Вынужденные моногармонические колебания и виброразогрев вязкоупругих гибких круглых пластинок с пьезослоями
Розв'язано задачу про вимушені осесиметричні коливання і дисипативний розігрів шарнірно і жорстко закріплених круглих гнучких пластинок з п'єзоактивними шарами, які виконують роль сенсора або актуатора. Розглянуто питання механічного і електричного збуджень коливань, можливість демпфування...
Saved in:
| Published in: | Прикладная механика |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2013
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87919 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Вынужденные моногармонические колебания и виброразогрев вязкоупругих гибких круглых пластинок с пьезослоями / И.Ф. Киричок // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 100-112. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860007997460185088 |
|---|---|
| author | Киричок, И.Ф. |
| author_facet | Киричок, И.Ф. |
| citation_txt | Вынужденные моногармонические колебания и виброразогрев вязкоупругих гибких круглых пластинок с пьезослоями / И.Ф. Киричок // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 100-112. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | Розв'язано задачу про вимушені осесиметричні коливання і дисипативний розігрів шарнірно і жорстко закріплених круглих гнучких пластинок з п'єзоактивними шарами, які виконують роль сенсора або актуатора. Розглянуто питання механічного і електричного збуджень коливань, можливість демпфування механічних коливань за допомогою подачі відповідної різниці електричних потенціалів на електроди актуаторів. Досліджено особливості впливу геометричної нелінійності на частотні залежності прогинів, температури вібророзігріву та електричний показник сенсора при електромеханічному гармонічному навантаженні в області основного резонансу згинної моди коливань пластинки.
The coupled problem on forced axially symmetric vibrations and dissipative heating of the viscoelastic circular flexibility rigidly clamped and hingedly fixed plate with piezoactive sensors and actuators. Different aspects of mechanical and electric exitation of vibrations as well as the possibility of mechanically induced vibrations suppression by means of the voltage application at the piezolayers are studied. The features of effect of the geometric nonlinearity on the freguency dependence flexure, dissipative heating and electrical index sensor is also electromechanical monoharmonic loating.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:40:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 6
100 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, № 6
И .Ф .К и р и ч о к
ВЫНУЖДЕННЫЕ МОНОГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
И ВИБРОРАЗОГРЕВ ВЯЗКОУПРУГИХ ГИБКИХ КРУГЛЫХ ПЛАСТИНОК
С ПЬЕЗОСЛОЯМИ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев; e-mai:ТЕРМ @ inmech.kiev.ua
Abstract. The coupled problem on forced axially symmetric vibrations and dissipative
heating of the viscoelastic circular flexibility rigidly clamped and hingedly fixed plate with
piezoactive sensors and actuators. Different aspects of mechanical and electric exitation of
vibrations as well as the possibility of mechanically induced vibrations suppression by
means of the voltage application at the piezolayers are studied. The features of effect of the
geometric nonlinearity on the freguency dependence flexure, dissipative heating and electri-
cal index sensor is also electromechanical monoharmonic loating.
Key words: forced vibrations, piezoactuator, sensor, dissipative heating, temperature,
active damping, geometrical nonlinearity
Введение.
Тонкостенные пластинки из вязкоупругих и композитных материалов в качестве
конструктивных элементов находят широкое применение в современной технике.
В процессе эксплуатации они подвергаются воздействию высокого уровня нестацио-
нарных, в частности, гармонических во времени нагрузок или работают в резонанс-
ном режиме нагружения, когда амплитуды прогибов могут достигать толщины пла-
стинки. Из-за гистерезисных потерь в материале возникает диссипативный разогрев
пластинки. Колебания с большими амплитудами и разогрев могут привести к потере
функциональной способности элемента из-за высокого уровня напряжений, темпера-
туры саморазогрева и др. В связи с этим возникает задача об исследовании высокоам-
плитудных режимов колебаний гибких пластинок и способах их гашения. В послед-
ние годы, наряду с пассивными способами демпфирования [14 – 16], используют ме-
тоды активного гашения колебаний [12, 27, 28]. Суть последнего состоит в том, что в
конструктивные элементы вводят пьезоэлектрические компоненты, выполняющих
роль или датчиков (сенсоров) измерения кинематических параметров, или возбудите-
лей (актуаторов) механических колебаний [12, 24, 25, 28].
Проблемы активного контроля колебаний тонкостенных пластинчатых и оболо-
чечных элементов конструкций с посмощью пьезоэлектрических сенсоров и актуато-
ров в изотермической постановке задачи обсуждаются в ряде статей [24, 25 и др.] и
обобщены в монографиях [26, 27]. На эффективность гашения механических колеба-
ний тонкостенных пластинок влияют такие факторы, как учет вязкоупругих электро-
механических свойств материалов пассивной (без пьезоэффекта) и пьезоактивной со-
ставляющих системы, геометрические размеры обьекта, механические граничные ус-
ловия, вибрационный разогрев, возникающий вследствие внутренней диссипации
энергии. Исследованию этих вопросов посвящены работы [6, 7, 10 и др.]. Термоэлек-
тромеханические теории слоистых тонкостенных элементов из вязкоупругих пассив-
ных и пьезоактивных составляющих, учитывающие физическую и геометрическую
нелинейности, представлены в [8, 9, 11 – 13, 18, 19, 28 и др.]. На основании этих тео-
101
рий развиты математические модели стационарных колебаний и диссипативного ра-
зогрева вязкоупругих гибких пластинок с распределенными актуаторами или сенсо-
рами и решены некоторые задачи методом Бубнова – Галеркина в статьях [8, 13, 18 –
21, 23 и др.]. При этом в аналитических решениях конкретных задач толщина пьезо-
активных слоев и их вязкоупругие свойства не учитывались.
