Фредгольмовые краевые задачи с параметром на пространствах C⁽ⁿ⁾[a,b]
Введены и исследованы краевые задачи, порожденные системой m линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и краевыми условиями вида By = c, где линейный непрерывный оператор B: C⁽ⁿ⁾([a, b],C^m) → C^m, а m, n — натуральные числа. Установлена фредгольмовость таких краевых задач....
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87947 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Фредгольмовые краевые задачи с параметром на пространствах C⁽ⁿ⁾[a,b] / В.А. Михайлец, Г.А. Чеханова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 7. — С. 24-28. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859735553966080000 |
|---|---|
| author | Михайлец, В.А. Чеханова, Г.А. |
| author_facet | Михайлец, В.А. Чеханова, Г.А. |
| citation_txt | Фредгольмовые краевые задачи с параметром на пространствах C⁽ⁿ⁾[a,b] / В.А. Михайлец, Г.А. Чеханова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 7. — С. 24-28. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Введены и исследованы краевые задачи, порожденные системой m линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и краевыми условиями вида By = c, где линейный непрерывный оператор B: C⁽ⁿ⁾([a, b],C^m) → C^m, а m, n — натуральные числа. Установлена фредгольмовость таких краевых задач. Найдены достаточные условия непрерывности по параметру их решений вместе с производными до порядка n в равномерной норме.
Введено i дослiджено крайовi задачi, породженi системою m лiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку i крайовими умовами вигляду By = c, де лiнiйний неперервний оператор B: C⁽ⁿ⁾([a, b],C^m) → C^m, а m, n — натуральнi числа. Встановлено фредгольмовiсть таких крайових задач. Знайдено достатнi умови неперервностi за параметром їх
розв’язкiв разом з похiдними до порядку n у рiвномiрнiй нормi.
We introduce and study boundary-value problems generated by the system of m ordinary linear
differential equations of the first order and boundary conditions of the form By = c, where
B: C⁽ⁿ⁾([a, b],C^m) → C^m is a continuous linear operator, and m, n are positive integers. We prove
that such boundary-value problems possess the Fredholm property. Sufficient conditions for their
solutions together with their derivatives up to order n to depend continuously on the parameter in
the uniform norm are found.
|
| first_indexed | 2025-12-01T15:16:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.926,517.927.2
В.А. Михайлец, Г. А. Чеханова
Фредгольмовые краевые задачи с параметром
на пространствах C(n)[a, b]
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.С. Самойленко)
Введены и исследованы краевые задачи, порожденные системой m линейных обыкновен-
ных дифференциальных уравнений первого порядка и краевыми условиями вида By = c,
где линейный непрерывный оператор B : C(n)([a, b],Cm) → C
m, а m, n — натуральные
числа. Установлена фредгольмовость таких краевых задач. Найдены достаточные усло-
вия непрерывности по параметру их решений вместе с производными до порядка n
в равномерной норме.
1. Пусть далее числа m,n ∈ N. Рассмотрим на конечном интервале (a, b) векторное линейное
дифференциальное уравнение первого порядка
y′ +A(t)y = f(t), (1)
где комплекснозначные (m×m)-матрица-функция A(·) и вектор-функция f(·) суммируемы
на [a, b]. Каждое решение дифференциального уравнения (1) принадлежит пространству
AC([a, b],Cm). Поэтому можно рассмотреть вместе с уравнением (1) неоднородное краевое
условие
By = c, (2)
где вектор c ∈ C
m, а линейный непрерывный оператор
B : C([a, b],Cm) → C
m. (3)
Известно (см., например, [1]), что такой оператор допускает однозначное аналитическое
представление
By =
b∫
a
[dΦ(t)]y(t), (4)
где Φ(·) — (m × m)-матрица-функция, элементы которой непрерывны справа на интерва-
ле (a, b) и имеют ограниченную вариацию на [a, b], Φ(a) = 0m, а интеграл понимается по
Риману–Стилтьесу.
Дополнительные условия вида (3) именуют общими. Они охватывают все классические
виды краевых условий. В частности, задачи Коши, двухточечные и многоточечные, инте-
гральные и смешанные краевые условия (см. 2 гл. II, § 5], где приведены соответствующие
ссылки). Известно (см., например, [3]), что краевая задача (1), (2) является фредгольмовой.
