Устойчивость и закритическое поведение волнообразных цилиндрических панелей при внешнем давлении
Розглянуто задачу про деформування поздовжньо гофрованих довгих незамкнених циліндричних оболонок при зовнішньому тиску. Розв’язок базується на співвідношеннях кубічного варіанту нелінійної теорії оболонок Тимошенко – Миндлина. Показано необхідність використання уточнених рівнянь при дослідженні зак...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2013
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87918 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Устойчивость и закритическое поведение волнообразных цилиндрических панелей при внешнем давлении / Н.П. Семенюк, Н.Б. Жукова // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 86-99. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87918 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Семенюк, Н.П. Жукова, Н.Б. 2015-10-29T19:19:28Z 2015-10-29T19:19:28Z 2013 Устойчивость и закритическое поведение волнообразных цилиндрических панелей при внешнем давлении / Н.П. Семенюк, Н.Б. Жукова // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 86-99. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87918 Розглянуто задачу про деформування поздовжньо гофрованих довгих незамкнених циліндричних оболонок при зовнішньому тиску. Розв’язок базується на співвідношеннях кубічного варіанту нелінійної теорії оболонок Тимошенко – Миндлина. Показано необхідність використання уточнених рівнянь при дослідженні закритичної поведінки оболонок. A problem on deformation of longitudinally corrugated long non-closed cylindrical shells under the external pressure is considered. The solution is based on relationships of a cubic variant of the Timoshenko model nonlinear theory of shells. The necessity to use the refined equations in the study of post-critical behaviour of shells is shown. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Устойчивость и закритическое поведение волнообразных цилиндрических панелей при внешнем давлении Stability and Post-Critical Behaviour of the Wave-like Cylindrical Panels under External Action Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Устойчивость и закритическое поведение волнообразных цилиндрических панелей при внешнем давлении |
| spellingShingle |
Устойчивость и закритическое поведение волнообразных цилиндрических панелей при внешнем давлении Семенюк, Н.П. Жукова, Н.Б. |
| title_short |
Устойчивость и закритическое поведение волнообразных цилиндрических панелей при внешнем давлении |
| title_full |
Устойчивость и закритическое поведение волнообразных цилиндрических панелей при внешнем давлении |
| title_fullStr |
Устойчивость и закритическое поведение волнообразных цилиндрических панелей при внешнем давлении |
| title_full_unstemmed |
Устойчивость и закритическое поведение волнообразных цилиндрических панелей при внешнем давлении |
| title_sort |
устойчивость и закритическое поведение волнообразных цилиндрических панелей при внешнем давлении |
| author |
Семенюк, Н.П. Жукова, Н.Б. |
| author_facet |
Семенюк, Н.П. Жукова, Н.Б. |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Stability and Post-Critical Behaviour of the Wave-like Cylindrical Panels under External Action |
| description |
Розглянуто задачу про деформування поздовжньо гофрованих довгих незамкнених циліндричних оболонок при зовнішньому тиску. Розв’язок базується на співвідношеннях кубічного варіанту нелінійної теорії оболонок Тимошенко – Миндлина. Показано необхідність використання уточнених рівнянь при дослідженні закритичної поведінки оболонок.
A problem on deformation of longitudinally corrugated long non-closed cylindrical shells under the external pressure is considered. The solution is based on relationships of a cubic variant of the Timoshenko model nonlinear theory of shells. The necessity to use the refined equations in the study of post-critical behaviour of shells is shown.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87918 |
| citation_txt |
Устойчивость и закритическое поведение волнообразных цилиндрических панелей при внешнем давлении / Н.П. Семенюк, Н.Б. Жукова // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 86-99. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT semenûknp ustoičivostʹizakritičeskoepovedenievolnoobraznyhcilindričeskihpaneleiprivnešnemdavlenii AT žukovanb ustoičivostʹizakritičeskoepovedenievolnoobraznyhcilindričeskihpaneleiprivnešnemdavlenii AT semenûknp stabilityandpostcriticalbehaviourofthewavelikecylindricalpanelsunderexternalaction AT žukovanb stabilityandpostcriticalbehaviourofthewavelikecylindricalpanelsunderexternalaction |
| first_indexed |
2025-11-27T02:12:51Z |
| last_indexed |
2025-11-27T02:12:51Z |
| _version_ |
1850793222709706752 |
| fulltext |
2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 6
86 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 6
Н .П .С е м е н ю к , Н . Б .Жу к о в а
УСТОЙЧИВОСТЬ И ЗАКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ
ВОЛНООБРАЗНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ
ПРИ ВНЕШНЕМ ДАВЛЕНИИ
Институт механики им.С.П.Тимошенко НАН Украины,
ул.Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: compos@inmech.kiev.ua
Abstract. A problem on deformation of longitudinally corrugated long non-closed cy-
lindrical shells under the external pressure is considered. The solution is based on relation-
ships of a cubic variant of the Timoshenko model nonlinear theory of shells. The necessity
to use the refined equations in the study of post-critical behaviour of shells is shown.
