Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом

Запропоновано апроксимацiю статистичних експериментiв з наполегливою нелiнiйною регресiєю i еквiлiбрiумом, марковськими процесами в дискретно-неперервному часi: k = [Nt], 0 ≤ t ≤ T , для яких обгрунтовано дифузiйну апроксимацiю типу Орнштейна–Уленбека з неперервним часом. Предложена аппроксимация с...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Доповіді НАН України
Date:	2014
Main Author:	Королюк, Д.В.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2014
Subjects:	Математика
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88138
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом / Д.В. Королюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 8. — С. 28-34. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88138
record_format	dspace
spelling	Королюк, Д.В. 2015-11-08T16:53:57Z 2015-11-08T16:53:57Z 2014 Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом / Д.В. Королюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 8. — С. 28-34. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88138 519.24 Запропоновано апроксимацiю статистичних експериментiв з наполегливою нелiнiйною регресiєю i еквiлiбрiумом, марковськими процесами в дискретно-неперервному часi: k = [Nt], 0 ≤ t ≤ T , для яких обгрунтовано дифузiйну апроксимацiю типу Орнштейна–Уленбека з неперервним часом. Предложена аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой нелинейной регрессией и эквилибриумом, марковскими процессами в дискретно-непрерывном времени: k = [Nt], 0 ≤ t ≤ T , для которых обоснована диффузионная аппроксимация типа Орнштейна–Уленбека с непрерывным временем. We propose an approximation of statistical experiments with persistent non-linear regression and equilibrium by Markov processes in the discrete-continuous time: k = [Nt], 0 ≤ t ≤ T , for which the diffusion approximation of an Ornstein–Uhlenbeck type process with continuous time is constructed. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Математика Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом Диффузионная аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой нелинейной регрессией и эквилибриумом Diffusion approximation of statistical experiments with persistent non-linear regression and equilibrium Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом
spellingShingle	Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом Королюк, Д.В. Математика
title_short	Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом
title_full	Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом
title_fullStr	Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом
title_full_unstemmed	Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом
title_sort	дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом
author	Королюк, Д.В.
author_facet	Королюк, Д.В.
topic	Математика
topic_facet	Математика
publishDate	2014
language	Ukrainian
container_title	Доповіді НАН України
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
format	Article
title_alt	Диффузионная аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой нелинейной регрессией и эквилибриумом Diffusion approximation of statistical experiments with persistent non-linear regression and equilibrium
description	Запропоновано апроксимацiю статистичних експериментiв з наполегливою нелiнiйною регресiєю i еквiлiбрiумом, марковськими процесами в дискретно-неперервному часi: k = [Nt], 0 ≤ t ≤ T , для яких обгрунтовано дифузiйну апроксимацiю типу Орнштейна–Уленбека з неперервним часом. Предложена аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой нелинейной регрессией и эквилибриумом, марковскими процессами в дискретно-непрерывном времени: k = [Nt], 0 ≤ t ≤ T , для которых обоснована диффузионная аппроксимация типа Орнштейна–Уленбека с непрерывным временем. We propose an approximation of statistical experiments with persistent non-linear regression and equilibrium by Markov processes in the discrete-continuous time: k = [Nt], 0 ≤ t ≤ T , for which the diffusion approximation of an Ornstein–Uhlenbeck type process with continuous time is constructed.
