Бифуркации автоколебаний колесного модуля в окрестности прямолинейного режима движения
Проведено аналіз впливу характерних параметрів системи на область коливальної нестійкості колісного модуля; розглянуто вплив точності апроксимації нелінійної залежності сили відведення і п'яткового моменту на характер автоколивань, побудовано біфуркаційну множину, що розділяє площину параметрів...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87920 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Бифуркации автоколебаний колесного модуля в окрестности прямолинейного режима движения / Н.А. Вельмагина // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 113-119. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87920 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Вельмагина, Н.А. 2015-10-29T19:21:29Z 2015-10-29T19:21:29Z 2013 Бифуркации автоколебаний колесного модуля в окрестности прямолинейного режима движения / Н.А. Вельмагина // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 113-119. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87920 Проведено аналіз впливу характерних параметрів системи на область коливальної нестійкості колісного модуля; розглянуто вплив точності апроксимації нелінійної залежності сили відведення і п'яткового моменту на характер автоколивань, побудовано біфуркаційну множину, що розділяє площину параметрів на області з різним числом граничних циклів. An analysis of effect of characteristic parameters of the system, describing the wheel module, on area of oscillatory instability is carried out. An influence of accuracy of approximation of nonlinear dependence of the averting force and the heel moment on the character of self-vibrations is considered. A bifurcation set is built, which separates the plane of parameters on the areas with differing numbers of limit cycles. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Бифуркации автоколебаний колесного модуля в окрестности прямолинейного режима движения Bifurcations of Self-Vibrations of a Wheel Module at Neighbourhood of Rectilinear Regime of Motion Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Бифуркации автоколебаний колесного модуля в окрестности прямолинейного режима движения |
| spellingShingle |
Бифуркации автоколебаний колесного модуля в окрестности прямолинейного режима движения Вельмагина, Н.А. |
| title_short |
Бифуркации автоколебаний колесного модуля в окрестности прямолинейного режима движения |
| title_full |
Бифуркации автоколебаний колесного модуля в окрестности прямолинейного режима движения |
| title_fullStr |
Бифуркации автоколебаний колесного модуля в окрестности прямолинейного режима движения |
| title_full_unstemmed |
Бифуркации автоколебаний колесного модуля в окрестности прямолинейного режима движения |
| title_sort |
бифуркации автоколебаний колесного модуля в окрестности прямолинейного режима движения |
| author |
Вельмагина, Н.А. |
| author_facet |
Вельмагина, Н.А. |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Прикладная механика |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Bifurcations of Self-Vibrations of a Wheel Module at Neighbourhood of Rectilinear Regime of Motion |
| description |
Проведено аналіз впливу характерних параметрів системи на область коливальної нестійкості колісного модуля; розглянуто вплив точності апроксимації нелінійної залежності сили відведення і п'яткового моменту на характер автоколивань, побудовано біфуркаційну множину, що розділяє площину параметрів на області з різним числом граничних циклів.
An analysis of effect of characteristic parameters of the system, describing the wheel module, on area of oscillatory instability is carried out. An influence of accuracy of approximation of nonlinear dependence of the averting force and the heel moment on the character of self-vibrations is considered. A bifurcation set is built, which separates the plane of parameters on the areas with differing numbers of limit cycles.
|
| issn |
0032-8243 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87920 |
| citation_txt |
Бифуркации автоколебаний колесного модуля в окрестности прямолинейного режима движения / Н.А. Вельмагина // Прикладная механика. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 113-119. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT velʹmaginana bifurkaciiavtokolebaniikolesnogomodulâvokrestnostiprâmolineinogorežimadviženiâ AT velʹmaginana bifurcationsofselfvibrationsofawheelmoduleatneighbourhoodofrectilinearregimeofmotion |
| first_indexed |
2025-11-24T05:56:47Z |
| last_indexed |
2025-11-24T05:56:47Z |
| _version_ |
1850842953249980416 |
| fulltext |
2013 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 49, № 6
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2013, 49, №6 113
Н .А . В е л ь м а г и н а
БИФУРКАЦИИ АВТОКОЛЕБАНИЙ КОЛЕСНОГО МОДУЛЯ
В ОКРЕСТНОСТИ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО РЕЖИМА ДВИЖЕНИЯ
Институт прикладной математики и механики НАН Украины,
ул. Р. Люксембург, 74, 83114 Донецк, Украина,
е-mail: mtt@iamm.ac.donetsk.ua
Abstract. An analysis of effect of characteristic parameters of the system, describing
the wheel module, on area of oscillatory instability is carried out. An influence of accuracy
of approximation of nonlinear dependence of the averting force and the heel moment on the
character of self-vibrations is considered. A bifurcation set is built, which separates the
plane of parameters on the areas with differing numbers of limit cycles.
