О существовании гомоклинической траектории с симметрией в трехмерных системах
Приводятся условия существования гомоклинической траектории в системе, заданной
 в трехмерном пространстве. Рассмотрена диссипативная система с симметрией. Встановлено умови iснування гомоклiнiчної траєкторiї у системi, заданiй у тривимiрному
 просторi. Розглянуто дисипативну систему...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Datum: | 2014 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87954 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О существовании гомоклинической траектории с симметрией в трехмерных системах / Н.В. Никитина // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 7. — С. 68-75. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860012640173031424 |
|---|---|
| author | Никитина, Н.В. |
| author_facet | Никитина, Н.В. |
| citation_txt | О существовании гомоклинической траектории с симметрией в трехмерных системах / Н.В. Никитина // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 7. — С. 68-75. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Приводятся условия существования гомоклинической траектории в системе, заданной
в трехмерном пространстве. Рассмотрена диссипативная система с симметрией.
Встановлено умови iснування гомоклiнiчної траєкторiї у системi, заданiй у тривимiрному
просторi. Розглянуто дисипативну систему з симетрiєю.
The conditions of existence of a homoclinic trajectory are obtained for a system set in the threedimensional space. The dissipative system with symmetry is considered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:42:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531
Н.В. Никитина
О существовании гомоклинической траектории
с симметрией в трехмерных системах
(Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком)
Приводятся условия существования гомоклинической траектории в системе, заданной
в трехмерном пространстве. Рассмотрена диссипативная система с симметрией.
Работа нацелена на классификацию трехмерных систем, которые порождают периодичес-
кие орбиты из гомоклинических петель. Эти вопросы широко обсуждались в работах [1, 2].
Гомоклинические траектории (ГТ) играют важную роль в теории бифуркаций и в меха-
низме образования странного аттрактора [1–7]. Напомним (см. [8]), что траектория x(t)
системы
dx
dt
= F (x), x ∈ Rn,
с гладкой вектор-функцией F (x) называется гомоклинической, если существуют пределы
lim
t→+∞
x(t) = x1, lim
t→−∞
x(t) = x1. (1)
Рассмотрим геометрический аспект проблемы. Нахождение геометрической симмет-
рии двухмерной системы тождественно выполнению условия (1). Представим в виде двух-
мерной системы
dx
dt
= F1(x, y),
dy
dt
= F2(x, y),
где x, y ∈ R и Fx ∈ C(R2, R), Fy ∈ C(R2, R) и Fi(0, 0) = 0 (i = 1, 2), нелинейный осциллятор
ẍ − aẋ + x + aẋ3 = 0
dx
dt
= y,
dy
dt
= ay − x− ay3. (2)
Колебания осциллятора (2), имеющего особую точку — неустойчивый фокус, образуют ат-
трактор благодаря нелинейной составляющей (−ay3).
Нелинейная система (2) имеет на плоскости xy кососимметрию траектории, так как
удовлетворяет определенным условиям [9]
F1(−x, y) = −F1(x,−y), F2(−x, y) = −F2(x,−y). (3)
Линейная система, соответствующая системе (2), имеет тенденцию к кососимметрии, так
как удовлетворяет условию (3), но выполнение условия (1) возможно лишь в нелинейной
системе. Удовлетворение условию (3) приводит к кососимметрии траектории на плоскости
xy в том случае, когда нелинейность имеет вид (−x2y) (осциллятор Ван дер Поля)
dx
dt
= y,
dy
dt
= ay − x− ax2y.
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №7
Рис. 1
На рис. 1, а, б приведены фазовые портреты с кососимметрией осциллятора (2) (пара-
метр a = 0,7) и осциллятора Ван дер Поля (параметр a = 3).
Трехмерные системы. Траектории простых трехмерных систем обнаруживают сим-
метрию проекций на координатные плоскости и этим качеством можно пользоваться для
установления существования ГТ с определенной формой симметрии. Рассмотрим систему,
которая носит название “модель устойчивости средней фирмы” [10, 11]
ẋ = −νx+ ǫy, ẏ = µ(x+ y)− βxz, ż = −γz + αxy. (4)
Система (4) связывает величины кредита x, капитала y и численности сотрудников z с по-
мощью положительных параметров α, β, γ, ǫ, µ, ν. Определим особые точки системы (4).
Их будет три:
O(0, 0, 0), A
(
√
γµ(ν + ǫ)
αβν
,
√
γµν(ν + ǫ)
αβǫ2
,
µ(ν + ǫ)
βǫ
)
,
B
(
−
√
γµ(ν + ǫ)
αβν
,−
√
γµν(ν + ǫ)
αβǫ2
,
µ(ν + ǫ)
βǫ
)
.
