О модификации метода конечных элементов применительно к задачам равновесия тел при воздействии больших деформаций
Отримано аналітичні вирази для компонент матриці похідних тензорно-матричної системи рівнянь МСЕ, що описує великі деформації нестисливого пружного тіла. При їх виведенні використано апарат диференціювання за тензорним аргументом. Результати отримано для загального тривимірного випадку, а також для...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87913 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О модификации метода конечных элементов применительно к задачам равновесия тел при воздействии больших деформаций / В.В. Чехов // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 37-43. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859706293256716288 |
|---|---|
| author | Чехов, В.В. |
| author_facet | Чехов, В.В. |
| citation_txt | О модификации метода конечных элементов применительно к задачам равновесия тел при воздействии больших деформаций / В.В. Чехов // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 37-43. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Отримано аналітичні вирази для компонент матриці похідних тензорно-матричної системи рівнянь МСЕ, що описує великі деформації нестисливого пружного тіла. При їх виведенні використано апарат диференціювання за тензорним аргументом. Результати отримано для загального тривимірного випадку, а також для плоскої деформації. За допомогою чисельного методу з використанням матриці Якобі визначено напружено-деформований стан вивернутої навиворіт порожнистої квадратної призми.
The analytical expressions are obtained for the components of Jacobi matrix of the tensor-matrix system equations of the finite elements method, which describes the large deformations of incompressible elastic body. To derive the expressions, the apparatus of differentiation over the tensor argument is used. The findings are valid for the general three-dimensional case including the case of plane strain. Basing on the modified numerical method, which uses the Jacobi matrix, the stress-strain state is calculated for the turned inside out cylinder of quadratic cross-section.
|
| first_indexed | 2025-12-01T03:24:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 6
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 6 37
В .В .Ч е х о в
О МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧАМ РАВНОВЕСИЯ ТЕЛ
ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: v_chekhov@ukr.net
Abstract. The analytical expressions are obtained for the components of Jacobi matrix
of the tensor-matrix system equations of the finite elements method, which describes the
large deformations of incompressible elastic body. To derive the expressions, the apparatus
of differentiation over the tensor argument is used. The findings are valid for the general
three-dimensional case including the case of plane strain. Basing on the modified numerical
method, which uses the Jacobi matrix, the stress-strain state is calculated for the turned in-
side out cylinder of quadratic cross-section.
Key words: finite elements method, tensor-matrix system equations, large deforma-
tions, Finger strain measure, incompressible elastic body, derivative matrix, Jacobi matrix,
turned inside out cylinder.
Введение.
Задачи, связанные с определением напряжённо-деформированного состояния нагру-
женных упругих тел при учёте больших деформаций исследованы в [10 – 14, 17 – 24].
При численном решении таких задач в большинстве применяемых методов исполь-
зуют матрицу производных (называемую также матрицей Якоби [4]) – непосредст-
венно при решении системы нелинейных алгебраических уравнений или при контро-
ле равновесия промежуточных состояний (в случае использования инкрементальных
методов). В [12] получена и протестирована система нелинейных алгебраических
уравнений метода конечных элементов (МКЭ), позволяющая решать задачи статиче-
ского нагружения тел из несжимаемых материалов с учётом больших деформаций. В
системе не использованы линеаризация и инкрементальные теории, что позволяет
избежать характерных для них проблем, таких, как, например, вырождение касатель-
ной матрицы жёсткости при прохождении сингулярных точек [2], либо появление
«ложных» точек бифуркации [1]. Настоящая работа посвящена построению для этой
системы матрицы Якоби и представлению результатов числового примера.
§1. Постановка задачи.
