Метод обобщенного обратного оператора в задаче оптимального управления линейными многосвязными статическими объектами
В рамках метода обобщенного обратного оператора получено формальное решение задач оптимального управления в дискретном времени линейными многосвязными статическими объектами с произвольной передаточной матрицей при наличии неизмеряемых возмущений (помех). Установлены асимптотические свойства постр...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88143 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Метод обобщенного обратного оператора в задаче оптимального управления линейными многосвязными статическими объектами / В.И. Скурихин, В.И. Гриценко, Л.С. Житецкий, К.Ю. Соловчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 8. — С. 57-66. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859848364279988224 |
|---|---|
| author | Скурихин, В.И. Гриценко, В.И. Житецкий, Л.С. Соловчук, К.Ю. |
| author_facet | Скурихин, В.И. Гриценко, В.И. Житецкий, Л.С. Соловчук, К.Ю. |
| citation_txt | Метод обобщенного обратного оператора в задаче оптимального управления линейными многосвязными статическими объектами / В.И. Скурихин, В.И. Гриценко, Л.С. Житецкий, К.Ю. Соловчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 8. — С. 57-66. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | В рамках метода обобщенного обратного оператора получено формальное решение задач
оптимального управления в дискретном времени линейными многосвязными статическими объектами с произвольной передаточной матрицей при наличии неизмеряемых
возмущений (помех). Установлены асимптотические свойства построенных систем управления.
У рамках методу узагальненого оберненого оператора отримано формальний розв’язок задач оптимального управлiння в дискретному часi лiнiйними багатозв’язними статичними
об’єктами з довiльною передатною матрицею при наявностi невимiрюваних збурень (завад). Встановлено асимптотичнi властивостi побудованих систем управлiння.
In a framework of the generalized inverse operator method, the optimal control problems for the
discrete-time linear interconnected plants with arbitrary transfer matrices in the presence of unmea-
surable disturbances (noises) are formally solved. The asymptotic properties of the control systems
to be designed are established.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:39:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 681.5
Академик НАН Украины В.И. Скурихин, В.И. Гриценко,
Л.С. Житецкий, К. Ю. Соловчук
Метод обобщенного обратного оператора в задаче
оптимального управления линейными многосвязными
статическими объектами
В рамках метода обобщенного обратного оператора получено формальное решение задач
оптимального управления в дискретном времени линейными многосвязными статичес-
кими объектами с произвольной передаточной матрицей при наличии неизмеряемых
возмущений (помех). Установлены асимптотические свойства построенных систем
управления.
Эффективным методом управления установившимися режимами многосвязных систем с не-
вырожденной передаточной матрицей объекта представляется метод обратного операто-
ра, впервые предложенный отечественными исследователями в работах [1, 2]. Независимо
и позже к этому методу пришли и за рубежом [3, гл. 8]. Дальнейшее существенное развитие
он получил в работе [4] при решении определенных оптимизационных задач управления
и был обобщен в [5, 6]. Последние результаты, относящиеся к данному направлению иссле-
дований, можно найти в работе [7]. Идейную его основу составляет так называемая теория
обратных задач динамики [7–9].
Предложенный в работах [1, 2] подход на эвристическом уровне был распространен
в [5, гл. 6, п. 2] на класс многосвязных систем управления с прямоугольной передаточной
матрицей объекта при использовании приема псевдообращения (обобщенного обращения)
этой матрицы. Обоснование подобного приема проведено в работе [8]. Между тем результа-
тов, касающихся таких свойств, как устойчивость, диссипативность и оптимальность этих
систем, ни в этой работе, ни в других найти не удалось.
Недавно в [10] в рамках метода псевдообратного оператора впервые получено нефор-
мальное решение задачи управления линейными многосвязными статическими объектами,
передаточные матрицы которых или плохо обусловлены, или даже вырождены, для иде-
ального случая, когда возмущения (помехи) отсутствуют. Настоящая работа дает теорети-
ческое обоснование этого метода, который формально приводит к решению определенных
задач оптимального управления такими объектами в условиях ограниченных возмущений,
рассматриваемых в работах [11–13], при произвольной передаточной матрице объекта (эти
задачи были сформулированы более трех десятилетий назад в [11, п. 3.2.5◦, замеч. 2], но
до сих пор оставались нерешенными).
