Метод дополнительных функций в теории устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений
Метод дополнительных функций в теории устойчивости распространен на неавтономные системы, что стало возможным в связи с обобщением метода инвариантных соотношений на данный класс систем. Доказана теорема о частичной асимптотической устойчивости и рассмотрен иллюстративный пример....
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88136 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Метод дополнительных функций в теории устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений / А.М. Ковалев, В.Н. Неспирный // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 8. — С. 20-27. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88136 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-881362025-02-23T17:38:09Z Метод дополнительных функций в теории устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений Метод додаткових функцiй у теорiї стiйкостi неавтономних систем диференцiальних рiвнянь Method of additional functions in stability theory for nonautonomous systems of differential equations Ковалев, А.М. Неспирный, В.Н. Математика Метод дополнительных функций в теории устойчивости распространен на неавтономные системы, что стало возможным в связи с обобщением метода инвариантных соотношений на данный класс систем. Доказана теорема о частичной асимптотической устойчивости и рассмотрен иллюстративный пример. Метод додаткових фунцiй в теорiї стiйкостi поширено на неавтономнi системи, що стало можливим у зв’язку з узагальненням методу iнварiантних спiввiдношень на даний клас систем. Доведено теорему про часткову асимптотичну стiйкiсть i розглянуто iлюстративний приклад. The method of additional functions in stability theory is expanded to nonautonomous systems. It has became possible due to a generalization of the method of invariant relations for this class of systems. The theorem of partial asymptotic stability is proved, and the illustrative example is considered. 2014 Article Метод дополнительных функций в теории устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений / А.М. Ковалев, В.Н. Неспирный // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 8. — С. 20-27. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88136 517.9 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Ковалев, А.М. Неспирный, В.Н. Метод дополнительных функций в теории устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений Доповіді НАН України |
| description |
Метод дополнительных функций в теории устойчивости распространен на неавтономные системы, что стало возможным в связи с обобщением метода инвариантных соотношений на данный класс систем. Доказана теорема о частичной асимптотической
устойчивости и рассмотрен иллюстративный пример. |
| format |
Article |
| author |
Ковалев, А.М. Неспирный, В.Н. |
| author_facet |
Ковалев, А.М. Неспирный, В.Н. |
| author_sort |
Ковалев, А.М. |
| title |
Метод дополнительных функций в теории устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений |
| title_short |
Метод дополнительных функций в теории устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений |
| title_full |
Метод дополнительных функций в теории устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений |
| title_fullStr |
Метод дополнительных функций в теории устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений |
| title_full_unstemmed |
Метод дополнительных функций в теории устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений |
| title_sort |
метод дополнительных функций в теории устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88136 |
| citation_txt |
Метод дополнительных функций в теории устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений / А.М. Ковалев, В.Н. Неспирный // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 8. — С. 20-27. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT kovalevam metoddopolnitelʹnyhfunkcijvteoriiustojčivostineavtonomnyhsistemdifferencialʹnyhuravnenij AT nespirnyjvn metoddopolnitelʹnyhfunkcijvteoriiustojčivostineavtonomnyhsistemdifferencialʹnyhuravnenij AT kovalevam metoddodatkovihfunkcijuteoriístijkostineavtonomnihsistemdiferencialʹnihrivnânʹ AT nespirnyjvn metoddodatkovihfunkcijuteoriístijkostineavtonomnihsistemdiferencialʹnihrivnânʹ AT kovalevam methodofadditionalfunctionsinstabilitytheoryfornonautonomoussystemsofdifferentialequations AT nespirnyjvn methodofadditionalfunctionsinstabilitytheoryfornonautonomoussystemsofdifferentialequations |
| first_indexed |
2025-11-24T05:57:00Z |
| last_indexed |
2025-11-24T05:57:00Z |
| _version_ |
1849650126684946432 |
| fulltext |
УДК 517.9
Академик НАН Украины А.М. Ковалев, В. Н. Неспирный
Метод дополнительных функций в теории устойчивости
неавтономных систем дифференциальных уравнений
Метод дополнительных функций в теории устойчивости распространен на неавтоном-
ные системы, что стало возможным в связи с обобщением метода инвариантных со-
отношений на данный класс систем. Доказана теорема о частичной асимптотической
устойчивости и рассмотрен иллюстративный пример.