Система уравнений, описанная в [12], имеет вид
[4]{ }, { } { }, { } 2 [ ] ( [ ]{ }) { } { } { } {0};
{ } {0},
A R p K R p L M R R R f
B R
(1.1)
где { }f
– столбец узловых нагрузок; { }R
и {p} – неизвестные (соответственно,
столбец узловых радиус-векторов деформированной конфигурации и столбец вели-
чин среднего давления в конечных элементах (КЭ), соответствующего условию
38
несжимаемости); столбец {B} отображает изменение объёма элементов при деформи-
ровании и имеет такие компоненты:
0
[ ]
0 0
[ ] [ ]( (( ) ) 1)
v
B III r dv
,
где – номер КЭ; III – кубический инвариант;
0 0
[ ] [ ] [ ]( ) i i
i
r N R
– конечноэлемент-
ная аппроксимация градиента места
0
r
внутри -го КЭ (N[i] – функция формы, относя-
щаяся к -му КЭ и i-му узлу); остальные матричные объекты получают в результате опе-
рации сборки по всем КЭ ( [ ]{ } { }K K
; [ ][ ] [ ]L L
; [4] [4]
[ ][ ] [ ]M M
) и имеют
следующие компоненты:
0
[ ]
0 0 0
1
[ ] [ ] [ ] [ ]( )i i
v
K p r N dv
;
0
[ ]
0 0 0
[ ] 1 [ ] [ ] [ ]ij i j
v
L N N dv
;
0
[ ]
0 0 0 0 0
[ ] 2 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]ijkl i j k l
v
M N N N N dv
,
где i, j, k – номера узлов сетки; 1[] и 2[] – функции от инвариантов меры деформа-
ции из уравнения состояния материала -го КЭ в форме Фингера [7].
Задача построения для системы (1.1) матрицы Якоби ( , ) ( , )A B R p
значи-
тельно облегчается, если учитывать структурированность системы (1.1): компонента-
ми составляющих её матриц могут быть не только числа, но и, в общем случае, тен-
зорные объекты различных рангов. Это приводит к использованию аппарата для диф-
ференцирования по тензорному аргументу.
§2. Дифференцирование по тензорному аргументу.
Порядок такого дифференцирования описан в [7] на примере случая, когда аргу-
мент имеет 2-ой ранг. Производная по тензору определяется как множитель при сла-
гаемом в вариации функции, линейном относительно вариации независимого пере-
менного. Нетрудно распространить этот подход на дифференцирование по тензору 1-
го ранга. Например, для скалярной функции ( )a r
получаем
s t s t s s t
t t ts s s s
a a a a da
a r r r e e e r e r
drr r r r
.
Таким образом, производные от скаляра и, аналогично, от тензоров 1-го и 2-го
рангов будут тензорами, соответственно, 1-го, 2-го и 3-го рангов
s
s
da a
e
dr r
;
s
t
st
df f
e e
dr r
;
st
p
s tp
d q
e e e
dr r
q
.
В частности, dr dr 1
, где s
se e1 =
– метрический тензор.
Из вариации скалярного произведения
( ) ( )
s
s
d d d d
r r r r
dr dr dr dr
d d
e e r
dr dr
p q p q
p q p q + p q q + p 1 q + p
p q
q + p
следует такое равенство:
39
( ) s
s
d d d
e e
dr dr dr
p q p q
q + p
.
Можно получить также и другие необходимые соотношения для дифференциро-
вания сложных функций;
( ) s
s
d d d
e e
dr dr dr
p q p q
q + p
;
( ) s
s
d d d
e e
dr dr dr
p p p p
p + p
;
( ) s s
s
d d d d
e e e
dr dr dr dr
p p p p p p
p + p p p p
;
1
1 1( ) s
s
d d
e e
dr dr
-
- -p p
p p
;
( )d a da d
a
dr dr dr
p p
p ;
( )d af da df
f a
dr dr dr
;
( ) s
s
d fg df dg
e ge f
dr dr dr
;
( )d ab da db
b a
dr dr dr
;
3
2( )
3
d a da
a
dr dr
.
§3. Построение матрицы Якоби.
При использовании этих соотношений для построения матрицы Якоби системы
(1.1) операцию тензорного дифференцирования обозначим символом частной произ-
водной, поскольку сами тензоры выступают теперь в роли матричных компонент.
Матрица Якоби будет, очевидно, состоять из четырёх блоков
( , )
( , ) 0
A A
pA B R
R p B
R
.
Получим аналитические выражения для этих блоков. В блоке A
R
обозначим
[4]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
([ ]{ }) ((( [ ]{ }) { }){ })
2
{ } { }
2 .
