Про багатоканальні системи з повторними викликами сталої інтенсивності
Дослiджено марковськi моделi систем з повторними викликами, в яких iнтенсивнiсть потоку повторних викликiв не залежить вiд кiлькостi їх джерел. Для такого класу систем з’ясовано умови iснування стацiонарного режиму i отримано явнi формули векторно-матричного типу знаходження стацiонарного розподiлу...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87946 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про багатоканальні системи з повторними викликами сталої інтенсивності / Є.О. Лебєдєв, В.Д. Пономарьов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 7. — С. 15-23. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859673180630679552 |
|---|---|
| author | Лебєдєв, Є.О. Пономарьов, В.Д. |
| author_facet | Лебєдєв, Є.О. Пономарьов, В.Д. |
| citation_txt | Про багатоканальні системи з повторними викликами сталої інтенсивності / Є.О. Лебєдєв, В.Д. Пономарьов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 7. — С. 15-23. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Дослiджено марковськi моделi систем з повторними викликами, в яких iнтенсивнiсть
потоку повторних викликiв не залежить вiд кiлькостi їх джерел. Для такого класу систем з’ясовано умови iснування стацiонарного режиму i отримано явнi формули векторно-матричного типу знаходження стацiонарного розподiлу через параметри системи.
Исследованы марковские модели систем с повторными вызовами, в которых интенсивность
потока повторных вызовов не зависит от количества их источников. Для такого класса
систем найдены условия существования стационарного режима и получены явные формулы
векторно-матричного типа для нахождения стационарного распределения через параметры
системы.
The paper deals with the Markov models of retrial queues, in which the intensity of a repeated
request flow does not depend on the number of their sources. We find out the conditions of the
steady state existence for such class of systems and obtain explicit formulas of the vector-matrix
type for the stationary distribution through the system parameters.
|
| first_indexed | 2025-11-30T14:36:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.217
Є.О. Лебєдєв, В.Д. Пономарьов
Про багатоканальнi системи з повторними викликами
сталої iнтенсивностi
(Представлено членом-кореспондентом НАН України П.С. Кноповим)
Дослiджено марковськi моделi систем з повторними викликами, в яких iнтенсивнiсть
потоку повторних викликiв не залежить вiд кiлькостi їх джерел. Для такого кла-
су систем з’ясовано умови iснування стацiонарного режиму i отримано явнi форму-
ли векторно-матричного типу знаходження стацiонарного розподiлу через параметри
системи.
Системи з повторними викликами утворюють важливий клас стохастичних систем, якi час-
то зустрiчаються на практицi. Функцiонування комп’ютерних i телефонних мереж, систем
керування чергами та iнших стохастичних систем якнайкраще описується саме системами
з повторними викликами (див., наприклад, [1]).
Характерною особливiстю систем з повторними викликами є те, що виклик, який на-
дiйшов до системи в момент, коли всi прилади зайнятi, не губиться, а повертається через
деякий випадковий час з метою повторно отримати обслуговування. В класичнiй систе-
мi з повторними викликами вважається, що ймовiрнiсть надходження повторного виклику
в iнтервалi часу (t, t+dt), при умовi, що в системi є j джерел повторних викликiв, дорiвнює
jµdt + o(dt). Натомiсть у багатьох комп’ютерних i телекомунiкацiйних мережах iнтервали
часу мiж повторними викликами контролюються спецiальними пристроями i не залежать
вiд кiлькостi викликiв, якi намагаються повторно отримати обслуговування (див. [2]). Тому
в таких системах ймовiрнiсть надходження повторного виклику в iнтервалi часу (t, t+ dt)
при умовi, що є хоча б одне джерело повторних викликiв, дорiвнює µdt + o(dt). Системи
саме з такою органiзацiєю потоку повторних викликiв будуть розглядатися в данiй роботi.