Наибольшие успехи в решении задач устойчивости движения связаны с методом функций
Ляпунова [1]. Важное место в развитии теории устойчивости занимает теорема Барбашина–
Красовского [2], которая усиливает первую теорему Ляпунова, привлекая в рассмотрение
анализ множества M обращения в нуль производной V̇ (x) на возможность содержания
этим множеством траекторий системы. Появление дополнительных функций [3, 4] внес-
ло конструктивный элемент в теорию устойчивости, связанный с процедурой построения
функций Ляпунова. Исходным этапом в построении функции Ляпунова стало получение
функции, имеющей знакопостоянную производную в силу системы, которая затем преобра-
зуется к виду, когда множество обращения в нуль ее производной является инвариантным.
Разработанный на этой основе метод дополнительных функций применяется к автоном-
ным системам [5, 6]. В настоящей работе метод дополнительных функций распространен
на неавтономные системы, что стало возможным в связи с обобщением метода инвариант-
ных соотношений на данный класс задач [7]. При этом наряду с доказательством теоремы
установлены новые эффекты, вызванные зависимостью правых частей дифференциальных
уравнений от времени. Полученные результаты рассмотрены на примерах.
1. Постановка задачи и вспомогательные утверждения. Рассматриваются задачи
устойчивости нулевого решения системы
ẋ = f(x, t), f(0) = 0; x ∈ X ⊂ Rn, t ∈ [t0,∞), (1)
где X — некоторая окрестность нуля, функция f(x, t) предполагается непрерывно диффе-
ренцируемой достаточное число раз для x ∈ X, t ∈ [t0,∞). При решении поставленных
задач понадобится оператор дифференцирования функции в силу системы (1):
Dϕ(x, t) =
∂ϕ(x, t)
∂t
+
〈
∂ϕ(x, t)
∂x
, f(x, t)
〉
;
символ 〈, 〉 означает скалярное произведение. Наряду с символом D будет использоваться
точка: Dϕ = ϕ̇.
При решении задач устойчивости часто требуется выяснить, содержит ли некоторое
множество M = {(x, t) : ϕ(x, t) = 0} инвариантное многообразие. Ответ на этот вопрос дает
решение системы уравнений
ϕ(x, t) = 0, Dϕ(x, t) = 0, . . . , Dsϕ(x, t) = 0, . . . . (2)
© А.М. Ковалев, В. Н. Неспирный, 2014
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №8
Отметим, что всюду дальше мы будем предполагать, что градиент функции ϕ не обра-
щается в нуль тождественно (или в векторном случае, что матрица Якоби вектор-функ-
ции ϕ имеет полный ранг). Если это не так, то нужно либо преобразовать ϕ так, чтобы
условие выполнилось, либо привести ее к виду ϕ = ϕ1 · · ·ϕs, рассматривая затем каждое
из множеств Mi = {ϕi(x, t) = 0} по отдельности.
Справедлива следующая лемма.
Лемма 1 [7]. Пусть множество M = {(x, t) : ϕ(x, t) = 0} содержит инвариантное
множество N . Тогда для точек множества N должны выполняться уравнения (2).
Решение системы уравнений (2) опирается на следующую теорему.
Теорема 1 [7]. Если в последовательности (2) существует k независимых членов, то
независимыми будут и первые k членов последовательности (2).
С использованием теоремы 1 устанавливается важное свойство, необходимое для пре-
образования функции со знакопостоянной производной.
Лемма 2. Пусть множество M = {(x, t) : ϕ(x, t) = 0} ⊂ D содержит инвариант-
ное множество N , определяемое первыми l независимыми функциями последовательнос-
ти (2). Тогда для каждой точки (x∗, t∗) ∈M \N найдется k 6 l такое, что ϕ(k)(x∗, t∗) 6=
6= 0.
