О моделировании седиментации гиперболическим уравнением и его вырождение
Представлена обобщенная модель седиментации, учитывающая эволюцию наносов на донной поверхности с конечной скоростью. Исследуется сингулярное вырождение обобщенного гиперболического уравнения в традиционное уравнение в классе обобщенных решений....
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Series: | Доповіді НАН України |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88237 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О моделировании седиментации гиперболическим уравнением и его вырождение / Ю.Г. Кривонос, И.Т. Селезов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 9. — С. 40-43. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88237 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-882372025-02-23T19:55:27Z О моделировании седиментации гиперболическим уравнением и его вырождение Про моделювання седиментацiї гiперболiчним рiвнянням та його виродження On the sedimentation modeling by a hyperbolic equation and its degeneration Кривонос, Ю.Г. Селезов, И.Т. Інформатика та кібернетика Представлена обобщенная модель седиментации, учитывающая эволюцию наносов на донной поверхности с конечной скоростью. Исследуется сингулярное вырождение обобщенного гиперболического уравнения в традиционное уравнение в классе обобщенных решений. Наведено узагальнену модель седиментацiї, яка враховує еволюцiю наносiв на доннiй поверхнi з кiнцевою швидкiстю. Дослiджується сингулярне виродження узагальненого гiперболiчного рiвняння в традицiйне рiвняння в класi узагальнених розв’язкiв. A generalized model of sedimentation, which considers the evolution of sediments on the bottom surface with a finite velocity is presented. We investigate a singular degeneration of the generalized hyperbolic equation to the traditional equation in the class of generalized solutions. 2014 Article О моделировании седиментации гиперболическим уравнением и его вырождение / Ю.Г. Кривонос, И.Т. Селезов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 9. — С. 40-43. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88237 517.946 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика |
| spellingShingle |
Інформатика та кібернетика Інформатика та кібернетика Кривонос, Ю.Г. Селезов, И.Т. О моделировании седиментации гиперболическим уравнением и его вырождение Доповіді НАН України |
| description |
Представлена обобщенная модель седиментации, учитывающая эволюцию наносов на
донной поверхности с конечной скоростью. Исследуется сингулярное вырождение обобщенного гиперболического уравнения в традиционное уравнение в классе обобщенных решений. |
| format |
Article |
| author |
Кривонос, Ю.Г. Селезов, И.Т. |
| author_facet |
Кривонос, Ю.Г. Селезов, И.Т. |
| author_sort |
Кривонос, Ю.Г. |
| title |
О моделировании седиментации гиперболическим уравнением и его вырождение |
| title_short |
О моделировании седиментации гиперболическим уравнением и его вырождение |
| title_full |
О моделировании седиментации гиперболическим уравнением и его вырождение |
| title_fullStr |
О моделировании седиментации гиперболическим уравнением и его вырождение |
| title_full_unstemmed |
О моделировании седиментации гиперболическим уравнением и его вырождение |
| title_sort |
о моделировании седиментации гиперболическим уравнением и его вырождение |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Інформатика та кібернетика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88237 |
| citation_txt |
О моделировании седиментации гиперболическим уравнением и его вырождение / Ю.Г. Кривонос, И.Т. Селезов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 9. — С. 40-43. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT krivonosûg omodelirovaniisedimentaciigiperboličeskimuravneniemiegovyroždenie AT selezovit omodelirovaniisedimentaciigiperboličeskimuravneniemiegovyroždenie AT krivonosûg promodelûvannâsedimentaciígiperboličnimrivnânnâmtajogovirodžennâ AT selezovit promodelûvannâsedimentaciígiperboličnimrivnânnâmtajogovirodžennâ AT krivonosûg onthesedimentationmodelingbyahyperbolicequationanditsdegeneration AT selezovit onthesedimentationmodelingbyahyperbolicequationanditsdegeneration |
| first_indexed |
2025-11-24T21:11:25Z |
| last_indexed |
2025-11-24T21:11:25Z |
| _version_ |
1849707657330425856 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
9 • 2014
IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА
УДК 517.946
Академик НАН Украины Ю.Г. Кривонос, И.Т. Селезов
О моделировании седиментации гиперболическим
уравнением и его вырождение
Представлена обобщенная модель седиментации, учитывающая эволюцию наносов на
донной поверхности с конечной скоростью. Исследуется сингулярное вырождение обоб-
щенного гиперболического уравнения в традиционное уравнение в классе обобщенных ре-
шений.
Построение гиперболических моделей, описывающих распространение возмущений с ко-
нечной скоростью, ведет свое начало от Максвелла (1861–1864), создавшего теорию эле-
ктромагнетизма, а затем обобщившего кинетическую теорию газа, постулируя более общее
транспортное уравнение (1967) [1]. С математической точки зрения это — расширение па-
раболического оператора до гиперболического.