issn	1025-6415
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88138
citation_txt	Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом / Д.В. Королюк // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 8. — С. 28-34. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT korolûkdv difuzíinaaproksimacíâstatističniheksperimentívznapoleglivoûnelíníinoûregresíêûíekvílíbríumom AT korolûkdv diffuzionnaâapproksimaciâstatističeskihéksperimentovsnastoičivoinelineinoiregressieiiékvilibriumom AT korolûkdv diffusionapproximationofstatisticalexperimentswithpersistentnonlinearregressionandequilibrium
first_indexed	2025-11-25T22:42:37Z
last_indexed	2025-11-25T22:42:37Z
_version_	1850572483928784896
fulltext	УДК 519.24 Д.В. Королюк Дифузiйна апроксимацiя статистичних експериментiв з наполегливою нелiнiйною регресiєю i еквiлiбрiумом (Представлено академiком НАН України I.М. Коваленком) Запропоновано апроксимацiю статистичних експериментiв з наполегливою нелiнiйною регресiєю i еквiлiбрiумом, марковськими процесами в дискретно-неперервному часi: k = = [Nt], 0 6 t 6 T , для яких обгрунтовано дифузiйну апроксимацiю типу Орнштейна– Уленбека з неперервним часом. У роботi пропонується математична модель статистичних експериментiв (СЕ) з наполе- гливою нелiнiйною регресiєю i еквiлiбрiумом в дискретно-неперервному часi. Дифузiйна апроксимацiя моделi здiйснюється процесом типу Орнштейна–Уленбека з неперервним ча- сом. Висхiдна модель ланцюга Маркова в дискретно-неперервному часi виникає в результатi масштабування дискретного часу, а також параметрiв статистичних експериментiв. Початковим об’єктом дослiджень є послiдовнiсть бiнарних статистичних експериментiв (вимiрювань) вiдносних частот присутностi або вiдсутностi певної ознаки. А саме, розгля- дається послiдовнiсть (за k) вибiрок {δr(k) = ±1, 1 6 r 6 N} незалежних у сукупностi при кожному k > 0 i однаково розподiлених бiнарних випадкових величин. Вибiрка мiстить сукупнiсть елементарних результатiв присутностi ознаки в системi. Па- раметр r iндексує бiнарний результат ±1 у вибiрцi; параметр k можна iнтерпретувати як порядковий номер експерименту, або дискретний час. Послiдовнiсть (за k) бiнарних СЕ задається сумами вибiркових значень елементарних подiй SN (k) := 1 N N∑ r=1 δr(k), k > 0. (1) Фундаментальну роль вiдiграє умова наполегливої регресiї: умовнi ймовiрностi елемен- тарних подiй P{δr(k + 1) = ±1 \| SN (k) = s} = P±(s), \|s\| 6 1, k > 0, (2) залежать вiд сумарного попереднього значення SN (k) = s. Функцiя наполегливої регресiї (умовне математичне сподiвання СЕ (1)) E[SN (k + 1) \| SN (k) = s] := C(s) (3) не залежить вiд дискретного параметра часу k. Очевидно, що C(s) = P+(s)− P−(s). (4) Враховуючи очевидне спiввiдношення P+(s) + P−(s) = 1, ∀ s ∈ [−1,+1], © Д.В. Королюк, 2014 28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №8 ймовiрностi елементарних подiй виражаються через функцiю регресiї P±(s) = 1 2 [1± C(s)]. (5) Динамiка СЕ (1)–(3) дослiджується в моделi ланцюга Маркова з дискретно-неперервним часом для приростiв СЕ: ∆SN (k) = SN (k + 1)− SN (k). (6) Вiдповiдна функцiя регресiї приростiв E[∆SN (k) \| SN (k) = s] := C0(s) (7) пов’язана з висхiдною функцiєю регресiї (3)–(4) спiввiдношенням C0(s) = C(s)− s. (8) Функцiя наполегливої регресiї приростiв (7) пропонується у виглядi добутка двох спiв- множникiв. Лiнiйний спiвмножник задається флюктуацiєю СЕ (аналогiчно [1, 2]); нелiнiй- ний спiвмножник визначається функцiєю, що набуває нульових значень у граничних точках +1, −1. 