О нелинейном описании упругой волны Лява

О нелинейном описании упругой волны Лява

Розглянуто задачу про пружну хвилю Лява у класичній постановці при додатковому припущенні про існування нелінійності в описі деформування. Використано нелінійну модель Мурнагана. Виведено нове нелінійне хвильове рівняння у зміщеннях, яке включає лінійну частину і частину з доданками лише третього і...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2013
1. Verfasser: Рущицкий, Я.Я.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2013
Schriftenreihe:Прикладная механика
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87910
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:О нелинейном описании упругой волны Лява / Я.Я. Рущицкий // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 3-16. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87910
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-879102025-02-09T14:54:44Z О нелинейном описании упругой волны Лява On Nonlinear Description of the Love Elastic Wave Рущицкий, Я.Я. Розглянуто задачу про пружну хвилю Лява у класичній постановці при додатковому припущенні про існування нелінійності в описі деформування. Використано нелінійну модель Мурнагана. Виведено нове нелінійне хвильове рівняння у зміщеннях, яке включає лінійну частину і частину з доданками лише третього і п’ятого порядку нелінійності. Для випадку врахування тільки фізичної нелінійності отримано методом послідовних наближень розв‘язок нового нелінійного хвильового рівняння з нелінійними граничними умовами в рамках перших двох наближень. Виведено нове нелінійне рівняння для знаходження хвильового числа, яке демонструє появу нового фактора спотворення початкового гармонічного профіля хвилі – спотворення внаслідок зміни довжини хвилі при незмінній частоті. The problem on elastic Love waves is considered in the classical statement under additional assumption on presence of nonlinearity in description of deformation. The nonlinear Murnaghan model is used. The new nonlinear wave equation in displacements is derived, which includes the linear part and part with summands of the third and fifth order of nonlinearity, only. For the case of allowance for the physical nonlinearity, the solution of new nonlinear equation with nonlinear boundary conditions is obtained by the method of successive approximations within the framework of the first two approximations. The new nonlinear equation for determination of the wave number is derived, which shows the new factor of an initial wave profile distortion – distortion owing the wave length changing with unchanging frequency 2013 Article О нелинейном описании упругой волны Лява / Я.Я. Рущицкий // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 3-16. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87910 ru Прикладная механика application/pdf Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Розглянуто задачу про пружну хвилю Лява у класичній постановці при додатковому припущенні про існування нелінійності в описі деформування. Використано нелінійну модель Мурнагана. Виведено нове нелінійне хвильове рівняння у зміщеннях, яке включає лінійну частину і частину з доданками лише третього і п’ятого порядку нелінійності. Для випадку врахування тільки фізичної нелінійності отримано методом послідовних наближень розв‘язок нового нелінійного хвильового рівняння з нелінійними граничними умовами в рамках перших двох наближень. Виведено нове нелінійне рівняння для знаходження хвильового числа, яке демонструє появу нового фактора спотворення початкового гармонічного профіля хвилі – спотворення внаслідок зміни довжини хвилі при незмінній частоті.
format Article
author Рущицкий, Я.Я.
spellingShingle Рущицкий, Я.Я.
О нелинейном описании упругой волны Лява
Прикладная механика
author_facet Рущицкий, Я.Я.
author_sort Рущицкий, Я.Я.
title О нелинейном описании упругой волны Лява
title_short О нелинейном описании упругой волны Лява
title_full О нелинейном описании упругой волны Лява
title_fullStr О нелинейном описании упругой волны Лява
title_full_unstemmed О нелинейном описании упругой волны Лява
title_sort о нелинейном описании упругой волны лява
publisher Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
publishDate 2013
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87910
citation_txt О нелинейном описании упругой волны Лява / Я.Я. Рущицкий // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 3-16. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series Прикладная механика