© В. А. Михайлец, Г.А. Чеханова, 2014
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №7
Пусть теперь коэффициент дифференциального выражения, оператор B и правые час-
ти равенств (1), (2) зависят от параметра ε ∈ [0, ε0], где ε0 > 0. Рассмотрим семейство
неоднородных краевых задач
y′(t, ε) +A(t, ε)y(t, ε) = f(t, ε), (5)
B(ε)y(·, ε) = c(ε), (6)
где при фиксированном значении параметра ε задача (5), (6) является общей краевой. Тогда
решение y(·, ε) также зависит от ε. В работах [3–6] найдены достаточные условия непрерыв-
ной зависимости от параметра ε → 0+ решений (5), (6) в равномерной норме. Вместе с тем
оставался открытым вопрос о зависимости от параметра ε → 0+ производных решения
y(·, ε) в равномерной норме. Для существования таких производных необходимо сделать
дополнительные предположения относительно уравнения (1).
2. Будем предполагать далее, что в дифференциальном уравнении (1)
A(·) ∈ C(n−1)([a, b],Cm×m), f(·) ∈ C(n−1)([a, b],Cm).
В этом случае каждое решение уравнения (1) принадлежит банаховому пространству
C(n)([a, b],Cm). Поэтому можно рассмотреть вместе с уравнением дополнительное неодно-
родное условие (2), в котором линейный непрерывный оператор
B : C(n)([a, b],Cm) → C
m. (7)
Из строгих включений для пространств линейных непрерывных операторов
L(C(n)([a, b],Cm),Cm) ⊃ L(C(n−1)([a, b],Cm),Cm)
следует, что с увеличением параметра n в (7) введенные нами классы краевых условий рас-
ширяются. В частности, каждый из операторов в (3) заведомо удовлетворяет условию (7).
Можно показать, что каждый из операторов в (7) допускает однозначное аналитическое
представление
By =
n∑
k=1
αky
(k−1)(a) +
b∫
a
[dΦ(t)]y(n)(t),
где матрицы αk ∈ C
m×m, а матрица-функция Φ(·) такая же, как и в равенстве (4). Краевые
задачи с такими операторами в краевых условиях встречаются в ряде приложений и в общей
постановке, по-видимому, не исследовались. Их анализу и посвящена данная работа.
Неоднородную краевую задачу (1), (2) можно записать в виде операторного уравнения
LBy = (f, c),
где линейный оператор
LB := (L,B), Ly := y′ +A(t)y.
Теорема 1. Оператор LB непрерывно действует из банахова пространства
C(n)([a, b],Cm) в банахово пространство C(n−1)([a, b],Cm)×C
m и является фредгольмовым.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №7 25
Следствие 1. Следующие утверждения эквивалентны:
1) Неоднородная краевая задача (1), (2) имеет одно решение при любых f(·) ∈
∈ C(n−1)([a, b],Cm) и c ∈ C
m.
2) Однородная краевая задача вида (1), (2) имеет только тривиальное решение.
3. Пусть Y (t) — единственное решение (матрицант) линейного матричного дифферен-
циального уравнения
Y ′(t) = −A(t)Y (t), t ∈ (a, b) (8)
с начальным условием
Y (t0) = Im, t0 ∈ [a, b]. (9)
Введем метрическое пространство матриц-функций
Y(n,m, t0) := {Y (t) ∈ C(n)([a, b],Cm×m) : Y (t0) = Im,detY (t) 6= 0}
с метрикой
dn(Y,Z) := ‖Y (·)− Z(·)‖(n),
где ‖ · ‖(n) — норма в банаховом пространстве C(n)([a, b],Cm×m).
Ключевым местом в доказательстве основной теоремы работы является
Теорема 2. При каждом фиксированном значении параметров n, m, t0 нелинейное
отображение
A(·) 7→ Y (·)
в задаче (8), (9) является гомеоморфизмом банахова пространства C(n−1)([a, b],Cm×m) на
метрическое пространство Y(n,m, t0).
Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 2.1 работы [7].
4. Рассмотрим теперь параметрическое семейство неоднородных краевых за-
дач (5), (6), где при фиксированном значении параметра ε матрица-функция A(·, ε) ∈
∈ C(n−1)([a, b],Cm×m), вектор-функция f(·, ε) ∈ C(n−1)([a, b],Cm), а оператор B(ε) удовлет-
воряет соотношению (7). Тогда содержателен и представляет интерес вопрос об условиях,
при которых
‖y(·, ε) − y(·, 0)‖(n) → 0, (10)
где ε → 0+, а ‖ · ‖(n) — норма в пространстве C(n)([a, b],Cm).
