Численное моделирование нестационарного течения в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури на неструктурной расчетной сетке

Численное моделирование нестационарного течения в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури на неструктурной расчетной сетке

В работе предложена методика численного моделирования нестационарного осесимметричного течения в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури. Уравнения математической модели течения включают полные уравнения Навье – Стокса, учет кавитации осуществляется на основе использования баротропного...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2011
Hauptverfasser: Болотова, Н.В., Кваша, Ю.А.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут технічної механіки НАН України і НКА України 2011
Schriftenreihe:Техническая механика
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88209
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Численное моделирование нестационарного течения в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури на неструктурной расчетной сетке / Н.В. Болотова, Ю.А. Кваша // Техническая механика. — 2011. — № 3. — С. 61-67. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88209
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-882092025-02-09T20:56:34Z Численное моделирование нестационарного течения в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури на неструктурной расчетной сетке Болотова, Н.В. Кваша, Ю.А. В работе предложена методика численного моделирования нестационарного осесимметричного течения в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури. Уравнения математической модели течения включают полные уравнения Навье – Стокса, учет кавитации осуществляется на основе использования баротропного уравнения состояния парожидкостной смеси. Расчеты проводятся на неструктурной расчетной сетке с треугольными элементами. Приведен пример применения указанной методики для расчета кавитационных автоколебаний в гидравлической системе “кавитирующая трубка Вентури – выходной трубопровод”, генерируемых оседлой каверной в трубке Вентури. Результаты расчета сопоставлены с имеющимися теоретическими результатами и экспериментальными данными У роботі запропоновано методику чисельного моделювання нестаціонарної осесиметричної течії в гідравлічній системі з кавітуючою трубкою Вентурі. Рівняння математичної моделі течії включають повні рівняння Нав’є–Стокса, урахування кавітації здійснюється на основі використання баротропного рівняння стану парорідинної суміші. Розрахунки проводяться на неструктурній розрахунковій сітці з трикутними елементами. Наведено приклад застосування указаної методики для розрахунку кавітаційних автоколивань у гідравлічній системі “кавітуюча трубка Вентурі – вихідний трубопровід”, що генеруються осілою каверною в трубці Вентурі. Результати розрахунку зіставлені з наявними теоретичними результатами й експериментальними даними The technique of a numerical simulation of unsteady axisymmetrical flow in a hydraulic system with the cavitating Venturi tube is proposed. Mathematical model equations include the Navier-Stokes equations, and the cavitaion is considered from a barotropic equation of the vapor-liquid mixture state. Calculations are carried out using an unstructured grid with triangular elements. The example of this technique for the calculation of cavitation self-excited oscillations in the hydraulic system of the cavitating Venturi tube and outlet pipe generated by the sheet cavity in the Venturi tube is presented. Calculated results are compared with the available theoretical results and the experimental data. 2011 Article Численное моделирование нестационарного течения в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури на неструктурной расчетной сетке / Н.В. Болотова, Ю.А. Кваша // Техническая механика. — 2011. — № 3. — С. 61-67. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1561-9184 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88209 532.528:518.12 ru Техническая механика application/pdf Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description В работе предложена методика численного моделирования нестационарного осесимметричного течения в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури. Уравнения математической модели течения включают полные уравнения Навье – Стокса, учет кавитации осуществляется на основе использования баротропного уравнения состояния парожидкостной смеси. Расчеты проводятся на неструктурной расчетной сетке с треугольными элементами. Приведен пример применения указанной методики для расчета кавитационных автоколебаний в гидравлической системе “кавитирующая трубка Вентури – выходной трубопровод”, генерируемых оседлой каверной в трубке Вентури. Результаты расчета сопоставлены с имеющимися теоретическими результатами и экспериментальными данными
format Article
author Болотова, Н.В.
Кваша, Ю.А.
spellingShingle Болотова, Н.В.
Кваша, Ю.А.
