы на разомкнутых траекториях. Воспользуемся извест-
ными представлениями кинематики точки на плоскости. Поскольку точка на линиях
(1.2) плоскости Oxy имеет одну степень свободы, в качестве обобщенной координаты
выберем длину дуги (пути) , который она проходит в направлении против движе-
ния часовой стрелки. Начало отсчета длины пути выберем в точке 0, 1y x . При
прохождении траекторий (1.2) по часовой стрелке параметр примем отрицатель-
ным. Вычислим длину замкнутых линий (1.2). При единичной скорости движения
длина этих линий определяет период обращения точки по замкнутой траектории. За-
тем искомую длину обозначим ( )T T p и вычислим ее как контурный интеграл по
линии (1.2), т.е. T d ; 2 2d dx dy .
Принимая во внимание симметрию замкнутых линий, имеем
1
0
( ) 4 ( , )T T p K x p dx ;
21 1 1
( , ) (1 ) 1
p ppd
K x p x x
dx
. (1.4)
Здесь перед корнем принимаем знак «+», если 0dx и «–» – при 0dx . При 1p
вычислим (1) 4 2T . Для всех 1p интеграл (1.4) не является собственным. При
1p , 1 ( 1, 0)x p x подынтегральная функция имеет разрыв второго рода. Ко-
гда 2p , интеграл (1.4) вычисляем в форме трансцендентного числа (2) 2T , ко-
торое соответствует длине круга единичного радиуса. Во всех других случаях инте-
грал формул (1.4) может быть определен численно.
Для получения высокоточных результатов необходимо исключить точки разрыва
из интервала интегрирования. Воспользуемся симметричностью линий (1.2) относи-
тельно прямой y x . Эта прямая делит дуги траекторий (1.2) в первом и третьем
квадранте на равновеликие дуги в точках, которые имеют абсциссы 1/ *(1/ 2) p y .
Следовательно, для 1p имеем
*
0
( ) 8 ( , )
x
T p K u p du , а при 1p –
1
*
( ) 8 ( , )
x
T p K u p du .
Для кривых (1.2) имеют место такие предельные соотношения: lim ( )
p
T p
0
lim ( ) 8
p
T p
.
На рис. 2 показан график линии ( )T p ,
которая имеет асимптоту 8T и точку ми-
нимума, где
4 2
/ 0
p
dT dp
. Все линии,
параллельные оси абсцисс этого графика при
8 4 2T , пересекают кривую ( )T p в
двух точках, которые назовем эквипериод-
ными. Эквипериодным точкам отвечают
замкнутые линии (1.2) одинаковой длины.
Координаты, вычисленные как функции дли-
ны траектории (1.2), обозначим через
( ) ( , ), ( , ) cos ( , )p Py sip p x p ip p .
Эти функции являются периодическими
по аргументу с периодом ( )pT T p :
Рис. 2
125
( , ) ( , );psip p sip T p cos ( , ) cos ( , )pip p ip T p .
В дальнейшем параметрический аргумент p функций ( , ), cos ( , )sip p ip p бу-
дем иногда опускать. При движении точки по линиям (1) ( )t , где t – параметр
времени, функции ( ( )), ( ( ))p py t x t могут описывать определенные физико-
механические процессы.
Введем также функцию p -тангенса: ( ) ( ) / cos ( )tap sip ip . Эта функция име-
ет период / 2pT , т. е. ( / 2)ptap tap T . Построим функцию ( )rip по формуле
2 2( ) cosrip ip sip , которая определяет расстояние текущей точки траекторий
(1.2) от начала координат, она является периодической с периодом / 4pT ,
( ) ( / 4)prip rip T , но для 2p – ( ) 1rip . Так же, как и для ромбических
функций [6], определенное значение представляют нормированные функции
( ) ( ) / ( )nsip sip rip , cos ( ) cos ( ) / ( )n ip ip rip .
Для введенных функций имеют место такие функциональные тождества:
( ) cos ( ) 1
p p
sip ip ; 2 2( ) cos ( ) 1nsip n ip . (1.5)
Последнее соотношение делает справедливыми классические теоремы синусов и
косинусов для плоских треугольников с заменой тригонометрических функций сину-
сов и косинусов на функции nsip( ), ncosip( ) . Вычисление функций
( ), cos ( )sip ip в окрестности точек пересечения траекторий с осями декартовых
координат осуществляется по формулам, аналогичным формулам приведения для
круговых функций. В дальнейшем используем таблицу, элементы которой являются
также следствием симметрии линий (1.2) с группой 4 4L PC .
( )sip cos ( )ip
/ 4pT cos ( )ip ( )sip
/ 2pT ( )sip cos ( )ip
Аналогичные формулы имеют место и для нормированных функций
( ), ncosip( )nsip .
§2. Интегральные уравнения для множества периодических процессов.
Следуя [7], для построения зависимости ( ) cos ( )x ip исходим из формулы те-
кущей длины траектории (1.2) как функции абсциссы подвижной точки для произ-
вольного значения параметра р
1
( , )
x
p K u p du . (2.1)
Отсюда находим ( )p f x . Для обратной функции ( )p f x имеем
1( ) ( )p px f x . В первом квадранте осей Oxy функция ( )p f x является моно-
тонной, поэтому построение зависимости 1( )px f сводится к построению графика
откладыванием значения x по оси ординат, а величины p – по оси абсцисс. С учетом
двузначности функции ( , )K u p согласно формуле (1.4) интегральная формула (2.1)
продуцирует зависимость cos ( )ip как парную функцию аргумента: два значения
имеют место для одного и того же значения верхнего предела интегрирования.