Незважаючи на широке використання систем з повторними викликами, аналiтичне по-
дання стацiонарних ймовiрностей було отримане лише для декiлькох найпростiших випад-
кiв [1, 3]. Складностi в отриманнi явного подання стацiонарного розподiлу через параметри
системи пов’язанi з тим, що марковський процес, який описує функцiонування такої сис-
теми, має злiченну множину станiв, а матриця iнтенсивностей переходiв мiж станами, як
правило, не має спецiальних властивостей, якi б полегшили її перетворення для побудови
явного розв’язку.
У роботi [3] дослiджуються моделi систем з повторними викликами для розрахунку
характеристик системи бездротового зв’язку CSMA/CD. Основним об’єктом дослiдження
була система з двома обслуговуючими приладами, для якої було отримано явнi формули
розрахунку стацiонарних ймовiрностей i дослiджено декiлька основних iнтегральних харак-
теристик. На жаль, метод побудови стацiонарного розподiлу системи, який використовував
автор, неможливо поширити на системи з бiльшою кiлькiстю обслуговуючих приладiв.
У данiй роботi ми зосередимось на побудовi аналiтичного подання ймовiрнiсних харак-
теристик систем M/M/c/∞ у стацiонарному режимi через їх параметри для будь-якого
c = 1, 2, . . ..
© Є.О. Лебєдєв, В.Д. Пономарьов, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №7 15
1. Марковська модель процесу обслуговування. Основна модель, що розглядаєть-
ся в роботi, є двовимiрним ланцюгом Маркова з неперервним часом X(t) = (C(t);N(t)),
C(t) ∈ {0, 1, . . . , c}, N(t) ∈ {0, 1, . . .}, який задається iнфiнiтезимальними характеристика-
ми a(i,j)(i′,j′), (i, j), (i
′, j′) ∈ S(X) = {0, 1, . . . , c} × {0, 1, . . .}:
1) якщо i = {0, 1, . . . , c − 1}, то
a(i,j)(i′,j′) =
λ, (i′, j′) = (i+ 1, j),
µ, (i′, j′) = (i+ 1, j − 1),
iν, (i′, j′) = (i− 1, j),
−[λ+ µ+ iν], (i′, j′) = (i, j),
0, в iншому випадку;
2) якщо i = c, то
a(c,j)(i′,j′) =
λ, (i′, j′) = (c, j + 1),
cν, (i′, j′) = (c− 1, j),
−[λ+ cν], (i′, j′) = (c, j),
0, в iншому випадку.
Ланцюг Маркова X(t) описує процес обслуговування у такiй системi з повторними ви-
кликами. Вхiдний потiк вимог є пуассонiвським з параметром λ. Вимоги обслуговуються
на c однакових приладах. Якщо є хоча б один вiльний прилад, то вимога обслуговується не-
гайно. Час обслуговування — показниково розподiлена випадкова величина з параметром ν.
Якщо всi прилади зайнятi, то вимога стає джерелом повторних викликiв. Потiк повторних
викликiв має сталу iнтенсивнiсть µ, яка не залежить вiд кiлькостi джерел повторних викли-
кiв. Кiлькiсть зайнятих приладiв у будь-який момент часу задається першою компонентою
процесу X(t), а кiлькiсть джерел повторних викликiв — другою.
Перш за все з’ясуємо умови iснування ергодичного режиму для процесу X(t), t > 0.
Вони задаються такою лемою.
Лема 1. Для того щоб процес X(t) був ергодичним, необхiдно i достатньо, щоб ви-
конувалась нерiвнiсть
ρc =
λ(λ+ µ)c
c!µ
c−1
∑
i=0
(λ+ µ)i
i!νi−c
< 1.
Доведення. Для того щоб процес X(t) був ергодичним, необхiдно i достатньо, щоб
(див. [4, теорема 1])
(λ+ µ)πb(λ+ µ) < µ,
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №7
де πb(λ + µ) — блокуюча ймовiрнiсть у звичайнiй моделi Ерланга M/M/c з iнтенсивнiстю
вхiдного потоку (λ + µ) та iнтенсивнiстю обслуговування ν. Оскiльки
πb(λ+ µ) =
(λ+ µ)c
c!νc
c
∑
i=0
(λ+ µ)i
i!νi
,
то X(t) ергодичний тодi i тiльки тодi, коли ρc < 1.
