Возмущенные упорядочивающие конусы для анализа задач векторной оптимизации в условиях неопределенности
Проведен анализ свойств возмущенных конусов, частично упорядочивающих множество допустимых решений задачи векторной оптимизации относительно линейных целевых функций. Изучена структура всей совокупности специальным образом возмущенных упорядочивающих конусов, соответствующих различным значениям пара...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87812 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Возмущенные упорядочивающие конусы для анализа задач векторной оптимизации в условиях неопределенности / Т.Т. Лебедева, Н.В. Семенова, Т.И. Сергиенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 42-47. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87812 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Лебедева, Т.Т. Семенова, Н.В. Сергиенко, Т.И. 2015-10-26T17:36:11Z 2015-10-26T17:36:11Z 2014 Возмущенные упорядочивающие конусы для анализа задач векторной оптимизации в условиях неопределенности / Т.Т. Лебедева, Н.В. Семенова, Т.И. Сергиенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 42-47. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87812 519.8 Проведен анализ свойств возмущенных конусов, частично упорядочивающих множество допустимых решений задачи векторной оптимизации относительно линейных целевых функций. Изучена структура всей совокупности специальным образом возмущенных упорядочивающих конусов, соответствующих различным значениям параметра возмущений входных данных задачи. Проведено аналiз властивостей збурених конусiв, що частково впорядковують множину допустимих розв’язкiв задачi векторної оптимiзацiї вiдносно лiнiйних цiльових функцiй. Вивчено структуру всiєї сукупностi спецiальним чином збурених упорядковуючих конусiв, вiдповiдних рiзним значенням параметра збурень вхiдних даних задачi. The analysis of the properties of perturbed cones that partially order the set of admissible solutions of the vector optimization problem with respect to linear objective functions is carried out. The structure of the set of specifically perturbed ordering cones with different values of the parameter of perturbations of the input data is studied. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Возмущенные упорядочивающие конусы для анализа задач векторной оптимизации в условиях неопределенности Збуренi впорядковуючi конуси для аналiзу задач векторної оптимiзацiї за умов невизначеностi Perturbed ordering cones for the analysis of vector optimization problems under uncertainty Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Возмущенные упорядочивающие конусы для анализа задач векторной оптимизации в условиях неопределенности |
| spellingShingle |
Возмущенные упорядочивающие конусы для анализа задач векторной оптимизации в условиях неопределенности Лебедева, Т.Т. Семенова, Н.В. Сергиенко, Т.И. Інформатика та кібернетика |
| title_short |
Возмущенные упорядочивающие конусы для анализа задач векторной оптимизации в условиях неопределенности |
| title_full |
Возмущенные упорядочивающие конусы для анализа задач векторной оптимизации в условиях неопределенности |
| title_fullStr |
Возмущенные упорядочивающие конусы для анализа задач векторной оптимизации в условиях неопределенности |
| title_full_unstemmed |
Возмущенные упорядочивающие конусы для анализа задач векторной оптимизации в условиях неопределенности |
| title_sort |
возмущенные упорядочивающие конусы для анализа задач векторной оптимизации в условиях неопределенности |
| author |
Лебедева, Т.Т. Семенова, Н.В. Сергиенко, Т.И. |
| author_facet |
Лебедева, Т.Т. Семенова, Н.В. Сергиенко, Т.И. |
| topic |
Інформатика та кібернетика |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| publishDate |
2014 |
| language |
Russian |
| container_title |
Доповіді НАН України |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Збуренi впорядковуючi конуси для аналiзу задач векторної оптимiзацiї за умов невизначеностi Perturbed ordering cones for the analysis of vector optimization problems under uncertainty |
| description |
Проведен анализ свойств возмущенных конусов, частично упорядочивающих множество допустимых решений задачи векторной оптимизации относительно линейных целевых функций. Изучена структура всей совокупности специальным образом возмущенных упорядочивающих конусов, соответствующих различным значениям параметра
возмущений входных данных задачи.
Проведено аналiз властивостей збурених конусiв, що частково впорядковують множину
допустимих розв’язкiв задачi векторної оптимiзацiї вiдносно лiнiйних цiльових функцiй.
