К расчету свободномолекулярных полей течений
Рассматриваются особенности численного моделирования газодинамических параметров в окрестности тел различной геометрической формы, обтекаемых сверхзвуковым потоком сильно разреженного газа. В качестве тестовой задачи выбрано обтекание диска, расположенного перпендикулярно набегающему потоку. Получен...
Saved in:
| Published in: | Техническая механика |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88042 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | К расчету свободномолекулярных полей течений / В.П. Басс, Л.Л. Печерица // Техническая механика. — 2008. — № 1. — С. 73-82. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88042 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Басс, В.П. Печерица, Л.Л. 2015-11-07T10:03:26Z 2015-11-07T10:03:26Z 2008 К расчету свободномолекулярных полей течений / В.П. Басс, Л.Л. Печерица // Техническая механика. — 2008. — № 1. — С. 73-82. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1561-9184 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88042 629.7.015.3: 533.6.011.8 Рассматриваются особенности численного моделирования газодинамических параметров в окрестности тел различной геометрической формы, обтекаемых сверхзвуковым потоком сильно разреженного газа. В качестве тестовой задачи выбрано обтекание диска, расположенного перпендикулярно набегающему потоку. Получены точные аналитические выражения для расчета концентрации молекул на оси симметрии диска, включая донную область. Features of numerical modeling of gas dynamical parameters are considered in a neighborhood of bodies of the various geometrical forms, which are flowed around by a supersonic stream of strongly rarefied gas. The flow around the disk located perpendicularly to running stream is chosen as a test problem. Exact analytical expressions for calculation of molecules concentration on a disk axis of symmetry including ground area are obtained. ru Інститут технічної механіки НАН України і НКА України Техническая механика К расчету свободномолекулярных полей течений Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
К расчету свободномолекулярных полей течений |
| spellingShingle |
К расчету свободномолекулярных полей течений Басс, В.П. Печерица, Л.Л. |
| title_short |
К расчету свободномолекулярных полей течений |
| title_full |
К расчету свободномолекулярных полей течений |
| title_fullStr |
К расчету свободномолекулярных полей течений |
| title_full_unstemmed |
К расчету свободномолекулярных полей течений |
| title_sort |
к расчету свободномолекулярных полей течений |
| author |
Басс, В.П. Печерица, Л.Л. |
| author_facet |
Басс, В.П. Печерица, Л.Л. |
| publishDate |
2008 |
| language |
Russian |
| container_title |
Техническая механика |
| publisher |
Інститут технічної механіки НАН України і НКА України |
| format |
Article |
| description |
Рассматриваются особенности численного моделирования газодинамических параметров в окрестности тел различной геометрической формы, обтекаемых сверхзвуковым потоком сильно разреженного газа. В качестве тестовой задачи выбрано обтекание диска, расположенного перпендикулярно набегающему потоку. Получены точные аналитические выражения для расчета концентрации молекул на оси симметрии диска, включая донную область.
Features of numerical modeling of gas dynamical parameters are considered in a neighborhood of bodies of the various geometrical forms, which are flowed around by a supersonic stream of strongly rarefied gas. The flow around the disk located perpendicularly to running stream is chosen as a test problem. Exact analytical expressions for calculation of molecules concentration on a disk axis of symmetry including ground area are obtained.
|
| issn |
1561-9184 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88042 |
| citation_txt |
К расчету свободномолекулярных полей течений / В.П. Басс, Л.Л. Печерица // Техническая механика. — 2008. — № 1. — С. 73-82. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bassvp krasčetusvobodnomolekulârnyhpoleitečenii AT pečericall krasčetusvobodnomolekulârnyhpoleitečenii |
| first_indexed |
2025-11-26T00:17:43Z |
| last_indexed |
2025-11-26T00:17:43Z |
| _version_ |
1850599294916100096 |
| fulltext |
73
УДК 629.7.015.3: 533.6.011.8
В.П. БАСС, Л.Л. ПЕЧЕРИЦА
К РАСЧЕТУ СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫХ ПОЛЕЙ ТЕЧЕНИЙ
Рассматриваются особенности численного моделирования газодинамических параметров в окрест-
ности тел различной геометрической формы, обтекаемых сверхзвуковым потоком сильно разреженного
газа. В качестве тестовой задачи выбрано обтекание диска, расположенного перпендикулярно набегаю-
щему потоку. Получены точные аналитические выражения для расчета концентрации молекул на оси
симметрии диска, включая донную область.
