Неосесимметричные волны в слоистых полых цилиндрах с пьезокерамическими радиально поляризованными слоями

Розглянуто задачу про поширення неосесиметричних хвиль у шаруватих порожнистих п’єзокерамічних циліндрах з радіально поляризованими шарами. Для розв’язку задачі запропоновано ефективний чисельно-аналітичний метод. Початкова тривимірна задача теорії електропружності в частинних похідних (шляхом предс...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Прикладная механика
Date:	2013
Main Authors:	Григоренко, А.Я., Лоза, И.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України 2013
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87911
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Неосесимметричные волны в слоистых полых цилиндрах с пьезокерамическими радиально поляризованными слоями / А.Я. Григоренко, И.А. Лоза // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 17-25. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860012634753990656
author	Григоренко, А.Я. Лоза, И.А.
author_facet	Григоренко, А.Я. Лоза, И.А.
citation_txt	Неосесимметричные волны в слоистых полых цилиндрах с пьезокерамическими радиально поляризованными слоями / А.Я. Григоренко, И.А. Лоза // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 17-25. — Бібліогр.: 18 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Прикладная механика
description	Розглянуто задачу про поширення неосесиметричних хвиль у шаруватих порожнистих п’єзокерамічних циліндрах з радіально поляризованими шарами. Для розв’язку задачі запропоновано ефективний чисельно-аналітичний метод. Початкова тривимірна задача теорії електропружності в частинних похідних (шляхом представлення компонентів тензора пружності, компонентів векторів переміщень, електричної індукції та електростатичного потенціалу комбінацією стоячих хвиль в коловому напрямі та біжучих хвиль в осьовому напрямі) зведена до крайової задачі на власні значення для звичайних диференціальних рівняннях. Отриману задачу розв’язано стійким методом дискретної ортогоналізації у поєднанні з методом покрокового пошуку. Наведено результати чисельного аналізу дисперсійних відношень в широкому діапазоні зміни геометричних характеристик шаруватих циліндрів з п’єзокерамічними шарами. The problem is considered on propagation of non-symmetric waves in layered hollow cylinders with piezoceramic radially polarized layers. To solve the problem, the effective numerical-analytical method is proposed. The initially three-dimensional problem of electroelasticity in partial derivatives is reduced to the boundary value problem for ordinary differential equations by means of representation of components of elasticity tensor, vectors of displacements, electric induction and electrostatic potential by the combination of the standing waves in the circumferential direction and the running waves in the axial direction. The problem is solved by the stable method of discrete orthogonalization with combination with the step-by-step search method. The results of numerical analysis of dispersion relationships are shown in the wide range of change of the layered cylinders geometrical characteristics.
first_indexed	2025-12-07T16:42:18Z
format	Article