1. Основне припущення. Функцiя регресiї приростiв СЕ є кубiчною параболою: C0(s) = −V (1− s2)(s− ρ), \|s\| 6 1, \|ρ\| < 1, (9) яка має три дiйсних кореня ±1 i точку рiвноваги ρ: C(ρ) = ρ, C0(ρ) = 0. (10) Зв’язок мiж функцiями регресiї C0(s), C(s) i точкою рiвноваги ρ представлений графi- ком (рис. 1). Лiнiйний член s− ρ у виразi (9) є флюктуацiєю СЕ, тобто вiдхиленням поточного зна- чення s вiд точки рiвноваги ρ. Зауваження 1. Функцiя регресiї приростiв (9) має таке зображення як функцiя флюк- туацiй: C0(s) = −V σ2(s − ρ) + V (s− ρ)2(s+ ρ), σ2 = 1− ρ2, (11) отже, Ĉ0(ŜN (k)) := C0(SN (k)), (12) де Ĉ0(ŝ) := −V σ2ŝ+ h(ŝ)ŝ2 = −V [σ2 − ŝ(2ρ+ ŝ)]ŝ, h(ŝ) = V (ŝ+ 2ρ), ŝ := s− ρ. (13) 2. Марковськi процеси, що апроксимують СЕ. Наполеглива регресiя (9) породжує рiзницеве стохастичне рiвняння для флюктуацiй ŜN (k) := SN (k) − ρ (див. [1]) ∆ŜN (k + 1) = Ĉ0(ŜN (k)) + µ̂N (k + 1)√ N , k > 0, (14) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №8 29 Рис. 1. C0(s) — кубiчна парабола, C(s) — нахилена кубiчна парабола де Ĉ0(ŝ) визначено у формулi (13), а мартингал-рiзницi µ̂N (k + 1) := √ N [∆ŜN (k + 1)− Ĉ0(ŜN (k))], k > 0, (15) характеризуються умовними першими двома моментами [4, 6] E[µ̂N (k + 1) \| ŜN (k)] = 0, k > 0, E[µ̂2N (k + 1) \| ŜN (k)] = B[ρ+ ŜN (k)], B(s) = 1− C2(s). (16) Рiзницеве стохастичне рiвняння (14) служить основою апроксимацiї СЕ (14) марков- ським процесом у дискретно-неперервному часi k = [Nt], t > 0. Пропозицiя 1. Марковський процес в дискретно-неперервному часi задається рiзни- цевим стохастичним рiвнянням з нелiнiйною передбачуваною частиною ∆ζN (t) = Ĉ0(ζN (t)) N + ∆µN (t)√ N , 0 6 t 6 T, (17) де прирости марковських процесiв у дискретно-неперервному часi визначаються як ∆ζN (t) := ζN ( t+ 1 N ) − ζN (t), (18) а мартингальна компонента в рiвняннi (17) характеризується нульовим середнiм i ста- лою дисперсiєю E[∆µN (t) \| ζN (t)] = 0, E[∆µ2N (t) \| ζN (t)] = σ2 := B(ρ) = 1− ρ2. (19) Зауваження 2. Нормованi СЕ (14) множником √ N ζ̂N (k) := √ NŜN (k) = √ N [SN (k)− ρ] (20) 30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №8 задовольняють рiзницеве стохастичне рiвняння з лiнiйною складовою передбачуваної ком- поненти ∆ζ̂N (k + 1) = −V σ2ŜN (k) + h(ŜN (k))Ŝ2 N (k)/ √ N + µ̂N (k + 1), k > 0. (21) Рiзницеве стохастичне рiвняння (21) служить основою апроксимацiї СЕ (21) марковським процесом у дискретно-неперервному часi. Пропозицiя 2. Марковський процес у дискретно-неперервному часi задається рiзни- цевим стохастичним рiвнянням з лiнiйною передбачуваною частиною ∆ζ0N (t) = −V σ 2ζ0N (t)) N + ∆µN (t)√ N , 0 6 t 6 T. (22) Зауваження 3. Зрозумiло мотивацiю побудови рiзницевих стохастичних рiвнянь (22). Нелiнiйна складова передбачуваної компоненти знехтується, бо прямує до нуля при N →∞. Мартингальна компонента залишається зi сталою дисперсiєю (19) з нормуючим множником 1/ √ N [3]. 