Формирование микроструктуры поликристаллических материалов и статистика распределения зёрен по их средним размерам: возможность описания на основе уравнения коагуляции Смолуховского

Проведён краткий анализ общепринятых подходов к объяснению экспериментальных функций распределения зёрен по их среднему размеру (степени однородности микроструктуры) в поликристаллических телах и предложен новый взгляд на проблему, основанный на использовании результатов теории коагуляции Смолуховск...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
Дата:	2015
Автор:	Шевченко, С.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2015
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87996
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Формирование микроструктуры поликристаллических материалов и статистика распределения зёрен по их средним размерам: возможность описания на основе уравнения коагуляции Смолуховского / С.В. Шевченко // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2015. — Т. 13, № 2. — С. 371–388. — Бібліогр.: 35 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859517650832457728
author	Шевченко, С.В.
author_facet	Шевченко, С.В.
citation_txt	Формирование микроструктуры поликристаллических материалов и статистика распределения зёрен по их средним размерам: возможность описания на основе уравнения коагуляции Смолуховского / С.В. Шевченко // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2015. — Т. 13, № 2. — С. 371–388. — Бібліогр.: 35 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
description	Проведён краткий анализ общепринятых подходов к объяснению экспериментальных функций распределения зёрен по их среднему размеру (степени однородности микроструктуры) в поликристаллических телах и предложен новый взгляд на проблему, основанный на использовании результатов теории коагуляции Смолуховского. У роботі надано короткий аналіз загальноприйнятих підходів до пояснення експериментально встановлених функцій розподілу зерен (ступеня однорідности мікроструктури) у полікристалічних тілах і запропоновано новий підхід до проблеми, який ґрунтується на результатах теорії коаґуляції за Смолуховським. A brief analysis for commonly used approaches to explaining an experimentally derived grain-size distribution functions (i.e. microstructural homogeneity) in polycrystalline solids is presented. Paper reports progress in exploring the problem by utilizing of a model based on the Smoluchowski theory for coagulation.
first_indexed	2025-11-25T20:47:32Z
format	Article
fulltext	371 PACS numbers: 05.10.Ln, 61.43.Gt, 61.72.-y, 64.60.De, 68.55.jm, 81.07.Wx, 81.10.Jt Формирование микроструктуры поликристаллических материалов и статистика распределения зёрен по их средним размерам: возможность описания на основе уравнения коагуляции Смолуховского С. В. Шевченко Институт металлофизики им. Г. В. Курдюмова НАН Украины, бульв. Акад. Вернадского, 36, 03680, ГСП, Киев-142, Украина Проведён краткий анализ общепринятых подходов к объяснению экспе- риментальных функций распределения зёрен по их среднему размеру (степени однородности микроструктуры) в поликристаллических телах и предложен новый взгляд на проблему, основанный на использовании ре- зультатов теории коагуляции Смолуховского. Показано, что определён- ные точные решения уравнения коагуляции дают основания для строгого описания кинетики и асимптотического поведения функции распределе- ния зёрен по их среднему размеру в процессе кристаллизации аморфного металла, роста зерна и рекристаллизации. Проведено моделирование по- ведения функций распределения зёрен по их среднему размеру как реше- ния соответствующего уравнения Смолуховского и прямое трёхмерное микроструктурное моделирование формирования новой фазы путём заро- дышеобразования и роста в твёрдом состоянии. Показано, что такое моде- лирование приводит к реалистичным микроструктурам и функциям рас- пределения. У роботі надано короткий аналіз загальноприйнятих підходів до пояснен- ня експериментально встановлених функцій розподілу зерен (ступеня од- норідности мікроструктури) у полікристалічних тілах і запропоновано новий підхід до проблеми, який ґрунтується на результатах теорії коаґу- ляції за Смолуховським. Встановлено, що певні точні розв’язки рівняння коаґуляції є підставою для ґрунтовного пояснення кінетики й асимпто- тичної поведінки функції розподілу зерен за їхнім середнім розміром у процесах кристалізації аморфних стопів, росту кристалічного зерна та рекристалізації. Проведено моделювання поведінки функцій розподілу зерен за їхнім середнім розміром як розв’язку відповідного рівняння Смолуховського, а також безпосереднє тривимірне мікроструктурне мо- делювання формування нової фази у твердому стані шляхом зародкуван- Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Nanosystems, Nanomaterials, Nanotechnologies 2015, т. 13, № 2, сс. 371–388  2015 ІÌÔ (Інститут металофізики ім. Ã. В. Êурдюмова ÍÀÍ України) Íадруковано в Україні. Ôотокопіювання дозволено тільки відповідно до ліцензії 372 С. В. ШЕВЧЕÍÊО ня та росту. Встановлено, що таке моделювання відтворює реалістичні мікроструктури та функції розподілу. A brief analysis for commonly used approaches to explaining an experimen- tally derived grain-size distribution functions (i.e. microstructural homoge- neity) in polycrystalline solids is presented. Paper reports progress in explor- ing the problem by utilizing of a model based on the Smoluchowski theory for