В дальнейшем на этой основе были построены обобщенные модели распространения
тепла, диффузии, термоупругих возмущений и др., которые были и остаются предметом
многочисленных исследований [2]. В последнее время построена обобщенная гиперболиче-
ская модель феррогидродинамики [3].
Гиперболическая модель, предсказывающая конечную скорость эволюции седимента-
ции, в отличие от традиционной модели параболического типа, предложена в [4]. Реальный
процесс седиментации происходит с конечной скоростью, что подтверждается и натурными
наблюдениями: скорость переноса энергии и транспорта наносов в прибрежной зоне есть
конечная величина [5]. Гиперболические уравнения применялись при намывании канала [6]
и для деградации канала [7].
Представляет большой интерес сопоставление возможностей “параболических” и “гипер-
болических” моделей динамики наносов в прибрежной зоне, их математического соответ-
ствия и физического содержания.
В данной работе представлена гиперболическая модель седиментации и исследуется по-
строение обобщенных решений при ее сингулярном вырождении в традиционное уравнение
параболического типа транспорта наносов. Построение обобщенных решений для задач,
описываемых гиперболическими и параболическими уравнениями, рассмотрено в [8–10].
Обобщенные решения в пространстве Соболева W l
p(Ω) для задачи эластодинамики иссле-
довались в [11].
© Ю. Г. Кривонос, И.Т. Селезов, 2014
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №9
Изучается волновое движение невязкой несжимаемой жидкости переменной глубины
в прямоугольной декартовой системе координат (x, y, z). Плоскость z = 0 совпадает с не-
возмущенной свободной поверхностью, а ось Oz направлена вверх.
Рассматриваем возмущенное состояние, когда донная поверхность деформируется под
влиянием поверхностных гравитационных волн. Это характеризуется глубиной жидкости
z = −H(x, y, t). (1)
Математическая задача формулируется следующим образом: определить глубину жид-
кости H(x, z, t) и вектор потока энергии ~Q = ~Q(x, z, t) в области Ω = Σ × T , где Σ ⊂ R3,
T = {t |∈ [0, t1]}, как решения уравнений (2) и (3), которые удовлетворяют соответствую-
щим граничным и начальным условиям. Одно уравнение выражает закон сохранения
∂H
∂t
+ ~∇ · ~Q = 0. (2)
Транспортное уравнение для замыкания системы, в отличие от предыдущих исследова-
ний, постулировано в обобщенной форме [4]
L~Q = − ~MH, (3)
где скалярный оператор L характеризует изменение потока во времени
L ≡ γ0 + γ1∂t + γ3∂ttt + · · ·+ γ2n+1 ∂tt...t
(2n+1) раз
(4)
с коэффициентами γ0, γ1, γ3, . . ., а векторный оператор ~M представлен оператором гра-
диентного типа
~M ≡ ~k0 + k1~∇+ k3~∇∇2 + · · ·+ k2n+1
~∇∇2n (5)
с коэффициентами ~k0, k1, k3, . . ..
В соответствии с концепцией гиперболичности [12] сохранение операторов до опреде-
ленного порядка порождает ряд обобщенных гиперболических моделей. В данном случае,
когда все члены в (4) равны нулю, кроме γ1, т. е. γ0 = 0, γ1 6= 0, γ3 = 0, . . ., γ2n+1 = 0, и все
члены в (5) равны нулю, кроме k1, т. е. ~k0 = 0, k1 6= 0, k3 = 0, . . . , k2n+1 = 0 (n = 1, 2, . . .),
получаем известную параболическую модель эволюции наносов.
Для случая n = 1 из соотношений (4), (5) следует простейшая гиперболическая модель
в виде уравнения
∇2H − 1
c21
∂2H
∂t2
− 1
k1
∂H
∂t
= 0, (6)
где c1 — скорость распространения возмущения, которая определяется как c1 =
√
k1/η; η —
параметр релаксации; k1 — коэффициент кинематической вязкости.
В классическом случае, когда параметр релаксации η стремится к нулю, уравнение (6)
вырождается в (7) и для величины H(x, y, t) получаем уравнение параболического типа
∇2H − 1
k1
∂H
∂t
= 0, (7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №9 41
которое удовлетворяет закону сохранения и применяется во всех традиционных исследова-
ниях [13]. В дальнейшем рассмотрим случай фронтального подхода волн (плоская задача).
Постановка начально-краевой задачи для уравнения (6) имеет вид
εHtt +Ht = k1Hxx, (8)
H|t=0 = u0(x), Ht|t=0 = H1(x), H|x=0 = H|x=1 = 0, (9)
где ε — малый параметр, ε = η.