Постановка задачи.Рассматривается линейный многосвязный статический объект,
описываемый в дискретном времени n = 0, 1, 2, . . . уравнением
yn = Bun + vn, (1)
где yn = [y(1)n , . . . , y(m)
n ]T — m-мерный вектор выходных переменных, доступных для изме-
рения в каждый n-й дискретный момент времени; un = [u(1)n , . . . , u(r)n ]T — r-мерный вектор
© В. И. Скурихин, В.И. Гриценко, Л.С. Житецкий, К.Ю. Соловчук, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №8 57
Рис. 1. Иллюстрация предположения (4) для двух возможных случаев:
а — Ω ⊂ [−ε(1), ε(1)]× . . .× [−ε(m), ε(m)]; б — Ω = [−ε(1), ε(1)]× · · · × [−ε(m), ε(m)]
управляющих воздействий; vn = [v(1)n , . . . , v(m)
n ]T — m-мерный вектор аддитивных помех;
B — числовая m × r-матрица, имеющая смысл так называемой передаточной матрицы
объекта (1) от входа u к выходу y [11, определение 3.1.7] (T — символ транспонирования).
Предполагается, что размерность вектора un не превышает размерности вектора yn:
r 6 m. (2)
Далее вводится предположение, что B — произвольная ненулевая матрица с рангом
rankB 6 r. (3)
Условие (3) по существу означает, что при m = r вполне допускается вырожденность этой
матрицы в форме detB = 0, где detP обозначает определитель квадратной матрицы P .
Следуя [11–13], будем полагать, что последовательность {v(i)n } := v
(i)
0 , v(i)1 , . . . каждой i-й
компоненты вектора помех ограничена по уровню, т. е.
|v(i)n | 6 ε(i) <∞, i = 1, . . . ,m.
В рамках этого предположения можно вообразить, что
vn ∈ Ω ⊆ [−ε(1), ε(1)]× · · · × [−ε(m), ε(m)] ∀n = 0, 1, 2, . . . (diamΩ <∞). (4)
Здесь Ω — ограниченное множество, которое без умаления общности удобно считать, как и
в [11, п. 3.2.1◦], замкнутым симметричным множеством (рис. 1). При таком предположении
оценка сверху евклидовой нормы вектора ‖vn‖2 := +
√
(v
(1)
n )2 + · · ·+ (v
(m)
n )2 определяется
как
sup
n∈N+
‖vn‖2 6
1
2
diamΩ, (5)
где N+ := {0, 1, 2, . . .} обозначает множество целых неотрицательных чисел.
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №8
Замечание 1. В обозначениях, принятых в современной теории управления [13], пред-
положение (4) удобно записать следующим образом: {vn} ∈ ℓ∞ × · · · × ℓ∞︸ ︷︷ ︸
m
, где ℓ∞ — про-
странство всех ограниченных последовательностей скалярных величин xn ∈ R1 с ℓ∞-нормой
‖x‖∞ := sup
n∈N+
|xn| <∞ (здесь и далее Rl обозначает l-мерное евклидово пространство).
Пусть y0n = [y0(1)n , . . . , y0(m)
n ]T — m-мерный вектор желаемых значений y0(1), . . . , y0(m)
выходных переменных в n-й момент времени. Считается, что |y0(1)n | + · · · + |y0(m)
n | 6≡ 0.
Без умаления общности вводится далее предположение, что последовательность {y0(i)n }:=
:= y
0(i)
0 , y
0(i)
1 , y
0(i)
2 , . . . каждой i-й компоненты вектора y0n представляет собой ограниченную
последовательность
{y0(i)} ∈ ℓ∞, (6)
при этом |∇y0(i)n+1| 6 hi < ∞ ∀n ∈ N+, где ∇y0(i)n+1 := y
0(i)
n+1 − y0(i)n .
