Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости
Установлены теоремы о корректной разрешимости общей параболической начально-краевой задачи в некоторых классах гильбертовых пространств обобщенной гладкости. Последняя характеризуется числовыми параметрами и дополнительным функциональным параметром, который медленно меняется на бесконечности по Кара...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87809 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости / В.Н. Лось, А.А. Мурач // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 23-31. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859728772981325824 |
|---|---|
| author | Лось, В.Н. Мурач, А.А. |
| author_facet | Лось, В.Н. Мурач, А.А. |
| citation_txt | Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости / В.Н. Лось, А.А. Мурач // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 23-31. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Установлены теоремы о корректной разрешимости общей параболической начально-краевой задачи в некоторых классах гильбертовых пространств обобщенной гладкости. Последняя характеризуется числовыми параметрами и дополнительным функциональным параметром, который медленно меняется на бесконечности по Карамата.
В качестве приложения даны новые достаточные условия непрерывности обобщенных
производных заданного порядка решения задачи.
Встановлено теореми про коректну розв’язнiсть загальної параболiчної початково-крайової
задачi у деяких класах гiльбертових просторiв узагальненої гладкостi. Остання характеризується числовими параметрами i додатковим функцiональним параметром, який повiльно змiнюється на нескiнченностi за Караматою. Як застосування наведенi новi достатнi
умови неперервностi узагальнених похiдних заданого порядку розв’язку задачi.
We prove theorems on a well-posedness of a general parabolic initial-boundary-value problem in
some classes of Hilbert spaces of generalized smoothness. The latter is characterized by number
parameters and a supplementary function parameter that varies slowly at infinity in Karamata’s
sense. As an application, we give new sufficient conditions under which some generalized derivatives
of a solution to the problem should be continuous.
|
| first_indexed | 2025-12-01T13:06:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.4
В.Н. Лось, А. А. Мурач
Параболические смешанные задачи в пространствах
обобщенной гладкости
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины М.Л. Горбачуком)
Установлены теоремы о корректной разрешимости общей параболической начально-
краевой задачи в некоторых классах гильбертовых пространств обобщенной гладкос-
ти. Последняя характеризуется числовыми параметрами и дополнительным функцио-
нальным параметром, который медленно меняется на бесконечности по Карамата.
В качестве приложения даны новые достаточные условия непрерывности обобщенных
производных заданного порядка решения задачи.
Общие параболические начально–краевые задачи достаточно полно исследованы в класси-
ческих шкалах функциональных пространств Гельдера–Зигмунда и Соболева [1–5]. Цен-
тральное место в теории таких задач занимают теоремы об их корректной разрешимости
в подходящих парах пространств, принадлежащих указанным шкалам. Эти теоремы имеют
важные применения к исследованию свойств регулярности решений параболической зада-
чи, свойств ее функции Грина и др. (см., например, [6]).
В этой связи представляет интерес исследование свойств параболических задач в шка-
лах функциональных пространств, более тонко градуированных, чем упомянутые выше
классические шкалы. Гильбертовы пространства Hµ := B2,µ, введенные и систематичес-
ки изученные Л. Хермандером [7] и Л.Р. Волевичем, Б.П. Панеяхом [8], являются весь-
ма перспективными в этом плане. Для этих пространств показателем регулярности функ-
ций/распределений служит не число, а достаточно общий функциональный параметр µ,
зависящий от частотных переменных (двойственных к пространственным относительно
преобразования Фурье). Такие пространства именуют пространствами обобщенной глад-
кости [9, 10]. Они имеют различные приложения в теории дифференциальных операторов
и теории случайных процессов.
Так, недавно В.А. Михайлец и А.А. Мурач [11, 12] построили теорию общих эллип-
тических дифференциальных операторов и эллиптических краевых задач в гильбертовых
шкалах пространств Hs,ϕ := B2,µ, для которых показателем регулярности служит функция
вида µ(ξ) := (1 + |ξ|2)s/2ϕ((1 + |ξ|2)1/2). Здесь числовой параметр s вещественный, а функ-
циональный параметр ϕ медленно меняется на бесконечности по Й. Карамата. В основе этой
теории лежит метод интерполяции гильбертовых пространств с функциональным парамет-
ром. Он позволяет вывести теоремы о свойствах эллиптических операторов из соответст-
вующих теорем соболевской теории этих операторов. Метод интерполяции пространств ока-
зывается весьма полезным и в теории параболических дифференциальных уравнений [3].
