Об интегрируемости в задачах динамики твердого тела, взаимодействующего со средой
Проведено повний аналіз фазових траєкторій, що відповідають руху твердого тіла в середовищі, яке створює опір, в умовах квазістаціонарності. Вивчені відповідні системи більш загального вигляду, які характеризуються деякими нетривіальними симетріями прихованого типу. The full analysis is carried out...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87914 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об интегрируемости в задачах динамики твердого тела, взаимодействующего со средой / М.В. Шамолин // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 44-54. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859845528564531200 |
|---|---|
| author | Шамолин, М.В. |
| author_facet | Шамолин, М.В. |
| citation_txt | Об интегрируемости в задачах динамики твердого тела, взаимодействующего со средой / М.В. Шамолин // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 44-54. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Проведено повний аналіз фазових траєкторій, що відповідають руху твердого тіла в середовищі, яке створює опір, в умовах квазістаціонарності. Вивчені відповідні системи більш загального вигляду, які характеризуються деякими нетривіальними симетріями прихованого типу.
The full analysis is carried out of the phase trajectories, which correspond to a motion of the rigid body in a resistant medium within conditions of quasi-stationarity. Some systems of more general kind are studied, which are characterized by certain nontrivial symmetries of the hidden type.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:39:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 6
44 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 6
М .В .Шам о л и н
ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА,
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕГО СО СРЕДОЙ
Институт механики МГУ им. М. В. Ломоносова,
Мичуринский пр., 1, 119192,
Москва, Россия; e-mail: shamolin@imec.msu.ru, shamolin@rambler.ru.
Abstract. The full analysis is carried out of the phase trajectories, which correspond to
a motion of the rigid body in a resistant medium within conditions of quasi-stationarity.
Some systems of more general kind are studied, which are characterized by certain non-
trivial symmetries of the hidden type.
Key words: rigid body, motion equations, integrability, transcendent first integral
Введение.
При исследовании известной задачи о движении твердого тела в сопротивляю-
щейся среде в условиях квазистационарности имели место первые интегралы, обла-
дающие нестандартными свойствами.
А именно, последние не были ни аналитическими, ни гладкими, а на некоторых
множествах они были даже разрывными. При этом они выражались через конечную
комбинацию элементарных функций, что и важно в прикладных задачах механики
абсолютно твердого тела.
Удалось провести полный анализ интересующих фазовых траекторий и указать на
свойства их грубости. В дальнейшем были изучены соответствующие системы более
общего вида, которые обладали некоторыми нетривиальными симметриями скрытого
типа.
Представляет интерес проведение исследования достаточно широких классов ди-
намических систем, обладающих аналогичными свойствами, в частности, примени-
тельно к динамике твердого тела, взаимодействующего со средой.
§ 1. Постановка задачи о движении тела в со-
противляющейся среде.
Рассмотрим задачу о пространственном движении
однородного осесимметричного твердого тела массы
m, часть поверхности которого имеет форму плоского
круглого диска, взаимодействующего со средой по
законам струйного обтекания [3 – 5].
Пусть остальная часть поверхности тела лежит
внутри объема, ограниченного струйной поверхно-
стью, срывающейся с края диска, и не испытывает
воздействия среды. Подобные условия могут иметь
место, например, после входа торцом однородных
круговых цилиндров в воду [9].
Рис. 1
45
Предположим, что касательные силы к диску отсутствуют. Тогда сила S, прило-
женная к телу в точке N со стороны среды, не меняет своей ориентации относительно
тела (направлена по нормали к диску) и квадратична по скорости его центра D (рис. 1).
Примем также, что сила тяжести, действующая на тело, пренебрежимо мала по срав-
нению с силой сопротивления (воздействия) среды.
При выполнении указанных условий среди движений тела существует режим
прямолинейного поступательного торможения (невозмущенного движения), подоб-
ный случаю плоскопараллельного движения: тело способно совершать поступатель-
ное движение в направлении его оси симметрии, т. е. перпендикулярно плоскости
диска. Это самый интересный в прикладном отношении случай движения тела (рис. 2).