В данной статье с использованием численных методов в геометрически нелиней-
ной постановке решена задача о вынужденных околорезонансных колебаниях и дис-
сипативном разогреве гибких круглых пластинок с внешними пьезоэлектрическими
слоями, выполняющими роль сенсора или актуатора, при осесимметричном моногар-
моническом нагружении. Учитывается толщина пьезослоев в жесткостных характери-
стиках, вязкоупругие свойства пьезоактивного и пассивного материалов, геометриче-
ская нелинейность в квадратичном приближении.
1. Постановка задачи. Основные уравнения.
Рассмотрим трехслойную гибкую круглую пластинку радиуса R , средний слой
которой толщины 0h изготовлен из пассивного изотропного материала, а внешние
слои одинаковой толщины 1h – из трансверсально-изотропного пьезоэлектрического
материала. Слои жестко скреплены между собой. Материалы слоев – вязкоупругие,
свойства которых не зависят от температуры. Пластинка отнесена к полярной системе
координат , ,r z с началом отсчета нормальной координаты 0z в центре средин-
ной плоскости пассивного слоя. Примем, что пьезоэлектрические слои имеют одина-
ковые свойства, но противоположные направления поляризации по толщине. При
этом верхний 0( / 2)z h и нижний 0( / 2)z h слои характеризуются значениями
пьезомодуля 31d и 31d , соответственно. Внешние плоскости пьезослоев и контакти-
рующие с пассивным слоем их внутренние плоскости электродированы. Внутренние
электроды поддерживаются при нулевом потенциале 0( / 2) 0h . Электродирован-
ные внешние плоскости разделены кольцевым разрезом бесконечно малой ширины и
радиуса 0r r R .
Пластинка нагружена осесимметричным моногармоническим во времени t нормаль-
ным поверхностным давлением ( ) cosz zq q r t с круговой частотой , близкой к резо-
нансной. Пьезоэлектрические слои радиуса 0r r выполняют роль или актуатора, или
сенсора. Если пьезослои являются актуатором, то к их внешним электродам радиуса
0r r подводится разность электрических потенциалов 1 0 1 1 0 1( / 2 ) ( / 2 )h h h h
Re(2 )i t
AV e с частотой механической нагрузки, действие которой подавляется или
усиливается в зависимости от амплитуды и фазы электрического возбуждения. Элек-
троды в области 0r r закорочены ( 0)AV . Если пьезослои выполняют роль сенсора,
предполагаем, что его электроды разомкнуты, так что на внешних электродированных
поверхностях s выполняется условие [12, 21]
0z
s
D rdrd
, (1)
где zD – нормальная составляющая электрической индукции.
В результате механического деформирования пластинки на разомкнутых электро-
дах сенсора возникает разность электрических потенциалов комплексной амплитуды
s s sV V iV , которую необходимо определить или замерить прибором.
Примем, что контур пластинки свободен в радиальном направлении и шарнирно
или жестко закреплен в поперечном направлении. Кроме того, на граничных поверх-
ностях пластинки выполняются условия конвективного теплообмена с внешней сре-
дой температуры sT .
102
Двумерную модель трехслойной пластинки строим в предположении о справедли-
вости по всему пакету слоев гипотез Кирхгофа – Лява для механических переменных.
Относительно электрических полевых величин принимаем, что тангенциальными со-
ставляющими векторов индукции ,rD D и напряженности ,rE E электрического
поля в плоскости каждого пьезослоя можно пренебречь по сравнению с нормальными
составляющими , .z zD E Тогда из уравнений электростатики для индукции / 0zD z
следует, что constzD C является постоянной по толщине пьезослоя [8, 9]. Темпе-
ратуру диссипативного разогрева принимаем постоянной по толщине пакета слоев
пластинки. Предполагаем, что деформации малы, но прогибы пластинки таковы, что в
кинематических соотношениях необходимо учитывать квадраты углов поворота. При
этом уравнения движения также являются нелинейными.
На основании принятых гипотез трехмерные соотношения вязкоупругой поляри-
зованной вдоль оси z пьезокерамики [8, 9] для пьезослоя имеют вид
11 12 31 12 11 31; ;E E E E
r r z r r zc e c e b E c e c e b E (2)
31 33( ) ; /z r z zD b e e b E E z (3)
2
11 11 12 11 12 11
2 2 2
31 31 11 33 33 31 33 11
1 / [ ( )]; ; / ;
/ [ (1 )]; (1 ); 2 / [ (1 )] ;
E E E E E E
E E E
E T T E
E p p E
c s c c s s
b d s b k k d s
11 12 31 33, , ,E E Ts s d – соответственно, изотермические податливости, пьезомодуль и
диэлектрическая проницаемость материала пьезоактивных слоев. Символ обозна-
чает интегральный оператор линейной вязкоупругости [5], который для гармониче-
ских процессов деформирования вязкоупругих материалов сводится к операции ум-
ножения комплексных величин [8]
( )( )D f D iD f if . (4)
Для изотропного материала пассивного слоя справедливы зависимости (2), в ко-
торых 11 12 31, ,E Ec c b необходимо заменить, соответственно, на
2
11 12 11 31/ (1 ); ; 0,c E c c b (5)
где E – вязкоупругий модуль Юнга, const – коэффициент Пуассона.
