Квази-phi-функции для математического моделирования отношений геометрических объектов
Рассматриваются классы специальных функций (квази-phi-функции, нормализованные квази-phi-функции, псевдонормализованные квази-phi-функции), предназначенные для аналитического описания отношений непересечения пары неориентированных геометрических объектов и ограничений на допустимые расстояния. При...
Saved in:
| Published in: | Доповіді НАН України |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88249 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Квази-phi-функции для математического моделирования отношений геометрических объектов / Ю.Г. Стоян, А.В. Панкратов, Т.Е. Романова, Н.И. Чернов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 9. — С. 49-54. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859611635097796608 |
|---|---|
| author | Стоян, Ю.Г. Панкратов, А.В. Романова, Т.Е. Чернов, Н.И. |
| author_facet | Стоян, Ю.Г. Панкратов, А.В. Романова, Т.Е. Чернов, Н.И. |
| citation_txt | Квази-phi-функции для математического моделирования отношений геометрических объектов / Ю.Г. Стоян, А.В. Панкратов, Т.Е. Романова, Н.И. Чернов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 9. — С. 49-54. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Доповіді НАН України |
| description | Рассматриваются классы специальных функций (квази-phi-функции, нормализованные
квази-phi-функции, псевдонормализованные квази-phi-функции), предназначенные для
аналитического описания отношений непересечения пары неориентированных геометрических объектов и ограничений на допустимые расстояния. Приводятся основные свойства квази-phi-функций, сформулированные в виде теорем. Строятся квази-phi-функции
для некоторых видов неориентированных 2D- и 3D-объектов.
Розглядаються класи спецiальних функцiй (квазi-phi-функцiї, нормалiзованi квазi-phi-функцiї, псевдонормалiзованi квазi-phi-функцiї), призначенi для аналiтичного опису вiдносин неперетинання пари неорiєнтованих геометричних об’єктiв та обмежень на допустимi вiдстанi. Наводяться основнi властивостi квазi-phi-функцiй, сформульованi у виглядi теорем.
Будуються квазi-phi-функцiї для деяких видiв неорiєнтованих 2D- i 3D-об’єктiв.
The article considers the classes of special functions (quasi-phi-functions, normalized quasi-phi-
functions, pseudonormalized quasi-phi-functions). The functions allow us to describe the non-
overlapping of a pair of rotating geometric objects and distance constraints analytically. Basic
characteristics of quasi-phi-functions are formulated in the form of theorems. We introduce quasi-
phi-functions for some rotating 2D- and 3D-objects.
|
| first_indexed | 2025-11-28T13:10:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.85
Член-корреспондент НАН Украины Ю.Г. Стоян, А. В. Панкратов,
Т.Е. Романова, Н.И. Чернов
Квази-phi-функции для математического
моделирования отношений геометрических объектов
Рассматриваются классы специальных функций (квази-phi-функции, нормализованные
квази-phi-функции, псевдонормализованные квази-phi-функции), предназначенные для
аналитического описания отношений непересечения пары неориентированных геометри-
ческих объектов и ограничений на допустимые расстояния. Приводятся основные свой-
ства квази-phi-функций, сформулированные в виде теорем. Строятся квази-phi-функции
для некоторых видов неориентированных 2D- и 3D-объектов.
В задачах оптимального раскроя и упаковки [1] наиболее эффективным средством мате-
матического моделирования отношений геометрических объектов является метод phi-функ-
ций [2–7]. В данной работе рассматривается новый класс функций — квази-phi-функций, ко-
торый является развитием метода phi-функций. Квази-phi-функции позволяют значитель-
но упростить аналитическое описание ограничений на непересечение, минимально и мак-
симально допустимые расстояния с учетом непрерывных вращений объектов, а также рас-
ширить класс объектов, для которых эти ограничения можно представить в виде систем
неравенств [5].
Пусть A ⊂ Rt и B ⊂ Rt — замкнутые phi-объекты, t = 2, 3 [1]. Полагаем, что, по крайней
мере, один из объектов — ограниченный. Размеры объектов могут изменяться с точностью
до коэффициента гомотетии λA, λB > 0 соответственно. Местоположение объекта A опреде-
ляется вектором переменных параметров размещения (vA, θA), где vA = (xA, yA, zA) — век-
тор трансляции; θA = (θz, θx, θy) — углы поворота: от оси OX к OY , от оси OY к OZ и от оси
OX к OZ. Обозначим uA = (vA, θA, λA) вектор переменных объекта A и uB = (vB , θB, λB) —
вектор переменных объекта B. В дальнейшем объект A(B), повернутый последовательно на
углы θz, θx, θy, транслированный на вектор v и умноженный на коэффициент гомотетии λ,
обозначается A(uA) (B(uB)).