Подобно тому, как это делается в работах [11, 13], качество управления объектом (1)
будем оценивать или показателем
J = sup
{vn} : vn∈Ω
‖en‖2, (7)
являющимся в каждый n-й момент времени точной верхней гранью евклидовой нормы
‖en‖2 текущего вектора ошибок (невязок)
en = y0n − yn, (8)
или асимптотическими показателями
J = lim
n→∞
‖en‖2, (9)
J = sup
{vn} : vn∈Ω
lim
n→∞
‖en‖2. (10)
Как и в работе [14], определим стратегию управления в форме стационарной итераци-
онной процедуры
un+1 = un + χ(en), (11)
обобщающей рассматриваемую в [11] стандартную процедуру минимизации функционала
(7) на случай возможного нелинейного преобразования вектора en ∈ Rm, где χ : Rm → Rr —
некоторый причинный оператор.
Задача теперь состоит в том, чтобы найти оператор χ, минимизирующий значение функ-
ционалов (7), (9), (10) на всех возможных ограниченных последовательностях векторов
un ∈ Rr, формируемых по закону (11), в условиях (6):
J → J∗ := inf
{un}∈ℓ∞×···×ℓ∞
J. (12)
Оптимальное управление объектом с квадратной невырожденной передаточ-
ной матрицей. Пусть в условиях (2), (3) матрица B такова, что r = m и detB 6= 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №8 59
Оказывается, что при таком предположении минимизация любого из функционалов (7),
(9), (10) формально приводит к одному и тому же линейному отображению χ(en) = B−1en,
определяемому обратной матрицей B−1. В результате закон оптимального управления (11)
объектом (1) получается в виде
un+1 = un +B−1en. (13)
В точных формулировках этот факт устанавливает следующая теорема.
Теорема 1. Пусть r = m и detB 6= 0 дополнительно к предположениям (4), (6). Тогда:
1) замкнутая система управления (1), (8), (13) будет диссипативна (предельно огра-
ничена) по состоянию (un, yn), причем
sup
n∈N+
‖un‖2 6 ‖B−1‖2
(
sup
n∈N+
‖y0n−1‖2 +
1
2
diamΩ
)
<∞, (14)
где ‖P‖2 обозначает евклидову норму произвольной матрицы P ;
2) оптимальное управление определяется линейной обратной связью (13), при которой
для любого из функционалов (7), (9), (10) достигается цель (12);
3) на оптимальном управлении справедлива оценка сверху
J = J∗
6 diamΩ + (h21 + · · ·+ h2m)1/2.
Доказательство. Докажем сначала справедливость положения 1 теоремы. Для этого,
подставляя в (13) выражение (8) и учитывая (1), запишем
un = B−1(y0n−1 − vn−1).
Отсюда в силу известных свойств норм матриц и векторов с учетом ограничения (5) не-
медленно вытекает оценка (14).
На основании (1) имеем ‖yn‖2 6 ‖B‖2‖un‖2+‖vn‖2, откуда с учетом свойства {un} ∈ ℓ∞,
вытекающего из (14), доказывается справедливость положения 1 теоремы 1.
Доказательство положений 2 и 3 базируется на прямом применении результатов, со-
держащихся в [11, теорема 3.2.1], к объекту первого порядка y′n = y′n−1 + Bu′n + v′n − ∇y0n,
эквивалентного (1). В этом уравнении y′n = yn−y0n, u′n = un−un−1, v
′
n = vn−vn−1 — эквива-
лентные векторы выходных переменных, управляющих воздействий и ограниченных помех
соответственно, а ∇y0n = [∇y0(1)n , . . . ,∇y0(m)
n ]T — дополнительный вектор, компоненты ко-
торого обладают свойством |∇y0(i)n+1| 6 hi < ∞ ∀n ∈ N+.
Установлением справедливости положений 2 и 3 завершается доказательство теоремы 1.
Оптимальное управление при произвольной передаточной матрице объекта.
Рассмотрим теперь случай, когда B — прямоугольная или квадратная, но вырожденная
матрица, т. е. r < m или r = m, но detB = 0. В этом случае законом управления (13),
реализующим по существу метод обратного оператора, воспользоваться уже нельзя. Ин-
туитивно представляется, что теперь вместо обратной матрицы B−1, фигурирующей в (13),
следует брать обобщенную обратную (псевдообратную) матрицу B+, которая, согласно [15,
теорема 3.4], формально определяется как
B+ = lim
δ→0
(BTB + δ2I)−1BT, (15)
60 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №8
где I — единичная матрица. Тогда закон управления приобретает вид
un+1 = un +B+en. (16)
Оказалось, что управление по закону (16) гарантирует устойчивость и диссипативность
замкнутой системы управления. Более того, управление по этому закону при определен-
ных условиях обеспечивает решение оптимизационной задачи (12). Установлению этих за-
мечательных, но далеко не очевидных фактов (свойство {un} ∈ ℓ∞ пока еще не доказано)
предшествует один промежуточный результат, представляющий самостоятельный интерес.