Рис. 2
Свяжем с телом правую систему координат Dxyz (рис. 1) и направим ось Dx
вдоль оси симметрии тела. Оси Dy и Dz жестко свяжем с диском. Компоненты век-
тора угловой скорости Ω в системе Dxyz обозначим , ,x y z . Тензор инерции ди-
намически симметричного тела в осях Dxyz имеет вид 1 2 2diag{ , , }I I I .
Воспользуемся гипотезой квазистационарности [3 – 5, 9] и для простоты предпо-
ложим, что величина R DN определяется, по крайней мере, углом атаки – углом
между вектором скорости v центра D диска и прямой Dx (рис. 1).
Примем также величину силы S сопротивления в виде 2
1( )S s v , v = |v|. В даль-
нейшем для удобства вместо коэффициента сопротивления 1( )s введем вспомога-
тельную знакопеременную функцию ( )s : 1 1( )s s ( )sgn cos 0s . Таким обра-
зом, пара функций R и ( )s определяет характеристики воздействия среды на диск.
Рассмотрим сферические координаты ( , , )v конца вектора v = vD скорости точ-
ки D относительно потока, в которых угол измеряется в плоскости диска (рис. 1).
Выражая величины ( , , )v неинтегрируемыми соотношениями через циклические
кинематические переменные и скорости, рассмотрим их в качестве квазискоростей,
добавив к ним компоненты ( , , )x y z угловой скорости в осях Dxyz , в которых,
очевидно, имеем
vD = 1 1{ cos , sin cos , sin sin }v v v .
В силу теорем о движении центра масс (в проекциях на оси Dxyz ) и об изменении
кинетического момента получаем независимую динамическую часть уравнений дви-
жения, рассматриваемую в шестимерном пространстве квазискоростей ( = DC)
2 2cos sin sin sin sin cos ( )1 1v v v vz zy y 2( ) /s v m ;
1 1 1 1sin cos cos cos sin sin coszv v v v
1sin sin 0x x y zv ;
1 1 1 1sin sin cos sin sin cosv v v
46
1sin cos cos 0x y x z yv v ; 1 0xI ;
2
2 1 2( ) ( )y x z NI I I z s v ; 2
2 2 1( ) ( )z x y NI I I y s v (1.1)
( ,N Ny z – декартовы координаты в плоскости диска точки приложения N силы S).
§ 2. Движение тела в сопротивляющейся среде при наличии следящей силы.
Выделим более общий класс задач о воздействии среды на тело, в котором вдоль
оси его геометрической симметрии (прямая CD, рис. 1) действует следящая сила Т,
при некоторых условиях обеспечивающая реализацию представляющих интерес клас-
сов движений (наложенных связей). При этом сама следящая сила и является реакци-
ей этих связей. В случае отсутствия следящей силы тело совершает пространственное
свободное торможение в сопротивляющейся среде [11].
Исследуем два класса движений тела при наличии следящей силы (v = │vD│, VC –
скорость центра масс), а именно, рассмотрим два случая:
I) v ≡ const;
II) VC ≡ const.
2.1. Случай I. В случае движения, характеризуемого наличием неинтегрируемой
связи вида I можно выбрать следящую силу вполне определенным образом [4, 8, 10].
Более того, в силу уравнений (1.1) во все моменты времени имеется инвариантное
соотношение
0x x const. В дальнейшем будем исследовать случай нулевой за-
крутки тела вокруг своей оси симметрии, т. е. когда выполнено условие:
0
0x . (2.1)
Тогда (в силу I, (2.1)) порядок системы уменьшается на две единицы и независи-
мая динамическая часть уравнений движения в четырехмерном фазовом пространстве
имеет вид
1 1 1cos cos sin sin cos 0z zv v v ;
1 1 1cos sin sin cos cos 0y yv v v ;
2
2 ( )y NI z s v ; 2
2 ( )z NI y s v , (2.2)
куда входят функции , ,N Ny z s воздействия среды, для качественного описания
которых используем экспериментальную информацию о свойствах струйного
обтекания [3, 4 – 6].
