Модель трещины типа Дагдейла при смешанной моде нагружения (плоское напряженное состояние)
A model of crack with a plasticity strip on its projection is proposed for the mixed loading by modes I and II. The unknown three stress components in the strip are determined from the plasticity condition, finiteness of stresses, and the established link among the normal stress components through t...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2011
|
| Series: | Прикладная механика |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88005 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Модель трещины типа Дагдейла при смешанной моде нагружения (плоское напряженное состояние) / Г.В. Галатенко // Прикладная механика. — 2011. — Т. 47, № 1. — С. 99-106. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88005 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-880052025-02-09T17:42:18Z Модель трещины типа Дагдейла при смешанной моде нагружения (плоское напряженное состояние) Галатенко, Г.В. A model of crack with a plasticity strip on its projection is proposed for the mixed loading by modes I and II. The unknown three stress components in the strip are determined from the plasticity condition, finiteness of stresses, and the established link among the normal stress components through the basic stress state. An analysis is carried out for the crack parameters under von Mises yield condition. 2011 Article Модель трещины типа Дагдейла при смешанной моде нагружения (плоское напряженное состояние) / Г.В. Галатенко // Прикладная механика. — 2011. — Т. 47, № 1. — С. 99-106. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88005 ru Прикладная механика application/pdf Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
A model of crack with a plasticity strip on its projection is proposed for the mixed loading by modes I and II. The unknown three stress components in the strip are determined from the plasticity condition, finiteness of stresses, and the established link among the normal stress components through the basic stress state. An analysis is carried out for the crack parameters under von Mises yield condition. |
| format |
Article |
| author |
Галатенко, Г.В. |
| spellingShingle |
Галатенко, Г.В. Модель трещины типа Дагдейла при смешанной моде нагружения (плоское напряженное состояние) Прикладная механика |
| author_facet |
Галатенко, Г.В. |
| author_sort |
Галатенко, Г.В. |
| title |
Модель трещины типа Дагдейла при смешанной моде нагружения (плоское напряженное состояние) |
| title_short |
Модель трещины типа Дагдейла при смешанной моде нагружения (плоское напряженное состояние) |
| title_full |
Модель трещины типа Дагдейла при смешанной моде нагружения (плоское напряженное состояние) |
| title_fullStr |
Модель трещины типа Дагдейла при смешанной моде нагружения (плоское напряженное состояние) |
| title_full_unstemmed |
Модель трещины типа Дагдейла при смешанной моде нагружения (плоское напряженное состояние) |
| title_sort |
модель трещины типа дагдейла при смешанной моде нагружения (плоское напряженное состояние) |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88005 |
| citation_txt |
Модель трещины типа Дагдейла при смешанной моде нагружения (плоское напряженное состояние) / Г.В. Галатенко // Прикладная механика. — 2011. — Т. 47, № 1. — С. 99-106. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT galatenkogv modelʹtreŝinytipadagdejlaprismešannojmodenagruženiâploskoenaprâžennoesostoânie |
| first_indexed |
2025-11-28T23:46:12Z |
| last_indexed |
2025-11-28T23:46:12Z |
| _version_ |
1850079815713947648 |
| fulltext |
2011 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 47, № 1
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2011, 47, № 1 99
Г .В . Г а л а т е н к о
МОДЕЛЬ ТРЕЩИНЫ ТИПА ДАГДЕЙЛА ПРИ СМЕШАННОЙ МОДЕ
НАГРУЖЕНИЯ (ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ)
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: fract@inmech.kiev.ua
Abstract. A model of crack with a plasticity strip on its projection is proposed for the
mixed loading by modes I and II. The unknown three stress components in the strip are de-
termined from the plasticity condition, finiteness of stresses, and the established link among
the normal stress components through the basic stress state. An analysis is carried out for the
crack parameters under von Mises yield condition.
Key words: crack, mixed mode loading, stresses in the plastic strip, yield condition
Введение.