Параметры деформации в соотношениях (2), (3) через тангенциальные u и нор-
мальные w перемещения выражаются такими зависимостями:
; ;r r r r r re z e z (6)
21
; ; ; ; ,
2
r r
r r r r
u u w
r r r r r
(7)
где r – угол поворота.
Комбинируя соотношения (2), (3) с учетом того, что zD C является постоянной
величиной, определяем
2 2 2 2
31 31 31 31 31 31
11 12 12 11
33 33 33 33 33 33
; .E E E E
r r r
b b b b b b
c e c e C c e c e C
b b b b b b
(8)
Из электростатических зависимостей (3), (6) получим распределение электричес-
кого потенциала по толщине, например, верхнего пьезослоя в виде
103
231
1
33 33
1
2
bC
z ez z C
b b
1( ; ; const).r re C (9)
Для верхнего пьезослоя – актуатора, к которому подводится амплитудная раз-
ность потенциалов 0 1 0( / 2 ) ( / 2) ah h h V , на основании соотношений (3), (6), (9)
имеем
31 0 1
33 31
1 1 33
( ); ( ) .
2
a a
z z
V V b h h
C D b b e h E h z h
h h b
(10)
Для нижнего пьезослоя необходимо в (10) коэффициент 31b заменить на – 31b .
Если пьезослой выполняет роль сенсора с неизвестной амплитудной разностью
потенциалов 0 1 0 ( / 2 ) ( / 2)sV h h h на электродах, то из (9) следует, что
33 31
1
( )sV
C b b e h
h
. (11)
Удовлетворяя (11) электростатическому условию (1), для кругового сенсора ра-
диуса 0r r получим выражение для потенциала sV в виде
0
31
2
1 0 33 0
2
( )
r
sV b
e h rdr
h r b
. (12)
Подстановка выражения (12) в соотношение (11) приводит к интегро-дифферен-
циальному выражению для постоянной C в зависимостях (8). Это усложняет постро-
ение для сенсора соотношений между усилиями, моментами и деформациями. Поэто-
му, следуя [21], при выводе указанных соотношений принимаем условие
0zD C . (13)
Вводя вместо напряжений (8) в слоях статически эквивалентные им усилия
,rN N и моменты ,rM M по пакету слоев с учетом (5), (11) или (13), имеем
11 12 12 11
11 12 12 11
; ;
; ;
r r r
r r E r E
N C C N C C
M D D M M D D M
(14)
11 11 11 0 12 11 11 0
3 3
3 3 3 30 0
11 11 11 0 33 12 11 11 0 33
3 3 2 2
0 1 0 1 0 33 31 33
( 2 ) ; ( 2 ) ;
( 2 2 ); ( 2 2 );
12 12
( ) ; 4 6 3 ; / ; /
E E
E
E E
E
E a
C c c h C c c h
h h
D c c D c c
M h h V h h b b
(15)
– для пьезослоев-актуаторов;
11 11 11 33 0 12 11 11 33 0
3 3
3 30 0
11 11 11 33 12 11 11 33 0
( 2 2 ) ; ( 2 2 ) ; 0;
[ 2( ) ]; [ 2( ) ]
12 12
E E
E E
E E
E
C c c h C c c h M
h h
D c c D c c
(16)
для сенсоров .
Уравнения осесимметричных колебаний рассматриваемой пластинки в силу при-
нятых гипотез имеют вид [4]
104
2 2
2 2
1 1
( ) ; ;
1
( ) 0,
r r
r h r z h
r
r r r r
N u Q w
N N Q q
r r t r r t
M
M M Q N
r r
(17)
где 0 0 1 12 , ;h r r r rh h Q Q N Q – перерезывающее усилие; 1 0, – удельные
плотности пьезоактивного и пассивного материалов.
Уравнения колебаний (17) необходимо дополнить механическими граничными
условиями. Учитывая, что для круглой сплошной пластинки точка 0r является осо-
бой, при численном решении задачи рассмотрена пластинка с отверстием в центре
достаточно малого радиуса r , на контуре которого заданы условия регулярности
и симметрии [4], так что
0; 0; 0r r rN Q при r . (18)
На внешнем контуре пластинки граничные условия таковы:
0, 0, 0r r rN M w при r R (19)
при шарнирном закреплении;
0, 0, 0r r rN w при r R (20)
при жестком защемлении.
Усредненное за цикл колебаний и по всей толщине пакета слоев пластинки урав-
нение энергии, описывающее осесимметричное распределение температуры диссипа-
тивного разогрева, имеет вид
2
2
21 1 1 ˆ( ) ,n
s
T T T
T T W
a t r r r h h
(21)
где 1 0 1 2 1 22 ; ( ) / 2; ,nh h h коэффициенты теплообмена на плоскостях
3 1( / 2 )h h ; усредненный коэффициент теплопроводности; a коэффици-
ент температуропроводности; sT температура внешней среды; Ŵ – усредненная за
период колебаний и по толщине пластинки скорость диссипации [8].