Ограничимся в дальнейшем исследованием системы (2.2) для следующих функ-
ций (полученных ранее С. А. Чаплыгиным [6]) воздействия среды:
sin cos /1y A h vzN ; sin sin /1z A h vyN ;
( ) coss B ( , , 0A B h ). (2.3)
В равенствах (2.3) коэффициент h стоит при членах, пропорциональных
вращательным производным момента силы воздействия среды по угловой ско-
рости тела [1, 2, 7].
Система (2.2) является динамической системой с переменной диссипацией с ну-
левым средним (по углу атаки). Это означает, что интеграл по периоду угла атаки от
47
дивергенции ее правой части, отвечающий за изменение фазового объема (после не-
которого приведения системы), равен нулю. Система является (в некотором смысле)
«полуконсервативной» [9].
Проектируя в дальнейшем угловые скорости на подвижные оси, не связанные с
телом, так, что 1 1 1cos siny zz ; 2 1 1sin cosy zz , и вводя безраз-
мерные переменные kw ( 1,2k ), 0k kz n vw , параметры 2
0 2/n AB I , 1 2 0/H Bh I n ,
0b n и дифференцирование 0 'n v , получаем следующую аналитическую сис-
тему четвертого порядка:
1 2' (1 ) sinbH w b ;
2
2 1 1 1 2
cos
' sin cos (1 ) cos
sin
w bH w H w
; (2.4)
1 1 1 2 1 1
cos
' (1 ) cos
sin
w bH w w H w
, 1 1
cos
' (1 )
sin
bH w
, (2.5)
в которой появляется независимая подсистема третьего порядка (2.4).
При 1b H дивергенция правой части системы (2.4) ((2.4), (2.5)) после замены пе-
ременных *
1 1lnw w тождественно равна нулю, что позволяет считать данную сис-
тему (системы) консервативной (консервативными).
Теорема 1. Система (2.4), (2.5) обладает полным набором инвариантных соотно-
шений, являющихся элементарными трансцендентными (с точки зрения комплексно-
го анализа) функциями своих фазовых переменных. Два из них образуют полный на-
бор первых интегралов системы (2.4).
Действительно, сопоставим системе (2.4), (2.5) следующую неавтономную систе-
му второго порядка:
2
2 1 1 1 2
1 2
1 1 1 2 1 1
1 2
sin cos (1 ) cos
;
(1 ) sin
(1 ) cos
.
(1 ) sin
dw bH w ctg H w
d bH w b
dw bH w w ctg H w
d bH w b
(2.6)
Применяя подстановку sin , преобразуем систему (2.6) к виду
2
2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1
1 2 1 2
(1 ) / (1 ) /
, .
(1 ) (1 )
dw bH w H w dw bH w w H w
d bH w b d bH w b
(2.7)
Вводя в дальнейшем замену k kw u ( 1,2k ), характерную для однородных
систем, сопоставим, в свою очередь, системе (2.7) следующее неавтономное диффе-
ренциальное уравнение:
2 2
2 1 2 1 1 2
1 1 1 2 1 1
1 (1 )( ) ( )
2(1 ) ( )
du bH u u H b u
du bH u u H b u
, (2.8)
которое обладает первым интегралом вида
2 2
1 2 1 2 1 1
1
1
(1 ) ( ) (1 ) 1bH u H b u bH u
C
u
. (2.9)
48
Пользуясь (2.8), заключаем, что система (2.4), (2.5) имеет первый интеграл вида
2 2 2
1 2 1 2 1 1
1
1
(1 ) ( ) sin (1 ) sin
sin
bH w H b w bH w
C
w
. 2.10)
Как уже отмечалось, при 1b H динамическая система (2.4) (впрочем, как и (2.4),
(2.5)) является консервативной. Действительно, соотношение (2.10) преобразуется к
инвариантному соотношению
2 2 2 2
2 1 2
1
1
(1 ) [ sin ]
sin
w b w bw
C
w
. (2.11)
Более того, легко проверить, что и числитель, и знаменатель соотношения (2.11)
являются первыми интегралами системы (2.4) при 1b H
2 2 2 *
2 1 2 1(1 ) [ sin ]w b w b w C = const, *
1 2sinw C = const.
