Гармонические толщинные колебания неоднородных упругих слоев с искривленными границами
The thickness vibrations of elastic inhomogeneous bodies of diverse geometry under a dynamical harmonic excitation are studied. The thorough analysis is carried out for a change of amplitude-frequency characteristics of mechanical state of homogeneous and inhomogeneous bodies in dependence of excita...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Прикладная механика |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2011
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88003 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Гармонические толщинные колебания неоднородных упругих слоев с искривленными границами / Н.А. Шульга, Л.О. Григорьева, В.Ф. Корниенко // Прикладная механика. — 2011. — Т. 47, № 1. — С. 81-89. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859920478124113920 |
|---|---|
| author | Шульга, Н.А. Григорьева, Л.О. Корниенко, В.Ф. |
| author_facet | Шульга, Н.А. Григорьева, Л.О. Корниенко, В.Ф. |
| citation_txt | Гармонические толщинные колебания неоднородных упругих слоев с искривленными границами / Н.А. Шульга, Л.О. Григорьева, В.Ф. Корниенко // Прикладная механика. — 2011. — Т. 47, № 1. — С. 81-89. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Прикладная механика |
| description | The thickness vibrations of elastic inhomogeneous bodies of diverse geometry under a dynamical harmonic excitation are studied. The thorough analysis is carried out for a change of amplitude-frequency characteristics of mechanical state of homogeneous and inhomogeneous bodies in dependence of excitation frequency. The frequency spectra are determined for the plane, cylindrical, and spherical layers.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:06:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
2011 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 47, № 1
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2011, 47, № 1 81
Н .А .Шул ь г а , Л .О . Г р и г о р ь е в а , В .Ф .К о р н и е н к о
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ТОЛЩИННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ
УПРУГИХ СЛОЕВ С ИСКРИВЛЕННЫМИ ГРАНИЦАМИ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина, e-mail: electr@inmech.kiev.ua
Abstract. The thickness vibrations of elastic inhomogeneous bodies of diverse geome-
try under a dynamical harmonic excitation are studied. The thorough analysis is carried out
for a change of amplitude-frequency characteristics of mechanical state of homogeneous and
inhomogeneous bodies in dependence of excitation frequency. The frequency spectra are
determined for the plane, cylindrical, and spherical layers.
Key words: inhomogeneous body, curved layer, harmonic loading, Hamiltonian for-
malism, amplitude-frequency characteristics, frequency spectrum.
Введение.
Статические и динамические задачи Ламе для упругих однородных (и кусочно-
однородных) цилиндров и шаров имеют точное аналитическое решение [1 и др.]. В то
же время в инженерной практике приходится иметь дело с непрерывно неоднородны-
ми по своим упругим свойствам слоями (плоскими, цилиндрическими, сферическими
и др.). Эти неоднородности обусловливаются различными конструктивными, техно-
логическими, эксплуатационными, климатическими и иными причинами. В последнее
время этот вопрос для цилиндрических тел обсуждался в статьях [4 – 6, 8 – 11]. Ис-
следование влияния различного типа радиальных неоднородностей на частотные и
амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) гармонических колебаний упругих слоев
с искривленными границами требует не только выбора эффективного математического
и вычислительного алгоритмов решения краевой задачи теории упругости, но и выбора
определенной стратегии проведения физического анализа результатов этого решения.
В данной статье развит единый подход анализа гармонических колебаний пласти-
ны, цилиндра и шара с поперечным направлением анизотропии и неоднородности
упругих свойств. На основе разработанного алгоритма проведен сравнительный ана-
лиз АЧХ и собственных частот колебаний для неоднородных тел разной геометрии.
§1. Постановка задачи.
Для исследования амплитудно-частотных характеристик толщинных колебаний
неоднородных упругих слоев плоской, цилиндрической и сферической форм исход-
ными являются уравнения колебаний
( )
2
2
( )rr r
rr
uN
r
r r t
θθ
σ
σ σ ρ
∂ ∂
+ − =
∂ ∂
(1.1)
и материальные зависимости
33 13
( ) ( )r r
rr
u u
c r Nc r
r r
σ
∂
= +
∂
;
( ) ( )13 11 11 12
1
( ) ( ) 1 ( ) ( )
2
r r
u u
c r N c r N c r c r
r r
θθσ
∂
= + − − − ∂
, (1.2)
которые являются общими для прямоугольных, цилиндрических и сферических коор-
динат.