Определение 1. Квази-phi-функцией для phi-объектов A(uA) и B(uB) называется всю-
ду определенная, непрерывная функция Φ′AB(uA, uB , u
′), для которой при фиксирован-
ных λA = λ0A и λB = λ0B функция max
u′∈U
Φ′AB(uA, uB , u
′) является phi-функцией для A(uA)
и B(uB), где вид множества U ⊂ Rn и размерность пространства Rn зависят от формы
размещаемых объектов.
Пусть Φ′AB(uA, uB , u
′) — квази-phi-функция для phi-объектов A(uA) и B(uB).
Теорема 1. Если Φ′AB(uA, uB , u
′) > 0, то intA(uA)
⋂
intB(uB) = ∅.
Далее полагаем, что A и B — выпуклые объекты, а λA и λB являются переменными
на множестве (0,+∞).
Пусть P (uP ) = {(x, y, z) : ψP = αx+βy+γz+µP 6 0}, где uP = (θxP , θyP , µP ), α = sin θyP ,
β = − sin θxP cos θyP , γ = cos θxP cos θyP ; ΦAP (uA, uP ) — phi-функция для A(uA) и P (uP ),
© Ю. Г. Стоян, А.В. Панкратов, Т. Е. Романова, Н.И. Чернов, 2014
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №9 49
ΦBP
∗
(uB , uP ) — phi-функция для B(uB) и P ∗(uP ) = Rt \ intP (uP ), t = 2, 3. Заметим, что
α2 + β2 + γ2 = 1.
Если A, B ⊂ R2, то P (uP ) = {(x, y) : ψP = αx + βy + µP 6 0}, где uP = (θP , µP )
α = cos θP , β = sin θP .
Теорема 2. Функция вида
Φ′AB(uA, uB , uP ) = min{ΦAP (uA, uP ),ΦBP
∗
(uB , uP )} (1)
является квази-phi-функцией для ограниченных объектов A(uA) и B(uB). Здесь u′ = uP .
Следствие 1. Если Φ
′AP (uA, uP , u
′
1) — квази-phi-функция для A(uA) и P (uP ),
Φ
′BP ∗
(uB , uP , u
′
2) — квази-phi-функция для B(uB) и P ∗(uP ), то функция вида
Φ′AB(uA, uB , u
′) = min{Φ′AP (uA, uP , u
′
1),Φ
′BP ∗
(uB , uP , u
′
2)} (2)
является квази-phi-функцией для ограниченных объектов A(uA) и B(uB). Здесь u′ =
= (uP , u
′
1, u
′
2).
Понятие квази-phi-функции может быть использовано также для моделирования огра-
ничений на допустимые расстояния между объектами. С этой целью введем определения
нормализованной и псевдонормализованной квази-phi-функции, основываясь на аналогич-
ных терминах для phi-функций [3].
Пусть dist(A,B) = min
a∈A,b∈B
d(a, b), d(a, b) — евклидово расстояние между точками a и b,
a, b ∈ Rt, t = 2, 3. Обозначим ρ− > 0, ρ+ > 0 — заданные минимально и максимально
допустимые расстояния между объектами A(uA) и B(uB).
Определение 2. Квази-phi-функция Φ̃′
AB
(uA, uB , u
′) называется нормализованной для
объектов A(uA) и B(uB), если функция max
u′∈U
Φ̃′
AB
(uA, uB , u
′) является нормализованной
phi-функцией.
Таким образом, ρ− 6 max
u′∈U
Φ̃′
AB
6 ρ+ ⇔ ρ− 6 dist(A,B) 6 ρ+.
Определение 3. Функция
⌢
Φ
′AB
(uA, uB , u
′) называется псевдонормализованной ква-
зи-phi-функцией для объектов A(uA) и B(uB), если функция max
u′∈U
⌢
Φ
′AB
(uA, uB , u
′) являет-
ся псевдонормализованной phi-функцией.
Аналогично понятиям псевдонормализованных phi-функций [3] будем различать псев-
донормализованные квази-phi-функции
⌢
Φ
′AB
− для моделирования ограничений dist(A,B) >
> ρ− и псевдонормализованные квази-phi-функции
⌢
Φ
′AB
+ для моделирования ограничений
dist(A,B) 6 ρ+.