2. Дополнительные функции и их свойства. Дополнительные функции были вве-
дены [3, 4] для автономных систем дифференциальных уравнений. В связи с обобщением [7]
метода инвариантных соотношений на неавтономные системы стало возможным перенесе-
ние метода дополнительных функций на данный класс систем. Вводимые ниже определения
и утверждения во многом опираются на результаты по автономным системам [3–5].
Лемма 2 дает возможность использовать производные ϕ(s)(x, t) для уменьшения мно-
жества обращения в нуль производной V̇ (x, t). Для этого к функции V (x, t) прибавляется
функция, производная которой положительна на множестве M \N , а на множестве N значе-
ния этой функции могут быть подобраны так, чтобы не изменять свойства функций V̇ (x, t),
V (x, t), прежде всего знакопостоянство V̇ (x, t) и, возможно, знакоопределенность V (x, t).
В соответствии со своим назначением эти функции названы дополнительными функция-
ми (имеется в виду по отношению к функции V (x, t)). В простейшем случае, когда вопрос
существования инвариантного множества N ⊂ M для системы (1) решается двумя пер-
выми членами последовательности (2): ϕ(x, t) = 0, Dϕ(x, t) = 0, дополнительная функция
(первого типа) имеет вид
Va(x, t) = 〈Dϕ(x, t),Dϕ(x, t)〉m〈Dϕ(x, t), ϕ(x, t)〉, (3)
где m — некоторое целое положительное число. В скалярном случае формула (3) может
быть записана в упрощенной форме
Va(x, t) = ϕ̇2m+1(x, t)ϕ(x, t).
Основное свойство функции (3) определяется следующей леммой.
Лемма 3. Пусть функция V (x, t) имеет знакопостоянную производную V̇ (x, t), кото-
рая обращается в нуль на множестве M = {(x, t) : ϕ(x, t) = 0}, содержащем инвариантное
множество N , определяемое уравнениями ϕ(x, t) = 0, Dϕ(x, t) = 0. Тогда производная
функции (3) принимает на множестве M \N положительные значения:
V̇a(x, t) = 〈Dϕ(x, t),Dϕ(x, t)〉m+1 и V̇a(x, t) = 0 для x ∈ N.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №8 21
Доказательство. Продифференцируем функцию Va(x, t), определяемую формулой (3):
V̇a(x, t) = m〈ϕ̇, ϕ̇〉m−1[〈ϕ̇, ϕ̈〉 + 〈ϕ̈, ϕ̇〉]〈ϕ̇, ϕ〉 + 〈ϕ̇, ϕ̇〉m[〈ϕ̇, ϕ̇〉 + 〈ϕ̈, ϕ〉] =
= 〈ϕ̇, ϕ̇〉m+1 + 2m〈ϕ̇, ϕ̇〉m−1〈ϕ̇, ϕ̈〉〈ϕ̇, ϕ〉 + 〈ϕ̇, ϕ̇〉m〈ϕ̈, ϕ〉.
Так как для всех точек (x, t) ∈ M выполнено ϕ(x, t) = 0, то последние два слагаемых
обнуляются. Таким образом, на всем множестве справедливо равенство
V̇a(x, t) = 〈ϕ̇, ϕ̇〉m+1.
Кроме того, для всех точек (x, t) ∈ N верно и ϕ(x, t) = 0, и ϕ̇(x, t) = 0. Благодаря послед-
нему равенству обнуляется и оставшееся первое слагаемое. Следовательно, производная
функции Va тождественно равна нулю на множестве N .
Замечание 1. При доказательстве мы нигде не использовали тот факт, что множест-
во N инвариантно. Таким образом, этот результат останется справедливым тогда, ко-
гда инвариантное соотношение ϕ(x, t) = 0 является соотношением слоя большего поряд-
ка. Однако в этом случае получившаяся в результате производная функции Va будет
обращаться в нуль не только на инвариантном множестве. Тем не менее, повторяя ука-
занную процедуру для соотношения, описывающего множество обращения в нуль про-
изводной, полученной ранее, можно генерировать дополнительные функции до тех пор,
пока множество обращения в нуль производной не станет инвариантным. Можно пока-
зать, что это будет достигнуто за конечное число шагов. Другой способ позволяет до-
биться нужного результата за один шаг. Пусть инвариантное множество N определяет-
ся первыми k > 2 членами последовательности (2). Тогда будет достаточно использо-
вать дополнительную функцию вида (3) для (k − 1)-мерной вектор-функции ϕ∗(x, t) =
= (ϕ(x, t),Dϕ(x, t), . . . ,Dk−2ϕ(x, t))T .