Key words: longitudinally corrugated long non-closed cylindrical shell, Timoshenko –
Mindlin model nonlinear theory of shells, stability and post-critical behaviour.
Введение.
Исследованию устойчивости продольно гофрированных цилиндрических оболочек
при осевом сжатии посвящены работы [2, 8, 11 – 13]. При нагружении внешним давлени-
ем особенности выпучивания поперечно гофрированных цилиндрических оболочек изу-
чены в статьях [17, 18]. Частично устойчивость гофрированных оболочек при комбинации
указанных выше нагрузок рассматривалась в [12 – 18], где отмечено, что установленные в
упомянутых работах варианты гофрирования, позволяющие значительно повысить кри-
тические значения нагрузок, существенно снижают свою эффективность при добавлении
к основным действующим нагрузкам таких, которые приводят к возникновению напря-
жений, направленных по нормали к направлению гофрирования. Такое свойство оболочек
с волнообразной поверхностью ограничивает возможности более широкого их использо-
вания, кроме конструкций сильфонов и им подобных. Из результатов [8] следует, что
продольно гофрированные цилиндрические оболочки могут иметь не меньшие значения
критических значений внешнего давления, чем круговые, если поперечное сечение со-
ставлено из сопряженных дуг окружностей. Это подтверждено в работе [9], где рассмот-
рены устойчивость и закритическое поведение гофрированных арок. Так как нелинейные
уравнения равновесия арок с единичной шириной совпадают с соответствующими урав-
нениями бесконечных оболочек с произвольной цилиндрической поверхностью, то полу-
ченные в [9] результаты применимы к оболочкам с поперечным сечением, аналогичным
форме арок. Однако, как известно [7, 10], при расчете деформирования оболочек в закри-
тической стадии может проявиться существенная погрешность из-за неточности исполь-
зуемых зависимостей нелинейной теории.
Учитывая вышеизложенное, ниже предложено решение нелинейной задачи о де-
формировании продольно гофрированных длинных цилиндрических незамкнутых обо-
лочек (панелей) при внешнем давлении. Решение базируется на более точных уравне-
ниях нелинейной теории.
1. Основные соотношения кубического варианта нелинейной теории оболо-
чек Тимошенко – Миндлина.
У оболочки бесконечной длины с произвольной цилиндрической поверхностью
приведения при постоянных по длине механических характеристиках и нагрузке ка-
ждое поперечное сечение находится в одинаковых условиях, вследствие чего напря-
87
жения и перемещения не зависят от координаты x , совпадающей с образующей рас-
сматриваемой поверхности. Полагаем, что кривая, образующаяся при пересечении
плоскостью, нормальной к образующей поверхности приведения, может быть задана
в полярной системе координат радиусом R и углом . При заданной функции
0R R необходимые геометрические характеристики кривой – параметр Ла-
ме 2A и кривизна 21 / R – определяются по известным формулам дифференциальной
геометрии. Так как рассматриваем плоскую деформацию цилиндра, то компонентами
вектора перемещения являются проекции на оси y и z , соответственно, v и w . Со-
гласно кинематической гипотезе Тимошенко зависимость этих перемещений от коор-
динаты z предполагаем линейной
; ,v z v z w z w z (1)
где v и w – перемещения координатной поверхности; и 1 – косинусы каса-
тельных к направлениям координатных линий в деформированном состоянии [5].
Подставив представления (1) в выражения компонентов деформаций через пере-
мещения нелинейной теории упругости [5], получим нелинейные по координате z
формулы о приближенном представлении распределения перемещений по толщине
оболочки [2, 5]. Отметим, что выражения для деформации элемента осевой линии 22 ,
деформации удлинения нормального элемента 33 , деформации сдвига 23 и прира-
щения кривизны 22 , используемые ниже, принимают такой вид [2]:
2 2
22 2 2 2 23 2 2
1
( ); 1 ;
2
2 2
33 22 2 2 2 23
1
( ); (1 )
2
(2)
2 2
2 2 2 2
1 1
; ;
dv w dw v
A d R A d R
2
2 2 23
2 2 2 2 2 2
1 1 1
; .
d d
A d R R A d R R
(3)
Традиционное в теории оболочек пренебрежение деформацией 33 и переменно-
стью перемещения w по толщине не приводит к существенной погрешности основ-
ных расчетных величин при безмоментном состоянии и при прогибах, не превышаю-
щих толщину оболочки.
При исследовании устойчивости и начального закритического поведения цилинд-
рических оболочек [7, 10] показано, что для длинных оболочек из традиционных ком-
позиционных материалов при 33 = 0 не следует принимать функцию равной нулю.
Если принять 33 = 0, то изменение прогибов по толщине определяется значением ,
являющемся решением уравнения
2 21
( ) 0.
2
(4)
Находим
21 1 . (5)
Подстановка (5) в выражения деформаций (2) дает
88
2
23 2 21 1 ;
22 2
22 2 2 2 22
2 2 2
1 1
1 1 1 1 ,
1
d
A d R R
(6)
при тех же значениях (3) функций 2 и 2 и, следовательно, деформации 22. Это
точные выражения деформации 23 и кривизны 22 в рамках гипотез Тимошенко.