Вивчено структуру всiєї сукупностi спецiальним чином збурених упорядковуючих конусiв,
вiдповiдних рiзним значенням параметра збурень вхiдних даних задачi.
The analysis of the properties of perturbed cones that partially order the set of admissible solutions
of the vector optimization problem with respect to linear objective functions is carried out. The
structure of the set of specifically perturbed ordering cones with different values of the parameter
of perturbations of the input data is studied.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87812 |
| citation_txt |
Возмущенные упорядочивающие конусы для анализа задач векторной оптимизации в условиях неопределенности / Т.Т. Лебедева, Н.В. Семенова, Т.И. Сергиенко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 6. — С. 42-47. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT lebedevatt vozmuŝennyeuporâdočivaûŝiekonusydlâanalizazadačvektornoioptimizaciivusloviâhneopredelennosti AT semenovanv vozmuŝennyeuporâdočivaûŝiekonusydlâanalizazadačvektornoioptimizaciivusloviâhneopredelennosti AT sergienkoti vozmuŝennyeuporâdočivaûŝiekonusydlâanalizazadačvektornoioptimizaciivusloviâhneopredelennosti AT lebedevatt zburenivporâdkovuûčikonusidlâanalizuzadačvektornoíoptimizaciízaumovneviznačenosti AT semenovanv zburenivporâdkovuûčikonusidlâanalizuzadačvektornoíoptimizaciízaumovneviznačenosti AT sergienkoti zburenivporâdkovuûčikonusidlâanalizuzadačvektornoíoptimizaciízaumovneviznačenosti AT lebedevatt perturbedorderingconesfortheanalysisofvectoroptimizationproblemsunderuncertainty AT semenovanv perturbedorderingconesfortheanalysisofvectoroptimizationproblemsunderuncertainty AT sergienkoti perturbedorderingconesfortheanalysisofvectoroptimizationproblemsunderuncertainty |
| first_indexed |
2025-11-25T23:32:46Z |
| last_indexed |
2025-11-25T23:32:46Z |
| _version_ |
1850583204153524224 |
| fulltext |
УДК 519.8
Т.Т. Лебедева, Н. В. Семенова, Т. И. Сергиенко
Возмущенные упорядочивающие конусы для анализа
задач векторной оптимизации в условиях
неопределенности
(Представлено академиком НАН Украины В. С. Дейнекой )
Проведен анализ свойств возмущенных конусов, частично упорядочивающих множест-
во допустимых решений задачи векторной оптимизации относительно линейных це-
левых функций. Изучена структура всей совокупности специальным образом возму-
щенных упорядочивающих конусов, соответствующих различным значениям параметра
возмущений входных данных задачи.
Работа посвящена исследованию влияния неопределенности в исходных данных на решение
задачи оптимизации со многими линейными критериями. Существуют разные источники
неопределенности и среди них — изменение данных во времени, неточные входные данные,
субъективные данные, неполные данные, ошибки измерения. В задачах оптимизации малые
ошибки во входных данных могут привести к решениям, которые сильно отличаются от
истинных. Особенно это касается задач, в которых присутствуют переменные, принимаю-
щие дискретные значения, и которые обычно не обладают свойствами дифференцируемос-
ти. Такие задачи даже при незначительных изменениях в исходных данных часто ведут
себя непредсказуемо. В связи с этим актуальной является разработка инструментария для
определения влияния возмущений в исходных данных на получаемое решение.
Проведенные нами исследования направлены на расширение возможностей использо-
вания конусов, которые упорядочивают множества допустимых решений задач векторной
оптимизации относительно функций, составляющих векторный критерий, для анализа вли-
яния возмущений в исходных данных на решения таких задач.