Начальное и граничные тепловые условия записываются так:
0 ( 0); 0 ( ); ( ) ( )R s
T T
T T t r T T r R
r r
, (22)
где R – коэффициент теплообмена на контуре; 0T – начальная температура.
2. Методика решения задачи.
Для решения задачи о вынужденных колебаниях гибкой пластинки уравнения
движения (17) и кинематические соотношения (7) представим относительно искомых
величин , , , , ,r r r ru w N Q M в виде
2
2 2
2 2
1
; ; ;
2
1 1 1
; ;
1 1
.
r
r r r r
r r
r h r h z
r
r r r r
u w
r r r
N u Q w
N N Q q
r r r t r r t
M
M M Q N
r r r
(23)
При этом из определяющих уравнений (14) определяем
105
22 22
; ;
; 1
r
r c r c r D r D D E
r
c r D r D E
u
J N J M J M
r r
u
N N B M M D M
r r
(24)
11 11 12 11 12 11
2 2
22 11 22 11
1 / ; 1 / ; / ; / ;
(1 ); (1 ) .
c D c D
c D
J C J D C C D D
B C D D
(25)
При моногармоническом нагружении вида
cos sin 0z z z zq q t q t q (26)
строим приближенное решение нелинейных уравнений (23) в виде гармонического
ряда по времени [8]. Ограничимся построением решения в одномодовом приближе-
нии для переменных { , , , , , }r r r rA w Q M M , характеризующих изгиб пластинки, и
с удержанием вторых гармоник для переменных { , , , }r rB u N N плоского дефор-
мирования пластинки, так что
20
1
cos sin ; ( cos sin ).
k k
k
A A t A t B B B k t B k t
(27)
Подставляя выражения (26), (27) в разрешающие уравнения (23) с граничными
условиями (18) – (20) и затем приравнивая коэффициенты при cos k t и sin k t
( 0,1,2)k , после некоторых преобразований получим приведенную в [22, ф-ла (16)]
систему нелинейных дифференциальных уравнений относительно искомых ампли-
тудных величин. Линеаризуя полученную систему методом квазилинеризации [ 4, 9],
приходим к последовательности решений линейной системы обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений вида
1
1( , ) ( , , )
k
k k km
mn l n m l z
dy
a x y y f x y q
dx
(28)
с такими согласно (18) – (20) граничными условиями:
1 1(0) 0, (1) 0k k
m my y (29)
2 20 1 1 2 2 1 1 1 1 0 1 1 2 2 1 1
1 2 18{ , , , } { , , , , , , , , , , , , , , , , , }r r r r r r r r r r ry y y u u u u u w w N N N N N Q Q M M
– искомые функции; mf – известные величины правых частей и mna – ненулевые
коэффициенты, которые из-за громоздкости не приводятся; ( ) /x r L – безраз-
мерная радиальная координата ( ) .L R
Отметим, что переменные
1 1 1 1
, , , , , , , ( 1, 2)
k k k k
r r r rk M M N N k определяем со-
гласно процедуре (4) из зависимостей (24), справедливых для каждой гармоники [8].
При этом для величин (с индексом 1 над ними) комплексные электромеханические
модули в коэффициентах (25) вычисляем на частоте , а с индексом 2 – на частоте 2 .
Величины
0 0
,r N определяются соотношениями (24), в которых знак опускается, а
действительные коэффициенты (25) соответствуют равновесным значениям вязкоуп-
ругих модулей, не зависящих от частоты.
106
В терминах искомых неизвестных задачи диссипативная функция Ŵ в уравнении
энергии (21) для гибкой круглой пластинки с пьезоэлектрическими актуаторами оп-
ределяется выражением
2
1
2 2
0 1 31 31 31 31 33 1
2 ˆ ( )
( )[( ) ( ) ] 2 ( ) / .
k k k k k k k
r r r r r r r r
k
A A A A
W N N N N M M M M
h h b b V b b V b V V h
(30)
Здесь индекс 1 над величинами, характеризующими изгиб, опущен.
Линеаризованные уравнения (28), (29) на каждом приближении интегрируем ме-
тодом дискретной ортогонализации [3, 4] с использованием типовой программы [4].
При этом на первом шаге ( 0)k , полагая
0
0ly , решаем геометрически линейную
задачу. Численная сходимость реализуется через 2 – 3 приближения. Затем вычисляем
диссипативную функцию (30) и решаем нестационарную задачу теплопроводности
(21), (22) методом конечных разностей с использованием явной схемы. При решении
задачи (21), (22) используем безразмерные (пространственную ( ) /x r L и вре-
менную 2/at L ) координаты.
При активном демпфировании вынужденных колебаний гибких пластинок с ис-
пользованием сенсоров и актуаторов необходимо исследовать влияние учета геомет-
рической нелинейности на динамические характеристики пластинки и электрические
показатели сенсора sV и актуатора aV , а также определить амплитуду и фазу потен-
циала aV , который необходимо подвести к электродам актуатора для гашения таких
колебаний.
