Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости

Установлены теоремы о корректной разрешимости общей параболической начально-краевой задачи в некоторых классах гильбертовых пространств обобщенной гладкости. Последняя характеризуется числовыми параметрами и дополнительным функциональным параметром, который медленно меняется на бесконечности по Кара...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2014
Main Authors:	Лось, В.Н., Мурач, А.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2014
Series:	Доповіді НАН України
Subjects:	Математика
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87809
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости / В.Н. Лось, А.А. Мурач // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 23-31. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87809
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-878092025-02-09T22:42:41Z Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости Параболiчнi мiшанi задачi у просторах узагальненої гладкостi Parabolic mixed problems in spaces of generalized smoothness Лось, В.Н. Мурач, А.А. Математика Установлены теоремы о корректной разрешимости общей параболической начально-краевой задачи в некоторых классах гильбертовых пространств обобщенной гладкости. Последняя характеризуется числовыми параметрами и дополнительным функциональным параметром, который медленно меняется на бесконечности по Карамата. В качестве приложения даны новые достаточные условия непрерывности обобщенных производных заданного порядка решения задачи. Встановлено теореми про коректну розв’язнiсть загальної параболiчної початково-крайової задачi у деяких класах гiльбертових просторiв узагальненої гладкостi. Остання характеризується числовими параметрами i додатковим функцiональним параметром, який повiльно змiнюється на нескiнченностi за Караматою. Як застосування наведенi новi достатнi умови неперервностi узагальнених похiдних заданого порядку розв’язку задачi. We prove theorems on a well-posedness of a general parabolic initial-boundary-value problem in some classes of Hilbert spaces of generalized smoothness. The latter is characterized by number parameters and a supplementary function parameter that varies slowly at infinity in Karamata’s sense. As an application, we give new sufficient conditions under which some generalized derivatives of a solution to the problem should be continuous. 2014 Article Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости / В.Н. Лось, А.А. Мурач // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 23-31. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87809 517.956.4 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Лось, В.Н. Мурач, А.А. Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости Доповіді НАН України
description	Установлены теоремы о корректной разрешимости общей параболической начально-краевой задачи в некоторых классах гильбертовых пространств обобщенной гладкости. Последняя характеризуется числовыми параметрами и дополнительным функциональным параметром, который медленно меняется на бесконечности по Карамата. В качестве приложения даны новые достаточные условия непрерывности обобщенных производных заданного порядка решения задачи.
format	Article
author	Лось, В.Н. Мурач, А.А.
author_facet	Лось, В.Н. Мурач, А.А.
author_sort	Лось, В.Н.
title	Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости
title_short	Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости
title_full	Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости
title_fullStr	Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости
title_full_unstemmed	Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости
title_sort	параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Математика
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87809
citation_txt	Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости / В.Н. Лось, А.А. Мурач // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 23-31. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT losʹvn paraboličeskiesmešannyezadačivprostranstvahobobŝennoigladkosti AT muračaa paraboličeskiesmešannyezadačivprostranstvahobobŝennoigladkosti AT losʹvn paraboličnimišanizadačiuprostorahuzagalʹnenoígladkosti AT muračaa paraboličnimišanizadačiuprostorahuzagalʹnenoígladkosti AT losʹvn parabolicmixedproblemsinspacesofgeneralizedsmoothness AT muračaa parabolicmixedproblemsinspacesofgeneralizedsmoothness
first_indexed	2025-12-01T13:06:45Z
last_indexed	2025-12-01T13:06:45Z
_version_	1850311343935062016
fulltext	УДК 517.956.4 В.Н. Лось, А. А. Мурач Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости (Представлено членом-корреспондентом НАН Украины М.Л. Горбачуком) Установлены теоремы о корректной разрешимости общей параболической начально- краевой задачи в некоторых классах гильбертовых пространств обобщенной гладкос- ти. Последняя характеризуется числовыми параметрами и дополнительным функцио- нальным параметром, который медленно меняется на бесконечности по Карамата. В качестве приложения даны новые достаточные условия непрерывности обобщенных производных заданного порядка решения задачи. Общие параболические начально–краевые задачи достаточно полно исследованы в класси- ческих шкалах функциональных пространств Гельдера–Зигмунда и Соболева [1–5]. Цен- тральное место в теории таких задач занимают теоремы об их корректной разрешимости в подходящих парах пространств, принадлежащих указанным шкалам. Эти теоремы имеют важные применения к исследованию свойств регулярности решений параболической зада- чи, свойств ее функции Грина и др. (см., например, [6]). В этой связи представляет интерес исследование свойств параболических задач в шка- лах функциональных пространств, более тонко градуированных, чем упомянутые выше классические шкалы. Гильбертовы пространства Hµ := B2,µ, введенные и систематичес- ки изученные Л. Хермандером [7] и Л.Р. Волевичем, Б.П. Панеяхом [8], являются весь- ма перспективными в этом плане. Для этих пространств показателем регулярности функ- ций/распределений служит не число, а достаточно общий функциональный параметр µ, зависящий от частотных переменных (двойственных к пространственным относительно преобразования Фурье). Такие пространства именуют пространствами обобщенной глад- кости [9, 10]. Они имеют различные приложения в теории дифференциальных операторов и теории случайных процессов. Так, недавно В.А. Михайлец и А.