Теорема 2. Если предположение (4) выполнено, то в условиях r < m или r = m, но
detB = 0 при y0(i)n = y0(i) ≡ const для всех i = 1, . . . ,m и любом управлении вида (11) для
функционала (7) справедлива оценка снизу
J > +
√
‖Qeen−1‖22 + (diamΩ)2, (17)
в которой Qe := Im − BB+, где Im обозначает единичную m ×m-матрицу.
Доказательство. Для доказательства этой теоремы понадобятся две леммы.
Лемма 1. Пусть v′, v′′ — произвольные векторы, независимо пробегающие множество
Ω. В условиях предположения (4) вектор ∇v := v′ − v′′ будет пробегать множество Ω′ =
= 2Ω, которое является симметричным, причем
sup
v′,v′′∈Ω
‖v′ − v′′‖ = diamΩ. (18)
Доказательство.По определению векторов v′, v′′ ∈ Ω, и множества Ω′ ∋ ∇v можно
записать Ω′ = Ω ⊕ (−Ω), где символ ⊕ означает известную в теории множеств сумму по
Минковскому. Но в силу симметрии Ω имеем Ω = −Ω. Поэтому Ω′ = 2Ω — симметричное
множество.
Справедливость оценки (18) вытекает прямо из цепочки соотношений
sup
∇v∈Ω′
‖∇v‖2 := sup
v′,v′′∈Ω
‖v′ − v′′‖2 = sup
v′∈Ω
‖v′‖2 + sup
v′′∈Ω
‖v′′‖2 = diamΩ,
записанных с учетом независимости v′ от v′′ и того факта, что Ω, Ω′ — симметричные
множества. Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Для любого вектора ẽ ∈ Rm и любого другого вектора ∇v из Ω′ = 2Ω, не
зависящего от ẽ,
sup
∇v∈Ω′
‖ẽ+∇v‖2 > +
√
‖ẽ‖22 + (diamΩ)2.
Лемма 2 представляет собой некоторую модификацию леммы 3.Д.1, сформулированной
и доказанной в [11]; она существенно использует свойство ограниченности и симметричности
множества Ω′, установленное в лемме 1.
Чтобы убедиться в справедливости оценки (17), на основании (1), (8) и (11) при y0n =
= y0 = [y0(1)n , . . . , y0(m)
n ]T запишем
en = [en−1 −Bχ(en−1)]︸ ︷︷ ︸
ẽn−1
+(−∇vn), (19)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №8 61
где ∇vn := vn − vn−1. Учитывая, что ẽn−1 = en−1 − Bχ(en−1) не зависит от ∇vn, согласно
(19), по лемме 2 и определению инфимума inf ‖ẽn−1‖2 находим
sup
∇v∈Ω′
‖en−1‖2 > +
√
‖en−1 −Bχ(en−1)‖22 + (diamΩ)2 >
> +
√
inf
χ : en−1→∇un
‖en−1 −Bχ(en−1)‖22 + (diamΩ)2. (20)
Согласно же [15, теорема 3.4], можно заключить, что этот инфимум всегда достигае-
тся при χ(en−1) = B+en−1. С учетом (20) и того, что sup
∇v∈Ω′
‖en‖2 = sup
{vn} : ∇vn∈Ω′
‖en‖2, по
определению матрицы Qe и функционала (7) немедленно следует (17).
Теорема доказана.
Теорема 2 по существу определяет предельные возможности всех допустимых управле-
ний вида (11).
Установлению основного результата, который формулируется далее в теореме 3, пред-
посылается такое утверждение.