fulltext	2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 6 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 6 17 А .Я . Г р и г о р е н к о ¹ , И .А .Л о з а ² НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНЫ В СЛОИСТЫХ ПОЛЫХ ЦИЛИНДРАХ С ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИМИ РАДИАЛЬНО ПОЛЯРИЗОВАННЫМИ СЛОЯМИ ¹Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ, ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина;e-mail: ayagrigorenko@yandex.ru; ²Национальный транспортный университет, ул. Суворова, 1, 01010, Киев, Украина;e-mail: dukeigor@mail.ru Abstract. The problem is considered on propagation of non-symmetric waves in lay- ered hollow cylinders with piezoceramic radially polarized layers. To solve the problem, the effective numerical-analytical method is proposed. The initially three-dimensional problem of electroelasticity in partial derivatives is reduced to the boundary value problem for ordi- nary differential equations by means of representation of components of elasticity tensor, vectors of displacements, electric induction and electrostatic potential by the combination of the standing waves in the circumferential direction and the running waves in the axial direc- tion. The problem is solved by the stable method of discrete orthogonalization with combi- nation with the step-by-step search method. The results of numerical analysis of dispersion relationships are shown in the wide range of change of the layered cylinders geometrical characteristics. Key words: three-dimensional problem of electroelasticity, layered hollow cylinders, piezoceramic radially polarized layers, standing waves, running waves, method of discrete orthogonalization. Введение. Пьезокерамические волноводы в виде кругового цилиндра находят широкое при- менение в акустоэлектронике, что свидетельствует об актуальности исследования волновых процессов, происходящих в пьезокерамических телах. Вопросам распро- странения акустоэлектрических волн в однородных цилиндрических волноводах по- священо значительное количество работ. Осесимметричная задача для сплошного и полого волноводов исследована в [2, 4, 10, 17], а неосесимметричная  [3, 5, 6, 8, 9, 18]. Для слоистых цилиндров, кроме удовлетворения решений на ограничивающих тело поверхностях, необходимо также удовлетворять условиям сопряжения, что при- водит к повышению порядка систем уравнений. Работа [7] посвящена исследованию волновых процессов в слоистых структурах. Для решения этих задач использован метод, основанный на разложении искомых функций в степенные ряды. Однако сложности в его реализации не позволили получить подробную количественную ин- формацию. Некоторые аспекты нестационарного электромеханического поведения пьезокерамических тел исследованы на основании численного подхода в [14  16]. Для решения задачи, рассматриваемой в настоящей статье, предложен эффективный численно-аналитический подход, применявшийся при решении аналогичных задач для упругих тел [1, 11 – 13]. 1. Постановка задачи. Основные уравнения для слоистых полых цилиндров. Рассмотрим полый слоистый цилиндр с неизменяемыми слоями, которые могут быть пьезокерамическими либо металлическими. Вдоль оси цилиндра распространя- ется неосесимметричная акустоэлектрическая волна. Полная система уравнений, опи- сывающих данную задачу, состоит из: 18 1) уравнений неосесимметричных движений i -го слоя в цилиндрической системе координат  , ,r z : 2 2 1 ; i i ii i i rr rrr rz ru r r r z t                    2 2 2 1 ; i i i i i r r z u r r r z t                       (1) 2 2 1 ; ii i i i zrz rz zz zu r r r z t                 2) уравнений электростатики для i - го слоя: 1 0; ii i i r r zDD D D r r r z            1 ; ; ; i i i i i i r zE E E r r z                 (2) 3) соотношений Коши для i - го слоя: ; i i r rr u r     1 ; i i i ru u r r        ; i i z zz z u u     1 2 ; i ii i r r u uu r r r           2 ; i i i z r rz u u r z        1 2 . i i i z z u u z r          (3) В равенствах (1)  (3) принято: i jk  компоненты тензора напряжений; i  плот- ность материала; i ju  компоненты вектора перемещений; i jD  компоненты вектора