coagulation. The basic idea consists of the usage of exact solutions for the Smoluchowski equations as a source of kinetics and asymptotic behaviour for grain-size distribution functions during amorphous alloy crystallization, normal grain growth, and recrystallization. Grain-size distribution func- tions for several limiting cases are simulated with using both the coagulation equation solutions and the direct Monte Carlo method study of nucleation and growth in the solid state. As shown, such a simulation results in realistic microstructures and grain-size distributions. Ключевые слова: кристаллизация, зародышеобразование и рост, уравне- ние Смолуховского, Ìонте-Êарло моделирование, микроструктура, ста- тистические распределения. (Получено 3 декабря 2014 р.) 1. ВВЕДЕНИЕ Средний размер зерна в поликристаллическом материале является хоть и важной, но лишь одной из многих характеристик микро- структуры. Изучение процессов эволюции микроструктуры поли- кристаллических материалов и создание различных моделей, опи- сывающих кристаллизацию, фазообразование и термически акти- вированный рост зерна, потребовали значительного расширения числа параметров как при теоретическом рассмотрении процессов роста зёрен, так и при численном моделировании различными ме- тодами. Представляется вполне очевидным, что одни зерна больше других, что исчезают маленькие зерна и за их счёт увеличиваются большие, при этом размер зерна является некоторой усреднённой по поликристаллу величиной. Поскольку зерна имеют сложную форму криволинейных полиэдров, невозможно приписать индиви- дуальному зерну определённый линейный размер. Однако в случае равноосных микроструктур каждое зерно все же можно охаракте- ризовать некоторым размером. Такая не вполне точно определённая величина, как правило, за- меняется эквивалентным сферическим диаметром, т.е. диаметром сферы, имеющей тот же объём, что и данное зерно. Такая величина для каждого зерна точно определена и возможно введение функции распределения зёрен по размерам: Nf(xx, t), где N — количе- ство зёрен, эквивалентный сферический диаметр (в дальнейшем — средний размер зерна R), который в момент времени t находится в ÔОРÌИРОВÀÍИЕ ÌИÊРОСТРУÊТУРЫ И РÀСПРЕДЕЛЕÍИЯ ЗЁРЕÍ ПО РÀЗÌЕРÀÌ 373 диапазоне x x. Вопрос об исходном (при t 0) распределении зё- рен по размерам во многих случаях является ключевым при моде- лировании процессов роста зерна, поскольку от его вида суще- ственным образом зависит характер поведения функции распреде- ления при ненулевых временах — вплоть до возможности перехода от нормального к аномальному росту зерна при неизменных усло- виях роста, а только лишь при изменении исходного распределения [1]. Характер распределения f(xx, 0) определяется предыстори- ей материала, например характером процессов кристаллизации, деформации при механической обработке, рекристаллизации, и т.п. Он оказывает определяющее влияние на многие технически важные свойства поликристаллических материалов, например термическую стабильность микроструктуры поликристалла [2] или однородность деформации при термомеханической обработке [3]. Íесмотря на очевидную актуальность решения вопроса о распреде- лении зёрен по размерам, в настоящее время не существует единой теории, приводящей к корректным результатам, а существующие теоретические оценки функции распределения зёрен по размерам во многих случаях плохо согласуются с экспериментом. В данной работе проведён краткий анализ общепринятых подхо- дов к объяснению экспериментальных распределений f(xx, t) в поликристаллических телах и предложен новый взгляд на пробле- му, основанный на использовании результатов теории коагуляции [4–6]. Показано, что сформулированное в 1916 году Ì. Смолухов- ским уравнение коагуляции [7], сводящееся к частному случаю уравнения плотности распределения вероятностей Ôоккера– Планка [8], даёт основания для строгого фундаментального описа- ния кинетики функции распределения зёрен по их среднему разме- ру в процессе роста зерна, рекристаллизации или кристаллизации аморфного металла. Проведено моделирование поведения распре- деления f(xx, t) соответствующего решения уравнения Смолу- ховского и прямое трёхмерное микроструктурное моделирование кристаллизации аморфного состояния. ÌС-моделирование привело к реалистичным микроструктурам и распределениям f(x x, t). 2. СОВРЕМЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЗЁРЕН ПО СРЕДНИМ РАЗМЕРАМ В ПОЛИКРИСТАЛЛЕ Íа примере нормального термически активированного роста кри- сталлического зерна в поликристаллическом материале (собира- тельная рекристаллизация) видно, что процесс исчезновения ма- лых зёрен и роста более крупных контролируется перемещением атомов через границу зерна, другими словами, диффузией через межзёренную границу. Основным свойством нормального роста зерна считается подобие возникающих в различное время микро- 374 С. В. ШЕВЧЕÍÊО структур, принципиальное отличие которых состоит лишь в сред- нем по объёму материала размере зерна. Впервые попытка построить замкнутое, построенное на понятии «средний размер зерна» описание нормального роста зерна было предпринято в 1965 году Хиллертом [9]. Считая зерна взаимодей- ствующими посредством диффузии сферами и учитывая размер- ность задачи, он выразил скорость роста конкретного зерна как 1 1 2 c dx A dt x x          , (1) где А — произведение подвижности границ на их поверхностное натяжение, а  — безразмерный фактор формы, служащий для учё- та несферичности реальных