Так как величина ассоциируется с одним из направляющих косинусов каса-
тельной к деформированному нормальному элементу, то очевидно, что 1 . Если
2 0 , то 0 . Если же 2 1 , то 1 0 , но равенство 2 1 физически не-
возможно. Следовательно, вместо (5) можно использовать разложение в степенной
ряд Тейлора
2 41 1
...
2 8
. (7)
Ограничившись в этом ряду только первым членом, получим соотношения куби-
ческого варианта нелинейной теории Тимошенко – Миндлина, предложенного и при-
менявшегося в [10]. Вместо (2) в этом случае имеем
2 2
22 2 2 2 23 2 2 2
2
22 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1
; 1 ;
2 2
1 1 1 1
1 1 .
2
d
A d R R
(8)
Соотношения упругости для случая симметричного строения оболочки по толщине
имеют такой вид:
22 22 22 22 22 22 23 44 23; ; .T C M D T C (9)
Нелинейные уравнения равновесия получим, воспользовавшись принципом воз-
можных перемещений. В рассматриваемом случае представим его в виде уравнения
22 22 22 22 23 23 2 2 2 2
0 0
1 0,
N N
T M T A d q w v A d
(10)
записанного для криволинейного стержня единичной ширины, на который действует
давление интенсивностью q . Давление направлено к центру кривизны как исходной,
так и деформированной поверхности. Если в (10) подставить выражения вариаций
деформации (8), то принцип возможных перемещений принимает вид
*
* * * *22 2
22 23 22 23
200
NN
dT A
T v T w M T v
d R
* *
*22 2 22 2
23 23
2 2
dT A dM A
T w T d
d R d R
2 2 2
0
1 0,
N
q w v A d
(11)
89
где * * *
22 23 22, ,T T M – проекции усилий и моментов, действующие на элемент деформиро-
ванного стержня, на направления осей до деформации
* 2 2
22 22 22 2 23 22 2
2 2 2
1 1 1
1 ;
2
R d
T T M T M
R R A d
* 2 2
23 23 22 22 2 22 2
2 2 2
1 1 1
1 ;
2
R d
T T T M M
R R A d
*
22 22 2 21M M . (12)
Присутствующая при величина 23T отличается от *
23T (проекции на различ-
ные оси [6]).
С принятой точностью имеем равенство
2
23 23 2 2 22 2 2 2
2 2
1
1
R d
T T M
R A d
. (13)
Из представленного таким образом принципа возможных перемещений получаем
три уравнения равновесия
*
*22 2
23 2 2
2
0;
dT A
T A q
d R
*
*23 2
23 2 2
2
1 0;
dT A
T A q
d R
*
22
2 23 0,
dM
A T
d
(14)
и граничные условия относительно усилий * *
22 23,T T и момента *
22M .
Совокупность соотношений (14) с учетом выражений 2 и 2 через перемещения
(3), (12) и уравнения (13) с граничными условиями при 0 и N относительно
трех разрешающих функций достаточна для исследования напряженно-деформиро-
ванного состояния замкнутых или открытых длинных цилиндрических оболочек с
произвольной формой поперечного сечения на траектории нагружения при малых и
немалых перемещениях и углах поворота.
Заметим, что применение таких уравнений к исследованию начального закрити-
ческого поведения круговых цилиндрических оболочек в [7, 10] позволило получить
значение коэффициента закритического поведения b [10], совпадающее с точным его
значением [19] без учета деформаций поперечного сдвига, и изучить влияние на него
поперечной податливости материала.
В случае малых углов поворота уравнения существенно упрощаются, так как по-
правкой, вносимой учетом нелинейных слагаемых в выражения деформаций попереч-
ного сдвига 23 и кривизны 22 , предполагается возможным пренебречь. При линей-
ных выражениях 23 и 22 имеем
*
22 23 22
2
1
;T T M
R
*
23 23 22 22 2
2
1
;T T T M
R
*
22 22M M . (15)
Усилие *
22T является суммой двух слагаемых, так как кривизна 22 в линейном
случае имеет вид
22 2
2 2
1 1d
A d R
. (16)
Заметим, что наличие 2 2R малосущественно для коротких и средней длины оболо-
чек, но весьма существенно для длинных [4].
90
2. Разрешающая система уравнений.
Для решения задачи воспользуемся соотношениями и уравнениями в безразмер-
ном виде. С этой целью введем обозначения:
2 2
0 0 2322
22 232 2 2
0 22 22
; ; ; ; ;
vR R Tw t T R
v w h t t
t t R C t C t
2 2
22 0 0
22 22 223 2
22
; ;
M R R
m
C t t
2 3
0 0 44 0 022
23 23 22 22 44 772 2
22 22 22
; ; ; ; .q
R R C R qRD
m
t t C t C t C t
(17)
Выражения деформаций через перемещения принимают вид
2 2 2
22 2 2 2 23 2 2 2
1 1
; 1 ;
2 2
h h
2 2 2
22 2 2 2 2 2 2 2 2
2
1 1
1 1 ;
2
d
h h h h
a d
2
2 2 2
2 2
1 1
;
dv dw
w h v
a d h a d
02
2 2 2
0 2 2
, , .
