Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. ІІ. Дифузна складова динамічної картини розсіяння
В межах узагальненої динамічної теорії розсіяння Рентґенових променів у недосконалих кристалах розглянуто динамічне дифузне розсіяння (ДР) від крупних дефектів у випадку геометрії дифракції за Ляве. Одержано аналітичні вирази для диференційної та проінтеґрованої за вертикальною розбіжністю інтенсивн...
Saved in:
| Published in: | Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87940 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. ІІ. Дифузна складова динамічної картини розсіяння / В.Б. Молодкін, С.Й. Оліховський, Б.В. Шелудченко, Є.Г. Лень, М.Т. Когут // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2008. — Т. 6, № 3. — С. 807—827. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859708744276901888 |
|---|---|
| author | Молодкін, В.Б. Оліховський, С.Й. Шелудченко, Б.В. Лень, Є.Г. Когут, М.Т. |
| author_facet | Молодкін, В.Б. Оліховський, С.Й. Шелудченко, Б.В. Лень, Є.Г. Когут, М.Т. |
| citation_txt | Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. ІІ. Дифузна складова динамічної картини розсіяння / В.Б. Молодкін, С.Й. Оліховський, Б.В. Шелудченко, Є.Г. Лень, М.Т. Когут // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2008. — Т. 6, № 3. — С. 807—827. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології |
| description | В межах узагальненої динамічної теорії розсіяння Рентґенових променів у недосконалих кристалах розглянуто динамічне дифузне розсіяння (ДР) від крупних дефектів у випадку геометрії дифракції за Ляве. Одержано аналітичні вирази для диференційної та проінтеґрованої за вертикальною розбіжністю інтенсивностей ДР у кристалі з однорідно розподіленими дефектами, які створюють навколо себе анізотропні поля зміщень атомів матриці. Для дефектів ріжних типів і розмірів побудовано карти розподілу інтенсивности ДР у просторі оберненої ґратниці й продемонстровано вплив на їх вигляд інтеґрування за вертикальною розбіжністю Рентґенових променів.
В рамках обобщённой динамической теории рассеяния рентгеновских лучей в несовершенных кристаллах рассмотрено динамическое диффузное рассеяние (ДР) от крупных дефектов в случае геометрии дифракции по Лауэ. Получены аналитические выражения для дифференциальной и проинтегрированной по вертикальной расходимости интенсивностей ДР в кристалле с однородно распределёнными дефектами, которые создают вокруг себя анизотропные поля смещений атомов матрицы. Для дефектов разных типов и размеров построены карты распределения интенсивности ДР в пространстве обратной решетки и продемонстрировано влияние на их вид интегрирования по вертикальной расходимости рентгеновских лучей.
Within the framework of the generalized dynamical theory of x-ray scattering from imperfect crystals, the dynamical diffuse scattering (DS) by large defects is considered in the case of Laue diffraction geometry. Analytical expressions for DS intensities, which are differential or integrated over the vertical divergence, are obtained for crystals containing homogenously distributed defects, which create around themselves the anisotropic displacement fields of atoms in a matrix. For defects of various types and sizes, the maps of DS intensity distributions in the reciprocal lattice space are plotted, and the influence of the integration over vertical divergence of x-rays on their shape is demonstrated.
|
| first_indexed | 2025-12-01T04:32:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
807
PACS numbers: 07.85.Jy, 61.05.cc, 61.05.cf, 61.05.cp, 61.72.Dd, 61.72.J-, 61.72.Lk
Анізотропний модель динамічної трикристальної
Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних
виробів нанотехнологій. ІІ. Дифузна складова динамічної
картини розсіяння
В. Б. Молодкін, С. Й. Оліховський, Б. В. Шелудченко, Є. Г. Лень,
М. Т. Когут
Інститут металофізики ім. Г. В. Курдюмова НАН України,
бульв. Акад. Вернадського, 36,
03680, МСП, Київ-142, Україна
В межах узагальненої динамічної теорії розсіяння Рентґенових променів у
недосконалих кристалах розглянуто динамічне дифузне розсіяння (ДР) від
крупних дефектів у випадку геометрії дифракції за Ляве. Одержано аналі-
тичні вирази для диференційної та проінтеґрованої за вертикальною роз-
біжністю інтенсивностей ДР у кристалі з однорідно розподіленими дефек-
тами, які створюють навколо себе анізотропні поля зміщень атомів матри-
ці. Для дефектів ріжних типів і розмірів побудовано карти розподілу інтен-
сивности ДР у просторі оберненої ґратниці й продемонстровано вплив на їх
вигляд інтеґрування за вертикальною розбіжністю Рентґенових променів.
В рамках обобщённой динамической теории рассеяния рентгеновских лу-
чей в несовершенных кристаллах рассмотрено динамическое диффузное
рассеяние (ДР) от крупных дефектов в случае геометрии дифракции по Ла-
уэ. Получены аналитические выражения для дифференциальной и проин-
тегрированной по вертикальной расходимости интенсивностей ДР в кри-
сталле с однородно распределёнными дефектами, которые создают вокруг
себя анизотропные поля смещений атомов матрицы. Для дефектов разных
типов и размеров построены карты распределения интенсивности ДР в про-
странстве обратной решетки и продемонстрировано влияние на их вид ин-
тегрирования по вертикальной расходимости рентгеновских лучей.
Within the framework of the generalized dynamical theory of x-ray scattering
from imperfect crystals, the dynamical diffuse scattering (DS) by large defects
is considered in the case of Laue diffraction geometry. Analytical expressions
for DS intensities, which are differential or integrated over the vertical diver-
gence, are obtained for crystals containing homogenously distributed defects,
which create around themselves the anisotropic displacement fields of atoms in
a matrix. For defects of various types and sizes, the maps of DS intensity dis-
Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
Nanosystems, Nanomaterials, Nanotechnologies
2008, т. 6, № 3, сс. 807—827
© 2008 ІМФ (Інститут металофізики
ім. Г. В. Курдюмова НАН України)
Надруковано в Україні.
Фотокопіювання дозволено
тільки відповідно до ліцензії
808 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін.
tributions in the reciprocal lattice space are plotted, and the influence of the
integration over vertical divergence of x-rays on their shape is demonstrated.
Ключові слова: нанотехнологія, Ляве-дифракція, трикристальна диф-
рактометрія, динамічна теорія дифракції, дефекти Кульонового типу,
когерентне і дифузне розсіяння, анізотропія поля пружньої деформації.
(Отримано 1 вересня 2008 р.)
1. ВСТУП
Інтерпретація диференційних розподілів інтенсивности дифузного
розсіяння (ДР) Рентґенових променів у просторі оберненої ґратни-
ці, які вимірюються за допомогою трикристального дифрактометра
(ТКД), ґрунтується, як правило, на кінематичній теорії розсіяння у
недосконалих кристалах [1]. Такий підхід не дозволяє одержати у
повному обсязі інформацію про статистичні характеристики дефек-
тів, яка міститься в таких розподілах, оскільки він не враховує на-
явности суперпозиції інтенсивностей ДР і когерентного розсіяння
та їх взаємодії, а також впливу динамічних ефектів у ДР.
Найбільш повну і надійну інтерпретацію результатів мірянь ТКД
можна виконати з використанням узагальненої статистичної дина-
мічної теорії [2—4], яка дає самоузгоджений опис динамічного коге-
рентного і дифузного розсіяння Рентґенових променів недоскона-
лими монокристалами. На основі цієї теорії було розроблено теоре-
тичні основи нових метод ТКД для діягностики дефектів, що хаоти-
чно розподілені в монокристалах, при використанні геометрій диф-
ракції як за Бреґґом, так і за Ляве [5—14].
Зокрема, аналітичний вираз для опису повних профілів інтенсив-
ности розсіяння Рентґенових променів, які міряються за допомогою
ТКД в области ДР Хуаня—Кривоглаза від монокристалів з однорідно
розподіленими дефектами Кульонового типу, було знайдено в роботі
[5]. На основі одержаних результатів було розроблено і апробовано
ориґінальну методу диференційно-інтеґральної трикристальної Рен-
тґенової дифрактометрії [6, 7]. Згідно з цією методою інформація про
характеристики дефектів здобувається шляхом міряння і аналізи
залежностей площ піків інтенсивности ДР на дифракційних профі-
лях ТКД від кута повороту досліджуваного кристалу, які, в свою
чергу, відповідають кутовим залежностям «інтеґральної» інтенсив-
ности ДР, виміряної двокристальним дифрактометром (ДКД) із ши-
роко відкритим вікном детектора [15—17].