126
Функцию ( )sip вычисляем согласно (1.2)
1
( ) ( ) (1 ( ) )
p py sip x p (2.2)
как непарную функцию : ( ) ( )sip sip . Эту зависимость можно также опре-
делить по формуле вида (2.1), изменив в ней знак и интервал интегрирования
0
( , )
y
K u p du . (2.3)
Эта формула порождает зависимость ( )H y , обратив которую, имеем
( 1)( ) ( ) ( )y sip H . Непарность функции ( ) ( )sip y следует из формулы
(2.3) при замене в ней y на y , при этом свойство (0) 0y очевидно.
Для получения высокоточных результатов при пользовании формулами (2.1), (2.3)
следует исключить точки разрыва функции ( , )K u p из интервалов интегрирования.
Математический алгоритм такого исключения, изложенный в [7], предусматрива-
ет параллельное вычисление функций cos ( ), ( )ip sip из интегральных соотношений
вида (2.1), (2.3) на интервалах ,x y , которые не содержат точек разрыва функции
( , )K u p , и последующего использования уравнения связи (1.2) для интервалов с точ-
ками разрыва. При наличии группы симметрии порядка 4 4L PC интегральные фор-
мулы (2.1), (2.3) используем только в первой четверти периода.
Таким образом, согласно интегральных формул (2.1), (2.3), конечного соотноше-
ния (2.2) и таблицы построим две пары эквипериодных процессов, которые отвечают
периоду 2T . Подставляя в формулы (1.4) ( ) 2T p , определим два таких корня:
1 20,5615, 2p p . На рис. 3, а, б показаны эквипериодные гармоники cos ( , ),iip p
( , ), 1, 2isip p i . Как видим, корень 2p отвечает классическим тригонометрическим
функциям: 2cos ( , ) cos ,ip p 2( , ) sinsip p . Непрерывные функции 1cos ( , )ip p
cos( ),ant 1( , ) sin( )sip p ant имеют разрывные производные в трех и двух точ-
ках на одном периоде их существования, соответственно. Очевидно, что полученные
пары периодических функций отличаются знаком ( )k – кривизны в каждой точке ее
существования.
а б
Рис. 3
Вычислим угловую скорость обращения вектора касательной к плоской кривой
в точке, которая движется согласно закону х = x(t), y = y(t), где t параметр времени
arctg ( )
d dy d
k
dt dx dt
.
127
На рис. 3, а, б величина для каждой пары кривых отличается знаком. На рис. 4
показаны нормирующий делитель rip и нормированные гармоники при 1p p
nacos( ) , nasin( ) , т.е.
1 1cos( ) cos( , ) / ( , )na ant p rip p ; 1 1sin( ) sin( , ) / ( , )na ant p rip p ;
1
22 2
1 1 1( , ) ( cos ( , ) sin ( , ))rip p ant p ant p . (2.4)
Интегральные уравнения (2.1), (2.3)
могут порождать непрерывные перио-
дические процессы, отображаемые ку-
сочно-прямолинейными отрезками. Со-
гласно рис. 2 эти процессы отвечают
значениям параметра p , обусловливаю-
щем экстремальные (предельные) значе-
ния функции ( )T p . Это, прежде всего,
значение 1p , отвечающее её миниму-
му: 5/ 2
min (1) 2T T , а также пара асим-
птотических значений, получаемых при
0p и p , которые обусловлива-
ют предельно возможное значение:
max (0) ( ) 8T T T .
§3. Вычисление процессов с предельными значениями периодов.
Рассмотрим случай 1p , при котором ( ,1) 2K u q и функцию
( ) cos ( ,1)x ip определяем непосредственно из уравнения (2.1), т.е.
1
x
q du .
Отсюда имеем
( ) cos ( ,1) 1 /x ip q ( 0 2 , 1 ( ) 1q x ). (3.1)
Следовательно, искомая функция определена на полупериоде ее аргумента. Далее
воспользуемся таблицей (см. выше) cos / 2 cos ( )ip T ip для произвольных
p . Инверсия последней формулы и перенос значений ее линии вправо на 2q дает
завершающий отрезок функции на втором полупериоде, т.е.
( ) cos ( ,1) / 3 2 4x ip q q q . (3.2)
Функцию ( , 1)sip вычисляем по алгебраической формуле (2.2) для 1p . В ре-
зультате имеем
/ при 0 ;
( ) ( ,1) 2 / при 3 ; 1 ( ) 1
/ 4 при 3 4 ;
q q
y sip q q q y
q q q
. (3.3)
Функции ( ,1) ( ), cos ( ,1) ( )sip sir ip cor с минимальным периодом
(1) 4 2T назовем ромбическими как порожденные ромбоквадратом, т.е. квадратом
с осями декартовых координат Oxy , совпадающими с его диагоналями. Они отвечают
единственному минимуму кривой ( )T p и не имеют сопряженных с ними эквиперио-
дичных функций. На множестве замкнутых линий (2.2) функции ,sir cor являют-
ся единственными функциями минимального периода. Эти функции построены в [5]
без связи их с интегральными уравнениями (2.1), (2.3).