Замечание 2. При рассмотрении системы (2) нужно использовать формальный подход
для выделения независимой подсистемы, определяющей инвариантное множество в про-
странстве переменных (x, t), не используя независимость переменной t. То есть следует
считать переменную t как еще одну переменную xn+1. Инвариантное множество, конечно,
при этом никак не изменится, но количество функций в независимой подсистеме может
увеличиться. Для того чтобы гарантировать положительность V̇a на множестве M \ N ,
должны быть учтены все эти функции.
Для построения дополнительных функций Va большое значение имеет структура мно-
жества M , определяемая его геометрическими и дифференциальными особенностями.
Во-первых (геометрические особенности), множество M может быть суммой подмножеств
M =
s⋃
i=1
Mi, Mi = {(x, t) : ϕi(x, t) = 0}. Кроме того, попарные пересечения Mk
⋂
Mm могут
содержать ненулевые точки, для некоторых k, m, что также необходимо учитывать. Во-вто-
рых (дифференциальные особенности), для некоторых множеств Mi вопрос о существова-
нии инвариантного множества может не решаться первыми двумя членами последователь-
ности (2), т. е. в лемме 2 существуют точки (x∗, t∗) ∈ Mi, для которых соответствующее
значение k больше 1.
Решение вопроса с геометрическими особенностями приводит к новой дополнительной
функции (второго типа), производная которой принимает положительные значения на мно-
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №8
жестве Mi и обращается в нуль на остальных множествах Mj:
Vai(x, t) = 〈Dϕi(x, t),Dϕi(x, t)〉m〈Dϕi(x, t), ϕi(x, t)〉
s∏
j=1,
j 6=i
〈ϕj(x, t), ϕj(x, t)〉. (4)
Для функции (4) сохранено предположение о том, что вопрос инвариантности множества
Ni ⊂ Mi решается двумя первыми членами последовательности (2). Справедлива следую-
щая лемма.
Лемма 4. Пусть функция V (x, t) имеет знакопостоянную производную V̇ (x, t), кото-
рая обращается в нуль на множестве M =
s⋃
i=1
Mi, Mi = {(x, t) : ϕi(x, t) = 0}. Множе-
ства Mi содержат инвариантные множества Ni, определяемые уравнениями ϕi(x, t) = 0,
Dϕi(x, t) = 0. Тогда производная функции (4) принимает на множестве Mi \ Ni поло-
жительное значение: V̇ai(x, t) = 〈Dϕi(x, t),Dϕi(x, t)〉m+1
s∏
j=1,
j 6=i
ϕ2
j (x, t) и V̇ai(x, t) = 0 для
(x, t) ∈ Ni и (x, t) ∈ Mj (j 6= i, j = 1, . . . , s).
Доказательство. Как и при доказательстве леммы 3, вычислим производную функ-
ции (4):
V̇ai(x, t) = (〈ϕ̇i, ϕ̇i〉m+1 + 2m〈ϕ̇i, ϕ̇i〉m−1〈ϕ̇i, ϕ̈i〉〈ϕ̇i, ϕi〉+ 〈ϕ̇i, ϕ̇i〉m〈ϕ̈i, ϕi〉)
s∏
j=1,
j 6=i
〈ϕj , ϕj〉+
+ 2〈ϕ̇i, ϕ̇i〉m〈ϕ̇i, ϕi〉
s∑
k=1,
k 6=i
(
〈ϕ̇k, ϕk〉
s∏
j=1,
j 6=i,j 6=k
〈ϕj , ϕj〉
)
.
Подставив ϕi = 0 в полученное выражение, получим значение функции V̇ai на множе-
стве Mi, а подставив ϕi = ϕ̇i = 0, получим нуль, что является значением функции V̇ai на
множестве Ni. Также легко проверяется, что подстановка ϕj = 0 при j 6= i обращает в нуль
выражение для производной.