A K L R M R R R
R R R R
DK DL DM
Применение аппарата тензорного дифференцирования и необходимых преобразо-
ваний даёт для матриц [DK][], [DL][] и [DM][] такие компоненты:
0
[ ]
0 0 0 0 0
[ ] 1 1
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
( ) ( )i
in n i
n
v
K
p r N r N dv
R
DK
;
0
[ ]
0 0 0[ ] [ ] 1 [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] { }
;i
in j i j in
jn n
v
L R
R N N dv L
R R
DL 1
[4]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ] { } { } { }in
i
n
M R R R
R
DM
0
[ ]
0 0 0 0 0
2 [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
k j l i j k l
k j l n
v
R R R N N N N dv
R
40
0
[ ]
0 0 0 0 0
2 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]i j k n k j
v
N N N N dv R R
1
0
[ ]
0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] .i j k n i n k j
v
N N N N N N N N dv
Блок A
p
с учётом того, что [ ] [ ]{ } { }
{ } { }
A K K Kp p p p
, имеет
следующие компоненты:
0
[ ]
0 0 0[ ] [ ] 1
[ ] [ ]
[ ] [ ][ ]
( )
i i
i
i v
K KA
r N dv
p p p
.
Наконец, блок B
R
определим для двух вариантов расчёта.
1. Общий трёхмерный случай. Детерминант градиента места имеет вид
0
1 2 3 2 3 1 3 2 1 1 3 2 2 3 1 3 2 1
[ ] 1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 2 3 2 1 3 3 1 2(( ) ) ,III r S S S S S S S S S S S S S S S S S S
где введено обозна-
чение
0
[ ] [ ]
q q
pp i ii
S N R .
Применение тензорного дифференцирования
00
[ ]
[ ]
qS p q
N ep nR n
и необходи-
мых аналитических преобразований даёт
0 0
[ ] [ ]
0
0 0 0 0
[ ] [ ]
1 2 3[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
0 0 0 0 0 0 0
3 2 2 3 1 1 3[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
0 0 0 0
3 1 2 2[ ] [ ] [ ] [
(( ) )
(
) ( )
(
n i j
i jn n n
v v
i j n i j i j
n i j i
B III rB
dv N N N
R R R
N N N N N N N
N N N N
0 0 00 0
2 3 1 3 1 2 1 2 3
1] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]) .j i j i j i jN dv R R e R R e R R e
2. Случай плоской деформации. Градиент места в этом случае имеет вид
00 0
[ ]( ) q p
p qr S e e
0 0
3
3e e
(по индексам с чертой суммировать до 2). Поэтому для де-
терминанта градиента места имеем
0
1 2 2 1
[ ] 1 2 1 2(( ) )III r S S S S
;
0
[ ]
0 00 0 0 0 0
2 1 1 2
1 2 2 1[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
n i n i i i
in
v
B
N N N N dv R e R e
R
0
[ ]
3 00 0 0 00
[ ] [ ] [ ] 3 .s
n i s i
i
v
N N dv e e R e
41
§4. Дифференцирование инвариантов тензора меры деформации.
В полученных выражениях для компонент подматрицы A
R
имеют место про-
изводные функций 1 и 2 от инвариантов меры деформации I(b) и II(b). Для опреде-
ления этих производных необходимо продифференцировать I(b) и II(b). Дифференци-
рование меры деформации Фингера после упрощений приводит к равенству
00 0 0 0 0
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
( ) ( )T s
n i i s i
in n
r r N N e R e R
R R
b
1
.
Отсюда производная линейного инварианта меры Фингера –
0 0
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
( ) 2 ( )n
n n
I N r
R R
b 1 b
,
а производная квадратичного инварианта имеет вид
0 0
2 2
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
0 0 0 0 0 0
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
1
( ) ( ) ( ) 2 ( )
2
( ) ) ( )( ) ( ) .
i j
i j kn n
k n i n j k i j k
II I I N N
R R
N N N N N N R R R
b b b
Для определения и дифференцирования самих функций 1 и 2, следует задать
используемую модель материала. Дифференцирование функций модели материала
выполним на примере материала Муни [3, 8]
1 = 1C + I(b) 2C ; 2 = – 2C.