Рассмотрим задачу векторной оптимизации
Z(M(C,X)) : max{Cx | x ∈ X}, (1)
которая состоит в поиске элементов некоторого множества оптимальных решений
M(C,X) ∈ M(C,X) = {Sl(C,X), P (C,X),Sm(C,X)}, где P(C,X) — множество Паре-
то-оптимальных (эффективных) решений задачи; Sl(C,X) — множество оптимальных по
Слейтеру (слабо эффективных) решений; Sm(C,X) — множество оптимальных по Смей-
лу (строго эффективных) решений [1, 2]; M(C,X) = {x ∈ X | ω(x,M(C,X)) = ∅},
ω(x,P(C,X)) = {z ∈ X | Cz > Cx,Cz 6= Cx}, ω(x,Sl(C,X)) = {z ∈ X | Cz > Cx},
ω(x,Sm(C,X)) = {z ∈ X | z 6= x,Cz > Cx}, C = [cij ] ∈ R
ℓ×n — матрица, строки
ci = (ci1, . . . , cin), i ∈ {1, . . . , ℓ} которой представляют собой наборы коэффициентов ли-
нейных целевых функций 〈ci, x〉, составляющих векторный критерий задачи (1); X ⊂ R
n —
допустимое множество произвольной структуры.
Основное различие между скалярной и векторной оптимизацией состоит в упорядочи-
вании множества допустимых решений задачи. В оптимизации с одной целевой функцией
© Т.Т. Лебедева, Н.В. Семенова, Т.И. Сергиенко, 2014
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6
возможно полное упорядочение допустимой области задачи относительно целевой функции.
В векторной оптимизации с двумя или более целевыми функциями допустимое множество
может быть лишь частично упорядочено. Частичный порядок допустимой области относи-
тельно целей оптимизации можно описать с использованием понятия конуса. Согласно [3],
подмножество K из R
n является конусом, если λx ∈ K для всех x ∈ K и λ > 0. С мате-
матической точки зрения, вектор x ∈ R
n лучше, чем вектор y ∈ R
n, тогда и только тогда,
когда x − y ∈ K, где K — так называемый упорядочивающий конус. Для упорядочивания
допустимой области задачи (1) рассмотрим многогранный конус
K = {x ∈ R
n | Cx > 0},
который может быть представлен как объединение множеств
K = K0
⋃
K1
⋃
K2,
где K0 = {x ∈ R
n | Cx = 0}, K1 = {x ∈ R
n | Cx > 0}, K2 = K \ (K0
⋃
K1). Тогда
∀x ∈ X: x ∈ P(C,X) ⇔ (x + K1
⋃
K2)
⋂
X = ∅, x ∈ Sl(C,X) ⇔ (x + K1)
⋂
X = ∅,
x ∈ Sm(C,X) ⇔ (x + K)
⋂
X \ {x} = ∅.
Очевидно, что для любых двух точек x ∈ X и x′ = x + s, где s ∈ K, выполняется не-
равенство Cx′ > Cx. Поэтому любой элемент s ∈ K назовем перспективным направлением
в пространстве решений задачи (1). Если s ∈ K0, то Cx′ = Cx, и в этом случае s можно
назвать направлением равновесия.
Определим двойственный конус K∗ к многогранному конусу K с помощью формулы [4]
K∗ = {x ∈ R
n | x =
ℓ∑
k=1
λkck, λk > 0, k = 1, . . . , ℓ}.
Рассмотрим семейство специальным образом возмущенных задач {Z(M(Cτ ,X)) | τ ∈
∈ R
1}, где M(Cτ ,X) ∈ M(Cτ ,X), которые базируются на задаче (1) и в которых каждая
строка cτi , i ∈ {1, . . . , ℓ}, возмущенной матрицы Cτ имеет вид
cτi = ci − τu, (2)
где τ ∈ R
1 — параметр возмущений; u ∈ riK∗ — вектор возмущений, u 6= 0,
u =
ℓ∑
i=1
µici,
ℓ∑
i=1
µi = 1, µi > 0, i = 1, . . . , ℓ. (3)
Возмущенной задаче Z(M(Cτ ,X)), где M(Cτ ,X) ∈ M(Cτ ,X), τ ∈ R
1, поставим в соот-
ветствие возмущенный упорядочивающий конус Kτ = {x ∈ R
n | Cτx > 0}, который может
быть представлен как объединение множеств
Kτ = Kτ
0
⋃
Kτ
1
⋃
Kτ
2 ,
где Kτ
0 = {x ∈ R
n | Cτx = 0}, Kτ
1 = {x ∈ R
n | Cτx > 0}, Kτ
2 = Kτ \ (Kτ
0
⋃
Kτ
1 ). Очевидно,
что K0 = K, K0
0 = K0, K
0
1 = K1, K
0
2 = K2.