З’ясувавши умову iснування стацiонарного режиму, розглянемо функцiонування систе-
ми в стацiонарному режимi.
2. Дослiдження стацiонарного режиму. Далi основною метою є побудова формул
для стацiонарних ймовiрностей системи, що розглядається, через її параметри. Позначимо
через πij, (i, j) ∈ S(X) стацiонарний розподiл системи.
Для пошуку стацiонарних ймовiрностей πij використаємо теорему про рiвнiсть пото-
ку ймовiрностей через границю замкненої областi в стацiонарному режимi [5, с. 49]. Для
кожного j = 0, 1, . . . побудуємо розбиття фазового простору S(X) = S
(1)
j (X)
⋃
S
(1)
j (X),
S
(1)
j (X) = {(p, q) ∈ S(X) : q 6 j}. Прирiвнюючи потоки ймовiрностей через границю областi
S
(1)
j (X), знаходимо:
λπcj = µ
c−1
∑
i=0
πij+1, j = 0, 1, . . . . (1)
Тепер для i = 0, 1, . . . , c − 1, j = 0, 1, . . . побудуємо розбиття фазового простору S(X) =
= S
(2)
ij (X) ∪ S
(2)
ij (X), S(2)
ij (X) = {(i, j)}. Прирiвнюючи потоки ймовiрностей через границю
областi S(2)
ij (X), отримаємо таку систему рiвнянь:
[λ+ (1− δj0)µ]π0j = νπ1j, j = 0, 1, . . . , (2)
[λ+ (1− δj0)µ + iν]πij = λπi−1j + (i+ 1)νπi+1j + µπi−1j+1, (3)
i = 1, . . . , c− 1, j = 0, 1, . . . . (4)
Введемо такi позначення для матриць, що залежать вiд параметрiв системи:
A = ‖aik‖
c
i,k=1 — матриця з елементами aii−1 = µ, i = 1, . . . , c − 1,
ack =
cµν
λ
, k 6= c− 1,
µ[λ+ cν]
λ
, k = c− 1,
а всi iншi елементи дорiвнюють 0;
B = ‖bik‖
c
i,k=1 — тридiагональна матриця з елементами bii−1 = −λ, i = 2, . . . , c, bii = λ+
+ µ + (i − 1)ν, i = 1, . . . , c, bii+1 = −iν, i = 1, . . . , c − 1. B0 = B − µE, де E = ‖δik‖
c
i,k=1 —
одинична матриця (δik — символ Кронекера);
C = ‖cik‖
c
i,k=1, де c11 = 1, c1k = 0, k = 2, . . . , c, cik = bi−1k, i = 2, . . . , c, k = 1, . . . , c.
Має мiсце нижченаведене твердження.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №7 17
Лема 2. Матрицi B0, B i C невиродженi, причому:
1) B−1
0 = ‖b
(−1)
0 (i, k)‖ci,k=1, де b
(−1)
0 (i, k) =
c−i
∑
j=(k−i)+
(i+ j − 1)!νj/((i − 1)!λj+1), (k − i)+ =
= max(0, k − i);
2) B−1 =
( ∞
∑
p=0
Bp
1
)
F−1, де F — дiагональна матриця з елементами fii = λ + µ + (i −
− 1)ν, i = 1, . . . , c на головнiй дiагоналi, B1 — матриця, в якiй ненульовими елементами
є b1(i, i − 1) =
λ
λ+ µ+ (i− 1)ν
, i = 2, . . . , c, b1(i, i + 1) =
iν
λ+ µ+ (i− 1)ν
, i = 1, . . . , c − 1.