Модель трещины с тонкой пластической зоной (модель Дагдейла) на ее продол-
жении была сформулирована [1, 11] для трещины нормального отрыва (мода I) при
плоском напряженном состоянии и условии пластичности Треска. Позже автор обоб-
щил эту модель на случай произвольного условия пластичности как для плоского
напряженного состояния [2, 3], так и плоской деформации [4] и сравнил параметры
модели для условий пластичности Мизеса и Треска. В обобщенном виде эти результа-
ты изложены в [14]. Учет трехосности напряженного состояния в пластической зоне
круговой и эллиптической трещин рассмотрен в [5, 6, 13] для различных схем много-
осного нагружения на бесконечности. В работе [8] предложен приближенный подход
для оценки двумерной пластической зоны у вершины трещины.
Развитие модели трещины Дагдейла на смешанную моду нагружения I+II проис-
ходило по двум направлениям. Первый подход предложен в [9], согласно которому
пластическая зона расположена на продолжении трещины. При этом принято, что на
пластической линии действуют две компоненты напряжений: нормальные напряже-
ния
0
σ и касательные
0
τ . Для их определения использованы два определяющих
уравнения: условие пластичности Мизеса и условие ограниченности напряжений. Од-
нако, условие пластичности содержит три неизвестные компоненты напряжений (
0
σ ,
0
τ ,
x
σ ), а условие ограниченности напряжений – две (
0
σ ,
0
τ ). В результате авторы
приняли напряжения на пластической линии
x
σ равными напряжениям
x
σ ∞ на беско-
нечности, что не совсем корректно. Аналогичный прием использован в работе [18]
при анализе раскрытия трещины при смешанной моде нагружения. Второй подход
[17] предусматривает расположение пластической зоны под некоторым углом к линии
трещины и действие на ней только нормального напряжения
0
σ . Сравнительный ана-
лиз этих подходов проведен в работе [10].
В настоящей работе предложено развитие модели трещины в первом направле-
нии, но отмеченное выше противоречие устранено за счет дополнительной связи ме-
жду нормальными напряжениями
y
σ ,
x
σ на пластической линии через основное на-
пряженное состояние. Как следствие, получена система трех уравнений для определе-
ния напряжений на пластической полосе для произвольного условия пластичности
материала, которая проанализирована для условия пластичности Мизеса.
100
§1. Исходные предпосылки.
Для установления отмеченной связи воспользуемся частным случаем решения
одной граничной задачи теории упругости для плоскости с прямолинейным разрезом,
полученного Н.И. Мусхелишвили [7].
Пусть плоскость хОу содержит разрез на оси Ох длиной 2l . На берегах разреза
заданы напряжения , , ,
y xy y xy
σ τ σ τ+ + − −
, где значки (+) и (–) соответствуют значениям на
верхнем и нижнем берегах разреза. Кроме того, на бесконечности действуют главные
напряжения
1 2
,N N , причем направление
1
N составляет угол α с осью Ох.
Введя в рассмотрение функцию ( ) ( ) ( )( )z z z z z′Ω = Φ + Φ + Ψ , компоненты на-
пряжений и смещений можно выразить через комплексные потенциалы ( )zΦ и ( )zΩ .
В частности, имеем равенства
( ) ( ) ( ) ( ) ;
y xy
i z z z z zσ τ ′− = Φ + Ω + − Φ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ;
x xy
i z z z z z zσ τ ′+ = Φ + Φ − Ω − − Φ
( ) ( ) ( ) ( )2 ,
u v
i z z z z z
x x
µ κ
∂ ∂
′+ = Φ − Ω − − Φ
∂ ∂
(1.1)
где µ − модуль сдвига; (3 ) (1 )κ ν ν= − + − для плоского напряженного состояния;
3 4κ ν= − − для плоской деформации; ν − коэффициент Пуассона.