зёрен. Для функции распределения зё- рен по размерам f (x, t) записывается уравнение непрерывности при условии сохранения полного объёма зёрен: 0 1 1 2 0; ( , ) 0 q c f A f x t R dx t x x x                   . (2) Поиск решения уравнения (2) в виде автомодельного (самоподоб- ного по времени) распределения зёрен по размерам приводит к рас- пределению Хиллерта:      2 2 (2 ) exp( ), / , 2(2 ) q cq uq q f e u x x uu (3) а закон изменения критического размера зерна совпадает с законом изменения среднего размера зерна в объёме материала. В уравнени- ях (1)–(3) под критическим размером зерна понимается размер, зерна большие которого увеличиваются со временем, а меньшие — уменьшаются. Íесмотря на существенные различия, кажется продуктивной аналогия между процессом роста зерна и стадией коалесценции при распаде пересыщенных твёрдых растворов, на которой маленькие частицы растворяются под действием капиллярных сил, и их веще- ство диффузионным путём передаётся более крупным частицам. В работе [10] впервые показано, что асимптотика функции распреде- ления зёрен по размерам при больших временах (и неограниченном объёме) не зависит от начальных условий в широком диапазоне ис- ходной функции распределения. В классической работе Лифшица и Слёзова [11] впервые получены асимптотики функции распределе- ния зёрен по размерам (рис. 1) и критического размера xc в выраже- ниях (1)–(3) и на их основе построена теория спекания. При этом было показано существенное различие между реальным распреде- лением (кривая 1 на рис. 1) и распределением, получаемым измере- ÔОРÌИРОВÀÍИЕ ÌИÊРОСТРУÊТУРЫ И РÀСПРЕДЕЛЕÍИЯ ЗЁРЕÍ ПО РÀЗÌЕРÀÌ 375 ниями на шлифах (плоских сечениях) того же самого объёма (кри- вая 2 на рис. 1). Однако точные решения получены в [11] только для вполне конкретных кинетических предположений, что затрудняет их обобщение на случай эволюции микроструктуры поликристал- ла. При анализе экспериментальных данных и данных трёхмерного моделирования часто используют так же нормальное логарифмиче- ское распределение [12–14]. Однако, как показано в [15], такое рас- пределение возникает в результате процессов, имеющих чисто сто- хастический, случайный характер. Очевидно, процесс образования кристаллического зерна и его роста/уменьшения имеет другую фи- зическую природу (неслучайным образом зависит от текущего со- стояния ближайшей окрестности зерна). Àктивное моделирование распределений кристаллических зёрен по размерам, наряду с поисками обоснованных аналитических ре- шений продолжается и в последнее десятилетие [16–20]. À в экспе- риментальных работах, часто проводится сравнение полученных данных с несколькими теоретическими распределениями. Для слу- чая нормального роста кристаллического зерна в чистых металлах и низкопористых керамиках авторами [21] представлены результа- ты трёхмерного моделирования распределений, а так же обширный обзор экспериментальных данных. 3. УРАВНЕНИЕ КОАГУЛЯЦИИ (СМОЛУХОВСКОГО) Предложенное Смолуховским [15] уравнение коагуляции с самого момента его появления широко используется для описания явле- ний агрегации во многих областях науки. Оно рассматривает физи- Рис. 1. Ôункции распределения зёрен по их среднему размеру согласно [11]: реальное распределение (кривая 1) и распределение среднего диамет- ра в плоских сечениях (шлифах, кривая 2). 376 С. В. ШЕВЧЕÍÊО ческую систему большого числа частиц, каждой из которых можно приписать неотрицательную скалярную величину (например, объ- ём X). Считая такую систему пространственно однородной и не- ограниченной, учитывая только парные взаимодействия и соотно- шение баланса взаимодействующих частиц, можно описать её пове- дение уравнением Смолуховского: 0 0 ( , ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 X f X t X Y Y f X Y t f Y t dY f X t X Y f Y t dY t            , 0 X   , 0t  . (4) Первый член в правой части (4) описывает рост числа частиц объёма X за счёт слияний частиц с объёмами (X–Y) и Y, а второй член — уменьшение частиц объёма X из-за слияний этих частиц с частица- ми объёма Y. Среднее число частиц, отнесённое к объёму коагули- рующей системы (стремящемуся к бесконечности) для времени t определяется интегралом: 0 ( ) ( , )N t f X t dX    , (5) а средний объём частиц, отнесённый к объёму системы, получается интегрированием функции распределения f с весом X: 0 ( ) ( , )M t Xf X t dX    . (6) Отметим, что для случая беспористого поликристалла, ( ) 1M t  . При рассмотрении эволюции конкретной коагулирующей системы к уравнению (4) необходимо добавить начальную функцию распре- деления частиц: 0 ( ,0) ( ) 0,f X f X  (7) которую часто полагают константой (все частицы одинакового раз- мера, монодисперсное состояние), и перейти к решению задачи Êо- ши для уравнений (4) и (7) [22]. Ôизические свойства моделируемой системы определяют вид яд- ра (X, Y) уравнения Смолуховского. Простейший вид ядра соот- ветствует модели линейной поликонденсации [23]: (X, Y)1. Для такого ядра существует точное автомодельное решение [22]: 2 ( , ) 1/ (1 0,5 ) exp( / (1 0,5 )f X t t X t    при ( ,0) exp( ).f X X  (8) Точные решения существуют и для ядер (X, Y)X Y, (X, Y) ÔОРÌИРОВÀÍИЕ ÌИÊРОСТРУÊТУРЫ И РÀСПРЕДЕЛЕÍИЯ ЗЁРЕÍ ПО РÀЗÌЕРÀÌ 377 XY и некоторых других. Таким образом, для физических моделей которым соответствуют «точно решаемые» ядра (X, Y) существует строгий ответ на вопрос о функции распределения зёрен (кластеров) по объёмам. Для многих моделей возможно последовательное вы- числение распределения кластеров по объёмам без расчёта его ста- тистических моментов, расчёт только асимптотического поведения функции распределения либо, по крайней мере, доказательство су- ществования и единственности решения. В последнем случае реше- ние может быть найдено подстановкой функций, подходящих по физическим соображениям. 