В роботах [9, 10] було запропоновано два нових способи сепару-
вання за допомогою ТКД когерентної та дифузної компонент повної
інтеґральної відбивної здатности тонких кристалів з дефектами в
умовах геометрії дифракції за Ляве. Їх застосування в Рентґеновій
дифрактометричній діягностиці дефектної структури монокриста-
ДИФУЗНА СКЛАДОВА ДИНАМІЧНОЇ КАРТИНИ РОЗСІЯННЯ 809
лів істотно розширило можливості звичайної методи нахилу і під-
вищило точність визначення дифракційних параметрів структур-
ної досконалости досліджуваних монокристалів.
Найбільш повні аналітичні вирази для опису дифракційних про-
філів, які міряються ТКД в умовах дифракції за Бреґґом, з враху-
ванням наявности ДР не тільки від дефектів в досліджуванім крис-
талі, але також і в кристалах монохроматора та аналізатора, було
одержано в роботах [12, 13]. Зокрема, для опису піків інтенсивности
ДР від дефектів ріжних типів було одержано аналітичні вирази, які
основані на формулах узагальненої динамічної теорії розсіяння в мо-
нокристалах з однорідно розподіленими дефектами і враховують ін-
струментальні особливості ТКД. У знайдених виразах враховано та-
кож вплив на відбивні здатності усіх трьох кристалів ТКД наявних в
них макроскопічних деформацій у приповерхневих шарах.
Для надійної дифрактометричної характеризації складних дефе-
ктних структур у реальних кристалах було запропоновано комбіно-
вану методу, яка полягає у спільній обробці одно- й двовимірних
розподілів дифрагованих інтенсивностей у просторі оберненої ґрат-
ниці, які міряються відповідно ДКД з широко відкритим вікном
детектора і ТКД [14].
В першій частині роботи, яку представлено окремою попере-
дньою статтею в цьому ж випуску, спираючись на узагальнену ди-
намічну теорію розсіяння [3, 4] для випадку геометрії дифракції за
Ляве одержано аналітичні вирази для когерентних компонент кое-
фіцієнтів проходження і відбиття кристалу з однорідно розподіле-
ними дефектами довільних розмірів і ріжних типів з анізотропними
полями зміщень атомів кристалу навколо них. (Посилання на фор-
мули першої частини міститимуть римську цифру один, напри-
клад, (I.15).)
Метою даної роботи є одержання в рамках того ж підходу для ви-
падку Ляве-дифракції явних аналітичних виразів для диференцій-
ного розподілу інтенсивности ДР від дефектів, які створюють на-
вколо себе анізотропні поля зміщень атомів матриці. Для опису ди-
фузних піків від дефектів на дифракційних профілях та розподілів
інтенсивности ДР на картах оберненого простору, які міряються за
допомогою ТКД, виконано інтеґрування цих виразів по вертикаль-
ній розбіжности Рентґенових променів. Для дефектів ріжних типів
і розмірів буде побудовано карти розподілу інтенсивности ДР в про-
сторі оберненої ґратниці та продемонстровано вплив на їх вигляд
інструментальних факторів ТКД.
2. ОСНОВНІ РІВНАННЯ І АМПЛІТУДА ДИНАМІЧНОГО
ДИФУЗНОГО РОЗСІЯННЯ
Дифузно розсіяні хвилі виникають шляхом розсіяння сильних Бре-
810 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін.
ґґових хвиль на флюктуаційних полях статичних зміщень атомів
кристалу, які створені хаотично розподіленими дефектами. Завдя-
ки процесам багатократного перерозсіяння у достатньо товстих
кристалах вони формують динамічне хвильове поле аналогічно си-
льним Бреґґовим хвилям.
У двохвильовому випадку дифракції амплітуди дифузно розсі-
яних пласких хвиль Dq та qH+D , які утворюють дифузні квазиб-
лохові хвилі, задовольняють наступній системі неоднорідних рів-
нань [4]:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 00 0 0
0 0 0
2
2
D CE D D CD
CE D D CD D
δ δ δ δ δ
− + − +
δ δ δ δ δ
+ +
⎧ − ε + χ + Δχ + χ + Δχ = − δχ + δχ⎪
⎨
χ + Δχ + − χ + χ + Δχ = − δχ + δχ⎪⎩
q q H H H q q H q H
H H q Hq HH H q H q q H
, (1)
де DG ( ,=G 0 H ) – амплітуди сильних Бреґґових хвиль; χG і +δχG q –
усереднена і флюктуаційна складові Фур’є-компоненти поляризов-
ности кристалу; C – поляризаційний множник; E – статичний фак-
тор Кривоглаза—Дебая—Валлера;
δ
′′ΔχGG – дисперсійні поправки до
хвильових векторів дифузно розсіяних хвиль (див. (I.13)), які відпо-
відають δ-му листу дисперсійної поверхні ( , ,′ =G G 0 H , 1,2δ = ). Від-
повідне динамічне дифузне хвильове поле, сформоване в усередненій
періодичній кристалічній ґратниці, для кожного стану поляризації
складається з прохідної та дифрагованої складових і може бути пред-
ставлене у вигляді їх суми:
( ) ( ) ( )T SD D D′ ′ ′= +r r r , ( ) ( )0
T
i
D D e
δ− +δ
δ
′ = ∑∑ K q r
q
q
r , (2)
( ) ( )Hi
S
q
D r D e
δ− +δ
+
δ
′ = ∑∑ K q r
H q , (3)
де 0
δK і
δ
HK – хвильові вектори прохідного і дифрагованого когере-
нтного випромінення всередині кристалу.
На вхідній поверхні кристалу у випадку геометрії дифракції за
Ляве відмінною від нуля повинна бути тільки амплітуда падаючої
на кристал пласкої хвилі, тоді як дифузно розсіяні хвилі відсутні.
Відповідні межові умови для прохідної та дифрагованої дифузно
розсіяних хвиль ( )TD′ r та ( )SD′ r мають вигляд:
( ) ( )0, 0T SD D′ ′= =r r при 0z = , (4)
( ) ( ) ( ) ( ), a a
T T S SD E D E′ ′= =r r r r при z t= , (5)
де ( )a
TE r та ( )a
SE r поки що невідомі амплітуди дифузно розсіяних
хвиль на вихідній поверхні кристалу; t – товщина пласкопарале-
льної кристалічної платівки.
Очевидно, що хвильові поля TD′ та SD′ , які складаються з час-
ДИФУЗНА СКЛАДОВА ДИНАМІЧНОЇ КАРТИНИ РОЗСІЯННЯ 811
тинного розв’язку нескінченної системи рівнань (1), не задоволь-
няють цим межовим умовам при довільнім значенні r. З фізичної
точки зору дифузні хвильові поля (2) і (3) мають також включати
нормальні моди, які є загальними розв’язками відповідної однорід-
ної системи рівнань:
( ) ( )
( ) ( )
0 0 00 0
0 0
2 0,
2 0.
D CE D
CE D D
δ δ δ
− +
δ δ δ
+
⎧ ′ ′− ε + χ + Δχ + χ + Δχ =⎪
⎨
′ ′χ + Δχ + − ε + χ + Δχ =⎪⎩
q q H H H q
H H q Hq HH H q
(6)
Нетривіальні розв’язки цієї системи існують за умови рівности ну-
лю її детермінанта:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0 00 0
0 0
2 2
0.
d
CE CE
δ δ δ δ
δ
δ δ
−
′ ′= − ε + χ + Δχ − ε + χ + Δχ −
′ ′− χ + Δχ χ + Δχ =
q Hq HH
H H H H
q
(7)
З рівнання (7) можна одержати акомодації хвильових векторів ДР
хвиль 0 0
δτ
τ′Δ = ε γq , які відповідають когерентним хвилям δ-го листа
дисперсійної поверхні:
( ) ( )( )2
0 00
0
1
1 1
2 2
y y
τδ
τ
χ′ ′ ′ ′Δ = χ + Δχ + + − +
′γ Λ
, , 1,2τ δ = , (8)
( )0a a
y b
′ ′−
′ =
′σ
%
,
bλγ′Λ =
′σ
H , ( )1
0 0 0 002 bδ − δ′α = χ + Δχ − χ + ΔχHH ,
( ) ( )0 0CE CEδ δ
−′ ′ ′σ = χ + Δχ χ + ΔχH H H H ,
де sin(2 )B
′ ′α = −Δθ θ% та параметер асиметрії дифракції 0 Hb = γ γ , Δθ′
– відхил хвильового вектора дифузно розсіяної хвилі від точного
Бреґґового напрямку у вакуумі; γ0 і γH – косинуси кутів між на-
прямками прохідного і дифрагованого випромінення та зовніш-
ньою нормаллю до поверхні кристалу, 2K = π λ – модуль хвильо-
вого вектора у вакуумі; λ – довжина хвилі у вакуумі.