электрической индукции; i jE  компоненты вектора напряженности электрического поля; i  электростатический потенциал; i jk  компоненты тензора деформаций. Материальные соотношения для i -го пьезокерамического слоя, поляризованного в радиальном направлении, имеют вид 33 13 13 33 13 11 12 13; ;i i i i i i i i i i i i i i i i i i rr rr zz r rr zz rc c c e E c c c e E                 13 12 11 13 66 55 15; 2 ; 2 ;i i i i i i i i i i i i i i i i i zz rr zz r z z rz rz zc c c e E c c e E                55 15 33 13 13 332 ; ;i i i i i i i i i i i i i i r r r rr zz rc e E D e e e E              (4) 15 11 15 112 ; 2 ,i i i i i i i i i i z z rz zD e E D e E         где i jkc  компоненты тензора модулей упругости; i jke  компоненты тензора пьезо- модулей; i jk  компоненты тензора диэлектрической проницаемости материала. Материальные соотношения для i - го изотропного слоя:            1 ; 1 1 2 1 1 2 1 1 2 i i i i i i i i i i rr rr zzi i i i i i E E E                                   1 ; 1 1 2 1 1 2 1 1 2 i ii i i i i i rr zzi i i i i i EE E                        19             1 ; 1 1 2 1 1 2 1 1 2 i ii i i i i i i zz rr zzi i i i i i EE E                       (5)       2 ; 2 ; 2 . 2 1 2 1 2 1 i i i i i i i i i r r rz rz z zi i i E E E                   Граничные условия на боковых поверхностях цилиндра (при 0r R h  ) – сле- дующие: 1) поверхности свободны от внешних усилий ( 0i i i rr r rz     ) и по- крыты электродами, которые закорочены ( 0  ); 2) на поверхностях контакта ir r имеют место условия совместной работы i -го и  1i  -го слоев без скольжения и от- рыва и непрерывности электрического поля ( 1 1 1; ; ;i i i i i i rr rr r r rz rz           1 1 1 1 1; ; ; ; ).i i i i i i i i i i r r z z r ru u u u u u D D            (6) В дальнейшем верхний индекс i будем опускать. Выбираем в качестве основных неизвестных функции, через которые формулируются условия контакта смежных слоев и условия на ограничивающих тело поверхностях. Разрешающая система урав- нений для данного класса задач принимает такой вид: 2 3 32 4 1 2 2 2 1 1 1 1 ;rrr rz z rr r r u u u D r r r z r z rr t r                                         22 2 2 6 6 52 1 2 2 2 2 2 2 ;r rr r z r r u u D u r r r r z rr r z t                                              2 2 2 2 5 5 66 62 1 66 2 2 2 2 1 ;rz rr r r rz z u cu D c u r z r r z z zr z t                                              33 331 1 1 ;z rr r r e u cu u D r r r z                     33 332 2 2 ;r z rr r r u eu u u D r r r z                      (7) 51 51 55 55 55 55 1 1 1 1 ; ;r z r r rz u e eu u u u r c rc r r r c c z z                           2 2 51 51 7 2 2 2 55 55 55 1 1 ,rr rz r e eD D r c c z c rr z                        где введены обозначения: 2 33 33 33 ;c e   1 33 13 13 33;c e c e   2 13 33 13 33;c e e   3             13 33 2 33 13 1 13 11 4 13 33 2 33 13 1 13 12; ;c c e e c c c c e e c c                   5 12 13 1 13 2c e c       ; 6 11 13 1 13 2c e c       ; 2 7 55 11 15c e   . 20 2. Методика решения краевых неосесимметричных задач. Для решения данной задачи предложен эффективный численно-аналитический подход. Представим компоненты тензоров напряжения и векторов смещения, элек- трической индукции и электростатического потенциала в виде стоячих волн в окруж- ном направлении и бегущих волн в осевом направлении. В результате исходную трех- мерную задачу теории электроупругости, описываемую уравнениями в частных про- изводных, сводим к краевой задаче на собственные значения в обыкновенных диффе- ренциальных уравнениях. Полученную задачу решаем с использованием устойчивого численного метода дискретной ортогонализации в сочетании с методом пошагового поиска. Используем метод разделения