4. ПОИСК ЯДРА И АСИМПТОТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ СМОЛУХОВСКОГО ДЛЯ ПРОЦЕССОВ ОБРАЗОВАНИЯ ПОЛИКРИСТАЛЛА Рассмотрим зародыш кристаллической/рекристаллизованной фа- зы, рост которого осуществляется путём последовательного присо- единения малых объёмов из окружающего его пространства (рис. 2). Будем рассматривать растущие зародыши как крупные класте- ры, а присоединяемые объёмы как малые кластеры. С определён- ной вероятностью крупный кластер может присоединить малый кластер, находящийся непосредственно возле него, и наоборот. Присоединение друг к другу двух малых кластеров будем полагать невозможным, поскольку они не образуют термодинамически устойчивого зародыша. Слияние двух больших зародышей малове- роятно, поскольку, как правило, их кристаллогеометрические ори- Рис. 2. Ìодель формирования поликристалла: (1) исходное положение за- родыша; (2) растущее зерно; (3) граница зерна по завершении (ре)- кристаллизации. 378 С. В. ШЕВЧЕÍÊО ентировки различны, и при их соприкосновении (рис. 2) возникает межзёренная граница. Ìы получаем, таким образом, модель, экви- валентную броуновской коагуляции в непрерывном режиме [24]. Показано, [25], что эта модель характеризуется ядром 1/3 1/3 1/3 1/3 ( , ) ( )( )X Y X Y X Y     . Уравнение Смолуховского с та- ким ядром имеет решение в автомодельной форме: 2 ( ) ( / ), X N t s X s  (9) где ( / )X s — универсальная функция, не зависящая от начально- го распределения, а средний размер кластера s(t) — возрастающая функция времени, которая остаётся всегда конечной [25]. В нашем случае, при отсутствии в объёме материала пустот и удаления кла- стеров из объёма, он оказывается нормированным: ( ( ) 1X X dX  . Íас интересует решение уравнения коагуляции Смолуховского в пределе t  , что соответствует полному окончанию процесса (ре)кристаллизации. Подстановкой в (4) получаем интегральное уравнение для скейлинговой функции: 0 0 ( ) 2 ( ) 1 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) , 2 X X X X Y X Y X Y Y dY X X Y Y dy                  (10) константа  возникает при применении метода разделения пере- менных. Средний размер кластера находится решением уравнения 1/(1 ) ( ) , 1/ 3s t s     [26]. Предельным случаем является полное исчерпание малых кластеров, после чего эволюция системы пре- кращается. Àвторами [27] получено строгое решение для случая 0X  . Оно определяет распределение по размерам зёрен форми- рующихся из большого количества зародышей, образующихся практически одновременно:  2( ) ( / ), X N t s X s 2 1/2 1/6 1/3 ( ) [ exp( ] .X X X X      (11) Ôункция распределения зёрен по размерам тогда имеет вид, пока- занный на рис. 3, кривая 2. Для случая возникновения малого количества зародышей и их длительного роста, можно искать решения уравнений (4); (9) в пре- деле X  : 1/3 exp( ), X N FX cX  (12) где F и с — положительные константы [28]. Êривая 1 на рис. 3 соот- ветствует такому распределению. ÔОРÌИРОВÀÍИЕ ÌИÊРОСТРУÊТУРЫ И РÀСПРЕДЕЛЕÍИЯ ЗЁРЕÍ ПО РÀЗÌЕРÀÌ 379 Для рассмотрения характера функции распределения по разме- рам, формирующуюся в условиях непрерывного зарождения и ро- ста, рассмотрим суперпозицию распределений (12), с аргументом X  X + s(tm) при нескольких последовательных моментах зарожде- ния новых зёрен tm. Ìодель такого распределения для суперпози- ции 10 функций представлена кривой (3) на рис. 3. Строгое опреде- ление функции распределения при предельном переходе (бесконеч- но большое число моментов зарождения) определяет, очевидно, ха- рактер искомого распределения. Учитывая экспоненциальный ха- рактер нарастания и спада большинства решений уравнения Смо- луховского, можно предположить, что такое распределение будет близко к нормальному логарифмическому, однако это утверждение требует отдельного доказательства. Íеобходимо ещё раз отметить, что распределения (11) и (12) есть решения в приближении беско- нечного объёма исходной фазы. Íормальный рост кристаллического зерна [13] обусловлен тер- мически активированной миграцией границ зёрен таким образом, что их суммарная поверхностная энергия уменьшается. В рамках формализма уравнения коагуляции можно рассматривать этот процесс как аналогичный рассмотренному выше, с ненулевой веро- ятностью отделения малого кластера от большого. Ìодифициро- ванное уравнение коагуляции необходимо решить при начальных условиях, соответствующих окончанию кристаллизации (распре- делению (11) или (12)). Àвтору известно строгое рассмотрение толь- ко для начального распределения (12). В [26] показано, что автомо- дельное решение существует, при этом средний объём кластера за- Рис. 3. Решение уравнения Смолуховского при X0; t для случаев (ре) кристаллизации, характеризующейся: (1) малым количеством одно- временно формирующихся зародышей; (2) большим количеством одно- временно формирующихся зародышей; (3) малым количеством зароды- шей, формирующихся непрерывно в исходной фазе (u 4x/s). 