Численное моделирование нестационарного течения в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури на неструктурной расчетной сетке
Техническая механика
author_facet Болотова, Н.В.
Кваша, Ю.А.
author_sort Болотова, Н.В.
title Численное моделирование нестационарного течения в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури на неструктурной расчетной сетке
title_short Численное моделирование нестационарного течения в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури на неструктурной расчетной сетке
title_full Численное моделирование нестационарного течения в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури на неструктурной расчетной сетке
title_fullStr Численное моделирование нестационарного течения в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури на неструктурной расчетной сетке
title_full_unstemmed Численное моделирование нестационарного течения в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури на неструктурной расчетной сетке
title_sort численное моделирование нестационарного течения в гидравлической системе с кавитирующей трубкой вентури на неструктурной расчетной сетке
publisher Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
publishDate 2011
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88209
citation_txt Численное моделирование нестационарного течения в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури на неструктурной расчетной сетке / Н.В. Болотова, Ю.А. Кваша // Техническая механика. — 2011. — № 3. — С. 61-67. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series Техническая механика
work_keys_str_mv AT bolotovanv čislennoemodelirovanienestacionarnogotečeniâvgidravličeskoisistemeskavitiruûŝeitrubkoiventurinanestrukturnoirasčetnoisetke
AT kvašaûa čislennoemodelirovanienestacionarnogotečeniâvgidravličeskoisistemeskavitiruûŝeitrubkoiventurinanestrukturnoirasčetnoisetke
first_indexed 2025-11-30T17:27:01Z
last_indexed 2025-11-30T17:27:01Z
_version_ 1850237124220026880
fulltext УДК 532.528:518.12 Н.В. БОЛОТОВА, Ю.А. КВАША ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ В ГИДРАВЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ С КАВИТИРУЮЩЕЙ ТРУБКОЙ ВЕНТУРИ НА НЕСТРУКТУРНОЙ РАСЧЕТНОЙ СЕТКЕ В работе предложена методика численного моделирования нестационарного осесимметричного те- чения в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури. Уравнения математической модели течения включают полные уравнения Навье – Стокса, учет кавитации осуществляется на основе использо- вания баротропного уравнения состояния парожидкостной смеси. Расчеты проводятся на неструктурной расчетной сетке с треугольными элементами. Приведен пример применения указанной методики для рас- чета кавитационных автоколебаний в гидравлической системе “кавитирующая трубка Вентури – выходной трубопровод”, генерируемых оседлой каверной в трубке Вентури. Результаты расчета сопоставлены с имеющимися теоретическими результатами и экспериментальными данными У роботі запропоновано методику чисельного моделювання нестаціонарної осесиметричної течії в гідравлічній системі з кавітуючою трубкою Вентурі. Рівняння математичної моделі течії включають повні рівняння Нав’є–Стокса, урахування кавітації здійснюється на основі використання баротропного рівняння стану парорідинної суміші. Розрахунки проводяться на неструктурній розрахунковій сітці з трикутними елементами. Наведено приклад застосування указаної методики для розрахунку кавітаційних автоколивань у гідравлічній системі “кавітуюча трубка Вентурі – вихідний трубопровід”, що генеруються осілою кавер- ною в трубці Вентурі. Результати розрахунку зіставлені з наявними теоретичними результатами й експе- риментальними даними The technique of a numerical simulation of unsteady axisymmetrical flow in a hydraulic system with the cavitating Venturi tube is proposed. Mathematical model equations include the Navier-Stokes equations, and the cavitaion is considered from a barotropic equation of the vapor-liquid mixture state. Calculations