Для того щоб побудувати стацiонарний розподiл процесу обслуговування в системi
M/M/c/∞, розглянемо аналогiчну систему з обмеженим простором станiв. Така система
функцiонує аналогiчно до вихiдної, але має обмеження на максимальну довжину черги: новi
вимоги на обслуговування губляться, коли всi прилади зайнятi i в системi вже є N дже-
рел повторних викликiв. Формально функцiонування такої системи описується ланцюгом
Маркова X(t,N) = (C(t,N);N(t,N)), де C(t,N) ∈ {0, . . . , c}, N(t,N) ∈ {0, . . . , N}. Його
iнфiнiтезимальнi характеристики a
(N)
(i,j)(i′,j′), (i, j), (i
′, j′) ∈ S(X,N) = {0, . . . , c}×{0, . . . , N},
збiгаються з вiдповiдними характеристиками a(i,j)(i′,j′) процесу X(t) в усiх точках, крiм
граничного випадку i = c, j = N
a
(N)
(c,N)(i′,j′) =
cν, (i′, j′) = (c− 1, N),
−cν, (i′, j′) = (c,N),
0, в iншому випадку.
Оскiльки фазовий простiр S(X,N) процесу X(t,N) скiнченний, то для X(t,N) iснує
стацiонарний режим i через πij(N), (i, j) ∈ S(X,N) будемо позначати його стацiонарнi
ймовiрностi.
Через πj(N) = (π0j(N), . . . πc−1j(N))T позначимо вектор стацiонарних ймовiрностей.
Має мiсце така лема.
Лема 3. Мiж стацiонарними ймовiрностями процесу X(t,N) виконується спiввiдно-
шення
πj(N) = ∆j(N)π00(N), j = 0, 1, . . . ,
де
∆0(N) = B−1
0 B∆1(N), ∆j(N) =
(B−1A)N−jC−1e1
eT1 B
−1
0 B(B−1A)NC−1e1
, j = 1, 2, . . . ,
ei = (δi1, δi2, . . . , δic)
T .
Доведення. Ймовiрностi πij(N), (i, j) ∈ S(X,N) урiзаної системи задовольняють сис-
тему рiвнянь (1)–(3) для вихiдної системи. Окремого розгляду потребує лише граничний
випадок j = N , для якого справедливi спiввiдношення
[λ+ µ]π0N (N) = νπ1N (N),
[λ+ µ+ iν]πiN (N) = λπi−1N (N) + (i+ 1)νπi+1N (N), i = 1, . . . , c− 2.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №7
Додамо до останньої системи рiвнянь тотожнiсть π0N (N) = π0N (N) i перепишемо її
у векторно-матричному виглядi:
CπN(N) = e1π0N (N).
Звiдси знаходимо
πN (N) = C−1e1π0N (N). (5)
Систему рiвнянь (1)–(3) для урiзаної системи можна переписати у векторно-матричнiй
формi:
Aπ1(N) = B0π0(N),
Aπj+1(N) = Bπj(N), j = 1, . . . , N − 1.
Врахувавши (5), знаходимо
πj(N) = (B−1A)N−jC−1e1π0N (N), j = 1, . . . , N. (6)
Iз системи (1)–(3) при j = 0
π0(N) = B−1
0 Aπ1(N) = B−1
0 B(B−1A)NC−1e1π0N (N).
З останнього рiвняння маємо ймовiрнiсть π0N (N):
π0N (N) = {eT1 B
−1
0 B(B−1A)NC−1e1}
−1π00(N).
Пiдставляючи останнiй вираз у рiвняння (6), отримуємо твердження леми.
Дослiдимо граничну поведiнку вектора ∆j(N). Має мiсце такий результат.
Лема 4. Вектори ∆j(N), j = 0, 1, . . . при N → ∞ мають границi, якi задаються
спiввiдношеннями
∆0 = B−1
0 B∆1, ∆j =
uvTC−1e1
eT1 B
−1
0 BuvT (B−1A)jC−1e1
, j = 1, 2, . . . ,
де uT = (u1, u2, . . . , uc) > 0, vT = (v1, v2, . . . , vc) > 0 — правий i лiвий власнi вектори
матрицi B−1A, якi вiдповiдають перронiвому кореню.