Features of numerical modeling of gas dynamical parameters are considered in a neighborhood of bodies of
the various geometrical forms, which are flowed around by a supersonic stream of strongly rarefied gas. The flow
around the disk located perpendicularly to running stream is chosen as a test problem. Exact analytical expres-
sions for calculation of molecules concentration on a disk axis of symmetry including ground area are obtained.
При движении тел в верхних слоях атмосферы возникает ряд задач, для
которых необходимо знать те или иные макроскопические параметры потока.
Так для космических аппаратов различного назначения весьма актуальной, а
порой и определяющей для надежного обеспечения работы научной и слу-
жебной аппаратуры, является проблема защиты от вредного воздействия
продуктов собственной внешней атмосферы. При этом основным механиз-
мом переноса загрязняющих веществ является бесстолкновительный (сво-
бодномолекулярный) перенос.
Надежное знание газодинамических параметров при больших числах
Кнудсена ( Kn ) является также залогом успеха при построении числен-
ных алгоритмов реализации метода Монте-Карло (метода пробных частиц)
для произвольных чисел Kn [1 – 3].
В работе [4] предложен алгоритм расчета газодинамических параметров
в окрестности произвольного выпуклого тела, обтекаемого равновесным сво-
бодномолекулярным потоком при отсутствии внешних сил.
Для расчета обтекания вогнутых тел и тел сложной геометрической фор-
мы в свободномолекулярном и близком к нему режимах обтекания в [5 – 8]
предложена процедура метода прямого статистического моделирования, поз-
воляющая учитывать эффекты переотражения частиц от элементов поверх-
ности обтекаемого тела и первых столкновений частиц разных классов.
Целью данной работы является анализ различных подходов к численно-
му определению основных моментов функции распределения в окрестности
тел, обтекаемых свободномолекулярным потоком, и их сравнение с аналити-
ческими решениями.
При обтекании выпуклых тел макропараметры течения в точке с радиус-
вектором r
являются моментами функции распределения и могут быть
представлены в виде:
,),(),()()(
ww
dVVfVrddVVfVrdrnr www
0
2
4 0
2
(1)
где f – функция распределения молекул набегающего потока по скоростям:
RT
uV
RT
n
f
22
2
23
exp
/
; (2)
В.П.Басс, Л.Л.Печерица, 2008
Техн. механика. – 2008. – № 1.
74
wf – функция распределения по скоростям молекул, диффузно отраженных
от обтекаемого тела:
ww
w
w
RT
W
RT
n
f
22
2
23
exp
/
. (3)
Входящая в (3) концентрация отраженных молекул определяется из
условия непроницаемости поверхности:
)(S
RT
n
RT
n w
w
22
. (4)
Здесь и в дальнейшем используются общепринятые выражения (см.,
например, [9]).
Полагая в (1) =1, V
,
2)( uV
, можно получить выражения
для определения концентрации, скорости и температуры соответственно. По-
сле интегрирования по модулям скоростей V
и W
эти выражения прини-
мают вид [4]:
;)(
w
wdnrn
1
1
;;
)(
)(
V
V
VdVu
rn
n
rV
w
w
00
2
(5)
.
)(
)(
)(
R
rV
d
R
u
T
rn
n
rT
w
w
33
22
3
Аналогично могут быть получены выражения для других моментов
функции распределения.
Выражения (5) дают возможность определения газодинамических пара-
метров в любой точке A окрестности обтекаемого тела. Ввиду того, что
подынтегральные функции
321
,, довольно сложны [4], получить ана-
литические выражения для определения макропараметров потока удается
только в простейших случаях. В общем случае интегралы (5) берутся чис-
ленно.