Для сформулированной задачи комплексные потенциалы имеют вид [7]
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
1 1
0 0
1 1
; ,
2 2
P z P z
z z z z
X z X z
′ ′Φ = Φ + − Γ Ω = Ω + + Γ (1.2)
где приняты такие обозначения:
( )
( )
( ) ( ) ( )
0
1 1
;
2 2
L L
X t p t q t
z dt dt
iX z t z i t zπ π
Φ = +
− −∫ ∫
( )
( )
( ) ( ) ( )
0
1 1
;
2 2
L L
X t p t q t
z dt dt
iX z t z i t zπ π
Ω = −
− −∫ ∫
( ) ( ) ( )2 2 2
1 0 1 1 2
1
; ; ;
2
i
X z z l P z C z C N N e
α′= − = + Γ = − −
( ) ( )
( )
2
0 1 2 1 2 1
1 1 1
; ;
2 4 2 2 1
i
L
X iY
C N N N N e C q t dt
i
α
π π κ
+
′ = Γ + Γ = + − − = − +∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
;
2 2 2 2
y y xy xy y y xy xy
i i
p t q tσ σ τ τ σ σ τ τ+ − + − + − + −= + − + = − − −
( ),X Y – главный вектор нагрузок, приложенных к разрезу.
Рассмотрим частный случай задачи. Пусть на бесконечности напряжения исчеза-
ют, а на берегах разреза имеют место равенства , .
y y xy xy
σ σ τ τ+ − + −= = Тогда потенциалы
(1.2) принимают вид ( ) ( ) ( ) ( )0 0
, ,z z z zΦ = Φ Ω = Ω причем, в силу ( ) 0q t = имеем
( ) ( )
( )
( ) ( )
0 0
1
.
2
L
X t p t
z z dt
iX z t zπ
Φ = Ω =
−∫
Рассмотрим распределение напряжений на продолжении разреза, т.е. на оси Ох.
Из выражений (1.1) следует
101
( )2 ( ); 2 .
y xy x xy
i x i xσ τ σ τ− = Φ + = Φ
Таким образом, на продолжении разреза выполняется равенство .
y x
σ σ= Отмеченное
свойство будет в дальнейшем использовано для построения соотношений между на-
пряжениями на пластическом отрезке при смешанной моде нагружения.
§2. Постановка задачи.
Пусть плоскость с центральной трещиной-разрезом 2l подвержена на бесконечности
растягивающим напряжениям
1
N p= , образующим угол α с осью Ох.α Материал
предполагается идеально упругопластическим с условием пластичности общего вида
( ), , 0.x y xyF σ σ τ = (2.1)
Под действием нагрузки вблизи вершин трещины образуется пластическая область,
которая моделируется линией на ее продолжении. Поскольку в этой окрестности реа-
лизуется сложное напряженное состояние, то на пластической линии действуют на-
пряжения
0 0 0
, ,
x y xy
σ σ τ , удовлетворяющие условию пластичности (2.1) (рис. 1, а). Если
эти напряжения известны, то пластические линии заменяются разрезами, к берегам
которых прикладываются нормальные и касательные напряжения
0 0
,
y xy
σ τ (рис. 1, б).
a б
Рис. 1
Таким образом, исходная задача приводится к граничной задаче теории упругости
для удлиненной трещины 2 2( )L l d= + при заданных на ее берегах нормальных и ка-
сательных напряжениях и при условии ограниченности напряжений в точках .x L= ±
В данной постановке напряжения на пластической линии неизвестны и должны быть
определены в процессе решения задачи в целом. Особенностью всех трех компонент на-
пряжений является их одновременное удовлетворение условию пластичности (2.1) и
уравнениям теории упругости. Кроме того, в силу ограниченности напряжений, в точках
x L= ± выполняется также их непрерывность. Отмеченные обстоятельства позволяют
установить дополнительную связь между напряжениями на пластических линиях.