Key words: wheel module, self-vibrations, oscillatory instability, averting force, heel
moment, limit cycle.
Введение.
Явление шимми – это интенсивные самовозбуждающиеся колебания катящихся
колес, проявляющиеся в виде крутильных движений колес в горизонтальной плоско-
сти (их верчения), которые сопровождаются другими движениями из продольной вер-
тикальной плоскости [5, 6].
Автоколебания элементов шасси, в первую очередь, связаны с наличием упругого
пневматика, который при определенных условиях «трансформирует» часть подводи-
мой к транспортному средству энергии в энергию крутильных колебаний колес. Ана-
лиз условий возникновения автоколебаний был предметом исследования многих ав-
торов как представителей теоретического направления [1, 9 – 13], так и инженеров-
исследователей авиационного и автомобильного транспорта [3, 5, 7, 14 – 19]. Послед-
ние публикации [7, 8] инициированы разработкой более точных моделей взаимодей-
ствия упругого колеса с опорной поверхностью.
Целью данной работы является апробация известного аналитического метода
приближенного анализа автоколебаний к задаче шимми передней стойки шасси. В
работе принята математическая модель [19], описывающая колебания упругого колеса
относительно вертикальной абсолютно жесткой стойки с учетом теории неустано-
вившегося увода. Характеристики взаимодействия колеса с опорной поверхностью –
сила увода и пяточный момент принимаем в виде известных нелинейных зависимо-
стей (функций угла увода), полученных эмпирически. В работе [3] предлагаемый ме-
тод исследования реализован в постановке, не учитывающей наличие пяточного мо-
мента, влиянием которого иногда пренебрегают. Кроме того, в данной работе пред-
ложен подход к построению бифуркационного множества, разбивающего плоскость
конструктивных параметров системы на области с различным числом предельных
циклов, что позволяет более полно представить картину автоколебаний при измене-
нии конструктивных параметров системы. Колесная сцепка (колесо на рояльном под-
весе) может быть прототипом как управляемого колесного модуля, так и самоориен-
тируемых колесных опор различных транспортных средств.
114
1. Постановка задачи. Основные уравнения.
Уравнения возмущенного движения передней стойки в данной работе представ-
лены для случая вертикальной стойки. Колесная сцепка имеет возможность откло-
няться от своего невозмущенного положения (ψ = 0), в этом случае возникает восста-
навливающий момент, пропорциональный углу отклонения (c – коэффициент кру-
тильной жесткости); (пяточный момент, момент боковой силы и момент демпфирова-
ния – пропорциональныe скорости изменения угла поворота ). Расстояние от цен-
тра колеса до оси вращения колесной сцепки l; вынос колеса l > 0, если точка сцепки
O располагается впереди точки контакта колеса с опорной поверхностью, а l < 0 – в
противном случае.
Основные уравнения имеют вид
( ) ( ) 0F c k l Y M ;
0 V V l . (1)
Первое уравнение системы (1) отвечает соотношению, принятому в теории неус-
тановившегося увода (здесь δ – угол увода колеса); V – скорость невозмущенного дви-
жения; σ – параметр релаксации. Во втором уравнении системы (1) момент силы уво-
да относительно оси стойки будет рассмотрен приближенно (учтено различное коли-
чество членов разложения нелинейной зависимости силы увода по углу увода); кон-
структивные параметры системы: момент инерции относительно оси вращения стой-
ки F; параметры c, k определяют жесткость и демпфирование при колебаниях колес-
ной сцепки относительно вертикальной оси вращения, проходящей через точку сцеп-
ки O.