Рис. 4
128
Ромбические функции, отвечающие параметру 1p , являются не единственными
периодическими процессами, имеющими кусочно-линейную форму. Такую же форму
имеют функции ( , ) , cos ( , )sip p ip p при граничных или весьма близких к ним зна-
чениях параметра p . Они определяются следующим образом: для первой пары имеем
0 0
lim ( , ) ( ) ; lim cos ( , ) ( )s cp p
sip p f ip p f
. (3.4)
Процессы ( ), ( )s cf f являются периодическими с периодом 8T , ( ) ( 8)s sf f ,
( ) ( 8)c cf f ; при этом процесс ( )cf получаем из процесса ( )sf сдвигом его
на четверть периода влево вдоль оси абсцисс
( ) (2 )c sf f . (3.5)
Вторая пара предельных (асимптотических) периодических процессов с макси-
мальным периодом 8T определяется такими соотношениями:
lim ( , ) ( ); lim cos ( , ) ( )s cp p
sip p g ip p g
;
( ) ( 8); ( ) (2 )s s c sg g g g .
(3.6)
Эти процессы получаем как решения интегральных уравнений (2.1), (2.3) с использо-
ванием следующих соотношений:
1
1
( ) ( )
2
p
x p y p
;
0
lim ( ) 0
p
x p
; lim ( ) 1
p
x p
;
0
lim ( ) lim ( ) 8
p p
T p T p
;
0
1 0;
lim ( , )
при 0;p
x
K x p
x
1 1;
lim ( , )
при 1.p
x
K x p
x
Применяя эти соотношения, вычислим процессы ( ) , ( )s sf g и представим их в
графической и аналитической форме. На рис. 5, а, б сплошными линиями показаны
процессы ( ) , ( )s sf g на интервале одного периода. Они вычислены при двух зна-
чениях параметра p , которые отличаются на четыре порядка:
0.05
( ) ( , ) ;s p
f sip p
500
( ) ( , )s p
g sip p
.
Рис. 5
129
Таким образом, при предельно малых значениях параметра p имеем систему зна-
копеременных треугольных импульсов. Они разделены отрезками почти нулевого
значения длиной / 4 2T . Для весьма больших значений параметра p имеют место
импульсы трапецеидальной формы. Они содержат горизонтальные отрезки длиной
/ 4 2T , удаленные от оси абсцисс на величину, почти равную единице. Кусочно-
линейное представление этих процессов на интервале двух периодов [ 8,8] имеет
вид
0 при 0 | | 1;
при 1 | | 2;
3 при 2 | | 3;
( ) 0 при 3 | | 5;
5 при 5 | | 6;
7 при 6 | | 7;
0 при 7 | | 8.
s
sign
sign
f
sign
sign
при 0 | | 1;
при 1 | | 3;
( ) 4 при 3 | | 5;
при 5 | | 7;
8 при 7 | | 8.
s
sign
g sign
sign
sign
(3.7)
Аналитическое представление процессов (3.7) можно получить на основе формул
(3.5), (3.6). Нормированные процессы ( ) , ( ) , ( ) , ( )s c s cnf nf ng ng вычисляем по
формулам вида (2.4)
( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ; , ;nf f rif ng g rig s c 2 2( ) ( ) ( )c srif f f ;
2 2( ) ( ) ( )c srig g g ; ( 2) ( ), ( 2) ( )rif rif rig rig .
Применительно к формулам (3.1) – (3.3) получены такие выражения:
1 при 0 1;
( )
1 при 1 2;
rif
2
2
1 при 0 1;
( )
1 2 при 1 2.
rig
Процессы ( ) , ( )s snf ng показаны на рис. 5, а, б штриховыми линиями.
Используя в классических уравнениях замкнутых поверхностей предельные пе-
риодические функции ( )cor , ( )sir , ( ) , ( )c sg g вместо тригонометрических
(круговых), можно получить математические модели конечных связей в форме плос-
ко-ребристых поверхностей. Такие модели могут иметь и чисто строительно-
архитектурное значение. Ниже рассмотрена аналитико-механическая задача о движе-
нии точки, стесненной конечной связью в виде ребристой поверхности.
§4. Неклассическая задача о движении материальной точки по негладкой
поверхности.
Классическим примером движения системы, подчиненной связям, является дви-
жение материальной точки по поверхности, имеющей в каждой точке конечные глав-
ные радиусы кривизны, а произвольная кривая на поверхности имеет конечную нор-
мальную и геодезическую кривизну [10, с. 295]. Поверхность в трехмерном простран-
стве с декартовой системой координат Oxyz задаем уравнениями
1 2( , )q q ( , , )x y z , (4.1)
где правые части являются непрерывными функциями параметров 1 2,q q . Эти пара-
метры при определенных условиях гладкости поверхности можно называть гауссо-
выми координатами точки на поверхности.
130
Скорость материальной точки
2
1
i
i
q
q
представляет вектор на поверхности.
Однако вектор ускорения точки 1 2( , )q q не принадлежит поверхности, так как на
ней он представляется суммой двух взаимно перпендикулярных векторов – касатель-
ного ускорения и геодезически нормального ускорения.
Пусть функции 1 2( , )q q ( , , )x y z являются периодическими по каждому из
аргументов: 1 2 1 1 2 2( , ) ( , )q q q T q T . Такие функции описывают замкнутые по-
верхности, а движущиеся по ним материальные точки порождают периодические
процессы ( ), ( ), ( )x t y t z t тогда, когда 1 2,Т Т – соизмеримые величины. Если же 1 2,Т Т –
несоизмеримые периоды, то соответствующие им поверхности будут незамкнутыми,
а процессы ( ), ( ), ( )x t y t z t станут лишь почти периодическими.
Запишем уравнения Лагранжа второго рода для точки с двумя степенями свобо-
ды, движущейся по поверхности (4.1)
( 1, 2)k
k k
d T T
Q k
dt q q
2
, 1
1
2 ij i j
i j
T a q q
, 1 2( , )ij ij
i j i j i j
x x y y z z
a a q q
q q q q q q
; T – кинетическая энер-
гия материальной точки единичной массы; 1 2 1 2( , , , , )k kQ Q q q q q t – обобщенная сила
.