Замечание 3. Следует отметить, что в случае, когда есть попарные пересечения у мно-
жеств Mi, не являющиеся инвариантными, для получения дополнительной функции при-
дется повторно применить лемму 3 или 4, записав новое соотношение или систему соотно-
шений, определяющих множество обращения ее производной в нуль.
Вопрос с дифференциальными особенностями для дополнительных функций первого
и второго типа решается путем последовательного рассмотрения множеств, на которых
соответствующие производные отличны от нуля, как это делается при доказательстве лем-
мы 3.
3. Выделение переменных по свойству устойчивости. Применим дополнительные
функции к решению следующей задачи [5].
Задача 1. Выделить устойчивые, асимптотически устойчивые и неустойчивые пере-
менные для системы (1), если для нее известна функция со знакопостоянной производной.
Переменные, рассматриваемые в задаче 1, вводятся следующим определением [5].
Определение 1. Переменная y = g(x, t) (y ∈ R1, y(0, t) = 0) называется устойчивой
(асимптотически устойчивой, неустойчивой), если нулевое решение системы (1) является
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №8 23
соответственно устойчивым, асимптотически устойчивым, неустойчивым относительно этой
переменной. Отметим, что устойчивые переменные (по определению) при неограниченном
возрастании времени не стремятся к нулю, оставаясь все время в заданной ограниченной
области.
В неавтономном случае потребуем еще равномерной по t непрерывности функции g
по переменным x в начале координат, а именно, чтобы для любого достаточно малого ε
существовала такая окрестность радиуса δ, что для любого x из этой окрестности и любого
t ∈ [t0,+∞] выполнялось неравенство |g(x, t)| < ε.
Решение задачи 1 проводится с помощью двух методов: метода функций Ляпунова и ме-
тода дополнительных функций. Рассмотрим случай, когда для системы (1) известна зна-
коопределенная функция V (x, t), производная которой в силу системы (1) является знако-
постоянной, знака, противоположного V̇ (x, t). Предполагаем, что вопрос инвариантности
решается двумя первыми членами последовательности (2), т. е. содержащееся в множестве
M = {(x, t) : V̇ (x, t) = 0} инвариантное множество N определяется системой ϕ(x, t) = 0,
Dϕ(x, t) = 0. В этом случае достаточно использовать дополнительную функцию первого
типа.
В автономном случае за счет ограниченности непрерывных функций V и V̇ на любом
компактном множестве, мы имеем возможность аддитивно комбинировать функции V и Va,
сохраняя свойства знакоопределенности. В неавтономном случае мы должны потребовать,
чтобы получившаяся функция Va и ее производная V̇a имели бесконечно малый высший
предел:
|Va(x, t)| 6 b(‖x‖), |V̇a(x, t)| 6 c(‖x‖), (5)
где b и c — дифференцируемые функции, являющиеся функциями класса Хана. Тогда спра-
ведлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть для системы (1) существует знакоопределенная функция V (x, t),
равномерно ограниченная снизу автономной знакоопределенной функцией, производная ко-
торой в силу системы (1) является знакопостоянной, знака, противоположного V (x, t),
обращающейся в нуль на множестве M = {(x, t) : ϕ(x, t) = 0}. Множество M содер-
жит инвариантное множество N = {(x, t) : ϕ(x, t) = 0, Dϕ(x, t) = 0}. Предполагаем,
что функции f(x, t), V (x, t), ϕ(x, t) являются дифференцируемыми достаточное число раз,
а функция Va(x, t) удовлетворяет условиям (5). Тогда существуют числа m, α такие, что
функция Vf (x, t) = V (x, t)+αVa(x, t) является знакоопределенной, а ее производная V̇f (x, t)
будет y-знакоопределенной, знака, противоположного Vf (x, t).
Здесь функция Va(x, t) определяется формулой (3), а y = (y1, . . . , yk), yi = yi(x, t) (k 6
6 n) — независимые функции, с помощью которых описывается инвариантное множест-
во N . Знакоопределенность же понимается лишь в том смысле, что V̇f > 0, при всех
значениях x и t таких, что по крайней мере одно из значений yi(x, t) отлично от нуля.
