Контракція між алгебрами Лі з обов'язково сингулярними компонентами матриці контракції
Наведено приклад контракцiї мiж п’ятивимiрними алгебрами Лi, яку можна реалiзувати тiльки матрицями з евклiдовими нормами, що обов’язково прямують до нескiнченностi при граничному значеннi параметра. Розмiрнiсть п’ять є найнижчою для алгебр Лi, мiж якими iснують контракцiї такого типу. Приведен при...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87948 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Контракція між алгебрами Лі з обов'язково сингулярними компонентами матриці контракції / Д.Р. Попович // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 7. — С. 29-35. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859754848166084608 |
|---|---|
| author | Попович, Д.Р. |
| author_facet | Попович, Д.Р. |
| citation_txt | Контракція між алгебрами Лі з обов'язково сингулярними компонентами матриці контракції / Д.Р. Попович // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 7. — С. 29-35. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Наведено приклад контракцiї мiж п’ятивимiрними алгебрами Лi, яку можна реалiзувати тiльки матрицями з евклiдовими нормами, що обов’язково прямують до нескiнченностi при граничному значеннi параметра. Розмiрнiсть п’ять є найнижчою для алгебр
Лi, мiж якими iснують контракцiї такого типу.
Приведен пример контракции между пятимерными алгебрами Ли, которая реализуется
только матрицами с эвклидовыми нормами, с необходимостью стремящимися к бесконечности в граничном значении параметра. Размерность пять является наименьшей для алгебр Ли, между которыми существуют контракции такого типа.
We present an example of a contraction between five-dimensional Lie algebras that is realized
only with matrices, whose Euclidean norms necessarily approach infinity at the limit value of
the contraction parameter. Dimension five is the lowest dimension of Lie algebras, between which
contractions of the above kind exist.
|
| first_indexed | 2025-12-02T00:15:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.554.3
Д.Р. Попович
Контракцiя мiж алгебрами Лi з обов’язково
сингулярними компонентами матрицi контракцiї
(Представлено членом-кореспондентом НАН України А. Г. Нiкiтiним)
Наведено приклад контракцiї мiж п’ятивимiрними алгебрами Лi, яку можна реалiзува-
ти тiльки матрицями з евклiдовими нормами, що обов’язково прямують до нескiнчен-
ностi при граничному значеннi параметра. Розмiрнiсть п’ять є найнижчою для алгебр
Лi, мiж якими iснують контракцiї такого типу.
Вивчення шляхiв реалiзацiї контракцiй алгебр Лi вiдiграє важливу роль у теорiї контракцiй
з моменту її виникнення. Аналiз результатiв по контракцiях дiйсних i комплексних алгебр
Лi розмiрностi не бiльшої чотирьох [1–3] показує, що всi цi контракцiї можна реалiзувати
матрицями, якi мають добре визначену границю в граничному значеннi параметра кон-
тракцiї. Природним є питання, чи це виконується i для вищих розмiрностей. У роботi [4]
зроблено першу спробу вiдповiсти на нього, розглянувши контракцiї мiж двома дiйсними
п’ятивимiрними алгебрами Лi, a та a0, що заданi вiдповiдними ненульовими комутацiйними
спiввiдношеннями:
a : [e1, e3] = e3, [e2, e4] = e4, [e1, e2] = e5,
a0 : [e1, e3] = e3, [e2, e4] = e4.
Згiдно з класифiкацiєю Мубаракзянова [5] п’ятивимiрних алгебр Лi, наведенi алгебри по-
значають A5.38 та A2.1 ⊕ A2.1 ⊕ A1. Очевидно, що контракцiю a → a0 реалiзує дiагональна
матриця U = diag(1, 1, 1, 1, ε−1), що прямує до нескiнченностi при ε → ∞. Це справджується
i для контракцiї ā → ā0 мiж комплексифiкацiями ā та ā0 дiйсних алгебр a та a0.
У роботi [4] показано, що для довiльної реалiзацiї контракцiї a → a0 як узагальненої
контракцiї Iньоню–Вiгнера потрiбно використовувати вiд’ємний степiнь параметра контрак-
цiї, а тому деякi елементи вiдповiдної матрицi прямують до нескiнченностi. Метою роботи
є доведення сильнiшого твердження.