2. Результаты анализа условий устойчивости по линейному приближению.
Для построения областей устойчивости в плоскости различных пар параметров
системы использован критерий Рауса – Гурвица. В случае учета пяточного момента
граница области колебательной неустойчивости задаем соотношением (2) (условие
обращения в нуль предпоследнего определителя Гурвица), в котором участвует при-
веденный коэффициент сопротивления уводу 1 1 /C C A l , учитывающий влияние
пяточного момента (формально соответствует увеличению номинального коэффици-
ента сопротивления уводу)
2 2 2 2 2
1 1 1( ) ( ) 0.V F k V F l C F l C k k l C k c (2)
Далее рассмотрены характерные особенности границы области устойчивости в
пространстве характерных конструктивных параметров системы. Наличие положи-
тельных корней уравнения (2) относительно параметра V свидетельствует о наличии
интервала колебательной неустойчивости в диапазоне от minV до maxV ( minV , maxV –
корни уравнения). Такой интервал может существовать, если коэффициент при V в
(2) меньше нуля (необходимое условие наличия интервала колебательной неустойчи-
вости). При 0l или l интервал колебательной неустойчивости отсутствует;
случай достаточно большого отрицательного выноса (вынос вперед) приводит к ди-
вергентной неустойчивости [3].
При l<σ колебательная неустойчивость может реализовываться в интервале
1 2l l l , где 1l и 2l корни квадратного уравнения 2 2
1 1 0F l C F l C k , грани-
цы интервала приближенно могут быть заданы соотношениями 2
1 1/l k F C и 2l .
В случае, когда величина 1С на несколько порядков превышает все остальные па-
раметры системы (что действительно имеет место в силу физического смысла, расс-
матриваемых параметров, исключение составляет параметр крутильной жесткости,
115
величина которого теоретически может иметь такой же порядок), интервал колебате-
льной неустойчивости может быть приближенно получен как решение квадратного
уравнения 2 2
1 1 0V F k V F l C k l C для любого значения выноса из интервала
1 2l l l . Решения такого уравнения можно аппроксимировать выражениями, из ко-
торых следует расширение интервала неустойчивости при увеличении величины 1С
(чем меньше порядок величины выноса, тем точнее оценка границ интервала колеба-
тельной неустойчивости): min /V k l F , max 1 /V l C k .
При возрастании параметра крутильной жесткости с (до порядка величины 1С )
интервал колебательной неустойчивости будет сужаться, что следует из анализа ура-
внения
2 2 2
1 1 0.V F k V F l C k l C k c
Таким образом, при фиксированных значениях параметров системы, увеличение
вертикальной нагрузки на колесный модуль может привести к колебательной неус-
тойчивости (если при меньших нагрузках система была устойчива, так как 1 1С N c ).
Эти результаты согласуются с выводами работы [9] о возможности стабилизации ко-
лебательной неустойчивости при больших скоростях движения за счет увеличения
положительного выноса (вынос назад) колесной сцепки.
Таким образом, характерной областью колебательной неустойчивости модели яв-
ляется интервал от minV до maxV , где minV , maxV – корни уравнения (2), размеры кото-
рого увеличиваются при росте параметра 1С .
При minV V линейное приближение теряет устойчивость – пара собственных
значений проходит через мнимую ось. Тогда согласно теореме Андронова – Хопфа в
системе реализуется замкнутая фазовая траектория (существует предельный цикл при
minV V или при minV V ). Условия устойчивости предельного цикла могут быть
определены косвенно – при minV V имеем неустойчивый предельный цикл, а при
minV V – устойчивый. Аналогичные бифуркации предельного цикла происходят в
системе при maxV V .
Характер (опасный – безопасный) границы области устойчивости в смысле Н.Н.