А. Мурач [11, 12] построили теорию общих эллип- тических дифференциальных операторов и эллиптических краевых задач в гильбертовых шкалах пространств Hs,ϕ := B2,µ, для которых показателем регулярности служит функция вида µ(ξ) := (1 + \|ξ\|2)s/2ϕ((1 + \|ξ\|2)1/2). Здесь числовой параметр s вещественный, а функ- циональный параметр ϕ медленно меняется на бесконечности по Й. Карамата. В основе этой теории лежит метод интерполяции гильбертовых пространств с функциональным парамет- ром. Он позволяет вывести теоремы о свойствах эллиптических операторов из соответст- вующих теорем соболевской теории этих операторов. Метод интерполяции пространств ока- зывается весьма полезным и в теории параболических дифференциальных уравнений [3]. В настоящей работе мы установим теоремы о корректной разрешимости общей началь- но-краевой 2b-параболической задачи в классах гильбертовых анизотропных пространств Хермандера Hs,s/(2b),ϕ, где параметры s и ϕ такие, как и в упомянутой эллиптической тео- рии. В качестве применения будут получены новые достаточные условия непрерывности обобщенных производных (заданного порядка) решения задачи. © В. Н. Лось, А.А. Мурач, 2014 ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 23 В двумерном случае общая параболическая задача с нулевыми начальными данными исследована нами в [13, 14]. 1. Постановка задачи. Пусть произвольно заданы целое число n > 2, вещественное число τ > 0 и ограниченная область G ⊂ R n с бесконечно гладкой границей Γ := ∂G. Рассмотрим в цилиндре Ω := G × (0, τ), где S := Γ × (0, τ) — его боковая поверхность, параболическую начально-краевую задачу: A(x, t,Dx, ∂t)u(x, t) ≡ ∑ \|α\|+2bβ62m aα,β(x, t)Dα x∂ β t u(x, t) = f(x, t) в Ω, (1) Bj(x, t,Dx, ∂t)u(x, t) ∣∣ S ≡ ∑ \|α\|+2bβ6mj bα,βj (x, t)Dα x∂ β t u(x, t) ∣∣ S = gj(x, t) при x ∈ Γ, 0 < t < τ для каждого j ∈ {1, . . . ,m}, (2) ∂kt u(x, t) ∣∣ t=0 = hk(x) при x ∈ G для каждого k ∈ {0, . . . ,κ − 1}. (3) Здесь b, m и все mj — произвольно заданные целые числа, удовлетворяющие условиям m > b > 1, κ := m/b ∈ Z, и mj > 0. Число 2b называется параболическим весом данной задачи. Все коэффициенты дифференциальных выражений A := A(x, t,Dx, ∂t) и Bj := = Bj(x, t,Dx, ∂t) являются бесконечно гладкими комплекснозначными функциями: aα,β ∈ ∈ C∞(Ω) и bα,βj ∈ C∞(S), где Ω := G × [0, τ ], S := Γ × [0, τ ]. В работе используются следующие обозначения для частных производных: Dα x := = Dα1 1 . . . Dαn n , Dk := i∂/∂xk и ∂t := ∂/∂t. Здесь x = (x1, . . . , xn) — произвольная точка пространства R n, а α = (α1, . . . , αn) — мультииндекс и \|α\| := α1 + · · ·+ αn. В формулах (1) и (2) суммирование ведется по целым индексам α1, . . . , αn, β > 0, которые удовлетворяют условиям, написанным под знаком суммы. Напомним [1, § 9, п. 1], что начально-краевая задача (1)–(3) называется параболической в цилиндре Ω, если выполняются следующие два условия. Условие 1. Для произвольных x ∈ G, t ∈ [0, τ ], ξ ∈ R n и p ∈ C, Re p > 0, верно A(0)(x, t, ξ, p) ≡ ∑ \|α\|+2bβ=2m aα,β(x, t)ξαpβ 6= 0 как только \|ξ\|+ \|p\| 6= 0. Произвольно выберем x ∈ Γ, t ∈ [0, τ ], касательный вектор ξ ∈ R n к границе Γ в точке x и число p ∈ C, Re p > 0, такие, что \|ξ\| + \|p\| 6= 0. Пусть ν(x) — орт внутренней нормали к границе Γ в точке x. Из условия 1 следует, что многочлен A(0)(x, t, ξ+ζν(x), p) переменного ζ ∈ C имеет точно m корней ζ+j (x, t, ξ, p), j = 1, . . . ,m, с положительной мнимой частью и m корней с отрицательной мнимой частью (с учетом их кратности). Условие 2. При каждом таком выборе x, t, ξ и p многочлены B (0) j (x, t, ξ + ζν(x), p) ≡ ∑ \|α\|+2bβ=mj bα,βj (x, t)(ξ + ζν(x))αpβ, j = 1, . . . ,m, переменного ζ ∈ C линейно независимы по модулю многочлена m∏ j=1 (ζ − ζ+j (x, t, ξ, p)). Отметим, что условие 1 — это условие 2b-параболичности по И. Г. Петровскому диффе- ренциального уравнения Au = f в замкнутом цилиндре Ω, а условие 2 выражает тот факт, 24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6 что система граничных дифференциальных операторов {B1, . . . , Bm} накрывает диффе- ренциальный оператор A на боковой поверхности S этого цилиндра. 