Тогда max
u′∈U
⌢
Φ
′AB
− > 0 ⇔ dist(A,B) > ρ−, max
u′∈U
⌢
Φ
′AB
+ > 0 ⇔ dist(A,B) 6 ρ+. Пусть ква-
зи-phi-функция имеет вид
Φ′AB(uA, uB , uP ) = min{Φ̃AP (uA, uP ), Φ̃BP
∗
(uB , uP )}, (3)
где Φ̃AP (uA, uP ), Φ̃BP
∗
(uB , uP ) — нормализованные phi-функции.
Тогда квази-phi-функция
Φ̃′
AB
(uA, uB , uP ) = 2Φ′AB(uA, uB , uP )
50 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №9
является нормализованной квази-phi-функцией, а квази-phi-функция
⌢
Φ
′AB
− (uA, uB , uP ) = Φ′AB(uA, uB , uP )− 0,5ρ−
является псевдонормализованной квази-phi-функцией.
В работе [4] приведен полный класс phi-функций для неориентированных базовых 2D-
объектов, ограниченных дугами окружностей и отрезками прямых. Для неориентирован-
ных 3D-объектов построены phi-функции для прямых прямоугольных параллелепипедов,
выпуклых многогранников и шаров в работах [6, 7].
В данной работе, основываясь на формулах (1)–(3), в качестве примеров строятся ква-
зи-phi-функции для некоторых видов неориентированных 2D- и 3D-объектов.
Квази-phi-функция для выпуклых многогранников. Пусть K1(u1) и K2(u2) —
выпуклые многогранники, заданные вершинами λ1p
1
i , i = 1, . . . ,m1, и λ2p
2
i , i = 1, . . . ,m2,
ΦK1P (u1, uP ) = min
16i6m1
ψP (λ1p
1
i ) — phi-функция для объектов K1 и P , ΦK2P ∗
(u2, uP ) =
= min
16i6m2
(−ψP (λ2p2i )) — phi-функция для объектов K2 и P ∗. Тогда функция
Φ′K1K2(u1, u2, uP ) = min{ΦK1P (u1, uP ),Φ
K2P ∗
(u2, uP )} (4)
является квази-phi-функцией для K1(u1) и K2(u2).
Отметим, что функция 2Φ′K1K2(u1, u2, uP ) является нормализованной квази-phi-фун-
кцией.
Псевдонормализованная квази-phi-функция для выпуклых многогранников K1(u1)
и K2(u2) имеет вид
⌢
Φ
′K1K2
− (u1, u2, uP ) = min{ΦK1P (u1, uP ),Φ
K2P ∗
(u2, uP )} − 0,5ρ−. (5)
Квази-phi-функция для выпуклого многогранникаK(u1) и шара C(u2). Пусть
K(u1) — выпуклый многогранник, заданный вершинами λ1pi, i = 1, . . . ,m; pC и λ2rC —
центр и радиус шара C(u2); ΦKP (u1, uP ) = min
16i6m
ψP (λ1pi) — phi-функция для объектов K
и P , ΦCP
∗
(u2, uP ) = −ψP (pC) − λ2rC — phi-функция для объектов C и P ∗.
Тогда квази-phi-функция для K(u1) C(u2) может быть определена так:
Φ′CK(u1, u2, uP ) = min{ΦKP (u1, uP ),ΦCP
∗
(u2, uP ). (6)
Отметим, что функция 2Φ′CK(u1, u2, uP ) является нормализованной квази-phi-функцией.
Замечание. Квази-phi-функции вида (4)–(6) могут быть использованы для выпуклых
многоугольников и кругов непосредственно.
Квази-phi-функция для круговых сегментов D1(u1) и D2(u2). Пусть D1(u1) =
= T1(u1)
⋂
C1(u1), D2(u2) = T2(u2)
⋂
C2(u2), T1(u1) и T2(u2) — треугольники, заданные
вершинами λ1p
1
i , и λ2p
2
i , i = 1, 2, 3, p1C , p2C и λ1r
1
C , λ2r
2
C — центры и радиусы кругов C1(u1)
и C2(u2) соответственно.