Особенности интегрирования по телесному углу w . Предположим,
что поверхность обтекаемого тела представима в виде совокупности элемен-
тарных площадок dS . Тогда телесный угол wd в (5) можно выразить через
площадь dS элемента поверхности (на рис. 1,а в качестве примера взят диск,
расположенный перпендикулярно набегающему потоку):
2l
nldS
d w
),cos(
, (6)
75
где l
– радиус-вектор центра площадки dS поверхности тела, построенный
из расчетной точки A ; n
– внешняя нормаль к поверхности тела в центре
площадки dS .
В [4] показано, что если таким образом перейти от интегрирования по
телесному углу w к интегрированию по поверхности обтекаемого тела, то
область интегрирования по телу определяется условием
0nl
и может быть легко определена численно в процессе счета.
Для малых расстояний l расчетной точки от dS телесный угол согласно
(6) вырождается, так как w
l
d
0
lim = . Поэтому на практике вместо (6) ис-
пользуют следующую составную формулу для телесного угла:
Рис.1
a
Y
A
u
X r
V
dS
r
Z
l
n
w
а)
A
sfdS
Y
X
w
V
Z
u
б)
A
76
dS
ll
dS
l
dS
d w
22
2 , (7)
где dS ),cos( nldS
– проекция элементарной площадки на направление
радиус-вектора l
. Формула (7) применима для произвольно расположенной
точки A расчетного поля и, как будет показано ниже, точность результатов
численного интегрирования в (5) зависит только от шага интегрирования по
поверхности обтекаемого тела.
Такой подход удобен для расчета газодинамических параметров в
окрестности тел сложной геометрической формы, так как при интегрирова-
нии по поверхности тела эффекты затенения расчетных точек в поле потока
учитываются элементарно.
Считается, что площадка dS вносит свой вклад при определении газо-
динамических параметров в точке A согласно формулам (5), если луч l
не
пересекает ни одного из элементов поверхности обтекаемого тела.
Впервые аналогичный подход был предложен в [10] для расчета аэроди-
намических характеристик в свободномолекулярном потоке. В дальнейшем
он был адаптирован к расчету газодинамических параметров в поле нерас-
четных струй при наличии преград различной формы [11].
Можно предложить другой подход к интегрированию по w , вводя
понятие единичной сферы, расположенной в расчетной точке A физиче-
ского пространства (рис. 1,б). По определению телесного угла wd sfdS ,
где sfdS – площадь элемента поверхности единичной сферы. Область ин-
тегрирования по сфере определяется условием пересечения луча, направ-
ленного из расчетной точки A в центр площадки sfdS , с поверхностью
обтекаемого тела.
Аналитические выражения для расчета концентрации молекул на оси
диска, расположенного перпендикулярно вектору скорости набегающего
потока. Выберем в качестве модельной задачи обтекание диска, расположен-
ного нормально набегающему потоку. Сверхзвуковое обтекание плоской пла-
стины (как тела простейшей канонической формы) представляет неизменный
интерес в различных исследованиях по динамике разреженных газов, о чем
говорят и последние публикации (см. [12–14]). Интерес представляют исследо-
вания газодинамических параметров как в возмущенной зоне перед пластиной,
так и донной области при различных числах Кнудсена. Кроме того, существует
некий пробел для тестирования расчетных алгоритмов в условиях свободномо-
лекулярного обтекания, а в отдельных публикациях по этому вопросу порой
содержатся откровенные ошибки (к примеру [9]).
Концентрация падающих молекул в произвольной точке A , располо-
женной на оси симметрии диска при его свободномолекулярном обтекании,
определяется выражением:
,=A
Vdfn
(8)
77
где f определена формулой (2); Vd
– элементарный объем в пространстве
скоростей. Интегрирование ведется по всем возможным значениям и направ-
лениям скорости V
.
По аналогии с (1) функцию распределения падающих молекул в расчет-
ной точке A можно рассматривать как двухпоточную:
.,
;,
w
w
A
V
Vf
f
0
Учитывая, что в точку А попадают молекулы набегающего потока, век-
торы скорости которых лежат внутри телесного угла w4 (смотри
рис. 2), выражение (8) можно переписать в виде [9]:
ww VVV
VdfnVdfVdfn
4
=A .