Введем малые отклонения δx, δy, δz в системе (4) от частных решений x, y, z и составим
уравнения в вариациях
δẋ = −νδx+ ǫδy, δẏ = (µ − βz)δx + µδy − βxδz, δż = −γδz + α(yδx + xδy). (5)
Характеристическое уравнение системы (5) имеет вид
λ3 + λ2(γ + ν − µ) + λ(γ(ν − µ)− µ(ν + ǫ) + β(αx2 + ǫz)) + γ(−µ(ν + ǫ) + ǫβz) +
+ αβx(νx+ ǫy) = 0. (6)
© Н.В. Никитина, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №7 69
С помощью уравнения (6) можно определить характеристические показатели любой точки
в поле трехмерного пространства системы (4). В точке O, например, уравнение (6) при-
обретает вид
(λ+ γ)(λ2 + λ(ν − µ)− µ(ν + ǫ)) = 0,
из которого находим корни
λ1,2 = −(ν − µ)/2±
√
(ν − µ)/2)2 + µ(ν + ǫ), λ3 = −γ. (7)
Поскольку система подвергалась качественному исследованию, воспользуемся выбором
параметров, приведенном, например, в [11],
(α, β, ǫ, µ, ν) = (4; 8; 1; 2, 1; 4, 1); γ ∈ (2, . . . , 2, 3345). (8)
Особая точка O системы (4) является седлоузлом для интервала рассматриваемых пара-
метров (8). Будем рассматривать седловую величину системы (4) для особых точек и точек,
находящихся на траектории (термин седловая величина взят из [1, 2]). Седловая величина
в точке O, согласно (7), равна
σO = λ1 + λ2 + λ3 < 0 (9)
для параметров (8).
Выделим в правой части уравнения (5) слагаемые, которые определяют линейную часть
системы (4). Остальные слагаемые содержат частные решения x, y, z. Анализ последних
может показать, что эти члены могут влиять лишь на мнимую часть характеристических
показателей. Тогда седловая величина для всех точек пространства, которое порождено
системой дифференциальных уравнений, будет одинаковой.
О бифуркациях системы (4). Приведем теорему Гробмана–Хартмана (см. [1]), ко-
торая будет полезна далее.
Пусть точка O есть грубое состояние равновесия. Тогда существуют окрестности U1
и U2, в которых исходная и линеаризованная системы топологически эквивалентны.
Запишем уравнения в вариациях (5) в следующем виде:
δẋ
δẏ
δż
=
−ν ǫ 0
µ µ 0
0 0 −γ
δx
δy
δz
+
0 0 0
−βz 0 −βx
αy αx 0
δx
δy
δz
. (10)
В уравнениях (10) справа первая матрица тождественна линейной матрицы системы (4),
вторая соответствует той части уравнений (5), которая содержит частные решения x, y, z.
Докажем следующее утверждение
Утверждение 1. Пусть вторая матрица в системе в вариациях (10) имеет такие
характеристические числа: мнимые и одно нулевое. Тогда в окрестности точки O систе-
мы (4) существует поле седлоузловых точек, которые переходят в седлофокусные и сед-
ловая величина σ, полученная в соответствии с определенными значениями параметров,
будет одинаковой для всех точек трехмерного пространства, включая особые точки.
Доказательство. Первая матрица системы (10) имеет спектр, согласно формулам (7).
Вторая матрица имеет следующие характеристические числа:
λ1,2 = ±i
√
αβx2, λ3 = 0. (11)
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №7
Таким образом, бифуркационный процесс в поле трехмерной системы (4) происходит
в соответствии с теоремой Гробмана–Хартмана. Окрестность, заполненная седлоузловыми
точками, переходит седлофокусный континиум. Седлофокусная петля имеет отрицатель-
ную седловую величину σi во всех точках траектории (для рассматриваемых парамет-
ров (8))
σi = σA = σB = σO < 0. (12)
Спектр характеристических показателей Ляпунова системы (4) удовлетворяет неравенству
Λ1 + Λ2 + Λ3 < 0.
Полагаем, что утверждение 1 устанавливает, что седлофокусная петля, для которой
справедливо утверждение 1, имеет гомоклиническую траекторию, т. е. выполнение усло-
вий (1).
О симметрии системы (4). В пределах параметров (8) рассмотрим движение изобра-
жающей точки на плоскости xy, которое представим двухмерной системой
ẋ = −νx+ ǫy, ẏ = µ(x+ y). (13)
Движение по двум плоскостям xz, yz представлены двумя уравненями, которые не связаны
друг с другом: ẋ = −νx, ż = −γz; ẏ = µy, ż = −γz.