Доведення. Оскiльки B−1A > 0, то для цiєї матрицi виконуються умови теореми 4
[6, с. 150] i ї ї N -й степiнь можна записати у виглядi
(B−1A)N = rNuvT + o(rN1 ),
де r1 < r, r — перронiв корiнь матрицi B−1A, а u i v — такi правий i лiвий власнi вектори,
що вiдповiдають r, для яких uT v = 1.
Пiдставимо це подання у вираз для вектора ∆j(N), j = 1, 2, . . .:
∆j(N) =
(B−1A)N−jC−1e1
eT1 B
−1
0 B(B−1A)NC−1e1
=
(uvT rN−j + o(rN1 ))C−1e1
eT1 B
−1
0 B(uvT rN−j + o(rN1 ))(B−1A)jC−1e1
. (7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №7 19
Роздiлимо чисельник i знаменник (7) на rN−j i перейдемо до границi при N → ∞:
∆j = lim
N→∞
∆j(N) =
uvTC−1e1
eT1 B
−1
0 BuvT (B−1A)jC−1e1
.
Оскiльки матриця uvT входить i в чисельник i в знаменник виразу для ∆j, то умову
нормування uT v = 1 для власних векторiв u, v можна вiдкинути.
Сформулюємо i доведемо ще один допомiжний результат.
Лема 5. Нехай виконується умова леми 1. Тодi
∞
∑
j=1
1T (c)∆j < ∞, (8)
де 1T (c) — вектор розмiрностi c, складений з одиниць.
Доведення. При виконаннi умови леми 1 процес X(t) ергодичний, а значить, iснує
ймовiрнiсть π00 > 0. Використовуючи результати про стохастичну впорядкованiсть для
iмовiрнiсних розподiлiв процесiв мiграцiї з [1], знаходимо
lim
N→∞
π00(N) = π00 > 0. (9)
З умови нормування стацiонарних ймовiрностей процесу X(t,N), враховуючи резуль-
тати леми 3, маємо
π00(N) =
{
1T (c)∆0(N) +
λ+ µ
λ
N
∑
j=1
1T (c)∆j(N)
}
−1
.
Доводити твердження леми будемо методом вiд супротивного. Припустимо, що ряд (8)
розбiгається. Це означає, що для будь-якого великого L > 0, iснує номер M = M(L) та-
кий, що
λ+ µ
λ
M
∑
j=1
1T (c)∆j > L.
Нескладно перевiрити, що
π−1
00 = lim
N→∞
π−1
00 (N) = lim
N→∞
{
1T (c)∆0(N) +
λ+ µ
λ
N
∑
j=1
1T (c)∆j(N)
}
>
> lim
N→∞
{
1T (c)∆0(N) +
λ+ µ
λ
M
∑
j=1
1T (c)∆j(N)
}
=
= 1T (c)∆0 +
λ+ µ
λ
M
∑
j=1
1T (c)∆j > 1T (c)∆0 + L.
Таким чином, π00 = 0, що суперечить (9).
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №7
При N → ∞ стацiонарнi ймовiрностi πij(N) наближають вiдповiднi ймовiрностi вихiдної
системи. Використовуючи поданi вище допомiжнi результати, доведемо теорему, яка дає
явнi векторно-матричнi подання стацiонарних ймовiрностей системи через її параметри.
Теорема 1. Якщо для процесу X(t) виконується умова леми 1, то
πj = lim
N→∞
πj(N) = ∆j · π00, πcj =
µ
λ
1T (c)∆j+1 · π00, j = 0, 1, . . . , (10)
де
π00 =
{
1T (c)∆0 +
λ+ µ
λ
∞
∑
j=1
1T (c)∆j
}
−1
.
Доведення. Використаємо результати лем 3 та 4:
πj = lim
N→∞
πj(N) = ∆j · π00, j = 0, 1, . . . .
Ймовiрностi πcj, j = 0, 1, . . . , знайдемо з рiвнянь (1), а ймовiрнiсть π00 — з умови нор-
мування.
Використаємо теорему 1, щоб отримати стацiонарнi ймовiрностi для систем M/M/2/∞
та M/M/3/∞ для порiвняння з вiдомими результатами.