2. Пространства обобщенной гладкости и уточненная шкала. Задачу (1)–(3) ис- следуем в шкалах гильбертовых функциональных пространств Hµ := B2,µ, введенных неза- висимо Л. Хермандером [7, п. 2.2] и Л.Р. Волевичем, Б.П. Панеяхом [8, § 2, 3]. Показателем регулярности функций (или распределений), образующих пространство Hµ(Rk), где целое k > 2, служит измеримая по Борелю функция µ : Rk → (0,∞), удовлетворяющая следую- щему условию: существуют положительные числа c и l такие, что µ(ξ)/µ(η) 6 c(1+ \|ξ− η\|)l для любых ξ, η ∈ R k. По определению, линейное пространство Hµ(Rk) состоит из всех медленно растущих распределений w ∈ S ′(Rk), преобразование Фурье ŵ которых является локально интегри- руемой по Лебегу функцией и удовлетворяет условию ‖w‖2Hµ(Rk) := ∫ Rk µ2(ξ)\|ŵ(ξ)\|2dξ <∞. (В работе распределения/функции предполагаются комплекснозначными.) Это пространс- тво гильбертово относительно введенной нормы ‖w‖Hµ(Rk). Нам понадобятся следующие версии пространства Hµ(Rk) для произвольного открытого множества V 6= ∅. Линейное пространство Hµ(V ) состоит, по определению, из сужений u = w ↾ V всех распределений w ∈ Hµ(Rk) на множество V . В этом пространстве задана норма по формуле ‖u‖Hµ(V ) := inf{‖w‖Hµ(Rk) : w ∈ Hµ(Rk), u = w ↾ V }. Линейное пространство Hµ +(V ) состоит, по определению, из сужений u = w ↾ V всех распре- делений w ∈ Hµ(Rk), равных нулю при xk < 0. Здесь w = w(x′, xk), где x′ = (x1, . . . , xk−1) ∈ ∈ R k−1 и xk ∈ R. В этом пространстве определена норма по формуле ‖u‖Hµ +(V ) := inf{‖w‖Hµ(Rk) : w ∈ Hµ(Rk), w(x′, xk) ≡ 0 при xk < 0, u = w ↾ V }. Оно понадобится в случае, когда множество V примыкает к евклидовому полупространству, заданному условием xk < 0. Пространства Hµ(V ) и Hµ +(V ) гильбертовы. Для удобства обозначений в п. 2 положим γ := 1/(2b). Будем использовать показатели регулярности вида µ(ξ′, ξk) = (1 + \|ξ′\|2 + \|ξk\| 2γ)s/2ϕ((1 + \|ξ′\|2 + \|ξk\| 2γ)1/2), (4) где ξ′ ∈ R k−1 и ξk ∈ R — аргументы функции µ. Здесь числовой параметр s вещественный, а функциональный параметр ϕ пробегает класс M. Последний состоит из всех измеримых по Борелю функций ϕ : [1,∞) → (0,∞), которые удовлетворяют следующим двум условиям: а) обе функции ϕ и 1/ϕ ограничены на каждом отрезке [1, b], где 1 < b < ∞; б) функция ϕ медленно меняется по Й. Карамата на бесконечности, а именно, ϕ(λr)/ϕ(r) → 1 при r → ∞ для каждого λ > 0. Теория медленно меняющихся функций (на бесконечности) изложена, например, в мо- нографии [15]. Их важным примером служат функции вида ϕ(r) := (log r)θ1(log log r)θ2 · · · (log · · · log︸︷︷︸ k раз r)θk при r ≫ 1, где параметры k ∈ N и θ1, θ2, . . . , θk ∈ R произвольны. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 25 Пусть s ∈ R и ϕ ∈ M. Решение u начально-краевой задачи (1)–(3) и правые час- ти f уравнения (1) будем рассматривать в гильбертовых функциональных пространствах Hs,sγ,ϕ(Ω) := Hµ(Ω) и Hs,sγ,ϕ + (Ω) := Hµ +(Ω), где показатель µ определен по формуле (4), в которой k := n+ 1. (Последнее пространство понадобится в случае, когда все hk = 0.) Если ϕ(r) ≡ 1, то Hs,sγ,ϕ(Ω) становится анизотропным гильбертовым пространством Соболева порядка (s, sγ); обозначим его через Hs,sγ(Ω). Здесь s — показатель регулярности распределения u = u(x, t) по пространственной переменной x ∈ G, а