work_keys_str_mv AT ruŝickijââ onelinejnomopisaniiuprugojvolnylâva
AT ruŝickijââ onnonlineardescriptionoftheloveelasticwave
first_indexed 2025-11-27T02:12:44Z
last_indexed 2025-11-27T02:12:44Z
_version_ 1849907814256869376
fulltext 2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 6 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 6 3 Я .Я . Р ущ и ц к и й О НЕЛИНЕЙНОМ ОПИСАНИИ УПРУГОЙ ВОЛНЫ ЛЯВА Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: rushch@inmech.kiev.ua Abstract. The problem on elastic Love waves is considered in the classical statement under additional assumption on presence of nonlinearity in description of deformation. The nonlinear Murnaghan model is used. The new nonlinear wave equation in displacements is derived, which includes the linear part and part with summands of the third and fifth order of nonlinearity, only. For the case of allowance for the physical nonlinearity, the solution of new nonlinear equation with nonlinear boundary conditions is obtained by the method of successive approximations within the framework of the first two approximations. The new nonlinear equation for determination of the wave number is derived, which shows the new factor of an initial wave profile distortion – distortion owing the wave length changing with unchanging frequency. Key words: nonlinearly elastic Love wave, Murnaghan model, new nonlinear wave equation, nonlinear boundary conditions, approximate solution. Введение. Рассмотрим задачу об упругой волне Лява в классической постановке [1 – 4, 6, 8, 10, 12] при дополнительном предположении о нелинейности процесса деформирования. С геометрической точки зрения задача состоит в том, что рассматривается слой постоянной толщины, определяемый условием 1 0h x   , и верхнее полупростран- ство 1 0x  при их описании декартовыми координатами 1 2 3Ox x x (ось абсцисс на- правлена вглубь полупространства, ось ординат – вдоль границы раздела). С точки зрения механики, задача включает несколько первоначальных предполо- жений: 1) полупространство и слой заполнены нелинейно-упругими материалами с различающимися свойствами (далее величинам, описывающим слой и полупростран- ство, присвоены индексы С и П, соответственно); 2) материалы деформируются со- гласно модели Мурнагана [2, 4, 7, 9, 11, 12], поэтому свойства включают плотность C( )  и пять упругих постоянных C( ) C( ) C( ) C( ) C( ), , , ,A B C      ; 3) полупространство и слой находятся в условиях полного механического контакта (равенство переме- щений и напряжений в плоскости контакта 1 0x  ) и что нижняя плоскость слоя 1x h  – свободна от напряжений. Исследуем возможность распространения гармонической плоской вертикально поляризованной волны при условии отсутствия перемещений 1 2,u u в продольном и горизонтальном направлениях, соответственно. Более конкретно, изучим возмож- ность распространения в направлении 1Ox (в окрестности плоскости раздела слоя и полупространства) указанной волны с неизвестными амплитудой  C( ) 3 1u x и волно- вым числом k . В этом случае волна может быть представлена в виде    2C( ) C( ) 3 3 1 i kx tu u x e    . (1) 4 Если волна локализована вокруг плоскости раздела 3 0x  , т.е. имеет максималь- ную амплитуду на плоскости раздела, и затухает существенно при увеличении абсо- лютных значений 3x , то описанная выше постановка в рамках линейной теории упру- гости соответствует постановке задачи о волне Лява. Для описания среды распространения волны с такими характеристиками приме- ним задекларированную выше модель нелинейно-упругой среды, механическое со- стояние которой зависит лишь от двух пространственных переменных  1 2,x x и ха- рактеризуется лишь одной компонентой вектора перемещений 3u . Тогда обычно ис- пользуемые в описании потенциала Мурнагана градиенты перемещений ,i ku , симмет- ричный тензор деформаций Коши – Грина nm и несимметричный тензор напряжений Кирхгофа ikt включают не все компоненты. Прежде всего, только два 3,1 3,2,u u из де- вяти компонентов градиента перемещений ,i ku отличны от нуля. Поскольку тензор nm задается формулой  , , , , 1 2nm n m m n i n i mu u u u    , (2) то его компоненты вычислим по таким формулам:    2 11 1,1 1,1 1,1 2,1 2,1 3,1 3,1 3,1 1 1 2 2 u u u u u u u u      ;    2 22 2,2 1,2 1,2 2,2 2,2 3,2 3,2 3,2 1 1 2 2 u u u u u u u u      ;  33 3,3 3,3 ,3 ,3 1 0 2 k ku u u u     ;  12 1,2 2,1 1,1 1,2 2,1 2,2 3,1 3,2 3,1 3,2 1 1 2 2 u u u u u u u u u u       ;  13 1,3 3,1 1,1 1,3 2,1 2,3 3,1 3,3 3,1 1 1 2 2 u u u u u u u u u       ;  23 2,3 3,2 1,2 1,3 2,2 2,3 3,2 3,3 3,2 1 1 2 2 u u u u u u u u u       . (3) Соответствующий поставленной задаче потенциал Мурнагана имеет вид               22 2 2 2 4 4 2 3,1 3,2 3,1 3,2 3,1 3,2 3,1 3,2 1 1 1 1 1 1 4 2 2 4 4 4 W u u u u u u u u                                 22 2 6 6 2 2 2 2 3,1 3,2 3,1 3,2 3,1 3,2 3,1 3,2 1 3 3 24 A u u u u u u u u                                 2 2 4 4 2 2 2 3,1 3,2 3,1 3,2 3,1 3,2 3,1 3,2 1 2 2 8 B u u u u u u u u                (4)     32 2 3,1 3,2 1 24 C u u     . Особенностью этого представления потенциала является присутствие в нем только четных степеней лишь двух компонентов градиента перемещения 3,1 3,2,u u : присутст- вуют только вторые степени (соответствующие линейной теории упругости), четвер- 5 тые степени (соответствующие кубически нелинейной теории упругости) и шестые степени (соответствующие нелинейности пятого порядка). Вид тензора напряжений определим по формуле  ,ik k it W u   . Поскольку в записи потенциала присутствуют лишь два из девяти компонентов градиентов дефор- мации, то и компонентов тензора напряжений будет только два ненулевых      3 2 13 3,1 3,1 3,1 3,2 1 2 t u u u u                       2 2 5 2 2 2 3,1 3,1 3,2 3,1 3,1 3,2 3,1 3,2 1 2 2 4 A u u u u u u u u                          3 2 5 4 3 2 3,1 3,1 3,2 3,1 3,1 3,2 3,1 3,2 1 2 2 4 B u u u u u u u u             22 2 3,1 3,1 3,2 1 4 Cu u u     ;      3 2 23 3,2 3,2 3,2 3,1 1 2 t u u u u                       5 2 2 2 2 2 3,2 3,2 3,1 3,1 3,2 3,2 3,1 3,2 1 2 2 4 A u u u u u u u u                          3 2 5 4 3 2 3,2 3,2 3,1 3,2 3,2 3,1 3,2 3,1 1 2 2 4 B u u u u u u u u             22 2 3,2 3,1 3,2 1 4 Cu u u     . (5) 1. Нелинейное волновое уравнение. Из трех уравнений движения в данной задаче два тождественно равны нулю, а третье имеет вид 13,1 23,2 3t t u   . (6) Подстановка представлений (5) в уравнение (6) дает следующее нелинейное вол- новое уравнение:  3 3,11 3,22u u u    (7)        2 2 2 2 1 3,1 3,11 2 3,2 3,11 1 3,2 3,22 2 3,1 3,22 2 3,1 3,2 3,124T u u T u u T u u T u u T u u u             4 4 4 4 1 3,1 3,11 1 3,2 3,22 2 3,2 3,11 2 3,1 3,22F u u F u u F u u F u u                3 3 2 2 2 2 3 3,1 3,2 3,12 3 3,1 3,2 3,12 4 3,1 3,2 3,11 4 3,2 3,1 3,22 ,F u u u F u u u F u u u F u u u    в котором введены обозначения  1 1 1 3 4 2 T A B        ;  2 1 2 T A B       ;  1 5 4 F A B C   ; 2 1 1 4 4 F A B C   ; 3 3 2 2 2 F A B C   ;  4 3 2 2 4 F A B C   . 6 Как следует из уравнения (7), оно содержит лишь нелинейные составляющие третьего (пять составляющих) и пятого (восемь составляющих) порядков. Такая осо- бенность уравнений является следствием постановки задачи; в частности, следствием учета нелинейных составляющих в соотношениях Коши (следствием учета геометри- ческой нелинейности процесса деформирования, в том числе и при описании физиче- ской нелинейности). Подобная ситуация отсутствия составляющих второго порядка име- ла место ранее при исследовании поперечных плоских волн в третьем приближении [15]. Сохраняя далее лишь кубическую нелинейность в уравнении (7), имеем  3 3,11 3,22u u u           2 2 2 2 1 3,1 3,11 2 3,2 3,11 1 3,2 3,22 2 3,1 3,22 2 3,1 3,2 3,124T u u T u u T u u T u u T u u u     . (8) Решение нелинейного волнового уравнения (8) будем искать методом последова- тельных приближений. 2. Анализ кубически нелинейной упругой волны Лява. Первое (линейное) приближение. Первое приближение совпадает с решением линейного аналога уравнения (8), ко- торое имеет известный вид и особенности которого опишем ниже [1 – 4, 6, 8, 10, 12]. Прежде всего, решение ищем из линейного аналога уравнения (8) с учетом пред- ставления (1), одинакового для слоя и полупространства    2C( ) 2 C( ) C( ) (1)3 (1)3,11 1 0Tu k v v u           , C( ) C( ) C( )Tv     , (9) однако, согласно постановке задачи (анализируется волна, локализованная вокруг плоскости раздела 3 0x  ) решения уравнения (9) для слоя и полупространства следу- ет искать различающиеся. Для полупространства ищем такое решение, которое затухает при отходе от границы 1 0x   2 11 (1) 3 Tv v kx u L e        (10) и в котором поэтому налагается условие положительности корня и подкоренного вы- ражения    22 1 0Tv v      . Из этого условия следует, что скорость линейной волны Лява должна быть меньше скорости плоской вертикальной поперечной волны в полупространстве. Амплитудный множитель L в (10) постоянен и неизвестен. Для слоя условие затухания не требуется и решение ищем в виде колебаний с двумя постоянными неизвестными амплитудными множителями, т.