Додаткове хвильове поле, яке утворене розв’язками системи (6),
також можна представити у вигляді суми прохідної і дифрагованої
складових:
( ) ( ) ( )T SD D D′′ ′′ ′′= +r r r , ( ) 0i
TD D e
δτ−δτ
δ τ
′′ = ∑∑∑ qK r
q
q
r , (9)
( ) i
SD D e
δτ−δτ
+
δ τ
′′ = ∑∑∑ HqK r
H q
q
r . (10)
Невідомі амплітуди Dδτ
q та Dδτ
+H q визначаються за допомогою ме-
жової умови (4) підстановкою сумарних прохідного ( T T TD D D′ ′′= +% ) і
812 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін.
дифрагованого ( S S SD D D′ ′′= +% ) дифузних хвильових полів:
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )( )
1 2
2 1
2 1
2 1
1
,
1
,
D D c D
c c
D c D D
c c
δ δ δ
δ δ δ
′= −
′ ′−
′= −
′ ′−
q H+q q
q q H+q
( )
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
( ) ( )
( )( )
1
1 2
2 1
2
2 1
2 1
,
,
c
D D c D
c c
c
D c D D
c c
δ δ δ
δ δ δ
′
′= −
′ ′−
′
′= −
′ ′−
H+q H+q q
H+q q H+q
(11)
( ) 0 0 00
0
2
c
CE
δ
τ τ
δ
−
′ ′− γ Δ + χ + Δχ′ = −
′χ + ΔχH H
. (12)
Амплітуди дифузного хвильового поля на вихідній поверхні крис-
талу залежать тільки від координат ρ(x, y) і тому їх можна розкласти
у подвійний ряд Фур’є по танґенційних складових κ вектора q:
( ) a
0
a i
TE E e−
κ
= ∑ κρ
κρ , (13)
( )a a i
SE E e−
κ
= ∑ H
κρ
κρ , (14)
З іншого боку, згідно з межовою умовою (5), Фур’є-компоненти в
сумах (13) і (14) задовольняють рівностям:
( ) ( )( )0 1 21 2
0
K
i t i t iK t
K iK t iK taE D e D e D e
δ
κ
− ξ − − Δ
δ δ′ ′γ − Δ − Δδ
δ ξ
⎡ ⎤
= + +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑∑ q q qκ , (15)
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
1 2
/2 2
1 2 ,H H
a
i t i t i t iK t i t
K K iK t iK t K
H q
E
D e D e D e e
δ
′+
− ξ − − − Δ −
δ δ′ ′γ γ − Δ − Δ γδ
+
δ ξ
=
⎡ ⎤
⎢ ⎥= + +
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑∑ H
H
K+H H K H H K +H/
H+q H+q
κ
κ
(16)
де підсумовування за ξ можна замінити інтеґруванням, якщо
знак суми замінити на 2t dπ ξ∫K .
Неважко помітити, що підінтеґральні функції містять резонан-
сний знаменник, який співпадає з детермінантом системи (6).
Тоді, скориставшись розв’язками (8) рівнання (7) і застосувавши
теорему лишків для обчислення інтеґралів, остаточно одержимо:
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 2 1
0 0 0
1
4
,
iK t
a
H
eiKt
E D M D M
CE CE
τ
τ ′− Δ
δ δτ δ δτ
δ τ
δ δ
−
−
= + ×
′ ′γ γ Δ − Δ
⎡ ⎤′ ′× χ + Δχ δ + χ + Δχ δ⎣ ⎦
∑∑G G H GH
H
H G H H GH
κ
(17)
де ′δGG – Кронекерів симболь, а коефіцієнти Mδτ
′GG дорівнюють:
ДИФУЗНА СКЛАДОВА ДИНАМІЧНОЇ КАРТИНИ РОЗСІЯННЯ 813
( )
( )
00
0
,
,
M C
c
M C
c
δτ
τ
δτ
− τ
′ς
= δχ + δχ
′
′ς
= δχ + δχ
′
q H+q
H H+q q
( )
( )
0 ,
,
c
M C
c
M C
τ
δτ
τ
δτ
−
′
= δχ + δχ
′ς
′
= δχ + δχ
′ς
H q H+q
HH H+q q
(18)
0
0
CE
CE
δ
δ
−
′χ + Δχ′ς =
′χ + Δχ
H H
H H
. (19)
На поверхні кристалу дифузно розсіяні хвилі можна розглядати
як джерела сферичних хвиль, амплітуди яких на великій відстані
від кристалу мають асимптотичний вигляд:
( ) ( )inf ,
iK re
E f
r
′−
′≈G Gr K K K
r
⎛ ⎞′ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
r
K , r → ∞ . (20)
Це дає змогу розрахувати інтенсивність ДР в обранім напрямку K′ на
великій відстані від поверхні кристалу. Щоб знайти невідому амплі-
туду розсіяння ( ),f ′
G K K потрібно перерахувати одержані амплітуди
aEGκ в амплітуди сферичних хвиль, тобто обчислити інтеґрал [4]:
( )
( )
2 2a
2
2
i i K zS
E E e d− ρ− −κ=
π ∫G Gr κ
κ κ (21)
за умови 1K r′ >> . Виконавши асимптотичне інтеґрування, одер-
жимо:
( ),f D Fδ δ
′
δ
′ = ∑∑G G GG
G
K K , (22)
( ) ( ) ( )
2
0
1
0 0 0
2 1
8
1
,
iK t
VK
F
e
M CE CE
τ
δ
′
τ+ ′− Δ
δτ δ δ
′ −
τ
= ×
πγ γ
− ⎡ ⎤′ ′× χ + Δχ δ + χ + Δχ δ⎣ ⎦′ ′Δ − Δ∑
GG
H
GG H H G H H GH
де V St= – об’єм кристалу; S – площа вихідної поверхні.
Далі будемо розглядати розсіяння в кристалах, які містять ви-
падково розподілені дефекти Кульонового типу. В цьому випадку
флюктуаційні складові поляризовности кристалу δχG+q виража-
ються через Фур’є-компоненти полів статичних зміщень від де-
фектів (uq) та флюктуацій концентрації дефектів (cq):
( )iE c+δχ ≈ χG q G q qGu . (23)
Узагальнення співвідношення (23) на випадок наявности в кристалі
814 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін.