переменных, а также замкнутость цилиндрического тела в направлении окружной координаты. Тогда разрешающие функции представля- ем в виде стоячих волн в окружном направлении и бегущих в осевом направлении            , , , sin cos ; , , , cos cos ;rr rr r rr z t r m kz t r z t r m kz t                          0 , , , sin sin ; , , , cos cos ;rz rzr z t r m kz t r z t h r m kz t                           1 2, , , cos cos ; , , , sin cos ;ru r z t hu r m kz t u r z t hu r m kz t         (8)            3, , , cos sin ; , , , cos cos .z r ru r z t hu r m kz t D r z t D r m kz t         Используя разложение (8), систему (7), граничные и смежные условия, получаем краевую задачу на собственные значения для системы обыкновенных дифференци- альных уравнений ( , ) ; d A x dr   R R ( 1) 0;B   (1) 0;B   , ,, , , , , ,rr r rz r z ru u u D    R (9) где lmA a  , 1, 2, ..., 8l m  , а ненулевые элементы матрицы A определяются ра- венствами: 2 2 23 32 4 11 12 13 15 16 171 ; ; ; ; ; ; x mx kx a x a mx a k a a a                          2 2 2 2 26 61 2 18 21 22 25 26 66; ; 2 ; ; ; mx m xx mx a a a x a a k c                       5 51 2 27 66 28 31 33 35; ; ; ; ; kxmx k a mkx c a a a x a                    2 2 2 25 6 331 1 36 66 37 66 38 41 45; ; ; ; ; k ek x a mkx c a m x c a a a                      33 331 1 2 2 2 46 47 48 51 55 56 57; ; ; ; ; ; ; cmx k x mx k a a a a a a a                           33 15 51 58 62 64 65 66 73 74 75 55 55 55 55 1 1 ; ; ; ; ; ; ; ; e mxe ke a a a a mx a x a a a k c c c c                    21  2 2 215 15 7 82 83 84 88 55 55 55 ; ; ; , mxe ke a a a m x k a x c c c                 где введены обозначения: / ;h    / ;ij ijc c  0/ ;ij ije e   0/ ;ij ij   0( ) / ;x r R h  0/ ; /1 ;h R x x     h  половина толщины цилиндра;   плот- ность материала цилиндра; 0R  радиус срединной поверхности; 0  диэлектриче- ская проницаемость вакуума; 10 210 H м  . Граничные условия представим в таком виде:    1 21 0, 1 0,B B  R R (10) где матрицы 1B и 2B будут равны и имеют вид 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 . 0 0 1 0 0 0 0 1 B B  3. Числовые результаты. Анализ. Ниже приведены результаты численного анализа. На рис. 1 представлена зависимость первых шести частот от безразмерного волно- вого числа /kh  (при этом значение 1m  , 0,25  ). Принято, что цилиндр со- стоит из трех слоев. Толщины внешних слоев равны по / 2h , а толщина внутреннего слоя равна h . Материал внешних слоев  сталь с характеристиками: 10 221 10 H/м ;E   0, 28;  3 27,85 10 кг/м .м   Внутренний слой  пьезокерамика PZT 4 с характеристиками: 10 2 11 13,9 10 H /м ;c   10 2 10 2 12 137, 43 10 H /м ; 7,78 10 H /м ;c c    10 2 33 11,5 10 H /м ;c   10 2 55 2,56 10 H /м ;c   2 33 15,1K /м ;e  2 13 5,2K /м ;e   2 15 12,7 K /м ;e  11 730;  33 635;  3 27,5 10 кг/м .п   Для кривых введены обозначения, принятые в работе [6]. При 0  и 0k  при- ходим к задаче о колебаниях плоского слоя. Так, для однослойного цилиндра из ме- талла имеем следующие формулы для частот:      1 ( ) 0; 2,905; 5,81; ...; 0, 1, 2,... ; 2 1 1 2 ì E U n n n             ( ) ( ) 0; 1,606; 3,211; ... 2 2 1 ì E V n W n n        0, 1, 2 ...n  . Для однослойного цилиндра из пьезокерамики PZT 4 имеем равенства 2 11 11 11 1 (2 ) 0; 4,325; 8,649; ... ï e U n n c           0, 1, 2 ... ;n  0,2 0,4 0,6 0 1 2   V ( 0 ) W ( 0 ) U ( 0 ) V ( 1 ) W ( 1 ) W ( 2 ) Рис. 1 22 (2 1) 1,995;6,729;...;U n   55( ) ( ) 0;0,918;1,835;...; 2 ï c V n W n n      0,1,2...n  . Поскольку частота слоистого цилиндра ограничена сверху соответствующей час- тотой для сплошного металлического цилиндра, а снизу  частотой для сплошного пьезокерамического цилиндра, то для слоистого цилиндра будем использовать