Теорема 1. Евклiдова норма будь-якої матрицi, що реалiзує контракцiю алгебри a до
алгебри a0, прямує до нескiнченностi. Це справедливо також для вiдповiдних комплексних
алгебр.
Як буде видно з доведення, з точнiстю до автоморфiзму алгебр a та a0, саме елемент за
номером (5, 5) будь-якої матрицi у вибраних базисах алгебр a та a0 прямує до нескiнченностi,
що вiрно i для комплексифiкацiй цих алгебр.
Нехай V — скiнченновимiрний векторний простiр над полем F = R або F = C. Множину
всiх можливих дужок Лi на V позначимо через Ln = Ln(F), де n = dimV < ∞. Кожному
елементу µ множини Ln вiдповiдає алгебра Лi на просторi V : g = (V, µ). Вибiр базису
{e1, . . . , en} простору V задає бiєкцiю мiж множинами Ln та
Cn = {(ckij) ∈ F
n3
| ckij + ckji = 0, ci
′
ijc
k′
i′k + ci
′
kic
k′
i′j + ci
′
jkc
k′
i′i = 0}.
© Д.Р. Попович, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №7 29
Тензор структурних сталих (ckij) ∈ Cn, асоцiйований з алгеброю Лi µ ∈ Ln, визначає формула
µ(ei, ej) = ckijek. Тут i далi iндекси i, j, k, i′, j′ та k′ пробiгають вiд 1 до n; за iндексами,
що повторюються, йде пiдсумовування. Загальноприйнятою у фiзичнiй лiтературi є права
дiя групи GL(V ) на Ln за правилом
(U · µ)(x, y) = U−1(µ(Ux,Uy)) ∀U ∈ GL(V ), ∀µ ∈ Ln, ∀x, y ∈ V.
Означення 1. Нехай µ ∈ Ln — дужка Лi на V i U : (0, 1] → GL(V ) — неперервна
матрична функцiя. Побудуємо параметризовану сiм’ю дужок Лi µε = Uε · µ, ε ∈ (0, 1].
Кожна алгебра Лi gε = (V, µε) iзоморфна алгебрi g = (V, µ). Якщо границя
lim
ε→+0
µε(x, y) = lim
ε→+0
Uε
−1µ(Uεx,Uεy) =: µ0(x, y)
iснує для будь-яких x, y ∈ V , то µ0 є добре визначеною дужкою Лi. Алгебру Лi g0 = (V, µ0)
називають однопараметричною неперервною контракцiєю (чи просто контракцiєю) алгебри
Лi g, а сам процес граничного переходу g у g0 разом iз вiдповiдною матричною функцiєю —
реалiзацiєю контракцiї g → g0.
У фiксованому базисi {e1, . . . , en} простору V оператор Uε можна ототожнити з йо-
го матрицею Uε ∈ GLn(F), яку позначимо таким самим символом, а означення 1 можна
переформулювати в термiнах структурних сталих. Нехай C = (ckij) — тензор структурних
сталих алгебри g у вибраному базисi. Тодi тензор Cε = (ckε,ij) структурних сталих алгебри gε
у цьому ж базисi є результатом дiї матрицi Uε на тензор C: Cε = C ◦Uε, або покомпонентно:
ckε,ij = (Uε)
i′
i (Uε)
j′
j (Uε
−1)kk′c
k′
i′j′ .
Тому означення 1 рiвносильне iснуванню границi
lim
ε→+0
ckε,ij =: ck0,ij
для всiх значень i, j та k, а ck0,ij є компонентами добре визначеного тензора структурних
сталих C0 алгебри Лi g0. Параметр ε i матричну функцiю Uε називають параметром кон-
тракцiї та матрицею контракцiї вiдповiдно.