В случае же 1b H система (2.4) перестает быть консервативной. При этом ни
числитель, ни знаменатель инвариантного соотношения (2.10) первыми интегралами
не являются. Последний факт проверять необязательно, поскольку у системы (2.4)
имеются притягивающие и отталкивающие предельные множества [7, 11, 12], за-
прещающие наличие у исследуемой системы полного набора даже непрерывных
первых интегралов.
Дополнительный первый интеграл для системы (2.4) находим из квадратуры
1 2 2
2
1 2 1 2 1 1
[1 (1 ) ]
1 ( ) (1 )[ ( , )]
bH u dud
H b u bH u U u C
, (2.12)
где 2
1 1 1 1 1
1
1
( , ) { 4 }
2(1 )
U u C C C D
bH
на уровне 1 1 14(1 )C bH D интеграла (2.10)
2
1 1 2 1 2(1 ) ( ) 1D bH u H b u .
Общий структурный вид дополнительного первого интеграла системы (2.4), (2.5)
находим из (2.12):
1 2
1 2, ,sin
sin sin
w w
C
= const.
В силу (2.5), (2.9) дополнительный первый интеграл для системы (2.4), (2.5) чет-
вертого порядка, «привязывающий» уравнение (2.5), получим из решения уравнения
1 1 2 1
2
1 1
1 (1 )
1 1
du bH u H
u
d bH bH
,
что приводит к соотношению
2
2 2 1 1 1
1 3 2 2 2
1 1 1
(2(1 ) 2 sin )
sin {2(1 ) ( )}
[( ) 4 (1 ) ]sin
bH w C
bH C
H b b bH C
.
Замечание. Проинтегрированная система (2.4) рассматривается в трехмерной об-
ласти 1 2
1 2{ mod 2 } \{ 0, } { , }S R w w (такая система приводится к эквива-
лентной себе системе на касательном расслоении к двумерной сфере S2 [9]).
49
Итак, система (2.4) является системой с переменной диссипацией с нулевым
средним, она обладает двумя первыми интегралами (т.е. полным списком), являющи-
мися трансцендентными функциями и выражающимися через конечную комбинацию
элементарных функций. Последнее, как указывалось выше, и стало возможным после
сопоставления ей (в общем случае, неавтономной) системы уравнений (2.7) с алгеб-
раической (полиномиальной) правой частью.
2.2. Случай II. Если же рассматривается более общая задача о движении тела в
сопротивляющейся среде при наличии некоторой следящей силы T, проходящей через
ось симметрии, и обеспечивающей во все время движения выполнение условия II, то
в первом уравнении системы (1.1) будет стоять величина, тождественно равная нулю,
обеспечивающая движение тела в среде, при котором на тело действует пара сил. При
некоторых условиях система (1.1) приведется к системе, в которой произойдет отде-
ление системы более низкого порядка.
Действительно, выбор фазовых переменных позволяет рассматривать систему ди-
намических уравнений шестого порядка в качестве независимой. Более того, как вид-
но из уравнений движения, сохраняется компонента продольной составляющей угло-
вой скорости:
0x x const.
Ограничимся также рассмотрением движения тела без собственного вращения,
т.е. когда выполнено условие (2.1).
