Великі відхилення для імпульсних процесів накопичення в схемі фазового укрупнення
Розглянуто проблему великих вiдхилень для iмпульсного процесу накопичення в схемi фазового укрупнення. Знайдено нелiнiйний експоненцiйний генератор, що визначає розв’язок цiєї проблеми за умов тотального та локального балансу. Рассмотрена проблема больших уклонений для импульсного процесса накоплени...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87945 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Великі відхилення для імпульсних процесів накопичення в схемі фазового укрупнення / В.С. Королюк, I.В. Самойленко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 7. — С. 7-14. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860246519600381952 |
|---|---|
| author | Королюк, В.С. Самойленко, І.В. |
| author_facet | Королюк, В.С. Самойленко, І.В. |
| citation_txt | Великі відхилення для імпульсних процесів накопичення в схемі фазового укрупнення / В.С. Королюк, I.В. Самойленко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 7. — С. 7-14. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Розглянуто проблему великих вiдхилень для iмпульсного процесу накопичення в схемi фазового укрупнення. Знайдено нелiнiйний експоненцiйний генератор, що визначає розв’язок цiєї проблеми за умов тотального та локального балансу.
Рассмотрена проблема больших уклонений для импульсного процесса накопления в схеме
фазового укрупнения. Найден нелинейный экспоненциальный генератор, определяющий решение этой проблемы в условиях тотального и локального баланса.
We study the large deviation problem for an impulsive process of accumulation in a phase merging
scheme. A nonlinear exponential generator that solves this problem is found under the total and
local balance conditions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:37:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
7 • 2014
МАТЕМАТИКА
УДК 519.24
Академiк НАН України В.С. Королюк, I. В. Самойленко
Великi вiдхилення для iмпульсних процесiв
накопичення в схемi фазового укрупнення
Розглянуто проблему великих вiдхилень для iмпульсного процесу накопичення в схе-
мi фазового укрупнення. Знайдено нелiнiйний експоненцiйний генератор, що визначає
розв’язок цiєї проблеми за умов тотального та локального балансу.
1. Допомiжнi означення та властивостi. Iмпульсний процес накопичення (IПН) S(t)
є сумою незалежних у сукупностi випадкових величин, визначених на вкладеному ланцюзi
Маркова однорiдного марковського процесу
S(t) = u+
ν(t)∑
n=1
αn(x
ε
n), t > 0, u ∈ R. (1)
Випадковi величини в (1) мають функцiї розподiлу
Φx(dv) = P{αn(x) ∈ dv} := P{αn(xn) ∈ dv|n = x}, x ∈ E.
IПН можна розглядати як випадковий еволюцiйний процес (детальнiше див. [1, гл. 1]).
Перемикаючий марковський процес xε(t), t > 0, описує випадкове середовище та має ниж-
ченаведенi властивостi.
Однорiдний за часом марковський процес xε(t), t > 0, визначається на стандартному
фазовому просторi (E, E) з розщепленням
E =
N⋃
k=1
Ek, Ek
⋂
Ek′ = ∅, k 6= k′
у схемi серiй з малим параметром серiї ε → 0, ε > 0.
Марковське ядро має вигляд
Qε(x,B, t) = P ε(x,B)[1 − e−q(x)t], x ∈ E, B ∈ E , t > 0.
© В. С. Королюк, I. В. Самойленко, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №7 7
Також виконуються такi умови:
ME1. Ядро, що описує перехiднi ймовiрностi вкладеного ланцюга Маркова xεn := xε(τn),
n > 0, має представлення
P ε(x,B) = P (x,B) + εP1(x,B).
При цьому моменти вiдновлення
τn+1 = τn + θn+1, n > 0, τ0 = 0,
де
P (θn+1 > t|xn = x) = e−q(x)t =: P (θx > t).
Рахуючий процес визначається спiввiдношенням
ν(t) := max{n > 0: τn 6 t}, t > 0.
Стохастичне ядро P (x,B) на розщепленому фазовому просторi визначається таким чи-
ном:
P (x,Ek) = 1k(x) :=
{
1, x ∈ Ek,
0, x /∈ Ek.