Послiдовнi контракцiї визначають аналогiчно до неперервних [4] iз використанням по-
слiдовностей матриць {Up, p ∈ N} ⊂ GL(V ) замiсть неперервних матричних функцiй. Для
кожної дужки Лi з послiдовностi {µp = Up ·µ, p ∈ N} алгебра gp = (V, µp) iзоморфна алгебрi
g = (V, µ). Якщо границя
lim
p→∞
µp(x, y) = lim
p→∞
Up
−1µ(Upx,Upy) =: µ0(x, y)
iснує для будь-яких x, y ∈ V , то µ0 є добре визначеною дужкою Лi на V . Вiдповiдну алгебру
Лi g0 = (V, µ0) називають послiдовною контракцiєю алгебри g. У базиснозалежному пiдходi
кожна алгебра gp вiдповiдає тензору структурних сталих Cp = C ◦ Up з компонентами
ckp,ij = (Up)
i′
i (Up)
j′
j (Up
−1)kk′c
k′
i′j′ .
Iснування наведеної вище границi послiдовностi {µp} рiвносильне iснуванню границi
lim
p→+0
ckp,ij =: ck0,ij
для всiх значень i, j, k, де ck0,ij — компоненти тензора структурних сталих C0 алгебри g0.
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №7
Довiльна неперервна контракцiя з g до g0 породжує нескiнченну сiм’ю матричних послi-
довностей i вiдповiдних послiдовних контракцiй iз g до g0. Бiльш точно, якщо Uε є матрицею
неперервної контракцiї i послiдовнiсть {εp, p ∈ N} задовольняє умови εp ∈ (0, 1], εp → +0,
p → ∞, то послiдовнiсть матриць {Uεp , p ∈ N} породжує послiдовну контракцiю з g до g0.
Означення спецiальних типiв контракцiй, твердження щодо властивостей та їх дове-
дення у випадку послiдовних контракцiй аналогiчнi таким для неперервних контракцiй;
достатньо замiнити неперервну параметризацiю дискретною.
Нижченаведене корисне твердження є очевидним.
Лема 1. Якщо матрицю Uε контракцiї g → g0 можна подати у виглядi Uε = ÛεǓε, де
Û i Ǔ — неперервнi функцiї з (0, 1] в GLn(F) i функцiя Ǔ має границю Ǔ0 ∈ GLn(F) при
ε → +0, то ÛεǓ0 також є матрицею контракцiї g → g0.
Аналогiчне твердження справедливе i для послiдовних контракцiй. У подальшому нам
знадобиться лема, що стосується матричних LQ-декомпозицiй.
Лема 2. Алгебра Лi g контрактовна до алгебри Лi g0 тiльки тодi, коли у фiксованому
базисi {e1, . . . , en} основного простору V iснує послiдовнiсть {Lp, p ∈ N} невироджених
нижньотрикутних матриць розмiру n × n i ортогональна (унiтарна) n × n матриця Q
у дiйсному (комплексному) випадку така, що C ◦ Lp → C0 ◦Q при p → +∞.
Доведення. Використовуючи послiдовну реалiзацiю контракцiй, розглянемо тiльки
дiйсний випадок (у комплексному треба лише замiнити ортогональнi матрицi унiтарними).
Нехай контракцiю g → g0 реалiзує послiдовнiсть матриць {Up, p ∈ N}, тобто C ◦ Up → C0,
p → +∞. Для кожного p розкладемо матрицю Up на трикутний та ортогональний множ-
ники Up = LpQp, де Lp є нижньотрикутною матрицею, а Qp — ортогональною. Оскiльки
множина ортогональних n× n матриць є компактною в евклiдовiй топологiї, послiдовнiсть
{Qp, p ∈ N} мiстить збiжну пiдпослiдовнiсть. Кожна пiдпослiдовнiсть реалiзує ту ж саму
контракцiю, що й уся послiдовнiсть матриць. Таким чином, без втрати загальностi мож-
на припустити, що послiдовнiсть {Qp} є збiжною. Її границя Q0 також є ортогональною
матрицею. Оскiльки C ◦ Up → C0, Q
T
p → QT
0 i всi матрицi Qp є ортогональними, то
C ◦ Lp = C ◦ LpQpQ
T
p = C ◦ UpQ
T
p → C0 ◦Q
T
0
при p → +∞. Перепозначення QT
0 через Q завершує доведення леми.