В настоящей работе мы установим теоремы о корректной разрешимости общей началь-
но-краевой 2b-параболической задачи в классах гильбертовых анизотропных пространств
Хермандера Hs,s/(2b),ϕ, где параметры s и ϕ такие, как и в упомянутой эллиптической тео-
рии. В качестве применения будут получены новые достаточные условия непрерывности
обобщенных производных (заданного порядка) решения задачи.
© В. Н. Лось, А.А. Мурач, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 23
В двумерном случае общая параболическая задача с нулевыми начальными данными
исследована нами в [13, 14].
1. Постановка задачи. Пусть произвольно заданы целое число n > 2, вещественное
число τ > 0 и ограниченная область G ⊂ R
n с бесконечно гладкой границей Γ := ∂G.
Рассмотрим в цилиндре Ω := G × (0, τ), где S := Γ × (0, τ) — его боковая поверхность,
параболическую начально-краевую задачу:
A(x, t,Dx, ∂t)u(x, t) ≡
∑
|α|+2bβ62m
aα,β(x, t)Dα
x∂
β
t u(x, t) = f(x, t) в Ω, (1)
Bj(x, t,Dx, ∂t)u(x, t)
∣∣
S
≡
∑
|α|+2bβ6mj
bα,βj (x, t)Dα
x∂
β
t u(x, t)
∣∣
S
= gj(x, t)
при x ∈ Γ, 0 < t < τ для каждого j ∈ {1, . . . ,m},
(2)
∂kt u(x, t)
∣∣
t=0
= hk(x) при x ∈ G для каждого k ∈ {0, . . . ,κ − 1}. (3)
Здесь b, m и все mj — произвольно заданные целые числа, удовлетворяющие условиям
m > b > 1, κ := m/b ∈ Z, и mj > 0. Число 2b называется параболическим весом данной
задачи. Все коэффициенты дифференциальных выражений A := A(x, t,Dx, ∂t) и Bj :=
= Bj(x, t,Dx, ∂t) являются бесконечно гладкими комплекснозначными функциями: aα,β ∈
∈ C∞(Ω) и bα,βj ∈ C∞(S), где Ω := G × [0, τ ], S := Γ × [0, τ ].
В работе используются следующие обозначения для частных производных: Dα
x :=
= Dα1
1 . . . Dαn
n , Dk := i∂/∂xk и ∂t := ∂/∂t. Здесь x = (x1, . . . , xn) — произвольная точка
пространства R
n, а α = (α1, . . . , αn) — мультииндекс и |α| := α1 + · · ·+ αn. В формулах (1)
и (2) суммирование ведется по целым индексам α1, . . . , αn, β > 0, которые удовлетворяют
условиям, написанным под знаком суммы.
Напомним [1, § 9, п. 1], что начально-краевая задача (1)–(3) называется параболической
в цилиндре Ω, если выполняются следующие два условия.
Условие 1. Для произвольных x ∈ G, t ∈ [0, τ ], ξ ∈ R
n и p ∈ C, Re p > 0, верно
A(0)(x, t, ξ, p) ≡
∑
|α|+2bβ=2m
aα,β(x, t)ξαpβ 6= 0 как только |ξ|+ |p| 6= 0.
Произвольно выберем x ∈ Γ, t ∈ [0, τ ], касательный вектор ξ ∈ R
n к границе Γ в точке x
и число p ∈ C, Re p > 0, такие, что |ξ| + |p| 6= 0. Пусть ν(x) — орт внутренней нормали
к границе Γ в точке x. Из условия 1 следует, что многочлен A(0)(x, t, ξ+ζν(x), p) переменного
ζ ∈ C имеет точно m корней ζ+j (x, t, ξ, p), j = 1, . . . ,m, с положительной мнимой частью
и m корней с отрицательной мнимой частью (с учетом их кратности).
Условие 2. При каждом таком выборе x, t, ξ и p многочлены
B
(0)
j (x, t, ξ + ζν(x), p) ≡
∑
|α|+2bβ=mj
bα,βj (x, t)(ξ + ζν(x))αpβ, j = 1, . . . ,m,
переменного ζ ∈ C линейно независимы по модулю многочлена
m∏
j=1
(ζ − ζ+j (x, t, ξ, p)).