Баутина [2], определяемый первым ляпуновским коэффициентом, носит локальный
характер (справедлив в малой окрестности критического значения параметра V ).
Ниже представлен подход, позволяющий проанализировать явление автоколебаний во
всем интервале колебательной неустойчивости [4].
3. Анализ автоколебаний и оценка амплитуд автоколебаний.
Предполагаем, что периодическое решение системы (1) в моменты наибольшего
отклонения от положения равновесия и в моменты, когда отклонения равны нулю,
изменяется по гармоническому закону, имея некоторое запаздывание по фазе
0sin ; sin( )a t p t (здесь а – амплитуда; φ – запаздывание фазы). В ха-
рактерные моменты времени фазовые переменные и их производные принимают зна-
чения
2/ 2 : ; 0; ;t a a
2
0 0 0P cos ; sin ; cos ;P P
0 : 0; ; 0; t a
2
0 0 0 sin ; cos ; sin .P P P
116
В этом случае параметры автоколебаний ( 0; ; ;a p ) определяются из следующей
системы конечных уравнений:
0 0sin( ) cos( ) 0 ;a V p l p
0 0cos( ) sin( ) 0;V a V p l p
2
0 0 0sin( ) sin( ) cos( ) (0) (0) 0;F p c p k p lY М
2
0 0 0cos( ) cos( ) sin( ) ( ) ( ) 0.F p c p k p l Y a М а (3)
После исключения неизвестных p0, φ из первых двух уравнений системы (3) полу-
чим соотношения, которые определяет усредненную частоту периодического реше-
ния, т. е.
2
2 ( )
( )
V k V c l
FV l k l
(4)
и его амплитуду
3 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 0F a kV F V Y a l F V Y a l k a V V Y a k l V a c k , (5)
где ( ) ( ) ( ) /Y a Y a M a l нелинейная функция, учитывающая наличие пяточного
момента. Уравнение (4) имеет физический смысл лишь в случае неотрицательной
правой части, это возможно только при выполнении условия / ( )V k l F l .
Проведем оценку амплитуды автоколебаний для случая, когда во втором уравне-
нии системы (1) ( ) 0M , а сила увода представлена в виде монотонной зависимости
2
1 1( ) / 1 ( )Y C C N . Тогда уравнение (5) примет вид
3 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 0F a kV F V Y a l F V Y a l k a V V Y a k l V a c k . (6)
Теоретический интерес представляет оценка амплитуд автоколебаний в случае
различной точности аппроксимации сил увода (учет различного числа членов разло-
жения в ряд Тейлора зависимости ( )Y a ).
На рис. 1 показан график зависимости амплитуды угла увода от величины про-
дольной скорости: кривая 1 – сила увода аппроксимирована линейным и кубическим
членами; кривая 2 – учитываются члены разложения до пятой степени включительно;
кривая 3 – до членов седьмой степени включительно (результат подстановки числен-
ных значений следующего набора параметров: c1=8; σ=0,18м; l=0,05м; F =1,8кгм2;
N=490Н; k = 2,254Нмс; c = 392Нм).
При данном наборе численных зна-
чений параметров для случаев 1 – 3 не-
возмущенное движение системы неус-
тойчиво в интервале скоростей от 0,78
м/с до 10,3 м/с, граница области устой-
чивости является безопасной – соответ-
ствует рождению устойчивого предель-
ного цикла на левой границе, на правой
границе – его исчезновению. Результат,
представленный на кривой 2 (рис. 1),
интересен с точки зрения существования
бифуркационного множества (бифурка-
ционным значениям параметров соответ-
Рис. 1
117
ствует рождение или слияние двух автоколебательных режимов, один из которых ус-
тойчивый, другой неустойчивый).
Как следствие, в области устойчивости при V > 10,3 м/с появляется неустойчивый
предельный цикл, ограничивающий область притяжения невозмущенного движения.
Бифуркационные значения параметров могут быть получены из системы
2 2 2 3 2 2 2( ) ( ) ( );F V l Y a F V lY a F kV V c k k V
2 2 2 3 2 2 2( ) ( ) ( )F V l F V l Y a F k V V c k k V a (7)
на основе метода продолжения по двум параметрам (например l, V), начальным усло-
виям соответствовала бы точка поворота на амплитудной кривой.