are carried out using an unstructured grid with triangular elements. The example of this technique for the calculation of cavitation self-excited oscillations in the hydraulic system of the cavitating Venturi tube and outlet pipe generated by the sheet cavity in the Venturi tube is presented. Calculated results are compared with the available theoretical results and the experimental data. Трубка Вентури, включающая сужающуюся часть (конфузор), узкую горловину и расширяющуюся часть (диффузор), применяется в различных устройствах для измерения и стабилизации расхода жидкости, в установках, работа которых основана на использовании принципиально новых техноло- гий диспергирования суспензий и эмульгирования трудносмешиваемых жид- костей. Вместе с тем, трубка Вентури является классическим устройством для изучения явления кавитации и влияния на него различных факторов. Сложность картины течения в кавитирующей трубке Вентури обусловле- на наличием границ раздела пара и жидкости, областей возвратно- циркуляционного течения, проявлением нестационарного характера потока в широком диапазоне изменения параметров, определяющих режим течения [1]. Наиболее полный учет указанных особенностей течения может быть осуществлен только на основе численного интегрирования полных уравнений Навье – Стокса и использования апробированной модели кавитации. В на- стоящее время применяются два основных подхода к учету кавитации при численном моделировании кавитационных течений. Согласно первому из них, учет кавитации осуществляется на основе использования баротропного уравнения состояния парожидкостной смеси [2 – 4]. При использовании вто- рого подхода в месте предполагаемого образования каверны в жидкость ис- кусственно вводятся многочисленные пузырьки, заполненные паром, которые сносятся вниз по потоку и размеры которых изменяются в соответствии с уравнением Рэлея [5]. Более простым и эффективным представляется первый подход, так как он позволяет вычислять параметры кавитационного течения в 61  Н.В. Болотова, Ю.А. Кваша, 2011 Техн. механика. – 2011. – № 3. процессе сквозного счета во всей расчетной области без применения каких- либо дополнительных соотношений. При численном моделировании кавитационного течения в трубке Венту- ри в работах [3, 4] использовались координатные расчетные сетки. Примене- ние таких сеток затруднено тем обстоятельством, что граница расчетной об- ласти имеет значительные изломы, особенно в месте расположения конфузо- ра трубки Вентури. В связи с этим при расчете кавитационного течения в трубке Вентури более предпочтительным представляется использование не- структурных расчетных сеток. При разработке соответствующей методики численного моделирования на неструктурных сетках может быть применен подход, изложенный в [6]. Целью данной работы является разработка методики и проведение чис- ленного моделирования нестационарного течения в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури на неструктурной расчетной сетке. Рассматривается нестационарное турбулентное течение жидкости в гид- равлической системе “кавитирующая трубка Вентури – выходной трубопро- вод” при постоянных значениях полного давления на входе в систему и ста- тического давления на выходе из нее. Течение считается осесимметричным, коэффициент турбулентной вязкости  полагается постоянным во всей рас- четной области. Для описания течения используется система полных уравнений Навье – Стокса сжимаемой жидкости [7, 8], представленных в интегральной форме. 