кількох типів дефектів дається у виразом (I.53). З формули (23) безпо-
середньо випливає, що з точністю до доданків другого порядку мало-
сти виконуються наближені рівності: 0δχ ≈q і − + +δχ = −δχH q H q . Тоді
вирази (18) для парціяльних амплітуд розсіяння 0Mδτ
H й Mδτ
HH спро-
щуються, і ми можемо переписати амплітуду ДР ( ),f ′
H K K у вигляді:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
11 22
2 1
0 2 1
1
,
8
iKt
H q q
H
iCEVK c c
f K K X Hu c e
c c
τ
δ+τ+
′− Δ
δ δτ δτ δτ
δτ
−
′ ′= ς
′ ′πγ γ Δ − Δ−
∑ , (24)
( )
( )
c
X
c
τ
δτ −δ
δ
′χ
= − χ
′ς
H
H . (25)
Диференційна інтенсивність ДР за означенням дорівнює усере-
дненому за випадковим розподілом дефектів квадрату модуля
амплітуди ДР, який розділено на інтенсивність падаючого на по-
верхню кристалу випромінення:
( )
( ) 2
2
0 0
,
D
f
R
S E
′
=
γ
H K K
k , (26)
де E0 – амплітуда падаючої пласкої хвилі. Підставивши (24) в (26) і
нехтуючи залежністю τ′Δ від δ, після усереднення одержимо для
дифузної компоненти диференційної відбивної здатности кристалу:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
0
22 * *
0
0
(1 )
( )
1 1
1 ,
4
c
D
c c v t
R
y y
CECEK
X X
CE δτ λσ
δ+τ+λ+σ
δτ δ λσ λ δςλσ
δτλσ−
−
= ×
′γ + +
⎛ ⎞ χ + Δχ ′ ′× − ς ς Π⎜ ⎟π χ + Δχ⎝ ⎠
∑H H
q q
H H
k
Hu Hu
(27)
де vc – об’єм елементарної комірки кристалу, а множник погли-
нання має вигляд:
( ) ( )
( )
* *
* *
exp expiKt iKt
iKt
δ λ τ σ
δτλσ
τ σ δ λ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′− Δ − Δ − − Δ − Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Π =
′ ′Δ − Δ − Δ + Δ
. (28)
Множник (28) відіграє ключову роль в описі ефектів аномального
поглинання і аномального проходження інтенсивности ДР в товс-
тих кристалах. В наближенні товстого кристалу з 16-ти доданків у
виразі (27) суттєво відмінними від нуля залишаються тільки чоти-
ри таких, що відповідають квазиблоховим дифузним хвилям з ано-
мально слабким поглинанням (відомий Борманів ефект для дифуз-
них хвиль). Всі інші доданки дають незначний внесок у суму в
ДИФУЗНА СКЛАДОВА ДИНАМІЧНОЇ КАРТИНИ РОЗСІЯННЯ 815
зв’язку зі швидким спаданням множника δτλσΠ , яке обумовлене
аномально сильним поглинанням.
3. ДИФЕРЕНЦІЙНИЙ РОЗПОДІЛ ІНТЕНСИВНОСТИ
ДИФУЗНОГО РОЗСІЯННЯ
Сферично несиметричні дефекти характеризуються анізотропією
полів зміщень атомів кристалу навколо них. При цьому, в кристалі
реалізується лише дискретній набір рівноцінних орієнтацій цих
дефектів вздовж певних напрямків. Тому, навіть після усереднення
за дискретними орієнтаціями дефектів вплив ефектів анізотропії на
картину розсіяння випромінення залишається суттєвим. Якщо об-
межитись розглядом анізотропії полів зміщень навколо дефектів у
наближенні пружньо-ізотропного середовища, то тоді вона буде
пов’язана з симетрію кристалічної ґратниці за рахунок врахування
дискретної орієнтації дефектів вздовж певних кристалографічних
напрямків, а усі ефекти анізотропії будуть визначатись взаємною
орієнтацією дефектів і вектора дифракції H.
На прикладі призматичних дисльокаційних петель проведемо
врахування впливу зазначених ефектів анізотропії на інтенсивність
ДР шляхом усереднення полів деформації навколо петель за дис-
кретною орієнтацією їх Бюрґерсових векторів b . Розглянемо крис-
тал кубічної симетрії, який містить однорідно розподілені дисльо-
каційні петлі з Бюрґерсовими векторами <110> або <111>. Фур’є-
компонента статичного поля зміщень від призматичної дисльока-
ційної петлі описується виразом [1]:
( )
( ) ( ) ( )22
0
2 2 22
2 1
1c
R
v q q
⎧ ⎫π − ν⎪ ⎪= + ν −⎨ ⎬
− ν ⎪ ⎪⎩ ⎭
q
b b bq q bq
u q
b b
, (29)
де ν – Пуассонів коефіцієнт; R0 – радіюс дефекту. Тоді усеред-
нений скалярний добуток Фур’є-компонент поля зміщень на век-
тор оберненої ґратниці матиме вигляд:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 2
22 2
* 0
1
2* *
1 2 1 22
1 12 *2 2 *2
1 2 1 2
22* *
1 2 212
2 *2 2 *2
1 2 1 2
4
3 1
,
9 4 2 6 5 2
4
,
1 1
n
c
C R
v n
n n
q q q q
H
q q q q
⎛ ⎞π
= ×⎜ ⎟⎜ ⎟− ν⎝ ⎠
⎧ ⎡ ⎤
⎪ ⎢ ⎥× − η ν + η − ν + + +⎨ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩
⎡ ⎤
⎢ ⎥+ − ν − ν − − +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
q q
b
Hu Hu
Hq Hq q q
q q HqHq
816 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 *
1 22 *2
1 2
* * * *
1 1 1 2 2 1 2 2
2 *2
1 2
* * *
1 2 1 1 2 2
2 *2
1 2
3 1
1 , , ,
2
, , , , , ,
, , ,
,
4
S
q q
S S
q q
S
q q
η − − ν⎡+ − ν − ×⎣
⎛ ⎞
⎜ ⎟× + +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎫⎤⎪⎥+ ⎬
⎥⎪⎦⎭
H H q q
Hq H q q q Hq H q q q
Hq Hq q q q q
(30)
де індекси 1 і 2 відповідають парам індексів δτ та λσ,
1 1
1 2
n nC Cη = ,
1
m
nC –
біноміяльні коефіцієнти, ( )1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4, , , x x x x y y y yS a a a a a a a a= + +a a a a
1 2 3 4z z z za a a a+ , а n1 дорівнює числу одиниць у Бюрґерсовім векторі. Пара
чисел (n1, η) визначає тип усереднення, і для орієнтацій <110> та <111>
відповідно дорівнює (2, 2) та (3,1).
Інтеґрування виразу (27) по вертикальній розбіжности Рентґено-
вих променів у ТКД, тобто, за компонентою переданого імпульсу ky,
зводиться до узяття інтеґралів від виразів типу (30) і його буде зруч-
но виконати, якщо розкласти (30) на суму елементарних дробів:
( ) ( )
( ) ( )
*
31 2 4
2 2 2 2 2 22 2 2 20 1 21 2 y yy y
k p k pk p k p
δτ λσ
⎛ ⎞ΣΣ Σ Σ⎜ ⎟= + + +
⎜ ⎟+ ++ +⎝ ⎠
∑q qHu Hu ,
якщо δτ ≠ λσ, (31)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
*
31 2 4
2 2 2 3 42 2 2 2 2 2
0 y y y y
k p k p k p k p
δτ λσ
⎛ ⎞ΣΣ Σ Σ⎜ ⎟= + + +
⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠
∑q qHu Hu
%% % %
,
якщо δτ = λσ, (32)
де y ykδτ δτ= −p q e , вектори p1 і p2 відповідають векторам pδτ з па-
рами індексів, що не співпадають, а вектор p = pδτ для співпадаю-
чих пар індексів. Константи ∑n та nΣ% у виразах (31) і (32) знахо-
дяться методою невизначених коефіцієнтів:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
1
22 2 2
0 12 12 11 12
0 1 2 2 22
1
4 * *
12 1 1 1 2 22 4 *
1 1 1 1 2 2
4 32
, 4 1
3 1
, , ,
2 1 , , , ,
n
c
y
C R M L M L
v n p pp
M p S
H p S
p
⎛ ⎞π η −
Σ = Σ = − + − ν + ×⎜ ⎟⎜ ⎟− ν Δ ΔΔ⎝ ⎠
⎡ ⎤+
⎢ ⎥× − ν + −
⎢ ⎥Δ
⎣ ⎦
b
p p p p
Hp H p p p
ДИФУЗНА СКЛАДОВА ДИНАМІЧНОЇ КАРТИНИ РОЗСІЯННЯ 817
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2
21 21 22 21
2 2 2 22
4 * *
21 2 1 1 2 22 4 * * *
2 2 1 2 2 2
32
4 1
, , ,
2 1 , , , ,y
M L M L
p pp
M p S
H p S
p
η −
Σ = − − − ν − ×
Δ ΔΔ
⎡ ⎤+
⎢ ⎥× − ν + +
⎢ ⎥Δ
⎣ ⎦
p p p p
Hp H p p p
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2
1 1 12
3 2
2 2
12 12 12 21 21 12
1222 22
2 2 *
1 1 22 211 21 12 22
122 2 2 2 2
2 4
2 1 1 12
9 4 2 6 5
4 1 2
4 1
, , ,1
3 1
, ,
2 3 1
y
y y
y
y
n n M
p
H L L M L M L
M
p pp
H p SM L L M
H L H
p p p p p
H p S
H
− η ν + η − ν +
Σ = +
Δ
− ν +⎛ ⎞
+ + − − − − ν⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠Δ
⎡ ⎤−⎛ ⎞ ⎛ ⎞
× − + + − η − − ν −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
+
− η − − ν −
H H p p
Hp H p p( )
( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
* 2 4 * * *
2 1 2 1 2 2
2 22 2
4 * *
21 1 1 1 2 2
12 22 2
, , , ,
, , ,3
,
yH p S
p p
M p S
M
p p
⎡ ⎤+
⎢ ⎥+ +
⎢ ⎥Δ Δ⎣ ⎦
⎛ ⎞+η − ⎜ ⎟+ −
⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠
p Hp H p p p
p p p p
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
22 2
1 1 21 21 21
4 2 2 22
212 21 21 12 22 12
21 212 2 2
* 2 2
1 2 2221 11
2 2 2
9 4 2 6 5 4 1 2
1
4 1
, , ,
3 1
y
y
y
n n M H L L
p p p
M L M L M L
M H L
p p p
S H pL M
H
p p p
− η ν + η − ν + − ν
Σ = − − + ×
Δ Δ Δ
⎡+⎛ ⎞ ⎛ ⎞
× + + − ν + +⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣
⎤−⎛ ⎞ ⎥+ − + η − − ν −⎜ ⎟Δ Δ Δ ⎥⎝ ⎠ ⎦
H H p p
( ) ( )2 3 1− η − − ν ×
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2 4 * 2 4 * * *
2 1 1 1 2 1 2 1 2 22
2 22 2
, , , , , ,y y
y
H p S H p S
H
p p
⎡ ⎤+ +⎢ ⎥× + −
⎢ ⎥Δ Δ⎣ ⎦
Hp H p p p Hp H p p p
( )( )
( )
4 * *
12 2 1 1 2 2
212 22
, , ,3
,
M p S
M
p p
⎛ ⎞+η − ⎜ ⎟− −
⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠
p p p p
( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 2
1 1 14 1 4 1 3 2 2 8 4 yH n n H⎡ ⎤Σ = − ν + η − − ν + η − + ν + η −⎣ ⎦
% ,
818 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін.