В этом случае уравнения Лагранжа принимают вид [5]
2 2
1 , 1
,
ik i i j k
i i j
i j
a q q q Q
k
( , 1, 2j k )
, 1
2
jk ijik
i j k
a ai j a
k q q q
– символ Кристоффеля первого рода
.
Если в уравнениях (4.1) применить периодические функции ( ), ( );i icor q sir q
( ), ( )c i s ig q g q ( 1, 2i ), отвечающие предельным значениям параметра p , можно
получить плоскоребристые поверхности [6]. В этом случае коэффициенты ika квадра-
тичной формы T – функции двух переменных, имеющие разрывы первого рода, а
символы Кристоффеля выражаются через обобщенные функции Дирака. Они будут
иметь либо разрывы второго рода в точках разрыва первого рода коэффициентов
1 2( , )ija q q , либо принимать нулевое значение в точках, где все коэффициенты квадра-
тичной формы одновременно являются постоянными величинами.
Таким образом, приходим к системе уравнений второго порядка с разрывными
левыми и правыми частями, общая математическая теория которых не разработана. В
частных случаях интегрирование подобных систем дифференциальных уравнений
можно выполнить методом стыкования решений, принадлежащих областям коорди-
нат 1 2,q q , не содержащих точек разрывности коэффициентов 1 2( , )ija q q ( , 1, 2i j ). В
частности, когда смежные плоские грани поверхности смыкаются под прямым углом,
характер движения по ней материальной точки можно достаточно просто проследить,
используя элементы классической теории удара. В качестве иллюстрации изложенно-
го выше, рассмотрим некоторые примеры, при этом везде предполагаем, что обоб-
щающая сила 1 2 1 2( , , , , ) 0kQ q q q q t ( 1,2k ).
131
Пусть уравнения (4.1) описывают поверхность параллелепипеда с длиной ребер
2 , 2 , 2a b c . С использованием предельных периодических функций ( ), ( )c sg g
уравнение такой поверхности имеет вид ( ) ( )c cx g g ; ( ) ( )c sy b g g ;
( )sz c g ; 1 [ 2, 2]q , 2 [0, 8]q , , ,a b c – положительные параметры,
имеющие размерность длины.
Компьютерная реализация этой поверхности при 20, 40, 50a b c показана на
рис. 6, а. В данном случае для коэффициентов ( , 1, 2)ija i j имеем такие формулы:
2 2 2(1) (1) (1)
11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c c c s sa a g g b g g c g ;
Рис. 6
2 2(1) (1)
22 ( ) ( ) ( ) ( )c c c sa a g g b g g ;
2 2 (1) 2 (1) 2 2 (1) (1)
12 21
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
4 4c c c sa a a g g b g g ;
где согласно (3.7)
(1)2 (1) (1)( ) 2 ( ) ( ); ( ) ( )
d
g g g g g
d
( , ; , )s c – разрывные 23 –
периодические функции, при этом (1) (1)( ) ( )c cg g ; (1) (1)( ) ( )s sg g ;
(1) (1)
1 при [0,1) 0
0 при (1,3) 1
( ) ( )1 при (3,5) 0
0 при (5,7) 1
1 при (7,8] 0
s cg g
.
Отметим, что согласно этим формулам коэффициенты квадратичной формы
( , ) ( , 1,2)ija i j являются функциями с разрывами первого рода.
Качественную форму движения материальной точки внутри полости параллеле-
пипеда можно адекватно описать, приняв известные положения об абсолютно упру-
гом и пластическом ударе. Пусть в начальный момент времени материальная точка
находится на внутренней поверхности грани z c и вектор начальной скорости ле-
жит в ее плоскости: 0 0(0) , (0)x u y v . При абсолютно упругом ударе материальная
132
точка совершает движение подобно бильярдному шару, ударяясь последовательно о
грани ,x a y b . В случае, когда 0 0u , 0 0v или 0 0v , 0 0u материальная
точка будет совершать прямолинейные циклические движения между гранями x a
или y b . При абсолютно пластическом ударе материальная точка, достигнув од-
ной из граней x a или y b , теряет нормальную к грани составляющую скоро-
сти и будет далее двигаться вдоль ребра к следующей грани y b или x a . По-
сле удара о препятствующую грань она полностью останавливается.
Заметим, что аналогичная картина движения материальной точки будет иметь ме-
сто внутри плоско-ребристой торообразной поверхности, задаваемой уравнениями:
[ ( )] ( )c cx a R r g g ; [ ( )] ( )c sy b R r g g ; ( )sz c rg , где , , , ,R r a b c поло-
жительные параметры. На рис. 6, б показана компьютерная реализация этой поверх-
ности для значений параметров 150, 200, 20, 1, 0,2a b c R r . Эту поверх-
ность назовем параллелепипедным тором или коротко паратором. Применяя упомя-
нутые гипотезы теории ударного взаимодействия, можно, в частности, установить,
что при начальном положении точки на грани z c для 0 00, 0u v и при абсо-
лютно упругом ударе о грани с ребрами, параллельными оси Oz , материальная точка
может описывать как циклическую траекторию, полностью проходя все четыре уча-
стка нижней грани параторной галереи, так и траекторию, находящуюся в одном из
участков грани паратора при z c . Для замкнутых плоско-ребристых поверхностей,
смежные грани которых смыкаются под тупыми углами (поверхности платоновых
тел, а также LM ромбоэллипсоиды, LM ромботоры [6, 8]), движение материальной
точки внутри таких поверхностей может быть безударным с постоянной по направле-
нию и модулю скоростью перемещения между смежными ребрами.