Однако, в данном частном случае бифуркационное множество может быть полу-
чено проще – как дискриминант полинома, представляющего амплитудное уравнение
(6) (учитывались члены разложения функции ( )Y a до пятой степени малости вклю-
чительно). Определяющий полином имеет вид
4 2
4 2 0 0а а , (8)
где
5 5 2 5 2
4 1 1 13 3 3F V C l C k l F V C l ;
3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2
2 1 1 14 4 4F V C l N F V C l N C k l N ;
2 2 2 2 2 4 4
0 1 1 1(8 8 8 8 8 8 )F k V F V C l k V F V C l c k C k l N .
Дискриминантом уравнения (8) является выражение
3 2 2 2 2 2 2 2 3
1 1 1(6 5 5 6 5 6 ) (F k V F V C l F V C l k V V C k l V c k F V k (9)
2 2 2 2 2 2
1 1 1 ) 0F V C l F V C l k V V C k l V c k .
Соотношение (9) при выбранных численных значениях параметров системы оп-
ределяет бифуркационное множество (рис. 2), которое делит плоскость параметров (l,
V) на области с различным числом автоколебательных режимов: одним неустойчивым
(внешняя окрестность внешней замкнутой кривой); двумя – устойчивым и неустойчи-
вым (область между замкнутыми кривы-
ми); во внутренней области автоколеба-
ния отсутствуют.
Из рис. 2 видно, что для амплитуд-
ной кривой, соответствующей значению
выноса l=0,05 м, пара автоколебательных
режимов существует в интервале скоро-
сти от 8 м/с до 10,2 м/с (левый интервал
не рассматривается из-за его малости).
Проектируя характерные точки ам-
плитудной кривой на бифуркационное
множество, получим точки пересечения,
которые имеют одну и ту же ординату
l=0,05 м, что подтверждает корректность
полученного бифуркационного множест-
ва (все точки бифуркационного множе-
ства проходятся при изменении парамет-
ра выноса от 0,02 м до 0,145 м).
Рис. 2
118
4. Оценка амплитуд автоколебаний с учетом пяточных моментов.
Проведем оценку амплитуды автоколебаний для случая, когда динамическая сис-
тема (1) учитывает наличие пяточного момента. Пяточный момент представляет со-
бой момент силы увода относительно проекции центра оси колеса на опорную по-
верхность. Рассмотрен случай как линейной зависимости 1М A , так и исходной
нелинейной зависимости пяточного момента 4 2
2 / ( 1)M A B C ; сила увода в
обоих случаях представлена в виде нелинейной монотонной зависимости
2
1 1( ) / 1 ( )Y C C N .
На рис. 3 показаны графики зависимости амплитуды угла увода от величины про-
дольной скорости: кривые 1 – динамическая система (1) учитывает наличие пяточного
момента 1М по линейному приближению; 2 – пяточный момент 2М представлен в
виде нелинейной зависимости; кривая 3 – пяточный момент отсутствует (результат
подстановки численных значений сле-
дующего набора параметров: c1=8;
σ=0,18 м; l=0,1м; Fzz =1,8кгм2; N = 490Н;
k = 2,254Нмс; c = 392Нм).
Таким образом, учет пяточного мо-
мента приводит к значительному расши-
рению области неустойчивости, что и
было показано при анализе условий ус-
тойчивости по линейному приближению.
При этом, как видно из графиков
(рис. 3), амплитудная кривая при различ-
ных представлениях пяточного момента
практически не изменяется, т.е. при ана-
лизе автоколебаний достаточно учиты-
вать лишь линейную часть пяточного
момента.
В то же время следует указать на
возможное искажение картины наблю-
даемых автоколебаний (рис. 1) при приближенном представлении сил бокового увода.
Заключение.