Стохастичне ядро P (x,B) визначає супроводжуючий ланцюг Маркова xn, n > 0, на
вiдокремлених класах Ek, 1 6 k 6 N . Крiм того, збурююче ядро P1(x,B) задовольняє
умову
P1(x,E) = 0,
що є наслiдком рiвностi P ε(x,E) = P (x,E) = 1.
ME2. Асоцiйований марковський процес x0(t), t > 0 заданий генератором
Qϕ(x) = q(x)
∫
E
P (x, dy)[ϕ(y) − ϕ(x)],
є рiвномiрно ергодичним на кожному з класiв Ek, 1 6 k 6 N , зi стацiонарними розподiлами
πk(dx), 1 6 k 6 N , якi задовольняють спiввiдношення
πk(dx)q(x) = qkρk(dx), qk :=
∫
Ek
πk(dx)q(x).
ME3. Усередненi iмовiрностi виходу
p̂k :=
∫
Ek
ρk(dx)P1(x,E \ Ek) > 0, 1 6 k 6 N.
За умов ME1–ME3 має мiсце слабка збiжнiсть [1, гл. 4]
v(xε(t/ε)) ⇒ x̂(t), ε → 0, v(x) = k ∈ Ê = {1, . . . , N}, x ∈ Ek.
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №7
Граничний марковський процес x̂(t), t > 0, на укрупненому фазовому просторi Ê =
= {1, . . . , N} визначається генеруючою матрицею [1, гл. 4]
Q̂1 = (q̂kr, 1 6 k, r 6 N).
ME4. Укрупнений марковський процес x̂(t), t > 0, є ергодичним, зi стацiонарним роз-
подiлом π̂ = (πk, k ∈ Ê).
Таким чином, оператор Qε можна подати у виглядi
Qε = Q+ εQ1, Q1(x) = q(x)
∫
E
P1(x, dy)ϕ(y).
Нехай Π — проектор на нуль-пiдпростiр зведено-оборотного оператора Q. Його дiя на
тест-функцiї ϕ визначається таким чином:
Πϕ(x) =
N∑
k=1
ϕ̂k1k(x), ϕ̂k :=
∫
Ek
πk(dx)ϕ(x).
Має мiсце спiввiдношення
QΠ = ΠQ = 0.
Потенцiйний оператор [1, гл. 1]
R0 := Π− (Q+Π)−1 = (Π−Q)−1 −Π
має властивiсть
QR0 = R0Q = Π− I.
Означимо зведений оператор Q̂1 за допомогою спiввiдношення
Q̂1Π = ΠQ1Π.
Нехай Π̂ — проектор на нуль-пiдпростiр зведено-оборотного оператора Q̂1:
Π̂ϕ̂ :=
∑
k∈Ê
π̂kϕ̂k.
Означимо потенцiальну матрицю R̂0 = [R̂0
kl; 1 6 k, l 6 N ] спiввiдношеннями
Q̂1R̂0 = R̂0Q̂1 = Π̂− I.
2. Великi вiдхилення за умови локального балансу. Умова локального балансу
означає, що середнi значення стрибкiв IПН дорiвнюють нулю:
b(x) =
∫
R
vΦx(dv) ≡ 0. (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №7 9
IПН у схемi фазового укрупнення розглядається з таким нормуванням:
Sε(t) = u+ ε2
ν(t/ε3)∑
n=1
αn(xn), t > 0, ε > 0, u ∈ R. (3)
Марковський процес-пара
Sε(t), xε(t) := x
(
t
ε3
)
, t > 0,
визначається генератором
Lεϕ(u, x) = ε−3q(x)
∫
E
P (x, dy)
∫
R
Φy(dv)[ϕ(u + ε2v, y)− ϕ(u, x)],
який можна переписати як
Lεϕ(u, x) = ε−3[Q+ εQ1 +Q0Φ
ε
x]ϕ(u, x),
де, за означенням,
Q0ϕ(x) := q(x)
∫
E
P (x, dy)ϕ(y),
Φε
xϕ(u) :=
∫
R
Φx(dv)[ϕ(u + ε2v)− ϕ(u)].
Ми дослiджуємо великi вiдхилення для IПН за допомогою асимптотичного аналiзу екс-
поненцiйного генератора великих вiдхилень [2, ч. I] (див. також [3, 4])
H
εϕ(u, x) = e−ϕ/εεLεeϕ/ε.