Рассмотрим случай гармонического нагружения пластинки поверхностным дав-
лением постоянной амплитуды 0zq q . Тогда, если пьезоэлектрические слои являются
актуатором, его компенсирующий показатель aV определяется зависимостью [13]
0 0( )A AV k x q , (31)
где Ak – коэффициент управления; 0 0( ) /x r R – безразмерный радиус кругового
актуатора.
Коэффициент Ak вычисляется на основании решения линейной задачи по формуле
max max/ .A p Ek w w (32)
Здесь maxpw – значение максимальной амплитуды изгибных колебаний пластинки на
частоте линейного резонанса при механической нагрузке 0 1Паq ( aV = 0), а maxEw
– аналогичная величина при подводе к внешним электродам актуатора электрическо-
го потенциала 01 ( 0)aV В q .
Для компенсации действия моногармонической нагрузки противофазность элек-
трического нагружения учитываем по закону cos( )AV t cosAV t . Если пье-
зослои выполняют роль сенсора радиуса 0r , то электрический потенциал sV на ра-
зомкнутых электродах определяем соотношением (12).
Для расчета компенсирующего показателя актуатора aV по известному значению
потенциала сенсора sV используем наиболее характерную для модальной формы
демпфирования колебаний зависимость обратной связи [12]
a as sV G V , (33)
в которой asG – коэффициент обратной связи.
107
Коэффициент asG определяем на основании решения линейной задачи по
формуле [21]
1 1/as a sG V V . (34)
Здесь 1
aV и 1
sV , соответственно, вычисленные на линейном резонансе показатели ак-
туатора по формуле (30) и сенсора по формуле (12) при механическом нагружении
единичной амплитуды 0 1Паq .
3. Результаты расчетов и их анализ.
Численные расчеты проведено для круглой составной пластинки, пассивный слой
которой изготовлен из полиметилметакрилата [17] с такими физическими параметрами:
0 0
10 2; ( ) ; ( ) ( 1,2); 0,308 10 Н/м ;
k k k k k k
p qE E i E E E k E E b k k E
3 3
00,16; 0,145; 0,076; 0,35; 2,77 10 кг/м ; 0,45Вт/(м град).b q p
Пьезоэлектрические слои выполнены из вязкоупругой пьезокерамики ЦТСтБ-2 [1]
с такими изотермическими физико-механическими характеристиками:
12 2 10
11 31
2 12
33 0 0
3
1 0
(12,5 0,02 ) 10 [м /Н]; ( 1,6 0,0064 ) 10 [Кл/м];
(21 0,735 ) 10 ; 8,854 10 [Ф/м]; 0,37; 0;
7520 кг/м ; 0,47 Вт/(м град); 20 C.
k k
E
k k k
E E
s
s i d i
i
T T
Геометрические параметры пластинки таковы: 40,2 м, 10 м,R 0 0,01м,h
3
1 0,1 10 м.h Коэффициенты теплообмена: 215 Вт/(м град)n R .
В связи с тем, что в рассматриваемой пластинке реализуются (в силу конструк-
тивной симметрии и способа нагружения) преимущественно изгибные колебания,
ниже расчеты проведено для частот нагружения, близких к первой резонансной час-
тоте изгибной моды колебаний.
На рис. 1 в зависимости от величины безразмерного радиуса 0x пьезоактив-
ной области показаны кривые изменения отнесенных к толщине пьезоактивного
слоя эталонных показателей сенсора
1 4
1| | / 10 В/мs sV V h (штриховые ли-
нии), актуатора 1 5
1| | / 10 В/мa aV V h
(сплошные линии) и коэффициента
обратной связи asG (штрих-
пунктирные линии), рассчитанные,
соответственно, по формулам (12),
(30), (33) при действии на пластинку
механического нагружения единичной
амплитуды 0 1Паq . Расчеты прове-
дены на резонансных частотах p для
шарнирного (кривые 1, 520pa c )
и жесткого (кривые 1, 1080pб c )
закреплений пластинки.
Рис. 1
108
Из рис. 1 видно, что абсолютная величина потенциала 1
sV на электродах сенсора
уменьшается с увеличением площади сенсора. Влияние условий механического за-
крепления проявляется лишь в количественном изменении 1
sV (штриховые линии
,а б ). Если пьезослои выполняют роль актуатора, то эталонный показатель 1
aV
(сплошные линии ,а б ), компенсирующий единичную нагрузку, согласно (30) совпа-
дает с коэффициентом управления ak . Он достигает минимальных значений для шар-
нирно опертой пластинки при 00,8 1,0x (кривая а ), а при жестком защемлении –
в области 00,54 0,74x (кривая б ). Актуатор с такими оптимальными параметра-
ми является наиболее эффективным, так как компенсирует действие механической
нагрузки минимальной разностью электрических потенциалов, подведенных в проти-
вофазе к его электродам. Расчет компенсационного электрического потенциала aV
оптимального актуатора производим по формуле (30), если известна амплитуда меха-
нического нагружения. Если нагрузка неизвестна, то пьезослои такого актуатора не-
обходимо использовать в качестве сенсора, на его разомкнутых электродах замерить
величину потенциала sV , согласно (33) вычислить коэффициент asG и затем по фор-
муле (32) вычислить компенсационный потенциал aV , который следует подвести в
противофазе к электродам пьезослоев, выполняющих уже роль актуатора.