Чтобы этот вопрос имел смысл, будем предполагать далее, что предельная однородная
краевая задача (f(·, 0) = 0, c(0) = 0) имеет только тривиальное решение. В силу следствия
в этом случае вектор-функция y(·, 0) в соотношении (10) определена однозначно.
Основным результатом работы является
Теорема 3. Пусть при ε → 0+ выполнены условия:
(i) ‖A(·, ε) − A(·, 0)‖(n−1) → 0;
(ii) ‖f(·, ε) − f(·, 0)‖(n−1) → 0;
(iii) B(ε)y → B(0)y, y ∈ C(n)([a, b],Cm); c(ε) → c(0).
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №7
Тогда для достаточно малых ε решения y(·, ε) задачи (5), (6) определены однозначно и для
них выполняется предельное равенство (10).
Заметим, что в условиях теоремы 3 операторы LB(ε) сходятся к оператору LB(0) в силь-
ной операторной топологии, но, вообще говоря, не сходится по норме.
Замечание 1. Из теоремы Ф. Рисса о необходимых и достаточных условиях слабой сходи-
мости линейных непрерывных функционалов на пространстве C([a, b],C) следует, что усло-
вие (iii) теоремы 3 равносильно следующему условию на матрицы αk(ε) и матрицы-функции
Φ(·, ε), задающие операторы B(ε): при ε → 0 + αk(ε) → αk(0), c(ε) → c(0), V b
aΦ(·, ε) = O(1),
Φ(b, ε) → Φ(b, 0),
t∫
a
Φ(s, ε)ds →
t∫
a
Φ(s, 0)ds, t ∈ (a, b].
Замечание 2. Из теоремы 2 вытекает, что условие (i) теоремы 3 является необходимым
для справедливости предельного равенства (10) применительно к задачам частного вида с
f(·, ε) ≡ 0, c(ε) ≡ c ∈ C
m, B(ε)y ≡ y(a).
Отметим также, что близкая по форме задача, где вместо пространств C(n) присутст-
вуют соболевские пространства W n
p , n ∈ N, p ∈ [1,∞) исследована ранее в [7]. Доказатель-
ство теоремы 3 проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 1.1 работы [7].
Исследование В.А. Михайлеца поддержано грантом 03–01–12 совместных проектов
НАН Украины и СО РАН.
1. Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных урав-
нений. – Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1975. – 352 с.
2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – Москва: Наука, 1965. –
704 с.
3. Кигурадзе И.Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Совр.
проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 30. – Москва: ВИНИТИ, 1987. – С. 3–103.
4. Ashordia M. Criteria of correctness of linear boundary-value problems for systems of generalized differential
equations // Czech. Math. J. – 1996. – 46, No 3. – P. 385–404.
5. Михайлец В.А., Рева Н.В. Обобщения теоремы Кигурадзе о корректности линейных краевых за-
дач // Доп. НАН України. – 2008. – № 9. – С. 23–27.
6. Kodlyuk T. I., Mikhailets V.A., Reva N.V. Limit theorems for one-dimensional boundary-value problems //
Ukr. Math. J. – 2013. – 65, No 1. – P. 77–90.
7. Kodlyuk T. I., Mikhailets V.A. Solutions of one-dimensional boundary-value problems with a parameter in
Sobolev spaces // J. Math. Sci. – 2013. – 190, No 4. – P. 589–599.
Поступило в редакцию 27.02.2014Институт математики НАН Украины, Киев
НТУ Украины “Киевский политехнический институт”
В.А. Михайлець, Г. О. Чеханова
Фредгольмовi крайовi задачi з параметром на просторах C(n)[a, b]
Введено i дослiджено крайовi задачi, породженi системою m лiнiйних звичайних диференцi-
альних рiвнянь першого порядку i крайовими умовами вигляду By = c, де лiнiйний неперерв-
ний оператор B : C(n)([a, b],Cm) → C
m, а m, n — натуральнi числа. Встановлено фредголь-
мовiсть таких крайових задач. Знайдено достатнi умови неперервностi за параметром їх
розв’язкiв разом з похiдними до порядку n у рiвномiрнiй нормi.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №7 27
V.A. Mikhailets, G.A. Chekhanova
Fredholm boundary-value problems with a parameter on the spaces
C(n)[a, b]
We introduce and study boundary-value problems generated by the system of m ordinary linear
differential equations of the first order and boundary conditions of the form By = c, where
B : C(n)([a, b],Cm) → C
m is a continuous linear operator, and m, n are positive integers. We prove
that such boundary-value problems possess the Fredholm property. Sufficient conditions for their
solutions together with their derivatives up to order n to depend continuously on the parameter in
the uniform norm are found.