анало- гичные обозначения. На рис. 1 сплошными линиями изображены ветви дисперсион- ных соотношений для слоистого цилиндра, пунктирными – для однородного цилинд- ра такой же геометрии из пьезокерамики PZT 4. Из приведенного рисунка видно, что влияние наличия металлических слоев приводит к «ужесточению» материала, т. е. повышению значения собственных частот. При этом различие в первой собственной частоте для слоистого и однослойного цилиндров незначительно. Для более высоких частот – различие более существенное. На рис. 2 представлена зависимость первых шести частот от волнового числа / ;kh  сплошными линиями также обозначены ветви дисперсионных соотноше- ний для слоистого цилиндра, а пунктирной – для однослойного стального цилиндра. Как видно, в этом случае значения собст- венных частот для слоистого цилиндра меньше соответствующих частот для сталь- ного цилиндра. Следовательно, частота соб- ственных колебаний слоистого шара лежит в неком «коридоре» между собственной частотой для однослойного цилиндра из пьезокерамики и частотой для однослойного цилиндра из стали. Это иллюстрирует рис. 3. Здесь сплошной линией обозначены собст- венные частоты для слоистого цилиндра, пунктирной – для цилиндра из пьезокерами- ки, штрихпунктирной – для цилиндра из стали. Материал и геометрия цилиндра со- ответствует данным, принятым ранее. На рис. 4 представлена также зависи- мость первых шести частот от безразмерно- го волнового числа для значения 2m  . Материал и геометрия цилиндра такие же, как и для рис. 1. Сплошной линией обозна- 0,2 0,4 0,6 0 2   V ( 0 ) W ( 0 ) U ( 0 ) V ( 1 ) W ( 1 ) W ( 2 ) Рис. 2 0,2 0,4 0,6 0 1   V ( 0 ) W ( 0 ) U ( 0 ) V ( 1 ) Рис. 3 0,2 0,4 0,6 0 1 2   V ( 0 ) W ( 0 ) U ( 0 ) V ( 1 ) W ( 1 ) W ( 2 ) Рис. 4 23 чены собственные частоты для слоистого цилиндра, пунктирной – для цилиндра из пьезокерамики PZT 4. На рис. 5 пред- ставлена зависимость первых шести час- тот от безразмерного волнового числа для значения 2m  . Материал и геометрия цилиндра такие же, как и для случая, представленного на рис. 2. Сплошной линией обозначены собственные частоты для слоистого цилиндра, пунктирной – для цилиндра из стали. На рис. 6 выполнено совмещение данных рис. 4 и 5 для первых четырех частот. Как известно, краевая задача (8), (9) ма- тематически совпадает с задачей о свобод- ных неосесимметричных колебаниях слои- стого цилиндра с шарнирным опиранием на торцах. Рассмотрим трехслойный цилиндр со слоями, аналогичными рассмотренному выше цилиндру (с внутренним радиусом внутр. 3R  , внешним – внешн. 5R  и длиной – 10L  безразмерных единиц). При та- ком выборе геометрических характери- стик значение 0/ 0, 25h R   совпадает со значениями, принятыми для расчетов в предыдущей задаче, результаты которых приведены на рис. 1 – 6. Кроме того, не- обходимо провести аналогичные иссле- дования для значений 0m  , 1,m  2, ...m  . Анализ частотного спектра показыва- ет, что для определения первых пяти соб- ственных частот достаточно четырех пер- вых значений m : 0m  , 1m  , 2m  и 0,2 0,4 0,6 0 1 2 3   V ( 0 ) W ( 0 ) U ( 0 ) V ( 1 ) W ( 1 ) W ( 2 ) Рис. 5 0,2 0,4 0,6 0 1 2   U ( 0 ) V ( 0 ) W ( 0 ) V ( 1 ) Рис. 6 0,1 0       Рис. 8 0,1 0       Рис. 7 24 3m  . Результаты проведенных исследований представлены на рис. 7 – 10 для соот- ветствующих значений m (сплошной линией обозначены дисперсионные кривые для неоднородного цилиндра, а пунктирной – для однородного цилиндра из пьезокерами- ки PZT 4). Видно, что соответствующие частоты будут лежать на пересечении соответст- вующих дисперсионных ветвей и значений 0,1; 0, 2; 0,3 ...;  следует их лишь рас- положить в порядке возрастания. В таблице представлены числовые значения