RA t
a h
R R R
(18)
Запишем также соотношения упругости
22 22 23 77 23 22 44 22; ;t t m (19)
и уравнения равновесия
*
*22
2 2 13 2 2 0;q
dt
a t ha m
d
*
* 223
2 2 22 2 2 2
1 0;q
dt
a t a m h
d
*
22
13 0.
dm
t
d
(20)
В приведенных соотношениях опущена черта над безразмерными величинами,
так как размерные – ниже не используются.
Введем разрешающие функции:
*
1 22;y t *
2 23y t ; *
3 22y m ; 4y v ; 5y w ; 6y . (21)
Запишем выражения для функций 1 2 3, , ,y y y используя зависимости (12). Для со-
кращения записи введем обозначения
2 2 2 2 2
1 2 1 2
1
; ; ;
2
q h q h P h
2 2
2 2 2 2
2
1 1
2 ;
2
d
P h h h
a d
2
3 2 2 2P h h ;
2 2
4 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 ;P h h h P h h
2
2
1
.
d
a d
(22)
С учетом этих обозначений получим равенства
2 2
1 22 2 23 2 22(1 ) ( ) ;y t h h t h P m
2 22 2 23 2 2 2 3 22(1 ) ( ) ;y ht t q h h P m 3 22 1(1 ).y m P (23)
91
Необходимо также иметь выражение
3
23 2 23 1 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2t y t P q h t h m h m h . (24)
Соотношения упругости запишем в таком виде:
2 2 2
22 2 2 2
1
0
2
t h ; 223
2 2 2
22
1
0
2
t
h
;
2 2 2 222
2 2 2 2 2 2 2 2 2
44
1
1 1 0.
2
m
h h h h h
(25)
Полагаем, что функции (21) и нагрузка qm могут быть заданы в параметрической
форме
;i iy y ,q qm m (26)
где – параметр, который удовлетворяет условию [3]
26
1qi
i
dmdy
d d
. (27)
Заданный в таком виде, он определяет длину кривой, описываемой в 7-ми мерном
пространстве уравнениями (26). Продифференцируем по этому параметру соотноше-
ния (23) и (25). Получим
6 ( , 1, ... ,6),ij j i i ia x y b y i j (28)
где обозначено: 22 1 23 2 22 3 2 4 2 5 2 6, , , , , ;t x t x m x x x x точка над функция-
ми обозначает производную по , коэффициенты ija определяются выражениями
2 2
11 2 12 13 2 2 14 22 2 221 ; ; ; ;a h a h a h P a h t h m 2
16 22;a h m
2
21 2 22 2 23 2 2 3 25 22 2 22; 1 ; ; 2 ;a h a q a h h P a h t h m 3
26 22;a h m
2 2
33 1 34 22 35 221 ; ; ;a P a h m a h m 2
41 44 2 45 21; (1 ); ;a a h a
2 2 2
52 77 54 551 / ; ; (1 / 2);a a h a h
63 44 64 2 2 65 2 2 3 66 1a 1/ ; ; ; 1 ;a h P a h P a P
2 2
1 2 22 23 2 23 2 2 22( ); ( ) ;b h hh m t b h t h h h m
2 2
3 22 2 4 5 2 2 6 4; 0; 1 ( ); ;b h m b b h b P (29)
1 2 3 4 5 61; 0.
Отсутствующие среди приведенных в (29) коэффициенты 0ija . Матрица ija –
неособенная. Решение системы (28) представим в виде
6i ij j j ij jx b y b b x 1
.ij ijb a
(30)
92
В выражениях (30) при заданном i производится суммирование по j . Первые
три уравнения системы (30) – выражения производных 22 23 22, ,t t m через производные
разрешающих функций; 4, 5, 6-е уравнения являются аналогичными выражениями
производных 2 2 2, , . Если учесть, что
2
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
; ; ,
dv dw d
w h v
a d h a d a d
(31)
то последние три выражения можно представить в виде дифференциальных уравне-
ний (здесь также производится суммирование по j )
4 2
5 4 4 6
2
1
( ) ;j j j j j
dy
y b y b b x
a d h
5
2 4 3 5 6
2
1
( ) ;j j j j j
dy
h y b y b b x
a d
6
6 6 6
2
1
( ) .j j j j j
dy
b y b b x
a d
(32)
Продифференцировав по параметру уравнения равновесия (20), получим
1
2 2 2 2 2 2 2 ;q q
dy
a y ha m ha m
d
2 22
2 2 1 2 2 2 2(1 ) ;q q
dy
a y a m h a m h
d
3 2
23.
dy a
t
d h
(33)
Выражение для 23t получим, продифференцировав по параметру соотношение
(24). Не приводя его в развернутой записи, заметим только, что оно будет содержать
производные от 22 21 22 2 2 2, , , , , .t t m Подставив их значения из (30) в выражение
23t , а также 2 – в первое и 2 – во второе уравнение системы (33), получим три ли-
нейных дифференциальных уравнения, разрешенных относительно первых производ-
ных по от функций 1 2 3, ,y y y . Полная система дифференциальных уравнений со-
стоит из трех уравнений (33) и трех уравнений (32). К этим уравнениям необходимо
присоединить граничные условия при 0 и N . Формулируем их относительно
функций 1 4 2 5 3 6( , ), ( , ), ( , )y y y y y y , взятых по одной из каждой пары.