Лемма 3. Пусть y0n = y0 ≡ const, а vn ≡ [0, . . . , 0]T := 0m, где 0m обозначает нуль-век-
тор. Определим состояние равновесия замкнутой системы (1), (8), (16) парой (ue, ye), где
вектор ue должен удовлетворять уравнению
B+(y0 −Bue) = 0, (21)
а ye = Bue. В условиях r < m или r = m, но detB = 0, это состояние существует, причем
ue = Quu0 +B+y0. (22)
В этом выражении Qu := Ir − B+B, где Ir — единичная r × r-матрица.
Доказательство. Справедливость леммы 3 немедленно устанавливается прямой под-
становкой (22) в условие (21) с последующим использованием известных условий Пенроуза
B+BB+ = B+, BB+B = B [15, теорема 3.9].
На основании (22) можно заключить, что при vn ≡ 0m положение равновесия является
неединственным, т. е. множества {ue} и {ye} неодноточечные.
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1 с заменой предположения r = m и
detB 6= 0 на r < m или r = m, но detB = 0. Тогда:
1) замкнутая система управления (1), (8), (16) диссипативна по состоянию (un, yn),
причем
sup
n∈N+
‖un‖2 6 ‖Qu‖2‖u0‖2 + ‖B+‖2
(
sup
n∈N+
‖y0n−1‖2 +
1
2
diamΩ
)
<∞; (23)
2) при y0(i)n = y0(i) ≡ const (i = 1, . . . ,m) управление по закону (16) дает
+
√
‖Qeen−1‖22 + (diamΩ)2 6 J 6 ‖Qe‖2‖en−1‖2 + diamΩ (24)
для показателя качества (7);
3) если y0(i)n ≡ const (i = 1, . . . ,m), то задача оптимизации управления имеет решение
при а) vn ≡ 0m(diamΩ = 0) и б) vn /∈ Rm \ Ω, где множество принадлежности Ω вектора
62 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №8
vn представляет собой шар Ω = {v : ‖v‖2 6 ε} в Rm, причем на оптимальном управлении,
которое имеет вид (16), справедлива оценка
J = J∗
6 ‖Qe‖2‖e0‖2 + (1 + ‖Qe‖2) diamΩ. (25)
Доказательство. Используя условия Пенроуза, а также выражение (21), которые фи-
гурируют в лемме 1, согласно (1), (8), (16) получаем уравнение системы в отклонениях от
положения равновесия ue в форме
un − ue = Qu(u0 − ue)−B+vn−1. (26)
Подстановка (22) в уравнение (26) с учетом (5) и (6) немедленно приводит к оценке
(23), означающей, что {un} ∈ ℓ∞ × · · · × ℓ∞︸ ︷︷ ︸
r
. На основании уравнения (1) заключаем, что
{yn} ∈ ℓ∞ × · · · × ℓ∞︸ ︷︷ ︸
m
, поскольку {vn} ∈ ℓ∞ × · · · × ℓ∞︸ ︷︷ ︸
m
. А это доказывает справедливость
положения 1 теоремы.
Докажем теперь положение 2 этой теоремы. Используя результат, содержащийся в тео-
реме 2, сразу же убеждаемся в справедливости первого неравенства, которое фигурирует
в соотношениях (24).
Полагая далее χ(en−1) = B+en−1, в силу известного из линейной алгебры свойства
‖P1 + P2‖ 6 ‖P1‖ + ‖P2‖ норм произвольных матриц P1, P2 на основании (19) получаем
следующую оценку сверху функционала J вида (7):
J 6 ‖Qe‖2‖en−1‖2 + diamΩ. (27)
Объединение неравенств (17) и (27) приводит к (24). Тем самым устанавливается спра-
ведливость положения 2 теоремы.
Для доказательства положения 3 этой теоремы начнем со случая а, когда уравнение
(19) дает en = en−1 − Bχ(en−1). Поскольку в этом случае Ω = {0m}, то функционал вида
(7) будет определятся как
J = ‖en−1 −Bχ(en−1)‖2. (28)
Согласно [15, теорема 3.4], сразу же заключаем, что если vn ≡ 0m, то управление по
закону (16) решает задачу оптимизации системы по функционалу (28): при χ(en) = B+en
по определению инфимума J∗, фигурирующего в (12), имеем J = J∗.