В данной работе продолжены описанные в [5–10] исследования свойств упорядочиваю-
щих конусов, возмущенных в соответствии с формулами (2) и (3). Некоторые из этих свойств
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 43
позволили разработать такой подход [6, 8] к регуляризации возможно неустойчивой задачи
вида (1) с целочисленными переменными, который изменяет частичный порядок в про-
странстве решений таким образом, что оптимальные по Слейтеру решения возмущенной
задачи (с немного расширенным упорядочивающим конусом, содержащим в себе исходный
конус), становятся Парето-оптимальными решениями исходной задачи даже при возмож-
ных достаточно малых ошибках в исходных данных, используемых для описания вектор-
ного критерия.
Сформулируем ряд теорем, которые характеризуют закономерности изменения свойств
возмущенных конусов перспективных направлений задачи (1) и их подмножеств при изме-
нении значений параметра возмущений τ и могут использоваться при разработке теории
корректности оптимизационных многокритериальных задач, в том числе задач полностью
и частично целочисленной оптимизации.
Прежде всего отметим, что значение параметра возмущений τ = 1 можно рассматривать
как некий порог, при котором вектор возмущений u ∈ K∗, определенный по формуле (3),
существенно изменяет свойства возмущенных упорядочивающих конусов, меняя в связи
с этим также особенности соответствующих возмущенных задач.
Теорема 1 [10]. Если τ < 1, то Kτ ⊂ {x ∈ R
n | ux > 0}. Если τ > 1, то Kτ ⊂ {x ∈
∈ R
n | ux 6 0}.
На основании этого утверждения доказана следующая теорема, описывающая в глав-
ных чертах свойство монотонности, присущее рассматриваемым здесь специальным возму-
щениям упорядочивающих конусов и состоящее в постепенном изменении “размеров” воз-
мущенных конусов.
Теорема 2 [10]. ∀ τ ′, τ ′′(1 < τ ′ < τ ′′) : Kτ ′ ⊂ Kτ ′′; ∀ τ ′, τ ′′(τ ′ < τ ′′ < 1): Kτ ′′ ⊂ Kτ ′.
При доказательстве описанных ниже результатов исследования множеств {Kτ | τ ∈ R
1},
{Kτ
0 | τ ∈ R
1}, {Kτ
1 | τ ∈ R
1}, {Kτ
2 | τ ∈ R
1} использовалась лемма о том, что множест-
во всех направлений равновесия исходной задачи Z(M(C,X)) лежит на гиперплоскости
{x ∈ R
n | ux = 0}, отделяющей друг от друга две совокупности возмущенных конусов:
{Kτ | τ < 1} и {Kτ | τ > 1}.
Лемма. K
⋂
{x ∈ R
n | ux = 0} = K0.
Доказательство. По определению многогранного конуса K для любого направления
y ∈ K
⋂
{x ∈ R
n | ux = 0} справедливы соотношения cky > 0, k = 1, . . . , ℓ, и uy =
ℓ∑
k=1
µkcky =
= 0, откуда с учетом неравенств µk > 0, k = 1, . . . , ℓ, приходим к выводу, что Cy = 0 и,
следовательно, y ∈ K0. С другой стороны, выбрав произвольно точку x ∈ K0, приходим
к равенствам ux =
ℓ∑
k=1
µkckx = 0.
Теорема 3. ∀ τ ∈ R
1 : Kτ
⋂
{x ∈ R
n | ux = 0} ⊂ K0.