82
В цилиндрических ( 1N = ) и сферических ( 2N = ) координатах r изменяется в
пределах R h r R h− ≤ ≤ + , где R − радиус срединной поверхности; 2h − толщина
слоя; в плоском случае ( 0N = ) 3h r R x h− ≤ − = ≤ и уравнения (1.1), (1.2) соответст-
вуют прямоугольным координатам.
Определив из первого уравнения системы (1.2)
13
33 33
( )
( ) ( )
r rr r
c ru u
N
r c r c r r
σ∂
= −
∂
, (1.3)
для напряжения θθσ находим следующее выражение:
( )( )13
11** 11 12
33
( ) 1
2 ( ) 1 ( ) ( )
( ) 2
r
rr
c r u
N c r N c r c r
c r r
θθσ σ= − − − − (1.4)
(постоянная 2 1
11** 11 13 33
( ) ( ) ( ) ( )c r c r c r c r−= − ).
Из соотношений (1.1) и (1.4) имеем равенство
( )
2 2
13
11** 11 122 2
33
( ) 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 2
N
N Nrr r
rr r
c rr uN N N
r r r c r c r c r u
r r c r t r
σ
σ ρ
∂ ∂ −
= + + − −
∂ ∂
. (1.5)
Таким образом, получена система уравнений (1.3), (1.5) относительно функций
N
rr
r σ и
r
u . После их определения напряжения θθσ находим по формуле (1.4).
Система уравнений (1.3), (1.5), как и соотношения (1.1), (1.2), справедлива и в том
случае, когда механические параметры ( )rρ , ( )
ij
c r будут кусочно-непрерывными
функциями координаты r с разрывами первого рода. В точках разрыва
*
r r= должны
выполняться условия непрерывности функций
rr
σ и
r
u .
На внешних поверхностях
0
r r= и
1
r r= (
0 1
r r r< < ) граничные условия задаются
по одному из альтернативных пар
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0 0
, ,r rrr rr
u r t u t r t tσ σ= ∨ = ; ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1
, ,r rrr rr
u r t u t r t tσ σ= ∨ = . (1.6)
§2. Применение гамильтонового формализма.
В монографии [7] и последующих работах [12, 13 и др.] система уравнений упру-
гих колебаний в декартовых прямоугольных координатах впервые была приведена к
операторной системе гамильтонового типа по пространственной координате относи-
тельно соответствующим образом выбранных канонических переменных. Этот во-
прос нашел последующее развитие в статье [4], в которой более сложными преобра-
зованиями к операторной гамильтоновой системе по радиальной координате сведена
система уравнений упругих колебаний в цилиндрических координатах. В статье [5]
подобное представление получено в сферических координатах.
Для исследования колебаний слоев с искривленными граничными поверхностями
представим уравнения (1.3), (1.5) в операторной системе гамильтонового типа по про-
странственной координате r относительно канонических переменных
1
N
rr
r qσ = и
1r
u p= . Получаем операторную гамильтонову систему [2] по пространственной коор-
динате r
1
1
ˆˆ
ˆ
q H
r p
∂ ∂
=
∂ ∂
; 1
1
ˆˆ
ˆ
p H
r q
∂ ∂
= −
∂ ∂
(2.1)
с операторной функцией Гамильтона
( ) 2 13
1 1 1 1 1
3333
( )1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,
2 ( )( )
N
c rN
H q p q p q
r c rc r r
= − + +
( )
2
2 2
11** 11 12 12
1 1
ˆ( ) ( ) ( ) ( ) .