С использованием приведенных выше выражений для производных от инвариан-
тов b получаем равенство
0 0
1 [ ]
2 [ ] [ ] [ ]
[ ]
2 ( )n
n
C N r
R
; 2 [ ]
[ ]
0
nR
.
§5. Об эффективности решения трехмерных задач.
Таким образом, при помощи аппарата дифференцирования по тензорному аргумен-
ту получены аналитические выражения для компонент матрицы Якоби системы (1.1).
Использование этих соотношений позволяет существенно увеличить качество либо
скорость расчётов, так как при их отсутствии необходимо либо применять методы, не
использующие матрицу Якоби, либо аппроксимировать эту матрицу через конечные
разности, что существенно снижает скорость вычислений. Например, при решении
задачи о выворачивании цилиндра [12] аналитическое вычисление матрицы Якоби в
сравнении с конечноразностным ускорило расчёт примерно в 60 раз (с одного часа до
одной минуты; все расчёты проведены без учёта разреженности и симметрии матриц).
Упомянутый пример расчёта относится к применению обычного метода Ньютона.
В этом случае возможны проблемы со сходимостью (в частности, их наличие отмече-
но в [12]). Однако, использованный при расчётах решатель [15] позволяет при нали-
чии возможности аналитического вычисления матрицы Якоби применять и другие,
более эффективные и лучше сходящиеся методы. Для проверки действия этих мето-
дов была рассмотрена более сложная задача.
Задачи определения состояния тел, вывернутых наизнанку [5 – 7] (среди которых
встречаются и имеющие практическую ценность [9, 13, 16]), являются хорошим тес-
том для методов решения задач с учётом больших деформаций. Ниже представлен
результат отыскания вывернутого наизнанку состояния полой квадратной призмы.
Задача является достаточно сложной: попытки применить к ней обычный метод Нью-
тона привели к расходящемуся процессу (в литературе решение этой задачи не пред-
ставлено). Толщина стенок призмы в сравнении со случаем полого кругового цилиндра
[12] была уменьшена (внешний размер сечения 12 см, размер отверстия 6 см), иначе
возникали самопересечения в деформированном состоянии (константы материала
Муни: 1C = 0,15 МПа; 2C = 0,094 МПа).
42
В качестве начального приближения для поиска инвертированного состояния бы-
ла задана форма кругового сечения. Задачу удалось решить при помощи глобально
сходящейся модификации метода Ньютона [15]; процесс занял шесть итераций. Для
других доступных методов (Ньютона, гибридный метод Пауэлла) сходимости не на-
блюдалось.
Использованную конечноэлементную модель и результаты расчёта демонстриру-
ет рисунок.
В каждой из четвертей деформированной конфигурации тела показано распреде-
ление одной из компонент тензора напряжений Коши (в МПа). Индексами цилиндри-
ческих координат они обозначены условно (кроме z-компоненты), так как в роли ко-
ординатных линий здесь выступают не окружности, а подобные циклоидам линии
локальных направлений элементов (одно вдоль одной из локальных осей КЭ, другое
ортогонально ему), что для данного тела, по-видимому, более информативно, по-
скольку эти линии повторяют форму тела.
В частности, можно видеть, что по «радиальной» компоненте имеет место сжатие
почти везде, кроме зон вблизи вогнутых углов, а по «кольцевой» и осевой компонен-
там – растяжение на внешних слоях и сжатие на внутренних, причём максимумы дос-
тигаются на серединах сторон исходного квадрата, в местах их максимального изгиба.
Отметим, что при использовании более экономной расчётной схемы, содержащей не
половину, а четверть формы тела (по образцу [6]), инвертированное состояние полу-
чить не удалось: итерации «убегали» к исходному состоянию (по-видимому, из-за
того, что оно, в отличие от рассмотренной выше схемы, находится довольно близко к
недеформированному состоянию).
Таким образом, использование представленных выше аналитических выражений
для компонент матрицы частных производных системы (1.1) позволяет повысить эф-
фективность и скорость её решения, и получить достаточно интересные результаты.
Заключение.