380 С. В. ШЕВЧЕÍÊО висит от времени как s(t)t 3/2. Соответственно, средний размер при нормальном росте пропорционален квадратному корню времени отжига, что соответствует классическим выводам о кинетике нор- мального роста, полученным из геометрических соображений [29]. Замечательным свойством решения является его независимость от размерности пространства (кроме одномерного случая), в котором размещены кластеры. По этой причине использование двумерных моделей роста зерна и рекристаллизации [13] правильно воспроиз- водит кинетику объёмных процессов. Однако функцию распределе- ния зёрен по размерам в двумерных моделях воспроизвести не уда- ётся. 5. МОНТЕ-КАРЛО МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ, ОПИСЫВАЕМЫХ УРАВНЕНИЕМ СМОЛУХОВСКОГО Природа уравнения коагуляции допускает как подходы, основан- ные на численном решении интегральных уравнений, так и постро- ение прямой модели кластерообразования, эволюция которой обес- печивается применением вероятностных процедур (разновидность метода Ìонте-Êарло). Рассмотрим модель коагуляции, которая описывает процесс на уровне слияния частиц системы. Пусть в системе имеется Z частиц, пронумерованных от 1 до Z. Êаждая из частиц в свою очередь состоит из Q одинаковых объек- тов, т.е. объём i-й частицы равен Qi. Состояние системы в момент t задаётся вектором (Qi(t), …, QZ(t)). Пусть за промежуток времени  в системе объединяется (коагулирует) не больше одной пары ча- стиц. Определим эту пару (i, j) случайным образом, предполагая, что вероятность выбора для каждой пары частиц одинаковая. С ве- роятностью P позволим этим частицам слиться в частицу суммар- ной массы, и с вероятностью (1P) слияния не производим. Веро- ятность P связана с ядром (X, Y) уравнения Смолуховского, чис- лом частиц и временным шагом : ( ) ( , ), i j P Z Z Q Q   (13) где запись (Z) означает, что шаг по времени  в модели зависит от числа частиц. Если слияние состоялось, то частица суммарного объёма получает наибольший номер (из двух номеров исходных ча- стиц). Частица с меньшим номером получает значение объёма, рав- ное нулю, т.е. исключается из рассмотрения. Последовательное вы- полнение таких шагов позволяет получать ряд последовательных функций распределения частиц по объёмам, и, используя совре- менные вычислительные возможности, исследовать асимптотиче- ское поведение модели при различных условиях взаимодействия (ядрах). Относительно недавно было установлено [30], что ядру ÔОРÌИРОВÀÍИЕ ÌИÊРОСТРУÊТУРЫ И РÀСПРЕДЕЛЕÍИЯ ЗЁРЕÍ ПО РÀЗÌЕРÀÌ 381 (X, Y) в модели Ìонте-Êарло соответствует ядро 2(X, Y)в урав- нении (4), что связано с неразличимостью пар частиц (i, j) и (j, i) в модели Смолуховского. При таком соответствии между ядрами вы- числительный эксперимент быстро сходиться к точным решениям уравнения коагуляции. Отличие предложенной в данной работе модели состоит в при- вязке каждого объекта Q, составляющего частицы, к конкретному месту в декартовом пространстве, что автоматически определяет размерность моделирования, а условие возможности присоедине- ния лишь частиц, содержащих соседние объекты, придаёт ему кон- кретный физический смысл. Заполнение вектора моделирования зародышами определённого размера (например, по 10 объектов в каждом) и желаемой концентрации, позволяет затем ввести в моде- лирование запрет на взаимодействие больших частиц между собой, равно как и на коагуляцию малых частиц. Таким образом может быть реализовано ядро, соответствующее ре(кристаллизации) с же- лаемыми исходными параметрами (распределением частиц по раз- мерам и т.п.). Íа рисунке 4 показано, каким образом модельный зародыш (кристаллит) может быть включён в вектор моделирова- ния, организованный в трёхмерном декартовом пространстве. Та- ким образом, после завершения моделирования можно построить не только функцию распределения частиц (зёрен) по размерам, но и трёхмерную модель сформировавшейся микроструктуры. 6. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Ìоделирование функции распределения выполнено на векторе, со- держащем 8 миллионов объектов, сгруппированных в трёхмерный объём со стороной K200, как показано на рис. 4. Рис. 4. Организация объектов Q в трёхмерный декартовый объём. Ìодель частицы (зерно) занимает некую область внутри трёхмерного объёма, чис- ло объектов, составляющих частицу, соответствует объёму частицы. 382 С. В. ШЕВЧЕÍÊО Объём заполнялся большими кластерами («кубиками» из 8 ча- стиц), далее моделирование производилось согласно процедуре, описанной в п. 5 вплоть до исчерпания малых (одночастичных) кла- стеров. Исходное количество больших кластеров (зародышей) со- Рис. 5. Результаты ÌС-моделирования (сплошные кривые) их и сравнение с теоретическим распределениями частиц (зёрен) по их средним размерам (пунктир): 1 — большое (120000) количество зародышей; 2 — среднее (50000) количество зародышей. Все зародыши возникают при t 0. а б Рис. 6. а — Результаты ÌС-моделирования (кривая 1) их и сравнение с теоретическим распределениями частиц (зёрен) по их средним размерам (пунктир 2) для малого (2000) количества зародышей, равномерное во времени зарождение частиц; 3 — экспериментальное распределение [31]. б — Ìикроструктура (и её трёхмерная реконструкция) сплава 83%W– 11,9%Ni–5,1%Fe [31]. ÔОРÌИРОВÀÍИЕ ÌИÊРОСТРУÊТУРЫ И РÀСПРЕДЕЛЕÍИЯ ЗЁРЕÍ ПО РÀЗÌЕРÀÌ 383 ставляло 120 и 50 тысяч, соответственно средний объём зёрен при завершении рекристаллизации составлял 66 и 160 объектов. Полу- ченные в результате моделирования распределения показаны на рис. 5. Видно, что результаты моделирования хорошо соответствуют теоретическим распределениям (рис. 5), расхождение наблюдается только в области больших размеров зёрен (очевидно, область не со- ответствующая