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
22
2 1 1
22 2 *
2 2 2
1 1
9 4 2 6 4
4 1 3 2 1 , , , 2Re
4 1 3 2 4 10 7 22 ,
y
y
n n
H p S
n n H p
⎡ ⎤Σ = − η ν + η − ν + η + +⎣ ⎦
⎡ ⎤+ − ν η − + − ν − +⎣ ⎦
⎡ ⎤+ η − + ν − η − + ν − η +⎣ ⎦
Hp
H H p p Hp
%
( ) ( )( ){
( ) ( ) ( )( )}
24 * * 2 2
3
4 *
3 3 , , , 2
4 1 Re , , ,
yp S H p
p S
Σ = η − + − −
⎡ ⎤− − ν + ⎣ ⎦
p p p p Hp
Hp H p p p
%
,
( ) ( ) ( )( )2 2 2 4 * *
4 3 , , ,yH p p SΣ = η − − +Hp p p p p% ,
де введено позначення 2 2 2
1 2p p pΔ = − ,
( ) ( ) ( )222 2 2 2 * 2 *
11 1 1 22 2 2 12 1 1 2, , ,y yM H p M H p L p= − = − = −Hp Hp p p
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 * 2 2 * 2 *
12 1 1 2 21 2 1 2 21 2 1 2, ,y yM H p M H p L p= − = − = −Hp Hp Hp Hp p p .
При переході до области розсіяння Стокса—Вільсона розклад (31)
слід помножити на
2 2 2( )m y ak k p+ (тут
2 2 2
1 2( ) / 2ap p p= + і умовою пере-
ходу є нерівність
2 2
y m ak k p> − ), а розклад (32) – на
2 2 2( )m yk k p+ при
виконанні умови
2 2 .y mk k p> − Параметер km = 1/Reff визначає раді-
юс межі в імпульснім просторі між областями ДР Хуаня—Кривоглаза
і Стокса—Вільсона, де Reff – ефективний радіюс дефекту [15].
При розрахунку розподілу дифузної складової на картах оберне-
ного простору зв’язок величин kx та kz з кутами Δθ і Δθ′ обирався у ви-
гляді, що випливає з (I.78) для симетричної Ляве-дифракції (ψ = 0):
[ ]
cos ,
2 sin .
x B
z B
k K
k K
′= Δθ θ⎧⎪
⎨ ′= Δθ − Δθ θ⎪⎩
Карти розподілу інтенсивности ДР (нормовані на інтенсивність у
максимумі) в площині дифракції (при ky = 0) для призматичних ди-
сльокаційних петель з орієнтаціями <110> та <111> наведено відпо-
відно на рис. 1 і 2 у випадку симетричної Ляве-дифракції Рентґено-
вих променів у кристалах ріжної товщини. Ізодифузні лінії (лінії
однакової інтенсивности ДР) для обох наборів орієнтацій петель у
випадку тонкого кристалу (рис. 1, а і 2, а) мають форму овалів, які
витягнуті вздовж вісі kz. Розподіл інтенсивности ДР від петель з
орієнтаціями <111> вужчий, ніж від петель <110>, а максимуми
виділяються чіткіше. При збільшенні товщини кристалу в обох ви-
падках орієнтації петель (рис. 1, б і в та 2, б і в) ізолінії на мапах ви-
ДИФУЗНА СКЛАДОВА ДИНАМІЧНОЇ КАРТИНИ РОЗСІЯННЯ 819
тягуються вздовж напрямків в оберненім просторі, які відповіда-
ють точним Бреґґовим умовам для хвильових векторів падаючого і
дифрагованого променів (Борманів ефект для інтенсивности ДР).
Наявність провалу в центрі вказаних розподілів є наслідком ексти-
нкційного ефекту в інтенсивности ДР (ефекту маятникових осци-
ляцій, що є аналогічним маятниковому розв’язку для інтенсивнос-
ти когерентного розсіяння).
Детальніше цей ефект представлено на рис. 3, де зображено товщин-
ні осциляції висоти піка диференційної інтенсивности ДР у площині
дифракції (точніше, його центральної точки kx = kz = 0) для випадків
тонкого (рис. 3, а) і товстого кристалів (рис. 3, в). Як видно, товщинні
осциляції ДР мають менший період (за рахунок меншої довжини екс-
тинкції) і швидше затухають (за рахунок більшого коефіцієнта фото-
електричного поглинання) при використанні CuKα-випромінення (тов-
а б в
Рис. 1. Карта розподілу інтенсивности ДР в площині дифракції у випад-
ку симетричної Ляве-дифракції характеристичного випромінення CuKα
для призматичних дисльокаційних петель з дискретними орієнтаціями
<110> і радіюсом 0,05R = Λ (Λ – довжина екстинкції «сильних» Бреґ-
ґових хвиль) у кристалі Si товщиною 5 мкм (а), 50 мкм (б) і 500 мкм
(в). Одиниця міряння по осях kx і kz складає π Λ .
а б в
Рис. 2. Карта розподілу інтенсивности ДР для призматичних дисльока-
ційних петель з дискретними орієнтаціями <111>. Решту даних наведе-
но у підпису до рис. 1.
820 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін.
стий кристал), ніж у випадку MoKα-випромінення (тонкий кристал).
Спостерігається не тільки періодична зміна висоти піка розподілу
інтенсивности ДР з товщиною кристалу, а й суттєва зміна кутового роз-
поділу інтенсивности у центрі піка (рис. 3, б, г). На розподілах дифере-
а б
в г
Рис. 3. Товщинні осциляції висоти центральної точки (kx = kz = 0) піка дифе-
ренційної інтенсивности ДР в площині дифракції для призматичних дис-
льокаційних петель з дискретними орієнтаціями вектора Бюргерса <111>
(радіюс петель RL = 0,01 мкм, їх концентрація nL = 1012
см
—3) (а) і (в) та профілі
вздовж вісі kz (при kx = 0) цієї інтенсивности (б) і (г) для трьох товщин крис-
талу Si, що вказані маркерами на рис. (а), (в) і пронумеровані на рисунках
цифрами від 1 до 3. Для випадку тонкого кристалу (MoKα-випромінення,
|Λ| = 41 мкм) t1 = 28,1 мкм, t2 = 38,8 мкм, t3 = 49,5 мкм, а для випадку товстого
кристалу (CuKα-випромінення, |Λ| = 17 мкм) t1 = 10,7 мкм, t2 = 15,5 мкм,
t3 = 20,3 мкм. Усі наведені значення диференційної інтенсивности ДР для
ріжних довжин хвиль нормовано на величину першого максимуму на відпо-
відних товщинних залежностях.