Ниже графики расчетов для пластинок с пьезосенсором (или актуатором) относи-
тельного радиуса 0 0,8x при шарнирном опирании края показаны на рис. 2, а – рис.
6, а , а с радиусом 0 0,7x в случае жесткого защемления ее контура – на рис. 2, б –
рис. 6, б .
0
0.4
450 490 530
w~
, c-1
1
2
3
4
960 1040 1120
0
0.2
0.4
w~
, c-1
4
5
6
а б
Рис. 2
На рис. 2, 3, 4 для механически нагруженной пластинки с пьезосенсором показаны
частотные зависимости отнесенной к толщине пассивного слоя амплитуды максималь-
ного прогиба 0( 0) /w w x h , максимальной температуры диссипативного разогрева
mT и абсолютной величины электрического потенциала | |sV сенсора, соответственно.
Кривые 1 – 6 получены для амплитуд: 0 (0,05; 0,1; 0,15; 0,2; 0,3;0,4)q 410 Па , соот-
ветсвенно. При этом электрическая нагрузка 0AV . Штриховые кривые получены в
результате решения линейной задачи, а сплошные – при учете геометрической нели-
нейности.
109
0
80
160
450 490 530
Tm,oC
, c-1
1
2
3
4
960 1040 1120
0
80
160
240
, c-1
Tm,oC
4
5
6
а б
Рис. 3
450 490 530
Vs10-2, B
, c-10
0.2
0.4
1
2
4
3
960 1040 1120
0
0.2
, c-1
Vs10-2, B
4
5
6
а б
Рис. 4
Из рис. 2 – 4 видно, что влияние учета геометрической нелинейности становится
заметным для таких амплитуд возбуждения колебаний, при которых максимальные
значения относительных прогибов 0,2w . Оно сопровождается смещением резо-
нансной частоты в сторону увеличения и формированием частотных характеристик
жесткого типа для прогибов, температуры виброразогрева и показателя сенсора. Для
жестко защемленной пластинки влияние геометрической нелинейности проявляется
при более высоком уровне нагружения, чем при шарнирном опирании ее края. Анализ
кривых на рис. 2 – 4 показывает, что величины амплитуд относительных прогибов и
показателя сенсора остаются практически равными на линейном и нелинейном резо-
нансах. Это может быть обоснованием, чтобы при неизвестной нагрузке в расчетах
коэффициента обратной связи asG и компенсирующего показателя актуатора aV со-
гласно показателя сенсора sV ограничиться линейной постановкой задачи
На рис. 5, 6 показаны частотные зависимости максимальных значений амплитуды
относительных прогибов w и установившейся ( 0,5) температуры разогрева mT
пластинки при подводе к электродам актуатора электрического потенциала aV , ком-
пенсирующего механическую нагрузку 4
0 0,15 10 Паq при шарнирном опирании
110
0
0.4
450 490 530
w~
, c-1
1
1,2 2
~w
0.004
0
960 1040 1120
0
0.2
w~
, c-1
1,2
1,2
w~
0.002
0
а б
Рис. 5
0
80
450 490 530
Tm,oC
, c-1
1, 2
1, 2
960 1040 1120
0
80
, c-1
Tm,oC
1, 2
1, 2
а б
Рис. 6
края и 4
0 0,30 10 Паq при жестком защемлении. Кривая 1 соответствует значению
q
a aV V , рассчитанном по формуле (30), если пьезослои являются актуатором, а кри-
вые 2 – значению s
a aV V , рассчитанном по формуле (32), если пьезослои выполняют
роль сенсора. При этом штриховые линии рассчитаны согласно решению линейной
задачи, а сплошные – при учете геометрической нелинейности. В случае шарнирного
опирания пластинки 58,2q
aV В ; 58,48s
aV В (рис. 5, а, 6, а), а при жестком защемле-
нии – 98,1q
aV В ; 97,91s
aV В (рис. 5, б, 6, б). Штрих-пунктирными кривыми 1 и 2
характеризуются частотные зависимости амплитуды прогибов w и установившейся
температуры диссипативного разогрева mT при совместном воздействии на пластинку
механической и электрической нагрузок 0 ( )q
aq V и 0 ( )s
aq V , соответственно.
Видно, что амплитуда прогибов активно демпфированной пластинки уменьшается
более, чем на два порядка по сравнению с не демпфированной, а температура вибро-
разогрева равна начальной. Влияние геометрической нелинейности не проявляется.
Отметим, что кривые 1, 2 в масштабе рис. 5, 6 практически совпадают ввиду близости
числовых значений величин q
aV и s
aV . Последнее является подтверждением приемле-
мости основанного на решении линейной задачи расчета компенсирующего показате-
ля актуатора aV по формуле (33) с учетом показателя сенсора sV при неизвестном
значении нагрузки, возбуждающей колебания.
Заключение.