пределу X0). (Соответствующая реконструкция микроструктуры по вектору моделирования представлена на рис. 7, а.) Ìожно предположить, что результаты моделирования несколь- ко лучше отражают реальные распределения зёрен по размерам, поскольку максимальная скорость присоединения малого кластера в модели (как и в природе) ограничена. Íа рисунке 6, а представлены результаты моделирования рас- пределения по средним размерам (кривая 1) для случая непрерыв- ного зарождения относительно небольшого числа частиц — 2000 а б Рис. 7. Реконструкция микроструктуры сформированной процессом ÌС- моделирования решения уравнения Смолуховского: а — большое количе- ство зародышей (120000), малый размер зерна; б — крупнозернистая структура, возникающая при малом количестве зародышей (2000) при условии их непрерывного, однородного по объёму образования. 384 С. В. ШЕВЧЕÍÊО шт. Их средний объём составил соответственно 4000 объектов. Со- поставление с теоретическим распределением (2), полученным дис- кретным суммированием 10 функций (12), показывает хорошее со- ответствие распределений. Реконструкция микроструктуры по вектору моделирования представлена на рис. 7, б. Ãистограмма (3) представляет полученное по новейшей методике [31] распределение частиц вольфрама, растущих при отжиге неста- бильного твёрдого раствора 83%W–11,9%Ni–5,1%Fe (вес.%). Ìасштабное соотношение при сопоставлении составляет 1 K1,5 m. Экспериментальное распределение лучше соответствует реше- нию уравнения коагуляции, поскольку частицы вольфрама (рис. 6, б) не занимают полностью весь объём материала. 7. ОБСУЖДЕНИЕ Понятия масштабной инвариантности и самоподобия широко ис- следованы в физике необратимого роста, много десятилетий идёт исследование кинетики таких процессов. Поскольку необратимый рост является как раз тем явлением, с которым металлофизики сталкиваются при изучении явлений кристаллизации, роста кри- сталлического зерна и т.д., использование формального математи- ческого аппарата, попытка обзора которого предпринята в данной работе, могло бы быть полезным. При моделировании решений уравнения Смолуховского так же часто возникают фрактальные микроструктуры, реально наблюдаемые во многих наноструктур- ных металлах и сплавах. Хотя наличие примесей, включений, вли- яние кристаллографической текстуры и внутренних напряжений в материале вряд ли может быть учтено в рамках уравнения коагу- ляции, часто необходимо иметь информацию о характеристиках явления, проходящего в идеальных условиях, в качестве базы для сопоставления и анализа. Во многих случаях, когда проведение со- ответствующего эксперимента затруднено, получение статистиче- ской информации о явлении возможно с помощью уравнения Смо- луховского или методом прямого моделирования. Важнейшим эта- пом при этом является формулировка физической модели и выбор соответствующего ядра уравнения коагуляции. Проведено сравнение результатов теоретического расчёта и ÌС- моделирования процесса роста новой фазы с непрерывным зарож- дением с результатами эксперимента, в котором основное внимание было уделено точному измерению распределения частиц по разме- рам. Получено удовлетворительное согласие результатов с экспе- риментальными данными. В статье предпринята попытка обзора лишь малой части резуль- татов теории коагуляции и процессов формирования микрострук- туры поликристалла на основе дискретного подхода к решению ÔОРÌИРОВÀÍИЕ ÌИÊРОСТРУÊТУРЫ И РÀСПРЕДЕЛЕÍИЯ ЗЁРЕÍ ПО РÀЗÌЕРÀÌ 385 уравнения Смолуховского. Безусловно, поиск такого, имеющего физический смысл, ядра уравнения коагуляции, которое приводи- ло бы к логарифмически-нормальному (или другому, из часто ис- пользуемых) распределению частиц по размерам имело бы большое значение для понимания природы формирования микроструктур с различной степенью однородности в металлах и сплавах. Хотя по- иск точного решения уравнения (4) во многих случаях является сложнейшей математической задачей, изложенный подход заслу- живает более широкого использования в металловедении (автору известны лишь две попытки [32, 33] его применения при анализе формирования плёночных покрытий). Плодотворность трёхмерного моделирования процессов рекри- сталлизации и роста зерна подтверждена также рядом работ в этой области [34, 35] с участием автора данной статьи. Для построения трёхмерных изображений векторов ÌС- моделирования использована программа визуализации массивов микроструктурных данных (2004 г., автор — Í. Л. Васильев, аспи- рант Института металлофизики им. Ã. В. Êурдюмова ÍÀÍ Украи- ны). ПРИЛОЖЕНИЕ Принятые обозначения: А — произведение подвижности границы зерна и её поверхностного натяжения; Q — номер объекта в векторе моделирования; F, c,  — константы (нормировочные, разделения переменных); f(x, t), (f(X, t)) — функция распределения зерен по размерам (объёмам); K — длина стороны реконструированного мо- дельного объёма; M(t) — средняя концентрация частиц (объектов) в моделируемом объёме; N — количество зёрен; N(t) — среднее число частиц в моделируемом объёме; P, P(u) — вероятность; s — средний объём кластера; t — время;  — интервал времени (шаг ÌС- моделирования); x — эквивалентный сферический диаметр (размер зерна); хс — критический диаметр; X, Y — объём зерна (кластера); число объектов Q в частице Z; Z — номер частицы в векторе моде- лирования;  — безразмерный фактор формы; (X/s) — функция распределения — решение уравнения коагуляции;  — параметр решения уравнения коагуляции. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. J. M. Feppon and W. B. Hutchinson, Acta Materialia, 50: 3293 (2002). 2. Ì. В. Дегтярев, Л. Ì. Воронова, В. В. Ãубернаторов, Т. И. Чащухина, Доклады Академии Наук, 386: 180 (2002). 3. С. Ю. Ìиронов, Ã. À. Салищев, Физика металлов и металловедение, 92, № 5: 81 (2001). 386 С. В. ШЕВЧЕÍÊО 4. Ì. Смолуховский, Опыт математической теории кинетики коагуляции коллоидных растворов. Коагуляция коллоидов (Ìосква: ОÍТИ: 1936), с. 7– 39. 5. В. Ì. Волощук, Кинетическая теория коагуляции (Ленинград: Ãидрометеоиздат: 1984). 6. И. Иванов, Д. Платиканов, Коллоиды (Ленинград: Химия: 1975). 7. M. Smoluchowski, Phys. Zeitz., XVII: 557 (1916). 8. Е. Ì. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Физическая кинетика (Ìосква: Íаука: 1979). 9. M. Hillert, Acta metal., 13: 227 (1965). 10. О. Ì. Тодес, Журн. физ. химии., 20: № 7: 629 (1946). 11. И. Ì. Лифшиц, В. В. Слезов, ЖЭТФ, 35: № 2(8): 479 (1958). 12. R. B. Bergmann, F. G. Shi, H. J. Queisserr, and J. Krinke, Applied Surface Science, 123/124: 376 (1998). 13. O. M. Ivasishin, S. V. Shevchenko, N. L. Vasiliev, and S. L. Semiatin, Acta Mater., 51: 1019 (2003). 14. D. J. Srolovitz, M. P. Anderson, P. S. Sahni, and G. S. Grest, Acta metal., 32: 793 (1984). 15. L. B. Kiss, J. Soderlund, G. A. Niklasson, and C. G. Granqvist, Nanostr. Mater., 12: 327 (1999). 16. P. R. Rios, Scripta Materialia, 40: 665 (1999). 17. T. O. Saetre, Modelling Simul. Mater. Sci. Eng., 12: 1267 (2004). 18. T. O. Saetre, Modelling Simul. Mater. Sci. Eng., 12: 1279 (2004). 19. S. Xiaoyan, L. Guoquan, and G. Nanju, Scripta Materialia, 43: 355 (2000). 20. P. E. Nunzio, Acta Materialia, 49: 3635 (2001). 21. M. P. Anderson and G. S. Grest, Philosophical Magazine, B59: 293 (1989). 22. В. À. Ãалкин, Уравнение Смолуховского (Ìосква: Ôизматлит: 2001). 23. R. M. Ziff, J. Stat. Phys., 23: 241 (1980). 24. S. K. Fedlander, Smoke, Dust and Haze (New York: Wiley-Int: 1972). 25. L. R. Darke, Topics in Current Aerosol Research (Eds. G. M. Hidy and J. R. Brock) (New York: Pergamon Press: 1972), vol. 3. 26. M. H. Ernst, Fractals in Physics (Eds. L. Pietronero and E. Tosatti) (Amsterdam: North-Holland Publ.: 1986), p. 399. 27. F. S. Lai, S. K. Frielander, J. Pich, and G. M. Hidy, J. Colloid Inter. Sci., 39: 395 (1972). 28. H. E. Stanley, P. J. Reynolds, S. Render, and F. Family, Real Space Renormalization (Eds. T. W. Burkhardt and J. M. J. van Leeuwen) (Berlin: Springer Verlag: 1982). 29. C. G. Dunn and J. L. Walter, Recrystallization, Grain Growth and Textures (Metals Park, OH: ASM: 1966), р. 436. 30. И. Р. Багдасарова, В. À. Ãалкин, Математическое моделирование, 11: 82 (1999). 31. A. Tewari and A. M. Gokhale, Materials Characterization, 46: 329 (2001). 32. J. Chaiken and J. Goodisman, Nanostructured Materials, 5: 225 (1995). 33. L. Dagdug, A. M. Berezhkovskii, and H. Weiss, Physica, A318: 341 (2003). 34. O. M. Ivasishin, S. V. Shevchenko, N. L. Vasiliev, and S. L. Semiatin, Material Sci. Eng. A, 433: 2016 (2006). 35. O. M. Ivasishin, S. V. Shevchenko, S. L. Semiatin, and O. P. Shljachta, Ukrainian Journal of Physics, 54: 480 (2009). ÔОРÌИРОВÀÍИЕ ÌИÊРОСТРУÊТУРЫ И РÀСПРЕДЕЛЕÍИЯ ЗЁРЕÍ ПО РÀЗÌЕРÀÌ 387 REFERENCES 1. J. M. Feppon and W. B. Hutchinson, Acta Materialia, 50: 3293 (2002). 2. M. V. Degtyarev, L. M. Voronova, V. V. Gubernatorov, and T. I. Chashchukhina, Doklady Akademii Nauk, 386: 180 (2002) (in Russian). 3. S. Yu. Mironov and G. A., Salyshchev, Fiz. Met. Metalloved., 92, No. 5: 81 (2001) (in Russian). 4. M. Smoluchowski, Opyt Matematicheskoi Teorii Kinetiki Koagulyatsii Kolloidnykh Rastvorov. Koagulyatsiya Kolloidov [Coagulation of Colloids] (Moscow: ONTI: 1936), p. 7–39 (Russian translation). 5. V. M. Voloshchuk, Kineticheskaya Teoriya Koagulyatsii [Kinetic Theory of Coagulation] (Leningrad: Gidrometeoizdat: 1984) (in Russian). 6. I. Ivanov and D. Platikanov, Kolloidy [Colloids] (Leningrad: Khimiya: 1975) (in Russian). 7. M. Smoluchowski, Phys. Zeitz., XVII: 557 (1916). 8. E. M. Lifshitz and L. P. Pitaevskii, Fizicheskaya Kinetika [Physical Kinetics] (Moscow: Nauka: 1979) (in Russian). 9. M. Hillert, Acta metal., 13: 227 (1965). 10. O. M. Todes, Zhurn. Fiz. Khimii, 20: No. 7: 629 (1946) (in Russian). 11. I. M. Lifshitz and V. V. Slyozov, ZhETF, 35, No. 2(8): 479 (1958) (in Russian). 12. R. B. Bergmann, F. G. Shi, H. J. Queisserr, and J. Krinke, Applied Surface Science, 123/124: 376 (1998). 13. O. M. Ivasishin, S. V. Shevchenko, N. L. Vasiliev, and S. L. Semiatin, Acta Mater., 51: 1019 (2003). 14. D. J. Srolovitz, M. P. Anderson, P. S. Sahni, and G. S. Grest, Acta metal., 32: 793 (1984). 15. L. B. Kiss, J. Soderlund, G. A. Niklasson, and C. G. Granqvist, Nanostr. Mater., 12: 327 (1999). 16. P. R. Rios, Scripta Materialia, 40: 665 (1999). 17. T. O. Saetre, Modelling Simul. Mater. Sci. Eng., 12: 1267 (2004). 18. T. O. Saetre, Modelling Simul. Mater. Sci. Eng., 12: 1279 (2004). 19. S. Xiaoyan, L. Guoquan, and G. Nanju, Scripta Materialia, 43: 355 (2000). 20. P. E. Nunzio, Acta Materialia, 49: 3635 (2001). 21. M. P. Anderson and G. S. Grest, Philosophical Magazine, B59: 293 (1989). 22. V. A. Galkin, Uravnenie Smoluchowskogo [Smoluchowski Equation] (Moscow: Fizmatlit: 2001) (in Russian). 23. R. M. Ziff, J. Stat. Phys., 23: 241 (1980). 24. S. K. Fedlander, Smoke, Dust and Haze (New York: Wiley-Int: 1972). 25. L. R. Darke, Topics in Current Aerosol Research (Eds. G. M. Hidy and J. R. Brock) (New York: Pergamon Press: 1972), vol. 3. 