На этих линиях имеем такие условия:
0 0 0
0; : ; ;
y y x x xy xy
y l x L σ σ σ σ τ τ= ≤ ≤ = = =
или через комплексные потенциалы (1.1) –
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0; 2 .
y xy x xy
x x i x x x iσ τ σ τΦ + Ω = − Φ + Φ − Ω = + (2.2)
Представим неизвестные потенциалы в виде
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
; ,z z z z z zΦ = Φ + Φ Ω = Ω + Ω
где ( ) ( )1 1
,z zΦ Ω характеризуют основное напряженное состояние (напряженное
состояние плоскости без трещины); ( ) ( )2 2
,z zΦ Ω – неизвестные функции, исчезаю-
щие на бесконечности и ограниченные в вершинах .x L= ± Тогда равенства (2.2)
можно представить в виде
102
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
2 2
0 0
2 2 2
( ) ;
2 ( );
y y xy xy
x x xy xy
x x i
x x x i
σ σ τ τ
σ σ τ τ
∞ ∞
∞ ∞
Φ + Ω = − − −
Φ + Φ − Ω = − + −
0;y l x L= ≤ ≤ . (2.3)
Здесь , ,
x y xy
σ σ τ∞ ∞ ∞
– значения компонент напряжений для плоскости без трещины, свя-
занные с главным напряжением
1
N p= соотношениями
2 2
cos ; sin ; sin 2 .
2
x y xy
p
p pσ α σ α τ α∞ ∞ ∞= = =
Кроме того, для основного напряженного состояния имеем
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1
; 2 .
y xy x xy
x x i x x x iσ τ σ τ∞ ∞ ∞ ∞Φ + Ω = − Φ + Φ − Ω = +
Как было показано в §1, для задачи (2.3) при 0,y x L= > имеет место
2 2
( ) ( )x xΦ = Ω
и, значит, следует равенство
x y
σ σ= . Но при x L= ± напряжения ограничены и не-
прерывны. Следовательно, на пластической линии следует принять
0 0
.
x x y y
σ σ σ σ∞ ∞− = − (2.4)
Полученное выражение (2.4) можно записать и в таком виде;
0 0
cos 2 .
x y
pσ σ α− = (2.5)
Условия пластичности (2.1) и соотношения (2.4) или (2.5) недостаточно для опреде-
ления напряжений на пластической линии. Недостающее третье уравнение получим
из условия ограниченности напряжений.
§3. Решение граничной задачи.
Исходя из вышеизложенного, примем, что напряжения на пластической линии из-
вестны. Тогда для решения граничной задачи (рис. 1, б) можно воспользоваться фор-
мулами (1.2) при
0 0
2
0; ( ) 0; ( )
y xy
N q t p t iσ τ= = = − . Выполнив необходимое интегриро-
вание, получим равенства
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 2 2 2 2
0 0 0 0
2 2 2 2 2 2 2
( )
arccos ln
2
y xy y xy
L zl L l L z l zi z il
z
L iz L L zl L l L z l z
σ τ σ τ
ππ
+ + − − −− − Φ = − − +
− − + − − +
( )2
2
2 2
1
;
44
i
i
p e z p
e
z L
α
α
−
+ +
−
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 2 2 2 2
0 0 0 0
2 2 2 2 2 2 2
( )
arccos ln
2
y xy y xy
L zl L l L z l zi z il
z
L iz L L zl L l L z l z
σ τ σ τ
ππ
+ + − − −− − Ω = − − +
− − + − − +
( )2
2
2 2
1
.
44
i
i
p e z p
e
z L
α
α
−
+ −
−
(2.6)
Условие ограниченности напряжений при z L= ± имеет такой вид:
( )20 0 1
arccos
4
i
y xy
p ei l
L
α
σ τ
π
−−
=
или, разделив действительные и мнимые части, получим
103
0 0
2arccos sin ; arccos sin cos .
2 2
y xyl p l p
L L
σ τ
α α α
π π
= = (2.7)
Из соотношений (2.7) следует недостающая связь между напряжениями
0 0
,
y xy
σ τ :
0 0
ctg .
