Переопределенные интерполяционные задачи для целых функций экспоненциального типа
Получены критерии существования целых функций экспоненциального типа не выше ς,
 принимающих заданные значения в точках заданной последовательности с плотностью,
 большей ς. Отримано критерiї iснування цiлих функцiй експоненцiального типу не вище ς, що набувають заданих значень у точ...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87807 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Переопределенные интерполяционные задачи для целых функций экспоненциального типа / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 13-16. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859988777091465216 |
|---|---|
| author | Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. |
| author_facet | Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. |
| citation_txt | Переопределенные интерполяционные задачи для целых функций экспоненциального типа / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 13-16. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Получены критерии существования целых функций экспоненциального типа не выше ς,
принимающих заданные значения в точках заданной последовательности с плотностью,
большей ς.
Отримано критерiї iснування цiлих функцiй експоненцiального типу не вище ς, що набувають заданих значень у точках заданої послiдовностi iз щiльнiстю, бiльшою нiж ς.
Criteria for the existence of entire functions of the exponential type of at most ς which take the given
values at the points from the given sequence of numbers with a density of more than ς are obtained.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:30:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В.В. Волчков, Вит.В. Волчков
Переопределенные интерполяционные задачи
для целых функций экспоненциального типа
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.П. Моторным)
Получены критерии существования целых функций экспоненциального типа не выше ς,
принимающих заданные значения в точках заданной последовательности с плотностью,
большей ς.
Классическая задача интерполяции состоит в отыскании функции данного класса, прини-
мающей в заданных точках — узлах интерполяции — заданные значения. В теории целых
функций значительное число работ посвящено различным обобщениям интерполяционной
задачи вида
f(zk) = ck, k = 1, 2, . . . , (1)
где f — целая функция с ограничениями на рост, {zk} — все нули (или часть нулей) не-
которой целой функции ϕ (см. [1]). Класс функций, в котором ищется решение задачи,
задается, как правило, неравенством
|f(z)| 6 AeBp(z),
в котором A и B — положительные постоянные, зависящие от функции f , p — неотрица-
тельная субгармоническая функция, обладающая свойствами:
1) ln(1 + |z|) = O(p(z));
2) если |ζ − z| 6 1, то p(ζ) 6 Cp(z) +D с постоянными C и D, не зависящими от ζ и z.
Основным средством исследования задачи (1) и ее аналогов являются интерполяцион-
ные ряды и метод ∂-проблемы, основанный на результатах Л. Хермандера [1–3].
Особый интерес представляет интерполяция целыми функциями экспоненциального ти-
па. Ряд известных результатов в этом направлении принадлежит А.О. Гельфонду, В.А. Ко-
тельникову, Б.Я. Левину, Картрайт, Боасу и др. (см. [1, 2]). В частности, класс всех целых
функций экспоненциального типа, меньшего π, является классом единственности для ин-
терполяционной задачи
f(k) = ck, k = 1, 2, . . . . (2)
Условия разрешимости задачи (2) для этого класса изучались Ло, Вигертом, Фабером,
Карлсоном, Полиа, Дюфренуа, Пизо и др. (см., например, [4 гл. 2], [5, §§ 1.1.3, 7.7.2, 7.7.3]).
Результаты, полученные этими авторами, показывают, что разрешимость задачи (2) в дан-
ном случае эквивалентна возможности аналитического продолжения суммы степенного ря-
да
∞
∑
k=1
ckz
k в дополнение некоторого компакта.
© В. В. Волчков, Вит.В. Волчков, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 13
В настоящей работе получены критерии существования четной целой функции экспонен-
циального типа не выше ς, растущей не быстрее многочлена на вещественной оси и прини-
мающей заданные значения в точках заданной последовательности плотности, большей ς.
Такие интерполяционные задачи естественно называть переопределенными. В качестве
узлов интерполяции выбираются нули бесселевых и гипергеометрических функций. Отме-
тим, что указанные вопросы тесно связаны с некоторыми аспектами периодических в сред-
нем функций на евклидовых и двухточечно-однородных пространствах (см. [6, ч. 2, гл. 3]).
Перейдем к формулировкам основных результатов. Обозначим Zς — множество всех
четных целых функций w : C → C, удовлетворяющих оценке
|w(λ)| 6 γ(1 + |λ|)meς|Imλ|, λ ∈ C
для некоторых констант γ > 0, m ∈ Z, ς > 0.
Теорема 1. Пусть τ > ς > 0 и {νl}
∞
l=1 — последовательность всех положительных
нулей функции Бесселя Jn/2(τz), n ∈ {0, 1, 2, . . .}. Пусть также {µl}
∞
l=1 — последователь-
ность комплексных чисел. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(i) Существует w ∈ Zς такая, что w(νl) = µl для всех l.