е.    2 2C(1) C C 3 1 1 2 1sin 1 cos 1C T C Tu L v v kx L v v kx              . (11) Здесь подкоренное выражение    22 1 0C C Tv v    также должно быть положитель- ным. Из этого условия следует, что скорость линейной волны Лява должна быть больше скорости плоской вертикальной поперечной волны в слое. Следовательно, вид линейных решений (10), (11) соответствует волне Лява, если C T Tv v v      ;C T T C Ck k k v         , (12) т.е. скорость плоской вертикальной поперечной волны в слое меньше скорости пло- ской вертикальной поперечной волны в полупространстве. Обычно это условие по- нимается, в классической теории упругости, как условие существования линейной волны Лява, которое ограничивает соотношение физических свойств системы “слой на полупространстве”. 7 Объединяя представления (1) и (10), (11), получаем решение задачи для линейно- упругой волны Лява с тремя неизвестными амплитудными множителями       2 1 2 1 (1) 3 1 2, , Tv v kx i kx tu x x t L e e          при    2 1, , 0;x x     ;        2 2 2C(1) C C 3 1 2 1 1 2 1, , sin 1 cos 1 i kx t C T C Tu x x t L v v kx L v v kx e                 при    2 1, , ;0x x h     . (13) Часто в приложениях волну Лява рассматривают как волну, распространяющуюся в системе “тонкий слой на подложке (толстом основании)”. Однако, поскольку в дан- ной постановке задачи основание полагаем полубесконечным, понятие “тонкий” мо- жет быть определено лишь по сравнению с величиной, характеризующей затухание волны в подложке. Проще всего поступить следующим образом: выбрать расстояние h , на котором волна в подложке практически отсутствует; например, приняв степень в амплитуде  2 11 Tv v kx e      , равной  2 1 4Tv v kh       (амплитуда волны умень- шается примерно в 50 раз). Поэтому в таком случае постановка задачи включает ха- рактеристику толщины слоя h : слой тонкий, если его толщина примерно равна h и толщина подложки превышает h , примерно, в 10 раз. Здесь важно, что величина  224 Th v v         обратно пропорциональна частоте (дисперсия – зависимость фазовой скорости v от частоты – не столь существенна; v уменьшается примерно в разы при изменении частоты в сотни раз) и характер такой зависимости не изменится при ином выборе степени затухания. Три неизвестные амплитудные множителя 1 2, ,C CL L L находим из трех гра- ничных условий: при 1 0x  – два условия полного механического контакта    3 1 2 3 1 20, 0,Cu x x u x x   ;    13 1 2 13 1 20, 0,Ct x x t x x   (14) или    3 1 3 10 0Cu x u x    ;          13 1 3,1 1 13 1 3,1 10 0 0 0C C Ct x u x t x u x            при 1x h  – одно условие отсутствия напряжений  13 1 2, 0Ct x h x   или     13 1 3,1 1 0C C Ct x h u x h       . (15) В результате подстановки представлений (5) и решения (13) в граничные условия (14, 15) получают линейную однородную алгебраическую систему уравнений из трех уравнений относительно амплитудных множителей 1 2, ,C CL L L 2CL L  ; 1 0C Cl L l L    ; 3 1 4 2 0C Cl L l L  ;  2 1 ;Tl v v       2 1C C C Tl v v   ; 3 4; ;h hl C l S  8    2 2C Ccos 1 ; sin 1h T h TC v v kh S v v kh             . (16) Из вида (16) следуют два наблюдения: 1) одна из амплитуд является произвольной, что свидетельствует о том, что волна относится к классу бегущих волн; 2) для нахождения волнового числа k необходимо решать трансцендентное уравнение  3 4 0 tanC C C Cl l l l kh          или       2 2C 2C 1 tan 1 0 1 T T C T v v kh v v v v                      , (17) которое имеет бесконечное количество корней 0mk k m  ( 0k – корень, опреде- ляющий нулевую моду, m ). Бесконечное количество корней имеет следствием бесконечное количество вол- новых чисел; поэтому также существует бесконечное количество мод. В классической теории упругости предложено простое доказательство существо- вания действительного корня уравнения (17) при прочих фиксированных значениях параметров: поскольку первая составляющая в уравнении (17) положительна, а вторая (тангенс как функция k ) изменяется непрерывно от нуля до бесконечности, то всегда найдется такое положительное значение k , при котором удовлетворяется уравнение (17). Если выбрать в качестве амплитудного множителя L , то    2 2 1 1 1C C T C TL L v v v v           , 2CL L  (18) и решение (13) может быть записано в виде       2 1 2 1 (1) 3 1 2, , Tv v kx i kx tu x x t L e e          при    2 1, , 0;x x     ;  C(1) 3 1 2, ,u x x t           2 2 2 2C C 1 12 1 sin 1 cos 1 1 T i kx t T T CC T v v L v v kx v v kx e v v                          при    2 1, , ;0x x h     . (19) Укажем здесь две важные особенности волн Лява в линейном приближении. 