sγ — показатель регу- лярности по временно́й переменной t ∈ (0, τ). В общей ситуации, когда ϕ ∈ M произвольно, выполняются непрерывные и плотные вложения Hs1,s1γ(Ω) →֒ Hs,sγ,ϕ(Ω) →֒ Hs0,s0γ(Ω) при s0 < s < s1. (5) Рассмотрим класс гильбертовых функциональных пространств {Hs,sγ,ϕ(Ω): s ∈ R, ϕ ∈ M}. (6) Вложения (5) показывают, что в (6) функциональный параметр ϕ определяет дополнитель- ную гладкость по отношению к основной анизотропной (s, sγ)-гладкости. Если ϕ(r) → ∞ (либо ϕ(r) → 0) при r → ∞, то ϕ определяет позитивную (либо негативную) дополнитель- ную гладкость. Иначе говоря, ϕ уточняет основную гладкость (s, sγ). Поэтому естествен- но именовать класс пространств (6) уточненной анизотропной соболевской шкалой на Ω (коротко — уточненной шкалой). Здесь γ служит параметром анизотропии пространств, образующих эту шкалу. Определим гильбертовы пространства, в которых рассматриваются правые части крае- вых и начальных условий задачи (1)–(3). Пространства, к которым принадлежат правые части gj краевых условий (2), заданы на боковой поверхности S = Γ× (0, τ) цилиндра Ω и определяются с помощью локальных ко- ординат следующим образом. Для открытой полосы Π := R n−1×(0, τ) рассмотрим гильбер- товы пространства Hs,sγ,ϕ(Π) := Hµ(Π) и Hs,sγ,ϕ + (Π) := Hµ +(Π), где показатель µ определен по формуле (4), в которой k := n. Выберем какой-либо конечный атлас из C∞-структу- ры на замкнутом многообразии Γ, образованный локальными картами θj : R n−1 ↔ Γj , где j = 1, . . . , λ. Здесь открытые множества Γ1, . . . ,Γλ составляют покрытие многообразия Γ. Кроме того, произвольно выберем функции χj ∈ C ∞(Γ), j = 1, . . . , λ, такие, что suppχj ⊂ Γj и λ∑ j=1 χj ≡ 1 на Γ. По определению, линейное пространство Hs,sγ,ϕ(S) состоит из всех распределений v ∈ ∈ D′(S) на многообразии S таких, что для каждого номера j ∈ {1, . . . , λ} распределение vj(x, t) := χj(θj(x))v(θj(x), t) аргументов x ∈ Γ и t ∈ (0, τ) принадлежит к Hs,sγ,ϕ(Π). В пространстве Hs,sγ,ϕ(S) задана норма по формуле ‖v‖Hs,sγ,ϕ(S) := ( λ∑ j=1 ‖vj‖ 2 Hs,sγ,ϕ(Π) )1/2 . Оно гильбертово относительно этой нормы. Заменив в этом определении пространство Hs,sγ,ϕ(Π) на Hs,sγ,ϕ + (Π), получим определе- ние гильбертового пространства Hs,sγ,ϕ + (S). 26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6 Введенные пространства Hs,sγ,ϕ(S) и Hs,sγ,ϕ + (S) не зависят (с точностью до эквивалент- ности норм) от указанного выбора атласа и разбиения единицы на Γ. Наконец, укажем пространства, в которых рассматриваются правые части hk начальных условий (3). Это гильбертовы пространства Hs,ϕ(G) := Hµ(G) с показателем µ(ξ) := (1 + + \|ξ\|2)s/2ϕ((1+ \|ξ\|2)1/2) аргумента ξ ∈ R n. Их систематически использовали В.А. Михайлец и А.А. Мурач в теории эллиптических краевых задач [11, 12]. Если ϕ ≡ 1, то введенные выше пространства становятся соболевскими пространствами (анизотропными на Ω и S либо изотропными на G). В этом случае будем опускать индекс ϕ в обозначениях пространств. 