Получены аналитические выражения для компонент матрицы производных
тензорно-матричной системы уравнений метода конечных элементов (МКЭ) [12],
описывающей большие деформации несжимаемого упругого тела. При их выведе-
нии использован аппарат дифференцирования по тензорному аргументу. Результаты
получены для общего трёхмерного случая, а также для плоской деформации. При по-
мощи численного метода, использующего эту матрицу, исследовано напряжённо-
деформированное состояние вывернутой наизнанку полой квадратной призмы.
Р Е ЗЮМ Е . Отримано аналітичні вирази для компонент матриці похідних тензорно-матричної
системи рівнянь МСЕ, що описує великі деформації нестисливого пружного тіла. При їх виведенні
використано апарат диференціювання за тензорним аргументом. Результати отримано для загального
тривимірного випадку, а також для плоскої деформації. За допомогою чисельного методу з викорис-
танням матриці Якобі визначено напружено-деформований стан вивернутої навиворіт порожнистої
квадратної призми.
43
1. Бережной Д.В., Паймушин В.Н., Шалашилин В.И. Исследования качества уравнений геометричес-
ки нелинейной теории упругости при малых деформациях и произвольных перемещениях // Изв.
РАН. Механика твердого тела. – 2009. – № 6. – С. 31 – 47.
2. Галишникова В.В. Метод расширения для вычисления продолжения решения в сингулярных точ-
ках // Вест. РУДН. Сер. Математика, информатика, физика. – 2011. – № 2. – C. 123 – 132.
3. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. – К.: Наук. думка, 1973. – 272 с.
4. Дэннис Дж. мл., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных
уравнений. – М.: Мир, 1988. – 440 с.
5. Зеленина А.А., Зубов Л.М. Одномерные деформации нелинейно-упругих микрополярных тел // Изв.
РАН. Механика твердого тела. – 2010. – № 4. – С. 97 – 106.
6. Зубов Л.М., Моисеенко С.И. Устойчивость равновесия вывернутой наизнанку упругой сферы //
Изв. РАН. Механика твердого тела. – 1983. – № 5. – С. 148 – 155.
7. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. – М.: Наука, 1980. – 512 с.
8. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. – М.: Мир, 1976. – 466 с.
9. Сухоруков В.П. Аэродинамическое сопротивление трубопровода, прокладываемого способом вы-
ворачивания наизнанку // Наук. вісник Нац. гірничого ун-ту. – 2009. – № 9. – С. 72 – 74.
10. Aernouts J., Couckuyt I., Crombecq K., Dirckx J.J.J. Elastic Characterization of Membranes with a Com-
plex Shape using Point Indentation Measurements and Inverse Modelling // Int. J. Eng. Scі. – 2010.
– 48, N 6. – P. 599 – 611.
11. Chamberland É., Fortin A., Fortin M. Comparison of the performance of some finite element discretiza-
tions for large deformation elasticity problems // Composites and Structures. – 2010. – 88, N 11 – 12. – P. 664
– 673.
12. Chekhov V.V. Matrix FEM equation describing the large-strain deformation of an incompressible mate-
rial // Int. Appl. Mech. – 2011. – 46, N 10. – P. 1147 – 1153.
13. Conrad F., Ehrmann K., Choo J.D., Holden B.A. Finite element modeling of inverted (inside out) soft
contact lenses // J. Medic. Dev. Trans. ASME. – 2010. – 4, N 2.
14. Gonçalves P.B., Pamplona D., Lopes S.R.X. Finite deformations of an initially stressed cylindrical shell
under internal pressure // Int. J. Mech. Sci. – 2008. – 50, N 1. – P. 92 – 103.
15. GSL Reference Manual. http://www.gnu.org/software/gsl/manual/gsl-ref.html
16. Huang Y.-M. Finite element analysis of tube inversion process with radiused dies // Int. J. Adv. Manuf.
Tech. – 2005. – 26, N 9 – 10. – P. 991 – 998.
17. Karami G., Grundman N., Abolfathi N., Naik A., Ziejewski M. A micromechanical hyperelastic modeling
of brain white matter under large deformation // J. Mech. Behavior Biomed. Mater. – 2009. – 2. – P. 243 –
254.
18. Maksimyuk V.A., Storozhuk E.A., Chernyshenko I.S. Using Mesh-Based Methods to Solve Nonlinear
Problems of Statics for Thin Shells // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 1. – P. 32 – 56.