1. Волны Лява дисперсивны, поскольку уравнение (17) свидетельствует о нели- нейной зависимости фазовой скорости v от волнового числа k – при нулевом значе- нии волнового числа (при бесконечной длине волны) скорость v равна Tv (фазовой скорости поперечной волны в полупространстве) и при увеличении волнового числа скорость уменьшается; также значениями    2C 1Tkh v v m m       определяют максимальные значения фазовой скорости волны Лява для высших мод. 2. Энергия волны может перераспределяться между слоем и подложкой в зависи- мости от значений амплитуд 9    2 22 1 11 T Tv v kx v v x e e               ;         2 2 2C C 1 12 1 sin 1 cos 1 1 T T T CC T v v v v kx v v kx v v                    ; обычно рассматривается зависимость переносимой волной энергии в слое и подложке от частоты; различают низкие и высокие частоты в зависимости от выполнения усло- вия достаточно большого превышения (или наоборот) условной толщины проникно- вения волны в подложку над толщиной слоя    224 Th h v v           , соот- ветственно; тогда при малых частотах проникновение волны в подложку будет боль- шим и почти вся энергия волны будет сосредоточена в подложке (вследствие боль- шой тонкости слой практически не участвует в волновом движении). 3. Анализ кубически нелинейной упругой волны Лява. Второе (нелинейное) приближение. Как следует из известной процедуры метода последовательных приближений, второе приближение  (2) 3 1 2, ,u x x t необходимо искать как решение неоднородного линейного волнового уравнения с известной правой частью    2 (2) (2) (2) 3 3,11 3,22Tv u u u     (20)        2 2 2 2(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 1 3,1 3,11 2 3,2 3,11 1 3,2 3,22 2 3,1 3,22 2 3,1 3,2 3,124T u u T u u T u u T u u T u u u         . Здесь принято обозначение  T T   , 1;2  ; через  (1) 3 1 2, ,u x x t обозначено пер- вое (линейное) приближение, выражаемое формулой (13). Сначала необходимо вычислить правую часть в уравнении (20). Так как формулы для первого приближения (19) различны для полупространства и слоя, то уравнение (20) распадается на два различающиеся уравнения (для полупространства и слоя)        21 2 3 33(2) (2) (2) 4 (2) 3 3,11 3,22 i kx tkx Tv u u u L k A e e           ;    4 2(2) 1 21 6A T T             ;  ( ) ( ) ( ) C C CT T     ; (21)    2 (2) (2) (2) 3 3,11 3,22 C C C C Tv u u u                 2 2 2(2) C (2) C 1 1 1 1 3 34 2 2(2) C (2) C 3 1 3 1 sin 1 cos 1 1 4 sin3 1 cos3 1 C s T C c T i kx t C s T C c T A v v kx A v v kx L k e A v v kx A v v kx                                     ;            4 4 4 2(2) 2 2 1 1 23 3 2 3 8 22C C C s C C C CA M T M T M                ;       4 2(2) 2 2 2 1 1 21 3 3 3 8 4C C C c C CA T M M T M              ; 10          4 4 2(2) 2 2 3 1 21 3 3 4 8C C C s C C CA M T M T M               ;        4 4 2(2) 2 2 3 1 23 1 1 18 6C C C c C C CA T M T M                 ; C C M       . (22) Поскольку правые части неоднородных линейных уравнений (21, 22) являются решениями соответствующих (21), (22) однородных линейных уравнений, то ситуа- ция относится к, так называемому, случаю резонанса. Между уравнениями (21) и (22) есть существенное различие: если в правой части (21) содержится лишь третья гармо- ника по координате 1x , то правая часть (22) включает первую и третью. Ранее в по- добных задачах [9, 11] появление первой гармоники во втором приближении не на- блюдалось, однако наблюдалось появление четвертой гармоники в решении четверто- го приближения (в котором предположительно должна бы присутствовать лишь восьмая гармоника) [16]. Решения уравнений (21), (22) получаем в виде          21 2 1 2 2 1 33(2) (2) 3 2 2 2 2 1 1 1 T i kx tkx T x x v v x ix u K e e v v x x                ; (23)          22 23 3(2) 3 (2) 3 1 2 1 1 1 1 6 1 6 6 T TK L k A L k T v v T v v                      ;         3 3 2 2(2) C C 3 1 2 1 2 1 1 1 1, , sin 1 cos 1 24 C s T c T L k u x x t x x K v v kx K v v kx                      2 2 2 3C C 3 1 3 1sin 3 1 cos3 1 ;i kx t s T c TK v v kx K v v kx e                (24)         2C (2) (2) 1 1 2 1 12 2 2C 2 1 3 1 3 1 9 s T C s C c T K v v A x iA x v v x x               ;         2C (2) (2) 1 1 2 1 12 2 2C 2 1 3 1 3 1 9 c T C s C c T K v v A x iA x v v x x               ;        2(2) (2) C 3 3 1 3 222 2C 1 2 1 1 1 s C s C c T T K iA x A v v x x v v x                 ;        2(2) (2) C 3 3 1 3 222 2C 1 2 1 1 1 c C c C s T T K iA x A v v x x v v x                 . Решение в виде двух первых приближений будет следующим:   (1) (2) 3 1 2 3 3, ,u x x t u u     (25) 11               2 1 2 21 2 1 2 2 11 33(2) 2 2 2 2 1 1 1 T Tv v kx i kx t i kx tkx T x x v v x ix L e e K e e v v x x                           при    2 1, , 0;x x     ;  C(1) 3 1 