Рассмотрим теперь случай б, когда ‖vn‖2 6 ε. В этом случае из леммы 1 вытекает, что
∇vn ∈ Ω′, где Ω′ = {∇v : ‖∇vn‖2 6 diamΩ} — шар в Rm. Отсюда в силу (19) и определения
(7) справедливо равенство
J = ‖en−1 −Bχ(en−1)‖2 + sup
∇vn∈Ω′
‖∇vn‖2, (29)
поскольку при любом en−1 всегда найдется вектор ∇v из Ω′ такого же направления, как
и вектор ẽn−1 = en−1 − Bχ(en−1). По определению функционала J∗, согласно (29), можно
записать
J∗ = inf
χ : en−1→∇un
‖en−1 −Bχ(en−1)‖2 + sup
∇vn∈Ω′
‖∇vn‖2. (30)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №8 63
Рис. 2. Геометрическая интерпретация свойства (24) для двух возможных случаев:
а — Ω = [−2ε(1), 2ε(1)]× · · · × [−2ε(m), 2ε(m)]; б — Ω′ = {v′ : ‖v′‖2 6 2ε}
Поскольку же inf
χ : en−1→∇un
‖en−1−Bχ(en−1)‖2 достигается при χ(en) = B+en, то на осно-
вании (30) с учетом определения матрицы Qe := Im−BB+ заключаем, что в случае б закон
управления (16) решает оптимизационную задачу (12).
Для завершения доказательства остается только установить справедливость оценки (25).
С этой целью рассмотрим уравнение
en = Qeen−1 −∇vn, (31)
вытекающее из (19) при выполнении (16). Поскольку Qe — идемпотентная матрица [15,
п. 3.7.6], то на основании (31) можно записать en = Qee0 − Qe∇vn−1,0 − ∇vn∇vn−1,0 :=
:= vn−1 − v0. Отсюда с учетом определений функционалов J , J∗ и свойства (18) приходим
к оценке (25). Теорема доказана.
Установленное в теореме 3 свойство (24) наглядно иллюстрирует рис. 2, на котором
R1
n−1 = ‖Qeen−1‖2, R2
n = +
√
(R1
n−1)
2 + (diamΩ)2, R3
n = R1
n−1 + diamΩ.
Замечание 2. В случае, когда B — матрица полного ранга, выражение (23) несколь-
ко упрощается: ‖Qu‖2 = 0. Справедливость этого утверждения следует из установленного
факта, что B+B = Ir при rankB = r.
Замечание 3. Можно показать, что если y0(i)n = y0(i) ≡ const (i = 1, . . . ,m), а y0 ∈
∈ Re(B), где Re(B) — множество образов матрицы B [15, с. 18], то J 6 diamΩ, как и
в случае, когда r = m и detB 6= 0 при hi ≡ 0 для всех i = 1, . . . ,m.
Полученные выше результаты приводят к построению общей системы управления ли-
нейным многосвязным статическим объектом, показанной на рис. 3. В самом деле, при лю-
бой матрице B существует ее обобщенная обратная матрица B+ вида (15) [15, теорема 3.4];
при этом B+ = B−1 в условиях, когда r = m, detB 6= 0 (см. [15, п. 3.5.1]).
Для реализации закона управления (16) в схеме рис. 3 требуется обобщенная обратная
модель, описываемая уравнением ∇un = B+en−1, и дискретный интегратор, осуществляю-
щий операцию un = ∆u1 + · · · + ∆un накопления суммы.
Проведенные исследования показали, что метод обобщенного обратного оператора
позволяет решить задачи оптимизации систем управления многосвязными статическими
объектами (1) не только с квадратными невырожденными передаточными матрицами при
64 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №8
Рис. 3. Структурная схема системы управления по методу обобщенного обратного оператора
ограниченных возмущениях, но и с квадратными вырожденными и прямоугольными пе-
редаточными матрицами при отсутствии возмущений или в случае, когда множество при-
надлежности вектора возмущений представляет собой шар. Тем самым частично удается
снять введенное в [11, п. 3.2.3◦] ограничение на класс таких объектов.
1. Жук К.Д., Пятенко Т. Г., Скурихин В.И. Вопросы синтеза управляющих моделей в многосвязных
автоматических системах // Тр. семинара “Методы математического моделирования и теория элект-
рических цепей”. – 1964. – С. 3–17.