3. Основные результаты работы составляют теоремы об изоморфизмах, порожден- ных параболической начально-краевой задачей (1)–(3) в уточненной шкале. Сформулируем их. Пусть σ0 обозначает наименьшее целое число, удовлетворяющее условиям σ0 > 2m, σ0 > mj + 1 для всех j ∈ {1, . . . ,m} и σ0 2b ∈ Z. В частности, если mj 6 2m − 1 для каждого j ∈ {1, . . . ,m}, то σ0 = 2m. Представляет отдельный интерес [1, § 9] задача (1)–(3) в случае нулевых начальных данных, т. е. когда все hk ≡ 0. В этом случае свяжем с ней линейное отображение u 7→ (Au,Bu) := (Au,B1u, . . . , Bmu), u ∈ C∞ + (Ω). (7) Здесь C∞ + (Ω) — линейное пространство всех функций u = u(x, t) класса C∞(Ω) таких, что ∂βt u(x, 0) = 0 для всех x ∈ G и β ∈ N ∪ {0}. Теорема 1. Пусть произвольно заданы параметры: вещественное число s > σ0 и функ- ция ϕ ∈ M. Тогда отображение (7) продолжается единственным образом (по непрерыв- ности) до изоморфизма (A,B) : H s,s/(2b),ϕ + (Ω) ↔ H s−2m,(s−2m)/(2b),ϕ + (Ω)⊕ m⊕ j=1 H s−mj−1/2,(s−mj−1/2)/(2b),ϕ + (S). (8) В общем случае ненулевых начальных данных свяжем с задачей (1)–(3) линейное ото- бражение u 7→ Λu := (Au,B1u, . . . , Bmu, u ↾ G, . . . , (∂κ−1 t u) ↾ G), u ∈ C∞(Ω). (9) Теорема 2. Пусть произвольно заданы параметры: вещественное число s > σ0 и функ- ция ϕ ∈ M. Предположим, что s + 1/2 /∈ Z и s/(2b) + 1/2 /∈ Z. Тогда отображение (9) продолжается единственным образом (по непрерывности) до изоморфизма Λ: Hs,s/(2b),ϕ(Ω) ↔ Qs−2m,(s−2m)/(2b),ϕ. (10) Здесь Qs−2m,(s−2m)/(2b),ϕ обозначает подпространство пространства Hs−2m,(s−2m)/(2b),ϕ := Hs−2m,(s−2m)/(2b),ϕ(Ω)⊕ ⊕ m⊕ j=1 Hs−mj−1/2,(s−mj−1/2)/(2b),ϕ(S)⊕ κ−1⊕ k=0 Hs−2bk−b,ϕ(G), ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 27 образованное всеми векторами F := (f, g1, . . . , gm, h0, . . . , hκ−1) ∈ Hs−2m,(s−2m)/(2b),ϕ, которые удовлетворяют следующему условию согласования правых частей задачи (1)–(3). Для вектора F существует функция v = v(x, t) класса Hs,s/(2b),ϕ(Ω) такая, что f −Av ∈ H s−2m,(s−2m)/(2b),ϕ + (Ω), gj −Bjv ∈ H s−mj−1/2,(s−mj−1/2)/(2b),ϕ + (S) для всех j ∈ {1, . . . ,m}, hk = ∂kt v ∣∣ t=0 для всех k ∈ {0, . . . ,κ − 1}. Это условие согласования можно сформулировать в эквивалентном и конструктивном виде без привлечения уточненной шкалы пространств (см., например, [2, с. 707]). А именно, оно состоит в том, что производные ∂kt u(x, t) ∣∣ t=0 , которые можно вычислить из параболи- ческого уравнения (1) и начальных данных (3), должны удовлетворять при x ∈ Γ краевым условиям (2) и соотношениям, получающимся в результате дифференцирования краевых условий по переменной t. Отметим, что теорема 2 верна и в случае, когда параметр s > σ0 удовлетворяет одному из условий s+1/2 ∈ Z и s/(2b)+1/2 ∈ Z, если гильбертово пространство Qs−2m,(s−2m)/(2b),ϕ определить с помощью интерполяции Qs−2m,(s−2m)/(2b),ϕ := [Qs−2m−ε,(s−2m−ε)/(2b),ϕ,Qs−2m+ε,(s−2m+ε)/(2b),ϕ]1/2. Здесь число ε ∈ (0, 1/2), а правая часть равенства есть результат интерполяции указанной пары гильбертовых пространств с числовым параметром 1/2. В соболевском случае ϕ ≡ 1 теоремы 1 и 2 известны. Теорема 2 доказана М.С. Агра- новичем и М.И. Вишиком [1, теорема 12.1] в предположении, что число s/(2b) целое (их результат охватывает предельный случай s = σ0). Это предположение можно опустить, что следует из результата Н.В. Житарашу и С.Д. Эйдельмана [4, теорема 5.7]. Теорема 1 является важным частным случаем теоремы 2, если s+ 1/2 /∈ Z и s/(2b) + 1/2 /∈ Z. 4. Применение. В силу упомянутой теоремы Аграновича–Вишика каждому вектору F ∈ Qσ0−2m,(σ0−2m)/(2b) соответствует единственный прообраз u ∈ Hσ0,σ0/(2b)(Ω) при ото- бражении (10). Эту функцию-прообраз u называем обобщенным решением задачи (1)–(3) с правой частью F = (f, g1, . . . , gm, h0, . . . , hκ−1). В качестве применения теоремы 2 дадим следующее достаточное условие непрерывности обобщенного решения u и его обобщенных частных производных заданного порядка. Теорема 3. Пусть произвольно выбрано целое число q > 0. Предположим, что функция u ∈ Hσ0,σ0/(2b)(Ω) является обобщенным решением задачи (1)–(3), правые части которой удовлетворяют условию F = (f, g1, . . . , gm, h0, . . . , hκ−1) ∈ Qs−2m,(s−2m)/(2b),ϕ, где s := 2bq + b+ n/2 > σ0, а функциональный параметр ϕ ∈ M такой, что ∞∫ 1 dt tϕ2(t) <∞. 