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №7
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87947 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T15:16:47Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Михайлец, В.А. Чеханова, Г.А. 2015-11-01T18:43:10Z 2015-11-01T18:43:10Z 2014 Фредгольмовые краевые задачи с параметром на пространствах C⁽ⁿ⁾[a,b] / В.А. Михайлец, Г.А. Чеханова // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 7. — С. 24-28. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87947 517.926,517.927.2 Введены и исследованы краевые задачи, порожденные системой m линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и краевыми условиями вида By = c, где линейный непрерывный оператор B: C⁽ⁿ⁾([a, b],C^m) → C^m, а m, n — натуральные числа. Установлена фредгольмовость таких краевых задач. Найдены достаточные условия непрерывности по параметру их решений вместе с производными до порядка n в равномерной норме. Введено i дослiджено крайовi задачi, породженi системою m лiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку i крайовими умовами вигляду By = c, де лiнiйний неперервний оператор B: C⁽ⁿ⁾([a, b],C^m) → C^m, а m, n — натуральнi числа. Встановлено фредгольмовiсть таких крайових задач. Знайдено достатнi умови неперервностi за параметром їх розв’язкiв разом з похiдними до порядку n у рiвномiрнiй нормi. We introduce and study boundary-value problems generated by the system of m ordinary linear differential equations of the first order and boundary conditions of the form By = c, where B: C⁽ⁿ⁾([a, b],C^m) → C^m is a continuous linear operator, and m, n are positive integers. We prove that such boundary-value problems possess the Fredholm property. Sufficient conditions for their solutions together with their derivatives up to order n to depend continuously on the parameter in the uniform norm are found. Исследование В.А. Михайлеца поддержано грантом 03–01–12 совместных проектов НАН Украины и СО РАН. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Фредгольмовые краевые задачи с параметром на пространствах C⁽ⁿ⁾[a,b] Фредгольмовi крайовi задачi з параметром на просторах C⁽ⁿ⁾[a, b] Fredholm boundary-value problems with a parameter on the spaces C⁽ⁿ⁾[a, b] Article published earlier |
| spellingShingle | Фредгольмовые краевые задачи с параметром на пространствах C⁽ⁿ⁾[a,b] Михайлец, В.А. Чеханова, Г.А. Математика |
| title | Фредгольмовые краевые задачи с параметром на пространствах C⁽ⁿ⁾[a,b] |
| title_alt | Фредгольмовi крайовi задачi з параметром на просторах C⁽ⁿ⁾[a, b] Fredholm boundary-value problems with a parameter on the spaces C⁽ⁿ⁾[a, b] |
| title_full | Фредгольмовые краевые задачи с параметром на пространствах C⁽ⁿ⁾[a,b] |
| title_fullStr | Фредгольмовые краевые задачи с параметром на пространствах C⁽ⁿ⁾[a,b] |
| title_full_unstemmed | Фредгольмовые краевые задачи с параметром на пространствах C⁽ⁿ⁾[a,b] |
| title_short | Фредгольмовые краевые задачи с параметром на пространствах C⁽ⁿ⁾[a,b] |
| title_sort | фредгольмовые краевые задачи с параметром на пространствах c⁽ⁿ⁾[a,b] |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87947 |
| work_keys_str_mv | AT mihailecva fredgolʹmovyekraevyezadačisparametromnaprostranstvahcnab AT čehanovaga fredgolʹmovyekraevyezadačisparametromnaprostranstvahcnab AT mihailecva fredgolʹmovikraiovizadačizparametromnaprostorahcnab AT čehanovaga fredgolʹmovikraiovizadačizparametromnaprostorahcnab AT mihailecva fredholmboundaryvalueproblemswithaparameteronthespacescnab AT čehanovaga fredholmboundaryvalueproblemswithaparameteronthespacescnab |