0 2     L n S dLvrdS t p a r , (1)       L z L z L zn S z rdLnvgraddLnrpdLvvrdS t v r      L z dLnrvdiv  3 , (2)     dSpdLnrpdLvvrdS t v r SL r L rn S r           SL r S r L r dSvdivdLnrvdivdS r v rdLnvgrad  33 , (3) где r , – цилиндрические координаты; – площадь, ограниченная замкну- тым контуром в плоскости ; z S L rz  – плотность жидкости; p – давление; – скорость звука в жидкости; , – радиальная и осевая составляющие вектора скорости жидкости a rv zv v  (окружная составляющая скорости v  полага- ется равной нулю); , – компоненты вектора внешней нормали rn zn n  к эле- менту контура dL ; nvvn   . Моделирование кавитации осуществляется на основе баротропного урав- нения состояния парожидкостной смеси. На рис. 1 показан вид функции  p , которая зависит от четырех параметров: › – плотности жидкости; – плотности пара; диапазона давлений C  2p,1p , в котором существует 62 смесь пара и жидкости. Введение диапазона  21 pp , необходимо для обеспече- ния устойчивости численного метода решения дискретных аналогов уравнений движения и неразрывности рассматриваемой среды. В указанном диапазоне скорость звука в парожидкостной смеси определяется соотношению по dpda 1 . При скорость звука в среде полагается равной ско- рости звука в жидкости, а пр 2p 2pp  и p  – скорости звука в паре. В работах [2, 4] функция  p в диапазоне  2 была принята линейной (позиция 1 на рис. 1). При этом скорость звука в среде изменялась скачком при исчезновении или появ- лении паровой фазы, что являлось достаточно грубым упрощением. В связи с этим в данной работе, как и в работе [3], используется “сглаженная” зависи- мость . В настоящей работе предложено описывать эту зависимость в диапазоне  синусоидой (позиция 2 на рис.1). Такой вид функции 1 pp ,  p  p21 pp , позволяет качественно и отчасти количественно согласовать зависимость скорости звука в парожидкостной смеси от плотности смеси с имеющимися теоретическими моделями и экспериментальными данными. Граничные условия задачи формулируются следующим образом. В сече- нии, расположенном на входе в горловину трубки Вентури, фиксируется полное давление. Величина скорости жидкости во входном сечении опреде- ляется с использованием разности полного и статического давления в данном сечении. Граничные условия на твердых поверхностях ставятся с использова- нием метода пристеночных функций, изложенного в работе [9], где приведе- ны соотношения для вязкого подслоя, буферного слоя и логарифмического слоя. Эти соотношения применяются для расчета силы трения на твердых поверхностях. В сечении, расположенном на выходе из трубопровода, задает- ся постоянная величина статического давления. Численное интегрирование уравнений (1) – (3) выполняется с использо- ванием неструктурной расчетной сетки с треугольными элементами, которая может быть построена на основе методики [10]. Принято, что значения дав- ления хранятся в узлах сетки, а компоненты скорости жидкости и – в центрах тяжести треугольников. Положение точек, в которых хранятся ком- поненты скорости и давление, соответствует “шахматной сетке” [11]. rv zv Дискретные аналоги исходных уравнений (1) – (3) получены на основе метода контрольного объема [11]. Под контрольным объемом в случае осе- симметричного течения жидкости подразумевается фигура, образованная по- воротом некоторого выделенного (замкнутого) контура, расположенного в плоскости , вокруг оси на угол, равный 1 радиану. Форма указанного кон- тура – треугольник при расчете компонентов скорости жидкости и более сложная фигура при расчете давления [6]. rz Дискретный аналог уравнения неразрывности (1) имеет вид:    zi                N i zi ri ri i N i ii pp n dt dv n dt dv af rS a dt dp 11 2 , (4) 63 где – число отрезков прямых, образующих выделенный контур; – площадь, ограниченная контуром; – радиус центра тяжести фигуры, обра- зованной контуром; N pS pr   iiiii rlnvf   ; – длина отрезка; индексом обозначе- ны значения величин на i-м отрезке. il i Дополнительный член в правой части выражения (4), где может зада- ваться в диапазоне от 0,1 до 1, введен для подавления нефизических осцилля- ций давления, возникающих при расчете течения жидкости [6].  