Теорема 1. Експоненцiйний генератор великих вiдхилень для IПН (3) за умов ME1–
ME4 та (2) визначається спiввiдношенням
Hϕ(u) =
1
2
̂̂
C[ϕ′(u)]2,
де
̂̂
C = q
̂̂
B,
̂̂
B =
N∑
k=1
π̂k
∫
Ek
πk(dx)B(x), B(x) =
∫
R
v2Φx(dv).
Доведення базується на такiй лемi.
Лема 1. Експоненцiйний генератор на збурених тест-функцiях
ϕε(u, x) = ϕ(u) + ε ln[1 + εϕ1(u, x) + ε2ϕ2(u, x)]
має асимптотичне зображення
H
εϕε(u, x) = ε−1Qϕ1 +Qϕ2 +Q1ϕ1 − ϕ1Qϕ1 +Q0B̃(x)ϕ(u) + δεH(x)ϕ(u),
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №7
i знехтувальнi доданки збiгаються рiвномiрно за x на функцiях ϕ(u) ∈ C3(R):
|δεH(x)ϕ(u)| → 0, ε → 0.
Тут
B̃(x)ϕ(u) =
1
2
B(x)[ϕ′(u)]2.
Доведення леми базується на асимптотичному аналiзi доданкiв Hε
Qϕ
ε(u, x) = e−ϕ/ε ×
× [ε−2Q + ε−1εQ1]e
ϕ/ε та Hε
Φϕ
ε(u, x) = e−ϕ/εε−2Q0Φ
ε
xe
ϕ/ε.
Для завершення доведення теореми застосовується розв’язок проблеми сингулярного
збурення для рiвнянь.
Qϕ1(u, x) = 0,
Qϕ2 +Q1ϕ1 +Q0B̃(x)ϕ(u) = Hϕ(u).
З умови розв’язностi для другого рiвняння маємо
Π̂
̂
Q0B̃(x)Π̂ϕ̂(u) = Hϕ(u).
Таким чином, рiвнiсть
H
εϕε(u, x) = Hϕ(u) + δεH(x)ϕ(u)
завершує доведення теореми.
3. Великi вiдхилення за умови тотального балансу. Умова тотального балансу
означає, що середнi значення стрибкiв IПН у кожному з класiв Ek не дорiвнюють 0:
b(x) =
∫
R
vΦx(dv) 6≡ 0,
натомiсть
N∑
k=1
π̂k b̂k = 0, b̂k =
∫
Ek
πk(dx)b(x), 1 6 k 6 N. (4)
За умови тотального балансу недостатньо нормувати час та величини стрибкiв процесу.
Необхiдно вводити нормування iнтенсивностi стрибкiв, а саме умови пуассонової апрокси-
мацiї [1, гл. 7] (див. також [5]).
IПН у схемi фазового укрупнення розглядається з нормуванням
Sε(t) = u+ ε2
ν(t/ε4)∑
n=1
αε
n(xn). (5)
При цьому виконуються такi умови:
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №7 11
C1. Сiмейство випадкових величин αε
n(x), n > 1, x ∈ E, розглядається в схемi серiй
з малим параметром ε > 0 та визначається функцiєю розподiлу
Φε
x(z) = P{αε
n(x) < z}, z ∈ R, x ∈ E.
C2. Сiмейство випадкових величин αε
n(x), k > 1, x ∈ E, рiвномiрно квадратично iн-
тегровне
sup
ε>0
sup
x∈E
∫
||z||>c
z2Φε
x(dz) → 0, c → ∞.
Також виконуються умови пуассонової апроксимацiї:
PA1. Апроксимацiя середнiх:
bε(x) = Eαε
n(x) =
∫
R
zΦε
x(dz) = ε[b(x) + θεb(x)]
та
cε(x) =
∫
R
z2Φε
x(dz) = ε[c(x) + θεc(x)].
PA2. Пуассонова апроксимацiя ядра iнтенсивностi
∫
R
g(z)Φε
x(dz) = ε[Φg(x) + θεg(x)]
для всiх g ∈ C3(R) та ядро
Φg(x) :=
∫
R
g(z)Φx(dz)
обмежене для всiх g ∈ C3(R), тобто
sup
x∈E
|Φg(x)| 6 Φg < ∞.