ДИФУЗНА СКЛАДОВА ДИНАМІЧНОЇ КАРТИНИ РОЗСІЯННЯ 821
нційної інтенсивности ДР вздовж вісі kz (при kx = ky = 0), які ілюструють
цю зміну за ріжних товщин кристалу (в межах напівперіоду першої ос-
циляції товщинної залежности), видно перехід від структури піка з
одиночним максимумом до двогорбої форми.
Неважко помітити, що випадки сферично симетричних кластерів
і сферично усереднених дисльокаційних петель є частинними випа-
дками (30) і тому розклади (31) та (32) і всі одержані далі формули
будуть слушними також і для них при відповідному перерахуванні
констант An та Bn.
Коефіцієнти розкладу раціонального дробу (30) у випадку сферич-
но симетричних кластерів з потужністю
3
0clA R= Γε (Γ = (1 + ν)/(3 − 3ν)
(ε – деформація на межі кластера) мають вигляд:
( )2
0 4 / ,cl cA H vΣ = π 1 2 0Σ = Σ = ,
( ) ( )2 2 *
1 1 2
3 2
yH p
p
−
Σ =
Δ
Hp Hp
,
( ) ( )2 2 *
2 1 2
4 2
yH p
p
− +
Σ =
Δ
Hp Hp
2
1 yHΣ =% ,
2 2 2
2 yH pΣ = −Hp% , 3 4 0Σ = Σ =% % .
Аналогічно для випадку сферично усереднених дисльокаційних пе-
тель:
( )( )22
0 0 / 1 /15cH R vΣ = π − νb ( )12 12 12
1 112 2
2
2 1 ,
L M L
M
p p
⎛ ⎞
Σ = − ν −⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )
221 21 21 12
2 22 32 2 2
2 2
12 21 21 12 2 2 11 21 22 12
123 2 22
2
2 1 , 3 2 7
2 4 1
1 2 y
L M L M
M
p p p
M L M L M L M L
L H H
p pp
⎛ ⎞
Σ = − − ν + Σ = ν − ν + −⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠
+ − ν −⎡ ⎤
− + − ν − +⎢ ⎥Δ Δ⎣ ⎦Δ
,
( )
( )
( ) ( )2 2
12 21 21 12 2 21
4 3 2 22
2 4 1
3 2 7
M L M L M
p pp
+ − ν
Σ = − ν − ν + − ×
Δ ΔΔ
( )( )2 2 11 21 22 12
21 2
1 2 ,y
M L M L
L H H
p
−⎡ ⎤
× − ν − +⎢ ⎥Δ⎣ ⎦
( ) ( )2 2 2 2
1 4 1 3 6 1 yH HΣ = − ν + ν + ν −% ,
( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2
2 3 2 7 3 6 1 8 1 ReyH pΣ = ν − ν + − ν + ν − − − νHp Hp% ,
3 4 0.Σ = Σ =% %
Карти розподілу інтенсивности ДР в площині дифракції (при
ky = 0) для призматичних дисльокаційних петель, сферично усеред-
822 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін.
нених за орієнтаціями, та сферично симетричних кластерів наведе-
ні відповідно на рис. 4 і 5 у випадку симетричної Ляве-дифракції
Рентґенових променів у кристалах ріжної товщини. Порівняно з
розподілами інтенсивности ДР від петель з дискретними орієнтаці-
ями <110> та <111> ізолінії для моделю сферично усереднених пе-
тель є менш витягнутими вздовж вісі kz і у випадку тонкого криста-
лу їх форма наближається до кола. При цьому у випадку товстого
кристалу через стягування дифузного фону до вузла оберненої ґра-
тниці (завдяки ефектам аномального проходження і загасання ди-
фузних хвиль) зникає тонка структура піків ДР, що особливо помі-
тно на розподілах ДР від сферичних кластерів (рис. 5).
4. ІНСТРУМЕНТАЛЬНІ ФАКТОРИ ТКД
Результат інтеґрування (яке є наслідком врахування інструмента-
льних факторів ТКД) виразу для диференційного розподілу інтен-
сивности ДР (27) по вертикальній розбіжности Рентґенових проме-
нів в загальному випадку можна записати у наступному вигляді:
а б в
Рис. 4. Карта розподілу інтенсивности ДР для сферично усереднених ди-
сльокаційних петель. Решту даних наведено у підпису до рис. 1.
а б в
Рис. 5. Карта розподілу інтенсивности ДР для сферично симетричних
кластерів. Решту даних наведено у підпису до рис. 1.
ДИФУЗНА СКЛАДОВА ДИНАМІЧНОЇ КАРТИНИ РОЗСІЯННЯ 823
( )
( ) ( )
22
0 0
diff 2 2
0
*
(1 )
16 1 1
1 ,
c
SW
CE v tc cCEK
r
CE y y
X X I
−
δ+ τ+λ+σ ∞
δτ δ λσ λ δςλσ
δτλσ
⎛ ⎞ χ + Δχ − Σ
= ×⎜ ⎟πγ χ + Δχ ′+ +⎝ ⎠
′ ′× − ς ς Π∑
H H
H H H
p
(33)
якщо область розсіяння Хуаня—Кривоглаза не попадає в проміжок
інтеґрування, або
( )
( ) ( ) ( )
22
0 c 0
diff 2 2
0
*
SW SW H
(1 )
16 1 1
1 ,A A
CE v tc cCEK
r
CE y y
X X I I I
−
δ+τ+λ+σ ∞
δτ δ λσ λ δςλσ
δτλσ
⎛ ⎞ χ + Δχ − Σ
= ×⎜ ⎟πγ χ + Δχ ′+ +⎝ ⎠
′ ′× − ς ς Π − +∑
H H
H H H
p
(34)
якщо проміжок інтеґрування містить області розсіяння як Хуаня—
Кривоглаза, так і Стокса—Вільсона. Функція SWI∞
дорівнює значен-
ню інтеґрала від (31) або (32) по области Стокса—Вільсона такій, що
займає весь обернений простір, а функції
A
HI та
A
SWI дорівнюють ін-
теґралам по областях Хуаня—Кривоглаза та Стокса—Вільсона об-
межених по змінній ky відрізком [−A, A].
У випадку, коли δτ ≠ λσ, граничне значення
2 2
m aA k p= − і інтеґ-
рали у формулах (33) та (34) описуються виразами:
( )2
1 2
3 42 2
3 1 4 22 2 2 2
1 1 2 2
22 1
1 1 2 1 1 2
,
2 2
m
SW
a
k
I
kp p p
p p p p p p
∞ ⎡ Σ + Σ⎛ ⎞π
= Σ − Σ + −⎢ ⎜ ⎟Δ Δ⎢ ⎝ ⎠⎣
⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− Σ + Σ + + Σ + Σ − ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
(35)
( ) ( )
( )
2
1 2
3 42 2
1
3 1 2 2
1 1
2 1 2
4 2 2 2 2 2 2 2
2 2 1 1 2
2 arctan4
1 2 arctan
(36)
2
1 2 arctan
2 2 2
aA m
SW
a
A pk
I
kp p p
A p
p p p
A p A A
p p p p A p p A
⎡ Σ + Σ⎛ ⎞
= Σ − Σ + −⎢⎜ ⎟Δ Δ⎢⎝ ⎠⎣
⎛ ⎞⎛ ⎞
− Σ + Σ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Δ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ Σ Σ
+ Σ + Σ − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Δ +⎝ ⎠⎝ ⎠ ( )
( ) ( )
2
2
1 1
3 2
1 1
2 2 1 2
4 2 2 2 2 2 2 2
2 2 1 1 2 2
,
1 arctan
2
arctan
2 . (37)
A
H
p
A p
I
k p p
A p A A
p p p A p p A p
⎤
⎥
+ ⎥⎦
⎧⎛ ⎞Σ⎪= Σ + +⎨⎜ ⎟
⎪⎝ ⎠⎩
⎫⎛ ⎞Σ Σ Σ ⎪+ Σ + + + ⎬⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ ⎪⎭
824 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін.