Отметим, что условие 1 — это условие 2b-параболичности по И. Г. Петровскому диффе-
ренциального уравнения Au = f в замкнутом цилиндре Ω, а условие 2 выражает тот факт,
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6
что система граничных дифференциальных операторов {B1, . . . , Bm} накрывает диффе-
ренциальный оператор A на боковой поверхности S этого цилиндра.
2. Пространства обобщенной гладкости и уточненная шкала. Задачу (1)–(3) ис-
следуем в шкалах гильбертовых функциональных пространств Hµ := B2,µ, введенных неза-
висимо Л. Хермандером [7, п. 2.2] и Л.Р. Волевичем, Б.П. Панеяхом [8, § 2, 3]. Показателем
регулярности функций (или распределений), образующих пространство Hµ(Rk), где целое
k > 2, служит измеримая по Борелю функция µ : Rk → (0,∞), удовлетворяющая следую-
щему условию: существуют положительные числа c и l такие, что µ(ξ)/µ(η) 6 c(1+ |ξ− η|)l
для любых ξ, η ∈ R
k.
По определению, линейное пространство Hµ(Rk) состоит из всех медленно растущих
распределений w ∈ S ′(Rk), преобразование Фурье ŵ которых является локально интегри-
руемой по Лебегу функцией и удовлетворяет условию
‖w‖2Hµ(Rk) :=
∫
Rk
µ2(ξ)|ŵ(ξ)|2dξ <∞.
(В работе распределения/функции предполагаются комплекснозначными.) Это пространс-
тво гильбертово относительно введенной нормы ‖w‖Hµ(Rk).
Нам понадобятся следующие версии пространства Hµ(Rk) для произвольного открытого
множества V 6= ∅. Линейное пространство Hµ(V ) состоит, по определению, из сужений
u = w ↾ V всех распределений w ∈ Hµ(Rk) на множество V . В этом пространстве задана
норма по формуле
‖u‖Hµ(V ) := inf{‖w‖Hµ(Rk) : w ∈ Hµ(Rk), u = w ↾ V }.
Линейное пространство Hµ
+(V ) состоит, по определению, из сужений u = w ↾ V всех распре-
делений w ∈ Hµ(Rk), равных нулю при xk < 0. Здесь w = w(x′, xk), где x′ = (x1, . . . , xk−1) ∈
∈ R
k−1 и xk ∈ R. В этом пространстве определена норма по формуле
‖u‖Hµ
+(V ) := inf{‖w‖Hµ(Rk) : w ∈ Hµ(Rk), w(x′, xk) ≡ 0 при xk < 0, u = w ↾ V }.
Оно понадобится в случае, когда множество V примыкает к евклидовому полупространству,
заданному условием xk < 0. Пространства Hµ(V ) и Hµ
+(V ) гильбертовы.
Для удобства обозначений в п. 2 положим γ := 1/(2b). Будем использовать показатели
регулярности вида
µ(ξ′, ξk) = (1 + |ξ′|2 + |ξk|
2γ)s/2ϕ((1 + |ξ′|2 + |ξk|
2γ)1/2), (4)
где ξ′ ∈ R
k−1 и ξk ∈ R — аргументы функции µ. Здесь числовой параметр s вещественный,
а функциональный параметр ϕ пробегает класс M. Последний состоит из всех измеримых
по Борелю функций ϕ : [1,∞) → (0,∞), которые удовлетворяют следующим двум условиям:
а) обе функции ϕ и 1/ϕ ограничены на каждом отрезке [1, b], где 1 < b < ∞;
б) функция ϕ медленно меняется по Й. Карамата на бесконечности, а именно,
ϕ(λr)/ϕ(r) → 1 при r → ∞ для каждого λ > 0.
Теория медленно меняющихся функций (на бесконечности) изложена, например, в мо-
нографии [15]. Их важным примером служат функции вида
ϕ(r) := (log r)θ1(log log r)θ2 · · · (log · · · log︸ ︷︷ ︸
k раз
r)θk при r ≫ 1,
где параметры k ∈ N и θ1, θ2, . . . , θk ∈ R произвольны.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 25
Пусть s ∈ R и ϕ ∈ M. Решение u начально-краевой задачи (1)–(3) и правые час-
ти f уравнения (1) будем рассматривать в гильбертовых функциональных пространствах
Hs,sγ,ϕ(Ω) := Hµ(Ω) и Hs,sγ,ϕ
+ (Ω) := Hµ
+(Ω), где показатель µ определен по формуле (4),
в которой k := n+ 1. (Последнее пространство понадобится в случае, когда все hk = 0.)