(ii) Ряды
∞
∑
l=1
ν
n/2+2
l µl
J2
n/2+1(νlτ)
Jn/2(νlt) и
∞
∑
l=1
νlµl
Jn/2+1(νlτ)
|t|n/2+1Jn/2(νl|t|)
сходятся к нулю на интервалах (ς, 2τ − ς) и (ς − τ, τ − ς) в пространствах распределений
D′(ς, 2τ − ς) и D′(ς − τ, τ − ς) соответственно.
Полагая в теореме 1 n = 1, τ = π и учитывая, что в этом случае последовательность
{νl}
∞
l=1 совпадает с натуральным рядом, получаем следующий критерий разрешимости за-
дачи (2) для класса Zς .
Следствие 1. Пусть 0 6 ς < π и {µl}
∞
l=1 — последовательность комплексных чисел.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(i) Существует w ∈ Zς такая, что w(l) = µl для любого l = 1, 2, . . . .
(ii) Ряды
∞
∑
l=1
l3µl sin(lt) и
∞
∑
l=1
(−1)llµlt sin(lt)
сходятся к нулю на интервалах (ς, 2π − ς) и (ς − π, π − ς) в пространствах распределений
D′(ς, 2π − ς) и D′(ς − π, π − ς) соответственно.
Перейдем к аналогу теоремы 1 для нулей гипергеометрических функций. Положим
ϕ
(α,β)
λ (r) = F
(
α+ β + 1 + iλ
2
,
α+ β + 1− iλ
2
;α+ 1;− sh2 r
)
, (3)
где F — гипергеометрическая функция Гаусса. Обозначение ϕ
(α,β)
λ (r) в (3) объясняется тем,
что при определенных значениях α и β эти функции совпадают с зональными сферическими
функциями римановых симметрических пространств ранга один отрицательной кривизны,
для которых используется это обозначение (см. [7, гл. 4]).
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6
Cвойства нулей λ функции ϕ
(α,β)
λ (r) сходны со свойствами нулей бесселевых функций
и описаны в следующем утверждении [8 гл. 7].
Предложение 1. Для фиксированных α > 0, −1/2 6 β 6 α, r > 0 справедливы сле-
дующие утверждения.
(i) Функция ϕ
(α,β)
λ (r) имеет бесконечно много нулей. Все нули ϕ
(α,β)
λ (r) являются веще-
ственными, простыми и расположены симметрично относительно точки λ = 0. Кроме
того, ϕ
(α,β)
λ (r) > 0 при iλ ∈ R
1.
(ii) Пусть λl = λl(α, β, r), l = 1, 2, . . ., — последовательность всех положительных
нулей ϕ
(α,β)
λ (r), занумерованная в порядке возрастания, и предположим 0 < r1 6 r 6 r2.
Тогда
rλl = π
(
2α+ 3
4
+ l + q(r, α, β)
)
+
(1/4 − α2)(ch r)2 + (1/4 − β2)(sh r)2
λl sh 2r
+O
(
1
λ3
l
)
,
где q(r, α, β) ∈ Z не зависит от l и постоянная в знаке O зависит только от α, β, r1, r2.
Обозначим через Π множество пар вида (n/2 − 1, n/2 − 1), (n − 1, 0), (2n − 1, 1), (7, 3),
где n = 2, 3, . . .
Теорема 2. Пусть (α, β) ∈ Π, τ > ς > 0, {νl}
∞
l=1 — последовательность всех положи-
тельных нулей λ функции ϕ
(α,β)
λ (τ) и {µl}
∞
l=1 — последовательность комплексных чисел.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(i) Существует w ∈ Zς такая, что w(νl) = µl для всех l.
(ii) Ряды
∞
∑
l=1
νlµl
((
d
dλ
ϕ
(α,β)
λ (τ)
)
∣
∣
∣
∣
λ=νl
ϕ(α+1,β+1)
νl
(τ)
)−1
ϕ(α,β)
νl
(t)
и
∞
∑
l=1
νlµl
((
d
dλ
ϕ
(α,β)
λ (τ)
)∣
∣
∣
∣
λ=νl
)−1
ϕ(α,β)
νl
(t)|t|1+2α
сходятся к нулю на интервалах (ς, 2τ − ς) и (ς − τ, τ − ς) в пространствах распределений
D′(ς, 2τ − ς) и D′(ς − τ, τ − ς) соответственно.