xy y
τ σ α=
Таким образом, для определения напряжений на пластической линии имеем замкну-
тую систему уравнений
( )0 0 0 0 0 0 0
, , 0; cos 2 ; ctg .x y xy x y xy yF pσ σ τ σ σ α τ σ α= − = = (2.8)
При условиях (2.7) комплексные потенциалы (2.6) принимают вид
( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
0 0
2
2 2 2 2 2
ln ;
2 4
y xy i
L zl L l L z l zi p
z e
i L zl L l L z l z
α
σ τ
π
+ + − − −− Φ = − +
− + − − +
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 2 2 2 2
0 0
2
2 2 2 2 2
ln
2 4
y xy i
L zl L l L z l zi p
z e
i L zl L l L z l z
α
σ τ
π
+ + − − −− Ω = − −
− + − − +
. (2.9)
Здесь корень
2 2
L z− является положительным на верхнем берегу разреза ( ),L L−
вдоль оси x ; кроме того, ln ln arg ,f f i f= + arg .fπ π− < <
Для определения смещений на пластической линии запишем третью формулу (1.1)
в виде
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 ( 1) .
u v
i z z z z z z
x x
µ κ
∂ ∂
′+ = + Φ − Φ + Ω − − Φ
∂ ∂
(2.10)
Учитывая, что на пластической линии, согласно первой формулы (1.1), имеет место
( ) ( ) 0 0
y xy
x x iσ τ+ −Φ + Ω = − , то равенство (10) принимает вид
( ) ( )0 0
2 ( 1) , .
y xy
u v
i x i l x L
x x
µ κ σ τ+∂ ∂
+ = + Φ − − ≤ ≤
∂ ∂
Аналогично получим на берегах трещины:
( )2 ( 1) , .
u v
i x x l
x x
µ κ +∂ ∂
+ = + Φ <
∂ ∂
Разделив действительные и мнимые части, приходим к формулам:
1) 0,y l x L= ≤ ≤
( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
0 0
0
2 2 2 2 2
2 1 ln cos 2 ;
2 2 4
xy y
y
L xl L l L x l x
u p
x L xl L l L x l x
τ σ
µ κ α σ
π
+ + − − − ∂ = + + + −
∂ − + − − +
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 2 2 2 2
0 0
0
2 2 2 2 2
2 1 ln sin 2 ;
2 2 4
y xy
xy
L xl L l L x l x
v p
x L xl L l L x l x
σ τ
µ κ α τ
π
+ + − − − ∂ = + − + +
∂ − + − − +
2) 0,y x l= <
104
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
2 2 2 2 2
0
2 2 2 2 2
2 1 ln cos 2 ;
2 4
xy
L xl L l L x l x
u p
x L xl L l L x l x
τ
µ κ α
π
+ + − − − ∂ = + +
∂ − + − − +
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 2 2 2 2
0
2 2 2 2 2
2 1 ln sin 2 .
2 4
y
L xl L l L x l x
v p
x L xl L l L x l x
σ
µ κ α
π
+ + − − − ∂ = + +
∂ − + − − +
После интегрирования окончательно получим
( )
( ) 0 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1
ln ln
4
xy l L x x L l L x L l
u x x l
l L x x L l L x L l
κ τ
πµ
±
+ − − − − − −
= ± − +
− + − − + −
( ) ( )
( )
( )
0
, ;
11 cos 2
0, ;
8 4
, ;
y
x l L x l
p
x l x l
x l l x L
κ σκ α
µ µ
+ − < ≤
−+
+ + ⋅ − < <
− ≤ <
(2.11)
( )
( ) 0 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1
ln ln
4
y l L x x L l L x L l
v x x l
l L x x L l L x L l
κ σ
πµ
±
+ − − − − − −
= ± − +
− + − − + −
( ) ( )
( )
( )
0
, ;
11 sin 2
0, ;
8 4
, .
xy
x l L x l
p
x l x l
x l l x L
κ τκ α
µ µ
+ − < ≤
−+
+ − ⋅ − < <
− ≤ <
Выражения (2.11) отличаются от результатов работы [9] только значениями напря-
жений
0 0
,
y xy
σ τ , которые определяются из решения системы (2.8). Раскрытия в верши-
нах трещины имеют вид
0 2
0
8 sin
( ) ( ) ( ) ln sec ;
2
y
I
y
p
l v l v l l
E
σ π α
δ
π σ
+ −= − =
0
0
8 sin 2
( ) ( ) ( ) ln sec .