Если ϕ(r) ≡ 1, то Hs,sγ,ϕ(Ω) становится анизотропным гильбертовым пространством
Соболева порядка (s, sγ); обозначим его через Hs,sγ(Ω). Здесь s — показатель регулярности
распределения u = u(x, t) по пространственной переменной x ∈ G, а sγ — показатель регу-
лярности по временно́й переменной t ∈ (0, τ). В общей ситуации, когда ϕ ∈ M произвольно,
выполняются непрерывные и плотные вложения
Hs1,s1γ(Ω) →֒ Hs,sγ,ϕ(Ω) →֒ Hs0,s0γ(Ω) при s0 < s < s1. (5)
Рассмотрим класс гильбертовых функциональных пространств
{Hs,sγ,ϕ(Ω): s ∈ R, ϕ ∈ M}. (6)
Вложения (5) показывают, что в (6) функциональный параметр ϕ определяет дополнитель-
ную гладкость по отношению к основной анизотропной (s, sγ)-гладкости. Если ϕ(r) → ∞
(либо ϕ(r) → 0) при r → ∞, то ϕ определяет позитивную (либо негативную) дополнитель-
ную гладкость. Иначе говоря, ϕ уточняет основную гладкость (s, sγ). Поэтому естествен-
но именовать класс пространств (6) уточненной анизотропной соболевской шкалой на Ω
(коротко — уточненной шкалой). Здесь γ служит параметром анизотропии пространств,
образующих эту шкалу.
Определим гильбертовы пространства, в которых рассматриваются правые части крае-
вых и начальных условий задачи (1)–(3).
Пространства, к которым принадлежат правые части gj краевых условий (2), заданы на
боковой поверхности S = Γ× (0, τ) цилиндра Ω и определяются с помощью локальных ко-
ординат следующим образом. Для открытой полосы Π := R
n−1×(0, τ) рассмотрим гильбер-
товы пространства Hs,sγ,ϕ(Π) := Hµ(Π) и Hs,sγ,ϕ
+ (Π) := Hµ
+(Π), где показатель µ определен
по формуле (4), в которой k := n. Выберем какой-либо конечный атлас из C∞-структу-
ры на замкнутом многообразии Γ, образованный локальными картами θj : R
n−1 ↔ Γj , где
j = 1, . . . , λ. Здесь открытые множества Γ1, . . . ,Γλ составляют покрытие многообразия Γ.
Кроме того, произвольно выберем функции χj ∈ C
∞(Γ), j = 1, . . . , λ, такие, что suppχj ⊂ Γj
и
λ∑
j=1
χj ≡ 1 на Γ.
По определению, линейное пространство Hs,sγ,ϕ(S) состоит из всех распределений v ∈
∈ D′(S) на многообразии S таких, что для каждого номера j ∈ {1, . . . , λ} распределение
vj(x, t) := χj(θj(x))v(θj(x), t) аргументов x ∈ Γ и t ∈ (0, τ) принадлежит к Hs,sγ,ϕ(Π).
В пространстве Hs,sγ,ϕ(S) задана норма по формуле
‖v‖Hs,sγ,ϕ(S) :=
(
λ∑
j=1
‖vj‖
2
Hs,sγ,ϕ(Π)
)1/2
.
Оно гильбертово относительно этой нормы.
Заменив в этом определении пространство Hs,sγ,ϕ(Π) на Hs,sγ,ϕ
+ (Π), получим определе-
ние гильбертового пространства Hs,sγ,ϕ
+ (S).
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6
Введенные пространства Hs,sγ,ϕ(S) и Hs,sγ,ϕ
+ (S) не зависят (с точностью до эквивалент-
ности норм) от указанного выбора атласа и разбиения единицы на Γ.
Наконец, укажем пространства, в которых рассматриваются правые части hk начальных
условий (3). Это гильбертовы пространства Hs,ϕ(G) := Hµ(G) с показателем µ(ξ) := (1 +
+ |ξ|2)s/2ϕ((1+ |ξ|2)1/2) аргумента ξ ∈ R
n. Их систематически использовали В.А. Михайлец
и А.А. Мурач в теории эллиптических краевых задач [11, 12].