Рис. 2
В сферической системе координат пространства скоростей
xrr dVdVVVd 2
, а
wV
xrr
rx dVdVV
RT
VuV
RT
n
nn
]
)(
exp[
)(
=
/A
2
2
2
22
23
.
Когда расчетная точка A находится перед диском радиуса a ( 0x ),
проекция скорости на ось ОХ и ее радиальной компоненты изменяются в
пределах: 0 xV ,
x
aV
V x
r 0 . Аналогично в точках за диском (при
0x ): xV0 ; 0 r
x V
x
aV
.
С учетом вышесказанного для 0x (за диском)
a
Y
A
w
X
r
V
xV
rV
Рис. 2
u
78
0 2
0
2
23 22
2
2
x
aV
xrr
rx
x
dVdVV
RT
V
RT
uV
RT
n
nn ]exp[]
)(
exp[
)(
=
/A . (9)
Введя замену переменных: r
r C
RT
V
2
; x
x C
RT
V
2
и обозначив
RT
u
u
2
a
x
x ; выражение (9) перепишется в виде:
0
0
22
x
C
xr
CuC
x
rx dCdCeennn )(
A
2
= . (10)
Интегрируя по rC ,
0
2
1
2
x
x
C
uC dCeennn
x
x ][
1
=
)(
A . (11)
Рассмотрим неопределенный интеграл:
).(
)(][
)(
)(
2
2
2
11
1
1
2
11
11
112
1
2
1
1
2
2
2
x
u
Cxerf
x
e
uCerfdCee
x
x
u
xx
x
C
uC
x
x
(12)
Подставляя в (11) пределы интегрирования по переменной xC , с учетом
(12) получим выражение для концентрации частиц набегающего потока,
находящихся на оси симметрии диска в его донной области:
)]cos([cos])([
1
=
)sin(
A 11
2
1
2
uerfeuerfnn u
.
После соответствующих преобразований
)]cos([cos)(=
)sin(
A 11
2
2
uerfeuerf
n
n u
, (13)
где
211
1
x
cos .
Для отраженных молекул концентрация в расчетной точке A определя-
ется следующим образом:
0
.=A Wdfn w
w
(14)
79
Функция распределения wf определяется по формуле (3) с учетом (4). Здесь
SerfSSS )()exp()( 1
2
, а температура отраженных wT моле-
кул полагается равной температуре поверхности тела.
Так как в точку A попадают только те из отраженных молекул, вектора
скоростей которых лежат внутри телесного угла w (рис. 2), функцию рас-
пределения отраженных молекул (3) можно представить в виде:
.,
;,
ww
ww
A
Wf
W
f
0
Тогда в сферической системе координат пространства скоростей выра-
жение (14) с учетом (6) имеет вид:
wW
xrr
w
rx
ww
w
dWdWW
RT
WW
S
T
T
RT
n
n
]
)(
exp[)(=
/A
22
22
23
.
Рассмотрим случай 0x . Подставляя верхние и нижние пределы изме-
нения компонент массовой скорости xW и rW , получим
0 2
0
2
23 222
x
aW
xrr
w
r
w
x
ww
w
x
dWdWW
RT
W
RT
W
S
T
T
RT
n
n ]exp[]exp[)(=
/A .
После замены переменных (как и в случае расчета параметров набегаю-
щего потока) предыдущее выражение представимо в виде:
0
0
22
x
C
xr
C
r
C
w
w
x
rx dCdCeCeS
T
T
nn )(
2
A . (15)
Выполнив интегрирование аналогично интегрированию в (10), получим
)cos()(A 1
2
S
T
Tn
n
w
w
.
Рассмотрим случай 0x . Не нарушая общности и проводя те же рас-
суждения, можно получить аналогичные выражения и для концентрации мо-
лекул на оси симметрии диска в наветренной области. Приведем лишь ко-
нечные выражения:
)]cos([cos)(=
)sin(
A uerfeuerf
n
n u 11
2
2
; (16)
)cos()(A 1
2
S
T
Tn
n
w
w
. (17)
Концентрация результирующего потока определяется как суперпозиция
концентраций падающего и отраженного потоков:
w
nnn AAA
.