Утверждение 2. Пусть трехмерная система, согласно утверждению 1, имеет седло-
вую петлю с отрицательной седловой величиной (12). Уравнения движения на одной из
плоскостей удовлетворяют условиям (3). Тогда гомоклиническая траектория системы (4)
может иметь кососимметрию в соответствующей плоскости.
Доказательство. Линейная система (13) имеет тенденцию к кососимметрии, так как
удовлетворяет условию (3). В плоскостях xz, yz траектория по переменным z стремится
к нулю, по переменной y — уходит. При расширении окрестности нуля траектория систе-
мы (4) становится седлофокусной и притягивающей петлей, так как точки на траектолрии
имеют такие характеристические показатели: Reλ1 < 0, Reλ2 < 0, λ3 < 0. Система (13) не
показывает проекцию системы (4) на плоскость xy, но указывает на то, что эта проекция
можеть иметь кососимметрию.
На рис. 2 приведены кососимметричные проекции системы (4) на плоскость xy (рис. 2, а
при γ = 2, рис. 2, б, в при γ = 2,3345). При увеличении параметра, влияющего на дисси-
пацию системы (γ = 2, 3345), точка O включена в петлю траектории (рис. 2, б, в). На
рис. 2, б полужирной линией обозначены траектории, содержащие седлофокусные точки,
тонкой линией — седлоузловые. Этот численный результат получен при решении уравне-
ния (6). Частные решения x, y, z, которые включены в уранение (6), соответствуют реше-
нию системы (4).
Дальнейшее увеличение параметра γ приводит к тому, что система организовывает
траектории относительно особых точек A, B. На уровне физических представлений: уве-
личение диссипации вызывает увеличение притяжения, увеличение орицательной седловой
величины σi во всех точках траектории, что приводит к разделению предельного цикла
на два.
На рис. 3, а, б, в представлены проекции на координатные плоскости при γ = 2,4.
Заметим, что странный аттрактор рождается за пределами параметров (8). При сравни-
тельно невысокой диссипации области существования замкнутой траектории относительно
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №7 71
Рис. 2
точек A и B пересекаются. Порождается орбитная неустойчивость, которая сопровождается
перескоком изображающей точки с одной орбиты на другую.
Система Лоренца. Покажем, что схожесть двух систем (Лоренца и модели устойчи-
вости средней фирмы) связана с топологией трехмерного пространства. Система Лоренца
ẋ = s(−x+ y), ẏ = rx− y − xz, ż = −bz + xy, (14)
где b, r, s — положительные параметры, имеет следующие уравнения в вариациях:
δẋ = −sδx+ sδy, δẏ = (r − z)δx − δy − xδz, δż = −bδz + yδx+ xδy.
Система (14) имеет такие особые точки:
O(0, 0, 0), A
(
√
b(r − 1),
√
b(r − 1), r − 1
)
,
B
(
−
√
b(r − 1),−
√
b(r − 1), r − 1
)
.
δẋ
δẏ
δż
=
−s s 0
r −1 0
0 0 −b
δx
δy
δz
+
0 0 0
−z 0 −x
y x 0
δx
δy
δz
.
(15)
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №7
Рис. 3
Первая матрица в правой части системы (15) имеет спектр линейной системы, вторая имеет
характеристические показатели
λ1,2 = ±i
√
x2, λ3 = 0.
Для системы Лоренца имеет место утверждение 1.
Приведем характеристическое уравнение системы в вариациях
λ3+ λ2(s+ b+ 1)+ λ(s(1− r+ z)+ b(s+ 1)+ x2)+ s(b(1− r+ z)+ x(x+ y)) = 0. (16)
На рис. 4, а, б приведен фазовый портрет и наглядное изображение предельного цикла
системы (14) при следующих значениях параметров: (b, r, s) = (8/3; 148, 4; 10). На рис. 4, а
полужирными линиями отмечены совокупности точек траектории седлофокусного харак-
тера, тонкими линиями — седлоузловые.
Таким образом, в данной работе установлено существование симметрии, ГТ и указаны
оценки характеристических показателей Ляпунова в системах, которые объеденены опреде-
ленным свойством топологического характера. Доказательство существования гомоклини-
ческой траектории приведено на основе определенной специфики топологии трехмерно-
го пространства систем (4), (14). Отметим, что условие кососимметрии из [9] возникло
под влиянием теорем о симметрии из [12]. Доказательство существования гомоклиничес-
кой траектории можно осуществить также на основе принципа симметрии применительно
к трехмерным системам.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №7 73
Рис. 4
1. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной
динамике. Ч. 1. – Москва; Ижевск: ИКИ, 2004. – 414 с.
2. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной
динамике. Ч. 2. – Москва; Ижевск: Ин-т компьютерн. исслед., 2009. – 546 с.
3. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. – Москва: Наука, 1981. – 568 с.
4. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах. – Москва: Наука, 1990. – 312 с.
5. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. – Москва: Наука, 1987. – 424 с.
6. Belhaq M., Lakrad F. Analytics of homoclinic bifurcations in three-dimensional systems // Intern. J. of
Bifurcation and Chaos. – 2002. – 12, No 11. – P. 2479–2486.
7. Leonov G.A. Strange attractors and classical stability theory. – St.-Peterburg: Univ. Press, 2008. – 160 p.
8. Леонов Г.А. Задача Трикоми о существовании гомоклинических траекторий в диссипативных систе-
мах // Прикл. мех. и мат. – 2013. – 77, вып. 3. – С. 410–421.
9. Никитина Н.В. Нелинейные системы со сложным и хаотическим поведением траекторий. – Киев:
Феникс, 2012. – 235 с.
10. Шаповалов В.И., Каблов В.Ф., Башмаков В.А., Авакумов В. Е. Синергетическая модель устойчи-
вости средней фирмы // Синергетика и проблемы теории управления / Под ред. А.А. Колесникова. –
Москва: Физматлит, 2004. – С. 454–464.
11. Гурина Т.А., Дорофеев И.А. Существование гомоклинической бабочки в модели устойчивости сред-
ней фирмы // Динамич. системы. – 2010. – 77, вып. 28. – С. 63–68.
12. Немыцкий В.В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. – Москва;
Ленинград: Гостехтеориздат, 1949. – 550 с.
Поступило в редакцию 24.12.2013Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
Н.В. Нiкiтiна
Про iснування гомоклiнiчної траєкторiї з симетрiєю у тривимiрних
системах
Встановлено умови iснування гомоклiнiчної траєкторiї у системi, заданiй у тривимiрному
просторi. Розглянуто дисипативну систему з симетрiєю.
74 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №7
N.V. Nikitina
About the existence of a homoclinic trajectory with symmetry in the
three-dimensional systems
The conditions of existence of a homoclinic trajectory are obtained for a system set in the three-
dimensional space. The dissipative system with symmetry is considered.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №7 75
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87954 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:42:38Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Никитина, Н.В. 2015-11-01T18:48:12Z 2015-11-01T18:48:12Z 2014 О существовании гомоклинической траектории с симметрией в трехмерных системах / Н.В. Никитина // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 7. — С. 68-75. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87954 531 Приводятся условия существования гомоклинической траектории в системе, заданной
 в трехмерном пространстве. Рассмотрена диссипативная система с симметрией. Встановлено умови iснування гомоклiнiчної траєкторiї у системi, заданiй у тривимiрному
 просторi. Розглянуто дисипативну систему з симетрiєю. The conditions of existence of a homoclinic trajectory are obtained for a system set in the threedimensional space. The dissipative system with symmetry is considered. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Механіка О существовании гомоклинической траектории с симметрией в трехмерных системах Про iснування гомоклiнiчної траєкторiї з симетрiєю у тривимiрних системах About the existence of a homoclinic trajectory with symmetry in the three-dimensional systems Article published earlier |
| spellingShingle | О существовании гомоклинической траектории с симметрией в трехмерных системах Никитина, Н.В. Механіка |
| title | О существовании гомоклинической траектории с симметрией в трехмерных системах |
| title_alt | Про iснування гомоклiнiчної траєкторiї з симетрiєю у тривимiрних системах About the existence of a homoclinic trajectory with symmetry in the three-dimensional systems |
| title_full | О существовании гомоклинической траектории с симметрией в трехмерных системах |
| title_fullStr | О существовании гомоклинической траектории с симметрией в трехмерных системах |
| title_full_unstemmed | О существовании гомоклинической траектории с симметрией в трехмерных системах |
| title_short | О существовании гомоклинической траектории с симметрией в трехмерных системах |
| title_sort | о существовании гомоклинической траектории с симметрией в трехмерных системах |
| topic | Механіка |
| topic_facet | Механіка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87954 |
| work_keys_str_mv | AT nikitinanv osuŝestvovaniigomokliničeskoitraektoriissimmetrieivtrehmernyhsistemah AT nikitinanv proisnuvannâgomokliničnoítraêktoriízsimetriêûutrivimirnihsistemah AT nikitinanv abouttheexistenceofahomoclinictrajectorywithsymmetryinthethreedimensionalsystems |