Дана приближенная постановка задачи вязкоупругости о вынужденных осесим-
метричных колебаниях и диссипативном разогреве гибкой круглой пластинки с пье-
зоактивными слоями, выполняющими роль сенсора или актуатора. С использованием
111
численных методов исследовано влияние геометрической нелинейности, граничных
условий, площади пьезоактивной зоны сенсора и актуатора на частотные зависимости
максимальных значений амплитуды прогибов, температуры виброразогрева и показа-
теля сенсора при действии поперечного равномерного моногармонического давления.
Показано, что в расчетах электрического потенциала сенсора и компенсирующего
показателя актуатора для демпфирования вынужденных колебаний гибкой пластинки
можно ограничиться линейной постановкой задачи. Изменение условий закрепления
пластинки и геометрических размеров сенсора и актуатора приводит к количествен-
ному и качественному перераспределению их электрических показателелей. В расче-
тах показателя актуатора по показателю сенсора при неизвестной нагрузке предпоч-
тительно площадь сенсора выбирать равной площади актуатора.
Р Е ЗЮМ Е . Розв'язано задачу про вимушені осесиметричні коливання і дисипативний розігрів
шарнірно і жорстко закріплених круглих гнучких пластинок з п'єзоактивними шарами, які виконують
роль сенсора або актуатора. Розглянуто питання механічного і електричного збуджень коливань,
можливість демпфування механічних коливань за допомогою подачі відповідної різниці електричних
потенціалів на електроди актуаторів. Досліджено особливості впливу геометричної нелінійності на
частотні залежності прогинів, температури вібророзігріву та електричний показник сенсора при
електромеханічному гармонічному навантаженні в області основного резонансу згинної моди коли-
вань пластинки.
1. Болкисев А.М., Карлаш В.Л., Шульга Н.А. О зависимости свойств пьезокерамических материалов
от температуры // Прикл. механика. – 1984. – 20, № 7. – С. 70 – 74.
2. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. – М.: Наука, 1972. – 432с.
3. Григоренко Я.М., Беспалова Е.И., Василенко А.Т. и др. Численное решение краевых задач статики
ортотропных оболочек вращения на ЭВМ типа М-220. – К.: Наук. думка, 1971. – 152с.
4. Григоренко Я.М., Мукоєд А.П. Розв'язання лінійних і нелінійних задач теорії оболонок на ЕОМ. –
К.: Либідь, 1992. – 148с.
5. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. – М.: Наука,
1970. – 280с.
6. Карнаухов В.Г., Карнаухова Т.В. Демпфирование резонансных изгибных колебаний гибкой шар-
нирно опертой вязкоупругой круглой пластины при совместном использовании сенсоров и ак-
туаторов // Теорет. и прикл. механика. – 2009. – Вып. 46. – С.125 – 131.
7. Карнаухов В.Г., Карнаухова Т.В., Зражевская В.Ф. Активное демпфирование резонансных изгиб-
ных колебаний гибкой шарнирно опертой круглой пластины при помощи пьезоактуаторов //
Теорет. и прикл. механика. – 2009. – Вып. 45. – С.114 – 123.
8. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Связанные задачи теории вязкоупругих пластин и оболочек. – К.:
Наук. думка, 1986. – 222с.
9. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Механика связанных полей в элементах конструкций. Электротер-
мовязкоупругость. Т. 4. – К.: Наук. думка, 1988. – 320с.
10. Карнаухов В.Г.,Козлов А.В., Пятецкая Е.В. Демпфирование колебаний вязкоупругих пластин при
помощи распределенных пьезоэлектрических включений // Акуст. вестник. – 2002. – 5, № 4. –
С. 15 – 32.
11. Карнаухов В.Г.,Козлов В.І, Карнаухова Т.В. Моделювання вимушених резонансних коливань і
дисипативного розігріву гнучких в'язкопружних пластин із розподіленими актуаторами // Фіз.-
матем. моделювання та інформаційні технології. – 2008. – Вип. 8. – С. 48 – 67.
12. Карнаухов В.Г., Михайленко В.В. Нелинейная термомеханика пьезоэлектрических неупругих тел
при моногармоническом нагружении. – Житомир: ЖТТУ, 2005. – 428с.
13. Киричок І.Ф., П'ятецька О.В., Карнаухов М.В. Згинні коливання та дисипативний рoзігрів кільцевої
в'зкопружної пластинки з п'єзоелектричними актуаторами при електромеханічному моногармо-
нічному навантаженні // Вісн. Київ. ун-ту. Сер. фіз.-матем. науки. – 2006. – Вип. 2. – С. 84 – 92.
14. Матвеев В.В. Демпфирование колебаний деформируемых тел. – К.: Наук. думка, 1985. – 264с.
15. Механика композитных материалов и элементов конструкций: В 3-х т. / Под. ред. Гузя А.Н. – К.:
Наук. думка, 1982 – 368 c.; 1983 – 464 c.; 1983 – 263 с.
112
16. Нашиф А., Джоунс Д., Хендерсон Дж. Демпфирование колебаний. – М.: Мир, 1988. – 488 с.
17. Стивенс К. Поперечные колебания вязкоупругого стержня с начальной кривизной под действием
периодической осевой силы // Прикл. механика. Сер. Е. Тр. Амер. об-ва инженеров-механиков. –
1969. – № 4. – С. 168 – 173.
18. Karnaukhova T.V. Active Damping of Vibrations of a Plate with Rigid Fixing of Ends // J. Appl. Mech.
– 2010. – 46, №6. – P. 683 – 686.