Из множества периодических функций на замкнутых линиях с группой симмет-
рии 4 4L PC наибольшее практическое значение имеют круговые (тригонометриче-
ские) функции cos , sin , отвечающие целочисленному значению параметра 2p ,
а также предельные периодические процессы ( ), ( ); ( ), ( )c scor sir g g . Относи-
тельно круговых функций об этом свидетельствует более чем тысячелетняя практика
их применения, особенно после открытия формулы Тейлора, связавшей эти функции
с бесконечными степенными рядами, а также установления свойства их ортогональ-
ности, что обусловливает диагональность соответствующих матриц Грамма для сис-
темы периодических вектор-функций, определяемой их аргументами, отличающими-
ся на целочисленный множитель. Предельные периодические функции являются но-
выми математическими объектами. Они порождают квазидиагональные матрицы
Грамма, которые для случая функций ( ), ( )cor sir поддаются аналитическому вы-
числению [9]. Установлено, что этим свойством обладают также функции
( ), ( )c sg g . Функции ( ), ( ) , ( ), ( )c scor sir g g оказались весьма результатив-
ными при моделировании плоско-ребристых поверхностей твердых тел, архитектур-
ных объектов, некоторых кристаллов, включая нанокристаллические структуры. Это
делает их полезными в связи с вопросами становления наномеханики материалов,
очерченными в [12], а также интегрирования некоторых уравнений второго порядка
с негладкими характеристиками возмущающих сил [8].
§5. Построение множества эволюционных процессов.
Обратимся к построению процессов на незамкнутых отрезках линии (1.1)
( , ) , ( , )x p y p для 1x . Согласно соотношению (1.3) имеем две формулы для
элемента дуги ds
( , ) ; ( , )ds KC x p dx ds KS y p dy (5.1)
133
2 22 22 2 2 2
( , ) 1 1 ; ( , ) 1 1
p pp p p p
KC x p x x KS y p y y
. (5.2)
Отсюда при 1p получаем функцию ( )x в виде собственного интеграла
1
( , ) ( , )
x
x p KC u p du . (5.3)
Обращая это соотношение как и для случая периодических функций, получим
( , ) cos ( ) cos ( )x x p iph iph .
Полученную функцию, зависящую от параметра p , будем называть гиперболическим
p -косинусом. Гиперболический p -синус вычисляем по алгебраической формуле
1
( ) cos ( ) 1 ( )
pp
siph iph sign . (5.4)
Для 1p имеем согласно второй формуле (5.2) собственный интеграл на всем про-
межутке определения
0
( , ) ( , )
y
y p KS u p du . (5.5)
Подынтегральная функция в (5.5) является четной, поэтому, обращая это соотноше-
ние, определяем функцию ( , )y y p как нечетную функцию аргумента , т.е.
( , ) ( ) ( )y p siph siph , а также алгебраическое представление
1
cos ( ) 1 ( )
pp
iph siph . (5.6)
Как видим, точное вычисление эволюционных функций осуществляется с помощью
собственных интегралов и поэтому проще вычисления функций периодических. Вы-
числения этих функций не предполагает свойства их аналитичности.
Функции cos ( ), ( )iph siph можно пронормировать, разделив их на величину
2 2( ) cos ( ) ( )rh iph siph . (5.7)
Полученные таким образом функции
cos ( ) ( )
cos ( ), ( )
( ) ( )
iph siph
n iph nsiph
rh rh
(5.8)
удовлетворяют тому же функциональному уравнению, что и классические гипербо-
лические функции
2 2cos ( ) ( ) 1n iph nsiph . (5.9)
На рис. 7, а представлены эволюционные процессы cos ( , )iph p (3), ( , )siph p
(4) для 2np p . Параметр np отвечает натуральным гиперболическим процессам.
Они отличаются от классических экспоненциально возрастающих гиперболических
процессов линейным характером роста при . Кривые (1, 2) (рис. 7, а) отвечают
процессам cos ( , )aiph p , ( , )asiph p , где 0,5615ap .
На рис. 7, б показаны нормированные эволюционные процессы cos ( , )an iph p
(2), ( , )ansiph p (3) и нормирующий делитель ( , )arh p (1).
134
а б
Рис. 7
Из рис. 7, б виден весьма медленный рост по модулю обоих процессов
ncosiph( , )ap и ( , )ansiph p . Это делает их полезными для моделирования медлен-
ных процессов типа разогрева земной атмосферы вследствие парникового эффекта.
Обратимся к простым и нормированным эволюционным функциям алгебраиче-
ской природы. Эти функции отвечают параметру 1p . В этом случае имеем
( ,1) ( ,1) 2KC x KS y q и для искомых зависимостей, соответственно, получаем
( ,1) cos ( ,1) ( ) / 1x iph corh q ; ( ,1) ( ,1) ( ) /y siph sirh q ;
( , 1) 1rh q ; cosiph( , 1) ( ) ( / 1) / ( ,1)n ncorh q rh ;
( ,1) ( ) / / ( ,1)nsiph nsirh q rh . (5.10)
Вычислим соотношения, которым удовлетворяют первые и вторые производные
по от функций ( ), ( )ncorh n sirh . Стандартными вычислениями получаем фор-
мулы для первых производных
2
1 ( )
( )
( )
d nsirh
ncorh
d q rh
;
2
1 ( )
( ( ))
( )
d ncorh
nsirh
d q rh
. (5.11)
На основании этих соотношений устанавливаем, что вторые производные от
функций ( ), ( )ncorh nsirh удовлетворяют линейному дифференциальному уравне-
нию с переменными коэффициентами
1 2( ) ( ) 0f b f b f (5.12)
4
1 2
1
( ) 2 '( ) / ( ); ( ) ( )
2
b rh rh b rh
. (5.13)
В частности, если формально положить ( ) constrh , то, вводя новую неза-
висимую переменную s по формуле 22 s , обнаруживаем, что последнему
уравнению удовлетворяют классические экспоненциальные гиперболические функ-
ции ( ) ( ), ( )f s ch s sh s .