Зауваження 1. Послiдовнiсть трикутних матриць {Lp, p ∈ N} i ортогональна матриця Q
визначенi в лемi 2 з точнiстю до перетворення
L̃p = MpLpDp, Q̃ = KQD0,
де K — матриця ортогонального автоморфiзму алгебри g0, D0 — дiагональна ортогональна
(унiтарна) матриця в дiйсному (комплексному) випадку, Mp для кожного p ∈ N — матриця
автоморфiзму алгебри g, а послiдовнiсть трикутних матриць {Dp, p ∈ N} збiгається до
матрицi D0.
Доведення теореми 1. Наведемо доведення лише для дiйсного випадку. У комплекс-
ному випадку ортогональнi матрицi потрiбно замiнити на унiтарнi, а всi iншi вiдмiнностi
у доведеннi будуть поясненi окремо.
Розглянемо довiльну послiдовну реалiзацiю контракцiї a → a0 послiдовнiстю матриць
{Up, p ∈ N}. Припустимо, що евклiдова норма Up не прямує до нескiнченностi. Тодi по-
слiдовнiсть {Up} мiстить обмежену пiдпослiдовнiсть {Ups , s ∈ N}. Аналогiчно доведенню
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №7 31
леми 2 розкладемо кожну матрицю Ups на добуток нижньотрикутної й ортогональної час-
тин, виберемо пiдпослiдовнiсть елементiв з {Ups} зi збiжними ортогональними частинами
i застосуємо теорему про алгебраїчнi властивостi границь. У результатi отримаємо обмеже-
ну послiдовнiсть нижньотрикутних матриць i ортогональну матрицю Q, що задовольняють
лему 2 з g = a i g0 = a0. Однак, як буде доведено далi, послiдовнiсть евклiдових норм таких
трикутних матриць завжди прямує до нескiнченностi. Отримана суперечнiсть означає, що
послiдовнiсть евклiдових норм матриць Up прямує до нескiнченностi.
Припустимо, що iснує неперервна реалiзацiя контракцiї a → a0 з неперервною функцiєю
U : (0, 1] → GL(V ), евклiдовi норми значень Uε якої не прямують до нескiнченностi при
ε → 0. Тодi можна вибрати послiдовнiсть {εp, p ∈ N} ⊂ (0, 1] таку, що її границя дорiв-
нює нулю, а послiдовнiсть матриць {Uεp , p ∈ N} обмежена. Оскiльки остання послiдовнiсть
реалiзує послiдовну контракцiю a → a0, приходимо до суперечностi.
З огляду на зазначене вище достатньо довести, що для довiльної послiдовностi нижньо-
трикутних матриць {Lp = (lip,j), p ∈ N} (i ортогональної матрицi Q = (qij)), що задоволь-
няють лему 2 з g = a i g0 = a0, вiдповiдна послiдовнiсть евклiдових норм прямує до не-
скiнченностi.
Розглянемо обмеження на матрицю Q. Позначимо тензор структурних сталих алгебр a
i a0 у вибраному базисi {e1, . . . , e5} основного векторного простору через C = (ckij) i C0 =
= (ck0,ij) вiдповiдно. Тодi Cp = C ◦ Lp i C̃0 = C0 ◦Q є тензорами структурних сталих алгебр
ap i ã0, iзоморфних алгебрам a i a0 вiдносно операторiв Lp i Q. За побудовою, lim
p→∞
ckp,ij =
= c̃ k0,ij . Оскiльки для всiх i, j, k виконується cki5 = c1ij = c2ij = 0, а ljp,i = 0 для всiх p при
i < j, то ckp,i5 = c1p,ij = c2p,ij = 0 виконується для всiх i, j, k та p. Тому аналогiчнi рiвностi
вiрнi й для елементiв границi C̃0, тобто c̃ k0,i5 = c̃ 10,ij = c̃ 20,ij = 0. У той же час вiдповiднi
елементи C0 також нульовi за визначенням a0. Геометрично це означає, що Q〈e5〉 = 〈e5〉
i Q〈e3, e4〉 ⊂ 〈e3, e4, e5〉. Оскiльки матриця Q ортогональна, вона є блочно-дiагональною
матрицею вигляду
Q =
(
q11 q12
q21 q22
)
⊕
(
q33 q34
q43 q44
)
⊕
(
q55
)
. (1)
Iснує ще три значення трiйки (i, j, k), а саме (1, 4, 3), (2, 4, 3) i (2, 3, 3), для яких структурнi
сталi ckij , c
k
p,ij (для всiх значень p), а отже, й c̃ kij дорiвнюють нулю. Iншими словами, маємо
систему
c̃ 314 = q11q
3
3q
3
4 + q21q
4
3q
4
4 = 0 (q11 q̄
3
3q
3
4 + q21 q̄
4
3q
4
4 = 0),
c̃ 324 = q12q
3
3q
3
4 + q22q
4
3q
4
4 = 0 (q12 q̄
3
3q
3
4 + q22 q̄
4
3q
4
4 = 0),
c̃ 323 = q12(q
3
3)
2 + q22(q
4
3)
2 = 0 (q12 q̄
3
3q
3
3 + q22 q̄
4
3q
4
3 = 0).