Система уравнений (32), (33) совпадает с уравнениями для приращений метода
последовательных нагружений [3]. Домножим каждое из этих уравнений на d и
заменим дифференциалы функций конечными приращениями. Однако приращение
нагрузки запишем в виде q qm m . Задавая приращение , на каждом шаге на-
гружения находим неизвестный коэффициент qm .
Процедура решения задачи методом последовательных нагружений с неизвестной
скоростью нагружения изложена в [9, 14]. Ниже используем разработанную числен-
ную методику для исследования нелинейного деформирования сжимаемых поверхно-
стным давлением гофрированных цилиндрических панелей (арок), изготовленных из
волокнистых композитов. Однако предварительно получим аналитическое решение
задачи об устойчивости при внешнем давлении цилиндрических панелей из материа-
лов с пониженной сдвиговой жесткостью. Аналогичная задача в классической поста-
новке решена в [16, 20].
3. Устойчивость незамкнутой круговой цилиндрической оболочки.
Из нелинейных уравнений (20) при безмоментном докритическом состоянии вы-
водится система уравнений нейтрального равновесия в таком виде [10]
1 1 1
1 222 22 2
23 0;q
dt dm d
h t h m
d d d
1 1
1 1 223 2
22 22 0;q
dt d
t hm h m
d d
93
1
122
23
1
0.
dm
t
d h
(34)
Если в первом уравнении этой системы учесть соотношение между изгибающим
моментом 22m и перерезывающей силой в виде третьего уравнения, а также, что
1 1
22 2t , то получим
1
2 0.
d
d
(35)
Так как на концах арки 0w , то 1
2 0 , следовательно, 1
22 0t .
Оставшиеся два уравнения
12 2
122 1
22 12 2 0;q
d m d w
m m w
d d
12
122
232
1
0,
d m
t
d h
(36)
запишем в перемещениях
3 2
1 1 1
44 13 0;q
d d d w
m w
d d d
2
44 772
1
0.
d dw
hv
d h d
(37)
Решение для этих уравнений определим в виде
; ; .k k kv Be w Ce De (38)
Из условия нерастяжимости осевой линии 1
2 = 0 при 0k имеем
1
B C
kh
. (39)
Первое уравнение системы (37) при 2 1 0k позволяет получить зависимость
между коэффициентами D и C в виде
44
qm
D C
k
. (40)
С использованием (39) и (40) из второго уравнения (37) получаем характеристи-
ческое уравнение
2
77 77
24
1 ,q
q
m
k hm
(41)
откуда следует равенство
2 77
77 44
1 q
q
m
k
hm
. (42)
Если оболочка теряет устойчивость, то 77qhm . Равенство (42) имеет место при
разрушении материала вследствие внутренней неустойчивости. Корни этого уравнения:
77
1,2
77 44
1 q
q
m
k i ik
hm
. (43)
В этом случае решение для w имеет вид
1 2sin cos .w C k C k (44)
94
Так как 0w при 0 , то 2 0C . При N будем иметь
1
sin 0.NC k (45)
С учетом того, что
0
0
N
wd
[16], наименьший корень уравнения (45) будет
2
.
N
k
(46)
Из формулы (42) следует, что
2 2
77 77[ ( 1)] [( / )].qm k hk (47)
С учетом значения k (46) получим
2
44 2
4
1q
N
m p
12
44
2
77
1 4 .
N
p h
(48)
При N критическая нагрузка для панели совпадает с критической нагрузкой для
замкнутой оболочки [15]. Такое же совпадение имеет место в классическом решении [16].
Формула (48) будет использована для оценки значений критических нагрузок, по-
лучаемых численным методом.
4. Числовые результаты и их анализ.
Рассмотрим устойчивость и закритическое поведение двух типов гофрированных
оболочек. Для первого типа (СС) характерно то, что направляющая цилиндрической
поверхности представляет собой волнообразную кривую, состоящую из дуг окружно-
стей положительной и отрицательной кривизн. Сопряжение дуг выполнено так, что
угол наклона касательной к кривой изменяется без скачков. Процедура вычисления
параметров 2A и 2R волнообразной кривой такого вида изложена в [9].