первых пяти частот для случая трехслойного цилиндра (Вариант 1) и однородного пьезокера- мического цилиндра (Вариант 2). Показано также число полуволн ( m ) в окружном направлении и число полуволн в осевом направлении ( k ), а также – к какой относи- тельной погрешности ( ) при вычислении собственных частот приведет игнорирова- ние неоднородности. № i Вариант 1 m k Вариант 2 m k  , % 1 0,1824 1 1 0,1368 1 1 25 2 0,1965 2 1 0,1645 2 1 16,3 3 0,2713 0 1 0,2007 0 1 26 4 0,3332 0 1 0,2487 0 1 25,4 5 0,3467 3 1 0,3023 1 1 12,8 Как видно из таблицы, первая собственная частота не является собственной час- тотой осесимметричных колебаний. Только лишь третья и четвертая собственные час- тоты являются частотами осесимметричных колебаний. При этом третья частота яв- ляется частотой продольных колебаний, а четвертая – частотой крутильных колеба- ний. Собственные частоты, полученные в данной работе для однородного цилиндра из пьезокерамики PZT 4, полностью совпадают с данными, полученными на основа- нии подхода, разработанного в работе [7]. Естественно, что объем работ при этом со- вершенно разный. Однако, на основании анализа, проведенного в данной работе, кро- ме значений собственных частот, получена также информация о формах колебаний. 4. Заключение. Сформулирована и решена задача о распространении неосесимметричных волн в полом слоистом цилиндре с пьезокерамическими и металлическими слоями. Рассмот- рен случай, когда боковые поверхности свободны от механических воздействий и коротко замкнуты. Для решения задачи предложен эффективный численно-аналити- ческий подход. Решена также математически эквивалентная задача  о собственных колебаниях полого слоистого цилиндра с пьезокерамическими и стальными слоями с шарнирным опиранием на торцах. В результате численного анализа установлено сле- дующее: 0,1 0     Рис. 10 0,1 0     Рис. 9 25 первая собственная частота соответствует форме колебаний с одной полуволной в осевом и окружном направлениях; вторая собственная частота – форме колебаний с одной полуволной в осевом и одной волной в окружном направлении; третья собственная частота соответствует осесимметричной форме с одной полу- волной в осевом направлении. Наличие стальных слоев приводит к значительному увеличению собственных час- тот. Для рассматриваемых первых пяти частот наибольшее увеличение наблюдается для третьей собственной частоты и приводит к увеличению ее значения на 26%. Р Е ЗЮМ Е . Розглянуто задачу про поширення неосесиметричних хвиль у шаруватих порож- нистих п’єзокерамічних циліндрах з радіально поляризованими шарами. Для розв’язку задачі запро- поновано ефективний чисельно-аналітичний метод. Початкова тривимірна задача теорії електропру- жності в частинних похідних (шляхом представлення компонентів тензора пружності, компонентів векторів переміщень, електричної індукції та електростатичного потенціалу комбінацією стоячих хвиль в коловому напрямі та біжучих хвиль в осьовому напрямі) зведена до крайової задачі на власні значення для звичайних диференціальних рівняннях. Отриману задачу розв’язано стійким методом дискретної ортогоналізації у поєднанні з методом покрокового пошуку. Наведено результати чисель- ного аналізу дисперсійних відношень в широкому діапазоні зміни геометричних характеристик ша- руватих циліндрів з п’єзокерамічними шарами. 1. Григоренко Я.М., Влайков Г.Г., Григоренко А.Я.. Численно-аналитическое решение задач механики оболочек на основе различных моделей. – К.: «Академпериодика», 2006. – 472 с. 2. Григоренко А.Я., Лоза И.А., Шульга Н.А. Распространение осесимметричных волн в полом пьезо- керамическом цилиндре // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1983. – № 3. – С. 35 – 39. 