2. Пухов Г. Е., Жук К.Д. Синтез многосвязных систем управления по методу обратных операторов. –
Киев: Наук. думка, 1966. – 218 с.
3. Ли Т.Г., Адамс Г. Э., Гейнз У.М. Управление процессами с помощью вычислительных машин. Мо-
делирование и оптимизация. – Москва: Сов. радио, 1972. – 312 с.
4. Катковник В.А. Градиентные законы управления в задачах стабилизации многомерных систем
управления // Теория и методы построения систем многосвязного регулирования. – Москва: Нау-
ка, 1973. – С. 84–93.
5. Пухов Г. Е., Хатиашвили Ц.С. Модели технологических процессов – Киев: Техника, 1974. – 224 с.
6. Скурихин В.И., Житецкий Л.С., Проценко Н.М. Итеративно-табличные автоматы. – Киев: Наук.
думка, 1977. – 165 с.
7. Lyubchyk L.M. Disturbance rejection in linear discrete multivariable systems: inverse model approach //
Preprints 18th IFAC World Congress (Milano, Italy, Aug. 28 – Sept. 2, 2011). – Milano, 2011. – P. 7921–
7926.
8. Lovass-Nagy V., Miller J. R., Powers L.D. On the application of matrix generalized inversion to the
construction of inverse systems // Int. J. of Control. – 1976. – 24, No 5. – P. 733–739.
9. Петров Б.Н., Крутько П.Д., Попов Е.П. Построение алгоритмов управления как обратная задача
динамики // Докл. АН СССР. – 1979. – 247, № 5. – С. 1078–1081.
10. Скурихин В.И., Житецкий Л.С., Соловчук К.Ю. Управление многосвязными объектами с выро-
жденными и плохо обусловленными передаточными матрицами на основе метода псевдообратного
оператора // Управляющие системы и машины. – 2013. – № 3. – С. 14–29.
11. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. –
Москва: Наука, 1981. – 448 с.
12. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные результаты в задачах
управления и идентификации. – Киев: Наук. думка, 2006. – 264 с.
13. Житецкий Л.С., Скурихин В.И. Адаптивные системы управления с параметрическими и непара-
метрическими неопределенностями. – Киев: Наук. думка, 2010. – 301 с.
14. Бунич А.Л. О некоторых нестандартных задачах синтеза дискретных систем // Автоматика и теле-
механика. – 2000. – № 6. – С. 114–123.
15. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. – Москва: Наука, 1977. – 224 с.
Поступило в редакцию 04.04.2014Международный научно-учебный центр
информационных технологий и систем
НАН Украины и МОН Украины, Киев
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №8 65
Академiк НАН України В. I. Скурiхiн, В. I. Гриценко, Л.С. Житецький,
К.Ю. Соловчук
Метод узагальненого оберненого оператора в задачi оптимального
управлiння лiнiйними багатозв’язними статичними об’єктами
У рамках методу узагальненого оберненого оператора отримано формальний розв’язок за-
дач оптимального управлiння в дискретному часi лiнiйними багатозв’язними статичними
об’єктами з довiльною передатною матрицею при наявностi невимiрюваних збурень (за-
вад). Встановлено асимптотичнi властивостi побудованих систем управлiння.
Academician of the NAS of Ukraine V. I. Skurikhin, V. I. Gritsenko,
L. S. Zhiteckii, K.Yu. Solovchuk
Generalized inverse operator method in the problem of the optimal
controlling of linear interconnected static plants
In a framework of the generalized inverse operator method, the optimal control problems for the
discrete-time linear interconnected plants with arbitrary transfer matrices in the presence of unmea-
surable disturbances (noises) are formally solved. The asymptotic properties of the control systems
to be designed are established.