Члени, якими можна знехтувати — θεb , θ
ε
c , θ
ε
g, задовольняють умови
sup
x∈E
|θε· (x)| → 0, ε → 0.
Генератор випадкової еволюцiї має вигляд
Lε
Tϕ(u, x) = ε−4[Q+ εQ1 +Q0Φ
ε
x]ϕ(u, x),
де, за означенням,
Φε
xϕ(u) :=
∫
R
Φε
x(dv)[ϕ(u + ε2v)− ϕ(u)].
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №7
Теорема 2. Експоненцiйний генератор великих вiдхилень для IПН (5) за умов ME1–
ME4, C1, C2, PA1, PA2 та умови тотального балансу (4) має вигляд
Hϕ(u) =
1
2
̂̂
BT [ϕ
′(u)]2,
̂̂
BT =
̂̂
C +
̂̂
B.
Тут
̂̂
C :=
N∑
k=1
π̂k
∫
Ek
πk(dx)c(x), c(x) =
∫
R
v2Φx(dv),
̂̂
B := Π̂b̂(x̂)R̂0b̂(x̂)Π̂ =
N∑
k,l=1
π̂k b̂kR̂
0
klb̂l.
Доведення базується на нижченаведенiй лемi.
Лема 2. Експоненцiйний генератор на збурених тест-функцiях
ϕε(u, x) = ϕ(u) + ε ln[1 + εϕ1(u, x) + ε2ϕ2(u, x) + ε3ϕ3(u, x)]
має таке асимптотичне зображення
H
εϕε(u, x) = ε−2Qϕ1 + ε−1[Qϕ2 +Q1ϕ1 − ϕ1Qϕ1 +B(x)ϕ(u)] +
+ [Qϕ3 +Q1ϕ2 − ϕ1Qϕ2 − ϕ2Qϕ1 − ϕ1Q1ϕ1 + C(x)ϕ(u)] + δε(x)ϕ(u)
i знехтувальний доданок збiгається рiвномiрно за x на функцiях ϕ(u) ∈ C3(R):
|δε(x)ϕ(u)| → 0, ε → 0.
Оператори
B(x)ϕ(u) := b0(x)ϕ
′(u), C(x)ϕ(u) :=
1
2
c0(x)[ϕ
′(u)]2,
b0(x) := q(x)
∫
E
P (x, dy)b(y), c0(x) := q(x)
∫
E
P (x, dy)c(y).
Доведення леми проводиться за допомогою асимптотичного аналiзу доданкiв
Hε
Qϕ
ε(u, x) = e−ϕ/ε[ε−3Q + ε−2εQ1]e
ϕ/ε та Hε
Φϕ
ε(u, x) = e−ϕ/εε−3Q0Φ
ε
xe
ϕ/ε.
Щоб завершити доведення теореми необхiдно розв’язати проблему сингулярного збу-
рення для такої системи рiвнянь:
Qϕ1 = 0,
Qϕ2 +Q1ϕ1 +B(x)ϕ′(u) = 0,
Qϕ3 +Q1ϕ2 − ϕ1Qϕ2 − ϕ1Q1ϕ1 + C(x)ϕ(u) = Hϕ(u).
З умов розв’язностi для цих рiвнянь маємо
Q̂1ϕ̂2 − ϕ̂1Q̂ϕ2 − ϕ̂1Q̂1ϕ̂1 + Ĉ(x)ϕ̂(u) = Hϕ(u),
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №7 13
i
Q̂ϕ2 = −[Q̂1ϕ1 + B̂(x̂)ϕ′(u)] = 0,
а отже, отримуємо
Q̂1ϕ̂2 + B̂T (x)ϕ̂(u) = Hϕ(u).
Застосування умови розв’язностi для останнього рiвняння завершує доведення теореми.
1. Koroliuk V. S., Limnios N. Stochastic systems in merging phase space. – Hackensack, N. J.; World Scientific,
2005. – 331 p.
2. Feng J., Kurtz T.G. Large deviation for stochastic processes. – Providence, RI: AMS, 2006. – 410 p. –
(Mathematical Surveys and Monographs; Vol. 131).