Тогда, вводя аналогичным образом квазискорости 1z , 2z , и далее безразмерные
переменные kZ ( 1,2k ), 0k kz n vZ , параметры 2
0 2/n AB I , 1 2 0/H Bh I n , 0b n
и дифференцирование 0 'n v , используя условия (2.3), получаем следующую
аналитическую систему четвертого порядка:
1 2' ( , , )v v Z Z ; (2.13)
2 2 2 2
2 1 2 1 2
2
2 2 1 2 1 1 1 2
1 1 1 2 1 1 2 1 1
' ( ) sin sin cos cos ;
cos
' sin cos ( , , ) (1 ) cos ;
sin
cos
' ( , , ) (1 ) cos ;
sin
Z b Z Z b bH Z
Z Z Z Z bH Z H Z
Z Z Z Z bH Z Z H Z
(2.14)
1 1
cos
' (1 ) ;
sin
bH Z
(2.15)
2 2 2
1 2 1 2 1 2( , , ) ( ) cos sin cos sin cosZ Z b Z Z b bH Z .
Рассмотрим (как и выше) вопросы полной интегрируемости (в элементарных
функциях) динамической системы (2.13) – (2.15) с аналитическими правыми частями.
Поскольку рассматриваем такой класс движений тела, при котором выполнено
свойство II, то система (2.13) – (2.15) пятого порядка имеет аналитический первый
интеграл.
Действительно, скорость центра С масс в рассматриваемой системе координат мож-
но представить в виде VC = { cos , sin cos , sin sin }z yv v v . Тогда сле-
дующее соотношение является инвариантным для системы (1.1) при условиях (2.1) и II:
2 2 2 2 2
2 1 2 02 sin ( ) Cv vz z z V = const. (2.16)
50
Соотношение (2.16), в котором линейная и угловые скорости образуют однород-
ную форму степени 2, позволяет выписать полиномиальный интеграл по указанным
скоростям для системы (2.13) – (2.15), т.е.
2 2 2 2 2
2 1 2 0(1 2 sin ( )) Cv bZ b Z Z V , (2.17)
соотношение (2.17) позволяет явно получить зависимость v от других квазискоростей
2
2 0
2 2 2
2 1 21 2 sin ( )
CV
v
bZ b Z Z
. (2.18)
Видно, что соотношение (2.18) позволяет рассматривать вопросы интегри-
руемости в элементарных функциях системы (2.13) – (2.15) уже более низкого
порядка – четвертого.
Применяя часто используемую подстановку sin , систему (2.14) можно при-
вести к следующей системе с алгебраическими правыми частями:
2 2 2 2 2
2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
2 1 2 1 2
2 2 2
2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1
2 2 2 2
2 1 2 1 2
( ) (1 ) /
;
( ) (1 ) (1 )
( ) (1 ) /
.
( ) (1 ) (1 )
dZ bZ Z Z bZ bH Z bH Z H Z
d Z b Z Z b bH Z
dZ bZ Z Z bZ bH Z Z bH Z Z H Z
d Z b Z Z b bH Z
(2.19)
Произведем переход к однородным координатам ku ( 1, 2k ) по формулам
k kZ u . Тогда система (2.19) приведется к виду
2 2
2 1 2 1 2 1 1
2 2 2 2 2
2 1 2 1 2
1 1 1 2 1 1
2 2 2 2 2
2 1 2 1 2
1 ( ) (1 ) (1 )
;
( ) (1 ) (1 )
2(1 ) ( )
.