2 2
N
t
N N
r r c r c r c r p
r
ρ
−
+ ∂ + − −
(2.2)
83
При гармонических колебаниях ( ) ( ), Re exp
a
f r t f r i tω= система уравнений
(1.3), (1.5) в безразмерных переменных преобразуется к виду
( ) ( )13
33
( )
1 1
1 ( )
N Na a
rr rr
c xd N
x x
dx x c x
ε
ε σ ε σ
ε
+ = + +
+
( )
( )
( )
2 2
2
11** 11 122
1
1 ( ) ( ) ( ) ( )
21
N a
r
N N
x c x c x c x x u
x
ε
ε ρ ω
ε
−
+ + − − −
+
; (2.3)
( )
( ) 13
3333
( )1
1
1 ( )( ) 1
a
N a ar
rr rN
c xdu N
x u
dx x c xc x x
ε
ε σ
εε
= + −
++
.
Безразмерные величины вводятся следующим образом:
00
rr
rr
c
σ
σ = ;
00
c
θθ
θθ
σ
σ = ; r
r
u
u
h
= ;
00
ij
ij
c
c
c
= ;
00
ρ
ρ
ρ
= ; 00
00
h
c
ρ
ω ω= ;
r R
x
h
−
= . (2.4)
Принятое обезразмеривание позволяет перейти от пространственной координаты
r к безразмерной пространственной координате x ( 1 1x− ≤ ≤ ). Параметр кривизны
/h Rε = для плоского слоя 0ε = . Далее знаки безразмерности опускаются.
Система (2.3) является гамильтоновой системой [2] по координате x
1
1
dq H
dx p
∂
=
∂
; 1
1
dp H
dx q
∂
= −
∂
(2.5)
с каноническими переменными ( )1
1
N a
rr
q xε σ= + ,
1
a
r
p u= . Функция Гамильтона при-
нимает такой вид:
( )
( )
2 13
1 1 1 1 1
3333
( )1 1
,
2 1 ( )( ) 1
N
c xN
H q p q q p
x c xc x x
ε
εε
= − + +
++
( )
( )
( )
2 2
2 2
11** 11 12 12
1 1
1 ( ) ( ) ( ) ( )
2 21
N N N
x c x c x c x x p
x
ε
ε ρ ω
ε
−
+ + − − −
+
. (2.6)
Систему (2.3) можно получить из условия стационарности функционала
( )
( )
( )( )
2
1
2
13
3333
1 1
1 1
2 11
x
N Na a a N a a
r rr rr rr rN
x
cd N
u x x r u
dx x cc x
ε
ε σ ε σ σ
εε
Φ = + + + − −
+ +
∫
( )
( )
( )
2 2
2
11** 11 122
1 1
1
2 21
N a a
r r
N N
x c c c u u dx
x
ε
ε ρω
ε
−
− + − − −
+
.
(2.7)
при «изохронных» вариациях.
Для исследования установившихся резонансных гармонических колебаний можно
воспользоваться концепцией комплексных модулей [3 и др.].
§3. Интегрирование системы уравнений. Решение полученной системы удобно
искать в виде вектора
1 2
( , )Y Y= =Y ((1 ) , )N a a
rr r
x uε σ+ . (3.1)
Тогда система (2.3) преобразуется к виду
( )
2 2
2131
1 2 11** 11 122
33
( ) 1
(1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;
1 ( ) 2(1 )
Nc xY N N N
Y Y x x c x c x c x
x x c x x
ε ε
ε ρ ω
ε ε
∂ −
= + + − + − −
∂ + +
84
132 1
2
3333
( )
( )(1 )(1 ) ( )
N
c xY Y
N Y
x c x xx c x
ε
εε
∂
= −
∂ ++
. (3.2)
Пусть к внутренней поверхности тела приложена механическая нагрузка, которая
изменяется по гармоническому закону с частотой ω , а внешняя поверхность – сво-
бодна от напряжений, т.е.
( ) 0
1
a
rr
σ σ− = ; ( )1 0
a
rr
σ = . (3.3)
Тогда для переменных (3.1) получаем следующие граничные условия:
*
1 0 0
( 1) (1 )NY σ ε σ− = − = ;
1
(1) 0Y = . (3.4)
Решение
1 2
( , )Y Y=Y , которое удовлетворяет уравнениям (3.2) при краевых усло-
виях (3.4), будем искать в виде линейной комбинации двух векторов
(1) * (2)
1 0
A σ= +Y Y Y , (3.5)
которые являются решениями задач Коши для системы (3.2) при таких начальных
значениях:
(1) ( 1) (0,1)− =Y ; (2) ( 1) (1,0)− =Y . (3.6)
Решения полученных задач Коши находим численно, например, методом Рунге – Кутта.