3. Григоренко А.Я., Лоза И.А., Шульга Н.А. Распространение неосесимметричных волн в пьезокера- мическом полом цилиндре // Прикл. механика. – 1984. – 20, № 6. – С. 11 – 16. 4. Ивина Н.Ф., Касаткин Б.А. Нормальные волны в анизотропном пьезоактивном волноводе // Де- фектоскопия.– 1975. – № 4. – С. 27 – 32. 5. Лоза И.А. Распространение неосесимметричных акустоэлектрических волн в полом цилиндриче- ском волноводе, поляризованном в окружном направлении // Прикл. механика. – 1984. – 20, № 12. – С. 19 – 23. 6. Лоза И.А. Распространение неосесимметричных акустоэлектрических волн в полом пьезокерами- ческом цилиндре с радиальной поляризацией // Прикл. механика. – 1985. – 21, № 1. – С. 22 – 27. 7. Лоза И.А., Медведев К.В., Шульга Н.А. Распространение неосесимметричных акустоэлектрических волн в слоистых цилиндрах // Прикл. механика. – 1987. – 23, № 8. – С. 3 – 6. 8. Лоза И.А., Шульга Н.А. Распространение акустоэлектрических волн в пьезокерамическом полом цилиндре и слое // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1985. – 22. – С. 86 – 90. 9. Лоза И.А., Шульга Н.А. Кинематический анализ распространения акустоэлектрических волн в полом пьезокерамическом цилиндре с осевой поляризацией // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1988. – 24, № 1. – С. 115 – 120. 10. Шульга Н.А., Григоренко А.Я., Лоза И.А. Осесимметричные электроупругие волны в полом пьезо- керамическом цилиндре // Прикл. механика. – 1984. – 20, № 1. – С. 79 – 86. 11. Grigorenko Ya. M., Grigorenko A.Ya., Vlaikov G.G. Problems of mechanics for anisotropic inhomoge- neous shells on basic of different models. – Kyiv: “Akademperiodika”, 2009. – 549 p. 12. Grigorenko A. Ya., Efimova T.L. Application of Spline-Approximation for Solving the Problems on Natural Vibrations of Rectangular Shallow Shells with Varying Thickness // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 10. – P. 1161 – 1169. 13. Grigorenko A. Ya., Yaremchenko N.P. Stress-Strain State of Shallow Shells with Rectangular Planform and Varying Thickness: Refined Formulation // Int. Appl. Mech.– 2007. – 41, N 10. – P. 1132 – 1141. 14. Shul’ga N.A., Grigorieva L.O. Studying the Electroelastic Deformation of Layer under Mechanical Loading by the Method of Characteristics // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 1. – P. 82 – 89. 15. Shul’ga N.A., Grigorieva L.O. Radial Electromechanical Non-Stationary Vibrations of a hollow Piezoce- ramic Cylinder under Elastic Excitation // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 2. – P. 230 – 235. 16. Shul’ga N.A., Grigorieva L.O. On Electroelastic Non-Stationary Vibrations of a Piezoceramic Layer // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 3. – P. 373 – 381. 17. Paul H.S. Torsional vibration of circular cylinder of piezoelectric  -quartz // Arch. Mech. Stosow. – 1962. – N 5. – P. 127 – 134. 18. Paul H.S. Vibration of circular cylindrical shells of piezoelectric silver iodide crystals // J. Acoust. Soc. Amer. – 1966. – 40, N 5. – P. 1077 – 1080. Поступила 21.07.2010 Утверждена в печать 06.06.2013
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87911
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0032-8243
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T16:42:18Z
publishDate	2013
publisher	Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
record_format	dspace