26. M. H. Ernst, Fractals in Physics (Eds. L. Pietronero and E. Tosatti) (Amsterdam: North-Holland Publ.: 1986), p. 399. 27. F. S. Lai, S. K. Frielander, J. Pich, and G. M. Hidy, J. Colloid Inter. Sci., 39: 395 (1972). 28. H. E. Stanley, P. J. Reynolds, S. Render, and F. Family, Real Space Renormalization (Eds. T. W. Burkhardt and J. M. J. van Leeuwen) (Berlin: Springer Verlag: 1982). 29. C. G. Dunn and J. L. Walter, Recrystallization, Grain Growth and Textures (Metals Park, OH: ASM: 1966), р. 436. 388 С. В. ШЕВЧЕÍÊО 30. I. R. Bagdasarova and V. A. Galkin, Matematicheskoe Modelirovanie, 11: 82 (1999) (in Russian). 31. A. Tewari and A. M. Gokhale, Materials Characterization, 46: 329 (2001). 32. J. Chaiken and J. Goodisman, Nanostructured Materials, 5: 225 (1995). 33. L. Dagdug, A. M. Berezhkovskii, and H. Weiss, Physica, A318: 341 (2003). 34. O. M. Ivasishin, S. V. Shevchenko, N. L. Vasiliev, and S. L. Semiatin, Material Sci. Eng. A, 433: 2016 (2006). 35. O. M. Ivasishin, S. V. Shevchenko, S. L. Semiatin, and O. P. Shljachta, Ukrainian Journal of Physics, 54: 480 (2009).
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87996
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1816-5230
language	Russian
last_indexed	2025-11-25T20:47:32Z
publishDate	2015
publisher	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
record_format	dspace
spelling	Шевченко, С.В. 2015-11-06T19:17:10Z 2015-11-06T19:17:10Z 2015 Формирование микроструктуры поликристаллических материалов и статистика распределения зёрен по их средним размерам: возможность описания на основе уравнения коагуляции Смолуховского / С.В. Шевченко // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2015. — Т. 13, № 2. — С. 371–388. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. 1816-5230 PACS numbers: 05.10.Ln, 61.43.Gt, 61.72.-y, 64.60.De, 68.55.jm, 81.07.Wx, 81.10.Jt https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87996 Проведён краткий анализ общепринятых подходов к объяснению экспериментальных функций распределения зёрен по их среднему размеру (степени однородности микроструктуры) в поликристаллических телах и предложен новый взгляд на проблему, основанный на использовании результатов теории коагуляции Смолуховского. У роботі надано короткий аналіз загальноприйнятих підходів до пояснення експериментально встановлених функцій розподілу зерен (ступеня однорідности мікроструктури) у полікристалічних тілах і запропоновано новий підхід до проблеми, який ґрунтується на результатах теорії коаґуляції за Смолуховським. A brief analysis for commonly used approaches to explaining an experimentally derived grain-size distribution functions (i.e. microstructural homogeneity) in polycrystalline solids is presented. Paper reports progress in exploring the problem by utilizing of a model based on the Smoluchowski theory for coagulation. ru Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Формирование микроструктуры поликристаллических материалов и статистика распределения зёрен по их средним размерам: возможность описания на основе уравнения коагуляции Смолуховского Formation of a Microstructure of Polycrystalline Materials and the Statistics of Distribution of Grains on Their Average Sizes: Possibility of the Description on the Basis of the Smoluchowski Equation of Coagulation Article published earlier
spellingShingle	Формирование микроструктуры поликристаллических материалов и статистика распределения зёрен по их средним размерам: возможность описания на основе уравнения коагуляции Смолуховского Шевченко, С.В.
title	Формирование микроструктуры поликристаллических материалов и статистика распределения зёрен по их средним размерам: возможность описания на основе уравнения коагуляции Смолуховского
title_alt	Formation of a Microstructure of Polycrystalline Materials and the Statistics of Distribution of Grains on Their Average Sizes: Possibility of the Description on the Basis of the Smoluchowski Equation of Coagulation
title_full	Формирование микроструктуры поликристаллических материалов и статистика распределения зёрен по их средним размерам: возможность описания на основе уравнения коагуляции Смолуховского
title_fullStr	Формирование микроструктуры поликристаллических материалов и статистика распределения зёрен по их средним размерам: возможность описания на основе уравнения коагуляции Смолуховского
title_full_unstemmed	Формирование микроструктуры поликристаллических материалов и статистика распределения зёрен по их средним размерам: возможность описания на основе уравнения коагуляции Смолуховского
title_short	Формирование микроструктуры поликристаллических материалов и статистика распределения зёрен по их средним размерам: возможность описания на основе уравнения коагуляции Смолуховского
title_sort	формирование микроструктуры поликристаллических материалов и статистика распределения зёрен по их средним размерам: возможность описания на основе уравнения коагуляции смолуховского
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87996
work_keys_str_mv	AT ševčenkosv formirovaniemikrostrukturypolikristalličeskihmaterialovistatistikaraspredeleniâzerenpoihsrednimrazmeramvozmožnostʹopisaniânaosnoveuravneniâkoagulâciismoluhovskogo AT ševčenkosv formationofamicrostructureofpolycrystallinematerialsandthestatisticsofdistributionofgrainsontheiraveragesizespossibilityofthedescriptiononthebasisofthesmoluchowskiequationofcoagulation

Репозитарії

Схожі ресурси