Подставляя (3.5) в (3.4) при 1x = , определяем коэффициент
1
A :
(2)
* 1
1 0 (1)
1
(1)
(1)
Y
A
Y
σ= − . (3.7)
Подставив найденное значение
1
A в (3.5), получим решение задачи.
§4. Результаты расчетов и их анализ.
При анализе деформирования твердых тел при неоднородных механических свой-
ствах ограничиваются, как правило, конкретными значениями параметров, ориенти-
руясь на инженерные запросы. Более общую информацию можно получить, исходя из
определенной стратегии изменения свойств материала, базирующейся на наблюдае-
мых реальных ситуациях. В настоящей статье принято, что модуль Юнга изотропного
материала является либо возрастающей, либо убывающей по линейному закону функ-
цией радиальной координаты ( ) ( ) ( )( )1 1 / 2E x E xα α+= − + + , /E Eα − += , E− – мо-
дуль Юнга при 1x = − (нижняя (внутренняя) поверхность тела); E+ – модуль Юнга
при 1x = + (верхняя (внешняя) поверхность тела). При 1α < модуль Юнга возрастает
от E− до E+ , а при 1α > – убывает от E− до E+ . Случай 1α = соответствует одно-
родному материалу и рассматривается с целью сравнения результатов. Фигурирую-
щие в §§1 – 3 материальные параметры равны:
33 11
1
( )
(1 )(1 2 )
c c E x
ν
ν ν
−
= =
+ −
; 13 12 ( )
(1 )(1 2 )
c c E x
ν
ν ν
= =
+ −
;
( ) 1
(1 ) (1 )
2 2
E x x
E
α α
+
= − + + .
(4.1)
Коэффициент Пуассона 0,35ν = . Для цилиндрических ( 1N = ) и сферических
( 2N = ) слоев принято 1/ 3ε = ( /h Rε = ; 2h – толщина стенки; R – срединный ра-
диус); для пластины ( 0N = ) 0ε = . Нормирующие параметры равны:
00
ρ ρ= ,
00
c E+= , безразмерная частота /h Eω ρ +Ω = . Напряжения отнесены к заданному
напряжению
0
σ на внутренней поверхности. Расчеты проводились для значений
2α = , 1α = , 0,5α = .
85
На рис. 1 приведены зависимости безразмерных амплитуд перемещений a
r
u от
безразмерной круговой частоты нагрузки Ω для плоского слоя при 2α = (модуль
Юнга убывает; рис. 1, а) и 0,5α = (модуль Юнга возрастает; рис. 1, б), где значени-
ям 0; 1; 1x = − соответствуют сплошная, пунктирная и штрих-пунктирная линии. Для
сравнения приведены кривые перемещений на поверхности 1x = − в случае однород-
ного материала 1α = (точечная линия; рис. 1, а, б). Все расчеты проведены для час-
тотного интервала 0 12< Ω < . Разрывы кривых соответствуют состоянию резонанса в
теле.
a
б
Рис. 1
В табл. 1. приведены собственные частоты толщинных колебаний неоднородных
пластин. Для сравнения приведены также собственные частоты однородной пласти-
ны, которые определяются из простого аналитического решения задачи. Это решение
для собственных частот и соответствующих собственных форм колебаний дает сле-
дующее значение (в статье [6] в формулах для собственных форм в аргументах триго-
нометрических функций вместо x следует положить x h+ ): для условий жесткая
граница – жесткая граница имеем
33
/ 2
n
h c nω ρ π= , ( ) sin ( ) / 2
n
u x n x h hπ= + ; для
условий жесткая граница – свободная граница –
33
(2 1) / 4
n
h c nω ρ π= − ,
( ) sin(2 1) ( ) / 4
n
u x n x h hπ= − + ; для условий свободная граница – свободная граница
имеем
33
( 1) / 2
n
h c nω ρ π= − , ( ) cos( 1) ( ) / 2
n
u x n x h hπ= − + . Приведенные в табл. 1
частоты
0
1 3
N
h Eα ω ρ= +
=Ω = совпадают с указанными выше
33
( 1) / 2
n
h c nω ρ π= − ,
1, 2,...n = . Отметим, что как однородная, так и неоднородная пластина имеет нулевое
собственное число. Анализ приведенных в табл. 1 частот показывает, что при возрас-
тании модуля Юнга ( 0,5α = ) собственные частоты уменьшаются, примерно, на 15%,
а при его убывании ( 2α = ) собственные частоты увеличиваются ( ≈ 20%) по сравне-
нию с собственными частотами однородной пластины.