19. Promma N., Raka B., Grédiac M., Toussaint E., Le Cam J.-B., Balandraud X., Hild F. Application of the
virtual fields method to mechanical characterization of elastomeric materials // Int. J. Solids Struct. –
2009. – 46, N 3 – 4. – P. 698 – 715.
20. Sasso M., Palmieri G., Chiappini G., Amodio D. Characterization of hyperelastic rubber-like materials
by biaxial and uniaxial stretching tests based on optical methods // Polymer Testing. – 2008. – 27. –
P. 995 – 1004.
21. Semenyuk N.P., Trach V. M., Ostapchuk V.V. Nonlinear Axisymmetric Deformation of Anisotropic
Spherical Shells // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 10. – P. 1101 – 1111.
22. Silva C.A.C., Bittencourt M.L. Structural shape optimization of 3D nearly-incompressible hyperelasticity
problems // Latin Amer. J. Solids and Struct. – 2008. – 5, N 2. – P. 129 – 156.
23. Zhu Y., Luo X.Y., Ogden R.W. Nonlinear axisymmetric deformations of an elastic tube under external
pressure // Europ. J. Mech. – A/Solids. – 2010. – 29, N 2. – P. 216 – 229.
24. Zisis Th., Zafiropoulou V.I, Giannakopoulos A.E. The adhesive contact of a flat punch on a hyperelastic
substrate subject to a pull-out force or a bending moment // Mech. Mater. – 2011. – 43, N 1. – P. 1 – 24.
Поступила 05.07.2011 Утверждена в печать 06.06.2013
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87913 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T03:24:41Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Чехов, В.В. 2015-10-29T19:07:48Z 2015-10-29T19:07:48Z 2013 О модификации метода конечных элементов применительно к задачам равновесия тел при воздействии больших деформаций / В.В. Чехов // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 37-43. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87913 Отримано аналітичні вирази для компонент матриці похідних тензорно-матричної системи рівнянь МСЕ, що описує великі деформації нестисливого пружного тіла. При їх виведенні використано апарат диференціювання за тензорним аргументом. Результати отримано для загального тривимірного випадку, а також для плоскої деформації. За допомогою чисельного методу з використанням матриці Якобі визначено напружено-деформований стан вивернутої навиворіт порожнистої квадратної призми. The analytical expressions are obtained for the components of Jacobi matrix of the tensor-matrix system equations of the finite elements method, which describes the large deformations of incompressible elastic body. To derive the expressions, the apparatus of differentiation over the tensor argument is used. The findings are valid for the general three-dimensional case including the case of plane strain. Basing on the modified numerical method, which uses the Jacobi matrix, the stress-strain state is calculated for the turned inside out cylinder of quadratic cross-section. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика О модификации метода конечных элементов применительно к задачам равновесия тел при воздействии больших деформаций On Modification of the Finite Element Method as applied to Equilibrium of Bodies with Large Deformations Article published earlier |
| spellingShingle | О модификации метода конечных элементов применительно к задачам равновесия тел при воздействии больших деформаций Чехов, В.В. |
| title | О модификации метода конечных элементов применительно к задачам равновесия тел при воздействии больших деформаций |
| title_alt | On Modification of the Finite Element Method as applied to Equilibrium of Bodies with Large Deformations |
| title_full | О модификации метода конечных элементов применительно к задачам равновесия тел при воздействии больших деформаций |
| title_fullStr | О модификации метода конечных элементов применительно к задачам равновесия тел при воздействии больших деформаций |
| title_full_unstemmed | О модификации метода конечных элементов применительно к задачам равновесия тел при воздействии больших деформаций |
| title_short | О модификации метода конечных элементов применительно к задачам равновесия тел при воздействии больших деформаций |
| title_sort | о модификации метода конечных элементов применительно к задачам равновесия тел при воздействии больших деформаций |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87913 |
| work_keys_str_mv | AT čehovvv omodifikaciimetodakonečnyhélementovprimenitelʹnokzadačamravnovesiâtelprivozdeistviibolʹšihdeformacii AT čehovvv onmodificationofthefiniteelementmethodasappliedtoequilibriumofbodieswithlargedeformations |