Исследуем сингулярное вырождение задачи (8), (9) при ε → 0. Назовем обобщенным
решением задачи (8), (9) функцию H из W 11
20 (QT ), удовлетворяющую интегральному тож-
деству
−ε
T∫
0
(Ht,Φt)Ωdt+ k1
T∫
0
(Hx,Φx)Ωdt+
T∫
0
(Ht,Φ)Ωdt+ ε
T∫
0
(H1(x),Φ(0))Ωdt = 0,
∀Φ ∈W 1,1
2 (QT ), Φ(T ) = 0, (H,Φ)Ω =
∫
Ω
HΦdx,
(10)
где Ω = (0, 1), QT = [0, T ]Ω.
Для обобщенного решения задачи (8), (9) справедлива теорема: если H1(x) ∈ L2(Ω),
u0(x) ∈
0
W 1
2 (Ω), то для задачи (8), (9) существует, и притом единственное, обобщенное
решение. Доказательство разрешимости приведено в [10].
Переходя в (8) к пределу при ε → 0, можно получить тождество, которое является
решением задачи
Ht = k1Hxx,
H|t=0 = u0(x), H|x=0 = Hx=1 = 0.
(11)
Таким образом, приходим к следующей теореме: обобщенное решение задачи (8), (9)
переходит при ε → 0 в обобщенное решение задачи (7).
1. Maxwell J. C. On the dynamical theory of gases // Phil. Trans. Roy. Soc. – 1867. – 157. – P. 49–88.
2. Vabishchevich P. N. Splitting schemes for hyperbolic heat conduction equation // BIT Number Math. –
2013. – 53, No 3. – P. 755–778.
3. Selezov I. T., Kryvonos Yu.G. Modeling the effect of magnetic field on wave propagation in ferrofluids and
elastic bodies with void fraction // Cybernetics and Systems Analysis. – 2013. – 49, No 4. – P. 569–577.
4. Selezov I. T. Wave hydraulic models as mathematical approximations // Proc. 22th Congress, Int. Associ-
ation for Hydraulic Research (IAHR). – Lausanne, 1987. – Techn. Session B., 1987. – P. 301–306.
5. Игнатов Е.И., Робсман В.А. Задачи математического моделирования береговой морфосистемы //
Вопросы географии, № 119. – Морские берега. – Москва: Мысль, 1982. – С. 40–54.
6. Zang H., Kahawita R. Nonlinear hyperbolic system and its solution for aggraded channels // J. Hydraulic
Reseach. – 1988. – 26, No 3. – P. 323–342.
7. Hjelmfelt A.T. River bed degradation in the placeMissouri river loess hills. The 23rd Congress of Int.
Association for Hydraulic Research (IAHR), Theme: Hydraulics and Environment. Proc. Technical Session
B: Fluvial CityHydraulics, country-regionCanada, CityplaceOttawa, 21–25 August 1989. – P. B – 233 –
B – 239.
8. Schwartz L. Méthodes mathématiques pour les sciences physiques. – Paris: Hermann, 1961. – 392 p. –
Русский перевод: Шварц Л. Математические методы для физических наук. – Москва: Мир, 1965. –
412 с.
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №9
9. Mizohata S. The theory of partial differential equations. – Tokyo, 1965. – 462 p. – Русский перевод:
Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. – Москва: Мир, 1977. – 504 с.
10. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. – Москва: Наука, 1973. – 408 с.
11. Кривонос Ю.Г., Селезов И.Т. О моделировании диагностики включений в упругом теле // Доп. НАН
України. – 2013. – № 7. – С. 37–41.
12. Селезов И.Т. Концепция гиперболичности в теории управляемых динамических систем // Киберне-
тика и вычислит. техника. – Киев: Наук. думка, 1969. – Вып. 1. – С. 131–137.
13. Selezov I., Volynski R. Wave refraction and sediment dynamics modeling in coastal zone. – Kiev: SMP
“AVERS”, 2013. – 150 p.
14. Рудяк В.Я., Смагулов Ш.О. О гиперболической модификации уравнения Бюргерса // ДАН СССР. –
1980. – 255, № 4. – С. 801–804.
Поступило в редакцию 14.03.2014Институт кибернетики им. В.М. Глушкова
НАН Украины, Киев
Институт гидромеханики НАН Украины, Киев
Академiк НАН України Ю.Г. Кривонос, I. Т. Селезов
Про моделювання седиментацiї гiперболiчним рiвнянням та його
виродження
Наведено узагальнену модель седиментацiї, яка враховує еволюцiю наносiв на доннiй поверх-
нi з кiнцевою швидкiстю. Дослiджується сингулярне виродження узагальненого гiперболiч-
ного рiвняння в традицiйне рiвняння в класi узагальнених розв’язкiв.
Academician of the NAS of Ukraine Yu.G. Kryvonos, I. T. Selezov
On the sedimentation modeling by a hyperbolic equation and its
degeneration
A generalized model of sedimentation, which considers the evolution of sediments on the bottom
surface with a finite velocity is presented. We investigate a singular degeneration of the generalized
hyperbolic equation to the traditional equation in the class of generalized solutions.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №9 43
|