86
Таблица 1
0
0,5
N
α
=
=Ω 0 1,72 3,41 5,11 6,81 8,51 10,20 11,90
0
1
N
α
=
=Ω 0 1,99 3,98 5,97 7,96 9,95 11,94 –
0
2
N
α
=
=Ω 0 2,42 4,81 7,22 9,62 12,00 – –
Рис. 2 иллюстрирует зависимости безразмерных амплитуд перемещений a
r
u от
частоты Ω для цилиндра ( 1N = ) при 2α = (а), 0,5α = (б) и 1α = (а, б). Здесь обо-
значения кривых соответствуют принятым на рис. 1.
а
б
Рис. 2
В табл. 2 приведены собственные частоты толщинных колебаний неоднородного
цилиндра (для сравнения приведены также собственные частоты однородного цилин-
дра). Неоднородность материала приводит к уменьшению собственных частот при-
мерно на 15% при возрастании модуля E ( 0,5α = ), тогда как при его убывании
( 2α = ) собственные частоты увеличиваются на ≈ 21% (первая частота) – 17% (пятая
частота). Если для однородного цилиндра в частотном интервале 0 12< Ω < имеется
семь собственных частот, то при возрастании модуля E ( 0,5α = ) их будет восемь, а
при убывании модуля E ( 2α = ) – только пять.
Таблица 2
1
0,5
N
α
=
=Ω 0,32 1,74 3,43 5,12 6,81 8,51 10,21 11,91
1
1
N
α
=
=Ω 0,38 2, 04 4,01 5,99 7,98 9,97 11,96 –
1
2
N
α
=
=Ω 0,48 2, 47 4,84 7,23 9,63 – – –
На рис. 3 приведены зависимости безразмерных амплитуд перемещений a
r
u от
частоты Ω для сферы ( 2N = ) при 2α = (а), 0,5α = (б) и 1α = (а, б); при этом обо-
значения кривых соответствуют принятым ранее (рис. 1, 2).
87
а
б
Рис. 3
В табл. 3 приведены собственные частоты толщинных колебаний неоднородного
шара (для сравнения приведены также собственные частоты однородного шара). Не-
однородность материала приводит к уменьшению собственных частот примерно на
16% при возрастании модуля E ( 0,5α = ), тогда как при его убывании ( 2α = ) собст-
венные частоты увеличиваются, примерно, на 25% (первая частота) – 21% (пятая час-
тота). Количество собственных частот на частотном интервале 0 12< Ω < изменяется
так же, как и в случае цилиндра.
Таблица 3
2
0,5
N
α
=
=Ω 0,53 1,79 3,45 5,13 6,83 8,52 10,22 11,92
2
1
N
α
=
=Ω 0,63 2,10 4,04 6,01 7,99 9,98 11,97 –
2
2
N
α
=
=Ω 0,79 2,55 4,88 7,26 9,65 – – –
Таблица 4
0
0,5
N
α
=
=Ω 0 1,72 3,41 5,11 6,81 8,51 10,20 11,90
1
0,5
N
α
=
=Ω 0,32 1,74 3,43 5,12 6,81 8,51 10,21 11,91
2
0,5
N
α
=
=Ω 0,53 1,79 3,45 5,13 6,83 8,52 10,22 11,92
0
1
N
α
=
=Ω 0 1,99 3,98 5,97 7,96 9,95 11,94 –
1
1
N
α
=
=Ω 0,38 2, 04 4,01 5,99 7,98 9,97 11,96 –
2
1
N
α
=
=Ω 0,63 2,10 4,04 6,01 7,99 9,98 11,97 –
0
2
N
α
=
=Ω 0 2,42 4,81 7,22 9,62 12,00 – –
1
2
N
α
=
=Ω 0,48 2, 47 4,84 7,23 9,63 – – –
2
2
N
α
=
=Ω 0,79 2,55 4,88 7,26 9,65 – – –
В табл. 4 четко просматривается интересная особенность частотных спектров
толщинных колебаний пластины, цилиндра и шара. Она заключается в следующем.