3. Koroliuk V. S. Random evolutions with locally independent increments on increasing time intervals //
J. Math. Sci. – 2011. – 179, No 2. – P. 273–289.
4. Koroliuk V. S. Large deviation problems for Markov random evolution with independent increments in
the scheme of asymptotically small diffusion // Commun. Statist. Theory and Methods. – 2011. – 40,
Is. 19–20. – P. 3385–3395.
5. Самойленко I. В. Збiжнiсть iмпульсного процесу накопичення зi стрибковими перемиканнями // Укр.
мат. журн. – 2008. – № 9. – С. 1282–1286.
Надiйшло до редакцiї 24.12.2013Iнститут математики НАН України, Київ
Академик НАН Украины В.С. Королюк, И.В. Самойленко
Большие уклонения для импульсных процессов накопления в схеме
фазового укрупнения
Рассмотрена проблема больших уклонений для импульсного процесса накопления в схеме
фазового укрупнения. Найден нелинейный экспоненциальный генератор, определяющий ре-
шение этой проблемы в условиях тотального и локального баланса.
Academician of the NAS of Ukraine V. S. Koroliuk, I. V. Samoilenko
Large deviations for impulsive processes of accumulation in a phase
merging scheme
We study the large deviation problem for an impulsive process of accumulation in a phase merging
scheme. A nonlinear exponential generator that solves this problem is found under the total and
local balance conditions.
14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87945 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:37:10Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Королюк, В.С. Самойленко, І.В. 2015-11-01T18:29:59Z 2015-11-01T18:29:59Z 2014 Великі відхилення для імпульсних процесів накопичення в схемі фазового укрупнення / В.С. Королюк, I.В. Самойленко // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 7. — С. 7-14. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87945 519.24 Розглянуто проблему великих вiдхилень для iмпульсного процесу накопичення в схемi фазового укрупнення. Знайдено нелiнiйний експоненцiйний генератор, що визначає розв’язок цiєї проблеми за умов тотального та локального балансу. Рассмотрена проблема больших уклонений для импульсного процесса накопления в схеме
 фазового укрупнения. Найден нелинейный экспоненциальный генератор, определяющий решение этой проблемы в условиях тотального и локального баланса. We study the large deviation problem for an impulsive process of accumulation in a phase merging
 scheme. A nonlinear exponential generator that solves this problem is found under the total and
 local balance conditions. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Великі відхилення для імпульсних процесів накопичення в схемі фазового укрупнення Большие уклонения для импульсных процессов накопления в схеме фазового укрупнения Large deviations for impulsive processes of accumulation in a phase merging scheme Article published earlier |
| spellingShingle | Великі відхилення для імпульсних процесів накопичення в схемі фазового укрупнення Королюк, В.С. Самойленко, І.В. Математика |
| title | Великі відхилення для імпульсних процесів накопичення в схемі фазового укрупнення |
| title_alt | Большие уклонения для импульсных процессов накопления в схеме фазового укрупнения Large deviations for impulsive processes of accumulation in a phase merging scheme |
| title_full | Великі відхилення для імпульсних процесів накопичення в схемі фазового укрупнення |
| title_fullStr | Великі відхилення для імпульсних процесів накопичення в схемі фазового укрупнення |
| title_full_unstemmed | Великі відхилення для імпульсних процесів накопичення в схемі фазового укрупнення |
| title_short | Великі відхилення для імпульсних процесів накопичення в схемі фазового укрупнення |
| title_sort | великі відхилення для імпульсних процесів накопичення в схемі фазового укрупнення |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87945 |
| work_keys_str_mv | AT korolûkvs velikívídhilennâdlâímpulʹsnihprocesívnakopičennâvshemífazovogoukrupnennâ AT samoilenkoív velikívídhilennâdlâímpulʹsnihprocesívnakopičennâvshemífazovogoukrupnennâ AT korolûkvs bolʹšieukloneniâdlâimpulʹsnyhprocessovnakopleniâvshemefazovogoukrupneniâ AT samoilenkoív bolʹšieukloneniâdlâimpulʹsnyhprocessovnakopleniâvshemefazovogoukrupneniâ AT korolûkvs largedeviationsforimpulsiveprocessesofaccumulationinaphasemergingscheme AT samoilenkoív largedeviationsforimpulsiveprocessesofaccumulationinaphasemergingscheme |