Рис. 1
Второй тип гофрирования (СS) отличается от первого тем, что участок направ-
ляющей с вогнутой окружностью заменяется отрезком прямой. На рис. 1 показан вид
поперечного сечения второго типа при 4N , где N – количество волн, которые ук-
ладываются в пределах дуги, определяемой центральным углом N . Это значит, что
часть кривой ( ) , заданной при 10 , где 1 /N N периодически повторя-
ется N раз. Полагаем, что угол 1 разбит на три части так, что 1 0 0/ 2 / 2 .
На участке 0(0, / 2) функция 1 2cos E , где 1 0 0cos 2 cos 2;p
2 2 2
2 1 0sin ; ;E p p r R r – радиус малой окружности, для которой централь-
ный угол равен 0 .
95
При 0 0/ 2 / 2 , вводя замену 1 0 0/ 2 / 2 , отрезок прямой
можно задать уравнением 1 0( ) (cos 2) / cos .
В этом случае имеем 2
2 2 00; (cos 2) / cos .a
Для соблюдения непрерывности производной ( ) в этом варианте необходимо,
чтобы 0 0 0 . При проведении расчетов обратим внимание, во-первых, на раз-
личие в критических нагрузках и характере закритического поведения однотипных
оболочек, устанавливаемое с помощью кубического варианта нелинейной теории мо-
дели Тимошенко и известного простейшего квадратичного. Второй не менее важный
вопрос, который можно выяснить с помощью разработанного алгоритма, заключается
в том, как зависит от пониженной сдвиговой жесткости материала характер закрити-
ческого поведения рассматриваемых оболочек. Ранее в [1] проведено исследование
начального закритического поведения замкнутых круговых цилиндрических оболочек
из композитов. Гофрированные оболочки могут иметь различные геометрические па-
раметры, которых значительно больше, чем у круговых. Некоторые особенности док-
ритического и закритического деформирования оболочек в зависимости от формы их
поперечного сечения рассмотрим на примерах расчета указанных выше двух типов.
Во всех примерах механические характеристики компонентов волокнистого ком-
позита, из которого изготовлены оболочки, предполагаем соответствующими средним
значениям для углеродных нанотрубок ( 1,14 ТПа;aE 0,2)a и эпоксидно-малеи-
новой композиции ( 3,15 ГПа; 0,382)aE . При объемном содержании наполнителя
0,7 жесткость на растяжение оболочки толщиной 0,01t м в окружном направле-
нии 22 0,785 Mн мC . Безразмерные параметры 22 441; 0,08333; 777 0,80586 .
Коэффициент p , с помощью которого в формуле (48) учитывается снижение крити-
ческого давления за счет деформаций поперечного сдвига, в данном случае мало от-
личается от единицы ( 0,996)p . Для оболочки толщиной 0,1t м жесткость 22C
увеличивается на порядок, коэффициент 77 уменьшается в таком же отношении, коэф-
фициент 44 остается неизменным, а параметр 0,7074p . Для данного композита от-
ношение 2 23/ 120,E G в то время как для боропластика 2 23/ 30,E G для стеклопла-
стика 2 23/ 10.E G Здесь учтено, что направление волокон совпадает с направляющей
цилиндрической оболочки.
Из полученных данных следует, что влияние пониженной сдвиговой жесткости на
устойчивость конструкций из композитов будет наиболее существенным для нано-
композитов. На рис. 2 показаны равновесные кривые для оболочек с поперечным се-
чением вида CS (рис. 1) с 0,01;h
4;N k , вычисленные с ис-
пользованием упрощенного вари-
анта теории Тимошенко – Минд-
лина. На оси абсцисс отложены
значения отношения /w t , на оси
ординат – отношения вычисляемо-
го значения критической нагрузки
qm для рассматриваемой оболочки
к критическому значению для тон-
кого кольца , 443q cm . Если ис-
пользовать аналитическое решение
(48), то
Рис. 2
96
2
2
,
1 4
1
3
q
c
q c N
m
p
m
.
Отсюда следует, что при N
имеем ,/q q cm m p . Расчет согласно
методике [9, 14] дает 1 1,096c
при 0,996p . Кривые 1, 2, 3 на
рис. 2 описывают характер переме-
щения w в точках сечения / 2;
/ 4; 3 / 4. Точка 1,0c в дан-
ном случае не является предель-
ной, так как нагрузка на оболочку
может превосходить это значение,
однако при этом происходит не-
пропорционально большое нарас-
тание прогибов.
На рис. 3 представлены кривые
для той же оболочки, но получен-
ные с использованием кубического
варианта теории типа Тимошенко –
Миндлина. На этих кривых параметр
2 0,963c , но нагрузка может
возрастать только до 1,1n . По
достижению этого значения рост
прогибов происходит при умень-
шающейся нагрузке.
Равновесные кривые на рис. 4 и 5
построены для оболочек типа CS
толщиной 0,1t м, при 16N , со-
ответственно, по квадратичному и
кубическому вариантах теории
Тимошенко – Миндлина. Параметр
0,707,p а 1 0,710c в первом
случае и 2 0,709c – во втором.