3. Дифузiйна апроксимацiя СЕ в дискретно-неперервному часi. Марковськi процеси в дискретно-неперервному часi, що задаються рiзницевими стохастичнмим рiв- няннями (17) та (22), допускають дифузiйну апроксимацiю процесом типу Орнштейна– Уленбека в неперервному часi. Теорема 1. За умови збiжностi за ймовiрнiстю початкових значень марковських процесiв (17) та (22) ζN (0) P−→ ζ0, ζ0N (0) P−→ ζ0, N →∞, (23) має мiсце збiжнiсть скiнченновимiрних розподiлiв процесiв ζN (t) D−→ ζ(t), ζ0N (t) D−→ ζ0(t), N →∞, (24) до граничних процесiв Орнштейна–Уленбека, що задаються генераторами Lϕ(s) = Ĉ0(s)ϕ ′(s) + 1 2 σ2ϕ′′(s), L0ϕ(s) = −V σ2sϕ′(s) + 1 2 σ2ϕ′′(s) (25) на класi фiнiтних числових функцiй ϕ(s) ∈ C3(R) (R := (−∞,+∞)), тричi неперервно диференцiйованих з обмеженими похiдними. Зауваження 4. Дифузiйний процес, що виражається генератором L (25), є процесом ти- пу Орнштейна–Уленбека, який задається розв’язком стохастичного диференцiального рiв- няння dζ(t) = Ĉ0(ζ(t))dt+ σdW (t), (26) в якому W (t), t > 0, є стандартним процесом броунiвського руху з характеристиками EW (t) = 0, EW 2(t) = t. (27) Доведення теореми 1. Збiжнiсть в (24) процесу ζN (t) до граничного процесу, що задається генератором L, проводиться аналогiчно випадку лiнiйної наполегливої регресiї, ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №8 31 яка дослiджена в [1]. Доведення збiжностi в (24) процесу ζN (t) базується на застосуван- нi збiжностi генераторiв марковського процесу на достатньо широкому класi тест-функцiй з аргументом в областi значень марковського процесу. Це забезпечує збiжнiсть скiнченно- вимiрних розподiлiв марковських процесiв [4, 5]. Введемо генератор марковського процесу в схемi серiй LNϕ(s) = NE[ϕ(s +∆ζN (t))− ϕ(s) \| ζN (t) = s]. (28) Лема 1. Нехай має мiсце збiжнiсть генераторiв (28) lim N→∞ LNϕ(s) = Lϕ(s), ϕ(s) ∈ C3(R), (29) на класi C3(R) числових фiнiтних функцiй, тричi неперервно диференцiйованих з обме- женими похiдними. Тодi граничний генератор Lϕ(s) = Ĉ0(s)ϕ ′(s) + 1 2 σ2ϕ′′(s), σ2 = 1− ρ2, (30) задає граничний процес типу Орнштейна–Уленбека (26). Доведення леми 1. Для приростiв марковського процесу нормованих флюктуацiй ζN (t), t > 0, обчислимо першi два моменти. Враховуючи (22), маємо E[∆ζN (t) \| ζN (t) = s] = Ĉ0(s) N , (31) E[(∆ζN (t))2 \| ζN (t) = s] = σ2 N +O ( 1 N2 ) . (32) Тут, як i ранiше (див. (19)), σ2 = B(ρ) = 1− C2(ρ) = 1− ρ2. (33) Тепер застосуємо формулу Тейлора у виразi (28) генератора LN до тест-функцiї ϕ(s) ∈ ∈ C3(R): LNϕ(s) = N [ E[∆ζN (t) \| ζN (t) = s]ϕ′(s) + + E[(∆ζN (t))2 \| ζN (t) = s] 1 2 ϕ′′(s) +RNϕ(s) ] . (34) Тут залишковий член, завдяки обмеженостi компонентiв рiвняння (17), за умовою тео- реми 1, має оцiнку RNϕ(s) = O ( 1 N3/2 ) . Використовуючи вирази (31), (32) перших двох моментiв приростiв, маємо LNϕ(s) = Lϕ(s) +RNφ(s), (35) 32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №8 де залишковий член RNϕ(s)→ 0, N →∞, ϕ(s) ∈ C3(R). (36) Твердження леми 1 випливає з (35), (36). За теоремою 1 А. В. Скорохода [4; 2 : 1] випливає збiжнiсть (24) скiнченновимiрних розподiлiв нормованих флюктуацiй СЕ. Теорему 1 доведено. Враховуючи апроксимацiю СЕ нормальним процесом