Формулы (5.11) и уравнение (5.12) являются аналогами формул (7.3) и уравнения
(7.4) из работы [6] для нормированных ромбических функций.
135
§6. Построение динамической системы, порождающей законы движения в
форме периодических и эволюционных функций.
Согласно классическим результатам теории обыкновенных дифференциальных
уравнений колебательные процессы могут порождаться решениями автономных не-
релаксационных дифференциальных уравнений порядка не ниже второго. Напротив,
эволюционные процессы присущи динамическим системам любого, в т.ч. первого
порядка. В связи с этим представляется актуальным определить те динамические сис-
темы второго порядка, которые при ненулевых начальных условиях могут генериро-
вать все процессы, описанного выше типа. С этой целью вычислим лагранжиан дина-
мической системы с одной степенью свободы, обусловливающим либо заданного ти-
па периодические колебания системы около устойчивого положения равновесия, либо
эволюционные движения гиперболического типа, если положение равновесия неус-
тойчиво. Исходим из формулы дифференциала дуги плоской кривой
2 2 2d dx dy (6.1)
и уравнения алгебраической связи ( )y f x , обусловливающей по Лагранжу одну
степень свободы движения точечной массы на плоскости Oxy . Исключим из соотно-
шения (6.1) зависимое приращение '( )dy f x dx и разделим его на 2d . В результате
получим соотношение, имеющее форму интеграла живых сил некоторой механиче-
ской консервативной системы с одной степенью свободы, т.е.
2
1
( )
2
dx
CR x h
d
121
0, ( ) 1 ' ( )
2
h CR x f x
. (6.2)
Изложим механико-математический подход, описанный в [8], как обращение задачи
А. Пуанкаре. Функция ( )CR x в виде (6.2) будет отлична от константы, если
2
2
0
d y
dx
,
т.е. связь ( )y f x искривлена. (Отождествление в (6.2) длины дуги и параметра
времени t является естественным, так как во всех механических часах интервал вре-
мени связывается с длиной дуги, проходящей концом стрелки часового механизма).
Таким образом, соотношения (6.2) указывают способ построения искомой дина-
мической системы в форме лагранжевой системы с одной степенью свободы
( , ') 0DL x x (6.3)
(
'
d
D
d x x
– оператор Эйлера – Лагранжа; 2' , ( , ') 0,5 ' ( )
dx
x L x x x CR x
d
–
лагранжиан движущейся точки).
Учитывая формулы (1.4), (5.2) для ( , )K x p и ( , )KC x p , получаем общее выраже-
ние для зависимости ( , ),CR x p x , если заменим во второй формуле (1.4) в подко-
ренном выражении круглые скобки на знаки модуля: ( ) . Это дает возмож-
ность такого представления:
2
2
1
2 2 2
2
1
( , ) 1;
1 2( , ) 1 1
12
( , ) 1.
2
pp p
K x p x
CR x p x x
KC x p x
(6.4)
В уравнениях (6.2, 6.3) независимая переменная не является параметром вре-
мени, количество 2
0,5 /dx d отлично от кинетической энергии материальной точки
единичной массы, функция ( , )CR x p не представляет потенциал активных сил в смысле
136
аналитической механики, а двучлен ( , ')L x x отличается от разности кинетической и
потенциальной энергий механической системы. Однако гессиан функции ( , ')L x x
2
, 1
( , ')
det 0
'
n
i k i k
L x x
x x
(в данном случае 1n ) и уравнение Лагранжа (6.3) однозначно определяет движение
системы путем задания начальных данных 0 0( ), '( )x x . Вследствие этого динамиче-
скую систему (6.3) следует называть ненатуральной лагранжевой системой.
Относительно механического содержания функции ( , )CR x p отметим, что ее
можно условно назвать потенциалом силы реакции алгебраической плоской связи,
имеющей конечную кривизну. Отметим при этом, что использование антропоморф-
ного термина “сила” отсутствует в механике Гамильтона, Герца, Шредингера.
Таким образом, соотношениями (6.2) – (6.4) установлена связь формулы квадрата
дифференциала плоской кривой с лагранжианом ненатурального типа динамической
системы с одной степенью свободы.
На рис. 8 представлена поверхность
(6.4) функции ( , )CR x p для (0, 3],p
( 4, 4)x . Эта поверхность имеет впа-
дины и гребни при 0, 1x , отвечаю-
щие положениям равновесия.
В пространстве положительной кри-
визны 1p в точке 0x потенциаль-
ная функция ( , )CR x p имеет минимум,
при этом, если 1 2p – минимум не-
гладкий, а если 2p – гладкий. Со-
гласно теореме Лежен – Дирихле это
положение равновесия устойчиво. Сле-
довательно, в окрестности положения
0x материальная точка может выпол-
нять незатухающие (периодические)
колебания величиной ( ) 1x как ос-
циллятор с положительной характеристикой ( , )F x p некоторой нелинейной пружи-
ны. Построим периодические функции, определяемые этими колебаниями.