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №8
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88143 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:39:48Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Скурихин, В.И. Гриценко, В.И. Житецкий, Л.С. Соловчук, К.Ю. 2015-11-08T16:55:21Z 2015-11-08T16:55:21Z 2014 Метод обобщенного обратного оператора в задаче оптимального управления линейными многосвязными статическими объектами / В.И. Скурихин, В.И. Гриценко, Л.С. Житецкий, К.Ю. Соловчук // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 8. — С. 57-66. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88143 681.5 В рамках метода обобщенного обратного оператора получено формальное решение задач оптимального управления в дискретном времени линейными многосвязными статическими объектами с произвольной передаточной матрицей при наличии неизмеряемых возмущений (помех). Установлены асимптотические свойства построенных систем управления. У рамках методу узагальненого оберненого оператора отримано формальний розв’язок задач оптимального управлiння в дискретному часi лiнiйними багатозв’язними статичними об’єктами з довiльною передатною матрицею при наявностi невимiрюваних збурень (завад). Встановлено асимптотичнi властивостi побудованих систем управлiння. In a framework of the generalized inverse operator method, the optimal control problems for the discrete-time linear interconnected plants with arbitrary transfer matrices in the presence of unmea- surable disturbances (noises) are formally solved. The asymptotic properties of the control systems to be designed are established. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Метод обобщенного обратного оператора в задаче оптимального управления линейными многосвязными статическими объектами Метод узагальненого оберненого оператора в задачi оптимального управлiння лiнiйними багатозв’язними статичними об’єктами Generalized inverse operator method in the problem of the optimal controlling of linear interconnected static plants Article published earlier |
| spellingShingle | Метод обобщенного обратного оператора в задаче оптимального управления линейными многосвязными статическими объектами Скурихин, В.И. Гриценко, В.И. Житецкий, Л.С. Соловчук, К.Ю. Інформатика та кібернетика |
| title | Метод обобщенного обратного оператора в задаче оптимального управления линейными многосвязными статическими объектами |
| title_alt | Метод узагальненого оберненого оператора в задачi оптимального управлiння лiнiйними багатозв’язними статичними об’єктами Generalized inverse operator method in the problem of the optimal controlling of linear interconnected static plants |
| title_full | Метод обобщенного обратного оператора в задаче оптимального управления линейными многосвязными статическими объектами |
| title_fullStr | Метод обобщенного обратного оператора в задаче оптимального управления линейными многосвязными статическими объектами |
| title_full_unstemmed | Метод обобщенного обратного оператора в задаче оптимального управления линейными многосвязными статическими объектами |
| title_short | Метод обобщенного обратного оператора в задаче оптимального управления линейными многосвязными статическими объектами |
| title_sort | метод обобщенного обратного оператора в задаче оптимального управления линейными многосвязными статическими объектами |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88143 |
| work_keys_str_mv | AT skurihinvi metodobobŝennogoobratnogooperatoravzadačeoptimalʹnogoupravleniâlineinymimnogosvâznymistatičeskimiobʺektami AT gricenkovi metodobobŝennogoobratnogooperatoravzadačeoptimalʹnogoupravleniâlineinymimnogosvâznymistatičeskimiobʺektami AT žiteckiils metodobobŝennogoobratnogooperatoravzadačeoptimalʹnogoupravleniâlineinymimnogosvâznymistatičeskimiobʺektami AT solovčukkû metodobobŝennogoobratnogooperatoravzadačeoptimalʹnogoupravleniâlineinymimnogosvâznymistatičeskimiobʺektami AT skurihinvi metoduzagalʹnenogoobernenogooperatoravzadačioptimalʹnogoupravlinnâliniinimibagatozvâznimistatičnimiobêktami AT gricenkovi metoduzagalʹnenogoobernenogooperatoravzadačioptimalʹnogoupravlinnâliniinimibagatozvâznimistatičnimiobêktami AT žiteckiils metoduzagalʹnenogoobernenogooperatoravzadačioptimalʹnogoupravlinnâliniinimibagatozvâznimistatičnimiobêktami AT solovčukkû metoduzagalʹnenogoobernenogooperatoravzadačioptimalʹnogoupravlinnâliniinimibagatozvâznimistatičnimiobêktami AT skurihinvi generalizedinverseoperatormethodintheproblemoftheoptimalcontrollingoflinearinterconnectedstaticplants AT gricenkovi generalizedinverseoperatormethodintheproblemoftheoptimalcontrollingoflinearinterconnectedstaticplants AT žiteckiils generalizedinverseoperatormethodintheproblemoftheoptimalcontrollingoflinearinterconnectedstaticplants AT solovčukkû generalizedinverseoperatormethodintheproblemoftheoptimalcontrollingoflinearinterconnectedstaticplants |