Доказательство. Рассмотрим произвольную точку y ∈ Kτ
⋂
{x ∈ R
n | ux = 0}, где
τ ∈ R
1. Очевидно, для точки y при любом k ∈ {1, . . . , ℓ} справедливы соотношения 0 6
6 cτky = (ck − τu)y = cky, откуда следует принадлежность y ∈ K. Принимая во внимание
лемму, уточняем, что y ∈ K0.
Теорема 4 [8]. ∀ τ ∈ R
1 : K0 ⊂ Kτ
0 .
Доказательство. С учетом леммы для любой точки x ∈ K0 при произвольном значении
τ ∈ R
1 справедливы соотношения cτi x = cxi − τux = 0 (i = 1, . . . , ℓ), откуда следует, что
x ∈ Kτ
0 .
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6
Из теорем 3 и 4 вытекает следствие.
Следствие 1. ∀ τ ∈ R
1 : Kτ ⋂{x ∈ R
n | ux = 0} ⊂ Kτ
0 .
Для случая, когда значение параметра возмущений τ отличается от единицы, результа-
ты, доказанные в теоремах 3 и 4, можно уточнить следующим образом.
Теорема 5 [9, 10]. ∀ τ ∈ R
1 \ {1} : K0 = Kτ
0 = Kτ
⋂
{x ∈ R
n | ux = 0}.
Таким образом, множество направлений равновесия исходной задачи не изменяется при
возмущении ее исходных данных, если значения параметра возмущений отличны от едини-
цы. Данный вывод приводит нас также к следующему утверждению, которое становится
очевидным с учетом теоремы 1 и указывает на то, что за исключением направлений рав-
новесия все остальные перспективные направления задачи Z(M(Cτ ,X)), где τ 6= 1, лежат
в одном из открытых полупространств: {x ∈ R
n | ux > 0} при τ < 1 и {x ∈ R
n | ux < 0}
при τ > 1.
Теорема 6. ∀ τ < 1: Kτ
1
⋃
Kτ
2 = Kτ
⋂
{x ∈ R
n | ux > 0}; ∀ τ > 1: Kτ
1
⋃
Kτ
2 = Kτ
⋂
{x ∈
∈ R
n | ux < 0}.
Опираясь на эту теорему, конкретизируем данное в теореме 2 описание свойства мо-
нотонности, присущее возмущенным конусам перспективных направлений при изменениях
значений параметра возмущений τ .
Теорема 7. ∀ τ ′, τ ′′(1 < τ ′ < τ ′′) : Kτ ′
1
⋃
Kτ ′
2 ⊂ Kτ ′′
1 .
Доказательство. Выберем значения τ ′ и τ ′′ параметра возмущений τ , которые связаны
строгими неравенствами 1 < τ ′ < τ ′′. Очевидно, для любого направления x ∈ Kτ ′
1
⋃
Kτ ′
2
выполняются условия cτ
′
k x > 0, k = 1, . . . , ℓ, а в соответствии с теоремой 6 — и неравенство
ux < 0. Учитывая эти неравенства и воспользовавшись формулами
cτ
′′
k x = (ck − τ ′′u)x = ckx− τ ′′ux+ τ ′ux− τ ′ux = ckx− τ ′ux+ (τ ′ − τ ′′)ux =
= cτ
′
k x+ (τ ′ − τ ′′)ux, k = 1, . . . , ℓ,
для оценки величины cτ
′′
k x, приходим к выводу о справедливости строгого неравенства
cτ
′′
k x > 0 для любого k = 1, . . . , ℓ, что и означает принадлежность x ∈ Kτ ′′
1 .
Аналогичным образом можно доказать следующую теорему.
Теорема 8. ∀ τ ′, τ ′′(τ ′ < τ ′′ < 1): Kτ ′′
1
⋃
Kτ ′′
2 ⊂ Kτ ′
1 .
Рассмотрим теперь возмущенный упорядочивающий конус задачи (1) в случае, когда
значение параметра возмущений τ = 1.