Нелинейное уравнение (6.3) допускает частный и общий интегралы [3], послед-
ний из которых содержит две произвольные постоянные h и 0 :
0
0
2 2 ( , )
x
x
du
h CR u p
. (6.5)
Здесь знак перед корнем должен совпадать со знаком du . Как и в небесно-
механической задаче 2-х тел [10], решение (6.5) может представлять периодическое
решение, если 0h . Наличие общего интеграла (6.5) позволяет полностью опреде-
лить движение точки при любых значениях параметра p и начальных условиях
0 0( ), '( )x x .
Пусть в начальный момент 0 00, '(0) 0, (0) 1x x x , тогда 2
02 ( , )h K x p
и общий интеграл (6.5) при отрицательном знаке перед корнем приобретает вид
(при 0x x )
Рис. 8
137
1
2
0
2 2
0
1 1
( , ) ( , )
x
x
du
K u p K x p
. (6.6)
При 2
0 1, (1, )x K p формула (6.6) совпадает с соотношением (2.1), определяю-
щем функцию cos ( , )ip x p . Периодическую функцию 0( , , )x x p x , неявно опреде-
ляемую из уравнения (6.6), обозначим идентификатором 0 0dcosip( , , ) ( , , )p x x p x ,
причем dcosip( , ,1) cos ( , ), 1p ip p p .
Период функции 0dcosip( , , )p x определим формулой
1
2
0
0
0 2 2
0
1 1
( , ) 4
( , ) ( , )x
T p x du
K u p K x p
. (6.7)
Вычислим антипериодическую функцию 0( , , ' )y y p x . Она не удовлетворяет ал-
гебраическому соотношению (1.2), поэтому ее необходимо определять также из общего
интеграла (6.5). Примем такие начальные условия: 0 0 00, (0) 0, '(0) 'x x x v . По-
ложим в первом интеграле уравнений (6.5) h b . В результате получим
2
00,5 1b v . Вычислим общий интеграл (6.5) в форме
02 2
0 0
0 , 1
( , ) ( 1)
y
du
y y p
K u p v
. (6.8)
Для 0 1v интеграл (6.8) совпадает с формулой (2.3), определяющей функцию
( , )sip y p . Периодическую функцию 0( , , )y y p y , определяемую неявно из (6.8),
обозначим 0 0sip( , , ) ( , , )d p y y p y . Период этой функции определим формулой
0
0 2 2
0 0
( , ) 4
( , ) ( 1)
y
du
T p y
K u p v
, (6.9)
где 0 0( )y y v – величина, определяемая как корень уравнения
1 21 1 0
0 2
0
1
1
pp p
o
v
y y Q
v
, (6.10)
обращающего в нуль подкоренное выражение соотношения (6.9). Непосредственной
подстановкой убеждаемся, что 1/1/ ( 1) 1/ ( 1)
0 1
pp py Q Q
является решением уравне-
ния (6.10). В частности, при 2p имеем 0 0y v , что соответствует механико-
математическому смыслу задачи. Если начальные условия для динамической системы
(6.3) выбраны на ниспадающей поверхности функции 0 0( , ) ( 1, ' 0)CR x p x x (см.
рис. 8), то интеграл (6.5) определяет эволюционное движение точки. При этом
0 0lim ( , , )x x x
и оценками процесса 0 0( , , ' )x x x являются функции
cos ( , )iph p .
Для 1p геометрические свойства поверхности ( , )CR x p антисимметрично про-
тивоположны тем ее свойствам, которые имеют место при 1p , а именно: наличие
двух впадин вместо двух гребней и одного гребня вместо одной впадины. Эти свойст-
ва обусловливают наличие двух симметричных периодических процессов
( , ) ( , )i i px p x T p ( 1,2)i в окрестности точек 1,2 1x , а также эволюционного
процесса 0 ( , )x p – в окрестности точки 0x . Эти процессы можно исследовать на
основе общего интеграла (6.5) при соответствующем выборе начальных условий или
постоянных интегрирования 0,h .
138
Заключение.
На однопараметрическом множестве плоских замкнутых связей с четырьмя осями
симметрии построена система непрерывных T - периодических процессов, выра-
жающих значения декартовых координат движущейся точки как функций длины
пройденного пути. В зависимости от значения параметра 0 p , 1p имеем
4 2, 8T . В означенном интервале для каждого значения периода T существует
пара эквипериодичeских процессов с одинаковой областью их определения и значения,
но отличающиеся знаком кривизны в каждой точке ее существования. Вычислены
2 -периодические процессы, отличающиеся от классических, выражаемых тригоно-
метрическими функциями, а также 32 -периодические процессы, и применены в задаче
о движении материальной точки по замкнутой негладкой поверхности. Изложен способ
вычисления непрерывных эволюционных процессов гиперболического типа, аргумен-
том которых является длина пути, пройденного точкой вдоль разомкнутых траекторий,
имеющих две оси симметрии. Установлено соотношение между дифференциалом дуги
плоской кривой и лагранжианом простой динамической системы ненатурального типа.
Построена модельная динамическая система второго порядка, имеющая общий инте-
грал в форме, которая порождает (при определенных начальных значениях) T -
периодические или эволюционные процессы гиперболического типа.