Однако, как и в первом примере,
значение 1
c может быть сущест-
венно превзойдено при увеличи-
вающихся прогибах до 0,870n . Этот характер закритического поведения не под-
тверждается при уточненном расчете. Закритические участки равновесных кривых
1, 2, 3 на рис. 5 идут почти параллельно оси абсцисс, незначительно искривляясь
вверх при больших прогибах. Такое начальное закритическое поведение определяется
малым положительным значением коэффициента b , полученным в [10] согласно тео-
рии Койтера [19].
Оболочки, поперечное сечение которых состоит из периодически повторяющихся
сопряженных дуг окружностей положительной и отрицательной кривизн (тип СС),
также исследованы на устойчивость с использованием двух указанных подходов.
Равновесные кривые на рис. 6 и 7 получены для оболочки толщиной 0,1t м
при 16;N 0 1R м. Для этой оболочки принято: 77 0,0161; 0,325p . В упро-
Рис. 5
Рис. 3
Рис. 4
97
щенной постановке получено
1 0,251c . При использовании
уточненных соотношений вычис-
лено значение 2 0,207c . Харак-
тер закритического поведения обо-
лочки, описываемый кривыми 1 – 3
на рис. 7 отличается существенной
нелинейностью в докритическом
состоянии, ростом прогибов при
постоянной нагрузке, резким сниже-
нием нагрузки и сменой направле-
ний перемещений в разных точках
периметра поперечного сечения.
С целью выяснения влияния
сдвиговой податливости материала
на получаемые при использовании
обоих подходов критические нагруз-
ки с оценкой характера закритиче-
ского поведения выполнен расчет
такой же оболочки, как в предыду-
щем примере, но параметр 77 при-
нят в 5 раз большим ( 77 0,0805 ).
Равновесные кривые обоих подхо-
дов приведены на рис. 8 и 9. При
заданном значении параметра 77
имеем 0,707p . Приближенный
подход дает 1 0,547.c Вычисле-
ния на основании уточненного вари-
анта дают 2 0,546c , что соот-
ветствует предельной нагрузке.
При этой нагрузке происходит рост
перемещений до величины при-
мерно равной половине толщины, а
затем наступает резкое падение
нагрузки при изменении направле-
ний и росте перемещений w .
Отметим, что критические на-
грузки 1
c и 2
c в рассматривае-
мом примере ближе между собой,
чем в предыдущем примере. Оценка закритического поведения на основании прибли-
женного подхода оказывается также весьма близка к получаемой при более точном
расчете. Большое различие в ходе кривых 1 – 3 на рис. 7 и 9 после достижения точек 1
c
и 2
c обусловлено изменением сдвиговой жесткости.
Используя только уточненную теорию, рассмотрим пример расчета оболочки типа
CS толщиной 0,1t м при 8N для двух значений сдвиговой жесткости. Равновес-
ные кривые при 77 0,0806 показаны на рис. 10. Здесь, в отличие от предыдущих
примеров, вычисляемая критическая нагрузка отнесена к нагрузке, определяемой по
формуле (48). В этом случае имеем 2 ,986c . Кривые имеют начальный участок,
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 6
98
практически параллельный оси абс-
цисс, который затем загибается к вер-
ху. Такое поведение кривых свиде-
тельствует об устойчивом закрити-
ческом поведении оболочки. Полу-
ченные при 77 0,00806 равно-
весные кривые имеют вид, показан-
ный на рис. 11. Для этой оболочки
2 0,973c . В отличие от кривых на
рис. 10, приведенные на рис. 11 име-
ют ниспадающий характер. Снижение
параметра 77 привело в этом приме-
ре к такому изменению жесткости
оболочки в целом, что ее закритичес-
кое поведение становится неустойчи-
вым. Параметр 0,707p – для ис-
ходной оболочки и 0,195p – для
оболочки с уменьшенной сдвиговой
жесткостью. Поэтому, хотя значения
2
c в обоих случаях близки, крити-
ческие нагрузки отличаются в той же
мере, как отличаются приведенные
значения параметра p .
С использованием приведенных
на рис. 5 и 9 кривых можно сопоста-
вить критические нагрузки и закри-
тическое поведение оболочек, попе-
речное сечение которых образовано
дугами окружностей и отрезками
прямых, сопряженных с помощью
таких же дуг. На рис. 12 представле-
ны кривые 1 и 2 , полученные для
оболочек типа CS и CC при / 2 ,
16N . Критические значения на-
грузки для оболочек первого типа
(CS) оказываются на 20% выше, чем
для оболочек типа CC. Закритическое
поведение этих оболочек также су-
щественно различается. В первом
варианте прогибы возрастают при
постоянной нагрузке, во втором –
небольшой участок неизменной на-
грузки сменяется резким ее падением
при росте прогибов. Этот факт свиде-
тельствует о том, что для оболочек
типа CC достижение нагрузкой кри-
тического значения определяет ис-
черпание ее несущей способности,
тогда как оболочки типа CS продол-
жают сохранять равновесие при кри-
тическом давлении, независимо от
увеличения прогибов.
Рис. 10
Рис. 11
Рис. 9
Рис. 12
99
Выводы.