Тогда, следуя (1), квази-phi-функция для D1(u1) и D2(u2) может быть определена так:
Φ′D1D2(u1, u2, uP ) = min{ΦD1P (u1, uP ),Φ
D2P ∗
(u2, uP )},
ΦD1P (u1, uP ) = max{ΦT1P ,ΦC1P }, ΦD2P ∗
(u2, uP ) = max{ΦT2P ∗
,ΦC2P ∗},
(7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №9 51
где
ΦT1P (u1, uP ) = min
i=1,2,3
ψP (λ1p
1
i ), ΦC1P (u1, uP ) = ψP (p
1
C)− λ1r
1
C ,
ΦC2P ∗
(u2, uP ) = −ψP (p2C)− λ2r
2
C , ΦT2P
∗
(u2, uP ) = min
i=1,2,3
(−ψP (λ2p2i )).
Построим квази-phi-функцию для D1(u1) и D2(u2), используя формулу (2), в виде
Φ
′D1D2(u1, u2, u
′) = min{Φ′D1P (u1, uP , u
′
1),Φ
′D2P ∗
(u2, uP , u
′
2)},
где u′ = (uP , u
′
1, u
′
2), u
′
1 ∈ [0, 1] ⊂ R1, u′2 ∈ [0, 1] ⊂ R1.
С этой целью определим квази-phi-функции Φ
′D1P (u1, uP , u
′
1) и Φ
′D2P ∗
(u2, uP , u
′
2).
Пусть ΦC1P (u1, uP ) — phi-функция C1(u1) и P (up), а
Φ′D1P (u1, uP , u
′
1) = min{ψP (λ1p11), ψP (λ1p12), χ1(u1, uP , u
′
1)},
χ1(u1, uP , u
′
1) = ψP (λ1p
1
3)− u′1ψP (λ1p
1
3) + u′1Φ
C1P (u1, uP ),
где u′1 ∈ [0, 1] ⊂ R1, λ1p1i , i = 1, 2, — вершины основания объекта D1(u1).
По аналогии, имеем
Φ′D2P ∗
(u2, uP , u
′
2) = min{−ψP (λ2p21),−ψP (λ2p22), χ2(u2, uP , u
′
2)},
χ2(u2, uP , u
′
2) = −ψP (λ2p23)− u′2(−ψP (λ2p23)) + u′2Φ
C2P ∗
(u2, uP ),
где u′2 ∈ [0, 1] ⊂ R1, λ2p
2
i , i = 1, 2, — вершины основания объекта D2(u2).
Замечание. Квази-phi-функция вида (7) может быть использована для шаровых сегмен-
тов, если рассматривать: в качестве T1(u1) и T2(u2) — прямые круговые конусы, C1(u1)
и C2(u2) — шары, а в качестве ΦT1P (ΦT2P
∗
) — phi-функции для конуса и полупространства.
Квази-phi-функция для эллипсов E1(u1) и E2(u2). Пусть E1(u1) и E2(u2) — эл-
липсы, заданные большой и малой полуосями λiai и λibi, i = 1, 2. Тогда квази-phi-функция
для E1(u1) и E2(u2) может быть задана в виде
Φ′E1E2(u1, u2, u
′) = min{χ(θ1, θ2, u′), χ1(u1, u2, u
′), χ2(u1, u2, u
′)},
где u′ = (t1, t2), 0 6 ti 6 2π, χ = −(N ′
1, N
′
2), N
′
i = (α′
i, β
′
i), α
′
i = αi cos θi + βi sin θi, β′i = −
−αi sin θi + βi cos θi, αi = (cos ti)/(λiai), βi = (sin ti)/(λibi), i = 1, 2; χj = α′
1xq2j + β′1yq2j − 1,
q2j = (xq2j , yq2j) = v2 + V ′
2 + ηn′j, j = 1, 2, V ′
2 = M(θ2)V2 (здесь M(θ2) — матрица поворота,
V2 = (λ2a2 cos t2, λ2b2 sin t2), N ′
1 = (−β′2, α′
2), N
′
2 = (β′2,−α′
2), η = λ22a
2
2).
Следуя (2), квази-phi-функцию для E1(u1) и E2(u2) можно задать так:
Φ
′E1E2(u1, u2, u
′) = min{Φ′E1P (u1, uP , u
′
1),Φ
′E2P ∗
(u2, uP , u
′
2)},
где Φ
′E1P (u1, uP , t1), Φ
′E2P ∗
(u2, uP , t2) — квази-phi-функции для эллипса и полуплоскости
вида
Φ
′E1P (u1, uP , t1) = min{χ(θ1, θP , t1), ψP (q11), ψP (q12)},
0 6 t1 6 2π, χ = −(N ′
1, N), N ′
1 = (α′
1, β
′
1), N = (α, β), q1j = (xq1j , yq1j ) = v1 + V ′
1 + ηn′j ,
j = 1, 2, V ′
1 = M(θ1)V1 (здесь M(θ1) — матрица поворота, V1 = (λ1a1 cos t1, λ1b1 sin t1),
N ′
1 = (−β′1, α′
1), N
′
2 = (β′1,−α′
1), η = λ21a
2
1).