У випадку, коли δτ = λσ, граничне значення 2 2
mA k p= − і ін-
теґрали у виразах (33)—(34) мають вигляд:
2
4
1 2 33 2 2 2
73 5
2 4 6 8
m
SW
k
I
kp p p p
∞
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞π Σ⎪ ⎪= Σ + Σ + Σ +⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
%
% % % , (38)
2
4
1 2 32 2 2 3 2
4 4 4
2 3 32 2 2 2 2 4 2 2 6
7 arctan1 3 5
4 6 8
5 53
,
2 4 6 3 6 4
A m
SW
m m m
k A p A
I
k p p p p p
AA A
p k p p p k p p k
⎧⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞Σ⎪= Σ + Σ + Σ + + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎩
⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞Σ Σ Σ ⎪+ Σ + Σ + + Σ + +⎢ ⎥ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎣ ⎦ ⎭
%
% % %
% % %
% % %
(39)
а б в
Рис. 6. Карта розподілу інтенсивности ДР в площині дифракції з враху-
ванням вертикальної розбіжности у випадку симетричної Ляве-дифракції
характеристичного випромінення CuKα для призматичних дисльокацій-
них петель з дискретними орієнтаціями <110> і радіюсом R = 0,05|Λ| у кри-
сталі Si товщиною 5 мкм (а), 50 мкм (б) і 500 мкм (в). Одиниця міряння по
осях kx і kz складає π Λ .
а б в
Рис. 7. Карта розподілу інтенсивности ДР для призматичних дисльока-
ційних петель з дискретними орієнтаціями <111> з врахуванням верти-
кальної розбіжности. Решту даних наведено у підпису до рис. 5.
ДИФУЗНА СКЛАДОВА ДИНАМІЧНОЇ КАРТИНИ РОЗСІЯННЯ 825
( )4
1 2 32 2 2
4 4 4
2 3 32 2 2 2 2 4 2 2 6
arctan51 1 3
2
4 6
5 53
.
4 6 2 6 3
A
H
m m m
A p
I
k pp p p
AA A
p k p p p k p p k
⎧⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞Σ⎪= Σ + Σ + Σ + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎩
⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞Σ Σ Σ ⎪+ Σ + Σ + + Σ + +⎢ ⎥ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎣ ⎦ ⎭
%
% % %
% % %
% % %
(40)
Карти розподілу інтенсивности ДР (нормованої на інтенсивність
у максимумі) в площині дифракції для призматичних дисльока-
ційних петель з дискретними орієнтаціями <110> і <111> після ін-
теґрування по вертикальній розбіжности наведено відповідно на
рис. 6 і 7 у випадку симетричної Ляве-дифракції Рентґенових про-
менів для кристалів ріжної товщини. У порівнянні з непроінтеґро-
ваними диференційними розподілами інтенсивности ДР, які пред-
ставлені на рис. 1 та 2, форма ізоліній стала більш розмитою завдя-
ки повільнішому спаданню інтенсивности ДР після інтеґрування.
Так само більш розмитими стали й піки інтенсивности ДР.
Для ріжних товщин кристалу у випадку симетричної Ляве-
дифракції Рентґенових променів на рис. 8 і 9 наведено карти розпо-
ділу інтенсивности ДР в площині дифракції після інтеґрування по
вертикальній розбіжности відповідно для призматичних дисльока-
ційних петель, сферично усереднених за орієнтаціями, та сферично
симетричних кластерів. Аналогічно до випадку дискретно орієнто-
ваних петель карти відображають більш плавне спадання інтенсив-
ности ДР після інтеґрування за вертикальною розбіжністю.
Варто підкреслити, що результати розгляду впливу дискретно
орієнтованих дисльокаційних петель на процеси взаємоузгоджено-
го формування когерентної і дифузної складових динамічної кар-
тини розсіяння можуть бути безпосередньо перенесені на випадок
дископодібних кластерів, що залягають в еквівалентних площинах
кристалічної ґратниці. Для цього достатньо в усіх вищенаведених
виразах (включно з виразами першої частини цієї роботи, яка на-
друкована окремо) під вектором b розуміти нормаль до площини
залягання дископодібного кластера, а «потужність» петлі (
2
0Rπ b )
замінити на потужність цього кластера Ac1 = 3ΓεVc/4π (Vc – об’єм
дископодібного кластера [18]).
5. РЕЗЮМЕ І ВИСНОВКИ
На основі статистичної динамічної теорії розсіяння Рентґенових
променів у монокристалах з хаотично розподіленими дефектами
розглянуто динамічне ДР у випадку геометрії дифракції за Ляве.
Одержано аналітичні вирази для диференційної та проінтеґрованої
по вертикальній розбіжности інтенсивностей ДР, які враховують
анізотропію полів зміщень атомів матриці навколо дефектів, зок-
826 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін.
рема, анізотропію, що спричинена однорідно розподіленими при-
зматичними дисльокаційними петлями з дискретними орієнтація-
ми <110> та <111>, а також дископодібними кластерами з такими ж
орієнтаціями. Показано, що одержані формули при відповідному
виборі коефіцієнтів описують також випадки сферично усередне-
них дисльокаційних петель і сферично симетричних кластерів.
Для розглянутих варіантів дискретних орієнтацій дисльокацій-
них петель побудовано мапи розподілу інтенсивности ДР в просторі
оберненої ґратниці і показано суттєву відмінність їх форми від від-
повідного розподілу інтенсивности ДР для моделю сферично усере-
днених дисльокаційних петель. Проведено аналізу залежности фо-
рми ізоліній ДР від товщини кристалу і продемонстровано ефекти
маятникових осциляцій і аномального проходження хвиль, які ди-
фузно розсіяні, у тому числі, на дисльокаційних петлях з ріжними
наборами еквівалентних орієнтацій.
Для всіх розглянутих типів дефектів показано вплив інтеґруван-
а б в
Рис. 8. Карта розподілу інтенсивности ДР для сферично усереднених
дисльокаційних петель з врахуванням вертикальної розбіжности. Решту
даних наведено у підпису до рис. 5.
а б в
Рис. 9. Карта розподілу інтенсивности ДР для сферично симетричних
кластерів з врахуванням вертикальної розбіжности. Решту даних наве-
дено у підпису до рис. 5.
ДИФУЗНА СКЛАДОВА ДИНАМІЧНОЇ КАРТИНИ РОЗСІЯННЯ 827
ня за вертикальною розбіжністю на розподіли інтенсивности ДР,
які реєструються ТКД у режимі картографування простору оберне-
ної ґратниці. Цей вплив проявляється, здебільшого, в розмитті від-
повідних дифракційних картин. Як видно з наведених результатів,
врахування як анізотропії полів зміщень атомів матриці навколо
дефектів, так і вертикальної розбіжности Рентґенових променів у
ТКД має важливе значення для коректної кількісної характериза-
ції дефектів з використанням експериментальних карт розподілів в
просторі оберненої ґратниці дифрагованої інтенсивности.
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. М. А. Кривоглаз, Дифракция рентгеновских лучей и нейтронов в неидеаль-
ных кристаллах (Киев: Наукова думка: 1983).
2. Л. И. Даценко, В. Б. Молодкин, М. Е. Осиновский, Динамическое рассеяние
рентгеновских лучей реальными кристаллами (Киев: Наукова думка: 1988).
3. V. B. Molodkin, S. I. Olikhovskii, E. N. Kislovskii, E. G. Len, and E. V. Pervak,
Phys. Status Solidi B, 227, No. 2: 429 (2001).
4. S. I. Olikhovskii, V. B. Molodkin, E. N. Kislovskii, E. G. Len, and E. V. Pervak,
Phys. Status Solidi B, 231, No. 1: 199 (2002).
5. В. Б. Молодкин, С. И. Олиховский, М. Е. Осиновский и др., Металлофизика,
6, № 3: 7 (1984).
6. В. В. Немошкаленко, В. Б. Молодкин, С. И. Олиховский и др., Металлофи-
зика, 15, № 11: 53 (1993).