Если ϕ ≡ 1, то введенные выше пространства становятся соболевскими пространствами
(анизотропными на Ω и S либо изотропными на G). В этом случае будем опускать индекс ϕ
в обозначениях пространств.
3. Основные результаты работы составляют теоремы об изоморфизмах, порожден-
ных параболической начально-краевой задачей (1)–(3) в уточненной шкале. Сформулируем
их.
Пусть σ0 обозначает наименьшее целое число, удовлетворяющее условиям
σ0 > 2m, σ0 > mj + 1 для всех j ∈ {1, . . . ,m} и
σ0
2b
∈ Z.
В частности, если mj 6 2m − 1 для каждого j ∈ {1, . . . ,m}, то σ0 = 2m.
Представляет отдельный интерес [1, § 9] задача (1)–(3) в случае нулевых начальных
данных, т. е. когда все hk ≡ 0. В этом случае свяжем с ней линейное отображение
u 7→ (Au,Bu) := (Au,B1u, . . . , Bmu), u ∈ C∞
+ (Ω). (7)
Здесь C∞
+ (Ω) — линейное пространство всех функций u = u(x, t) класса C∞(Ω) таких, что
∂βt u(x, 0) = 0 для всех x ∈ G и β ∈ N ∪ {0}.
Теорема 1. Пусть произвольно заданы параметры: вещественное число s > σ0 и функ-
ция ϕ ∈ M. Тогда отображение (7) продолжается единственным образом (по непрерыв-
ности) до изоморфизма
(A,B) : H
s,s/(2b),ϕ
+ (Ω) ↔ H
s−2m,(s−2m)/(2b),ϕ
+ (Ω)⊕
m⊕
j=1
H
s−mj−1/2,(s−mj−1/2)/(2b),ϕ
+ (S). (8)
В общем случае ненулевых начальных данных свяжем с задачей (1)–(3) линейное ото-
бражение
u 7→ Λu := (Au,B1u, . . . , Bmu, u ↾ G, . . . , (∂κ−1
t u) ↾ G), u ∈ C∞(Ω). (9)
Теорема 2. Пусть произвольно заданы параметры: вещественное число s > σ0 и функ-
ция ϕ ∈ M. Предположим, что s + 1/2 /∈ Z и s/(2b) + 1/2 /∈ Z. Тогда отображение (9)
продолжается единственным образом (по непрерывности) до изоморфизма
Λ: Hs,s/(2b),ϕ(Ω) ↔ Qs−2m,(s−2m)/(2b),ϕ. (10)
Здесь Qs−2m,(s−2m)/(2b),ϕ обозначает подпространство пространства
Hs−2m,(s−2m)/(2b),ϕ := Hs−2m,(s−2m)/(2b),ϕ(Ω)⊕
⊕
m⊕
j=1
Hs−mj−1/2,(s−mj−1/2)/(2b),ϕ(S)⊕
κ−1⊕
k=0
Hs−2bk−b,ϕ(G),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 27
образованное всеми векторами
F := (f, g1, . . . , gm, h0, . . . , hκ−1) ∈ Hs−2m,(s−2m)/(2b),ϕ,
которые удовлетворяют следующему условию согласования правых частей задачи (1)–(3).
Для вектора F существует функция v = v(x, t) класса Hs,s/(2b),ϕ(Ω) такая, что
f −Av ∈ H
s−2m,(s−2m)/(2b),ϕ
+ (Ω),
gj −Bjv ∈ H
s−mj−1/2,(s−mj−1/2)/(2b),ϕ
+ (S) для всех j ∈ {1, . . . ,m},
hk = ∂kt v
∣∣
t=0
для всех k ∈ {0, . . . ,κ − 1}.
Это условие согласования можно сформулировать в эквивалентном и конструктивном
виде без привлечения уточненной шкалы пространств (см., например, [2, с. 707]). А именно,
оно состоит в том, что производные ∂kt u(x, t)
∣∣
t=0
, которые можно вычислить из параболи-
ческого уравнения (1) и начальных данных (3), должны удовлетворять при x ∈ Γ краевым
условиям (2) и соотношениям, получающимся в результате дифференцирования краевых
условий по переменной t.