28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6 Тогда решение u(x, t) и все его обобщенные частные производные Dα x∂ β t u(x, t), для которых \|α\| + 2bβ 6 2bq, являются непрерывными функциями на множестве Ω. Если сформулировать аналог теоремы 3 для анизотропных соболевских пространств (случай ϕ ≡ 1), то придется заменить ее условие на более сильное: правые части задачи (1)– (3) удовлетворяют включению F ∈ Qs−2m,(s−2m)/(2b) при некотором s > 2bq + b + n/2. Это существенно огрубляет результат. 5. Обоснование результатов. Теорему 1 можно вывести из теоремы Аграновича– Вишика [1, теорема 12.1] посредством интерполяции с функциональным параметром ани- зотропных пространств Соболева. Определение и свойства этой интерполяции приведены, например, в [11, пп. 1.1, 2.4.2]. Наметим доказательство теоремы 1. Выберем число σ1 > s такое, что σ1/(2b) ∈ Z. В силу упомянутой теоремы Аграновича–Вишика имеем изоморфизм (8) при ϕ ≡ 1 и каждом s ∈ {σ0, σ1}. Определим интерполяционный функциональный параметр ψ по формулам ψ(r) := r(s−σ0)/(σ1−σ0)ϕ(r1/(σ1−σ0)) при r > 1 и ψ(r) := ϕ(1) при 0 < r < 1. Применив интерполяцию с этим параметром к анизотропным соболевским пространствам, в которых действуют изоморфизмы (8) при ϕ ≡ 1 и s ∈ {σ0, σ1}, получим еще один изоморфизм (A,B) : [H σ0,σ0/(2b) + (Ω),H σ1,σ1/(2b) + (Ω)]ψ ↔ ↔ [H σ0−2m,(σ0−2m)/(2b) + (Ω),H σ1−2m,(σ1−2m)/(2b) + (Ω)]ψ ⊕ ⊕ m⊕ j=1 [H σ0−mj−1/2,(σ0−mj−1/2)/(2b) + (S),H σ1−mj−1/2,(σ1−mj−1/2)/(2b) + (S)]ψ. Здесь выражение [E1, E2]ψ обозначает гильбертово пространство, полученное в результате интерполяции с параметром ψ пары гильбертовых пространств E1 и E2. Можно показать, что интерполяционные пространства, в которых действует этот изоморфизм, совпадают (с точностью до эквивалентности норм) с соответствующими пространствами, фигурирую- щими в (8). Тем самым будет доказана теорема 1. Так, исходя из определения интерполяции, непосредственно проверяется формула [Hσ0,σ0/(2b)(Rn+1),Hσ1,σ1/(2b)(Rn+1)]ψ = Hs,s/(2b),ϕ(Rn+1). Отсюда выводятся необходимые интерполяционные формулы с помощью общих методов интерполяции пространств, заданных в евклидовых областях и на многообразиях (см., на- пример, [11, пп. 2.1.2, 3.2]). В случае n = 1 соответствующие доказательства даны нами в [13, п. 5]. Теорема 2 выводится из теоремы 1 согласно схеме доказательства теоремы 10.1 статьи М.С. Аграновича и М.И. Вишика [1]. При этом решение задачи (1)–(3) ищется в виде u = v+w, где функция v ∈ Hs,s/(2b),ϕ(Ω) фигурирует в условии согласования правых частей этой задачи, а функция w ∈ H s,s/(2b),ϕ + (Ω) является решением краевой задачи Aw = f −Av в Ω и Bjw = gj − Bjv на S для каждого j ∈ {1, . . . ,m}. Функцию v можно выбрать так, чтобы выполнялась оценка ‖v‖Hs,s/(2b),ϕ(Ω) 6 c‖f‖Hs−2m,(s−2m)/(2b),ϕ(Ω) + c κ−1∑ k=0 ‖hk‖Hs−2bk−b,ϕ(G) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 29 с некоторым числом c > 0, не зависящим от v и правых частей задачи. Требуемый изомор- физм (10) следует из этой оценки и теоремы 1. Теорема 3 вытекает из теоремы 2, в силу которой u ∈ Hs,s/(2b),ϕ(Ω), и некоторой версии теоремы вложения Л. Хермандера [7, теорема 2.2.7]. Согласно этой версии [14, п. 5], всякая функция u ∈ Hs,s/(2b),ϕ(Ω), где параметры s и ϕ удовлетворяют условию теоремы 3, имеет свойства гладкости, указанные в заключении этой теоремы. 