Во-первых, все частоты, за исключением первой (если принять нулевое собственное
число для пластины ее первой собственной частотой собственных колебаний) практи-
чески имеют одно и то же значение как в случае однородного материала, так и в слу-
чае неоднородного материала. Во-вторых, в частотном спектре цилиндра и шара по-
88
является низкая собственная частота, которая меньше первой ненулевой собственной
частоты для пластины в пять раз (в случае цилиндра) и в три раза (в случае шара).
Важным вопросом исследования являются амплитудные значения напряжений
при гармонической нагрузке с частотой возбуждения Ω . На рис. 4 приведены зави-
симости нормальных напряжений a
rr
σ от частоты Ω для неоднородных тел разной
геометрии при 0x = (согласно граничным условиям, на границе 1x = −
0
/ 1a
rr
σ σ = ,
( 1) 0a
rr
σ + = ) при 2α = (а), 0,5α = (б).
а
Рис. 4
Зависимость амплитудных значений напряжений a
θθσ от Ω ( 0x = ) показана на
рис. 5 при 2α = (а), 0,5α = (б).
а
б
Рис. 5
89
Проведенные расчеты показали, что напряжения a
θθσ на внешних поверхностях
при значениях частоты Ω в межрезонансных интервалах на внешних поверхностях
меньше, чем внутри тела.
Таким образом, разработанный на основе гамильтонового формализма метод изуче-
ния вынужденных колебаний позволяет эффективно определять амплитудно-частотные
характеристики анизотропных однородных и неоднородных тел разной геометрии.
Амплитудно-частотные характеристики для перемещений (рис. 1 – 3) и напряжений
(рис. 4, 5) определены без учета рассеяния энергии и соответствуют действительности
только при удалении от резонансных частот. Для определения АЧХ для всех частот,
включая резонансные, необходимо учитывать энергетические потери. Получить ко-
личественные результаты теоретическим путем, приняв какую-то модель внутреннего
трения, затруднительно не только из-за сложностей определения параметров модели.
Это связано также и с тем обстоятельством, что рассеяние энергии в реальных условиях
эксплуатации происходит как за счет внутреннего трения, так и за счет излучения во
внешнюю среду, а также потерь на конструктивные неточности. Чтобы обойти все эти
сложности, необходимо проводить экспериментальные исследования на натурных
изделиях и вносить соответствующие уточнения в параллельные теоретические рас-
четы на основании подходящей модели. Это можно выполнить только в процессе из-
готовления изделия и его эксплуатации. Поэтому проводить какие-то абстрактные
расчеты перемещений и напряжений на резонансных частотах вряд ли целесообразно.
Заключение.
В данной статье развит единый подход определения по пространственной теории
амплитудно-частотных характеристик и собственных частот толщинных колебаний
пластины, цилиндра и шара с поперечным направлением анизотропии и неоднород-
ности упругих свойств материала. Краевая задача сформулирована с привлечением
гамильтонового формализма по пространственной координате. На основе разработан-
ного алгоритма проведен детальный сравнительный анализ изменения амплитудно-
частотных характеристик деформированного состояния однородных и неоднородных
тел в зависимости от частоты возбуждения, определены частотные спектры для шаров
с плоскими, цилиндрическими и сферическими границами и выявлены их родствен-
ные и отличительные свойства.
Р Е З ЮМ Е . Досліджено товщинні коливання пружних неоднорідних тіл різної геометрії при
динамічному гармонічному збуренні. Проведено детальний аналіз зміни амплітудно-частотних ха-
рактеристик механічного стану однорідних та неоднорідних тіл в залежності від частоти збурення,
визначено частотні спектри для плоских, циліндричних і сферичних шарів.
1. Новацкий В. Теория упругости. – М.: Мир, 1975. – 872 с.