( ) (1 ) (1 )
du b H u bH u bH u
d u b u u b bH u
du bH u u b H u
d u b u u b bH u
(2.20)
Системе (2.20) можно сопоставить следующее уравнение первого порядка:
2 2
2 1 2 1 2 1 1
1 1 1 2 1 1
1 ( ) (1 ) (1 )
2(1 ) ( )
du b H u bH u bH u
du bH u u b H u
. (2.21)
Данное уравнение интегрируется в элементарных функциях. После несложных
преобразований приходим к инвариантному соотношению, которое соответствует в
координатах 1 2( , , )Z Z трансцендентному первому интегралу вида
2 2 2
1 1 1 2 1 2
1
(1 ) (1 ) ( )bH Z bH Z b H Z
Z
const. (2.22)
Используя равенство (2.22), заключаем, что система (2.14) обладает следующим
трансцендентным первым интегралом, выражающимся через конечную комбинацию
элементарных функций:
2 2 2
1 1 1 2 1 2
1
1
(1 ) (1 ) ( ) sin sin
sin
bH Z bH Z b H Z
C
Z
= const. (2.23)
Далее, пользуясь полученным первым интегралом (2.23), переписываем первое
уравнение системы (2.20) в следующем виде:
51
2 2
2 1 2 1 2 1 1 1 2
2 2 2 2 2
2 1 1 2 2 1 2
1 ( ) (1 ) (1 ) ( , )
(1 ) ( ( , ) ) (1 )
du b H u bH u bH U C u
d u b b U C u u bH u
, (2.24)
2 2
1 1 2 1 1 1 1 2 1 2( , ) { 4(1 )((1 ) ( ) 1)} / 2U C u C C bH bH u b H u
или в виде уравнения Бернулли
3 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2
2 2
2 1 2 1 2 1 1 1 2
( (1 ) ) (1 ( , ) )
1 ( ) (1 ) (1 ) ( , )
b bH u b U C u u H ud
du b H u bH u bH U C u
. (2.25)
Уравнение (2.25) (при помощи (2.24)) легко приводится к линейному неоднород-
ному уравнению
2 2
1 2 1 1 2 2 1 2
2 2
2 1 2 1 2 1 1 1 2
2( (1 ) ) 2 (1 ( , ) )
1 ( ) (1 ) (1 ) ( , )
b bH u b U C u u H udp
du b H u bH u bH U C u
;
2
1
p
. (2.26)
Это означает, что может быть получен еще один трансцендентный первый инте-
грал в явном виде (т.е. через конечную комбинацию квадратур). При этом общее ре-
шение уравнения (2.26) зависит от произвольной постоянной C2.
Для поиска последнего дополнительного первого интеграла системы (2.13) – (2.15)
(т.е. интеграла, привязывающего уравнение на угол ) заметим, что, поскольку
1 1
2 2 2 2
2 1 2 1 2
(1 ) /
( ) (1 ) (1 )
bH Zd
d Z b Z Z b bH Z
,
то к равенству
1 1
3 2 2 2 2
2 1 2 1 2
(1 )
( ) (1 ) (1 )
bH ud
d u b u u b bH u
(2.27)
добавим также равенство
1 1 1 2 1 1
3 2 2 2 2
2 1 2 1 2
2(1 ) ( )
( ) (1 ) (1 )
du bH u u b H u
d u b u u b bH u
, (2.28)
принятое из системы (2.20).
Полученная система (2.27), (2.28) позволяет выписать уравнение для получения
искомого интеграла в таком виде:
1 1
2
1
2
1
du b H
u
d bH
. (2.29)
Используя первый интеграл уравнения (2.21) (С1 – его постоянная интегрирова-
ния) и уравнение (2.29), можно получить недостающий первый интеграл исходной
системы.
Итак, доказано следующее утверждение.
Теорема 2. Система (2.13) – (2.15) обладает полным набором первых интегралов,
один из которых является аналитической функцией, а два других являются элемен-
тарными трансцендентными функциями своих фазовых переменных.
Отметим, что для поиска первых интегралов рассматриваемых систем достаточно
их привести к системам с полиномиальными правыми частями, от вида которых зави-
сит возможность интегрирования в элементарных функциях исходной системы.
Итак, выше показана связь трех, на первый взгляд, независимых свойств, но при
этом достаточно гармонично сочетающихся на системах из динамики твердого тела:
52
1) выделенные классы систем;
2) обладание этими классами переменной диссипацией с нулевым средним (по пере-
менной α), что позволяет их рассматривать как «почти» консервативные системы [9];
3) в некоторых (пусть и достаточно маломерных) случаях обладание ими полным
набором, в общем случае, трансцендентных первых интегралов.
§ 3. Пространственный маятник в потоке набегающей среды.