Таким образом, в настоящей статье проведен анализ влияния характерных пара-
метров системы на область колебательной неустойчивости колесного модуля; рас-
смотрено влияние точности аппроксимации нелинейной зависимости силы увода и
пяточного момента на характер автоколебаний, построено бифуркационное множест-
во, разделяющее плоскость параметров на области с различным числом предельных
циклов.
Р Е ЗЮМЕ . Проведено аналіз впливу характерних параметрів системи на область коливаль-
ної нестійкості колісного модуля; розглянуто вплив точності апроксимації нелінійної залежності
сили відведення і п'яткового моменту на характер автоколивань, побудовано біфуркаційну множину,
що розділяє площину параметрів на області з різним числом граничних циклів.
1. Аронович Г.В. К теории шимми автомобиля и самолета // Прикл. математика и механика. – 1949. –
13, №5. – С. 477 – 488.
2. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. – М.: Наукa,
Главная редакция физ.-мат. лит., 1984. – 176 с.
Рис. 3
119
3. Вельмагина Н.А., Вербицкий В.Г. Анализ автоколебаний колесного модуля в прямолинейном ре-
жиме движения // Механика твердого тела. – 2011. – №41. – С. 100 – 108.
4. Вербицкий В.Г., Садков М.Я. Приближенный анализ автоколебательной системы // Доп. НАН
України. – 2001. – №10. – С.48 – 52.
5. Гоздек В.С. О влиянии различных параметров на устойчивость движения ориентирующихся колес
самолета // Тр. ЦАГИ. – 1964. – Вып. 917. – С. 1 – 30.
6. Гончаренко В. И. Каноническое описание системы управления в задаче о шимми колес шасси са-
молета // Прикл. механика. – 2011. – 47, №2. – С.129 – 142.
7. Журавлев В. Ф., Климов Д. М. О механизме явления шимми // Докл. АН РФ. – 2009. – 428, № 6. –
С. 761 – 764.
8. Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Теория явления шимми // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2010.
– № 3. – С. 22 – 29.
9. Келдыш М.В. Шимми переднего колеса трехколесного шасси. – Избранные труды. Механика. – М.:
Наука, 1985. – С. 491 – 530.
10. Лобас Л.Г. Автоколебания колеса на ориентирующейся стойке шасси с нелинейным демпфером //
Прикл. математика и механика. – 1981. – 45, № 4. – С.80 – 87.
11. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. – М.: Наука, 1967. – 520с.
12. Плахтиенко Н.П., Шифрин Б.М. Об устойчивости движения самолета по взлетно-посадочной
полосе при ветровой нагрузке // Прикл. механика. – 1999. – 35, №10. – C. 101 – 107.
13. Плахтиенко Н.П., Шифрин Б.М. Поперечные упруго-фрикционные вибрации движущегося по
взлетно-посадочной полосе самолета // Прикл. механика. – 2001. – 37, №5. – C.136 – 143.
14. Besselink J.M. Shimmy of aircraft main landing gears: PhD thesis. – Delft University of Technology,
2000. – 201p.
15. Mi-Seon Yi., Bae. Jae-Sung, Hwang. Jae-Hyuk. Non-linear shimmy analysis of a nose landing gear with
friction // J. Korean Soc. Aeronaut. & Space Scie. – 2011. – 39, N7. – P. 605 – 611.
16. Pacejka H.B. The wheel shimmy phenomenon: PhD thesis. – Delft University of Technology, Decem-
ber, 1966.
17. Schlippe B. von, Dietrich R. Das Flattern eines bepneuten Rades, Bericht 140 der Lilienthal Gesellschaft
(1941); English translation: NACA TM 1365. – 1954. – P.125 – 147.
18. Sharp R.S., Jones C.J. A comparison of tyre representations in a simple wheel shimmy problem // Vehi-
cle System Dynamics. – 1980. – 9.– P. 45 – 57.
19. Somieski G. Shimmy analysis of a simple aircraft nose landing gear model using different mathematical
methods // Aerospace Scie. and Technol. –1997. – 8. – P. 545 – 555.
Поступила 27.12.2011 Утверждена в печать 06.06.2013
|