52 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №9
По аналогии, имеем
Φ
′E2P ∗
(u2, uP , t2) = min{χ(θ2, θP , t2),−ψP (q21),−ψP (q22)}.
Пусть A(uA) =
nA⋃
i=1
Ai(uA) и B(uB) =
nB⋃
j=1
Bj(uB), а Φ′AiBj (uA, uB , u
′
ij) — квази-phi-функ-
ции для Ai(uA) и Bj(uB), i = 1, 2, . . . , nA, j = 1, 2, . . . , nB .
Теорема 3. Функция вида
Φ′AB(uA, uB , uP ) = min{Φ′AiBj (uA, uB , u
′
ij), i = 1, 2, . . . , nA, j = 1, 2, . . . , nB} (8)
является квази-phi-функцией для A(uA) и B(uB), uP = (u′ij , i= 1, 2, . . . , nA, j= 1, 2, . . . , nB).
Следствие 2. Если квази-phi-функции Φ
′AiBj в (8) заменить на нормализованные
Φ̃
′AiBj (псевдонормализованные
⌢
Φ
′AiBj
− ) квази-phi-функции, то Φ′AB является нормализо-
ванной (псевдонормализованной) квази-phi-функцией для A(uA) и B(uB).
1. Wаscher G., Hauner H., Schumann H. An improved typology of cutting and packing problems // Europ.
J. of Operational Research. – 2007. – 183, Iss. 3. – P. 1109–1130.
2. Stoyan Yu. Φ-function and its basic properties // Доп. НАН України. – 2001. – № 8. – С. 112–117.
3. Chernov N., Stoyan Yu., Romanova T. Mathematical model and efficient algorithms for object packing
problem // Computational Geometry: Theory and Applications. – 2010. – 43(5). – P. 535–553.
4. Chernov N., Stoyan Yu., Romanova T., Pankratov A. Phi-functions for 2D objects formed by line segments
and circular arcs // Advances in Operations Research. – 2012. – 2012. – Article ID 346358. – 26 p.
5. Панкратов А. Информационная система решения оптимизационной задачи размещения произволь-
ных неориентированных 2D-объектов // Системи обробки iнформацiї. – 2013. – 1(108). – С. 182–186.
6. Stoyan Yu., Chugay А. Mathematical modeling of the interaction of non-oriented convex polytopes //
Cybernetics and Systems Analysis. – 2012. – 48, No 6. – P. 837–845.
7. Стоян Ю.Г., Чугай А.М. Построение свободной от радикалов Ф-функции для шара и неориентиро-
ванного многогранника // Доп. НАН України. – 2011. – № 12. – С. 35–40.
Поступило в редакцию 07.02.2014Институт проблем машиностроения
им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков
Университет Алабама, Бирмингем, США
Член-кореспондент НАН України Ю.Г. Стоян, О.В. Панкратов,
Т. Є. Романова, М. I. Чернов
Квазi-phi-функцiї для математичного моделювання вiдносин
геометричних об’єктiв
Розглядаються класи спецiальних функцiй (квазi-phi-функцiї, нормалiзованi квазi-phi-функ-
цiї, псевдонормалiзованi квазi-phi-функцiї), призначенi для аналiтичного опису вiдносин не-
перетинання пари неорiєнтованих геометричних об’єктiв та обмежень на допустимi вiд-
станi. Наводяться основнi властивостi квазi-phi-функцiй, сформульованi у виглядi теорем.
Будуються квазi-phi-функцiї для деяких видiв неорiєнтованих 2D- i 3D-об’єктiв.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2014, №9 53
Corresponding Member of the NAS of Ukraine Yu.G. Stoyan, A. V. Pankratov,
T. E. Romanova, N. I. Chernov
Quasi-phi-functions for a mathematical modeling of the relations of
geometric objects
The article considers the classes of special functions (quasi-phi-functions, normalized quasi-phi-
functions, pseudonormalized quasi-phi-functions). The functions allow us to describe the non-
overlapping of a pair of rotating geometric objects and distance constraints analytically. Basic
characteristics of quasi-phi-functions are formulated in the form of theorems. We introduce quasi-
phi-functions for some rotating 2D- and 3D-objects.