Наслiдок 1. Якщо виконується умова леми 1, то стацiонарнi ймовiрностi для сис-
теми типу M/M/2/∞ iснують i можуть бути поданi у виглядi:
π0j = Φj · π00, j = 1, 2, . . . ,
π10 =
λ
ν
π00, π1j =
λ+ µ
ν
Φj · π00, j = 1, 2, . . . ,
π2j =
µ(λ+ µ+ ν)
λν
Φj+1 · π00, j = 0, 1, . . . ,
де
Φj =
λ2
(λ+ µ)2 + µν
(
λ
µν
(λ+ µ)2 + µν
3λ+ 2µ+ 2ν
)j
,
π00 = ν2(3λ+ 2µ+ 2ν)
{
[λ+ µ+ ν][(λ+ µ)2 + 3ν(λ+ µ) + 2ν2]×
×
∞
∑
j=1
Φj + ν(3λ+ 2µ+ 2ν)(λ+ ν) + λ2(λ+ µ+ ν)
}
−1
.
Формули, наведенi у наслiдку 1, з точнiстю до позначень збiгаються з результатами
роботи [3].
Знайдемо тепер явний вигляд стацiонарного розподiлу системи з трьома обслуговуючи-
ми пристроями. Введемо позначення B−1A = D = ‖dij‖
3
i,j=1. Очевидно, компоненти матри-
цi D можна виписати явно через параметри λ, µ, ν, якими задається M/M/3/∞-система.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №7 21
Наслiдок 2. Якщо виконується умова леми 1, то стацiонарнi ймовiрностi для сис-
теми типу M/M/3/∞ iснують i можуть бути поданi спiввiдношенням (10), у якому
перронiв корiнь
r =
1
2
(d11 + d22 + d33) +
1
2
√
(d11 − d22 − d33)2 + 4(d12d21 + d13d31 + d32d23 − d22d33),
а додатнi правий i лiвий власнi вектори можуть бути взятi у виглядi
uT = (u1, u2, u3) = g−1(g, d23d13 − d21(d33 − r), d32d21 − d31(d22 − r)),
vT = (v1, v2, v3) = g−1(g, d13d32 − d12(d33 − r), d12d23 − d13(d22 − r)),
g = (d22 − r)(d33 − r)− d32d23.
Отриманi в наслiдку 2 спiввiдношення на вiдмiну вiд результатiв роботи [7], якi мiстять
рекурентний алгоритм пiдрахунку стацiонарного розподiлу для M/M/3/∞-системи, дають
явнi формули для стацiонарних ймовiрностей.
Таким чином, дослiджено системи з повторними викликами сталої iнтенсивностi. З’ясо-
вано умови iснування стацiонарного режиму i побудовано явнi формули векторно-матрич-
ного типу для пiдрахунку стацiонарних ймовiрностей через параметри системи. Для по-
рiвняння отриманих результатiв з вiдомими окремо розглянуто системи з двома i трьома
обслуговуючими пристроями. Наведенi розрахунковi формули можна використовувати для
подальшого детального аналiзу систем, пiдрахунку характеристик їх функцiонування, по-
становки i розв’язку оптимiзацiйних задач.
1. Falin G. I., Templeton J.G. C. Retrial queues. – London: Chapman & Hall, 1997. – 317 p.
2. Choi B.D., Shin Y.W., Ahn W.C. Retrial queues with collision arising from unsoltted CSMA/CD proto-
col // Queueing Systems. – 1992. – 11. – P. 335–356.
3. Artalejo J. R. Stationary analysis of the characteristics of the M/M/2 queue with constant repeated
attempts // Opsearch. – 1996. – 33. – P. 83–95.
4. Falin G. Heavy traffic analysis of a random walk on a lattice semi-strip // Stochastic Models. – 1995. –
11, No 3. – P. 395–409.
5. Уолрэнд Дж. Введение в теорию сетей массового обслуживания. – Москва: Мир, 1993. – 336 с.