2, ,u x x t  (26)                     2 2 2 3 3 2C 1 2 1 12 3 3 2C 1 2 1 1 2 2 3C C 3 1 3 1 1 sin 1 241 cos 1 24 sin3 1 cos3 1 T s T CC i kx tT c T i kx t s T c T v v L k L x x K v v kx v v e L k L x x K v v kx K v v kx K v v kx e                                                              при    2 1, , ;0x x h     . Следует отметить, что, как во всех полученных методом последовательных при- ближений решениях, в решениях (25), (26) содержатся неизвестные параметры базо- вого линейного решения: амплитуда L и волновое число k . Если амплитуду соглас- но признаку, что волна Лява является бегущей волной считают произвольной, то вол- новое число необходимо определять из граничных условий. Однако, согласно приня- той постановке задачи эти условия уже нелинейные, что создает возможность учета влияния нелинейности на волновое число. 4. Нелинейные граничные условия. Ограничимся анализом случая, когда в постановке задачи учитывается физиче- ская нелинейность и геометрически задача линейная. Тогда границы 1 0x  и 1x h  могут полагаться прямолинейными и запись коэффициентов 1 2,T T в нелинейном вол- новом уравнении упрощается:  1 3 2 4 T A B  ;  2 1 2 T A B  . Запишем сначала напряжения в граничных условиях (14),(15) через перемещения, полагая при этом, что перемещения соответствуют классической волне Лява (13). То- гда первое граничное условие    3 1 2 3 1 20, 0,Cu x x u x x   остается линейным и дает связь между двумя амплитудами 2CL L  . Второе и третье условия будут уже нели- нейными и с учетом обозначений в (16) и первого условия будут иметь вид    13 1 2 13 1 20, 0,Ct x x t x x         3 3 2 1 2 2 1 1 2 1 2C C C C C C C C Cl L l L n L n L n L L      ; (27)     2 22 2 1 21 1T Tn T k v v T k v v E            ;   3/ 22 2 2 1 1 1C C C Tn T v v k E     ;  2 2 2 2 2 1C C C Tn T v v k E   ; 12  13 1 2, 0Ct x h x           3 3 2 2 3 1 4 2 3 1 4 2 5 1 2 6 1 2C C C C C C C C C C C Cl L l L n L n L n L L n L L      ; (28)    2 2 2 2 3 1 2C C h C h hn T C C T S k C E     ;    2 2 2 2 4 1 2C C h C h hn T C S T C S k E     ;       2 2 2 2 2 5 1 23 2C C h C h h hn T C C T C S S k E      ;       2 2 2 2 2 6 1 23 2C C h C h h hn T C S T C S C k E      . Следует обратить внимание на присутствие множителя 2E во всех коэффициен- тах при нелинейных составляющих. Это свидетельствует о том, что учет нелинейно- сти будет сопровождаться в том числе и зависимостью нелинейного решения от фор- мы волны. Анализ кубически нелинейной системы алгебраических уравнений (27), (28) про- ведем по алгоритму, предложенному в [14] при анализе нелинейной волны Рэлея для квадратично нелинейной системы. Алгоритм состоит из ряда шагов. Шаг 1. Предположим, что одна амплитуда выражается линейно через другую 2 1C CL mL (29) (подобно классическому случаю, однако множитель m здесь неизвестен). Тогда сис- тема (27), (28) может быть представлена следующим образом:     33 2 1 1 2 1C C C C Cl l m L n m n n m L     ; (30)     33 2 3 4 1 3 4 5 6 1C C C C C Cl l m L n n m n m n m L     . Заметим, что из (30) следует линейный случай    3 4Cm l l l l    , если положить все коэффициенты при нелинейных составляющих , kCn n равными нулю. Шаг 2. Преобразуем систему (30) к виду     22 3 1 1 2 1 0C C C C CL l l m n n m n m L         ; (31)     22 3 1 3 4 3 5 6 4 1 0C C C C C CL l l m n n m n m n m L        (32) и рассмотрим ее с такой точки зрения: что полезно было бы получить из анализа не- линейных граничных условий, учитывая опыт анализа линейных граничных условий. Речь идет о двух результатах. Первый состоит в том, что амплитуда 1CL является про- извольной. Второй должен выражаться в получении уравнения для определения неиз- вестного волнового числа k волны Лява. Шаг 3. Первый результат легко достигается, если в (31) и (32) положить оба вы- ражения в квадратных скобках равными нулю. Тогда амплитуда 1CL действительно может считаться произвольной, поскольку для удовлетворения системы достаточно равенство нулю выражений в квадратных скобках. Шаг 4. Приравнивая выражения в квадратных скобках к нулю, получаем новую систему уравнений 13     22 3 1 2 1 0C C C Cl l m n n m n m L      ; (33)     22 3 3 4 3 5 6 4 1 0C C C C Cl l m n n m n m n m L      , (34) в которой неизвестными являются коэффициент m и волновое число k , тогда как произвольная амплитуда 1CL может здесь полагаться параметром. Шаг 5. Представим уравнение (33) как кубическое уравнение относительно m       2 1 13 22 2 2 1 1 0C C CC C C l n Ln l m m m n n L n L           и определим его корни по известной процедуре. Проанализируем далее первый ко- рень, который, как