Отметим, что теорема 2 верна и в случае, когда параметр s > σ0 удовлетворяет одному
из условий s+1/2 ∈ Z и s/(2b)+1/2 ∈ Z, если гильбертово пространство Qs−2m,(s−2m)/(2b),ϕ
определить с помощью интерполяции
Qs−2m,(s−2m)/(2b),ϕ := [Qs−2m−ε,(s−2m−ε)/(2b),ϕ,Qs−2m+ε,(s−2m+ε)/(2b),ϕ]1/2.
Здесь число ε ∈ (0, 1/2), а правая часть равенства есть результат интерполяции указанной
пары гильбертовых пространств с числовым параметром 1/2.
В соболевском случае ϕ ≡ 1 теоремы 1 и 2 известны. Теорема 2 доказана М.С. Агра-
новичем и М.И. Вишиком [1, теорема 12.1] в предположении, что число s/(2b) целое (их
результат охватывает предельный случай s = σ0). Это предположение можно опустить,
что следует из результата Н.В. Житарашу и С.Д. Эйдельмана [4, теорема 5.7]. Теорема 1
является важным частным случаем теоремы 2, если s+ 1/2 /∈ Z и s/(2b) + 1/2 /∈ Z.
4. Применение. В силу упомянутой теоремы Аграновича–Вишика каждому вектору
F ∈ Qσ0−2m,(σ0−2m)/(2b) соответствует единственный прообраз u ∈ Hσ0,σ0/(2b)(Ω) при ото-
бражении (10). Эту функцию-прообраз u называем обобщенным решением задачи (1)–(3)
с правой частью F = (f, g1, . . . , gm, h0, . . . , hκ−1).
В качестве применения теоремы 2 дадим следующее достаточное условие непрерывности
обобщенного решения u и его обобщенных частных производных заданного порядка.
Теорема 3. Пусть произвольно выбрано целое число q > 0. Предположим, что функция
u ∈ Hσ0,σ0/(2b)(Ω) является обобщенным решением задачи (1)–(3), правые части которой
удовлетворяют условию
F = (f, g1, . . . , gm, h0, . . . , hκ−1) ∈ Qs−2m,(s−2m)/(2b),ϕ,
где s := 2bq + b+ n/2 > σ0, а функциональный параметр ϕ ∈ M такой, что
∞∫
1
dt
tϕ2(t)
<∞.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6
Тогда решение u(x, t) и все его обобщенные частные производные Dα
x∂
β
t u(x, t), для которых
|α| + 2bβ 6 2bq, являются непрерывными функциями на множестве Ω.
Если сформулировать аналог теоремы 3 для анизотропных соболевских пространств
(случай ϕ ≡ 1), то придется заменить ее условие на более сильное: правые части задачи (1)–
(3) удовлетворяют включению F ∈ Qs−2m,(s−2m)/(2b) при некотором s > 2bq + b + n/2. Это
существенно огрубляет результат.
5. Обоснование результатов. Теорему 1 можно вывести из теоремы Аграновича–
Вишика [1, теорема 12.1] посредством интерполяции с функциональным параметром ани-
зотропных пространств Соболева. Определение и свойства этой интерполяции приведены,
например, в [11, пп. 1.1, 2.4.2].
Наметим доказательство теоремы 1. Выберем число σ1 > s такое, что σ1/(2b) ∈ Z. В силу
упомянутой теоремы Аграновича–Вишика имеем изоморфизм (8) при ϕ ≡ 1 и каждом
s ∈ {σ0, σ1}. Определим интерполяционный функциональный параметр ψ по формулам
ψ(r) := r(s−σ0)/(σ1−σ0)ϕ(r1/(σ1−σ0)) при r > 1 и ψ(r) := ϕ(1) при 0 < r < 1. Применив
интерполяцию с этим параметром к анизотропным соболевским пространствам, в которых
действуют изоморфизмы (8) при ϕ ≡ 1 и s ∈ {σ0, σ1}, получим еще один изоморфизм
(A,B) : [H
σ0,σ0/(2b)
+ (Ω),H
σ1,σ1/(2b)
+ (Ω)]ψ ↔
↔ [H
σ0−2m,(σ0−2m)/(2b)
+ (Ω),H
σ1−2m,(σ1−2m)/(2b)
+ (Ω)]ψ ⊕
⊕
m⊕
j=1
[H
σ0−mj−1/2,(σ0−mj−1/2)/(2b)
+ (S),H
σ1−mj−1/2,(σ1−mj−1/2)/(2b)
+ (S)]ψ.