Равенство K0 = Kτ
0 , о котором идет речь в теореме 5, не обязательно выполняется при
τ = 1, так как возможно, что K1
0 \ K0 6= ∅ и не все точки множества K1
0 принадлежат
гиперплоскости {x ∈ R
n | ux = 0}; K1
0 \K0 ⊂ {x ∈ R
n | ux > 0}
⋃
{x ∈ R
n | ux < 0}.
В рассматриваемом случае имеет место также следующее утверждение.
Теорема 9 [9]. K1
0 = K1.
Кроме того, для значения τ = 1 можно усилить результат, который был представлен
в теореме 3 для произвольного значения τ из R
1.
Теорема 10. K1
⋂
{x ∈ R
n | ux = 0} = K0.
Доказательство. Из теоремы 3 следует включение K1
⋂
{x ∈ R
n | ux = 0} ⊂ K0.
Выбрав произвольную точку y ∈ K0, во-первых, приходим, согласно лемме, к выводу, что
y ∈ {x ∈ R
n | ux = 0}. Во-вторых, согласно теоремам 4 и 9, верно y ∈ K1
0 = K1. Следова-
тельно, K0 ⊂ K1
⋂
{x ∈ R
n | ux = 0}. Доказательство завершено.
Суммируя результаты, представленные в теоремах 5 и 10, приходим к следующему
утверждению.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 45
Теорема 11. ∀ τ ∈ R
1 : Kτ ⋂{x ∈ R
n | ux = 0} = K0.
В дополнение к теоремам 7 и 8, характеризующим взаимосвязи между подмножествами
возмущенных конусов перспективных направлений при значениях параметра возмущений,
отличных от единицы, предлагаем еще две теоремы, в которых при изучении указанных
взаимосвязей в рассмотрение вводится также значение параметра возмущений, равное еди-
нице.
Теорема 12. ∀ τ(−∞ < τ < 1): K1
⋂
{x ∈ R
n | ux > 0} ⊂ Kτ
1 .
Доказательство. Выберем произвольную точку y ∈ K1
⋂
{x ∈ R
n | ux > 0}. В связи
с тем, что, согласно теореме 9, K1
0 = K1, для любого k = 1, . . . , ℓ справедливы соотноше-
ния 0 = c1ky = (ck − u)y и, следовательно, cky = uy > 0. Выберем значение параметра
возмущений τ в интервале (−∞, 1) и оценим ∀ k ∈ {1, . . . , ℓ} величину cτky: cτky = (ck −
− τu)y = cky − τuy = uy − τuy = (1 − τ)uy > 0. Таким образом, ∀ τ ∈ (−∞, 1): y ∈ Kτ
1 .
Аналогичным образом можно доказать и следующую теорему.
Теорема 13. ∀ τ(1 < τ < +∞) : K1
⋂
{x ∈ R
n | ux < 0} ⊂ Kτ
1 .
Анализируя приведенные выше результаты, описывающие структуру всей совокупности
возмущенных конусов перспективных направлений задачи (1) при значениях параметра
возмущений τ ∈ R
1, приходим к следующим выводам, дополняющим это описание.
Из теорем 1 и 5 вытекает утверждение.
Утверждение 1. ∀ τ ′, τ ′′(τ ′ < 1 < τ ′′) : Kτ ′
⋂
Kτ ′′ = K0.
Из теорем 5 и 7 следует утверждение.
Утверждение 2. ∀ τ ′, τ ′′(1 < τ ′ < τ ′′) : Kτ ′
⋂
Kτ ′′ ⊂ K0
⋃
Kτ ′′
1 .
Из теорем 5 и 8 следует утверждение.
Утверждение 3. ∀ τ ′, τ ′′(τ ′ < τ ′′ < 1): Kτ ′ ⋂Kτ ′′ ⊂ K0
⋃
Kτ ′
1 .
Утверждение 4.
⋂
−∞<τ61
Kτ = K1
⋂
{x ∈ R
n | ux > 0}.