известно, всегда действителен,                 3 2 1 2 31 3 2 2 1 3 2 1 2 2 3 3 2 2 1 3 227 6 3 ; 2 327 6 C C C C C C C C C C C n n l n l n m Q nn n L n n l n l n n Q n nn n L                        (35)                               2 2 2 13 2 3 3/ 2 1 2 1 2 4 13 3/ 2 33/ 2 1 2 2 3 61 2 1 13 4 27 9 1 8 4 54 4 9 3 8 27 4 8 C C C C C C C C C C C C C C C C l l n l n L l l n n l n n n l ni l Q L L n l n n n n n L l n                                                 . Исходя из физического смысла задачи (амплитуды волн малы и, к примеру, для материалов с внутренней структурой микроуровня имеют порядок 10-4 – 10-5 м), вы- числим приближенно с учетом малости  2 1CL присутствующие в (35) квадратный и кубический корни. Тогда выражению (35) можно придать вид       3 22 1 13 2 27 CC C nl m L l l n      . (36) Основная особенность представлений (35) и (36) состоит в том, что коэффициент m зависит нелинейным образом от упругих постоянных (Ляме и Мурнагана) мате- риала, неизвестного волнового числа k , амплитуды 1CL и формы профиля (в коэффи- циенты 2, Cn n входит  1i kx tE e  ). Итак, учет нелинейности деформирования усложняет существенно зависимость между амплитудами 1CL и 2CL . 14 Шаг 6. Преобразуем уравнение (34), используя при этом выражение для 3m из урав- нения (33)         2 2 5 1 4 3 1 33 26 2 2 4 4 1 4 1 C C C CC C C C C C n L l n L ln m m m n n L n L       и вычисляя 2m с помощью фор- мулы (36)                     2 3 62 2 42 22 1 12 2 3 2 66 4 2 27 3 C C C C C C l l n n m L L l l n l n        , к виду  2 4 4 5 1 1 C C C m l n l n n n L        (37)                             2 2 4 3 3 1 4 6 2 4 12 3 62 4 62 2 6 2 4 1 12 3 2 66 4 2 27 3 C C C C C C C C C C C C C C C C C C l l n l n n n n n n n n n L l l n n n n n n L L l n l n                                         . Шаг 7. Подставляем значение коэффициента m (35) в уравнение (37) (или при- равниваем (35) и (37)), в результате чего получаем новое уравнение для определения волнового числа k  4 3Cl l l l   (38)               3 2 22 5 4 4 3 1 4 6 2 4 14 2 27 C CC C C C C C C C C C n ll l n n l n l n n n n n n n n n L l n l nn                                    3 42 6 2 4 5 14 22 27 CC C C C C C nl n n n n n n L l n                      62 62 6 2 4 176 2 0 3 C C C C C n n n n n L l n       . Необходимо отметить, что первая составляющая уравнения (38) соответствует линейной задаче, т.е. при стремлении коэффициентов kn к нулю (при переходе к ли- нейному случаю) из уравнения (38) следует уравнение (17). Уравнение (38) имеет такую особенность, что его решение – волновое число k – будет зависеть не только от волновых чисел плоских линейных поперечных волн в слое и подложке ( )C Tk  (от упругих постоянных Ляме), что соответствовало бы решению для линейного случая, но также – от упругих постоянных Мурнагана, амплитудного мно- жителя 1CL и формы волны (квадрата первой гармоники E и ее четных степеней). Учитывая состояние анализа линейной задачи, который достаточно сложен и включает числовое моделирование, можно предположить, что и анализ полученного нового уравнения (38) для определения волнового числа волны Лява в физически не- линейно-упругом материале, возможно, окажется доступным только на качественном уровне и уровне числового анализа. Рассмотрим простой вариант использования уравнения (38) в общем анализе вол- ны Лява в нелинейно-упругом материале. Предположим, что амплитуда 1CL доста- точно мала, так что ее степенями выше второй можно пренебречь. Тогда уравнение (38) упрощается к виду 15                 3 2 5 4 4 4 2 4 3 12 3 1 4 6 2 4 2 27 0 C C C C C C C C C C C C C n l n n l l n l n l n l l l l L ll n n n n n n n n n n l                                     . (39) Наличие в коэффициентах , ,C iCn n n множителя  22 i k x tE e  позволяет сделать вы- вод качественного характера о значении волнового числа k при его определении из урав- нения (39): поскольку значение множителя 2E изменяется при движении волны, то од- новременно будет изменяться и значение волнового числа. Более конкретно, посколь- ку 2E изменяется непрерывно между значениями +1 и 0, то значение волнового числа будет зависеть от точки на профиле волны – при нулевом значении E волновое число будет совпадать со значением из линейного анализа, на верхнем гребне (горбе) и нижнем гребне (впадине) профиля при подстановке значений , ,C iCn n n в уравнение (39) следует брать 1E  . Это свидетельствует, что значение волнового числа будет отклоняться в большую сторону от его значения из линейного анализа и обратно. Следует отметить, что следующая из