У дужках записанi вiдповiднi рiвняння для комплексного випадку, а риска позначає ком-
плексне спряження. Оскiльки q11q
2
2 − q12q
2
1 6= 0, то з перших двох рiвнянь випливає q33q
3
4 = 0,
q43q
4
4 = 0. Врахувавши ортогональнiсть матрицi Q та наведенi рiвняння, отримаємо двi
можливостi:
1) q33 = q44 = 0, тодi q34q
4
3 6= 0, q11 = q22 = 0 i q12q
2
1 6= 0;
2) q33q
4
4 6= 0, тодi q34 = q43 = 0, q12 = q21 = 0 i q11q
2
2 6= 0.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №7
Вiдповiдними формами матрицi Q є
Q =
(
0 q12
q21 0
)
⊕
(
0 q34
q43 0
)
⊕
(
q55
)
та Q =
(
q11 0
0 q22
)
⊕
(
q33 0
0 q44
)
⊕
(
q55
)
.
Нагадаємо, що матрицю Q визначено з точнiстю до домноження на матрицю ортого-
нального автоморфiзму алгебри a0 злiва та на ортогональну дiагональну матрицю справа
(див. зауваження 1). Замiна базису (ẽ1, ẽ2, ẽ3, ẽ4, ẽ5) = (e2, e1, e4, e3, e5), що є ортогональним
автоморфiзмом алгебри a0, зводить перший випадок до другого, де матриця Q дiагональна.
Таким чином, достатньо розглянути лише випадок, коли Q є одиничною матрицею, тобто
C̃0 = C0. Для ще не використаних значень (i, j, k) подамо умови lim
p→∞
ckp,ij = ck0,ij у виглядi
ckp,ij := li
′
p,il
j′
p,j l̂
k
p,k′c
k
ij = ck0,ij + okp,ij,
де L̂p = (l̂ ip,j) = L−1
p позначає матрицю, обернену до Lp, i lim
p→∞
okp,ij = 0. У результатi
отримуємо систему рiвнянь на величини lip,j i okp,ij (тут iндекс p опускаємо для стислостi
викладення)
l11 = 1 + o313, l22 = 1 + o424, l21 = o414,
l11
l32
l3
3
= o312, l22
l43
l4
4
= o423, −l22
l54
l5
5
= o524,
−l22
l41
l4
4
+ l21
l42
l4
4
− l11
l32
l3
3
l43
l4
4
= o412, −l11
l53
l5
5
+ (l11 − l21)
l43
l4
4
l54
l5
5
= o513,
−l21
l54
l5
5
= o514, −l22
l43
l4
4
l54
l5
5
= o523, −(l11 − l21)
l43
l4
4
= o413,
l11l
2
2
l5
5
− l11
l32
l3
3
l53
l5
5
−
(
−l22
l41
l4
4
+ l21
l42
l4
4
− l11
l32
l3
3
l43
l4
4
)
l54
l5
5
= o512.