авторегресiї, сформульовану в [7, пропозицiя 4.1], доцiльно ввести конструктивну модель СЕ в дискретно-неперервному часi. Пропозицiя 3. Марковський процес у дискретно-неперервному часi, що апроксимує СЕ з нелiнiйною регресiєю приростiв (9), може бути заданий нормальним процесом ав- торегресiї ∆ζ̃0N (t) = Ĉ0(ζ̃0N (t)) N + σ∆WN (t). (37) Тут за означенням прирости вiнерiвського процесу ∆WN (t) := W ( t+ 1 N ) −W (t) мають другий момент E[∆WN (t)]2 = 1 N . Для конструктивної моделi апроксимацiї СЕ марковським процесом (37) має мiсце ана- лог теореми 1. Таким чином, за умови збiжностi за ймовiрнiстю початкових значень ζ̃0N (0) P−→ ζ̃0, N →∞, (38) має мiсце збiжнiсть за розподiлом скiнченновимiрних розподiлiв процесу нормальної авто- регресiї (37) ζ̃0N (t) D−→ ζ̃0(t), N →∞, (39) до дифузiйного процесу ζ̃0(t), t > 0, що визначається генератором (див. (25)) Lϕ(s) = Ĉ0(s)ϕ ′(s) + 1 2 σ2ϕ′′(s) (40) на класi фiнiтних числових функцiй ϕ(s) ∈ C3(R) (R := (−∞,+∞)), тричi неперервно диференцiйованих з обмеженими похiдними. 1. Королюк Д.В. Диффузионная аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой линей- ной регрессией и эквилибриумом // Доп. НАН України. – 2014. – № 3. – С. 18–24. 2. Королюк Д.В. Бинарные повторяющиеся статистические эксперименты с настойчивой линейной ре- грессией // Укр. мат. вестн. – 2013. – 10, № 4. – С. 497–506. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №8 33 3. Ethier S.N., Kurtz T.G. Markov processes: characterization and convergence. – New York: Wiley, 1986. – 534 p. 4. Скороход А. В. Асимптотические методы теории стохастических дифференциальных уравнений. – Киев: Наук. думка, 1987. – 328 с. 5. Koroliuk V. S., Limnios N. Stochastic systems in merging phase. – Singapore; London: Space, World Scien- tific, 2005. – 331 p. 6. Гихман И.И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. – Киев: Наук. думка, 1982. – 611 с. 7. Королюк Д.В. Бiнарнi статистичнi експерименти з наполегливою нелiнiйною регресiєю // Теорiя ймовiрностей i матем. статистика. – 2014. – № 91. Надiйшло до редакцiї 20.02.2014Iнститут телекомунiкацiй i глобального iнформацiйного простору НАН України, Київ Д.В. Королюк Диффузионная аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой нелинейной регрессией и эквилибриумом Предложена аппроксимация статистических экспериментов с настойчивой нелинейной регрессией и эквилибриумом, марковскими процессами в дискретно-непрерывном времени: k = [Nt], 0 6 t 6 T , для которых обоснована диффузионная аппроксимация типа Орнштей- на–Уленбека с непрерывным временем. D.V. Koroliouk Diffusion approximation of statistical experiments with persistent non-linear regression and equilibrium We propose an approximation of statistical experiments with persistent non-linear regression and equilibrium by Markov processes in the discrete-continuous time: k = [Nt], 0 6 t 6 T , for which the diffusion approximation of an Ornstein–Uhlenbeck type process with continuous time is constructed. 34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №8

Дифузійна апроксимація статистичних експериментів з наполегливою нелінійною регресією і еквілібріумом

Institution

Similar Items