80
Формулы (13) и (16) для
An отличаются от формул (2.267) и (2.268),
приведенных в [9], на множитель
2)sin( ue , что является существенным для
определения концентрации частиц в точках, находящихся в непосредствен-
ной близости к поверхности диска.
Результаты тестовых расчетов. Приведенные аналитические выраже-
ния для расчета результирующей концентрации на оси симметрии диска при
его свободномолекулярном обтекании были использованы для тестирования
различных подходов к численному интегрированию по телесному углу. Как
показали результаты численного интегрирования по поверхности диска с ис-
пользованием выражения (7) и расчеты по приведенным выше формулам,
полученные данные достаточно хорошо согласуются между собой за исклю-
чением ближних областей.
Перед диском (непосредственно вблизи его поверхности) и в теневой
зоне (на расстояниях, соизмеримых с его радиусом) результаты расчета су-
щественно зависят от размеров элементарных площадок ddrrdS , на
которые разбит диск. Расхождения со значениями, полученными по форму-
лам, растут с увеличением dS и достигают максимума при больших числах
Маха, что продемонстрировано на рис. 3 для значений концентрации на оси
диска в передней (рис. 3,а) и донной области (рис. 3,б) при M = 20. Во всех
приведенных ниже расчетах полагалось TTw 1000 K . На рис. 3 сплош-
ная кривая соответствует расчетам по формулам (13, 15 – 17), ромбиками
обозначены результаты расчетов при rN = 5; N = 4, треугольниками – при
rN = 20; N = 4, а кружками – при rN = 40; N = 4. Здесь rN и N – число
разбиений диска по радиальной и угловой координатам r и соответствен-
но. Для достижения лучшего согласия результатов на оси диска в его донной
области необходимо еще более мелкое разбиение по радиусу (на рис. 3,б кре-
стиками обозначены результаты расчетов при rN = 100 и N = 4).
Влияние числа разбиений по угловой координате существенно при
удалении от оси диска вблизи его поверхности, что хорошо видно на рис. 4
по поведению изолиний относительной концентрации nn при числе Маха
M = 5 для rN = 20; N = 18 (рис. 4,а) и rN = 20; N = 60 (рис. 4,б). Как
видно из рисунков, недостаточно мелкий шаг по углу приводит к тому, что
Рис. 3
0
5
10
15
20
25
30
35
-0,2 -0,1 0,0
0,0
0,5
1,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5ax
nn
nn
ax
а) б)
81
изолинии не замыкаются на соответствующие значения концентрации на его
поверхности.
Таким образом, недостатком интегрирования по обтекаемому телу явля-
ется то, что для получения достоверных полей газодинамических параметров
в непосредственной близости от его поверхности требуется достаточно мел-
кий шаг интегрирования по обеим переменным. При сложной геометрии об-
текаемого тела это обстоятельство становится критичным по отношению к
ресурсам ЭВМ.
При интегрировании по поверхности единичной сферы размеры элемен-
тарных площадок, на которые она разбита, влияют на точность определения
w во всех расчетных точках поля, но в первую очередь – в точках значи-
тельно удаленных от обтекаемого тела. Вблизи тела это влияние менее суще-
ственно (в отличие от интегрирования по поверхности тела): w ~ 2 и зна-
чения концентрации An в точке A при приближении к диску для M = 5
физически выходят на значения концентрации wn на его поверхности
(рис. 5). На рис. 5,а N = 18; N = 36, а на рис. 5,б N = 180; N = 360. Здесь
N и N – количество разбиений по полярному углу и по долготе сфериче-
ской системы координат.
На рис. 4 и рис. 5 расчетные области приведены в калибрах радиуса диска.
Из сказанного выше следует, что выбор того или иного способа интегри-
рования по w зависит от особенностей решаемой задачи. Так для расчета в
Рис. 4
Рис. 5
82
ближнем следе за диском более предпочтительным является интегрирование
по единичной сфере.
Приведенные выше результаты акцентируют внимание на особенности
интегрирования по телесному углу w при фиксированном температурном
факторе TTw = 1. Изменение температуры поверхности приводит лишь к
количественным вариациям расчетных параметров.