Розв’язавши рiвняння в перших двох рядках вiдносно l32, l
4
3, l
5
4, l
4
1 i l53 та пiдставивши отри-
маний вираз у останнє рiвняння, маємо
l11l
2
2
l5
5
= o512 −
o524
l2
2
o412 −
(
o513 +
l11 − l21
(l2
2
)2
o423o
5
24
)
o312
l1
1
.
З останньої рiвностi випливає, що l1p,1l
2
p,2/l
5
p,5 → 0, тобто |l5p,5| → ∞ при p → ∞. Отже, послi-
довнiсть евклiдових норм матриць Lp, p ∈ N, також прямує до нескiнченностi. Зазначимо,
що рiвняння в третьому рядку системи не накладають додаткових обмежень на елементи
матриць Lp, а з шостого та восьмого рiвнянь випливає, що
l5p,4
l5p,5
→ 0 i
l5p,3
l5p,5
→ 0 при p → ∞.
Тепер покажемо, що елемент за номером (5, 5) довiльної матрицi контракцiї у вибраному
базисi алгебр a i a0 з точнiстю до автоморфiзмiв алгебр a i a0 прямує до нескiнченностi
в граничнiй точцi.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №7 33
Нехай a → a0 — послiдовна контракцiя за послiдовнiстю матриць {Up, p ∈ N}. Знову
розкладемо кожну матрицю Up на її нижньотрикутну та ортогональну частини Lp i Qp:
Up = LpQp. Оскiльки границя кожної збiжної пiдпослiдовностi {Qp, p ∈ N} має вигляд (1),
отримуємо, що
qip,5 → 0, i = 1, . . . , 4, i |q5p,5| → 1 при p → ∞.
Для вiдповiдних пiдпослiдовностей послiдовностi {Lp, p ∈ N} виконуються граничнi спiв-
вiдношення
|l5p,5| → ∞,
l5p,4
l5p,5
→ 0 i
l5p,3
l5p,5
→ 0 при p → ∞.
Отже, цi граничнi спiввiдношення виконуються i для самої послiдовностi {Lp, p ∈ N} (iнак-
ше приходимо до суперечностi). Використовуючи зауваження 1, для кожного p домножимо
матрицю Lp злiва на матрицю
Mp = E −
1
l1p,1
(
l5p,1 −
l2p,1
l2p,2
l5p,2
)
E5
1 −
l5p,2
l2p,2
E5
2 ,
що вiдповiдає автоморфiзму алгебри a. Тут E позначає одиничну матрицю розмiру n × n,
а Ei
j — матрицю n × n з одиницею на перетинi i-го рядка та j-го стовпчика й нулями на
iнших мiсцях. Елементи l̃ 5p,1 i l̃ 5p,2 матрицi L̃p = MpLp дорiвнють нулю. Тому елемент за
номером (5, 5) матрицi Ũp = L̃pQp = MpUp має вигляд
(Ũp)
5
5 =
(
l̃ 5p,3
l̃ 5p,5
q3p,5 +
l̃ 5p,4
l̃ 5p,5
q4p,5 + q5p,5
)
l̃ 5p,5,
а отже, його модуль прямує до нескiнченностi.
Доведення у випадку неперервної контракцiї аналогiчне. Єдина вiдмiннiсть полягає в не-
перервностi за параметром контракцiї ε. Процес ортогоналiзацiї Грама–Шмiдта, застосова-
ний до матрицi контракцiї Uε, приводить до розкладу, в якому i нижньотрикутна части-
на Lε, i ортогональна частина Qε є неперервними матричними функцiями вiд ε. Тодi вiдпо-
вiдний автоморфiзм Mε алгебри a, що зануляє елементи з номерами (5, 1) i (5, 2) матрицi Lε,
є неперервним за ε, з чого випливає неперервнiсть матрицi Ũε = MεUε.
1. Campoamor-Stursberg R. Some comments on contractions of Lie algebras // Adv. Studies Theor. Phys. –
2008. – 2. – P. 865–870.
2. Nesterenko M.O., Popovych R.O. Contractions of low-dimensional Lie algebras // J. Math. Phys. – 2006. –
47. – 123515, 45 p.; arXiv:math-ph/0608018.
3. Popovych D.R., Popovych R.O. Lowest dimensional example on non-universality of generalized Inönü–
Wigner contractions // J. Algebra. – 2010. – 324. – P. 2742–2756.