6. Севастьянов Б.А. Ветвящиеся процессы. – Москва: Наука, 1971. – 436 с.
7. Gomez-Corral A., Ramalhoto M.F. The stationary distribution of a Markovian process arising in the theory
of multiserver retrial queueing systems // Math. and Comput. Modelling. – 1999. – 30. – P. 141–158.
Надiйшло до редакцiї 17.12.2013Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
Е.А. Лебедев, В.Д. Пономарев
Про многоканальные системы с повторными вызовами постоянной
интенсивности
Исследованы марковские модели систем с повторными вызовами, в которых интенсивность
потока повторных вызовов не зависит от количества их источников. Для такого класса
систем найдены условия существования стационарного режима и получены явные формулы
векторно-матричного типа для нахождения стационарного распределения через параметры
системы.
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №7
E.A. Lebedev, V. D. Ponomarov
On multichannel systems with constant retrial rate
The paper deals with the Markov models of retrial queues, in which the intensity of a repeated
request flow does not depend on the number of their sources. We find out the conditions of the
steady state existence for such class of systems and obtain explicit formulas of the vector-matrix
type for the stationary distribution through the system parameters.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №7 23
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87946 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T14:36:12Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лебєдєв, Є.О. Пономарьов, В.Д. 2015-11-01T18:30:29Z 2015-11-01T18:30:29Z 2014 Про багатоканальні системи з повторними викликами сталої інтенсивності / Є.О. Лебєдєв, В.Д. Пономарьов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 7. — С. 15-23. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87946 519.217 Дослiджено марковськi моделi систем з повторними викликами, в яких iнтенсивнiсть потоку повторних викликiв не залежить вiд кiлькостi їх джерел. Для такого класу систем з’ясовано умови iснування стацiонарного режиму i отримано явнi формули векторно-матричного типу знаходження стацiонарного розподiлу через параметри системи. Исследованы марковские модели систем с повторными вызовами, в которых интенсивность потока повторных вызовов не зависит от количества их источников. Для такого класса систем найдены условия существования стационарного режима и получены явные формулы векторно-матричного типа для нахождения стационарного распределения через параметры системы. The paper deals with the Markov models of retrial queues, in which the intensity of a repeated request flow does not depend on the number of their sources. We find out the conditions of the steady state existence for such class of systems and obtain explicit formulas of the vector-matrix type for the stationary distribution through the system parameters. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Про багатоканальні системи з повторними викликами сталої інтенсивності Про многоканальные системы с повторными вызовами постоянной интенсивности On multichannel systems with constant retrial rate Article published earlier |
| spellingShingle | Про багатоканальні системи з повторними викликами сталої інтенсивності Лебєдєв, Є.О. Пономарьов, В.Д. Математика |
| title | Про багатоканальні системи з повторними викликами сталої інтенсивності |
| title_alt | Про многоканальные системы с повторными вызовами постоянной интенсивности On multichannel systems with constant retrial rate |
| title_full | Про багатоканальні системи з повторними викликами сталої інтенсивності |
| title_fullStr | Про багатоканальні системи з повторними викликами сталої інтенсивності |
| title_full_unstemmed | Про багатоканальні системи з повторними викликами сталої інтенсивності |
| title_short | Про багатоканальні системи з повторними викликами сталої інтенсивності |
| title_sort | про багатоканальні системи з повторними викликами сталої інтенсивності |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87946 |
| work_keys_str_mv | AT lebêdêvêo probagatokanalʹnísistemizpovtornimiviklikamistaloííntensivností AT ponomarʹovvd probagatokanalʹnísistemizpovtornimiviklikamistaloííntensivností AT lebêdêvêo promnogokanalʹnyesistemyspovtornymivyzovamipostoânnoiintensivnosti AT ponomarʹovvd promnogokanalʹnyesistemyspovtornymivyzovamipostoânnoiintensivnosti AT lebêdêvêo onmultichannelsystemswithconstantretrialrate AT ponomarʹovvd onmultichannelsystemswithconstantretrialrate |