Здесь выражение [E1, E2]ψ обозначает гильбертово пространство, полученное в результате
интерполяции с параметром ψ пары гильбертовых пространств E1 и E2. Можно показать,
что интерполяционные пространства, в которых действует этот изоморфизм, совпадают
(с точностью до эквивалентности норм) с соответствующими пространствами, фигурирую-
щими в (8). Тем самым будет доказана теорема 1.
Так, исходя из определения интерполяции, непосредственно проверяется формула
[Hσ0,σ0/(2b)(Rn+1),Hσ1,σ1/(2b)(Rn+1)]ψ = Hs,s/(2b),ϕ(Rn+1).
Отсюда выводятся необходимые интерполяционные формулы с помощью общих методов
интерполяции пространств, заданных в евклидовых областях и на многообразиях (см., на-
пример, [11, пп. 2.1.2, 3.2]). В случае n = 1 соответствующие доказательства даны нами
в [13, п. 5].
Теорема 2 выводится из теоремы 1 согласно схеме доказательства теоремы 10.1 статьи
М.С. Аграновича и М.И. Вишика [1]. При этом решение задачи (1)–(3) ищется в виде
u = v+w, где функция v ∈ Hs,s/(2b),ϕ(Ω) фигурирует в условии согласования правых частей
этой задачи, а функция w ∈ H
s,s/(2b),ϕ
+ (Ω) является решением краевой задачи Aw = f −Av
в Ω и Bjw = gj − Bjv на S для каждого j ∈ {1, . . . ,m}. Функцию v можно выбрать так,
чтобы выполнялась оценка
‖v‖Hs,s/(2b),ϕ(Ω) 6 c‖f‖Hs−2m,(s−2m)/(2b),ϕ(Ω) + c
κ−1∑
k=0
‖hk‖Hs−2bk−b,ϕ(G)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 29
с некоторым числом c > 0, не зависящим от v и правых частей задачи. Требуемый изомор-
физм (10) следует из этой оценки и теоремы 1.
Теорема 3 вытекает из теоремы 2, в силу которой u ∈ Hs,s/(2b),ϕ(Ω), и некоторой версии
теоремы вложения Л. Хермандера [7, теорема 2.2.7]. Согласно этой версии [14, п. 5], всякая
функция u ∈ Hs,s/(2b),ϕ(Ω), где параметры s и ϕ удовлетворяют условию теоремы 3, имеет
свойства гладкости, указанные в заключении этой теоремы.
1. Агранович М.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего
вида // Успехи мат. наук. – 1964. – 19, № 3. – С. 53–161.
2. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения пара-
болического типа. – Москва: Наука, 1967. – 736 с.
3. Lions J.-L., Magenes E. Non-homogeneous boundary-value problems and applications. Vol. 2. – Berlin:
Springer, 1972. – xi+242 p.
4. Житарашу Н.В., Эйдельман С.Д. Параболические граничные задачи. – Кишинев: Штиинца, 1992. –
328 с.
5. Eidel’man S.D. Parabolic equations // Encycl. Math. Sci. Vol. 63. Partial differential equations, VI. –
Berlin: Springer, 1994. – P. 205–316.
6. Ивасишен С.Д. Матрицы Грина параболических граничных задач. – Киев: Выща шк., 1990. – 200 с.
7. Hörmander L. Linear partial differential operators. – Berlin: Springer, 1963. – 285 p.
8. Волевич Л.Р., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения //
Успехи мат. наук. – 1965. – 20, № 1. – С. 3–74.
9. Лизоркин П.И. Пространства обобщенной гладкости // Трибель Х. Теория функциональных про-
странств. – Москва: Мир, 1986. – С. 381–415.
10. Farkas W., Leopold H.-G. Characterisations of function spaces of generalized smoothness // Ann. Mat.
Pura Appl. – 2006. – 185, No 1. – P. 1–62.
11. Михайлец В.А., Мурач А.А. Пространства Хермандера, интерполяция и эллиптические задачи. –
Kиев: Ин-т математики НАН Украины, 2010. – 372 с. – (Доступно как arXiv: 1106.3214.).