Доказательство. Пусть V (x, t) — положительно определенная функция, а V̇ (x, t) —
отрицательно постоянная. Поскольку V (x, t) равномерно ограничена снизу автономной, то
существует такая функция a(‖x‖) > 0, что V (x, t) > a(‖x‖). Пусть разложение a(‖x‖)
начинается членом порядка малости 2β. Тогда возьмем m > β и произвольное α < 0. Пос-
кольку ϕ̇(x, t) — дифференцируемая функция и ее градиент отличен от нуля, при этом
ϕ̇(0, t) = 0, то разложение ϕ̇(x, t) начинается с членов порядка малости не ниже 1. Следо-
вательно, величина b(‖x‖), дающая оценку сверху Va(x, t), будет иметь порядок малости не
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №8
Рис. 1. Таектория системы (6) при a(t) = t2/(1 + t2) при x(0) = 0,1, y(0) = −1
ниже 2m+ 2 > 2β. Отсюда следует, что существует некоторая окрестность начала коорди-
нат, в которой Vf (x, t) = V (x, t)+αVa(x, t) будет сохранять знак V (x, t). Рассмотрим теперь
производную V̇f . Поскольку вне M выполнено V̇ < 0, а функция V̇a имеет больший порядок
малости, то по крайней мере в некоторой окрестности V̇f будет отрицательной. Поскольку
V̇ = 0, V̇a > 0 во всех точках M , а α < 0, то для любых (x, t) ∈ M : V̇ (x, t) 6 0. При этом
на M \N имеем Va < 0, тогда всюду, за исключением инвариантного множества, Vf будет
принимать строго отрицательные значения, а на множестве N будет равна нулю. Таким
образом, Vf будет y-знакоопределенной.
Нулевое решение системы (1), удовлетворяющей теореме 2, будет очевидно устойчивым
по всем переменным. Для того чтобы гарантировать асимптотическую y-устойчивость, не-
обходимы дополнительные условия. А именно, нужно потребовать, чтобы функции Vf и V̇f
допускали равномерные на всем интервале времени t ∈ [t0,+∞) оценки
Vf (x, t) > a1(‖y‖),
V̇f (x, t) 6 −a2(Vf (x, t)),
где a1 и a2 — функции класса Хана. Эти условия гарантированно будут выполнены для
автономных, периодических и почти периодических систем.
Следствие 1. Если система (1) является почти периодической и удовлетворяет усло-
виям теоремы 2, то ее тривиальное решение является асимптотически y-устойчивым.
Замечание 4. Если множество N состоит лишь из точек {(0, t) : t ∈ R} для автоном-
ной, периодической или почти периодической системы, то имеет место асимптотическая
устойчивость (по всем переменным) тривиального решения этой системы. Этот результат
обобщает теорему Барбашина–Красовского и известные ее обобщения.
4. Пример. Рассмотрим следующую двумерную систему:
ẋ1 = a(t)x2, ẋ2 = −a(t)x1 − x2 sin2 t, (6)
где a(t) — некоторая функция (рис. 1). Выберем функцию V = x21 + x22. Ее производная
в силу системы (6) равна
V̇ = −2x22 sin2 t.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №8 25
Рассмотрим множества, на которых V̇ обращается в нуль. Первое из них задается функцией
ϕ1 = x2, а другое — функцией ϕ2 = sin t. Но очевидно, что второе множество не содержит
инвариантного подмножества. Построим для ϕ1 дополнительную функцию первого типа:
Va = (−x2 sin2 t− a(t)x1)2m+1x2.
Добавив ее к исходной функции V , получим следующую функцию Ляпунова:
Vf = x21 + x22 + α(−x2 sin2 t− a(t)x1)2m+1x2.
Нетрудно убедиться, что при ограниченной a(t), m > 1 и произвольном α функция Vf будет
оставаться положительно определенной в некоторой окрестности нуля. Вычислим теперь
производную функции Vf :
V̇f = −2x22 sin2 t+ α[(−x2 sin2 t− a(t)x1)2m+2 + 2mx2(−x2 sin2 t− a(t)x1)2m ×
× (−x2 sin 2t− ȧ(t)x1 − (−x2 sin2 t− a(t)x1) sin2 t− a(t)2x2)].