Р Е ЗЮМ Е . На однопараметричній множині замкнених плоских в’язей, що мають чотири осі
симетрії, побудовано систему неперервних процесів з періодами 4 2 ,8T . Ці процеси виражають
значення декартових координат рухомої точки як функцій пройденого шляху. Виявлені 2 періоди-
чні процеси, що відрізняються від класичних тригонометричних знаком кривизни в кожній точці її
існування. Обчислено асимптотичні 32 періодичні процеси і застосовано в задачі про рух матеріаль-
ної точки по замкнутій плоско-ребристій поверхні. Вказано спосіб побудови неперервних еволюцій-
них процесів гіперболічного типу, аргументами яких є довжини дуг розімкнених ліній з парою осей
симетрії. Встановлено зв’язок диференціала дуги плоскої кривої з лагранжіаном простої динамічної
системи ненатурального типу. Побудовано нелінійну динамічну систему другого порядку, частинни-
ми розв’язками якої можуть бути T -періодичні або еволюційні процеси гіперболічного типу, що
залежать від початкових значень.
1. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы теории нелинейных колебаний. –
М.: Физматгиз, 1963. – 410 с.
2. Галлиулин Р.В. Кристаллографическая геометрия. – М.: Наука, 1984. – 135 c.
3. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. – М.: Наука, 1988. – 326 с.
4. Кононенко В.О. Нелинейные колебания механических систем. – К.: Наук. думка, 1980. – 381 с.
5. Лурье А.И. Аналитическая механика. – М.: Физматгиз, 1961. – 823 с.
6. Плахтієнко М.П. Ромбічні функції: початки теорії та прикладні задачі. – К.: ЗНДІЕП, 2005. – 132 с.
7. Плахтієнко М.П. Періодичні функції на замкнених траєкторіях з групою симетрій 4 4L PC // Доп.
НАН України. – 2008. – N 4. – C. 36 – 43.
8. Плахтієнко М.П. Диференціальні рівняння періодичних та еволюційних функцій на множині плос-
ких симетричних траєкторій / Тр. Укр. матем. конгрес, 2009 (Ін-т. математики НАНУ). – К.,
2010. – С. 173 – 193.
9. Плахтієнко М.П. Некласичні співвідношення між елементами матриць Грамма систем векторів
унітарного гільбертового простору // Матем. методи та фіз.-мех. поля. – 2010. – № 4. – С. 188 –
197.
10. Субботин М.Ф. Курс небесной механики. Т. 1. – Л.; М.: ОГИЗ, 1941. – 344 с.
11. Аliev F.A., Larin V.B. Problems Optimization for Periodic System // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 11.
– P. 1162 – 1188.
12. Guz A.N., Rushchitsky J.J. Establishing Foundations of the Mechanics of Nanocomposites (Review) //
Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 1. – P. 2 – 44.
13. Kubenko V.D., Kovalchuk P.S., Kruk L.A. On Effect of External Load on Stability of the Transporting
Fluid Pipeline // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 6. – P. 636 – 644.
Поступила 26.12.2010 Утверждена в печать 06.06.2013
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87803 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-25T20:53:20Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Плахтиенко, Н.П. 2015-10-25T18:41:46Z 2015-10-25T18:41:46Z 2013 О движении точки, стесненной плоской симметричной связью / Н.П. Плахтиенко // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 5. — С. 122-138. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87803 На однопараметричній множині замкнених плоских в'язей, що мають чотири осі симетрії, побудовано систему неперервних процесів з періодами T є √2,8}. Ці процеси виражають значення декартових координат рухомої точки як функцій пройденого шляху. Виявлено 2π періодичні процеси, що відрізняються від класичних тригонометричних знаком кривизни в кожній точці її існування. Обчислено асимптотичні 2³ періодичні процеси і застосовано в задачі про рух матеріальної точки по замкнутій плоско-ребристій поверхні. Вказано спосіб побудови неперервних еволюційних процесів гіперболічного типу, аргументами яких є довжини дуг розімкнених ліній з парою осей симетрії. Встановлено зв'язок диференціала дуги плоскої кривої з лагранжіаном простої динамічної системи ненатурального типу. Побудовано нелінійну динамічну систему другого порядку, частинними розв'язками якої можуть бути Т-періодичні або еволюційні процеси гіперболічного типу, що залежать від початкових значень. On the one-parametric set of closed plane constraints with four symmetry axes, the system of continuous processes with periods T є √2,8}. is constructed. They express the values of Cartesian coordinates of the moving point as the functions of passed distance. The 2π – periodic processes are revealed, which are differing from the classical trigonometrical process by the curvature sign in every point of its existence. The asymptotic 2³-periodic processes are evaluated and they are applied to the problem on motion of the material point over the closed plane-ribbed surface. A way is shown to construct the continuous evolution processes of hyperbolic type, which arguments are the lengths of arcs of open lines with a pair of symmetry axes. A link is established between the differential of plane curve with Lagrangian of the simple dynamical system of non-natural type. A nonlinear dynamical system of the second order is built, the partial solution of which can be T periodic or evolution processes of hyperbolic type, what depends on the initial values. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика О движении точки, стесненной плоской симметричной связью On Motion of a Point, Tight by a Plane Symmetric Constraint Article published earlier |
| spellingShingle | О движении точки, стесненной плоской симметричной связью Плахтиенко, Н.П. |
| title | О движении точки, стесненной плоской симметричной связью |
| title_alt | On Motion of a Point, Tight by a Plane Symmetric Constraint |
| title_full | О движении точки, стесненной плоской симметричной связью |
| title_fullStr | О движении точки, стесненной плоской симметричной связью |
| title_full_unstemmed | О движении точки, стесненной плоской симметричной связью |
| title_short | О движении точки, стесненной плоской симметричной связью |
| title_sort | о движении точки, стесненной плоской симметричной связью |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87803 |
| work_keys_str_mv | AT plahtienkonp odviženiitočkistesnennoiploskoisimmetričnoisvâzʹû AT plahtienkonp onmotionofapointtightbyaplanesymmetricconstraint |