4
xy
II
xy
p
l u l u l l
E
τ π α
δ
π τ
+ −= − = (2.12)
В частности, при 0α = имеем ( ) ( ) 0,
I II
l lδ δ= = а при / 4α π= раскрытия будут рав-
ными между собой. В случае нормального отрыва ( / 2α π= ) получаем ( ) 0
II
lδ = .
§4. Численный анализ для условия пластичности Мизеса.
Пусть материал удовлетворяет условию пластичности Мизеса
2 2 2 2
3 .
x y x y xy T
σ σ σ σ τ σ+ − + =
Тогда решение системы (2.8) приводит к следующим выражениям для напряжений на
пластической линии:
( )0 2 2 2 2 2 2 2
2
1 cos 2
0,75 cos 2 3 cos 2 ctg ;
21 3ctg
y T T
p
p p
α
σ σ α α σ α
α
= − + − − −
+
;
0 0 0 0
cos 2 ; ctg .
x y xy y
pσ σ α τ σ α= + = (2.13)
В частности, при нормальном отрыве ( / 2α π= ) приходим к выражениям
0
0,5
y
pσ = +
2 2
0,75 ,
T
pσ+ −
0 0
,
x y
pσ σ= − полученным в работе [2].
105
а б
Рис. 2
При / 4α π= все три компоненты напряжений
равны 0,5
T
σ и не зависят от уровня внешней нагрузки.
На рис. 2, а, б показана зависимость безразмерных на-
пряжений
0 0 0
/ , / , /
y T x T xy T
σ σ σ σ τ σ (соответственно,
кривые 1, 2, 3) от внешней нагрузки для углов
/ 6, / 3.α π π= Когда / 6α π= , напряжения
0
y
σ –
меньше остальных, а при / 3α π= – больше. Для ука-
занных углов на рис. 3 приведена зависимость размера
пластической зоны от нагрузки. Здесь же для сравне-
ния приведена кривая в случае трещины нормального
отрыва ( / 2α π= ).
Легко проверить, исходя из (2.12), (2.7), (2.11), что при
T
p σ= имеет место вязкое
состояние плоскости с трещиной, т.е.
0 2 0 2 0
sin ; cos ; sin 2 ;
2
T
y y T x x T xy xy
σ
σ σ σ α σ σ σ α τ τ α∞ ∞ ∞= = = = = =
( ) ( ); ; .
I II
L l lδ δ→ ∞ → ∞ → ∞
Другой предельный случай, квазихрупкое состояние или маломасштабная теку-
честь, наблюдается при d l� или, согласно (2.7), при
2 0
sin
y
p α σ� . В этом случае из
выражений (2.7) и (2.11) следуют такие формулы для размера пластической зоны и
раскрытий вершины трещины:
( ) ( )
2 2 2 2
02 02 0 0
; ; .
8 8
I II I II
I II
y xy y xy
K K K K
d l l
E E
π π
δ δ
σ τ σ τ
= = = = (2.14)
Здесь 2sin , sin cos
I II
K p l K p lπ α π α α= = – коэффициенты интенсивности на-
пряжений, полученные из линейно-упругого решения задачи. Следует подчеркнуть,
что в этом случае правая часть выражения (2.5) представляет собой T - напряжения, а
система уравнений (2.8) для определения напряжений на пластической линии принимает
( )
0
0 0 0 0 0
0
, , 0; ; .
xy II
x y xy x y
Ixy
K
F T
K
τ
σ σ τ σ σ
σ
= − = = (2.15)
Учет T -напряжений при рассмотрении квазихрупкого состояния, как видно из
(2.15), является важным фактором, что было показано для трещины нормального от-
рыва в работах [12, 13].
Рис. 3
106
Выводы.
Предложенное обобщение модели трещины Дагдейла на смешанное нагружение по
моде I и II учитывает условие пластичности материала, связь трех компонент напряже-
ний на пластической линии через основное напряженное состояние и условие ограни-
ченности напряжений. Численный анализ параметров модели трещины при условии
пластичности Мизеса свидетельствует о получении корректных результатов как при
вязком состоянии, так и при маломасштабной текучести вблизи вершины трещины.