Полученные результаты позволяют сформулировать для длинных гофрированных
цилиндрических оболочек такие выводы:
1) нелинейной теорией Тимошенко – Миндлина в квадратичном варианте можно
пользоваться не только для расчета критических нагрузок, но также в ряде случаев и
для исследования закритического поведения;
2) пониженная сдвиговая жесткость композитов приводит не только к снижению
критических нагрузок, но может также существенно влиять на характер закритиче-
ского поведения оболочек;
3) из двух рассмотренных типов гофрирования более высокие критические значе-
ния давления имеют оболочки, поперечное сечение которых состоит из сопряженных
дугами окружностей отрезков прямых.
Если ограничиться длинными круговыми оболочками, то полученные с использо-
ванием развитой численной методики результаты согласуются с теми, которые пред-
ставлены в работах [7, 10].
Р Е ЗЮМ Е . Розглянуто задачу про деформування поздовжньо гофрованих довгих незамкне-
них циліндричних оболонок при зовнішньому тиску. Розв’язок базується на співвідношеннях кубіч-
ного варіанту нелінійної теорії оболонок Тимошенко – Миндлина. Показано необхідність викорис-
тання уточнених рівнянь при дослідженні закритичної поведінки оболонок.
1. Баженов В.А., Семенюк Н.П., Трач В.М. Нелінійне деформування, стійкість і закритична поведінка
анізотропних оболонок. – К.: Каравела, 2010. – 352 с.
2. Ванин Г.Л., Семенюк Н.П., Емельянов Р.Ф. Устойчивость оболочек из армированных материалов. –
К.: Наук. думка, 1978. – 212 с.
3. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения
решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого тела. – М.: Наука, 1988. – 232 с.
4. Гуляев В.М., Баженов В.А., Гоцуляк Б.А. Устойчивость нелинейных механических систем. – Львов:
Вища шк., 1982. – 255 с.
5. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. – М. – Л.: ОГИЗ, 1948. – 211 с.
6. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. – Л.: Судпромгиз, 1962. – 431 с.
7. Семенюк Н.П. Уточненный вариант нелинейной теории оболочек типа Тимошенко и его приложение
к расчету начального закритического поведения длинных цилиндрических оболочек // Прикл.
механика. – 1990. – 26, № 8. – С. 47 – 52.
8. Семенюк Н.П. Устойчивость некруговых цилиндрических оболочек, состоящих из панелей посто-
янной кривизны, при осевом сжатии // Прикл. механика. – 2003. – 39, № 6. – С. 115 – 125.
9. Семенюк Н.П. Устойчивость гофрированных арок при внешнем давлении // Прикл. механика. –
2013. – 49, № 2. – С. 90 – 99.
10. Семенюк Н.П., Жукова Н.Б. О точности нелинейных соотношений теории оболочек типа Тимо-
шенко в случае пренебрежения поперечным сжатием // Прикл. механика. – 1990. – 26, № 10. –
С. 30 – 36.
11. Семенюк Н.П., Жукова Н.Б., Несходовская Н.А. Устойчивость ортотропных гофрированных ци-
линдрических оболочек при осевом сжатии // Механика композитных материалов. – 2002. – 38,
№3. – С. 371 – 386.
12. Семенюк Н.П., Жукова Н.Б., ОстапчукВ.В. Устойчивость волнообразных некруговых оболочек из
композитов при внешнем давлении // Прикл. механика. – 2007. – 43, № 12. – С. 91 – 102.
13. Семенюк Н.П., Несходовская Н.А. Применение теории типа Тимошенко к исследованию устойчи-
вости гофрированных цилиндрических оболочек // Прикл. механика. – 2002. – 38, № 6. – С. 99 – 107.
14. Семенюк Н.П., Трач В.М., Жукова Н.Б. Об исследовании нелинейного поведения тонких оболочек
шаговым методом // Прикл. механика. – 2008. – 44, № 9. – С. 85 – 93.
15. Тарнопольский Ю.М., Розе А.В. Особенности расчета деталей из армированных пластиков. – Рига:
Зинатне, 1969. – 274 с.
16. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. – М.: Гостехиздат, 1955. – 567 с.
17. Babich I.Yu., Zhukova N.B., Semenyuk N.P., Trach V.M. Stability of Circumferentialy Corrugated Cylin-
drical Shells under External Pressure // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 8. – P. 919 – 928.
18. Babich I.Yu., Zhukova N.B., Semenyuk N.P., Trach V.M. Stability of Circumferentialy Corrugated Shells
under Hydrostatic Pressure // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 9. – P. 1001 – 1038.
19. Budiansky B. Theory of Buckling and Post-Buckling Behavior of Elastic Structures // Adv. Appl. Mech.
– 1974. – 14. – P. 2 – 65.
20. Hurlbrink E. Festigkeits-berechnung von röhrenartigen Körpern, die unter äusserem Drucke stehen //
Schiffbau. – 1907/1908. – 9, N 14. – S. 517 – 523.
Поступила 24.12.2010 Утверждена в печать 06.06.2013
|