7. V. B. Molodkin, V. V. Nemoshkalenko, S. I. Olikhovskii et al., Металлофиз. но-
вейшие технол., 20, № 11: 29 (1998).
8. Н. Н. Новиков, С. И. Олиховский, В. Г. Сушко, П. А. Теселько, Металлофиз.
новейшие технол., 23, № 3: 283 (2001).
9. В. Г. Барьяхтар, В. В. Немошкаленко, В. Б. Молодкин и др., Металлофизи-
ка, 15, № 12: 72 (1993).
10. В. В. Немошкаленко, В. Б. Молодкин, Е. Н. Кисловский и др., Металлофиз.
новейшие технол., 22, № 2: 42 (2000).
11. V. B. Molodkin, M. Ando, E. N. Kislovskii et al., Металлофиз. новейшие тех-
нол., 24, № 4: 541 (2002).
12. С. Й. Оліховський, В. Б. Молодкін, Є. М. Кисловський та ін., Металлофиз.
новейшие технол., 27, № 7: 947 (2005).
13. А. П. Шпак, В. Б. Молодкін, С. Й. Оліховський та ін., Металлофиз. новейшие
технол., 27, № 9: 1223 (2005).
14. A. P. Shpak, V. B. Molodkin, S. I. Olikhovskii et al., Phys. Status Solidi, 204, No.
8: 2651 (2007).
15. Є. М. Кисловський, С. Й. Оліховський, В. Б. Молодкін та ін., Металлофиз.
новейшие технол., 22, № 7: 21 (2000).
16. Т. П. Владімірова, Р. Ф. Середенко, В. Б. Молодкін, С. Й. Оліховський, Є. М.
Кисловський, Металлофиз. новейшие технол., 29, № 6: 711 (2007).
17. Ye. M. Kyslovskyy, T. P. Vladimirova, S. I. Olikhovskii et al., Phys. Status Solidi
A, 204, No. 8: 2591 (2007).
18. С. Й. Оліховський, Є. М. Кисловський, В. Б. Молодкiн та ін., Металлофиз.
новейшие технол., 22, № 6: 3 (2000).
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87940 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1816-5230 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T04:32:09Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Молодкін, В.Б. Оліховський, С.Й. Шелудченко, Б.В. Лень, Є.Г. Когут, М.Т. 2015-10-31T08:52:21Z 2015-10-31T08:52:21Z 2008 Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. ІІ. Дифузна складова динамічної картини розсіяння / В.Б. Молодкін, С.Й. Оліховський, Б.В. Шелудченко, Є.Г. Лень, М.Т. Когут // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2008. — Т. 6, № 3. — С. 807—827. — Бібліогр.: 18 назв. — укр. 1816-5230 PACS numbers: 07.85.Jy, 61.05.cc, 61.05.cf, 61.05.cp, 61.72.Dd, 61.72.J-, 61.72.Lk https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87940 В межах узагальненої динамічної теорії розсіяння Рентґенових променів у недосконалих кристалах розглянуто динамічне дифузне розсіяння (ДР) від крупних дефектів у випадку геометрії дифракції за Ляве. Одержано аналітичні вирази для диференційної та проінтеґрованої за вертикальною розбіжністю інтенсивностей ДР у кристалі з однорідно розподіленими дефектами, які створюють навколо себе анізотропні поля зміщень атомів матриці. Для дефектів ріжних типів і розмірів побудовано карти розподілу інтенсивности ДР у просторі оберненої ґратниці й продемонстровано вплив на їх вигляд інтеґрування за вертикальною розбіжністю Рентґенових променів. В рамках обобщённой динамической теории рассеяния рентгеновских лучей в несовершенных кристаллах рассмотрено динамическое диффузное рассеяние (ДР) от крупных дефектов в случае геометрии дифракции по Лауэ. Получены аналитические выражения для дифференциальной и проинтегрированной по вертикальной расходимости интенсивностей ДР в кристалле с однородно распределёнными дефектами, которые создают вокруг себя анизотропные поля смещений атомов матрицы. Для дефектов разных типов и размеров построены карты распределения интенсивности ДР в пространстве обратной решетки и продемонстрировано влияние на их вид интегрирования по вертикальной расходимости рентгеновских лучей. Within the framework of the generalized dynamical theory of x-ray scattering from imperfect crystals, the dynamical diffuse scattering (DS) by large defects is considered in the case of Laue diffraction geometry. Analytical expressions for DS intensities, which are differential or integrated over the vertical divergence, are obtained for crystals containing homogenously distributed defects, which create around themselves the anisotropic displacement fields of atoms in a matrix. For defects of various types and sizes, the maps of DS intensity distributions in the reciprocal lattice space are plotted, and the influence of the integration over vertical divergence of x-rays on their shape is demonstrated. uk Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. ІІ. Дифузна складова динамічної картини розсіяння Anisotropic Model of Dynamic Three-Crystal Laue Diffractometry of Structural Perfection of Nanotechnologies Crystalline Products. IІ. Diffuse Component of Dynamical Scattering Pattern Article published earlier |
| spellingShingle | Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. ІІ. Дифузна складова динамічної картини розсіяння Молодкін, В.Б. Оліховський, С.Й. Шелудченко, Б.В. Лень, Є.Г. Когут, М.Т. |
| title | Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. ІІ. Дифузна складова динамічної картини розсіяння |
| title_alt | Anisotropic Model of Dynamic Three-Crystal Laue Diffractometry of Structural Perfection of Nanotechnologies Crystalline Products. IІ. Diffuse Component of Dynamical Scattering Pattern |
| title_full | Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. ІІ. Дифузна складова динамічної картини розсіяння |
| title_fullStr | Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. ІІ. Дифузна складова динамічної картини розсіяння |
| title_full_unstemmed | Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. ІІ. Дифузна складова динамічної картини розсіяння |
| title_short | Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. ІІ. Дифузна складова динамічної картини розсіяння |
| title_sort | анізотропний модель динамічної трикристальної ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. іі. дифузна складова динамічної картини розсіяння |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87940 |
| work_keys_str_mv | AT molodkínvb anízotropniimodelʹdinamíčnoítrikristalʹnoílâvedifraktometríístrukturnoídoskonalostikristalíčnihvirobívnanotehnologíiíídifuznaskladovadinamíčnoíkartinirozsíânnâ AT olíhovsʹkiisi anízotropniimodelʹdinamíčnoítrikristalʹnoílâvedifraktometríístrukturnoídoskonalostikristalíčnihvirobívnanotehnologíiíídifuznaskladovadinamíčnoíkartinirozsíânnâ AT šeludčenkobv anízotropniimodelʹdinamíčnoítrikristalʹnoílâvedifraktometríístrukturnoídoskonalostikristalíčnihvirobívnanotehnologíiíídifuznaskladovadinamíčnoíkartinirozsíânnâ AT lenʹêg anízotropniimodelʹdinamíčnoítrikristalʹnoílâvedifraktometríístrukturnoídoskonalostikristalíčnihvirobívnanotehnologíiíídifuznaskladovadinamíčnoíkartinirozsíânnâ AT kogutmt anízotropniimodelʹdinamíčnoítrikristalʹnoílâvedifraktometríístrukturnoídoskonalostikristalíčnihvirobívnanotehnologíiíídifuznaskladovadinamíčnoíkartinirozsíânnâ AT molodkínvb anisotropicmodelofdynamicthreecrystallauediffractometryofstructuralperfectionofnanotechnologiescrystallineproductsiídiffusecomponentofdynamicalscatteringpattern AT olíhovsʹkiisi anisotropicmodelofdynamicthreecrystallauediffractometryofstructuralperfectionofnanotechnologiescrystallineproductsiídiffusecomponentofdynamicalscatteringpattern AT šeludčenkobv anisotropicmodelofdynamicthreecrystallauediffractometryofstructuralperfectionofnanotechnologiescrystallineproductsiídiffusecomponentofdynamicalscatteringpattern AT lenʹêg anisotropicmodelofdynamicthreecrystallauediffractometryofstructuralperfectionofnanotechnologiescrystallineproductsiídiffusecomponentofdynamicalscatteringpattern AT kogutmt anisotropicmodelofdynamicthreecrystallauediffractometryofstructuralperfectionofnanotechnologiescrystallineproductsiídiffusecomponentofdynamicalscatteringpattern |