Стандартные рассуждения, связанные с применением принципа Фрагмена–Линделефа,
показывают, что функция w в теоремах 1, 2 определяется однозначно. Отметим также,
что из сходимости рядов в утверждении (ii) этих теорем следует оценка µl = O(lγ) для
некоторого γ > 0 (см. [9, ч. 3, доказательство леммы 2.7]).
1. Гольдберг А.А., Левин Б.Я., Островский И.В. Целые и мероморфные функции. – Москва: ВИНИТИ,
1991. – С. 5–185. – (Итоги науки и техн. Соврем. пробл. матем. Фундамент. направления; Т. 85).
2. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. – Москва: Наука, 1967. – 376 с.
3. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. – Москва: Мир,
1968. – 279 с.
4. Маркушевич А.И. Избранные главы теории аналитических функций. – Москва: Наука, 1976. – 191 с.
5. Бибербах Л. Аналитическое продолжение. – Москва: Наука, 1967. – 240 с.
6. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Offbeat integral geometry on symmetric spaces. – Heidelberg: Springer,
2013. – 592 p.
7. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. – Москва: Мир, 1987. – 735 с.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 15
8. Volchkov V.V., Volchkov Vit. V. Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces and
the Heisenberg group. – London: Springer, 2009. – 674 p.
9. Volchkov V.V. Integral geometry and convolution equations. – Dordrecht: Kluwer, 2003. – 454 p.
Поступило в редакцию 04.12.2013Донецкий национальный университет
В.В. Волчков, Вiт. В. Волчков
Перевизначенi iнтерполяцiйнi задачi для цiлих функцiй
експоненцiального типу
Отримано критерiї iснування цiлих функцiй експоненцiального типу не вище ς, що набу-
вають заданих значень у точках заданої послiдовностi iз щiльнiстю, бiльшою нiж ς.
V.V. Volchkov, Vit. V. Volchkov
Overdetermined interpolation problems for entire functions of the
exponential type
Criteria for the existence of entire functions of the exponential type of at most ς which take the given
values at the points from the given sequence of numbers with a density of more than ς are obtained.
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87807 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:30:22Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. 2015-10-26T17:34:52Z 2015-10-26T17:34:52Z 2014 Переопределенные интерполяционные задачи для целых функций экспоненциального типа / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 13-16. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87807 517.5 Получены критерии существования целых функций экспоненциального типа не выше ς,
 принимающих заданные значения в точках заданной последовательности с плотностью,
 большей ς. Отримано критерiї iснування цiлих функцiй експоненцiального типу не вище ς, що набувають заданих значень у точках заданої послiдовностi iз щiльнiстю, бiльшою нiж ς. Criteria for the existence of entire functions of the exponential type of at most ς which take the given
 values at the points from the given sequence of numbers with a density of more than ς are obtained. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Переопределенные интерполяционные задачи для целых функций экспоненциального типа Перевизначенi iнтерполяцiйнi задачi для цiлих функцiй експоненцiального типу Overdetermined interpolation problems for entire functions of the exponential type Article published earlier |
| spellingShingle | Переопределенные интерполяционные задачи для целых функций экспоненциального типа Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. Математика |
| title | Переопределенные интерполяционные задачи для целых функций экспоненциального типа |
| title_alt | Перевизначенi iнтерполяцiйнi задачi для цiлих функцiй експоненцiального типу Overdetermined interpolation problems for entire functions of the exponential type |
| title_full | Переопределенные интерполяционные задачи для целых функций экспоненциального типа |
| title_fullStr | Переопределенные интерполяционные задачи для целых функций экспоненциального типа |
| title_full_unstemmed | Переопределенные интерполяционные задачи для целых функций экспоненциального типа |
| title_short | Переопределенные интерполяционные задачи для целых функций экспоненциального типа |
| title_sort | переопределенные интерполяционные задачи для целых функций экспоненциального типа |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87807 |
| work_keys_str_mv | AT volčkovvv pereopredelennyeinterpolâcionnyezadačidlâcelyhfunkciiéksponencialʹnogotipa AT volčkovvitv pereopredelennyeinterpolâcionnyezadačidlâcelyhfunkciiéksponencialʹnogotipa AT volčkovvv pereviznačeniinterpolâciinizadačidlâcilihfunkciieksponencialʹnogotipu AT volčkovvitv pereviznačeniinterpolâciinizadačidlâcilihfunkciieksponencialʹnogotipu AT volčkovvv overdeterminedinterpolationproblemsforentirefunctionsoftheexponentialtype AT volčkovvitv overdeterminedinterpolationproblemsforentirefunctionsoftheexponentialtype |