Дискретные аналоги уравнений движения (2), (3) получены с учетом про- тивопоточной аппроксимации конвективных членов и представлены в виде:     bFFFFSr dt d i nbiiiiiv           3 1 2 1 2 1 , (5) где – значения величин или в центре тяжести выделенного контура (треугольника); – площадь треугольника;  rv zv vS nbi – значение в -м со- седнем треугольнике;  i   ii ln iii rvF i   ; – длина стороны треугольника; il     vdiv     1 3 11 iiziiiizii rlnrlnpb    3 3 i    3 i zii vrl    in     i grad при расчете ; zv   vdiv     1 3 11 iiriiiirii rlnrlnpb   3 3 i rii vrl  in   i   3 i grad      rv  pv  div 3  v r v S r  i при расчете ; индексом обозначены значения ве- личин на i-й стороне треугольника, индексом  – в центре тяжести треугольника. Система уравнений (4) и (5) – дискретных аналогов исходных уравнений неразрывности и движения жидкости (1) – (3) – представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно составляющих скорости и давления во всех точках, где они рассчитываются. Для интегриро- вания этой системы по времени используется метод Рунге – Кутта 4-го по- рядка точности. На основе предлагаемой методики выполнено численное моделирование нестационарного течения жидкости в гидравлической системе “кавитирую- щая трубка Вентури – выходной трубопровод”. Значения геометрических па- раметров трубки Вентури, в соответствии с [1], были следующими: угол рас- крытия диффузора  = 10°20´; диаметр критического сечения – 0,014 м; от- ношение диаметра на выходе из диффузора к диаметру критического сечения трубки Вентури – 4. Длина выходного трубопровода принята равной 0,2 м. Расчеты выполнены при постоянном значении полного давления на входе в расчетную область, равном 1 МПа, и статическом давлении на выходе из тру- бопровода 0,3 МПа. При указанных значениях геометрических и режимных параметров в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури, со- гласно данным работы [1], возникают кавитационные автоколебания. При проведении расчетов были приняты следующие значения парамет- ров уравнения состояния парожидкостной смеси  p (рис. 1): = 0 МПа; = 0,1 МПа; = 0,01 1p 2p C › . Коэффициент турбулентной вязкости  , как и в работе [4], полагался равным 100 l , где l – коэффициент молекулярной вязкости. Расчеты выполнены на неструктурной расчетной сетке, содержа- 64 щей 2620 узлов и 4714 треугольных элементов. Фрагмент расчетной сетки в диффузоре трубки Вентури показан на рис. 2. Численное моделирование не- стационарного течения в иссле- дуемой гидравлической системе проводилось путем интегрирова- ния по времени с шагом 2·10-8 с. Порядок расчета был следующим. Сначала рассчитывались парамет- ры потока в предположении отсут- ствия кавитации, которые служили начальными условиями при последующем расчете с учетом Рис. 2 кавитации. В процессе интегрирования по времени давление на входе в диффузор трубки Вентури установилось на уровне 0,1 МПа, соответствующем задан- ному значению параметра в уравнении состояния парожидкостной смеси (рис. 1). Исходя из этого принято, что при сопоставлении результатов численного моделирования по предлагаемой методике с имеющимися теоре- тическими и экспериментальными результатами “давление в каверне” следу- ет полагать равным . 2p  p 2p Рис. 3 На рис. 3 показаны изолинии плотности парожидкостной смеси в расчет- ной области (жидкость движется слева направо). В процессе интегрирования по времени положение изолиний плотности изменялось незначительно. Сущест- венной особенностью расчетной картины течения является образование скачка значений плотности парожидкостной смеси в диффузорной части трубки Вен- тури, что может быть отождествлено с картиной течения в конце кавитацион- ного образования. Положение скачка плотности достаточно точно соответству- ет месту замыкания кавитационной каверны на поверхности проточной части диффузора, определенному по теоретической зависимости работы [1]. Расчетная зависимость изменения расхода  tG на выходе из трубопро- вода от времени приведена на рис. 4,а. Амплитудный спектр зависимости представлен на рис.4,б. Видно, что в функции  tG  tG выделяются две пе- риодические компоненты, соответствующие частотам колебаний и . На рис. 5,а показано изменение во времени давления 1f 2f  tp на стенке трубопрово- да (вблизи выхода из диффузора), а на рис. 5,б – амплитудный спектр функ- ции . В функции  tp  tp 1f также присутствует периодическая компонента, соответствующая частоте , а периодическая компонента, соответствующая частоте , выражена слабо. 