Р Е З Ю М Е . Запропоновано модель тріщини із смугою пластичності на її продовженні за змі-
шаного навантаження по модах I і II . Невідомі три компоненти напружень на цій смузі визначають-
ся із умов пластичності, обмеженості напружень, а також встановленого зв'язку між нормальними
компонентами напружень через основний напружений стан. Проведено аналіз параметрів тріщини за
умови пластичності Мізеса.
1. Витвицький П.М., Леонов М.Я. Про руйнування пластинки з щілиною // Прикл. механіка. – 1961. –
7, № 5. – С. 516 – 520.
2. Галатенко Г.В. Об одном обобщении модели трещины Дагдейла // Прикл. механика. – 1989. – 25,
№ 3. – С. 53 – 58.
3. Галатенко Г.В. Развитие модели трещины Дагдейла на основе классических поверхностей текуче-
сти // Прикл. механика. – 1989. – 25, № 6. – С. 36 – 42.
4. Галатенко Г.В. К упругопластической модели трещины в условиях плоской деформации // Прикл.
механика. – 1992. – 28, № 9. – С. 35 – 41.
5. Галатенко Г.В. Круговая дискообразная трещина в условиях трехосного нагружения. Об одном
эффекте Бриджмена // Прикл. механика. – 1992. – 28, № 8. – С. 29 – 37.
6. Галатенко Г.В. О кольцевой пластической зоне возле эллиптической трещины при трехосном осе-
симметричном нагружении // Прикл. механика. – 2004. – 40, № 2. – С. 120 – 127.
7. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. – М.: Наука,
1966. – 707 с.
8. Хорошун Л.П. Об одной модели нелинейной механики трещин // Прикл. механика. – 1994. – 30,
№ 11. – С. 3 – 9.
9. Becker W., Gross D. About the Dugdale crack under mixed mode loading // Int. J.of Fracture. – 1988. –
37(2). – Р. 163 – 170.
10. Chernyakov Y.A., Grychanyuk V., Tsukrov I. Stress-strain relations in elastoplastic solids with Dugdale-
type cracks // Eng. Fract. Mech. – 2003. – 70. – P. 2163 – 2174.
11. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys. Solids. – 1960. – N 8. – Р. 100 – 108.
12. Galatenko G.V. Stress State in the Plastic Zone on the Continuation of an Elliptic Mode I Crack under
Bi- and Tri-Axial Loading // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 11. – P. 1202 – 1207.
13. Kaminsky A.A., Galatenko G.V. Two-Parameter Model of Mode I Crack in an Elasto-Plastic Body under
Plane-Strain Conditions // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 6. – P. 621 – 630.
14. Kaminsky A.A., Kipnis L.A, Kolmakova V.A. On the Model of Process Zone in an Elastic Body at the
Crack Tip Locating on the Non-Smooth Interface// Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N10. – P.1084 –
1092.
15. Kaminsky A.A.,Bogdanova O.S. On Certain Model of Mesomechanics of Fracture of an Orthotropic
Material with Distinguishing Ultimate Strength in Tension and Compression // Int. Appl. Mech. – 2009.
– 45, N3. – P. 290 – 296.
16. Kurchakov E.E., Gavrilov G.V. Features of Forming the Plasticity Zone in an Anisotropic Body with a
Crack // Int. Appl. Mech. – 2008. – 44, N9. – P.982 – 997.
17. Panasyuk V.V., Savruk M.P. Plastic Strip Model in Elastic–Plastic Problems of Fracture Mechanics //
Adv. Mechanics. – 1992. – 15. – P. 123 – 147.
18. Sha J.B., Zhu P., Deng Z.J., Zhou H.J. Strip model plasticity analysis of mixed mode crack opening dis-
placement in aluminum alloy LY12 // Theoret. and Appl. Fract. Mechanics. – 1997. – 26. – P. 13 – 21.
Поступила 31.07.2008 Утверждена в печать 07.12.2010
|