12. Mikhailets V.A., Murach A.A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems // Banach
J. Math. Anal. – 2012. – 6, No 2. – P. 211–281.
13. Los V., Murach A.A. Parabolic problems and interpolation with a function parameter // Meth. Funct.
Anal. Topol. – 2013. – 19, No 2. – P. 146–160.
14. Лось В.М., Мурач О.О. Про гладкiсть розв’язкiв параболiчних мiшаних задач // Зб. праць Iн-ту
математики НАН України. – 2013. – 10, № 2. – С. 219–234.
15. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – Москва: Наука, 1985. – 144 с.
Поступило в редакцию 04.02.2014Черниговский национальный
технологический университет
Институт математики НАН Украины, Киев
В.М. Лось, О. О. Мурач
Параболiчнi мiшанi задачi у просторах узагальненої гладкостi
Встановлено теореми про коректну розв’язнiсть загальної параболiчної початково-крайової
задачi у деяких класах гiльбертових просторiв узагальненої гладкостi. Остання характери-
зується числовими параметрами i додатковим функцiональним параметром, який повiль-
но змiнюється на нескiнченностi за Караматою. Як застосування наведенi новi достатнi
умови неперервностi узагальнених похiдних заданого порядку розв’язку задачi.
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6
V.N. Los, A.A. Murach
Parabolic mixed problems in spaces of generalized smoothness
We prove theorems on a well-posedness of a general parabolic initial-boundary-value problem in
some classes of Hilbert spaces of generalized smoothness. The latter is characterized by number
parameters and a supplementary function parameter that varies slowly at infinity in Karamata’s
sense. As an application, we give new sufficient conditions under which some generalized derivatives
of a solution to the problem should be continuous.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 31
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87809 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T13:06:45Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лось, В.Н. Мурач, А.А. 2015-10-26T17:35:23Z 2015-10-26T17:35:23Z 2014 Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости / В.Н. Лось, А.А. Мурач // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 23-31. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87809 517.956.4 Установлены теоремы о корректной разрешимости общей параболической начально-краевой задачи в некоторых классах гильбертовых пространств обобщенной гладкости. Последняя характеризуется числовыми параметрами и дополнительным функциональным параметром, который медленно меняется на бесконечности по Карамата. В качестве приложения даны новые достаточные условия непрерывности обобщенных производных заданного порядка решения задачи. Встановлено теореми про коректну розв’язнiсть загальної параболiчної початково-крайової задачi у деяких класах гiльбертових просторiв узагальненої гладкостi. Остання характеризується числовими параметрами i додатковим функцiональним параметром, який повiльно змiнюється на нескiнченностi за Караматою. Як застосування наведенi новi достатнi умови неперервностi узагальнених похiдних заданого порядку розв’язку задачi. We prove theorems on a well-posedness of a general parabolic initial-boundary-value problem in some classes of Hilbert spaces of generalized smoothness. The latter is characterized by number parameters and a supplementary function parameter that varies slowly at infinity in Karamata’s sense. As an application, we give new sufficient conditions under which some generalized derivatives of a solution to the problem should be continuous. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости Параболiчнi мiшанi задачi у просторах узагальненої гладкостi Parabolic mixed problems in spaces of generalized smoothness Article published earlier |
| spellingShingle | Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости Лось, В.Н. Мурач, А.А. Математика |
| title | Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости |
| title_alt | Параболiчнi мiшанi задачi у просторах узагальненої гладкостi Parabolic mixed problems in spaces of generalized smoothness |
| title_full | Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости |
| title_fullStr | Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости |
| title_full_unstemmed | Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости |
| title_short | Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости |
| title_sort | параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87809 |
| work_keys_str_mv | AT losʹvn paraboličeskiesmešannyezadačivprostranstvahobobŝennoigladkosti AT muračaa paraboličeskiesmešannyezadačivprostranstvahobobŝennoigladkosti AT losʹvn paraboličnimišanizadačiuprostorahuzagalʹnenoígladkosti AT muračaa paraboličnimišanizadačiuprostorahuzagalʹnenoígladkosti AT losʹvn parabolicmixedproblemsinspacesofgeneralizedsmoothness AT muračaa parabolicmixedproblemsinspacesofgeneralizedsmoothness |