Доказательство. С одной стороны, в соответствии с теоремой 1 имеем
⋂
−∞<τ<1
Kτ ⊂
⊂ {x ∈ R
n | ux > 0}, откуда следует, что
⋂
−∞<τ61
Kτ ⊂ K1
⋂
{x ∈ R
n | ux > 0}. С другой
стороны, с учетом теорем 10 и 12, имеют место включения K1
⋂
{x ∈ R
n | ux > 0} ⊂
⊂ K0
⋃
Kτ
1 ⊂ Kτ для всех значений параметра τ из интервала (−∞, 1). Следовательно,
K1
⋂
{x ∈ R
n | ux > 0} ⊂
⋂
−∞<τ61
Kτ , что и завершает доказательство.
Аналогичным образом, учитывая теоремы 1, 10 и 13, можно доказать такое утвержде-
ние.
Утверждение 5.
⋂
16τ<+∞
Kτ = K1
⋂
{x ∈ R
n | ux 6 0}.
Анализируя утверждения 4 и 5 и принимая во внимание теорему 10, легко приходим
к такому выводу.
Утверждение 6 [10].
⋂
τ∈R1
Kτ = K0.
Таким образом, в результате проведенных исследований нам удалось существенно рас-
ширить представление о свойствах специальным образом возмущенных (в соответствии
с формулами (2) и (3)) конусов, которые упорядочивают множества допустимых решений
векторных оптимизационных задач вида (1) с линейными частными критериями, при все-
возможных значениях числового параметра возмущений τ ∈ R
1.
1. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. – Москва:
Наука, 1982. – 256 с.
46 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №6
2. Smale S. Global analysis and economics, V. Pareto theory with constraints // J. Math. Econ. – 1974. –
No 1. – P. 213–221.
3. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. – Москва: Мир, 1973. – 470 с.
4. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. – Москва: Наука,
1975. – 320 с.
5. Козерацкая Л.Н., Лебедева Т. Т., Сергиенко Т.И. Задача частично целочисленной векторной опти-
мизации: вопросы устойчивости // Кибернетика. – 1991. – № 1. – С. 58–61.
6. Козерацкая Л.Н., Лебедева Т. Т., Сергиенко Т.И. О регуляризации задач целочисленной векторной
оптимизации // Кибернетика и систем. анализ. – 1993. – № 3. – С. 172–176.
7. Козерацкая Л.Н. Задачи векторной оптимизации: устойчивость в пространстве решений и в про-
странстве альтернатив // Там же. – 1994. – № 6. – С. 122–133.
8. Сергиенко И.В., Козерацкая Л.Н., Лебедева Т. Т. Исследование устойчивости и параметрический
анализ дискретных оптимизационных задач. – Киев: Наук. думка, 1995. – 170 с.
9. Сергиенко И.В., Козерацкая Л.Н., Кононова А.А. Устойчивость и неограниченность задач векторной
оптимизации // Кибернетика и систем. анализ. – 1997. – № 1. – С. 3–10.
10. Kozeratska L., Forbes J. F., Goebel R. J., Kresta J. V. Pertubred cones for analysis of uncertain multi-
criteria optimization problems // Linear algebra and its applications. – 2004. – 378. – P. 203–229.
Поступило в редакцию 12.12.2013Институт кибернетики им. В.М. Глушкова
НАН Украины, Киев
Т. Т. Лебєдєва, Н.В. Семенова, Т. I. Сергiєнко
Збуренi впорядковуючi конуси для аналiзу задач векторної
оптимiзацiї за умов невизначеностi
Проведено аналiз властивостей збурених конусiв, що частково впорядковують множину
допустимих розв’язкiв задачi векторної оптимiзацiї вiдносно лiнiйних цiльових функцiй.
Вивчено структуру всiєї сукупностi спецiальним чином збурених упорядковуючих конусiв,
вiдповiдних рiзним значенням параметра збурень вхiдних даних задачi.
T.T. Lebedeva, N.V. Semenova, T. I. Sergienko
Perturbed ordering cones for the analysis of vector optimization
problems under uncertainty
The analysis of the properties of perturbed cones that partially order the set of admissible solutions
of the vector optimization problem with respect to linear objective functions is carried out. The
structure of the set of specifically perturbed ordering cones with different values of the parameter
of perturbations of the input data is studied.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №6 47
|