19. Karnaukhova T.V., Piatetskaya E.V. The Basic Relatioships of theTheory of Themoviscoelastic Plates
with Distributed Sensors // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 6. – P. 660 – 669.
20. Kirichok I.F. Resonance Vibrations and Heating of Electromechanically Loaded Ring Plates with Pie-
zoactuators with Allowance for the Shear Deformation // J. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 2. – P. 215 – 224.
21. Kirichok I. F. Axisymmetric Resonance Vibrations and Heating the Shells of Revolution and Their Con-
trol by Piezoelectric Sensor and Actuator // J. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 8. – P. 890 – 901.
22. Kirichok I.F. Forced Resonance Vibrations and Dissipative Heating of Flexible Circular Plate with Pie-
zoactuators // J. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 5. – P. 583 – 591.
23. Kirichok I.F., Karnaukhova T.V. Forced Axisymmetric Vibrations and Heating of Circular Thermovis-
coelastic Plate and Their Control by Piezoceramic Sensors and Actuators // J. Appl. Mech. – 2010. –
46, N 4. – P. 429 – 437.
24. Blanguernon A., Lene F., Bernadou M. Active control of a beam using a piezoceramic element // Smart
Mater. Struct. – 1999. – 8. – P 116 – 124.
25. Brennan M., Elliott S., Pinnington R. The dynamic coupling between piezoceramic actuators and beam //
JASA. – 1997. – 102, N 4. – P. 1931 – 1942.
26. Tzou H.S., Anderson G.L. (Eds.) Intelligent structural Systems. – Dordrecht: Kluwer Academic Pub-
lisher, 1992. – 453 p.
27. Tzou H.S. Piezoelectric Shells (Distributed Sensing and Control of Continua). – Dordrecht: Kluwer Aca-
demic Publisher, 1993. – 400 p.
28. Zhuk Ya.A., Guz I.A. Active Damping the Piezoactive Layers with Allowance for Geometrical Nonli-
nearities // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 1. – P. 94 – 108.
Поступила 16.12.2010 Утверждена в печать 06.06.2013
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87919 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:40:12Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Киричок, И.Ф. 2015-10-29T19:20:31Z 2015-10-29T19:20:31Z 2013 Вынужденные моногармонические колебания и виброразогрев вязкоупругих гибких круглых пластинок с пьезослоями / И.Ф. Киричок // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 100-112. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87919 Розв'язано задачу про вимушені осесиметричні коливання і дисипативний розігрів шарнірно і жорстко закріплених круглих гнучких пластинок з п'єзоактивними шарами, які виконують роль сенсора або актуатора. Розглянуто питання механічного і електричного збуджень коливань, можливість демпфування механічних коливань за допомогою подачі відповідної різниці електричних потенціалів на електроди актуаторів. Досліджено особливості впливу геометричної нелінійності на частотні залежності прогинів, температури вібророзігріву та електричний показник сенсора при електромеханічному гармонічному навантаженні в області основного резонансу згинної моди коливань пластинки. The coupled problem on forced axially symmetric vibrations and dissipative heating of the viscoelastic circular flexibility rigidly clamped and hingedly fixed plate with piezoactive sensors and actuators. Different aspects of mechanical and electric exitation of vibrations as well as the possibility of mechanically induced vibrations suppression by means of the voltage application at the piezolayers are studied. The features of effect of the geometric nonlinearity on the freguency dependence flexure, dissipative heating and electrical index sensor is also electromechanical monoharmonic loating. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Вынужденные моногармонические колебания и виброразогрев вязкоупругих гибких круглых пластинок с пьезослоями Forced Monoharmonic Vibrations and Vibro-Heating of Viscoelastic Flexible Circular Plates with Piezolayers Article published earlier |
| spellingShingle | Вынужденные моногармонические колебания и виброразогрев вязкоупругих гибких круглых пластинок с пьезослоями Киричок, И.Ф. |
| title | Вынужденные моногармонические колебания и виброразогрев вязкоупругих гибких круглых пластинок с пьезослоями |
| title_alt | Forced Monoharmonic Vibrations and Vibro-Heating of Viscoelastic Flexible Circular Plates with Piezolayers |
| title_full | Вынужденные моногармонические колебания и виброразогрев вязкоупругих гибких круглых пластинок с пьезослоями |
| title_fullStr | Вынужденные моногармонические колебания и виброразогрев вязкоупругих гибких круглых пластинок с пьезослоями |
| title_full_unstemmed | Вынужденные моногармонические колебания и виброразогрев вязкоупругих гибких круглых пластинок с пьезослоями |
| title_short | Вынужденные моногармонические колебания и виброразогрев вязкоупругих гибких круглых пластинок с пьезослоями |
| title_sort | вынужденные моногармонические колебания и виброразогрев вязкоупругих гибких круглых пластинок с пьезослоями |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87919 |
| work_keys_str_mv | AT kiričokif vynuždennyemonogarmoničeskiekolebaniâivibrorazogrevvâzkouprugihgibkihkruglyhplastinokspʹezosloâmi AT kiričokif forcedmonoharmonicvibrationsandvibroheatingofviscoelasticflexiblecircularplateswithpiezolayers |