spelling	Григоренко, А.Я. Лоза, И.А. 2015-10-29T18:58:07Z 2015-10-29T18:58:07Z 2013 Неосесимметричные волны в слоистых полых цилиндрах с пьезокерамическими радиально поляризованными слоями / А.Я. Григоренко, И.А. Лоза // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 17-25. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87911 Розглянуто задачу про поширення неосесиметричних хвиль у шаруватих порожнистих п’єзокерамічних циліндрах з радіально поляризованими шарами. Для розв’язку задачі запропоновано ефективний чисельно-аналітичний метод. Початкова тривимірна задача теорії електропружності в частинних похідних (шляхом представлення компонентів тензора пружності, компонентів векторів переміщень, електричної індукції та електростатичного потенціалу комбінацією стоячих хвиль в коловому напрямі та біжучих хвиль в осьовому напрямі) зведена до крайової задачі на власні значення для звичайних диференціальних рівняннях. Отриману задачу розв’язано стійким методом дискретної ортогоналізації у поєднанні з методом покрокового пошуку. Наведено результати чисельного аналізу дисперсійних відношень в широкому діапазоні зміни геометричних характеристик шаруватих циліндрів з п’єзокерамічними шарами. The problem is considered on propagation of non-symmetric waves in layered hollow cylinders with piezoceramic radially polarized layers. To solve the problem, the effective numerical-analytical method is proposed. The initially three-dimensional problem of electroelasticity in partial derivatives is reduced to the boundary value problem for ordinary differential equations by means of representation of components of elasticity tensor, vectors of displacements, electric induction and electrostatic potential by the combination of the standing waves in the circumferential direction and the running waves in the axial direction. The problem is solved by the stable method of discrete orthogonalization with combination with the step-by-step search method. The results of numerical analysis of dispersion relationships are shown in the wide range of change of the layered cylinders geometrical characteristics. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Неосесимметричные волны в слоистых полых цилиндрах с пьезокерамическими радиально поляризованными слоями Non-Axisymmetric Waves in Layered Hollow Cylinders with Piezoceramic Radially Polarized Layers Article published earlier
spellingShingle	Неосесимметричные волны в слоистых полых цилиндрах с пьезокерамическими радиально поляризованными слоями Григоренко, А.Я. Лоза, И.А.
title	Неосесимметричные волны в слоистых полых цилиндрах с пьезокерамическими радиально поляризованными слоями
title_alt	Non-Axisymmetric Waves in Layered Hollow Cylinders with Piezoceramic Radially Polarized Layers
title_full	Неосесимметричные волны в слоистых полых цилиндрах с пьезокерамическими радиально поляризованными слоями
title_fullStr	Неосесимметричные волны в слоистых полых цилиндрах с пьезокерамическими радиально поляризованными слоями
title_full_unstemmed	Неосесимметричные волны в слоистых полых цилиндрах с пьезокерамическими радиально поляризованными слоями
title_short	Неосесимметричные волны в слоистых полых цилиндрах с пьезокерамическими радиально поляризованными слоями
title_sort	неосесимметричные волны в слоистых полых цилиндрах с пьезокерамическими радиально поляризованными слоями
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87911
work_keys_str_mv	AT grigorenkoaâ neosesimmetričnyevolnyvsloistyhpolyhcilindrahspʹezokeramičeskimiradialʹnopolârizovannymisloâmi AT lozaia neosesimmetričnyevolnyvsloistyhpolyhcilindrahspʹezokeramičeskimiradialʹnopolârizovannymisloâmi AT grigorenkoaâ nonaxisymmetricwavesinlayeredhollowcylinderswithpiezoceramicradiallypolarizedlayers AT lozaia nonaxisymmetricwavesinlayeredhollowcylinderswithpiezoceramicradiallypolarizedlayers

Неосесимметричные волны в слоистых полых цилиндрах с пьезокерамическими радиально поляризованными слоями

Institution

Similar Items