1. Агранович М.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // Успехи мат. наук. – 1964. – 19, № 3. – С. 53–161. 2. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения пара- болического типа. – Москва: Наука, 1967. – 736 с. 3. Lions J.-L., Magenes E. Non-homogeneous boundary-value problems and applications. Vol. 2. – Berlin: Springer, 1972. – xi+242 p. 4. Житарашу Н.В., Эйдельман С.Д. Параболические граничные задачи. – Кишинев: Штиинца, 1992. – 328 с. 5. Eidel’man S.D. Parabolic equations // Encycl. Math. Sci. Vol. 63. Partial differential equations, VI. – Berlin: Springer, 1994. – P. 205–316. 6. Ивасишен С.Д. Матрицы Грина параболических граничных задач. – Киев: Выща шк., 1990. – 200 с. 7. Hörmander L. Linear partial differential operators. – Berlin: Springer, 1963. – 285 p. 8. Волевич Л.Р., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // Успехи мат. наук. – 1965. – 20, № 1. – С. 3–74. 9. Лизоркин П.И. Пространства обобщенной гладкости // Трибель Х. Теория функциональных про- странств. – Москва: Мир, 1986. – С. 381–415. 10. Farkas W., Leopold H.-G. Characterisations of function spaces of generalized smoothness // Ann. Mat. Pura Appl. – 2006. – 185, No 1. – P. 1–62. 11. Михайлец В.А., Мурач А.А. Пространства Хермандера, интерполяция и эллиптические задачи. – Kиев: Ин-т математики НАН Украины, 2010. – 372 с. – (Доступно как arXiv: 1106.3214.). 12. Mikhailets V.A., Murach A.A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems // Banach J. Math. Anal. – 2012. – 6, No 2. – P. 211–281. 13. Los V., Murach A.A. Parabolic problems and interpolation with a function parameter // Meth. Funct. Anal. Topol. – 2013. – 19, No 2. – P. 146–160. 14. Лось В.М., Мурач О.О. Про гладкiсть розв’язкiв параболiчних мiшаних задач // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2013. – 10, № 2. – С. 219–234. 15. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – Москва: Наука, 1985. – 144 с. Поступило в редакцию 04.02.2014Черниговский национальный технологический университет Институт математики НАН Украины, Киев В.М. Лось, О. О. Мурач Параболiчнi мiшанi задачi у просторах узагальненої гладкостi Встановлено теореми про коректну розв’язнiсть загальної параболiчної початково-крайової задачi у деяких класах гiльбертових просторiв узагальненої гладкостi. Остання характери- зується числовими параметрами i додатковим функцiональним параметром, який повiль- но змiнюється на нескiнченностi за Караматою. Як застосування наведенi новi достатнi умови неперервностi узагальнених похiдних заданого порядку розв’язку задачi. 30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6 V.N. Los, A.A. Murach Parabolic mixed problems in spaces of generalized smoothness We prove theorems on a well-posedness of a general parabolic initial-boundary-value problem in some classes of Hilbert spaces of generalized smoothness. The latter is characterized by number parameters and a supplementary function parameter that varies slowly at infinity in Karamata’s sense. As an application, we give new sufficient conditions under which some generalized derivatives of a solution to the problem should be continuous. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 31

Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости

Institution

Similar Items