2f 65 Рис. 4 Рис. 5 66 Определенное в результате численного моделирования значение f1 = 22,1 Гц согласуется с экспериментальным значением частоты кавитационных автоколебаний f1экс 22,6 Гц, генерируемых оседлой кавитационной кавер- ной в трубке Вентури при указанных выше геометрических и режимных па- раметрах рассматриваемой гидравлической системы [1]. При сопоставлении расчетной и экспериментальной частоты автоколебаний учтено отличие ве- личин инерционного сопротивления выходного трубопровода в расчете и в эксперименте. Для выяснения причин возникновения колебаний с частотой необходимы дальнейшие исследования. В связи с этим интересно отме- тить, что значение = 73,3 Гц сопоставимо с теоретическим значением 64,2 Гц, определенным путем формального использования соотношения ра- боты [1], предназначенного для расчета частоты кавитационных колебаний на режиме периодически-срывной кавитации в трубке Вентури c углом раскры- тия диффузора >15°.  2f 2f Выводы. 1. На основе полных уравнений Навье – Стокса и баротропного уравнения состояния парожидкостной смеси разработана методика численного моделиро- вания нестационарного осесимметричного течения в гидравлической системе с кавитирующей трубкой Вентури на неструктурных расчетных сетках. 2. На основе указанной методики расчетным путем воспроизведен режим кавитационных автоколебаний в гидравлической системе “кавитирующая трубка Вентури – выходной трубопровод”. Получено качественное и количе- ственное согласование параметров кавитационных автоколебаний с имею- щимися теоретическими результатами и экспериментальными данными. 3. В дальнейшем предполагается применение разработанной методики для численного моделирования кавитационных колебаний, генерируемых периодически-срывной кавитацией в трубке Вентури, и возможное использо- вание полученных результатов для разработки кавитационно-импульсных установок различного назначения. 1. Пилипенко В. В. Кавитационные автоколебания / В. В. Пилипенко. – Киев : Наук. думка, 1989. – 316 с. 2. Кваша Ю. А. Численное моделирование кавитационного обтекания решетки пластин вязкой жидкостью / Ю. А. Кваша // Динамика гидромеханических систем летательных аппаратов. – Киев : Наук. думка, 1992. – С. 99 – 104. 3. Reboud J.-L. Two-Phase Flow Structure of Cavitation: Experiment and Modelling of Unsteady Effects / J.- L. Reboud, B. Stutz, O. Coutier // Proc. Third Int. Symp. on Cavitation. – Grenoble (France), 1998. – Vol.1. – P. 203 – 208. 4. Кваша Ю. А. Численное моделирование нестационарного осесимметричного кавитационного течения в сужающе-расширяющихся каналах местных гидравлических сопротивлений / Ю. А. Кваша, Н. В. Болотова // Техническая механика. – 2004. – № 1. – С. 96 – 101. 5. Ahuja V. Simulations of Cavitation in Orifice and Venturis / V. Ahuja , A. Hosangadi // Proc. ASME PVP 2007 / CREEP 8-11 Conf. – Hyatt Regency San Antonio, Texas (USA), 2007. – 9 p. 6. Пилипенко О. В. Расчет двумерных течений вязкой жидкости на неструктурных сетках / О. В. Пилипенко, Ю. А. Кваша, Н. В. Болотова // Техническая механика. – 2007. – № 2. – С. 3 – 7. 7. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. – Москва : Наука, 1978. – 736 с. 8. Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика / Г. Н. Абрамович. – Москва : Наука, 1976. – 888 с. 9. Белов И. А. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости / И. А. Белов, С. А. Исаев, В. А. Коробков.– Л. : Судостроение, 1989. – 256 с. 10. Болотова Н. В. Построение неструктурных расчетных сеток с треугольными элементами в плоских многосвязных областях / Н. В. Болотова // Техническая механика. – 2006. – № 1. – С. 115 – 118. 11. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости : пер. с англ. / С. Патанкар. – Москва : Энергоиздат, 1984. – 152 с. Институт технической механики Получено 11.07.11, НАН Украины и НКА Украины, в окончательном варианте 11.07.11 Днепропетровск 67

Ähnliche Einträge