По аналогии со свободным телом при плоскопараллельном движении рассмотрим
задачу о движении в однородном потоке набегающей среды пространственного маят-
ника: поток воздействует лишь на круглый диск, жестко закрепленный в своем центре
перпендикулярно державке, которая, в свою очередь, другим концом закреплена на
сферическом шарнире. Модель воздействия среды на диск остается прежней.
Рассмотрим движение такого маятника в потоке набегающей среды без собствен-
ной закрутки (т. е. 0 0x ). При этом по-прежнему учитываются эффекты от влияния
вращательных производных момента гидроаэродинамических сил по угловой скоро-
сти тела в случае функций Чаплыгина (2.3) (рис. 3).
Рис. 3
Первоначальные уравнения движения имеют вид
2 2
2 2
1 1
( ), ( ),y D N z D Nv z s v y s
I I
где функции Ny и Nz удовлетворяют условиям (2.3).
Пусть ( , ) – углы, определяющие положение пространственного маятника на
сфере S2. Угол будем измерять от оси 0x до державки, а – от проекции держав-
ки на плоскость 0 0Oy z до оси 0y (принимаем, что в начальный момент времени
0 ). Тогда соотношения, связывающие ( , , )Dv и ( , , , )y z , где l – длина
державки, таковы:
cos cos , sin cos sin cos ,
sin sin sin sin ,
D D z
D y
v v v l v
v l v
а в силу кинематических соотношений, аналогичных кинематическим формулам
Эйлера, имеем
53
sin sin
sin cos , cos sin
cos cosy z
.
Тогда уравнения движения такой системы на касательном расслоении двумерной
сферы можно представить в следующем виде:
2
1
sin
( ) cos sin cos 0
cos
b H
; (3.1)
2
1
1 cos
( ) cos 0
cos sin
b H
. (3.2)
Здесь 1,b H – безразмерные физические постоянные (см. выше), причем коэффициент
1H по-прежнему пропорционален вращательным производным момента гидроаэро-
динамических сил по компонентам угловой скорости пространственного маятника.
Длина державки эквивалентна расстоянию = CD для свободного тела, постоянная
скорость набегающего потока v – постоянному параметру v для свободного тела.
При этом угол атаки для свободного тела эквивалентен углу отклонения маятника
от вектора скорости потока, а угол – циклической переменной, т.е. углу .
Если в системе (2.4) – (2.5) «избавится» от 1w и 2w , то в точности получим систе-
му (3.1), (3.2), в которой вместо , , соответственно, стоят , . Поэтому справед-
лива такая теорема.
Теорема 3. Система (2.4) – (2.5) эквивалентна системе (3.1), (3.2).
Заметим, что там, где cos 0 , систему (3.1), (3.2) можно доопределить по не-
прерывности, а особенность sin 0 является чисто кинематической, поскольку на
ней вырождаются рассматриваемые сферические координаты ( , , )v .
Фазовый портрет системы (3.1), (3.2) изображен на рис. 4 (см. также [9]).
Рис. 4
54
Заключение.
Поиск случаев полной интегрируемости, а тем более в элементарных функциях, –
всегда сложная задача. В работе показано, что существует тесная связь трех, на пер-
вый взгляд, независимых свойств, но при этом достаточно гармонично сочетающихся
на системах из динамики твердого тела: рассмотрение класса систем с отмеченными
симметриями; обладание данным классом систем переменной диссипацией с нулевым
средним (по имеющейся периодической фазовой переменной), что позволяет такие
системы рассматривать как «почти» консервативные системы; в некоторых случаях
обладание ими полным набором, в общем случае, трансцендентных первых интегра-
лов.
РЕЗЮМЕ. Проведено повний аналіз фазових траєкторій, що відповідають руху твердого тіла в
середовищі, яке створює опір, в умовах квазістаціонарності. Вивчені відповідні системи більш зага-
льного вигляду, які характеризуються деякими нетривіальними симетріями прихованого типу.
1. Бюшгенс Г.С., Студнев Р.В. Динамика продольного и бокового движения. – М.: Машиностроение,
1969. – 349 с.