уравнения (39) изменяемость волнового числа  phk v означает изменяемость длины волны  2 k  при неизменной частоте и вводит новый фактор искажения начально гармонического профиля волны Лява. Такое же новое волновое явление было обнаружено ранее и для поверхностной волны Рэлея [15]. В классическом нелинейном анализе плоских волн этот фактор от- сутствует, поскольку отсутствует граница в формулировке задач. Изменяемость вол- нового числа при движении волны возможно создаст дополнительные сложности при числовом моделировании, так как потребуется перевычислять значение k на каждом последующем шаге. Заключение. Таким образом, в статье сформулирована задача о волне Лява в классической по- становке при дополнительном предположении о существовании нелинейности в опи- сании деформирования. Для учета нелинейности использована трехконстантная мо- дель Мурнагана. Выведены новое нелинейное волновое уравнение в смещениях, ко- торое включает линейную часть и часть со слагаемыми только третьего и пятого по- рядков нелинейности, и новые нелинейные граничные условия, также состоящие из линейной и нелинейной частей. Для случая учета лишь физической нелинейности методом последовательных приближений получено решение нового нелинейного волнового уравнения в рамках первых двух приближений с нелинейными граничны- ми условиями. Выведено новое нелинейное уравнение для определения волнового числа, которое демонстрирует появление нового фактора искажения начального гар- монического профиля волны – искажения вследствие изменения длины волны при неизменной частоте. Р Е ЗЮМ Е . Розглянуто задачу про пружну хвилю Лява у класичній постановці при додатко- вому припущенні про існування нелінійності в описі деформування. Використано нелінійну модель Мурнагана. Виведено нове нелінійне хвильове рівняння у зміщеннях, яке включає лінійну частину і частину з доданками лише третього і п’ятого порядку нелінійності. Для випадку врахування тільки фізичної нелінійності отримано методом послідовних наближень розв‘язок нового нелінійного хви- льового рівняння з нелінійними граничними умовами в рамках перших двох наближень. Виведено нове нелінійне рівняння для знаходження хвильового числа, яке демонструє появу нового фактора спотворення початкового гармонічного профіля хвилі – спотворення внаслідок зміни довжини хвилі при незмінній частоті. 16 1. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред. – М.: Наука, 1982. – 335 с. 2. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями. – К.: А.С.К., 2004. – 672 с. 3. Лейбензон Л.С. Краткий курс теории упругости. – М.; Л.: ОГИЗ, 1942. – 304 с. 4. Рущицкий Я.Я., Цурпал С.І. Хвилі в матеріалах з мікроструктурою. – К.: Ін-т механіки ім. С.П. Тимошенка, 1997. – 377 с. 5. Рущицький Я.Я., Хотенко О.О. Наближені розв’язки нелінійних хвильових рівнянь, що описують пружні поверхневі хвилі Релея // Доп. НАН України. – 2012. – №1. – C. 64 – 69. 6. Achenbach J. D. Wave propagation in elastic solids. – Amsterdam: North Holland, 1973. – 436 p. 7. Cattani C., Rushchitsky J.J. Wavelet and Wave Analysis as applied to Materials with Micro or Nanostructure. – Singapore – London: World Scientific, 2007. – 466 p. 8. Dielesaint E., Royer D. Ondes elastiques dans les solides. Application au traitement du signal. – Paris: Masson et Cie, 1974. – 424 p. 9. Murnaghan F.D. Finite Deformations in an Elastic Bodies. – New York: Willey, 1951. – 140 p. 10. Nowacki W. Teoria sprężystośći. – Warszawa: PWN, 1970. – 769 s. 11. Rushchitsky J.J. Interaction of waves in solid mixtures // Appl. Mech. Rev. – 1999. – 52, N 2. – P. 35 – 74. 12. Rushchitsky J.J. Theory of Waves in Materials. – Copenhagen: Ventus Publishing ApS, 2011. – 270 p. (free e-book, bookboon.com) 13. Rushchitsky J.J., Khotenko E.A. On Rayleigh Wave in Quadratically Nonlinear Elastic Half – Space (Murnaghan Model) // Int. Appl. Mech. – 2011. – 47, N 3. – P. 268 – 275. 14. Rushchitsky J.J., Khotenko E.A. On Role of Boundary Conditions in Nonlinear Analysis of the Rayleigh Wave // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 3. – P. 305 – 318. 15. Rushchitsky J.J., Kovalenko A.P., Savelieva E.V. Self-Generation of Transverse Waves in Hyperelastic Media // Int. Appl. Mech. – 1996. – 32, N 5. – P. 30 – 38. 16. Rushchitsky J.J., Sinchilo S.V., Khotenko I.N. On Generation of the Second, Fourth, Eighth, and Next Harmonics by the Quadratically Nonlinear Hyperelastic Plane Wave // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 6. – P. 649 – 659. Поступила 26.12.2010 Утверджена в печать 06.06.2013

Ähnliche Einträge