4. Weimar-Woods E. Contractions, generalized Inönü–Wigner contractions and deformations of finite-dimen-
sional Lie algebras // Rev. Math. Phys. – 2000. – 12. – P. 1505–1529.
5. Мубаракзянов Г.М. Классификация вещественных структур алгебр Ли пятого порядка // Изв. вузов.
Матем. – 1963. – № 3(34). – С. 99–106.
Надiйшло до редакцiї 26.12.2013Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №7
Д.Р. Попович
Контракции между алгебрами Ли с обязательно сингулярными
компонентами матрицы контракции
Приведен пример контракции между пятимерными алгебрами Ли, которая реализуется
только матрицами с эвклидовыми нормами, с необходимостью стремящимися к бесконеч-
ности в граничном значении параметра. Размерность пять является наименьшей для ал-
гебр Ли, между которыми существуют контракции такого типа.
D.R. Popovych
A contraction between Lie algebras with necessarily singular
components of the contraction matrix
We present an example of a contraction between five-dimensional Lie algebras that is realized
only with matrices, whose Euclidean norms necessarily approach infinity at the limit value of
the contraction parameter. Dimension five is the lowest dimension of Lie algebras, between which
contractions of the above kind exist.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №7 35
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87948 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T00:15:15Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Попович, Д.Р. 2015-11-01T18:43:45Z 2015-11-01T18:43:45Z 2014 Контракція між алгебрами Лі з обов'язково сингулярними компонентами матриці контракції / Д.Р. Попович // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 7. — С. 29-35. — Бібліогр.: 5 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87948 512.554.3 Наведено приклад контракцiї мiж п’ятивимiрними алгебрами Лi, яку можна реалiзувати тiльки матрицями з евклiдовими нормами, що обов’язково прямують до нескiнченностi при граничному значеннi параметра. Розмiрнiсть п’ять є найнижчою для алгебр Лi, мiж якими iснують контракцiї такого типу. Приведен пример контракции между пятимерными алгебрами Ли, которая реализуется только матрицами с эвклидовыми нормами, с необходимостью стремящимися к бесконечности в граничном значении параметра. Размерность пять является наименьшей для алгебр Ли, между которыми существуют контракции такого типа. We present an example of a contraction between five-dimensional Lie algebras that is realized only with matrices, whose Euclidean norms necessarily approach infinity at the limit value of the contraction parameter. Dimension five is the lowest dimension of Lie algebras, between which contractions of the above kind exist. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Контракція між алгебрами Лі з обов'язково сингулярними компонентами матриці контракції Контракции между алгебрами Ли с обязательно сингулярными компонентами матрицы контракции A contraction between Lie algebras with necessarily singular components of the contraction matrix Article published earlier |
| spellingShingle | Контракція між алгебрами Лі з обов'язково сингулярними компонентами матриці контракції Попович, Д.Р. Математика |
| title | Контракція між алгебрами Лі з обов'язково сингулярними компонентами матриці контракції |
| title_alt | Контракции между алгебрами Ли с обязательно сингулярными компонентами матрицы контракции A contraction between Lie algebras with necessarily singular components of the contraction matrix |
| title_full | Контракція між алгебрами Лі з обов'язково сингулярними компонентами матриці контракції |
| title_fullStr | Контракція між алгебрами Лі з обов'язково сингулярними компонентами матриці контракції |
| title_full_unstemmed | Контракція між алгебрами Лі з обов'язково сингулярними компонентами матриці контракції |
| title_short | Контракція між алгебрами Лі з обов'язково сингулярними компонентами матриці контракції |
| title_sort | контракція між алгебрами лі з обов'язково сингулярними компонентами матриці контракції |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87948 |
| work_keys_str_mv | AT popovičdr kontrakcíâmížalgebramilízobovâzkovosingulârnimikomponentamimatricíkontrakcíí AT popovičdr kontrakciimeždualgebramilisobâzatelʹnosingulârnymikomponentamimatricykontrakcii AT popovičdr acontractionbetweenliealgebraswithnecessarilysingularcomponentsofthecontractionmatrix |