Допустим, a(t) не имеет нулей (в противном случае пришлось бы построить еще одну
дополнительную функцию второго типа для ϕ1 = x2, ϕ2 = a(t)). Эта функция может обра-
щаться в нуль на множестве точек {(x1, x2, t) : x2 sin t = a(t)x1 = 0}. Однако, поскольку
множества sin t = 0 и a(t) = 0 не являются инвариантными, остается лишь множество
N = {(x, t) : x1 = x2 = 0}, которое очевидно является инвариантным для системы (6).
Функция V̇f является отрицательно определенной в том смысле, что при всех x и t прини-
мает отрицательные значения. Для того же чтобы гарантировать асимптотическую устой-
чивость системы (6), нужно обеспечить еще равномерную ограниченность производной V̇f
отрицательно определенной функцией от x. Для этого достаточно, чтобы функция a(t)
была отделимой от нуля на бесконечном интервале времени (в частности, это достигается,
когда предел a(t) при t → ∞ отличен от нуля).
Таким образом, при a(t) = t2/(1+t2) нулевое решение системы (6) будет асимптотически
устойчивым. Если же взять, например, a(t) = 1/(1+t2), то можно будет гарантировать лишь
неасимптотическую устойчивость. Более того, методом сравнения может быть показано, что
притяжения к началу координат в этом случае нет.
Таким образом, в работе обобщен метод построения дополнительных функций на не-
автономный случай. С его помощью доказана теорема о возможности построения знакопо-
стоянной функции, обнуляющейся лишь на инвариантном множестве. Показано, что для
автономных, периодических и почти периодических систем такая функция гарантирует
асимптотическую устойчивость множества обращения в нуль. Применение полученных ре-
зультатов рассмотрено на примере неавтономной двумерной системы.
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – Москва; Ленинград: Гостехиздат, 1950. –
472 с.; Ляпунов А.М. Собр. соч. – Москва; Ленинград: Изд-во АН СССР, 1956. – Т. 2. – 476 с.
2. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН СССР. – 1952. –
86, № 3. – С. 453–456.
3. Ковалев А.М. Построение функции Ляпунова со знакоопределенной производной для систем, удовле-
творяющих теореме Барбашина–Красовского // Прикл. математика и механика. – 2008. – 72, вып. 2. –
С. 266–272.
4. Ковалев А.М., Суйков А.С. Функции Ляпунова для систем, удовлетворяющих условиям теоремы
Барбашина–Красовского // Доп. НАН України. – 2008. – № 12. – С. 22–27.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №8
5. Ковалев А.М. Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной функцией со знако-
постоянной производной // Механика твердого тела. – 2009. – Вып. 39. – С. 3–28.
6. Ковалев А.М. Теория неустойчивости: от Ляпунова к Четаеву и до наших дней // Аналитическая
механика, устойчивость и управление: Тр. Х Междунар. Четаевской конф. (Казань, 12–16 июня
2012 г.). – Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2012. – Т. 5. – С. 26–39.
7. Ковалев А.М., Горр Г. В., Неспирный В.Н. Инвариантные соотношения неавтономных систем диф-
ференциальных уравнений // Доп. НАН України. – 2014. – № 2. – С. 13–19.
Поступило в редакцию 23.01.2014Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
Академiк НАН України О.М. Ковальов, В.М. Неспiрний
Метод додаткових функцiй у теорiї стiйкостi неавтономних систем
диференцiальних рiвнянь
Метод додаткових фунцiй в теорiї стiйкостi поширено на неавтономнi системи, що стало
можливим у зв’язку з узагальненням методу iнварiантних спiввiдношень на даний клас
систем. Доведено теорему про часткову асимптотичну стiйкiсть i розглянуто iлюстра-
тивний приклад.
Academician of the NAS of Ukraine A.M. Kovalev, V.N. Nespirnyy
Method of additional functions in stability theory for nonautonomous
systems of differential equations
The method of additional functions in stability theory is expanded to nonautonomous systems. It has
became possible due to a generalization of the method of invariant relations for this class of systems.
The theorem of partial asymptotic stability is proved, and the illustrative example is considered.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №8 27
|