Таким образом, для определения различных моментов функции распре-
деления после интегрирования по модулю скорости существует два различ-
ных подхода к интегрированию по телесному углу w . Для тестирования
расчетных алгоритмов получены аналитические выражения для концентра-
ции частиц на оси симметрии поперечно обтекаемого диска потоком сильно
разреженного газа, как в возмущенной области (перед диском), так и в дон-
ной области (за диском). Показано, что на малых расстояниях от обтекаемого
тела переход к интегрированию по его поверхности приводит к существен-
ным погрешностям в расчете телесного угла w . Поэтому на таких расстоя-
ниях удобнее перейти к интегрированию по поверхности единичной сферы,
расположенной в соответствующей точке физического пространства. При
этом для сложных тел взаимное затенение элементов конструкции учитыва-
ется также, как и в [7, 8].
1. Басс В.П., Печерица Л.Л. Численное моделирование стационарного осесимметричного обтекания затуп-
ленного конуса в переходном режиме обтекания // Вісник Дніпропетровського університету.– 2005.–
№ 10/1.– С.57 – 65.
2. Басс В.П., Печерица Л.Л. Об одном алгоритме реализации Метода Монте-Карло для решения задач
динамики разреженного газа // Техническая механика. – 2006.– № 1. – С.67 – 79.
3. Басс В.П., Печерица Л.Л. Гиперзвуковое обтекание теплоизолированного цилиндра разреженным газом
//Вісник Дніпропетровського університету.– 2006.– № 2/1.– С.50 – 60.
4. Басс В.П., Бразинский В.И. Расчет газодинамических параметров в окрестности тел, обтекаемых сво-
бодномолекулярным потоком // Изв. РАН. Механика жидкости и газа.– 1982.– № 4.– С.177 – 180.
5. Басс В.П. Об одном алгоритме для комплексного исследования аэродинамических характеристик кос-
мических аппаратов // Космические исследования на Украине.–1977. – № 11.–С.11 – 17.
6. Басс В.П., Бразинский В.И Влияние параметров собственной атмосферы на функционирование лета-
тельных аппаратов // Наблюдения искусственных небесных тел. – М.: Астрономический совет
АН СССР, 1984. – № 81. – С. 87 – 99.
7. Бразинский В.И. Расчет параметров собственной внешней атмосферы в окрестности летательных аппа-
ратов сложной формы // Прикл. вопр. аэродинамики летательных аппаратов. – 1984. – С.50 – 54.
8. Басс В.П., Бразинский В.И. Численные алгоритмы для расчета процессов массопереноса в сильно раз-
реженном газе // Журн. выч.матем. и матем. физики.– 1988.– Т.28, № 7. – С. 1078 – 1093.
9. Кошмаров Ю.А., Рыжов Ю.А. Прикладная динамика разреженного газа.– М.: Машиностроение, 1977.– 184 с.
10. Басс В.П., Ковтуненко В.М., Чепурной В.Н. К определению аэродинамических характеристик тел
сложной геометрической формы в свободномолекулярном потоке с учетом затенения // Космические
исследования. –1974.– Т. XII, Вып. 1.– С.40 – 44.
11. Печерица Л.Л. Исследование полей течений нерасчетных струй и их взаимодействие с поверхностями
космических аппаратов // Техническая механика. – 1997.– Вып. 6. – С.91 – 94.
12. Титарев В.А., Шахов Е.М. Расчет донного вакуума за пластиной, обтекаемой гиперзвуковым потоком
разреженного газа // Журн. вычислит. математики и мат. физики.– 2001.– Т.41, № 9.– С.1444 – 1456.
13. Мальцев Р.В., Ребров А.К. Поперечное обтекание полосы сверхзвуковым потоком разреженного газа //
Изв. РАН. Механика жидкости и газа.– 2005. – № 1. – С.159 – 167.
14. Титарев B.A., Шахов Е.М. Численный расчет поперечного обтекания холодной пластины гиперзвуко-
вым потоком разреженного газа // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. – 2005. – № 5. – С.139 – 154.
Институт технической механики Получено 10.05.07,
НАН Украины и НКА Украины, в окончательном варианте 11.03.08
Днепропетровск
|