2. Павловський М.А. Теоретична механіка. – К.: Техніка, 2002. – 512 с.
3. Савін Г.М., Рущицький Я.Я. Елементи механіки спадкових середовищ. – К.: Вища шк., 1976. – 252 с.
4. Шульга В.М. До розв’язку рівнянь теорії пружності в циліндричних координатах // Доп. НАН
України. – 1998. – № 6. – С. 80 – 82.
5. Шульга М.О. До теорії товщинних коливань пружних шарів з викривленими граничними поверх-
нями // Доп. НАН України. – 2010. – № 5. – С. 72 – 75.
6. Шульга М.О., Григор’єва Л.О. Про коливання пружних шарів з викривленими границями // Опір
матеріалів і теорія споруд. – 2009. – Вип. 84. – С. 120 – 126.
7. Шульга Н.А. Основы механики слоистых сред периодической структуры. – К.: Наук. думка, 1981. – 200 с.
8. Кashtalyan M., Rushchitsky J.J. General Hoyle – Yougdahl and Love Solutions in the Linear
Inhomogeneous Theory of Elasticity // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 1. – P. 1 – 17.
9. Кashtalyan M., Rushchitsky J.J. Love Solutions in the Linear Inhomogeneous Transversely Isotropic
Theory of Elasticity // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 2. – P. 121 – 129.
10. Кashtalyan M., Rushchitsky J.J. General Love Solution in the Linear Isotropic Inhomogeneous Theory of
Radius-Dependent Elasticity // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 3. – P. 245 – 254.
11. Кashtalyan M., Rushchitsky J.J. General Love Solution in the Linear Inhomogeneous Transversely
Isotropic Theory // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 4. – P. 367 – 376.
12. Shulga N.A. Theory of Dynamic Processes in Mechanical Systems and Materials of Regular Structure //
Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 12. – P. 1301 – 1330.
13. Shulga N.A. A Mixed System of Equations of Elasticity // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 3. – P. 264 – 268.
Поступила 03.11.2009 Утверждена в печать 07.12.2010
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88003 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0032-8243 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:06:59Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шульга, Н.А. Григорьева, Л.О. Корниенко, В.Ф. 2015-11-06T21:07:40Z 2015-11-06T21:07:40Z 2011 Гармонические толщинные колебания неоднородных упругих слоев с искривленными границами / Н.А. Шульга, Л.О. Григорьева, В.Ф. Корниенко // Прикладная механика. — 2011. — Т. 47, № 1. — С. 81-89. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88003 The thickness vibrations of elastic inhomogeneous bodies of diverse geometry under a dynamical harmonic excitation are studied. The thorough analysis is carried out for a change of amplitude-frequency characteristics of mechanical state of homogeneous and inhomogeneous bodies in dependence of excitation frequency. The frequency spectra are determined for the plane, cylindrical, and spherical layers. ru Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України Прикладная механика Гармонические толщинные колебания неоднородных упругих слоев с искривленными границами Article published earlier |
| spellingShingle | Гармонические толщинные колебания неоднородных упругих слоев с искривленными границами Шульга, Н.А. Григорьева, Л.О. Корниенко, В.Ф. |
| title | Гармонические толщинные колебания неоднородных упругих слоев с искривленными границами |
| title_full | Гармонические толщинные колебания неоднородных упругих слоев с искривленными границами |
| title_fullStr | Гармонические толщинные колебания неоднородных упругих слоев с искривленными границами |
| title_full_unstemmed | Гармонические толщинные колебания неоднородных упругих слоев с искривленными границами |
| title_short | Гармонические толщинные колебания неоднородных упругих слоев с искривленными границами |
| title_sort | гармонические толщинные колебания неоднородных упругих слоев с искривленными границами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88003 |
| work_keys_str_mv | AT šulʹgana garmoničeskietolŝinnyekolebaniâneodnorodnyhuprugihsloevsiskrivlennymigranicami AT grigorʹevalo garmoničeskietolŝinnyekolebaniâneodnorodnyhuprugihsloevsiskrivlennymigranicami AT kornienkovf garmoničeskietolŝinnyekolebaniâneodnorodnyhuprugihsloevsiskrivlennymigranicami |