2. Бюшгенс Г.С., Студнев Р.В. Динамика самолета. Пространственное движение. – М.: Машино-
строение, 1988. – 320 с.
3. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. – М.: Наука, 1979. – 322 с.
4. Самсонов В.А., Шамолин М.В. К задаче о движении тела в сопротивляющейся среде // Вестн.
Моск. гос. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. – 1989. – № 3. – С. 51–54.
5. Чаплыгин С.А. Избранные труды. – М.: Наука, 1976. – 495 с.
6. Чаплыгин С.А. О движении тяжелых тел в несжимаемой жидкости // Полн. собр. соч. Т. 1. – Л.:
Изд-во АН СССР, 1933. – С. 133 – 135.
7. Шамолин М.В. Замкнутые траектории различного топологического типа в задаче о движении тела
в среде с сопротивлением // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. – 1992. – № 2. –
С. 52 – 56.
8. Шамолин М.В. Классификация фазовых портретов в задаче о движении тела в сопротивляющейся
среде при наличии линейного демпфирующего момента // Прикл. математика и механика. –
1993. – 57, № 4. – С. 40 – 49.
9. Шамолин М.В. Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией в динамике твер-
дого тела. – М.: Экзамен, 2007. – 352 с.
10. Шамолин М.В. Новые интегрируемые по Якоби случаи в динамике твердого тела, взаимодейст-
вующего со средой // Докл. РАН. – 1999. – 364, № 5. – С. 627 – 629.
11. Shamolin M. V. Classes of variable dissipation systems with nonzero mean in the dynamics of a rigid
body // J. Math. Sci. – 2004. – 122, N 1. – Р. 2841 – 2915.
12. Shamolin M. V. New integrable cases and families of portraits in the plane and spatial dynamics of a
rigid body interacting with a medium // J. Math. Sci. – 2003. – 114, N 1. – Р. 919 – 975.
Поступила 08.04.2011 Утверждена в печать 06.06.2013
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87914 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:39:05Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шамолин, М.В. 2015-10-29T19:13:37Z 2015-10-29T19:13:37Z 2013 Об интегрируемости в задачах динамики твердого тела, взаимодействующего со средой / М.В. Шамолин // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 44-54. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87914 Проведено повний аналіз фазових траєкторій, що відповідають руху твердого тіла в середовищі, яке створює опір, в умовах квазістаціонарності. Вивчені відповідні системи більш загального вигляду, які характеризуються деякими нетривіальними симетріями прихованого типу. The full analysis is carried out of the phase trajectories, which correspond to a motion of the rigid body in a resistant medium within conditions of quasi-stationarity. Some systems of more general kind are studied, which are characterized by certain nontrivial symmetries of the hidden type. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Об интегрируемости в задачах динамики твердого тела, взаимодействующего со средой On Integrability in Dynamical Problems of Interacting with Medium Rigid Body Article published earlier |
| spellingShingle | Об интегрируемости в задачах динамики твердого тела, взаимодействующего со средой Шамолин, М.В. |
| title | Об интегрируемости в задачах динамики твердого тела, взаимодействующего со средой |
| title_alt | On Integrability in Dynamical Problems of Interacting with Medium Rigid Body |
| title_full | Об интегрируемости в задачах динамики твердого тела, взаимодействующего со средой |
| title_fullStr | Об интегрируемости в задачах динамики твердого тела, взаимодействующего со средой |
| title_full_unstemmed | Об интегрируемости в задачах динамики твердого тела, взаимодействующего со средой |
| title_short | Об интегрируемости в задачах динамики твердого тела, взаимодействующего со средой |
| title_sort | об интегрируемости в задачах динамики твердого тела, взаимодействующего со средой |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87914 |
| work_keys_str_mv | AT šamolinmv obintegriruemostivzadačahdinamikitverdogotelavzaimodeistvuûŝegososredoi AT šamolinmv onintegrabilityindynamicalproblemsofinteractingwithmediumrigidbody |