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, №9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88249 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T13:10:27Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Стоян, Ю.Г. Панкратов, А.В. Романова, Т.Е. Чернов, Н.И. 2015-11-11T15:34:56Z 2015-11-11T15:34:56Z 2014 Квази-phi-функции для математического моделирования отношений геометрических объектов / Ю.Г. Стоян, А.В. Панкратов, Т.Е. Романова, Н.И. Чернов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2014. — № 9. — С. 49-54. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88249 519.85 Рассматриваются классы специальных функций (квази-phi-функции, нормализованные квази-phi-функции, псевдонормализованные квази-phi-функции), предназначенные для аналитического описания отношений непересечения пары неориентированных геометрических объектов и ограничений на допустимые расстояния. Приводятся основные свойства квази-phi-функций, сформулированные в виде теорем. Строятся квази-phi-функции для некоторых видов неориентированных 2D- и 3D-объектов. Розглядаються класи спецiальних функцiй (квазi-phi-функцiї, нормалiзованi квазi-phi-функцiї, псевдонормалiзованi квазi-phi-функцiї), призначенi для аналiтичного опису вiдносин неперетинання пари неорiєнтованих геометричних об’єктiв та обмежень на допустимi вiдстанi. Наводяться основнi властивостi квазi-phi-функцiй, сформульованi у виглядi теорем. Будуються квазi-phi-функцiї для деяких видiв неорiєнтованих 2D- i 3D-об’єктiв. The article considers the classes of special functions (quasi-phi-functions, normalized quasi-phi- functions, pseudonormalized quasi-phi-functions). The functions allow us to describe the non- overlapping of a pair of rotating geometric objects and distance constraints analytically. Basic characteristics of quasi-phi-functions are formulated in the form of theorems. We introduce quasi- phi-functions for some rotating 2D- and 3D-objects. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Доповіді НАН України Інформатика та кібернетика Квази-phi-функции для математического моделирования отношений геометрических объектов Квазi-phi-функцiї для математичного моделювання вiдносин геометричних об’єктiв Quasi-phi-functions for a mathematical modeling of the relations of geometric objects Article published earlier |
| spellingShingle | Квази-phi-функции для математического моделирования отношений геометрических объектов Стоян, Ю.Г. Панкратов, А.В. Романова, Т.Е. Чернов, Н.И. Інформатика та кібернетика |
| title | Квази-phi-функции для математического моделирования отношений геометрических объектов |
| title_alt | Квазi-phi-функцiї для математичного моделювання вiдносин геометричних об’єктiв Quasi-phi-functions for a mathematical modeling of the relations of geometric objects |
| title_full | Квази-phi-функции для математического моделирования отношений геометрических объектов |
| title_fullStr | Квази-phi-функции для математического моделирования отношений геометрических объектов |
| title_full_unstemmed | Квази-phi-функции для математического моделирования отношений геометрических объектов |
| title_short | Квази-phi-функции для математического моделирования отношений геометрических объектов |
| title_sort | квази-phi-функции для математического моделирования отношений геометрических объектов |
| topic | Інформатика та кібернетика |
| topic_facet | Інформатика та кібернетика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88249 |
| work_keys_str_mv | AT stoânûg kvaziphifunkciidlâmatematičeskogomodelirovaniâotnošeniigeometričeskihobʺektov AT pankratovav kvaziphifunkciidlâmatematičeskogomodelirovaniâotnošeniigeometričeskihobʺektov AT romanovate kvaziphifunkciidlâmatematičeskogomodelirovaniâotnošeniigeometričeskihobʺektov AT černovni kvaziphifunkciidlâmatematičeskogomodelirovaniâotnošeniigeometričeskihobʺektov AT stoânûg kvaziphifunkciídlâmatematičnogomodelûvannâvidnosingeometričnihobêktiv AT pankratovav kvaziphifunkciídlâmatematičnogomodelûvannâvidnosingeometričnihobêktiv AT romanovate kvaziphifunkciídlâmatematičnogomodelûvannâvidnosingeometričnihobêktiv AT černovni kvaziphifunkciídlâmatematičnogomodelûvannâvidnosingeometričnihobêktiv AT stoânûg quasiphifunctionsforamathematicalmodelingoftherelationsofgeometricobjects AT pankratovav quasiphifunctionsforamathematicalmodelingoftherelationsofgeometricobjects AT romanovate quasiphifunctionsforamathematicalmodelingoftherelationsofgeometricobjects AT černovni quasiphifunctionsforamathematicalmodelingoftherelationsofgeometricobjects |